phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học

Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học

PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những ngời năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri
thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho
những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà
nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo
dục của Đảng và Nhà nớc ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay.
Trong tập hợp các môn nằm trong chơng trình của giáo dục phổ thông nói
chung, trờng THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng, nó là cầu
nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc
sống xã hội và với mỗi cá nhân.
Đổi mới phơng pháp dạy học đợc hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực cho ng-
ời học, kích thích, thúc đẩy, hớng t duy của ngời học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh
hội. Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá,
chiếm lĩnh trong tự thân của ngời học từ đó phát triển, phát huy khả năng tự học của
họ. Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những đối tợng ngời học nhạy
cảm việc đa phơng pháp học tập theo hớng đổi mới là cần thiết và thiết thực. Vậy làm
gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu t duy, khả năng t duy tích cực, chủ động, độc lập,
sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho
học sinh? Trớc vấn đề đó ngời giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai
thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phơng pháp dạy học trong
các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tợng học sinh, xây dựng cho
học sinh một hớng t duy chủ động, sáng tạo.
Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhng ngợc lại, giải
quyết đợc điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong
cách và phơng pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hớng t duy mới trong việc
lĩnh hội kiến thức Toán.
PHẦN II - NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học

I/ NHỮNG LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trong khi tìm phơng pháp giải toán hình học, ta gặp một số bài toán mà nếu
không vẽ thêm đờng phụ thì có thể bế tắc. Nếu biết vẽ thêm đờng phụ thích hợp tạo ra
sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng hơn.
Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra lời giải. Tuy nhiên vẽ thêm
yếu tố phụ nh thế nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp.
Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phơng pháp chung nhất cho việc
vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ
thêm các yếu tố phụ cần đạt đợc mục đích là tạo điều kiện để giải đợc bài toán một
cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ tiện. Hơn nữa, việc vẽ thêm các
yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ
bản, nhiều khi ngời giáo viên đã tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ nhng không thể giải
thích rõ cho học sinh hiểu đợc vì sao lại phải vẽ nh vậy, khi học sinh hỏi giáo viên: Tại
sao cô (thầy) lại nghĩ ra đợc cách vẽ đờng phụ nh vậy, ngoài cách vẽ này còn có cách
nào khác không? hay: tại sao chỉ vẽ thêm nh vậy mới giải đợc bài toán? … gặp phải
tình huống nh vậy, quả thật ngời giáo viên cũng phải rất vất vả để giải thích mà có khi
hiệu quả cũng không cao, học sinh không nghĩ đợc cách làm khi gặp bài toán tơng tự
vì các em cha biết các căn cứ cho việc vẽ thêm yếu tố phụ. Từ thực tế giảng dạy tôi
thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực
giải toán và bồi dỡng khả năng t duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta nên trang bị
cho các em nhng cơ sở của việc vẽ thêm đờng phụ và một số phơng pháp thờng dùng
khi vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết một bài toán hình học cần phải vẽ thêm yếu tố
phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động đợc cách giải,
chủ động t duy tìm hớng giải quyết cho bài toán, nh vậy hiệu quả sẽ cao hơn.
II/ NHỮNG CƠ SỞ CỦA VIỆC VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ.
I - CƠ SỞ LÝ LUẬN.
Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và một số
bài toán dựng hình cơ bản. Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ bản trong chơng
trình THCS:
Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c.

Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Giải:
Cách dựng:
- Dựng tia Ax.
- Dựng đờng tròn(A; b). Gọi C là giao điểm của đờng tròn ( A; b) với tia Ax.
- dựng đờng tròn (A; c) và đờng tròn (C; a), gọi B là giao điểm của chúng. Tam giác
ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a.
Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trớc.
Cách dựng:
- Gọi xOy là góc cho trớc. Dựng đờng tròn (O; r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta đợc
∆OAB.
- Dựng ∆O’A’B’ = ∆OAB ( c- c- c) nh bài toán 1, ta đợc
O
ˆ
'O
ˆ
=
.
Bài toán 3: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trớc.
Cách dựng:
- Dựng đờng tròn ( A; r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C.
- Dợng các đờng tròn ( B; r) và ( C; r) chúng cắt nnhau ở D. Tia AD là tia phân giác
của xAy.
Thật vậy: ∆ABD = ∆ACD ( c- c- c) ị
21
A
ˆ
A
ˆ

=
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
c
b
a
A
x
C
B
b
a
c
y
x
O
A
B
y
x
O
A
B
O’
A’
B’
x
y
z
A
B

C
D
r
r
r
r
1
2
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trớc.
Cách dựng:
- Dựng hai đờng tròn ( A; r ) và ( B; r ) ( AB< r < AB )chúng cắt nhau tại C, D.
Giao điểm của CD và AB là trung điểm của AB.
*Chú ý: đây cũng là cách dựng đờng trung trực của đoạn thẳng cho trớc.
Bài toán 5: Qua điểm O cho trớc, dựng đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng a cho
trớc.
Cách dựng:
- Dựng đờng tròn ( O; r) cắt a tại A, B.
- Dựng đờng trung trực của AB.

Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
C
D
BA
O
D
BA
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần nhắc
lại cách dựng.

Khi cần vẽ thêm đờng phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đờng cơ
bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tuỳ tiện.
I - CƠ SỞ THỰC TẾ
Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra đợc các cặp cạnh tơng ứng bằng
nhau, các cặp góc tơng ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai
tam giác bằng nhau.
Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta th-
ờng làm theo các bớc sau:
Bớc 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc
hai tam giác nào?
Bớc 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
Bớc 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) tơng ứng bằng
nhau.
Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng
đợc cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện đợc
các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán. Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào
học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm đợc các yếu tố phụ để giải toán hình học nói
chung và toán hình học 7 nói riêng. Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ đợc một số
cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực, khi hớng dẫn học sinh thực hiện giải toán đã
có kết quả tốt.
PHẦN III: MỘT SỐ PHƠNG PHÁP VẼ YÊÚ TỐ PHỤ.
Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu một số cách đơn giản nhất, thông dụng nhất để
vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7:
CÁCH 1: VẼ TRUNG ĐIỂM CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG, VẼ TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC.
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh
AB. Vẽ DH vuông góc với BC( H ẻ BC) sao cho DH = 4cm.
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
1) Phân tích bài toán:

Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ
DH vuông góc với BC( H ẻ BC) và DH = 4cm.
Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A.
2) Hớng suy nghĩ:
∆ABC cân tại A ⇔ AB = AC. Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của BC. Vậy yếu
tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC.
3) Chứng minh:
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có:
BK = KC =
6BC
2
1
=
cm.
Lại có: BD =
AB
2
1
= 5 cm ( do D là trung điểm
của AB)
Xét ∆ HBD có: BHD = 90
0
( gt), theo định lí Pitago ta có:DH
2
+ BH
2
= BD
2
ị BH
2

= BD
2
- DH
2
= 5
2
– 4
2
= 9 ị BH = 3 ( cm)
Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = 3 cm)
ị DH // AK ( đờng nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3).
Ta có: DH ⊥ BC, DH // AK ị AK ⊥ BC.
Xét ∆ ABK và ∆ACK có:
•
BK = KC ( theo cách lấy điểm K)
•
AKB = AKC = 90
0
•
AK là cạnh chung
ị ∆ ABK = ∆ACK (c – g – c)
ị AB = AC ị ∆ ABC cân tại A.
4) Nhận xét:
Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam giác
bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
GT
∆ABC; AB = 10cm;
BC = 12 cm;
AB

2
1
DBDA ==
; DH ⊥ BC
DH = 4 cm
KL
∆ ABC cân tại A.
A
A
B
C
H
K
D
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác , đờng thẳng đi qua trung
điểm cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai thì song song với cạnh thứ ba, kiến thức về đờng
trung bình này học sinh sẽ đợc nghiên cứu trong chơng trình toán 8 nhng ở phạm vi
kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh đợc, việc chứng minh dành cho học sinh khá
giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ
muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC có
C
ˆ
B
ˆ
=
; chứng minh rằng: AB = AC?( Giải bằng cách
vận dụng trờng hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác).
!) Phân tích bài toán:

Bài cho: tam giác ABC có
C
ˆ
B
ˆ
=
; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC.
2) Hớng suy nghĩ:
Đờng phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của BAC (Iẻ BC)
3) Chứng minh:
GT
∆ABC;
C
ˆ
B
ˆ
=
KL AB = AC
Vẽ tia phân giác AI của BAC (Iẻ BC).
ị
BAC
2
1
A
ˆ
A
ˆ
21
==
. (1) Mà

C
ˆ
B
ˆ
=
( gt)
ị
21
I
ˆ
I
ˆ
=
(2)
Xét ∆ ABI và ∆ ACI ta có:
•
21
I
ˆ
I
ˆ
=
( theo (2))
• Cạnh AI chung
•
21
A
ˆ
A
ˆ

=
( theo (1))
ị ∆ ABI = ∆ ACI ( g – c – g)
ị AB = AC (2 cạnh tơng ứng)
4) Nhận xét:
Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm đoạn thẳng AI
là tia phân giác của góc BAC để tạo ra hai tam giác bằng nhau.Tơng tự ta có thể
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
A
B
C
I
1
2
1
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm đoạn thẳng AI là đuờng cao để tạo ra hai
tam giác bằng nhau.
CÁCH 2: TRÊN MỘT TIA CHO TRỚC, ĐẶT MỘT ĐOẠN THẲNG BẰNG ĐOẠN THẲNG CHO TRỚC.
Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền
bằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập 2)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là đờng trung tuyến ứng với cạng huyền, yêu
cầu chứng minh:
BCAM2BC
2
1
AM
=⇒=
2) Hớng suy nghĩ:

Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng
đó. Nh vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung
điểm của AD.
3) Chứng minh:
GT
∆ABC;
0
90A
ˆ
=
;
AM là trung tuyến
KL
BC
2
1
AM
=
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét ∆ MAC và ∆ MDB ta có:
• MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
• M
1
= M
2
( vì đối đỉnh)
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
B
A
C

M
D
1
1
2
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
• MB = MC ( Theo gt)
ị ∆ MAC = ∆ MDB ( c - g - c)
ị AB = CD (2 cạnh tơng ứng) (1)
và
D
ˆ
A
ˆ
1
=
(2 góc tơng ứng).
ị AB // CD ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau)
Lại có: AC ⊥ AB ( gt)
ị AC ⊥CD (Quan hệ giữa tính song song và vuông góc) hay
0
90C
ˆ
A
ˆ
==
(2)
Xét ∆ ABC và ∆ CDA có:
• AB = CD ( Theo (1))
•

0
90C
ˆ
A
ˆ
==
( Theo (2))
• AC là cạnh chung
ị ∆ ABC = ∆ CDA ( c – g – c)
ị BC = AD (2 cạnh tơng ứng) Mà
AD
2
1
AM
=
ị
BC
2
1
AM
=
4) Nhận xét: Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh
BC
2
1
AM
=
ta đã vẽ
thêm đoạn thẳng MD sao cho MD = MA, do đó
AD

2
1
AM
=
. Nh vậy chỉ còn phải
chứng minh AD = BC. Trên một tia cho trớc, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng
khác là một trong những cách vẽ đờng phụ để vận dụng trờng hợp bằng nhau của tam
giác.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh
BAM và MAC ?( Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC.
Yêu cầu : So sánh BAM và MAC?
2) Hớng suy nghĩ:
Hai góc BAM và MAC không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một tam giác có
hai góc bằng hai góc BAM và MAC và liên quan đến AB, AC vì đã có AB < AC. Từ
đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
B
A
C
D
M
2
1
1
2
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
MD = MA. Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải đợc bài toán này.
3) Lời giải:

GT
∆ABC; AB < AC
M là trung điểm BC
KL
So sánh BAM và MAC?
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét ∆ MAB và ∆ MDC ta có:
• MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
• M
1
= M
2
( vì đối đỉnh)
• MB = MC ( Theo gt)
ị ∆ MAB = ∆ MDC ( c - g - c)
ị AB = CD (2 cạnh tơng ứng) (1)
và
D
ˆ
A
ˆ
1
=
(2 góc tơng ứng). (2)
Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) ịCD < AC. (3)
Xét ∆ACD có:
CD < AC ( theo (3))
⇒
D
ˆ

A
ˆ
2
<
(Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)
⇒ Mà
D
ˆ
A
ˆ
1
=
( theo (2))
12
A
ˆ
A
ˆ
<
hay BAM < MAC.
4) Nhận xét:
Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong cùng một
tam giác nên không vận dụng đợc định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong
một tam giác. Ta đã chuyển A
1
và A
2
về cùng một tam giác bằng cách vẽ đờng phụ
nh trong bài giải, lúc đó A
1

= D, ta chỉ còn phải so sánh D và A
2
ở trong cùng một tam
giác ADC.
CÁCH 3: NỐI HAI ĐIỂM CÓ SẴN TRONG HÌNH HOẶC VẼ THÊM GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỜNG
THẲNG.
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Bài toán 5: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. CMR: AB = CD, AC = BD? ( Bài
38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)
( Bài toán còn đợc phát biểu dới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng song song
bị chắn giữa hai đờng thẳng song song thì bằng nhau)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD.
Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD.
2) Hớng suy nghĩ:
để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra tam giác chứa các cặp cạnh trên, yếu
tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D.
3) Chứng minh:
GT AB // CD; AC // BD
KL AB = CD; AC = BD
Xét ∆ ABD và ∆ DCA có:
• BAD = CDA ( so le trong AB // CD)
• AD là cạnh chung
• ADB = DAC( so le trong AC // BD)
ị ∆ ABD = ∆ DCA ( g – c – g)
⇒ AB = CD; AC = BD ( các cạnh tơng ứng)
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
B
A

C
D
B
A
C
D
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
4) Nhận xét: Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh
chung là AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cầnm chứng minh ∆ ABD
= ∆ DCA. Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau( cạnh chung) nên chỉ cần
chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng đợc trờng hợp bằng nhau
góc – cạnh – góc. Điều này thực hiện đợc nhờ vận dụng tính chất của hai đờng thẳng
song song.
CÁCH 4: TỪ MỘT ĐIỂM CHO TRỚC, VẼ MỘT ĐỜNG THẲNG SONG SONG HAY VUÔNG GÓC VỚI
MỘT ĐỜNG THẲNG.
Bài toán 6: Tam giác ABC có đờng cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba
góc bằng nhau.
Chứng minh rằng ∆ ABC là tam giác vuông và ∆ ABM là tam giác đều?
1) Phân tích bài toán:
Bài cho ∆ ABC có đờng cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng
nhau. Yêu cầu ta chứng minh ∆ ABC là tam giác vuông và ∆ ABM là tam giác đều.
2)Hớng suy nghĩ:
Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đờng thẳng vuông góc
với AC và chứng minh đờng thẳng đó song song với AB, từ đó suy suy ra AB ⊥ AC
và suy ra A = 90
0
.
3) Chứng minh:
Vẽ MI ⊥ AC ( I ẻ AC)
Xét ∆ MAI và ∆ MAH có:

•
0
90I
ˆ
H
ˆ
==
( gt)
• AM lµ c¹nh chung) ⇒ ∆ MAI = ∆ MAH
( c¹nh huyÒn – gãc nhän)
•
32
A
ˆ
A
ˆ
=
(gt) ⇒ MI = MH ( 2 c¹nh t¬ng øng) (1)
XÐt ∆ ABH vµ ∆ AMH cã:
•
0
21
90H
ˆ
H
ˆ
==
( gt)
• AH lµ c¹nh chung ⇒ ∆ ABH = ∆ AMH ( g – c - g)
•

21
A
ˆ
A
ˆ
=
( gt) ⇒ BH = MH ( 2 c¹nh t¬ng øng) (2)
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
GT
∆ ABC; AH ⊥BC;
trung tuyến AM;
321
A
ˆ
A
ˆ
A
ˆ
==
KL
∆ ABC vuông ;
∆ ABM đều
I
A
B
C
H
M
1
2

3
2
1
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
MÆt kh¸c: H ∈ BM , Tõ (1) vµ (2) ⇒
CM
2
1
MICM
2
1
BM
2
1
MHBH
=⇒===
Xét ∆ vuông MIC có:
CM
2
1
MI
=
nên
0
30C
ˆ
=
từ đó suy ra: HAC = 60
0
.

ị
00
9060
2
3
HAC
2
3
BAC
===
.
Vậy ∆ ABC vuông tại A.
Vì
00
60B
ˆ
30C
ˆ
=⇒=
;
Lại có AM =
BC
2
1
MB
=
( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam
giác vuông)
∆ ABM cân và có 1 góc bằng 60
0

nên nó là tam giác đều.
4) Nhận xét:
Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tởng chừng nh rất khó giải, tuy
nhiên, chỉ bằng một đờng vẽ thêm ( MI ⊥ AC) thì bài toán lại trở lên rất dễ dàng, qua
đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học.
Bài toán 7: Cho tam giác ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đờng vuông
góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E. Chứng
minh rằng: BD = CE.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho ∆ ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đờng vuông góc với tia
phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E.
Chứng minh: BD = CE.
2) Hớng suy nghĩ:
Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba,rồi chứng minh
chúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó. Đờng phụ cần vẽ thêm là đờng thẳng qua B và song
song với AC cắt DE ở F, BF chính là đoạn thẳng thứ ba đó.
3) Chứng minh:
GT
∆ABC;AB < AC;
BC
2
1
MCMB
==
AH là tia phân giác BAC
DE ⊥ AH ;
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
D
A
B

C
H
M
F
E
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
KL
BD = CE
Vẽ đờng thẳng qua B và song song với AC, gọi F là giao điểm của đờng thẳng này với
đờng thẳng DE.
Xét ∆ MBF và ∆ MCE có:
MBF = MCE ( so le trong của BF // CE)
MB = MC ( gt)
BMF = CME ( đối đỉnh)
ị ∆ MBF = ∆ MCE (g – c – g)
ị BF = CE ( 2 cạnh tơng ứng) (1)
Mặt khác ∆ ADE có AH ⊥ DE và AH cũng là tia phân giác của DAE ( gt)
Do đó: ∆ ADE cân tại A ị BDF = AED
Mà BF // CE ( theo cách vẽ) ị BFD = AED
Do đó: BDF = BFD
⇒ ∆ BDF cân tại B
⇒ BF = BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BD = CE
4) Nhận xét:
Cách vẽ đờng phụ trong bài toán này nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng hai
đoạn thẳng cần chứng minh là bằng nhau, đây là cách rất hay sử dụng trong nhiều bài
toán nên giáo viên cần lu ý cho học sinh nhớ để vận dụng. Cách giải này cũng đợc áp
dụng để giải một số bài toán rất hay trong chơng trình THCS.
5 cách vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm trong nhóm phơng pháp chung gọi là phơng pháp
“ Tam giác bằng nhau ”, sau đây ta sẽ nghiên cứu thêm một phơng pháp mới rất hay

nhng cha đợc khai thác nhiều trong giải toán.
CÁCH 6: PHƠNG PHÁP “ TAM GIÁC ĐỀU”
Đây là một phơng pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm đợc vào trong hình
vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán đợc thuận lợi. Ta
xét một bài toán điển hình:
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân tại A, A = 20
0
. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho
AD = BC. Chứng minh rằng DCA =
A
ˆ
2
1
.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho ∆ABC cân tại A, A = 20
0
; AD = BC ( D ẻAB)
Yêu cầu chứng minh: DCA =
A
ˆ
2
1
.
2) Hớng suy nghĩ:
đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 20
0
,

suy ra góc ở đáy là 80
0
.
Ta thấy 80
0
– 20
0
= 60
0
là số đo mỗi góc của
tam giác đều ị Vẽ tam giác đều BMC
3) Chứng minh:
GT
∆ABC; AB = AC; A = 20
0
AD = BC (D ẻAB)
KL DCA =
A
ˆ
2
1
.
Ta có: ∆ABC; AB = AC; A = 20
0
( gt)
Suy ra:
0
00
80
2

20180
C
ˆ
B
ˆ
=
−
==
Vẽ tam giác đều BCM ( M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC),
ta đợc: AD = BC = CM.
∆ MAB = ∆ MAC ( c - c - c) ị MAB = MAC = 20
0
: 2 = 10
0
ABM = ACM = 80
0
– 60
0
= 20
0
Xét ∆CAD và ∆ACM có:
AD = CM ( chứng minh trên)
CAD = ACM ( = 20
0
)
AC là cạnh chung
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
A
B
C

D
M
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
ị ∆CAD = ∆ACM ( c – g – c )
ị DCA = MAC = 10
0
, do đó: DCA =
2
1
BAC.
4) Nhận xét:
1- đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 20
0
, suy ra góc ở đáy là 80
0
. Ta thấy
80
0
– 20
0
= 60
0
là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi ý cho ta vẽ
tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC thì vẽ tam giác
đều nh vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các cạnh của tam giác đều
giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng.
2- Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác:
- Vẽ tam giác đều ABM ( M và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB).
- Vẽ tam giác đều ACM ( M và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AC).
- Vẽ tam giác đều ABM ( M và C thuộc hai nửanửa mặt phẳng đối nhau bờ AC).

Ngoài ra còn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính đợc góc DCA dẫn tới
điều phải chứng minh, các cách khác còn tuỳ thuộc vào sự sáng tạo của mỗi ngời và
bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình.
* Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm:
Sau thời gian vận dụng phơng pháp kết, quả đạt đợc tơng đối khả quan 60% đã vận
dụng thành thạo, 30% đã biết vận dụng để giải một số bài đơn giản, 10% cần đợc bồi dỡng
thêm .
PHẦN IV: KẾT LUẬN
I. Kết luận.
Thông qua một số bài toán và phơng pháp giải một số bài toán hình học bằng cách vẽ
thêm yếu tố phụ học sinh đã hình thành cho mình một cái nhìn về phơng pháp này một
cách tích cực hơn đặc biệt là học sinh khá, giỏi.
Qua quá trình hớng dẫn một số bài tập thể nh vậy, học sinh đã biết vận dụng
một cách linh hoạt một số phơng pháp giải vào bài tập cụ thể từ đơn giản đến phức
tạp. Đối với học sinh giỏi các em đã biết sử dụng, kết hợp các phơng pháp để giải đ-
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
ợc các bài toán hình ở dạng khó hơn. Qua đó giúp học sinh hứng thú khi gặp loại
bài toán này nói riêng và học môn toán nói chung.
Trên đây là một số kinh nghiệm trong việc bồi dỡng học sinh về phơng pháp giải
một số bài toán hình bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ cho HS lớp 7 đặc bịêt là HS khá,
giỏi. Mong rằng với một số phơng pháp này đồng nghiệp vận dụng sáng tạo vào
tình hình của học sinh và bổ sung để công tác bồi dỡng học sinh ngày càng có kết
quả.
II. Một số ý kiến đề xuất
1. Đối với giáo viên toán:
Trong quá trình dạy giáo viên cần phân loại các dạng toán, tìm các phơng pháp, phân
tích bài toán
- Tạo hứng thú cho các em khi học toán
2. Đối với các cấp quản lý.

- Cần đầu t nhiều trang thiết bị hơn nữa để phục vụ cho dạy học
- Đầu t cơ sở vật chất nhà trờng để giáo viên sử dụng công nghệ thông tin vào
công việc giảng dạy môt cách thuận lợi hơn.
Chí Tân, ngày 15 tháng 01 năm 2011
Ngời thực hiện

Đỗ Thị Thu Hiền
.
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên