các bài toán liên quan tới khảo sát hàm số

GV. Nguyễn Vũ Minh KHẢO SÁT HÀM SỐ
Email : Đt : 0914449230
1
CHƯƠNG I :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS
@@@@@@@
VẤN ĐỀ 1: TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ
Định lý : Đạo hàm của hàm số
y
f(x)
=
tại điểm x
0
là hệ số góc của tiếp tuyến
với đồ thị tại điểm M :
oo
(x ; y f(x=
o
))
o
kf '(x)
=

yêu cầu bài toán Phương trình tiếp tuyến
Tiếp tuyến tại
oo
M(x; y) (C)∈
ooo
y
f '(x ).(x x )
y
=

−+
(1)
'( )
o
kfx
=
:hệ số góc
Tiếp tuyến có
hệ số góc k cho trước
_Gọi
oo
M(x; y) (C)
∈
là tiếp điểm
_Giải pt :
f
'( )
ooo
xkx
y
=⇒ ⇒

_Áp Dụng (1)
Tiếp tuyến song song
với đường thẳng (d) cho trước :

d
ykxb=+
_Gọi
oo

M(x; y) (C)
∈
là tiếp điểm
_Giải pt :
f
'( )
od o o
xk xy
=
⇒⇒

_Áp Dụng (1)
Tiếp tuyến vuông góc
với đường thẳng (d) trước :

d
ykxb=+
_Gọi
oo
M(x; y) (C)
∈
là tiếp điểm
_Giải pt :
1
'( )
oo
d
o
f
xx

k
=− ⇒ ⇒y

_Áp Dụng (1)
Tiếp tuyến đi qua điểm
(; )()
AA
C∉
cho trước
_Gọi
oo
M(x; y) (C)
∈
là tiếp điểm
tt tại M là
()
Δ
: (1)
_
()
Δ
qua A: thay tọa độ A vào
(1)
oo
xy⇒⇒
PTTT⇒
A
x
y
Lưu ý : hai đt : vuông góc với nhau

11
22
ykxc
ykxc
=+
⎧
⎨
=+
⎩
12
.1kk
⇔
=−
,
song song
1
kk
2
⇔
=
Với là hệ số góc
12
,kk
VD1: Cho hàm số y = x
3
– 3x + 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại M(2;3)
Lời giải: Ta có :
2
y

'3x 3=−

Hệ số góc tiếp tuyến tại M là y’(x
0
) = y’(2) = 9
Phương trình tiếp tuyến tại M: y – 3 = 9(x – 2) = 9x – 15.
GV. Nguyễn Vũ Minh KHẢO SÁT HÀM SỐ
Email : Đt : 0914449230
2
VD2: Cho (C) y = x
3
– 3x + 1. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp
tuyến song song với (d): y = 9x – 4.
Lời giải : Ta có hệ số góc của đường thẳng d là 9.
Gọi
oo
M(x ;
y
)(C)∈
là tiếp điểm
Hệ số góc tiếp tuyến tại M là
(
)
2
00
y' 3x 3x
=
−

Tiếp tuyến song song với (d)

(
)
2
00 0
y' 9 3x 3 9 x 2x
⇔
=⇔ −=⇔ =±

+ Với x
0
= 2 y
0
= 3 phương trình tiếp tuyến: y – 3 = 9(x – 2) = 9x–15
⇒ ⇒
+ Với x
0
= –2 y
0
= –1 Phương trình tiếp tuyến : y +1= 9(x–2)= 9x +17
⇒ ⇒
VD 3 : Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
– 9x + 5 (C) .
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Giải : gọi M(x
0
; y
0

) là tiếp điểm
()
C∈
Hệ số góc tiếp tuyến tại M là k = f’(x
0
) =
963
0
2
0
−
+
xx

Ta có suy ra
()
121213
2
0
−≥−+= xk
MIN
k12
=
−
khi x
0
= – 1 M(–1; 16)
⇔
Phương trình tiếp tuyến : y – 16 = – 12.(x + 1)
VD 4 : y = x

3
+ mx
2
+ 1 (C
m
)
Tìm m để (C
m
) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao
cho các tiếp tiếp với (C
m
) tại B và C vuông góc nhau.
Giải : Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm) : x
3
+ mx
2
+ 1 = – x + 1
x.(x
2
+ mx + 1) = 0 (*) Đặt g(x) = x
2
+ mx + 1 .
⇔
(d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt
⇔
g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0

()
⎢
⎣

⎡
−<
>
⇔
⎩
⎨
⎧
≠=
>−=Δ
⇔
2
2
010
04
2
m
m
g
mg
Vì x
B
, x
C
là nghiệm của g(x) = 0
⎩
⎨
⎧
==
−=+=
⇒

1
CB
CB
xxP
mxxS
Tiếp tuyến tại B và C vuông góc
(
)
(
)
1
−
=
′
′
⇔
BC
xfxf


(
)
(
)
.3 2 .3 2 1
BC B C
xx x m x m⇔++=−


()

[
]
1469
2
−
=
+
++⇔ mxxmxxxx
CBCBCB


()
[
]
14691
2
−=+−+⇔ mmm
102
2
=
⇔
m
5±=⇔ m
(thỏa điều kiện)
VD 5 : Cho hàm số . (1)
mxxy +−=
23
3
Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục
Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng

3
2
.
GV. Nguyễn Vũ Minh KHẢO SÁT HÀM SỐ
Email : Đt : 0914449230
3
Giải
Với M(1 ; m – 2) .
21
00
−=⇒= myx
Tiếp tuyến tại M là d:
2))(63(
00
2
0
−+−−= mxxxxy


⇒ d: y = -3x + m + 2.
- d cắt trục Ox tại A:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⇒
+

=⇔++−= 0;
3
2
3
2
230
m
A
m
xmx
AA

- d cắt trục Oy tại B :
)2;0(2
+
⇒+= mBmy
B

-
2
OAB
31 3 2
S | OA || OB| | OA||OB | 3 2 3 ( 2) 9
22 2 3
m
mm
+
=⇔ =⇔ =⇔ +=⇔ + =

⎢

⎣
⎡
−=
=
⇔
⎢
⎣
⎡
−=+
=+
⇔
5
1
32
32
m
m
m
m

VD 6 : Gọi (Cm) hàm số: , với m là tham số thực. Tìm m để
3
yx 3mx=− +2
tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ bằng 1 vuông góc với đường thẳng
x9
y
10−+=
.
Giải : Đường thẳng có hệ số góc là 1/9
x9y10−+=

Có
2
y' 3x 3m=−
Để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ bằng 1 vuông góc với đường
thẳng cần và đủ là
x9y10−+=
11
y'(1). 1 (3 3m). 1 m 4
99
=− ⇔ − =− ⇔ =


Bài Tập
:
Bài 1 : Cho hàm số có đồ thị là ( C ) .Tìm hệ số góc và viết pttt với (C)
tại điểm
()yfx=
o
M
a) (C) :
2
33
1
xx
y
x
++
=
−
với

o
M(C)
∈
có hoành độ
2
o
x
=

b) (C) : với
3
1yx x=++
(2;9) ( )
o
M
C
−
−∈

c) (C) : với
42
2yx x=− +5 )
o
M(C
∈
có tung độ
8
o
y
=

d) (C) :
o
2
,M
1
x
y
x
+
=
−−
là giao điểm của (C) và Oy
e) (C) :
2
o
32
,M
3
xx
y
x
−+
=
−
là giao điểm của (C) và Ox
f) (C) : là giao điểm của (C) với đt
3
o
22,Myx x=−+

2y =
GV. Nguyễn Vũ Minh KHẢO SÁT HÀM SỐ
Email : Đt : 0914449230
4
g) (C) :
3
2,
y
xx=−
với
o
M(C)
∈
là giao điểm của (C) và Oy
h) (C) : với
42
25yx x=−+3
)
o
M(C
∈
là giao điểm của (C) và Ox
k) (C) :
3x 4
y
2x 3
+
=
−
tại điểm M(1; -7) (TN – THPT – 2007)

Bài 2 : Cho hàm số
3
2
x
y
x
−
=
+
( C ),viết pttt với đths :
a) Tại giao điểm của ( C ) với 2 trục tọa độ
b) Biết tiếp tuyến song song với đt
52yx
=
+

Bài 3 : Cho hàm số ( C ),viết pttt với đths :
32
3yx x=− +4
b) Tại
o
)∈
có hoành độ
2
M(C
o
x
=
−

c) Biết tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm
(2;0)

A
Bài 4 : Viết pttt với (C) trong các trường hợp sau :
a)
2
x2x1
y
x1
+−
=
−
,
x
2
,
biết tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất
của hệ trục Oxy. (ĐH Nông Nghiệp – 98)
(ĐS : và )
x1y =− + x9y =− +
b) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
3
x3y =− + 9x 1y =− +
c) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đt
3
x3xy =−
1
y
3

= x
1)
(ĐS : )
d)
(ĐH An Ninh – 0
3x 1y =− +

2
2x 7
y,
−
=
x 7
x2
+
−
biết tiếp tuyến song song với đt (d):
(ĐH Luật – 99)
yx4=+

(ĐS :
x3y
=
−
)
e)
3
2
x
=− +−231

3
yxx
, biết tiếp tuyến đó qua
(0; 1)K
−

2
31
,
2
xx
y
x
−+
=
−
biết tiếp tuyến song song với đt
23
y
x
=
+
f)
Bài 5 : cho (C) :
2
4xx
y
,
x1
=

−
tìm pttt với (C) trong các trường hợp sau :
C) tại
−
a) Tiếp xúc với (
4)
b) Song song với
(): 1dy
(2;A −
1
3 1x
=
+

2
1
():
4
d
y
x=−
c) Vuông góc với d)Vẽ từ
Bài 6 : cho (C) :

M(1;5)

32
y
x3x=− +

2
GV. Nguyễn Vũ Minh KHẢO SÁT HÀM SỐ
Email : Đt : 0914449230
5
a) Lập pttt với (C) tại điểm có hòanh độ
3
o
x
=
−

b) Lập pttt với (C) biết tt vuông góc với đườ ẳng th ng
1
19
9
yx=− +

c) Lập pttt tại điểm uốn của (C) . Hệ số góc là lớn nhấ ất hay nhỏ nh t
Bài 7 (TN- THPT – 2013) : Cho hàm số
3
31
=
−−yx x

()C

Viết phương trình tiếp tuyến của
()C
, biế ut hệ số góc của tiếp t yến đó bằng 9.
2.

h tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến đó :

Bài 8 : cho (C) :
32
35yxx x=− + −

+
Viết phương trìn
a) Song song với đt :
230xy+−=

b) Vuông góc với đt :
0

29 2xy−+=
Bài 9 :
2
2x
y =
. Viết ph ế
21x −
ương trình ti p tuyến trong các trường hợp sau :
điểm có ho

1
điểm
a) Tại ành độ
o
x1=

b) Song song với đt
8x 9 0−y 1+=
c)Vuông góc với đt
25 0

x 24y 2+−=
Bài 10 : cho (C) :
y=
và
32
44x x x+ ++
A(C)
∈
với .
ết tiếp tuyến qua A
1
A
x =−
Viết pttt với (C) bi
3
Bài 11 (Khối B – 2004) : cho (C) :
2
23
3
x
y
xx
=
−+
có đồ thị là ( C ). Viết pttt

tiếp tuyến tại điểmvới ( C ) tại điểm uốn. Chứng minh uốn có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 12 :
32
m
1m1
(C ): y x x=− +
.Gọi M là điểm thuộc
()
m
C
có hoành độ bằng
323
m để tiếp tuyến của với đ
Lư
1−
. Tìm
)
tại điểm M song song t
50xy−=

m
(C
u ý :
Hai đồ thị tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình hòanh độ giao điểm
của chúng có nghiệm kép
Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc hoặc lớn nhất hoặc nhỏ nhất
Bài 14: (C) :
3
.
x

y
−
=
Viết pttt với ( C ) biết :
1x +
iao điểm ại K có hoành độ bằng -2 a) Tại M là g của ( C ) và Oy b) T
c) Tiếp tuyến song song với đt
42yx
=
+
d) Vuông góc với đt
43xy 0
+
−=

Bài 15: Cho hàm số:
3
3yxx=− +
2
−4
(C)
GV. Nguyễn Vũ Minh KHẢO SÁT HÀM SỐ
Email : Đt : 0914449230
6
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là
1
2
x =
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến

9
k
4
=
.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng
(
)
: 3 2010dy x=+
.
Bài 16: Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ 2x + 3 có
hệ số góc nhỏ nhất .
Bài 17: Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
−
x
3
+ 3x + 2 có hệ số
góc lớn nhất.
Bài 18: Cho hàm số (C) :
2x 1
y
x1
−
=
−

, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết
tiếp tuyến cắt trục hoành tại A và trục tung tại B sao cho sao cho OA = 4OB.
Bài 19 (Khối A – 2009): Cho hàm số
2
2
x
y
x 3
+
=
+
(1)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục
hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại
gốc tọa độ O.
Bài 20 (Khối D – 2010): Cho hàm số :
42
6.yxx
=
−−+
Viết phương trình tiếp
tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
1
6
yx=−

VD 7 : Cho hàm số
3
12

3
yxx
−
=+−
3
có đồ thị là
(
)
C
. Gọi
M
là điểm thuộc đồ
thị
(
)
C
có hoành độ .Tìm các giá trị của tham số để tiếp tuyến với
2x =
m
(
)
C
tại M song song với đường thẳng
()
2
95+
:4x
3
m
dy m=−+

.
Ta có
44
(2) 2;
3
yM
−−
⎛
=⇒
⎜
⎝
3
⎞
⎟
⎠
. Tiếp tuyến
Δ
với
(
)
C tại
M
có phương trình :
() ()
44
'(2). 2 3 2
14
333
yy x y x y x=−−⇔=−−⇔−3=− +

GV. Nguyễn Vũ Minh KHẢO SÁT HÀM SỐ
Email : Đt : 0914449230
7
Ta có
2
43
//
9514
2
1
1
1
m
m
m
=
⎧
33
m
d
m
−=−
⎧
⎪
Δ⇔
⎨
+
≠
⎪
⎩

⇔
⇔=−
⎨
≠
⎩
. Vậy
1m =−
Bài 21 :
()
m
m1x m
(C ): y
xm
−+
=
−
. Định m để tiếp tuyến với (C
m
) tại điểm có hoành
độ x
0
= 4 song song với đường phân giác thứ 2 của hệ trục tọa độ. ( m = 2)
Bài 22 : Cho hàm số (C) :
x4
y
x1
−
=
−
, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết

tiếp tuyến tạo với đường thẳng (D
1
) :
y2x2013
=
−+
góc 45
0

HD :
12
12
kk
tan α
1k.k
−
=
−
ta có k = 3 sau đó viết tiếp tuyến
32
y
Bài 23 : Cho hàm số (C) :
x3x2=− +
, Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho
2
ΔOAB
OB
18
S

=

Bài 24 : Cho hàm số (C) :
2x 2
y
x1
+
=
−
, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết
tiếp tuyến :
a/ Song song với đường thẳng
y
4x 2
=
−+
(ĐS :
y
4x 14
=
−+
)
b/ Tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân (ĐS :
yx1,yx7
=
−− =−+
)
Bài 25 : Cho hàm số (C) :
2x
y

x2
=
+
,
a/ Tìm trên (C) những điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng
y
4x 3=+
(ĐS : )
M( 1, 3)−−
b/ Khoảng cách từ đến tiếp tuyến bằng 2
I ( 2, 2)−
HD : Khoảng cách từ điểm M(x
0
, y
0
) đến đường thẳng (d) : ax + by + c = 0
()
MM
22
a.x b.y c
dM,(d)
a+b
+
+
=

Bài 26 : Cho hàm số (C) :
32
y
x3x=− +2

, Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B thỏa mãn
OB 9.OA
=

(Đs :
y
9x 7=+
,
y
9x 25
=
−
)
Bài 27 : Cho hàm số (C
m
) :
(
)
32
y
x2x m1x2m=− + − +

GV. Nguyễn Vũ Minh KHẢO SÁT HÀM SỐ
Email : Đt : 0914449230
8
a/ Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị (C
m
) tại điểm có hoành độ x = 1 song song với
đường thẳng

y
3x 12=+
.
b/ Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị (C
m
) có hệ số góc nhỏ nhất vuông góc với
đường thẳng
()
:
y
2x 1Δ=+
. (ĐS :
11
m
6
=
)
VD 8 : Cho hàm số y =
1
x
x −
Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến
của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua điểm M và điểm I(1; 1).
Giải : Với , tiếp tuyến (d) với (C) tại M(x
0
;
0
1x ≠
0
0

1
x
x
−
) có phương trình :
0
0
2
(1)
yx
00
1
()
x
x
xx
=− − +
−−1
2
0
22
00
1
0
(1) (1)
x
xy
xx
⇔+−
−−

=

(d) có vec – tơ chỉ phương
2
0
1
(1; )
(1)
u
x
=−
−
r
,
0
0
1
(1;
1
IM x
x
=−
−
)
u
uur

Để (d) vuông góc IM điều kiện là :

0

0
2
0
00
0
11
.01.(1) 0
2
(1) 1
x
uIM x
x
xx
=
⎡
=⇔− −+ =⇔
⎢
=
−−
⎣
ruuur

+ Với x
0
= 0 ta có M(0,0) + Với x
0
= 2 ta có M(2, 2)
Bài 28 (TN – THPT – 2008) :
4
(C):

2
y
x2x=−
. Viết pttt với (C) tại điểm có
hoành độ x
0
= –2
Bài 29 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị:
2
1
x
y
x
=
−
, biết
a. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng
−
2. ĐS: y =
−
2x+8, y =
−
2x
b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): x + 2y = 0.
ĐS:
127 1
,
24 2
yxyx=− + =− −
7

4

c. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (
Δ
): 9x
−
2y +1=0
ĐS:
232 2
,
99 9
yxyx=− + =− +
8
9

Bài 30 : Lập phương trình tiếp tuyến cả đồ thị (C):
23
1
x
y
x
+
=
+
tại những điểm
thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng (d): 3x + 4y
−
2 = 0 bằng 2
ĐS: y = x + 3, y = 9x
− −

−
13,
947 12
,
16 16 16 16
yxyx=− + =− +
3

GV. Nguyễn Vũ Minh KHẢO SÁT HÀM SỐ
Email : Đt : 0914449230
9
Bài 31 : Viết phương trình tiếp tuyến (d) với đồ thị (C) :
2
2
x
y
x
+
=
−
, biết (d) đi
qua điểm A( 6;5). ĐS: y =
−
−
x
−
1,
7
42
x

y
=
−+

Bài 32 : Cho hàm số . Tìm m để tiếp tuyến
của đồ thị hàm số
tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm A(2; 1).
32
y x (m 1)x (3m 1)x m 2=−− + + +−
−

ĐS: m = 2.
−
Bài 33 : Gọi (C) là đồ thị của hàm số
x1
y f(x)
x3
−
==
+

Gọi M là một điểm thuộc (C) có
khoảng cách đến trục hoành độ bằng 5. Viết
phương trình tiếp tuyến của (C ) tại M. ĐS: y = 4x + 21
Bài 34 : Cho hàm số
42
xx
y f(x) 2
42
==++

(C)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với (D): y = 2x
−
2.
ĐS:
3
y2x
4
=+

Bài 35 : Cho hàm số
3
2
2x
y
x4x
3
=− + + −2
, gọi đồ thị của hàm số là (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có
hệ số góc lớn nhất
ĐS:
92
yx
21
=−
5
2

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C)

đi qua điểm A(2;9)
ĐS: y = 8x + 25
−
Bài 36 : Gọi (C) là đồ thị của hàm số
3
2
x
yf(x) x 2x
3
1
=
=−++

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
tại giao điểm của (C) với trục tung
Đs: y = 2x+1
b) Viết pttt của (C) vuông góc với đường thẳng
x
y
5
2
=
−+

ĐS:
8
y5x
3
=+

hoặc y = 5x – 8
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục
tung lần lượt tại A,B sao cho tam giác
OAB vuông cân (O là góc tọa độ)
ĐS:
4
yx
3
=+

GV. Nguyễn Vũ Minh KHẢO SÁT HÀM SỐ
Email : Đt : 0914449230
10
VD 8 : Cho hàm số
21
1
x
y
x
−
=
−
(C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C), biết
rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho
OBAB .82=
.
Giải :
OBAB .82=
.Ta có
OBOA

OBAB
ABOBOA
9
.82
22
222
=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+
⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến được tính bởi
1
9
OB
k
OA
=
±=±
.
Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến và (C)
);(
00
yxM
)(d
⇒ hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: = k hay:
)(

0
/
xf
2
00
0
2
0
00
2
0
11
7
()
4
9
(1)
3
(1)9
11 5
2
93
(1)
xy
x
x
xy
x
−
⎡

⎡
=
=⇒ =
⎢
⎢
−
⎢
⇔−=⇔
⎢
⎢
−
⎢
=− =− ⇒ =
⎢
⎢
−⎣
⎣
VN

Với
1
9
k =−
và tiếp điểm
7
4;
3
⎛⎞
⎟
⎠

⎜
⎝
, ta có pt tiếp tuyến :
()

17 125
4hay
93 99
yx yx=− − + =− +
.
Với và tiếp điểm , ta có pt tiếp tuyến:
5
2;
3
⎛⎞
−
⎜
⎝
1
9
k =−
⎟
⎠

()
15 1
2hay
93 9
yx yx=− + + =− +
13

9

VD 9 : Cho hàm số
1
12
+
+
=
x
x
y
( C ); Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ
I( 1; 2)−
tới tiếp tuyến của M là lớn nhất.
HD : Gọi
)(
1
1
2;
0
0
C
x
xM ∈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
+
−
thì tiếp tuyến tại M có pt
)(
)1(
1
1
1
2
0
2
0
0
xx
x
x
y −
+
=
+
+−

GV. Nguyễn Vũ Minh KHẢO SÁT HÀM SỐ
Email : Đt : 0914449230
11
hay
0)1()2()1()(
0

2
00
=+−−+−− xyxxx
khoảng cách từ I đến tiếp tuyến là

()
2
0
2
0
4
0
0
4
0
00
)1(
)1(
1
2
)1(1
12
11
)1()1(
++
+
=
++
+
=

++
+−−−
=
x
x
x
x
x
xx
d
.do
2)1(
)1(
1
2
0
2
0
≥++
+
x
x
nên
2≤d
.

()
211)1(
)1(
1

0
2
0
2
0
2
0
−=⇔=+⇔+=
+
xxx
x
.hoặc x = 0
suy ra
(
3;2−M
)
hoặc
)1;0(M


Bài 37 :
(C) :
23
1
x
y
x
+
=
−

. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết khoảng cách
từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến bằng
526
13
.
Bài 38 : (C) :
1
x
y
x
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết khoảng cách từ
tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến bằng là lớn nhất.
VD 10 (Dự Bị -2007) Cho hàm số
()
1
1
11
x
y
C
xx
==−
++
Lập phương trình
tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận cắt nhau tạo thành một tam giác cân
.
Giải : Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm
(

)
00
;
M
xy
, thì d :
()
()
00 0
2
0
11
1
⎛⎞
=−
⎜⎟
0
;1
1
yxxyy
x
x
=−+
+
+
⎝⎠

- Nếu d cắt tiệm cận đứng : x = -1 tại điểm B :
()
0

0
1
1;
1
x
B
x
⎛⎞
−
⇒−
⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠

- Khi d cắt tiệm cận ngang : y =1 tại điểm A , thì :
(
)
0
21;1Ax⇒+

- Goi giao hai tiệm cận là I(-1;1) . Tam giác IAB là tam giác cân khi : IA = IB
GV. Nguyễn Vũ Minh KHẢO SÁT HÀM SỐ
Email : Đt : 0914449230
12
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣

⎡
−−=−
+
−
+=−
+
−
⇔
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=+⇔=⇔
221
1
1
221
1
1
1
1
1
)22(

0
0
0
0
0
0
2
0
0
2
0
22
x
x
x
x
x
x
x
x
xIBIA


2
00
00
2
00
00
00:

220()
2
2:
20
3
x y pttt y x
xx VN
xyptttyx
xx
=→ =⇒ =
⎡
⎡
++=
⎢
⇔⇒
⎢
⎢
=− → = ⇒ = +
+=
⎢
⎣
⎢
⎣
83

VD 11 : Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
32
yx3x=− + −1
biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng
1

(d): y x 2009
9
=−
.

1
(d): y x 2009
9
=−
có hệ số góc là
1
9

Tiếp tuyến của (C) có dạng
−= −
00
'( )( )
0
y
yfxxx

Tiếp tuyến
vuông góc với (d)
=
−⇔ =−
00
1
f'(x ) 1 f'(x ) 9
9

=− ⇒ =
⎡
⇔− + + = ⇔
⎢
=⇒=−
⎣
00
2
00
00
13
3690
31
xy
xx
xy
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của (C) thoả điều kiện là:
=− −
⎡
⎢
=− +
⎣
96
92
yx
yx6

CÁC EM HỌC SINH CÓ THỂ TẢI THÊM TẢI LIỆU
TOÁN HỌC 12 Ở WEB SITE

www.nguyenvuminh.com