Một phương pháp dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC







ĐỖ THỊ LỆ THỦY




MỘT PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM GIẢI BÀI
TOÁN CÂN BẰNG TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG


Chuyên ngành : Toán ứng dụng
Mã số : 60460112



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


Người hướng dẫn khoa học :
GS. TSKH. Lê Dũng Mưu

Thái Nguyên - Năm 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Mục lục
Danh mục các ký hiệu
Mở đầu i
Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị 1
1.1. Không gian Hilbert ………………………………………………… 1
1.2. Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 2
Chương 2: Bài toán cân bằng 15
2.1. Bài toán cân bằng và các ví dụ 15
2.2. Các tính chất cơ bản 20
Chương 3: Một phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động
43
3.1. Giới thiệu bài toán và thuật toán 43
3.2. Sự hội tụ 56
Kết luận 63

Tài liệu tham khảo 64

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Danh mục các ký hiệu



Ký hiệu Ý nghĩa
R
n
Không gian Euclide n – chiều trên trường số thực ;
N Tập số tự nhiên;
x
i
Tọa độ thứ i của x;
x
T
Véc tơ hàng (chuyển vị của x) ;
<x,y>=x
T
y Tích vô hướng cả hai véc- tơ x và y;
x

Chuẩn Euclide của x;
)(xf
∂

Dưới vi phân của f tại x;
)(xf

ε
∂

ε
- dưới vi phân của f tại x;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i

MỞ ĐẦU

Cân bằng và điểm bất động là một đề tài quan trọng và có tính thời sự cao
của toán học ứng dụng. Bài toán cân bằng mô tả dưới dạng bất đẳng thức Ky -
Fan là bài toán bao hàm được nhiều lớp quan trọng của toán học ứng dụng như
tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động, mô hình cân bằng Nash v. v….
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán cân bằng trên tập điểm bất động có ứng dụng rất rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực khác nhau. Vấn đề nghiên cứu bài toán này đang là một đề tài
được quan tâm, nghiên cứu .
Từ cơ sở khoa học và tính thực tiễn của bài toán nên tôi đã lựa chọn đề tài
“ Một phương pháp dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động”
tên tiếng Anh:“ A subgradient method for solving equilibrium problems over the
set of fixed points ” làm đề tài nghiên cứu.
2.Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là nắm và trình bày được một cách hệ thống
các kiến thức cơ bản về bài toán cân bằng, bài toán điểm bất động của ánh xạ
không giãn, trên cơ sở đó giới thiệu một phương pháp dưới đạo hàm giải bài toán
cân bằng trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn. Đây là một lớp bài
toán cân bằng hai cấp đang được quan tâm nghiên cứu.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Các kiến thức cơ bản về bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động

của ánh xạ không giãn.
- Nội dung và tính hội tụ của một thuật toán dưới đạo hàm giải một lớp
bài toán cân bằng trên tập điểm bất động
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ii

Qua việc thực hiện và hoàn thành luận văn cùng với sự hướng dẫn tận tình
của thầy giáo GS. TSKH Lê Dũng Mưu đã giúp tôi nắm chắc và hiểu sâu hơn về
phương pháp dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động. Tuy
nhiên với vốn kiến thức còn hạn hẹp, luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu
sót. Vì vậy em rất mong sự giúp đỡ chỉ dẫn của các thầy cô và thầy giáo hướng
dẫn.
Ngoài phần mở đầu, danh mục các ký hiệu, danh mục tài liệu tham khảo,
luận văn được chia làm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2:Bài toán cân bằng.
Chương 3: Một phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất
động.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương 1 ta sẽ xét các kiến thức chuẩn bị cho bài luận văn. Luận
văn có liên quan đến không gian Hilbert và các khái niệm, các kết quả liên quan
đến không gian Hilbert, ánh xạ không giãn, tập điểm bất động. Do đó ta sẽ giới
thiệu những khái niệm cơ bản nhất của không gian Hilbert và các tính chất đặc
trưng nhất của nó. Nội dung của chương này được tham khảo từ các tài liệu
[2],[3].
1.1 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.1.

Cho X là không gian Hilbert thực, tức là:
1. X là không gian vector trên trường số thực.
2. Trên X có tích vô hướng 〈
⋅
,
⋅
〉: X
×
X
→
R thoả mãn các tiên đề:
i. 〈 x , y 〉 = 〈 y , x
〉
,
∀
x , y
∈
X;
ii. 〈 x+y , z 〉 = 〈 x , z 〉 + 〈 y , z〉
∀
x , y , z
∈
X;
iii. 〈
α
x , y 〉 =
α
〈 x , y〉
∀
x , y

∈
X,
α∈
R;
iv. 〈x , x〉
>
0 với mọi x
≠
0 và
〈
x , x
〉
= 0 nếu x = 0.
3. X trở thành không gian Banach với chuẩn được định nghĩa bởi:
||x|| = 〉〈 xx, .
Định nghĩa 1.1.2.
Xét dãy {x
n
}
n
≥
0
và x thuộc không gian Hilbert thực X. Khi đó:
Dãy {x
n
} được gọi là hội tụ mạnh tới x, kí hiệu x
n

→
x, nếu như:

+∞→n
lim ||x
n
- x|| = 0.
Dãy {x
n
} được gọi là hội tụ yếu tới x, kí hiệu x
n

→
x, nếu như:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2

+∞→n
lim 〈 w , x
n
〉 = 〈 w , x 〉,
∀
w
∈
X.
Điểm x được gọi là điểm tụ mạnh (yếu) của dãy {x
n
} nếu từ dãy này có thể
trích ra một dãy con hội tụ mạnh ( yếu ) tới x.
Ta nhắc lại các kết quả quen thuộc trong giải tích hàm liên quan đến hai
loại hội tụ này:
Mệnh đề 1.1.3.
(i) Nếu {x

n
} hội tụ mạnh đến x thì cũng hội tụ yếu đến x.
(ii) Nếu {x
n
} hội tụ yếu đến x và
+∞→n
lim || x
n
|| =|| x || thì {x
n
} hội tụ mạnh đến
x.
(iii) Mọi dãy hội tụ mạnh (yếu) đều bị chặn và giới hạn theo sự hội tụ
mạnh (yếu) nếu tồn tại thì là duy nhất.
(iv) Nếu không gian Hilbert X là không gian hữu hạn chiều thì sự hội tụ
mạnh và sự hội tụ yếu là tương đương.
(v) Nếu {x
n
}
n
≥
0
là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert X thì ta trích
ra được một dãy con hội tụ yếu.
(vi) Nếu {x
n
}
n
≥
0

là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert hữu hạn
chiều X thì ta trích ra được một dãy con hội tụ mạnh.
Định nghĩa 1.1.4. Tập C trong không gian Hilbert X được gọi là lồi nếu
như với mọi x, y
∈
C và
λ

∈
(0,1) ta có:
λ
x + (1 -
λ
) y
∈
C .
1.2 Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert
Ánh xạ không giãn là toán tử Lipschitz liên tục với hằng số bằng 1. Nó
đóng vai trò quan trọng trong toán ứng dụng vì rất nhiều vấn đề trong toán học
đều có thể mô tả dưới bài toán tính điểm bất động của một ánh xạ không giãn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3

Định nghĩa 1.2.1.
Cho C là tập con của không gian Hilbert X và T: C
→
X. Khi đó, ta có các
định nghĩa sau:
i) T là không giãn ổn định nếu với mọi x và y thuộc C ta có:
.)()(

222
yxyTIdxTIdTyTx −≤−−−+−
ii)T là không giãn nếu nó Lipschitz liên tục với hằng số 1, tức là với mọi x và y
thuộc C ta có:
.yxTyTx −≤−

iii) T là tựa không giãn nếu ta có:
.yxyxT −≤−
FixTyCx
∈
∀
∈
∀
,
;
iv)T là tựa không giãn chặt nếu ta có:
.
T x y x y
− < −
∈
∀
x
C,
FixTy
∈
∀
.
Định nghĩa 1.2.2.
Fix(T):= {x | Tx = x}.
Định lí 1.2.3.

Nếu C là tập lồi, đóng trên không gian Hilbert X và T là ánh xạ không
giãn trên C thì tập điểm bất động của T là một tập lồi đóng.
Định nghĩa 1.2.4 .
Xét hàm
ƒ
: X
→
R
∪
{+
∞
}. Khi đó: Hàm f được gọi là lồi trên một tập lồi
C nếu:
ƒ
(
λ
x+(1-
λ
)y )
≤

λƒ
(x)+(1-
λ
)
ƒ
(y),
∀
x, y
∈

X,
∀λ

∈
[0,1].
Hàm
ƒ
được gọi là lồi chặt trên C nếu:
ƒ
(
λ
x+(1-
λ
)y ) <
λƒ
(x)+(1-
λ
)
ƒ
(y),
∀
x, y
∈
X; x
≠
y ,
∀λ

∈
[0,1].

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4

Hàm
ƒ
được gọi là lồi mạnh trên C, với hệ số
η
> 0 nếu:
ƒ
(
λ
x+(1-
λ
)y)
≤

λƒ
(x)+(1-
λ
)
ƒ
(y)-
η
2
)1(
λ
λ
−
||x-y||
2

,
∀
x,y
∈
X,
∀λ

∈
[0,1].
Ví dụ:
1. Mọi hàm afine
ƒ
(x) = a
T
x+b là hàm lồi. Nó thoả mãn đẳng thức:
ƒ
(
λ
x+(1-
λ
)y) =
λƒ
(x)+(1-
λ
)
ƒ
(y),
∀
x, y.
Do đó nó không lồi chặt.

2. Trong không gian Hilbert thực ta có khai triển:
λ
2
)1(
2
)1(
2
222
yxyx
λλ
λ
−+
−−+
=λ 〉〈−−−−−−+ yx
yxyx
,)1(
2
)1(
2
2
)1(
2
2
2
2
2
22
λλλλλ

= ),2(

2
)1(
22
〉〈−+
−
yxyx
λ
λ

=
2
2
)1(
yx −
−
λ
λ
.
Do đó hàm ƒ(x) =
2
2
x
là hàm lồi mạnh với hệ số 1.
3. Giả sử C là một tập khác rỗng. Hàm khoảng cách d
C
(x) được định nghĩa
như sau:
d
C
(x) =

yx
Cy
−
∈
inf
.
Khi đó, nếu C là tập lồi thì d
C
là hàm lồi.
Thực vậy, xét x, y
∈
X và λ ∈ (0, 1) bất kỳ .
Đặt z =
λ
x+ (1-
λ
)y.
Theo định nghĩa, tồn tại các dãy {x
k
}, {y
k
} trong C sao cho:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5

)(lim xdxx
Ckk
=−
∞→
và

)(lim ydyy
Ckk
=−
→∞
.
Do C lồi nên z
k
:=
λ
x
k
+ (1-
λ
) y
k
∈
C. Ta có:
d
C
( z ) ≤ || z - z
k
|| = ||
λ
(x-x
k
) + (1-
λ
)(y-y
k
) ||

≤ λ|| x -x
k
||+(1-λ)|| y-y
k
|| .
Cho
∞
→
k
ta có: d
C
(z) ≤
λ
d
C
(x) + (1-
λ
)d
C
(y).
Nếu tồn tại
π

∈
C sao cho || x-
π
|| = d
C
( x ) thì
π

được gọi là hình chiếu
của x lên C. Khi đó π là nghiệm của bài toán tối ưu:
2
min
2
yx
Cy
−
∈
.
Mệnh đề sau đây cho ta điều kiện cần và đủ để
π
là hình chiếu của x lên C
trong trường hợp C lồi.
Mệnh đề 1.2.5. Giả sử C là tập lồi khác rỗng trong X. Đặt:
N
C
(x) = {w
∈
X
|

xyw −,

≤
0,
∀
y
∈
C}.

Khi đó
π
là hình chiếu của x lên C khi và chỉ khi:
x -
π

∈
N
C
(
π
).
Chứng minh. Giả sử π là hình chiếu của x lên C.
Lấy y bất kỳ thuộc C. Đặt :
y
λ
=
λ
y + (1 -
λ
)
π
.
Do C lồi nên y
λ

∈
C với mọi λ ∈ (0, 1) . Theo định nghĩa hình chiếu ta có:
|| x-
π

||
2
≤ || y
λ
- x ||
2
= || (
π
- x) +
λ
(y-
π
) ||
2
.
Khai triển vế phải và giản ước ta thu được :
.0,2 ≥−−+−
πππλ
yxy

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6

Cho λ tiến tới 0 ta thu được bất đẳng thức :
.0, ≤−−
ππ
yx

Điều này đúng với y
∈

C bất kỳ nên suy ra:
x-
π

∈
N
C
(
π
).
Ngược lại, giả sử x -
π

∈
N
C
(
π
). Khi đó với mọi
Cy
∈
ta có:
|| x - y ||
2
= || ( x-
π
) + (
π
- y )||
2

= || x -
π
||
2
+ ||
π
- y ||
2
+2
yx −−
ππ
,

≥ || x-

π
||
2
+ ||
π
- y ||
2
≥ || x -
π
||
2
.
Suy ra
π

là hình chiếu của x trên C. □
Từ mệnh đề trên ta có nhận xét, khi C lồi thì hình chiếu của x lên C nếu
tồn tại là duy nhất. Thực vậy, giả sử
π
và
π
′
đều là hình chiếu của x lên C.
Chọn y =
π
′
trong mệnh đề trên ta có:
.0,
'
≤−−
πππ
x

Thay đổi vai trò của
π
và
π
′
ta được:
.0',' ≤−−
πππ
x
Cộng hai bất đẳng thức trên suy ra ||
π
-

π
′
||
2
≤ 0 .
Điều này chỉ xảy ra khi
π
=
π
’
.
Vậy khi C lồi thì hình chiếu của x lên C nếu tồn tại là duy nhất. □.
Trong trường hợp C là tập con lồi, đóng khác rỗng của không gian Hilbert
thì với mọi x luôn tồn tại hình chiếu của x trên C.
Thật vậy, theo định nghĩa tồn tại dãy {x
k
} trong C thoả mãn:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7

)(lim x
C
dx
k
x
k
=−
+∞→
.
Suy ra dãy {x

k
} bị chặn, do đó trích ra được một dãy con {
k
n
x } hội tụ yếu.
Mặt khác, do C lồi, đóng nên giới hạn này phải là một điểm thuộc C, ký hiệu là
π
.
Bằng cách sử dụng bất đẳng thức hình bình hành trong không gian
Hilbert,ta có:
).(lim xdxxx
Cnk
k
=−=−
+∞→
π

Vậy
π
là hình chiếu của x trên C.□.
Mệnh đề 1.2.6. Cho C là một tập con lồi khác rỗng của X. Khi đó phép
chiếu P
C
là không giãn ổn định.
Chứng minh.
Lấy cố định x và y
∈
X. Ta có:
0)(),()( ≤−− xPxxPyP
CCC

⇔

( ) ( ), ( ) 0. (1.1)
C C C
P x P y P x x− − ≤

và
.0)(),()( ≤−− yPyyPxP
CCC
(1.2)
Cộng hai vế của (1.1) và (1.2) ta có:
.0)()()(),()( ≤−−−− yxyPxPyPxP
CCCC

⇔
.)()(,)()(
2
yPxPyxyPxP
CCCC
−−≤−

Do đó P
C
là không giãn ổn định.
Phép tương ứng mỗi điểm x với hình chiếu của nó trên C kí hiệu là P
C
và
được gọi là phép chiếu khoảng cách. Theo chứng minh mệnh đề trên, ta có tính
chất sau đây của hình chiếu :

.,,)()(
222
XyxxPyxPxyx
CC
∈∀∀−+−≥−

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8

Định nghĩa 1.2.7. Xét hàm G: X
→
R. Khi đó:
i) Hàm G được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm x
∈
X nếu như:
G(x)
≤
)(inflim
n
n
xG
xx →
.
Hàm G được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi
điểm.
ii) Hàm G được gọi là khả vi Fréchet tại điểm x
∈
X nếu như tồn tại phần
tử, ký hiệu là G'(x)
∈

X thoả mãn:
0
),()()(
lim
0
=
−
〉−
′
〈−−
→−
xy
xyxGxGyG
xy
.
Phần tử G'(x) được gọi là đạo hàm Fréchet của G tại điểm x.
Hàm G được gọi là khả vi trên K nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc K.
Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2.8. Xét hàm G: X
→
R. Khi đó:
i) Nếu G liên tục thì G nửa liên tục dưới.
ii) Nếu G khả vi thì G liên tục và
,),(
)()(
0
lim
'
>=<
−+

→
yxG
t
xGtyxG
t

∀
x,y
∈
X .
Chứng minh. i) Hiển nhiên.
ii) Giả sử G khả vi. Xét x
≠
y bất kì thuộc X. Ta có:
G(y) - G(x) =
=
.),('
),(')()(
xyxG
xy
xyxGxGyG
xy −+
−
−−−
−

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9

Do

0
),(')()(
lim
0
=
−
−−−
→−
xy
xyxGxGyG
xy

Và
0),('lim
0
=−
→−
xyxG
xy
.
nên suy ra:
.0))()((lim
0
=−
→−
xGyG
xy

Vậy G liên tục. Đặt x
t

= x + ty. Với mọi t > 0, ta có:
t
tyxGxGtyxG
yxG
t
xGtyxG
),(')()(
),('
)()(
−−+
=−
−+

t
xxxGxGxG
tt
−−−
=
),(')()(
( ) ( ) '( ),
. (1.3)
t t
G x G x G x x x
y
t
− − −
=

Do
0||||

0
lim =−
→
x
t
x
t
nên:
0
||||
),(
'
)()(
0
lim =
−
>−<−−
→
x
t
x
x
t
xxGxG
t
xG
t
. (1.4)
Từ (1.3) và (1.4) suy ra điều phải chứng minh.□.
Mệnh đề 1.2.9. Xét hàm

ƒ
: X
→
R
∪{
+
∞}
khả vi và
η
> 0. Khi đó ba điều
kiện sau tương đương:
(i)
ƒ
lồi mạnh với hệ số
η
.
(ii) Với mọi x, y
∈
X, ta có:

.
2
),()()(
2
'
yxxyxfxfyf −+−≥−
η

(iii)Với mọi x, y
∈

X, ta có:
2
' '
( ) ( ), .
f y f x y x x y
η
− − ≥ −

Chứng minh. (i) → (ii).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10

Giả sử ƒ lồi mạnh với hệ số η. Với mọi x, y và t ∈ (0,1), ta có:
(1-t)
ƒ
(x) + t
ƒ
(y)
≥ƒ
( ty + (1-t)x ) +
2
η
t (1-t) ||x-y||
2

Suy ra:
t(ƒ(y) - ƒ(x)) ≥
ƒ
( ty + ( 1- t ) x) - ƒ(x) +
2

η
t(1-t) ||x-y||
2

=>ƒ(y) - ƒ(x) ≥
2
( ( )) ( )
(1 )
2
f x t y x f x
t x y
t
η
+ − −
+ − − .
Cho
0
t
+
→
suy ra điều cần chứng minh.
(ii) → (i)
Giả sử ƒ thoả mãn điều kiện (ii). Lấy t
∈
(0,1) bất kỳ và đặt z = (1-t) x+ty.
Khi đó:
y = z + (1-t) (y-x) và x = z + (-t)(y-x).
Áp dụng (ii) ta thu được:
ƒ(x) ≥ ƒ(z) +
)(),(' xytzf −−

+
2
η
t
2
||x-y||
2
. (1.5)
ƒ(y) ≥ƒ(z) +
))(1(),(' xytzf −−
+
2
η
(1-t)
2
||x-y||
2
. (1.6)
Nhân hai vế của (1.5) với (1- t) > 0 và nhân hai vế của (1.6) với t > 0, sau
đó cộng lại ta thu được :
(1-t)
ƒ
(x) + t
ƒ
(y)
≥

ƒ
((1-t)x+ty) +
2

η
t(1-t) || x -y ||
2
.
Điều này đúng với mọi x, y nên ta suy ra ƒ lồi mạnh với hệ số η.
(ii) → (iii).
Giả sử có (ii). Với mọi x,y
∈
C ta có:
ƒ(y) - ƒ(x) ≥
xyxf −),(
'
+
2
η
|| x - y ||
2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11

ƒ(x) - ƒ(y) ≥
yxyf −),(
'
+
2
η
||x - y||
2
.

Cộng vế hai bất đẳng thức trên ta thu được:
0 ≥
xyyfxf −− ),()(
''
+ η || x - y ||
2
.
Từ đó suy ra (iii).
(iii) → (ii). Giả sử có tính chất (iii), ta đặt :
γ
(t) :=
ƒ
(x + th) với h := x – y.
Khi đó:
t
thxfththxf
t
ttt
t
tt
∆
+
−
∆
+
+
=
∆
−
∆

+
=
→∆→∆
)()(
lim
)()(
lim)(
00
'
γ
γ
γ
.),(
'
hthxf +=

Mặt khác, theo tính chất (iii) ta có:
thxfthxf ),()(
''
−+
≥ η || th ||
2
= t
2
||x - y ||
2
.
hxfthxf ),()(
''
−+⇒ ≥ ηt ||x - y||

2
.
Vậy
ƒ(y) - ƒ(x) = γ(1) - γ(0) =
=
hxf ),(
'
+
∫
>ƒ−+ƒ<
1
0
''
),()( dthxthx

≥
hxf ),(
'
+ dtyxt
2
1
0
−
∫
η

=
xyxf −),(
'
+

2
||||
2
yx −
η
.
Hàm ƒ lồi có thể coi là lồi mạn h với hệ số 0. Do đó ta có ngay hệ quả :
Hệ quả 1.2.10. Với hàm
ƒ
khả vi các mệnh đề sau tương đương:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12

(i)
ƒ
là hàm lồi.
(ii) Với mọi x, y ta có bất đẳng thức:
ƒ
(y) -
ƒ
(x)
≥

xyxf −),(
'
.
(iii) Với mọi x, y ta có bất đẳng thức:
0),(')(
'
≥−− xyxfyf

.
Kết quả tiếp theo cho ta điều kiện cho lời giải bài toán tối ưu hàm lồi:
Mệnh đề 1.2.11. Xét hàm F: X
→
R là hàm khả vi trên K với K là tập con
lồi của X. Khi đó ta có:
Nếu x
*
là nghiệm của bài toán cực tiểu F trên K thì:
,0**),(
'
≥− xyxF

∀
y
∈
K.
Hơn nữa. nếu F lồi thì điều kiện trên cũng là điều kiện đủ.
Chứng minh. Giả sử F(x
*
) là cực tiểu của F trên K. Xét y ∈ K bất kỳ, do
K lồi nên (1-t)x* +ty
∈
K,
∀
t
∈
(0,1). Do đó:
F((1-t)x* +ty) = F (x
*

+ t(y-x
*
))
≥
F(x
*
).
Suy ra:
,0
)())((
***
≥
−−+
t
xFxytxF

∀
t
∈
(0,1).
Cho t tiến tới 0
+
ta có điều kiện cần.
Bây giờ giả sử F lồi và x
*
thoả mãn điều kiện đã nêu. Ta có:
F(x
*
+ t ( y - x
*

) ) = F ((1 – t )x
*
+ty)
≤
(1- t ) F(x
*
) + t F(y),
∀
t
∈
(0,1).
Suy ra:
*),x(F)y(F
t
*)x(F*))xy(t*x(F
−≤
−
−
+
∀t ∈ (0 , 1).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13

Có t tiến tới 0
+
ta được:
* x-y (x*),F'
≤ F(y) - F(x*).
Từ đó suy ra F(x*) ≤ F(y) với mọi y ∈ K hay x* là nghiệm của bài toán
cực trị. .

□

Nhận xét 1.2.12. Trong trường hợp F lồi chặt,lời giải bài toán cực tiểu F
nếu tồn tại sẽ là duy nhất. Thực vậy, giả sử x, x' là hai kết quả của bài toán cực
tiểu F, ta có:
)x(F)
2
'xx
(F ≥
+
và )'x(F)
2
'xx
(F ≥
+
.
Cộng từng vế với vế ta có:
2
)'x(F)x(F
2
)'xx
(F
+
≥
+
.
Mặt khác, do tính lồi chặt ta có:
2
)'x(F)x(F
)'x(F

2
1
)x(F
2
1
)'x
2
1
x
2
1
(F)
2
'xx
(F
+
=+<+=
+
.
Điều này dẫn tới mâu thuẫn, suy ra điều giả sử là sai . □
Khái niệm sau là mở rộng của các khái niệm đạo hàm và khả vi.
Định nghĩa 1.2.13. Xét f: X
→
R
∪
{+
∞
} và x
∈
X. Phần tử w

∈
X
*
(=X)
được gọi là dưới đạo hàm của f tại điểm x nếu như:
xyw −,

≤
f(y) - f(x),
∀
y
∈
X.
Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại điểm x kí hiệu là
)
x
(
f
∂
.
Nếu
)
x
(
f
∂

≠
0 thì f được gọi là khả dưới vi phân tại điểm x.
f được gọi là khả dưới vi phân nếu f khả dưới vi phân tại mọi điểm.

Ta có mệnh đề nói lên tính khả dưới vi phân của hàm lồi :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14

Mệnh đề 1.2.14. Nếu f : X
→
R là hàm lồi thì
)
x
(
f
∂
≠
0 với mọi x
∈
X hay
là f khả dưới vi phân.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15

Chương 2. BÀI TOÁN CÂN BẰNG
Bài toán cân bằng là bài toán xuất phát từ nhu cầu thực tế. Ta xét mô hình
kinh tế có nhiều đối thủ; trong mỗi đối thủ (đối tác) đều có một hàm lợi ích
riêng. Mỗi quyết định của đối thủ này lại ảnh hưởng đến lợi ích của đối tác kia.
Thông thường lợi ích của các đối thủ thường mâu thuẫn với nhau. Như vậy
phương án tối ưu cho tất cả các đối tác thường là không tồn tại và người ta đã
nghĩ đến một phương án mang tính cân bằng, theo nghĩa là mọi đối tác đều có lý
do để chấp nhận và bài toán cân bằng đã ra đời từ nhu cầu thực tiễn đó. Các khái

niệm và kết quả trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [4], [5],
[6].
2.1. Bài toán cân bằng và ví dụ
2.1.1. Định nghĩa
Cho X là không gian Hilbert thực và C là tập lồi, đóng, khác rỗng của X.
Xét ánh xạ
φ
: C
×
C
→
R. Khi đó bài toán cân bằng là bài toán tìm:
Cx∈
sao cho:
φ
( 0)y,x ≥ ,
∀
y
∈
C ; (EP)
thoả mãn
φ
(x, x) = 0
∀
x
∈
C.
Một trong các lý do khiến bài toán cân bằng được nghiên cứu rộng rãi là
vì khi ta cho
φ

nhận các dạng biểu thực đặc biệt, bài toán (EP) sẽ trở thành các
bài toán cơ bản khác. Dưới đây là một vài trường hợp quan trọng.
2.1.2. Các ví dụ
2.1.2.1. Bài toán tối ưu.
Xét bài toán:
(
)
{
}
min
x x C
ϕ
∈ ;
Đặt
(
)
(
)
(
)
, :
x y y x
φ ϕ ϕ
= −
;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16

Hiển nhiên
(

)
(
)
(
)
, 0
x y y C x y y C
ϕ ϕ φ
≤ ∀ ∈ ⇔ ≥ ∀ ∈
;
Vậy bài toán tối ưu trên là một trường hợp riêng của bài toán (EP).
2.1.2.2. Cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác.
Bài toán cân bằng (EP) cũng liên quan đến bài toán cân bằng Nash trong
lý thuyết trò chơi:
Xét một trò chơi có p người ( đấu thủ). Giả sử
j
P
j
RC ⊂
là tập phương
án mà đấu thủ thứ j có thể lựa chọn trong đó (gọi là tập chiến lược). Đặt
1 2 3
:
p
C C C C C
= × × × ×

và gọi
RC
j

→:
ϕ
là hàm lợi ích của đấu thủ j.
Giả sử
(
)
1
, , , ,
j j p
x x x
ϕ
là lợi ích của đấu thủ j khi đấu thủ này chọn
phương án chơi
j j
x C
∈
, còn các đấu thủ thứ k khác chọn phương án chơi là
k k
x C
∈
với mọi
k j
≠
.
Định nghĩa điểm cân bằng Nash
Ta gọi
(
)
* *
1

* , ,
p
x x x
= là điểm cân bằng của
(
)
1
, ,
j p
ϕ ϕ ϕ
trên tập
1 2
:
p
C C C C
= × × ×

nếu với mọi j và mọi
j j
y C
∈
, ta có:
(
)
(
)
* * * * * * * * *
1 1 1 1 1 1
, , , , , , , , , ,
j j j j p j j j j p

x x y x x x x x x x
ϕ ϕ
− + − +
≤ .
Định nghĩa này cho thấy rằng nếu một đối thủ j nào đó rời khỏi phương án
cân bằng, trong khi các đối thủ khác vẫn giữ phương án cân bằng, thì đối thủ j sẽ
bị thua thiệt. Đây chính là lý do mà khái niệm cân bằng này được chấp nhận
trong thực tế. Điểm cân bằng này được gọi là điểm cân bằng Nash vì khái niệm
này do nhà kinh tế học F. Nash đưa ra đầu tiên.
Dưới đây bài toán cân bằng Nash sẽ được hiểu là bài toán tìm một điểm
cân bằng ( Nash) của
ϕ
trên C. Ta sẽ kí hiệu bài toán này là
(
)
,
N C
ϕ
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17

Bài toán cân bằng Nash có thể mô tả dưới dạng bài toán cân bằng (EP).
Thật vậy, ta xây dựng hàm
RCC
→
×
:
φ
bằng cách đặt:

[ ]
∑
−
+−
−=
p
j
pjjjjj
xxyxxxyx
1
111
), ,,,, ,()(:),(
ϕϕφ
.
Hiển nhiên nếu
*
x
là một điểm cân bằng Nash, thì
(
)
*, 0
x y y C
φ
≥ ∀ ∈
.
Ngược lại, giả sử
*
x C
∈
là nghiệm của bài toán (EP), tức là:

(
)
*, 0
x y y C
φ
≥ ∀ ∈
.
Ta sẽ chứng tỏ
(
)
* *
1
* , ,
p
x x x
= với
*
j j
x C
∈
là một điểm cân bằng Nash.
Thật vậy, nếu trái lại, sẽ tồn tại j và một điểm
j j
y C
∈
sao cho
)., ,,,, (), ,,,, ,(
**
1
*

1
*
1
**
1
**
1
*
1 pjjjjpjjjj
xxyxxxxxxx
+−+−
<
ϕϕ

Khi đó với phương án
), ,,,, (
**
1
*
1
*
1 pjjjj
xxyxxy
+−
=
ϕ
, theo định nghĩa của hàm
φ
, ta có:
=),(

*
yx
φ
0), ,,,, ,()(
**
1
*
1
*
1
*
<−
+− pjjjjj
xxyxxx
ϕϕ
.
Mâu thuẫn với việc
*
x
là nghiệm của (EP).□.
Vậy x* là một điểm cân bằng Nash khi và chỉ khi x* là nghiệm bài toán
cân bằng (EP).
2.1.2.3. Bất đẳng thức biến phân.
Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong R
n
và F: C
n
R
2→
là một ánh

xạ đa trị ( tức là với mỗi
x C
∈
, giá trị
(
)
F x
là một tập khác rỗng trong R
n
). Xét
bài toán:
Tìm
(
)
(
)
* , * * sao cho *, * 0
x C v F x v y x y C
∈ ∈ − ≥ ∀ ∈
. (2.1)
Ta có thể minh họa bất đẳng thức biến phân (2.1) dưới góc độ một mô
hình kinh tế như sau. Giả sử C là tập hợp các chiến lược ( ràng buộc) các phương
án sản xuất có thể lựa chọn. Với mỗi phương án
x C
∈
, tập (ánh xạ giá)
(
)
F x
là

tập hợp các giá thành chi phí có thể, ứng với phương án
x
. Khi đó bài toán (2.1),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18

chính là bài toán tìm phương án sản xuất
*
x
trong tập chiến lược C và giá
*
v

ứng với
*
x
sao cho chi phí là thấp nhất. Trong trường hợp, ánh xạ giá không
phụ thuộc vào phương án sản xuất, tức là
cxF
=
)(
với mọi x, bất đẳng thức biến
phân (2.1) trở thành bài toán quy hoạch quen thuộc:

{
}
min :
T
c x x C
∈ . (LP)

Trong bài toán quy hoạch này, véc- tơ giá c không phụ thuộc vào phương
án sản xuất.
Về mặt hình học, bất đẳng thức biến phân (2.1) là bài toán tìm một điểm
*
x C
∈
sao cho trong tập
(
)
*
F x
có một phần tử là véc-tơ pháp tuyến ( ngoài )
của tập C tại điểm
*
x
.
Giả sử với mỗi
x C
∈
, tập
(
)
F x
lồi, compact khác rỗng. Với mỗi
,
x y C
∈
, để mô tả bài toán (2.1) về bài toán cân bằng, ta đặt:
(
)

( )
, : max ,
v F x
x y v y x
φ
∈
= −
.
Từ đây suy ra ngay rằng,
(
)
, 0
x y y C
φ
≥ ∀ ∈
, khi và chỉ khi x là nghiệm
của (2.1).
Một trường hợp riêng quan trọng của bài toán (2.1) là khi C = R
n
+
và F
đơn trị. Khi đó bài toán (1) tương đương với bài toán sau, được gọi là bài toán
bù: Tìm

(
)
(
)
0 sao cho 0, 0
T

x F x x F x
≥ ≥ =
. (CP)
Ta chỉ ra rằng bài toán (CP) này tương đương với bất đẳng thức biến phân.
Tìm
(
)
0 sao cho 0, 0
x F x y x y
≥ − ≥ ∀ ≥
.
Sự tương đương ở đây được hiểu theo nghĩa là tập nghiệm của hai bài toán
này trùng nhau. Thật vây, nếu x là nghiệm của bất đẳng thức biến phân thì
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19

(
)
, 0, 0
F x y x y
− ≥ ∀ ≥
.
Lần lượt chọn
i
y x e
= +
( véc- tơ đơn vị thứ i) ta có:
.0),(),()( ≥=−+=
ii
i

exFxexxFxF

Vậy
(
)
0
i
F x
≥
với mọi i. Ngoài ra nếu chọn
0
y
=
ta có:
(
)
0 , 0
F x x
≤ − ≤
. Suy ra
(
)
0
T
x F x
=
.
Điều ngược lại mọi nghiệm của bài toán bù đều là nghiệm của bất đẳng
thức biến phân là hiển nhiên.
Bài toán quy hoạch lồi

(
)
{
}
min :
f x x C
∈ (CO). Trong đó f là một hàm
lồi khả dưới vi phân trên tập lồi C, có thể mô tả dưới dạng bất đẳng thức biến
phân (2.1), với
F f
= ∂
.
Thật vậy, khi
F f
= ∂
, bài toán (2.1) được viết là:
Tìm
(
)
* , * *
x C v f x
∈ ∈∂
sao cho *, - * 0
v y x y C
≥ ∀ ∈
.
Nếu
*
x
là nghiệm của bất đẳng thức biến phân này, thì do

(
)
* *
v f x
∈∂

nên theo định nghĩa dưới vi phân, ta có:
(
)
(
)
*, - * *
v y x f x f y y
+ ≤ ∀
.
Thế nhưng do
*
x
là nghiệm của bất đẳng thức biến phân, nên :
*, - * 0
v y x y C
≥ ∀ ∈
.
Từ đây suy ra
(
)
(
)
*
f x f y y C

≤ ∀ ∈
. Vậy
*
x
là một nghiệm của bài
toán (CO). Trái lại, nếu
*
x
là nghiệm của (CO), thì theo điều kiện cần và đủ tối
ưu của quy hoạch lồi, ta có
(
)
(
)
0 * *
C
f x N x
∈∂ +
.
Từ đây theo định nghĩa của nón pháp tuyến của C tại
*
x
, ta suy ra
*
x
là
nghiệm của bất đẳng thức biến phân (VI) với
F f
= ∂
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20

2.1.2.4. Bài toán điểm bất động Kakutani.
Cho
: 2
C
F C
→
. Điểm
x
được gọi là điểm bất động của F nếu
(
)
x F x
∈
.
Giả sử với mọi
(
)
,
x C F x
∈
lồi, compact, khác rỗng. Khi đó bài toán tìm một
điểm bất động của F có thể mô tả dưới dạng bài toán cân bằng (EP).
Để chứng tỏ điều này, với mỗi
,
x y C
∈
, ta đặt:

(
)
( )
, : max ,
v F x
x y x v y x
φ
∈
= − −
.
Thật vậy, nếu
(
)
x F x
∈
, thì theo định nghĩa của
(
)
,
x y
φ
ta có:
(
)
, 0
x y y C
φ
≥ ∀ ∈
.
Ngược lại, giả sử

x
là nghiệm của bài toán (EP), tức là :
x C
∈
và
(
)
, 0
x y y C
φ
≥ ∀ ∈
.
Khi đó lấy
y
là hình chiếu của
x
lên tập lồi đóng
(
)
F x
.Ta có:
.,max,
)(
xvvxxyyx
xFv
−−=−−
∈

Do
x

là nghiệm của (EP), nên:
(
)
2
0 , : ,
x y x y y x x y
φ
≤ = − − = − −
.
Suy ra
(
)
x y F x
= ∈
. Vậy
x
là điểm bất động của F.
Trong bài toán trên, hàm cân bằng
φ
có tính chất
φ
(x,x) = 0, với mọi x thuộc C.
2.2 Các tính chất cơ bản
Trong mục này, trước tiên ta sẽ xét tới sự tồn tại , tính duy nhất nghiệm
của bài toán cân bằng. Sau đó ta xét đến một số tính chất cơ bản của bài toán
này. Dưới đây ta sẽ chứng minh một kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán
cân bằng (EP) dựa trên Định lý minimax. Các khái niệm sau liên quan đến song
hàm trên X .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên