SKKN Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7

Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri
thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho
những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà
nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo
dục của Đảng và Nhà nước ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay.
Trong tập hợp các môn nằm trong chương trình của giáo dục phổ thông nói
chung, trường THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng, nó là cầu
nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc
sống xã hội và với mỗi cá nhân.
Đổi mới phương pháp dạy học được hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực cho
người học, kích thích, thúc đẩy, hướng tư duy của người học vào vấn đề mà họ cần
phải lĩnh hội. Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi,
khám phá, chiếm lĩnh trong tự thân của người học từ đó phát triển, phát huy khả năng
tự học của họ. Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những đối tượng người
học nhạy cảm việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi mới là cần thiết và thiết
thực. Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả năng tư duy tích cực,
chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui hứng
thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừng tìm
tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương
pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học
sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo.
Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, giải
quyết được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong
cách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong
việc lĩnh hội kiến thức Toán.
PHẦN II - NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I/ NHỮNG LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
============================================================

Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Trong khi tìm phương pháp giải toán hình học, ta gặp một số bài toán mà nếu
không vẽ thêm đường phụ thì có thể bế tắc. Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo
ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng
hơn. Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra lời giải. Tuy nhiên vẽ
thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp.
Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung nhất cho việc
vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ
thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài toán một
cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ ttieen. Hơn nữa, việc vẽ thêm các
yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ
bản, nhiều khi người giáo viên đã tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ nhưng không thể giải
thích rõ cho học sinh hiểu được vì sao lại phải vẽ như vậy, khi học sinh hỏi giáo viên:
Tại sao cô (thầy) lại nghĩ ra được cách vẽ đường phụ như vậy, ngoài cách vẽ này còn
có cách nào khác không? hay: tại sao chỉ vẽ thêm như vậy mới giải được bài toán? …
gặp phải tình huống như vậy, quả thật người giáo viên cũng phải rất vất vả để giải
thích mà có khi hiệu quả cũng không cao, học sinh không nghĩ được cách làm khi gặp
bài toán tương tự vì các em chưa biết các căn cứ cho việc vẽ thêm yếu tố phụ. Từ thực
tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác lại
nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt
nhất ta nên trang bị cho các em nhưng cơ sở của việc vẽ thêm đường phụ và một số
phương pháp thường dùng khi vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết một bài toán hình
học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em
có thể chủ động được cách giải, chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán,
như vậy hiệu quả sẽ cao hơn.
II/ NHỮNG CƠ SỞ CỦA VIỆC VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ.
I - CƠ SỞ LÝ LUẬN.
Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và một số

bài toán dựng hình cơ bản. Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ bản trong chương
trình THCS:
Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c.
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Giải:
Cách dựng:
- Dựng tia Ax.
- Dựng đường tròn(A; b). Gọi C là giao điểm của đường tròn ( A; b) với tia Ax.
- dựng đường tròn (A; c) và đường tròn (C; a), gọi B là giao điểm của chúng. Tam
giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a.
- Chú ý: Nếu hai đường tròn ( A; c) và ( C; a) không cắt nhau thì không dựng được
tam giác ABC.
Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trước.
Cách dựng:
- Gọi xOy là góc cho trước. Dựng đường tròn (O; r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta được
∆OAB.
- Dựng ∆O’A’B’ = ∆OAB ( c- c- c) như bài toán 1, ta được
O
ˆ
'O
ˆ
=
.
Bài toán 3: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trước.
Cách dựng:
- Dựng đường tròn ( A; r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C.
- Dượng các đường tròn ( B; r) và ( C; r) chúng cắt nnhau ở D. Tia phân giác phân

giác của xAy.
Thật vậy: ∆ABD = ∆ACD ( c- c- c) ⇒
21
A
ˆ
A
ˆ
=
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
c
b
a
A
x
C
B
b
a
c
y
x
O
A
B
y
x
O
A
B

O’
A’
B’
x
y
z
A
B
C
D
r
r
r
r
1
2
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.
Cách dựng:
- Dựng hai đường tròn ( A; AB ) và ( B; BA )chúng cắt nhau tại C, D. Giao điểm
của CD và AB là trung điểm của AB.
*Chú ý: đây cũng là cách dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước.
Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a
cho trước.
Cách dựng:
- Dựng đường tròn ( O; r) cắt a tại A, B.
- Dựng đường trung trực của AB.

============================================================

Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
C
D
BA
O
D
BA
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần nhắc
lại cách dựng.
Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đường
cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tuỳ tiện.
I - CƠ SỞ THỰC TẾ
Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng
bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng minh
hai tam giác bằng nhau.
Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta
thường làm theo các bước sau:
Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc
hai tam giác nào?
Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) tương ứng
bằng nhau.
Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng
được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện được
các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán. Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào
học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải toán hình học nói
chung và toán hình học 7 nói riêng. Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ được một số
cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực, khi hướng dẫn học sinh thực hiện giải toán

rất hiệu quả.
PHẦN III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VẼ YÊÚ TỐ PHỤ.
Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu một số cách đơn giản nhất, thông dụng nhất để
vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7:
CÁCH 1: VẼ TRUNG ĐIỂM CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG, VẼ TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC.
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh
AB. Vẽ DH vuông góc với BC( H ∈ BC) thì DH = 4cm.
Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
1) Phân tích bài toán:
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ
DH vuông góc với BC( H ∈ BC) và DH = 4cm.
Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A.
2) Hướng suy nghĩ:
∆ABC cân tại A ⇔ AB = AC. Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của AB. Vậy
yếu tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC.
3) Chứng minh:
GT
∆ABC; AB = 10cm;
BC = 12 cm;
AB
2
1
DBDA ==
; DH ⊥ BC
DH = 4 cm
KL

∆ ABC cân tại A.
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC =
6BC
2
1
=
cm.
Lại có: BD =
AB
2
1
= 5 cm ( do D là trung điểm của AB)
Xét ∆ HBD có: BHD = 90
0
( gt), theo định lí Pitago ta có:DH
2
+ BH
2
= BD
2
⇒ BH
2
= BD
2
- DH
2
= 5
2
– 4
2

= 9 ⇒ BH = 3 ( cm)
Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = 3 cm)
⇒ DH // AK ( đường nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ
3).
Ta có: DH ⊥ BC, DH // AK ⇒ AK ⊥ BC.
Xét ∆ ABK và ∆ACK có:
• BK = KC ( theo cách lấy điểm K)
• AKB = AKC = 90
0
• AK là cạnh chung
⇒ ∆ ABK = ∆ACK (c – g – c)
⇒ AB = AC ⇒ ∆ ABC cân tại A.
4) Nhận xét:
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
A
A
B
C
H
K
D
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam giác
bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh
còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác , đường thẳng đi qua trung
điểm cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai thì song song với cạnh thử ba, kiến thức về đường
trung bình này học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình toán 8 nhưng ở phạm
vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh

khá giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì
chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC có
C
ˆ
B
ˆ
=
; chứng minh rằng: AB = AC?( Giải bằng cách
vận dụng trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác).
!) Phân tích bài toán:
Bài cho: tam giác ABC có
C
ˆ
B
ˆ
=
; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC.
2) Hướng suy nghĩ:
Đường phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của BAC (I∈ BC)
3) Chứng minh:
GT
∆ABC;
C
ˆ
B
ˆ
=
KL AB = AC
Vẽ tia phân giác AI của BAC (I∈ BC).

⇒
BAC
2
1
A
ˆ
A
ˆ
21
==
. (1) Mà
C
ˆ
B
ˆ
=
( gt)
⇒
21
I
ˆ
I
ˆ
=
(2)
Xét ∆ ABI và ∆ ACI ta có:
•
21
I
ˆ

I
ˆ
=
( theo (2))
• Cạnh AI chung
•
21
A
ˆ
A
ˆ
=
( theo (1))
⇒ ∆ ABI = ∆ ACI ( g – c – g)
⇒ AB = AC (2 cạnh tương ứng)
4) Nhận xét:
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
A
B
C
I
1
2
1
A
B
C
I
1

2
1
2
Mt s phng phỏp v thờm yu t ph trong gii toỏn Hỡnh hc lp 7
===========================================================
Trong cỏch gii trờn, ta phi chng minh AB = AC bng cỏch k thờm on thng AI
l tia phõn giỏc ca gúc BAC to ra hai tam giỏc bng nhau.
CCH 2: TRấN MT TIA CHO TRC, T MT ON THNG BNG ON THNG CHO
TRC.
Bi toỏn 3: Chng minh nh lớ: Trong tam giỏc vuụng, trung tuyn thuc cnh huyn
bng na cnh huyn ( Bi 25/ 67- SGK toỏn 7 tp 2)
1) Phõn tớch bi toỏn:
Bi cho Tam giỏc ABC vuụng ti A, AM l ng trung tuyn ng vi cng huyn,
yờu cu chng minh:
BCAM2BC
2
1
AM
==
2) Hng suy ngh:
Ta cn to ra on thng bng 2.AM ri tỡm cỏch chng minh BC bng on thng
ú. Nh vy d nhn ra rng, yu t ph cn v thờm l im D sao cho M l trung
im ca AD.
3) Chng minh:
GT
ABC;
0
90A

=

;
AM l trung tuyn
KL
BC
2
1
AM
=
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét MAC và MDB ta có:
MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
M
1
= M
2
( vì đối đỉnh)
MB = MC ( Theo gt)
MAC = MDB ( c - g - c)
AB = CD (2 cạnh tơng ứng) (1)
và
D

A

1
=
(2 gúc tng ng).
AB // CD ( vỡ cú cp gúc so le trong bng nhau)
Li cú: AC AB ( gt)
AC CD (Quan h gia tớnh song song v vuụng gúc) hay

0
90C

A

==
(2)
============================================================
Giỏo viờn: T Th Thu Ngc- Trng THCS Bc Sn, Kin An
B
A
C
M
D
1
1
2
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Xét ∆ ABC và ∆ CDA có:
• AB = CD ( Theo (1))
•
0
90C
ˆ
A
ˆ
==
( Theo (2))
• AC là cạnh chung

⇒ ∆ ABC = ∆ CDA ( c – g – c)
⇒ BC = AD (2 cạnh tương ứng) Mà
AD
2
1
AM
=
⇒
BC
2
1
AM
=
4) Nhận xét:
Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh
BC
2
1
AM
=
ta đã vẽ thêm đoạn
thẳng MD sao cho MD = MA, do đó
AD
2
1
AM
=
. Như vậy chỉ còn phải chứng minh
AD = BC. Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác là
một trong những cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp bằng nhau của tam giác.

Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh
BAM và MAC ?( Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC.
Yêu cầu : So sánh BAM và MAC?
2) Hướng suy nghĩ:
Hai góc BAM và MAC không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một tam giác có
hai góc bằng hai góc BAM và MAC và liên quan đến AB, AC vì đã có AB < AC. Từ
đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA. Điểm D là yếu
tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này.
3) Lời giải:
GT
∆ABC; AB < AC
M là trung điểm BC
KL
So sánh BAM và MAC?
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
B
A
C
Đ
M
2
1
1
2
Mt s phng phỏp v thờm yu t ph trong gii toỏn Hỡnh hc lp 7
===========================================================
Trờn tia i ca tia MA ly im D sao cho: MD = MA.

Xột MAB v MDC ta cú:
MA = MD ( theo cỏch ly im D)
M
1
= M
2
( vỡ i nh)
MB = MC ( Theo gt)
MAB = MDC ( c - g - c)
AB = CD (2 cnh tng ng) (1)
v
D

A

1
=
(2 gúc tng ng). (2)
Ta cú: AB = CD ( Theo (1)), m AB < AC ( gt) CD < AC. (3)
Xột ACD cú:
CD < AC ( theo (3))

D

A

2
<
(Quan h gia gúc v cnh i din trong mt tam giỏc)
M

D

A

1
=
( theo (2))
12
A

A

<
hay BAM < MAC.
4) Nhận xét:
Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong
cùng một tam giác nên không vận dụng đợc định lí về quan hệ giữa góc và
cạnh đối diện trong một tam giác. Ta đã chuyển góc A
1
và A
2
về cùng một tam
giác bằng cách vẽ đờng phụ nh trong bài giải, lúc đó A
1
= D, ta chỉ còn phải so
sánh D và A
2
ở trong cùng một tam giác ADC.
CCH 3: NI HAI IM Cể SN TRONG HèNH HOC V THấM GIAO IM CA HAI
NG THNG.

Bi toỏn 5: Cho hỡnh v, bit AB // CD; AC // BD. CMR: AB = CD, AC = BD? ( Bi
38/ 124 SGK Toỏn 7 tp 1)
============================================================
Giỏo viờn: T Th Thu Ngc- Trng THCS Bc Sn, Kin An
B
A
C
D
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
( Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng song
song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD.
Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD.
2) Hướng suy nghĩ:
để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra tam giác chứa các cặp cạnh trên, yếu
tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D.
3) Chứng minh:
GT AB // CD; AC // BD
KL AB = CD; AC = BD
Xét ∆ ABD và ∆ DCA có:
• BAD = CDA ( so le trong AB // CD)
• AD là cạnh chung
• ADB = DAC( so le trong AC // BD)
⇒ ∆ ABD = ∆ DCA ( g – c – g)
⇒ AB = CD; AC = BD ( các cạnh tương ứng)
4) Nhận xét:
Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung là AD,
muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cầnm chứng minh ∆ ABD = ∆ DCA.

Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau( cạnh chung) nên chỉ cần chứng minh
hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được trường hợp bằng nhau góc – cạnh
– góc. Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chất của hai đường thẳng song
song.
CÁCH 4: TỪ MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC, VẼ MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG HAY VUÔNG
GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG.
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
B
A
C
D
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Bài toán 6: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba
góc bằng nhau.
Chứng minh rằng ∆ ABC là tam giác vuông và ∆ ABM là tam giác đều?
1) Phân tích bài toán:
Bài cho ∆ ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng
nhau. Yêu cầu ta chứng minh ∆ ABC là tam giác vuông và ∆ ABM là tam giác đều.
2)Hướng suy nghĩ:
Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông góc
với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy suy ra AB ⊥ AC
và suy ra A = 90
0
.
3) Chứng minh:
GT
∆ ABC; AH ⊥BC;
trung tuyến AM;

321
A
ˆ
A
ˆ
A
ˆ
==
KL
∆ ABC vuông ;
∆ ABM đều
Vẽ MI ⊥ AC ( I ∈ AC)
Xét ∆ MAI và ∆ MAH có:
•
0
90I
ˆ
H
ˆ
==
( gt)
• AM là cạnh chung) ⇒ ∆ MAI = ∆ MAH ( cạnh huyền – góc nhọn)
•
32
A
ˆ
A
ˆ
=
(gt) ⇒ MI = MH ( 2 cạnh tương ứng) (1)

Xét ∆ ABH và ∆ AMH có:
•
0
21
90H
ˆ
H
ˆ
==
( gt)
• AH là cạnh chung ⇒ ∆ ABHI = ∆ AMH ( g – c - g)
•
21
A
ˆ
A
ˆ
=
( gt) ⇒ BH = MH ( 2 cạnh tương ứng) (2)
Mặt khác: H ∈ BM , Từ (1) và (2) ⇒
CM
2
1
MICM
2
1
BM
2
1
MHBH

=⇒===
Xét ∆ vuông MIC có:
CM
2
1
MI
=
nên
0
30C
ˆ
=
từ đó suy ra: HAC = 60
0
.
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
I
A
B
C
H
M
1
2
3
2
1
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================

⇒
00
9060
2
3
HAC
2
3
BAC
===
.
Vậy ∆ ABC vuông tại A.
Vì
00
60B
ˆ
30C
ˆ
=⇒=
;
Lại có AM =
BC
2
1
MB
=
( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam
giác vuông)
∆ ABM cân và có 1 góc bằng 60
0

nên nó là tam giác đều.
4) Nhận xét:
Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất khó giải, tuy
nhiên, chỉ bằng một đường vẽ thêm ( MI ⊥ AC) thì bài toán lại trở lên rất dễ dàng, qua
đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học.
Bài toán 7: Cho tam giác ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông
góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E. Chứng
minh rằng: BD = CE.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho ∆ ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với tia
phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E.
Yêu cầu chứng minh: BD = CE.
2) Hướng suy nghĩ:
Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba,rồi chứng minh
chúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó. Đường phụ cần vẽ thêm là đường thẳng qua B và
song song với AC cắt DE ở F, BF chính là đoạn thẳng thứ ba đó.
3) Chứng minh:
GT
∆ABC;AB < AC;
BC
2
1
MCMB
==
AH là tia phân giác BAC
DE ⊥ AH ;
KL
BD = CE
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An

D
A
B
C
H
M
F
E
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Vẽ đường thẳng qua B và song song với AC, gọi F là giao điểm của đường thẳng này
với đường thẳng DE.
Xét ∆ MBF và ∆ MCE có:
MBF = MCE ( so le trong của BF // CE)
MB = MC ( gt)
BMF = CME ( đối đỉnh)
⇒ ∆ MBF = ∆ MCE (g – c – g)
⇒ BF = CE ( 2 cạnh tương ứng) (1)
Mặt khác ∆ ADE có AH ⊥ DE và AH cũng là tia phân giác của DAE ( gt)
Do đó: ∆ ADE cân tại A ⇒ BDF = AED
Mà BF // CE ( theo cách vẽ) ⇒ BFD = AED
Do đó: BDF = BFD
⇒ ∆ BDF cân tại B
⇒ BF = BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BD = CE
4) Nhận xét:
Cách vẽ đường phụ trong bài toán này nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng hai
đoạn thẳng cần chứng minh là bằng nhau, đây là cách rất hay sử dụng trong nhiều bài
toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng. Cách giải này cũng được
áp dụng để giải một số bài toán rất hay trong chương trình THCS.

5 cách vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm trong nhóm phương pháp chung gọi là phương
pháp “ Tam giác bằng nhau ”, sau đây ta sẽ nghiên cứu thêm một phương pháp mới
rất hay nhưng chưa được khai thác nhiều trong giải toán.
CÁCH 6: PHƯƠNG PHÁP “ TAM GIÁC ĐỀU”
Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào trong
hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận
lợi. Ta hãy xét một bài toán điển hình:
Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân tại A, A = 20
0
. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho
AD = BC. Chứng minh rằng DCA =
A
ˆ
2
1
.
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
1) Phân tích bài toán:
Bài cho ∆ABC cân tại A, A = 20
0
; AD = BC ( D ∈AB)
Yêu cầu chứng minh: DCA =
A
ˆ
2
1
.

2) Hướng suy nghĩ:
đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 20
0
,
suy ra góc ở đáy là 80
0
.
Ta thấy 80
0
– 20
0
= 60
0
là số đo mỗi góc của
tam giác đều ⇒ Vẽ tam giác đều BMC
3) Chứng minh:
GT
∆ABC; AB = AC; A = 20
0
AD = BC (D ∈AB)
KL DCA =
A
ˆ
2
1
.
Ta có: ∆ABC; AB = AC; A = 20
0
( gt)
Suy ra:

0
00
80
2
20180
C
ˆ
B
ˆ
=
−
==
Vẽ tam giác đều BCM ( M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC),
ta được: AD = BC = CM.
∆ MAB = ∆ MAC ( c - c - c) ⇒ MAB = MAC = 20
0
: 2 = 10
0
ABM = ACM = 80
0
– 60
0
= 20
0
Xét ∆CAD và ∆ACM có:
AD = CM ( chứng minh trên)
CAD = ACM ( = 20
0
)
AC là cạnh chung

⇒ ∆CAD = ∆ACM ( c – g – c )
⇒ DCA = MAC = 10
0
, do đó: DCA =
2
1
BAC.
4) Nhận xét:
1- đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 20
0
, suy ra góc ở đáy là 80
0
. Ta thấy
80
0
– 20
0
= 60
0
là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi ý cho ta vẽ
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
A
B
C
D
M
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC thì vẽ tam giác

đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các cạnh của tam giác đều
giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng.
2- Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác:
- Vẽ tam giác đều ABM ( M và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB).
- Vẽ tam giác đều ACM ( M và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AC).
- Vẽ tam giác đều ABM(M và C thuộc hai nửanửa mặt phẳng đối nhau bờ AC).
Ngoài ra còn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính được góc DCA dẫn
tới điều phải chứng minh, các cách khác còn tuỳ thuộc vào sự sáng tạo của mỗi người
và bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình học.
Bài toán 9: Cho tam giác ABC vuông tại A,
C
ˆ
= 15
0
. Trên tia BA lấy điểm O sao cho
BO = 2 AC. Chứng minh rằng tam giác OBC cân.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam giác ABC vuông tại A,
C
ˆ
= 15
0
. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2
AC.
Yêu cầu chứng minh ∆ OBC cân tại O.
2) Hướng suy nghĩ:
Ta thấy
C
ˆ
= 15

0
suy ra
A
ˆ
= 75
0
- 15
0
= 60
0
là số đo của mỗi góc trong tam giác đều ⇒
sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải bài toán.
3) Chứng minh:
GT
∆ABC;
A
ˆ
= 90
0
;
C
ˆ
= 15
0
O ∈ tia BA: BO = 2AC
KL
∆ OBC cân tại O.
Ta có: ∆ABC;
A
ˆ

= 90
0
;
C
ˆ
= 15
0
(gt)
⇒
B
ˆ
= 75
0
Vẽ tam giác đều BCM
( M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC)
Ta có: OBM = 15
0
Gọi H là trung điểm của OB thì ∆ HMB = ∆ ABC ( c – g – c)
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
O
B
H
A
C
M
M
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
⇒

A
ˆ
H
ˆ
=
= 90
0
⇒ ∆ MOB cân tại M ⇒ BMO = 150
0
⇒ CMO = 360
0
– ( 150
0
+ 60
0
) = 150
0
∆MOB = ∆MOC ( c – g – c) ⇒ OB = OC, vậy ∆ OBC cân tại O.
4) Nhận xét:
Trong bài toán trên ta đã sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải toán vì phát
hiện thấy
C
ˆ
= 15
0
suy ra
A
ˆ
= 75
0

- 15
0
= 60
0
là số đo của mỗi góc trong tam giác đều,
điều này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM như trên. Nhờ có các cạnh của tam giác
đều bằng nhau, các góc của tam giác đều là 60
0
, ta chứng minh được ∆ HMB = ∆ ABC
( c – g – c); ∆MOB = ∆MOC ( c – g – c) dẫn tới ∆ OBC cân tại O, đó chính là tác
dụng của “phương pháp tam giác đều”.
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An