chuyên đề hình học không gian 11 quan hệ song song

I
O
B '
A
S
D
K
B
C
A '
S
I
H
D
A
B
C
M
E
N
CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 :
QUAN HỆ SONG SONG Ngày phát 05/12/2009
Dạng toán : Tìm thiết diện
Bài 1 : (Ví dụ 2 - tr 48 - sgk) Cho hình chóp tứ
giác S.ABCD với hai đường thẳng AB và CD cắt
nhau. Gọi A’ là một điểm nằm giữa hai điểm S và
A. Hãy tìm các giao tuyến của mp(A’CD),
(SAB), (SBC), (SCD), (SDA).

Bài giải
Cách 1:

Áp dụng kết quả của hoạt động 6 ở trên , ta có
mặt phẳng (A’CD) cắt các cạnh SA,SB,SC,SD lần
lượt tại A’,B’,C,D thì B’ là giao điểm của đường thẳng DI cới cạnh SB (ở I là giao điểm của hai
đường thẳng SO và CA’)
Từ đó đễ thấy :
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( D) ' D D;
' D ' ';
' D ';
D ' D D;
D ' D ';
ABC A C C
SAB A C A B
SBC A C CB
SC A C C
S A A C DA
∩ =
∩ =
∩ =
∩ =
∩ =
Cách 2:
Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD thì rõ ràng giao tuyến của mp(A’CD) và mp
(SAB) là đường thẳng A’K. Khi ấy giao điểm B’ của mp(A’CD) và cạnh SB của hinh chóp chính là
giao điểm của đường thẳng A’K và SB. Từ đó ta tìm ra các giao tuyến của các mặt phẳng chứa các
mặt còn lại của hình chóp với mp(ACD).

Bài 2 (bt 11- tr 50 -sgk) Cho hình bình hành ABCD nằm trong mp(P) và một điểm S nằm ngoài
mặt phẳng (P). Gọi M là điểm nằm giữa S và A ; N là điểm nằm giữa S và B; Giao điểm của hai
đường thẳng AC và BD là O.
a) Tìm giao điểm của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SO.
b) Xác định giao tuyến của của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN).
Bài giải
a) Trong mp(SCA) , Gọi I là giao điểm của CM và SO. SO.Khi đó I cũng
là giao điểm của NI và SD, Dễ thấy M và E là hai điểm của mp (CMN)
và đường thẳng SO
b) Trong mặt phẳng (SBD), gọi E là giao điểm của NI và SD, Đễ thấy M
và E là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN) nên đường
thẳng ME là giao tuyến của hai mp này
Bài 3 (BT 15 - tr51 - sgk) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Ba điểm A’ , B’, C’ lần lượt nằm trên 3
cạnh SA, SB, SC nhưng không trùng với S, A, B, C. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
mặt phẳng (A’B’C’).
Bài giải
Ký hiệu O là giao điểm của hai đường thẳng chéo AC và BD , gọi O’ là
giao điểm của A’C’ và SO;
D’ là giao điểm của hai đường thẳng B’O’ và SD
Nếu D’ thuộc đoạn SD thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’
- 1 -
O'
D'
C'
B'
A'
C
B
A

D
S
E
F'
O'
D'
C'
B'
A'
C
B
A
D
S
Nếu D’ nằm trên phần kéo dài của cạnh SD, ta có E là giao điểm của CD và C’D’ , F là giao điểm
của AD và A’D’
Khi ấy thiết diện là ngũ giác A’B’C’EF
Bài 4 ( Bt 16 - 51 - sgk) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).
b) Tìm giao tuyến của đường thẳng BM và mp(SAC).
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (ABM).
Bài giải
a) Gọi
D,N SM C O AC BN= ∩ = ∩
Ta thấy SO=(SAC)
∩
(SBM)
b) Trong mp (SBM), đường thẳng BM cắt SO tại I
Ta có
( )

I BM SAC= ∩
c) Trong mp (SAC), đường thẳng AI cắt SC tại P, ta có P và
M là hai điểm chung của mp (ABM) và mp (SCD)
Vậy
( ) ( )
ABM SCD MP∩ =
đường thẳng PM cắt SD tại
Q.Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (ABM) là tứ
giác ABPQ
Bài 5 ( Ví dụ 2 - tr 54 - sgk) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MBC) trong đó M là là một
điểm nằm giữa hai điểm S và A.
Bài giải
a)mp(SAB) và mp)SCD) có điểm chung S và lần lượt đi qua hai đường
thẳng song song AB và CD nên chúng cắt nhau theo giao tuyến
∆
đi
qua S và song song với AB và CD
b)mp(MBC) và mp(SAD) lần lượt đi qua hai đường thẳng song song
với BC và AD và có điểm chung M nên giao tuyến chúng là đường
thẳng MN song song với AD
( D)n S∈
Vậy thiết diện của hình chóp
S.ABCD khi cắt bởi mp(MBC) là hình thang MNCB
Bài 6 ( vd -tr 58 - sgk) Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB ( M khác A và
B). Giả sử (P) là mặt phẳng qua M song song với các đường thẳng AC và BD. Hãy xác định thiết
diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P). Thiết diện là hình gì.
Bài giải
Từ M kẻ đương thẳng song song với AC cắt BC tại N và kẻ đường thẳng

song song với BD cắt AD tại F.Khi ấy , (P) chính là mp(MNF). Gọi E là
giao điểm của (P) với CD thì thiết diện là tứ giác MNÈ, vì đường thẳng MN
song song với mp(ACD) nên mp(P) qua MN cắt mp(ACD) theo giao tuyến
EF song song với MN.Tương tự .NE song song với MF , Vậy thiết diện cần
tìm là hình bình hành MNEF
Bài 7 ( bt 27 - tr 60 - sgk) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi, O là giao điểm của hai
đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua O, song
song với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì?
Bài giải
Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD tại N, cắt BC tại M.
Qua M vẽ đường thẳng song song với SC cắt SB tại Q.qua Q vẽ đường
thẳng song song với AB cắt SA tại P . Dễ thấy thiết diện là hình thang
MNPQ
- 2 -
I
M
P
N
C
B
A
D
S
O
N
M
S
D
C
B

A
F
E
N
M
D
C
B
A
O
M
N
P
Q
S
D
C
B
A
Bài 8 ( bt 28 - tr 60 - sgk) Cho hình chóp S.ABCD có đáy
là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt
bởi mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song
với BD và SA.
Bài giải
Qua O vẽ đường thẳng song song với BD cắt AD tại N và
cắt AC tại I. Qua M,T,N vẽ các đường thẳng song song với
SA lần lượt cắt SB,SC,SD tại R,Q,P.Thiết diện là ngũ giác
MNPQR
Bài 9 ( Bt 36- tr 68 - sgk ) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của cạnh
A’B’.

a) CMR đường thẳng CB’ song song với mp(AHC’)
b) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC). Chứng minh rằng d song song với
mp(BB’C’C).
c) Xác định thiết diện của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ khi cắt bởi mặt phẳng (H, d)
Bài giải
a)Gọi I là tâm của hình bình hành AA’C’C. Xét tam giác A’B’C’ thì HI là một đường trung bình
của nó, nên
'/ /CB HI
. Mặt khác HI m\nằm trong mặt phẳng (AHC’), Vậy CB’//mp(AHC’)
b)Gọi J là tâm của hình bình hành AA’B’B. Rõ ràng I, J là là hai điểm chung của hai mặt phẳng
(AB’C’) và (A’BC). Vậy giao tuyến d của chúng là đường thẳng Ị. Rõ ràng d//B’C’ nên d//
(BB’C’C)
c)Đường thẳng HJ cắt mp(H,d)
Vậy mp(AA’C’C) cắt mp (H,d) theo tiếp tuyến qua I và song song với AA’, giao tuyến này cắt AC
và A’C lần lượt tại N và E. Vậy Thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi mp(H,d)là hình bình hành
MNEH
Bài 10 ( Bt 27 - tr 55- sbt ) Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của cạnh BC và BD ;
E là một điểm thuộc cạnh AD khác với A và D.
a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(ỊE).
b) Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành.
c) Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên cạnh AD để thiết diện là hình thoi.
J
I
F
E
D
C
B
A
Bài làm

a)Ta có IJ là đương trung bình của tam giác BCD nên IJ//CD
Mặt khác
( ) ( )
IJ IJE ; D DC AC⊂ ⊂
suy ra mp (IJE) cắt mp(ACD) theo giao tuyến Ex//CD gọi F là
giao điểm của Ex và AC. Thiết diện là hình thang EFIJ.
- 3 -
J
I
Q
R
P
M
N
S
D
C
B
A
d
H
J
N
M
I
E
C'
B'
A'
C

B
A
b)Để thiết diện là hình bình hành điều kiện cần và đủ là IF//Jekhi và chỉ khi AE=ED
c)Thiết diện EFIJ là hing thoi
khi và chỉ khi EFIJ là hình bình hành có IF=IJ
khi và chỉ khi E là trung điểm của AD thì
1
IF
2
AB=

Bài 11 (bài 35 - tr 57- sbt) Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định thiết diện của hình tứ diện ABCD khi
cắt bởi mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau :
a) Mp (P) đi qua trọng tâm G của tứ diện, qua điểm E thuộc BC và song song với AD.
b) Đi qua trọng tâm của tứ diện và song song với BC và AD.
Bài làm
L
Q
K
I
J
N
M
F
D
C
B
A
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và AD thì G là trung điểm của IJ
Mặt phẳng (IAD) chứa AD,AD//(P) nên (IAD) cắt (P) theo giao tuyến MN qua G và song song AD

( )
,M AI N DI∈ ∈
Khi E trùng với I, thiết diện không tồn tại
Khi E không trùng với I, ta có thiết diện là tam giác EFK
b)Theo câu a) mặt phẳng (P) song song với AH và chúa MN . Mặt khác (P) song song với BC nên
nó cắt mp(ABC)và mp(BCD) theo giao tuyến lần lượt qua M và song song với BC. Vậy thiết diện
của hình bình hành là LFKQ
Bài 12 ( Bt 37 - tr57 - sbt) Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC,
SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’.
a) Tìm điều kiện của mặt phẳng (P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình thang.
b) Tìm điều kiện của mặt phẳng (P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.
Bài làm
S
D'
C'
B'
A'
F
E
D
C
B
A
a)Thiết diện A’B’C’D’ là hình thang khi và chỉ khi A’B’//C’D’ hoặc A’D’//B’C’
- 4 -
K
I
J
N
M

G
F
E
D
C
B
A
Ta có
*)A’B’//C’D’ khi và chỉ khi giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) song song với A’B’
*) A’D’//C’B’ khi và chỉ khi giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và (SBC) song song với A’D’
b)tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành khi và chỉ khi mp(P) song song với cả hai đường thẳng giao
tuyến
Dạng toán : CM 3 điểm thẳng hàng; CM 3 đường thẳng đồng quy
Bài 13 (VD1 tr24- sCĐLT vào ĐH ) Cho hình chóp S.ABC. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA,
SB, SC lần lượt tại A’, B’ , C’ sao cho B’C’ cắt BC tại điểm D, C’A’ cắt CA tại điểm E, A’B’ cắt
AB tại điểm F. Chứng minh 3 điểm D, E, F thẳng hàng.
Bài làm
C'
B'
A'
S
F
E
D
C
B
A
( )
D BC D mp ABC∈ ⇒ ∈
( )

' ' ' ' ' 'D B C D mp A B C∈ ⇒ ∈
Do đó :
( ) ( )
' ' 'D mp ABC mp A B C∈ ∩
Tương tự
( ) ( )
( )
' ' '
( ) ' ' '
E mp ABC mp A B C
F mp ABC mp A B C
∈ ∩
∈ ∩
Vậy ba điểm D,E,F thuộc mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) nên chúng thẳng hàng
Bài 14 ( VD 3 - tr 24 - sCĐLT vào ĐH ) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là một điểm trên cạnh AD
và K là một điểm trên cạnh SB.
a) Tìm các giao điểm E, F của IK và DK với mp(SAC).
b) Gọi
O AD BC ; M SC OK.= =I I
CMR bốn điểm A, E, F, M thẳng hàng.
Bài làm
Gọi
;H AC BI G AC BD= ∩ = ∩
Trong mặt phẳng (SBI), IK cắt SH tại E và trong mặt phẳng (SBD), DK cắt SG tại F, ta có :
- 5 -

( )
( )
E IK mp SAC
F DK mp SAC

= ∩
= ∩
b)Các điểm A,E,F,M thuộc mặt phẳng
(AKO) vì chúng lần lượt
thuộc các đường thẳng AO,IK,DK,OK
của mặt phẳng này .Mặt phẳng khác
các điểm A,E,F,Mcungx thuộc mặt
phẳng (SAC)vì chúng lần lượt thuộc
các đường thẳng SA,SH,SG,SC
của mạt phẳng (SAC) này.Vậy bốn
điểm A,E,F,M là bồn điểm chung của
hai mặt phẳng (AKO) và (SAC) nên
chúng cùng nằm trên đường thẳng giao
tuyến của hai mp đó
Bài 15 ( VD 4 - tr 25 - sCĐLT vào ĐH
)
Chotứ diện ABCD. Gọi E,F, G là 3 điểm lần lượt nằm trên 3 cạnh AB,AC, BD sao cho EF cắt BC
tại I, EG cắt AD tại H. CMR : CD, IG, HF đồng quy.
Bài làm
I
H
G
F
E
D
C
B
A
Ta có
( )

( )
EF EFI I mp G
I BC I mp BCD
∈ ⇒ ∈
∈ ⇒ ∈
Do đó
( ) ( )
EFI G BCD∈ ∩
Vậy
( ) ( )
EFIG G BCD= ∩
Lập luận tương tự ta có

( ) ( )
EFHF G ACD= ∩
Gọi K là giao điểm của IG và CD
Ta có
( )
EFIG G⊂
và
( )
CD ACD⊂
Gọi K là giao điểm của IG và CA
Ta có
( )
EFIG G⊂
và
( )
CD ACD⊂
Suy ra:

( ) ( )
EFK G ACD FH∈ ∩ =
- 6 -
O
M
K
I
H
G
F
E
S
D
B
C
A
Vậy CD,IG,HF đông quy
Bài 16 ( vd -tr 47 - sgk) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Một mp(P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD
lần lượt tại A’, B’, C’, D’. CMR các đường thẳng A’C’, B’D’ và SO đồng quy với O là giao điểm
của hai đường chéo AC và BD của đáy.
Bài làm
K
I
O
B'
A'
S
D
C

B
A
Áp dụng kết quả của hoạt động 6 ở trên, ta có mạt phẳng (A’CD) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần
lượt tại A’, B’ ,C,D thì B’ là giao điểm của đường thẳng DI với cạnh SB (ở đây I là giao điểm của
hai đường thẳng SO và CA’)
Từ đó dễ thấy:

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
'
' ' '
' '
'
' '
ABCD A CD CD
SAB A CD A B
SBC A CD CB
SCD A CD CD
SDA A CD DA
∩ =
∩ =
∩ =
∩ =
∩ =
Bài 17 ( ví dụ 1 - tr 54 sgk) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các
đoạn thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD. CMR 3 đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm G
của mỗi đoạn. Điểm G đó là trọng tâm của tứ diện ABCD đã cho.

Bài làm
D
R
S
G
Q
P
M
N
C
B
A
Vì MN là đương trung bình của tam giác ABC, NQ là đường trung bình của tam giác ADC nên
MP//AC, NQ//AC,
1
2
MP AC=
,Vậy MP//NQ và MP=NQ, do đó tứ giác MNPQ là hình bình
hành.Từ đó ta suy ra các đoạn thẳng MN và PQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.
Chứng minh tương tự, các đoạn thẳng MN và RS cũng cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn. Vậy ba
đương thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điẻm G mỗi đoạn thẳng đó.
Dạng toán : CM đường thẳng song song với dường thẳng, đường thẳng song song với mặt
phẳng, hai mặt phẳng song song.
Bài 18 ( VD 1 - tr 40 - S CĐ LT vào ĐH ) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các
tam giác ABC. CMR : MN song song với CD.
Bài làm
- 7 -
E
D
M

N
C
B
A
Gọi E là trung điểm của AB, Ta có
M EC∈
,
N ED∈
.
Do đó MN và CD đông phẳng .
Mặt khác
1
3
EM EN
EC ED
= =
Vì M và N là trọng tâm tam giác ABC và ABD.
Vậy MN//CD
Bài 19 ( ( VD 2 - tr 40 - S CĐ LT vào ĐH ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
với cạnh đáy lớn là AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
a) CM : MN // CD
b) Gọi P là giao điểm của SC và mặt phẳng (ADN). Hai đường thẳng AN và DP cắt nhau tại I. CM
SI // AB và SA // IB.
Bài làm
I
E
D
S
P
M

N
C
B
A
a)M,N là trung điểm của tam giác SAB nên MN//AB, mà AB//CD, theo gia thiết, nên suy ra
MN//CD
b) Gọi
E AD BC
= ∩
.Trong mặt phẳng SBC, NE cắt SC tại P, ta có P là giao điểm của SC và mặt
phẳng (ADN). Ta có

( )
( ),AB SAB CD SCD⊂ ⊂

Mà AB//CD và
( ) ( )
SI SAB SCD= ∩
nên SI//AB//CD
Vì SI=2MN và AM=NI nên SABI là hình bình hành
Do đó SA//IB
Bài 20 ( VD 1 - tr 47 - - S CĐ LT vào ĐH ) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung
cạnh AB nhưng không nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF . CM: OO’ song song với các mặt phẳng (ADF)
và (BCE)
- 8 -
b) Gọi M và N lần lượt là trong tâm các tam giác ABD và ABE. CM : MN song song với mặt phẳng
(CEF).
Bài làm
a) OO’ không chứa trong mặt phẳng (ADF) và (BCE). Ta có OO’//DF mà

( )
DF ADF⊂
. Do
đó OO’//mp(ADF)
Tương tự : OO’//CE mà
( )
CE BCE⊂
do đó OO’//mp(BCE)
b) Kéo dài BM cắt CD tại G ta có AB//CD nên:
1
3
BM AM
BG AC
= =
Mặt khác, ta có :
1
3
BN
BF
=
Do đó MN//GF
Mà GF
⊂
mp(CDFE) và mặt phẳng này không chứa MN, nên ta suy ra MN//mp(CEF)
Bài 21 ( VD 2 - tr 48 CĐ LT vào ĐH ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD.
a) Cm : MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD)
b)Gọi P là trung điểm của SA. Cm : SB và SC đều song song với mặt phẳng (MNP)
c) Gọi G
1

; G
2
lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và SBC. CM : G
1
G
2
song song với mặt
phẳng (SAB).
Bài làm
G2
G1
D
Q
P
O
N
M
S
C
B
A
a) MN//mp(SBC) vì MN không thuộc mp(SBC) và MN //BC
⊂
mp(SBC)
Tương tự MN // mp(SAD) vì MN không thuộc mặt phăng (SAD)và MN//AD
⊂
mp(SAD)
b)
( )
( )

/ /
/ /
SB PM PMN
SC mp MNP
⊂
Vì (MNP) không chứa SC và ta có SC//NQ với Q là trung điểm của đoạn SD và NQ
⊂
mp(MNP)
c) Gọi I là trung điểm của đoạn BC ta có G
1
∈
AI và G
2
∈
SI
Vì G
1
và G
2
là trọng tâm tam giác ABCvaf SBC nên ta có
G
1
G
2
//SA
⊂
(SAB) và G
1
G
2

không thuộc mặt phẳng (SAB).
Vậy G
1
G
2
//mp(SAB)
CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 :

- 9 -
QUAN HỆ SONG SONG Ngày phát 05/12/2009
Dạng toán : Tìm thiết diện
Bài 1 :
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với hai đường thẳng AB và CD cắt nhau. Gọi A’ là một điểm nằm
giữa hai điểm S và A. Hãy tìm các giao tuyến của mp(A’CD), (SAB), (SBC), (SCD), (SDA).
Bài 2
Cho hình bình hành ABCD nằm trong mp(P) và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). Gọi M là
điểm nằm giữa S và A ; N là điểm nằm giữa S và B; Giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là
O.
a) Tìm giao điểm của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SO.
b) Xác định giao tuyến của của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN).
Bài 3
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Ba điểm A’ , B’, C’ lần lượt nằm trên 3 cạnh SA, SB, SC nhưng
không trùng với S, A, B, C. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’C’).
Bài 4
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).
b) Tìm giao tuyến của đường thẳng BM và mp(SAC).
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (ABM).
Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MBC) trong đó M là là một
điểm nằm giữa hai điểm S và A.
Bài 6 Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB ( M khác A và B). Giả sử (P) là
mặt phẳng qua M song song với các đường thẳng AC và BD. Hãy xác định thiết diện của hình tứ
diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P). Thiết diện là hình gì.
Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua O, song song với AB và SC. Thiết
diện đó là hình gì?
Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt
bởi mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA.
Bài 9 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của cạnh A’B’.
a) CMR đường thẳng CB’ song song với mp(AHC’)
b) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC). Chứng minh rằng d song song với
mp(BB’C’C).
c) Xác định thiết diện của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ khi cắt bởi mặt phẳng (H, d)
Bài 10 Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của cạnh BC và BD ; E là một điểm
thuộc cạnh AD khác với A và D.
a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(ỊE).
b) Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành.
c) Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên cạnh AD để thiết diện là hình thoi.

Bài 11 Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng
(P) trong mỗi trường hợp sau :
a) Mp (P) đi qua trọng tâm G của tứ diện, qua điểm E thuộc BC và song song với AD.
b) Đi qua trọng tâm của tứ diện và song song với BC và AD.
Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’,
B’, C’, D’.
a) Tìm điều kiện của mặt phẳng (P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình thang.
b) Tìm điều kiện của mặt phẳng (P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.
Dạng toán : CM 3 điểm thẳng hàng; CM 3 đường thẳng đồng quy

Bài 13 Cho hình chóp S.ABC. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’ , C’
sao cho B’C’ cắt BC tại điểm D, C’A’ cắt CA tại điểm E, A’B’ cắt AB tại điểm F. Chứng minh 3
điểm D, E, F thẳng hàng.
Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là một điểm trên cạnh AD và K là một điểm trên cạnh SB.
- 10 -
a) Tìm các giao điểm E, F của IK và DK với mp(SAC).
b) Gọi
O AD BC ; M SC OK.= =I I
CMR bốn điểm A, E, F, M thẳng hàng.
Bài 15 Chotứ diện ABCD. Gọi E,F, G là 3 điểm lần lượt nằm trên 3 cạnh AB,AC, BD sao cho EF
cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. CMR : CD, IG, HF đồng quy.
Bài 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Một mp(P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’,
C’, D’. CMR các đường thẳng A’C’, B’D’ và SO đồng quy với O là giao điểm của hai đường chéo
AC và BD của đáy.
Bài 17 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD,
BC, DA, AC, BD. CMR 3 đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn. Điểm
G đó là trọng tâm của tứ diện ABCD đã cho.
Dạng toán : CM đường thẳng song song với dường thẳng, đường thẳng song song với mặt
phẳng, hai mặt phẳng song song.
Bài 18 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC. CMR : MN song
song với CD.
Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy lớn là AB. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của SA và SB.
a) CM : MN // CD
b) Gọi P là giao điểm của SC và mặt phẳng (ADN). Hai đường thẳng AN và DP cắt nhau tại I. CM
SI // AB và SA // IB.
Bài 20 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB nhưng không nằm trong một
mặt phẳng.
a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF . CM: OO’ song song với các mặt phẳng (ADF)
và (BCE)

b) Gọi M và N lần lượt là trong tâm các tam giác ABD và ABE. CM : MN song song với mặt phẳng
(CEF).
Bài 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, CD.
a) Cm : MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD)
b)Gọi P là trung điểm của SA. Cm : SB và SC đều song song với mặt phẳng (MNP)
c) Gọi G
1
; G
2
lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và SBC. CM : G
1
G
2
song song với mặt
phẳng (SAB).
- 11 -