SANG KIEN KINH NGHIEM CAC DANG TOAN CASIO

Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS

DẠY SỬ DỤNG MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ BỎ TÚI
GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG TOÁN Ở
TRƯỜNG THCS
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hiện nay đa số học sinh khi đến trường học đều trang bị cho mình một chiếc
máy tính điện tử bỏ túi để cho tiện trong việc tính toán khi làm bài tập. Song hầu hết
các em đều không biết vận dụng hiệu quả máy tính phục vụ cho tính toán, giải bài tập
toán nói riêng và các bài tập có liên quan đến tính toán khác nói chung.
Mặt khác trong chương trình cải cách sách giáo khoa mới lượng bài tập nhiều
và có rất nhiều bài tập cần phải sử dụng đến máy tính bỏ túi. Trong khi lý thuyết trình
bày trong một tiết dạy nhiều, phần lớn không được chứng minh mà công nhận là chủ
yếu, các thuật toán để giải một số dạng toán không được trình bày đầy đủ; trong sách
giáo khoa các nội dung về sử dụng máy tính điện tử bỏ túi thường chỉ được trình bày ở
phần “Bài đọc thêm”. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh khai thác được hết
tính năng của chiếc máy tính bỏ túi trong việc giải các bài toán đơn giản, các bài toán
có thuật toán, các bài toán có qui luật như dãy số, chuỗi ….
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy nếu trình bày cho các em các phương
pháp sử dụng máy tính cùng với thuật giải để giải nhanh một số dạng toán có trong
chương trình sẽ giúp cho học sinh hứng thú học tập hơn, tiếp cận tốt với chương trình
toán đổi mới một cách nhanh chóng hơn. Với ý tưởng như trên tôi xin nêu ra một giải
pháp “sử dụng máy tính điện tử bỏ túi giải nhanh một số dạng toán ở trường THCS”.

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Ngay từ khi chưa có toán, loài người đã biết sử dụng công cụ thô sơ (những
viên sỏi, sợi dây,...) để làm tính. Qua từng thời kỳ, mặc dù được coi là "làm việc chỉ
với cây bút chì và tờ giấy ", phương pháp giảng dạy và nghiên cứu toán học bao giờ
cũng kèm theo sự hỗ trợ của công cụ như hình vẽ, bàn tính,.... Tuy nhiên, chỉ với máy

tính, các công cụ hỗ trợ giảng dạy mới có tính năng động: khác với bảng số là bảng
tính cố định, máy tính có khả năng tính với độ chính xác cao với dữ kiện ban đầu tùy
ý. Để nâng cao chất lượng dạy và học, thầy và trò cần phải đổi mới phương pháp dạy
và học theo hướng tích cực, năng động và sử dụng một cách hiệu quả các thành tựu
công nghệ mới. Với máy tính điện tử và mạng Internet, toán học phổ thông có khả
năng tiếp cận tốt hơn tới toán học hiện đại. Vì vậy, vấn đề là:
- Làm thế nào để học sinh phổ thông có thể tiếp cận được với những thành tựu
mới, thậm chí mới nhất, của toán học hiện đại?
Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

1


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS
- Từ đây, phải chăng, sẽ hình thành một phong cách học tập mới mang đậm
tính chủ động, ham mê khám phá và sáng tạo?
Trong khi đó bài tập toán rất đa dạng và phong phú, việc giải nhanh các bài
toán sẽ giúp cho các em học sinh cảm thấy hiệu quả hơn trong quá trình học tập, đồng
thời nó trang bị cho học sinh một kỹ năng phân tích tìm ra thuật giải cho một công
việc. Đây là một nội dung rất quan trọng tạo cho các em hứng thú, cơ sở để tiếp cận
với nội dung Giải toán nhanh bằng máy tính điện tử khá phổ biến hiện nay trong
chương trình THCS. Đồng thời tạo tiền đề cho học sinh khi học cấp 3 hoặc bậc học
cao hơn trong các môn học về cấu trúc dữ liệu, lập trình - thuật giải ….
Đối với những bài toán có thể giải nhanh bằng máy tính điện tử nó sẽ giúp cho
học sinh biết định hướng được kết quả bài tập và tìm ra lời giải đúng, đồng thời nó
giúp cho học sinh kiểm tra lại kết quả các bài tập mình giải nhanh hơn, chính xác hơn.
Rộng hơn nữa các em có thể tự tìm tòi sáng tạo ra một tính chất, hệ quả nào đó hay
một qui luật toán học lý thú. Điều này sẽ giúp cho các em hứng thú hơn trong học tập,
tạo tiền đề cho những ý tưởng tìm kiếm những giải pháp ứng dụng toán học trong

cuộc sống sau này.
Do đó, sử dụng máy tính điện tử bỏ túi giải nhanh các bài toán sẽ giúp cho giáo
viên tiết kiệm được thời gian; giúp cho học sinh rèn luyện được khả năng tính toán
chính xác và lập luận lôgíc.

II. GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TOÁN BẰNG MÁY
TÍNH ĐIỆN TỬ BỎ TÚI
Nắm vững
thuật toán

(a)

Nhận dạng (b)
đúng bài toán

Giải theo thuật (c)
giải bằng MT

Kết quả

(a) Nếu bài toán chưa thấy ngay dạng thì cần phải phân tích biến đổi đưa về dạng
toán đã có sẵn thuật giải.
(b) Giải bằng chương trình cài đặt sẵn hoặc chương trình tự lập.
(c) Nhập dữ liệu và chạy chương trình giải (có cài đặt sẵn hoặc đã tự lập).
Ví dụ: Phân tích tam thức bậc hai F(x) = ax2 + bx + c thành nhân tử.
(a) Yêu cầu bài toán là phân tích đa thức thành nhân tử. Với bài toán này ta có thể
phân tích như sau:

Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

2


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS
Ta coù: F(x) = ax 2 + bx + c
2
2
 2 b
c
 2 b
 b   b  c
= a  x + x + ÷ = a x + x +  ÷ −  ÷ + 
a
a
a

 2a   2a  a 



2

b  b2 − 4ac 
= a  x + ÷ −

2a 
4a2 




2

b 
∆ 
2
Đặt ∆ = b − 4ac khi đó F(x) = a  x + ÷ − 2 
2a  4a 



Nếu ∆ < 0 thì F(x) > 0.Lúc đó F(x) không t hể phân tích thành nhân tử được.
2

b 

Nếu ∆ = 0 thì F(x) = a  x + ÷
2a 


b + ∆ 
b− ∆ 
Nếu ∆ > 0 thì F(x) = a  x +
÷ x +
÷
2a 
2a 

(b) Với phân tích trên thì chỉ cần xác định được ∆ ta sẽ phân tích được bài toán. Do
đó, chỉ cần cài đặt chương trình để tính ∆ trong máy tính ta sẽ giải được bài toán với

hệ số tùy ý.
(c) Thay giá trị của các hệ số vào chương trình đã cài đặt rồi so sánh với 0. Tùy vào
kết quả so sánh ta phân tích F(x) thành nhân tử theo các trường hợp ở bước (a).
Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức A = 6x2 + 7x + 2 thành nhân tử.
(Qui trình với máy Casio Fx 500 MS)
AÁn: ALPHA B x 2 − 4 ALPHA A ALPHA C =
(//Màn hình máy tính sẽ hiện biểu thức: B2 – 4AC)
Ấn tiếp: 6 SHIFT STO A 7 SHIFT STO B 2 SHIFT STO C
(//Gán các hệ số cho biểu thức)
Ấn tiếp: ∆ ∆ ∆ = (//Màn hình hiện kết quả 1)

7 + 1 
7− 1
2 
1

÷ x +
÷ = 6  x + ÷ x + ÷ = ( 3x + 2 ) ( 2x + 1)
Vậy ∆ > 0 nên: A = 6  x +
2.6 
2.6 
3 
2



III. CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1. Dạng 1:

Tìm ước chung lớn nhất – Tìm bội chung nhỏ nhất

(Chương trình Toán lớp 6)
1.1. Tìm “Ước chung lớn nhất” - Toán 6 – Tập 1.
Các bước giải
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.
Tích đó là ƯCLN.
Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

3


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS
Như vậy sau bài học này để tìm được ƯCLN của hai số học sinh phải thực hiện
đầy đủ cả ba bước trên. Điều này chỉ phù hợp khi các em luyện tập về cách tìm
ƯCLN, trong nhiều trường hợp việc tìm ƯCLN chỉ là một bước nhỏ trong bài giải
toán, nếu áp dụng cách trên sẽ làm mất rất nhiều thời gian. Do đó giáo viên có thể
trình bày cho các em các thuật toán sau đây để kết hợp với máy tính bỏ túi tìm nhanh
kết qủa:
 Thuật toán 1 (Thuật toán Euclide)
Cở sở thuật toán: Giả sử a = bq + c (c ≠ 0) thì ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,c).
Thuật toán: a = bq + r1

(0 < r1 < b)

b = r1q1 + r2

(0 < r2 < b)

r1 = r2q2 + r3

(0 < r3 < b)

……
rn-2 = rn-1qn-1 + rn

(0 < rn < b)

rn-1 = rnqn

(rn+1 = 0)

Thuaät toán kết thúc khi số dư rn+1 = 0.
Như vậy ÖCLN(a,b) = ÖCLN(b,r1) = ÖCLN(r1,r2) = … = ÖCLN(rn-1,rn) = rn.
Ví dụ minh họa 1.1.a: Tìm ƯCLN(7752;5472)
(Qui trình với máy Casio Fx 500 MS)
Ấn:

7752 ÷ 5472 =

Đáp số: 1,416666667

− 1 = x 5472 =

(số dư khác 0)

Đáp số: 2280

5472 ÷ 2280 =

Đáp số: 2,4

− 2 = x 2280 =

(số dư khác 0)

Đáp số: 912

2280 ÷ 912 =

Đáp số: 2,5

− 2 = x 912 =

(số dư khác 0)

Đáp số: 456

912 ÷ 456 =

Đáp số: 2

(số dư bằng 0)

Vì 2 là số nguyên (hay số dư rn+1 = 0 trong thuật toán) vậy ƯCLN(7752;5472) = 456.
 Thuật toán 2
Cở sở thuật toán: Nếu

a c
c
= và phân số
tối giản thì ƯCLN(a,b) = a:c (=b:d)
b d
d

Ví dụ 1.1.b: Tìm ƯCLN(7752;5472)
(Qui trình với máy Casio Fx 500 MS)
17
AÁn: 7752 a b / c 5472 = Đáp số:
12
7752 ÷ 17 =

Đáp số: 456

Vậy ƯCLN(7752;5472) = 456
1.2. Tìm “Bội chung nhỏ nhất” - Toán 6 – Tập 1.
Các bước giải
Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

4


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích
đó là BCNN.

Như vậy sau bài học này giáo viên có thể trình bày cho các em thuật toán sau
đây để kết hợp với máy tính bỏ túi tìm nhanh kết qủa:
Cở sở thuật toán: Muốn tìm BCNN(a,b) ta sử dụng công thức sau:
a.b
BCNN(a, b) =
ƯCLN(a, b)
Vì học sinh đã được biết cách tìm ƯCLN(a,b) nên việc tìm BCNN(a,b) trở nên
dễ dàng hơn với các em.
Ví dụ 1.2.: Tìm BCNN(7752;5472)
(Qui trình với máy Casio Fx 500 MS)
17
Ấn: 7752 a b / c 5472 =
Đáp số:
12
7752 ÷ 17 = SHIFT STO A
Đáp số: 456
(//Ta được: ƯCLN(7752;5472) = 456)
Ấn tiếp: 7752 x 5472 = ÷ ALPHA A =
Đáp số: 93024
Vậy BCNN(7752;5472) = 93024.
2. Dạng 2:

Liên phân số

(Chương trình Toán lớp 6)
Liên phân số (phân số liên tục) là một công cụ toán học hữu hiệu được các nhà
toán học sử dụng để giải nhiều bài toán khó.
Bài toán: Cho a, b (a>b)là hai số tự nhiên. Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b,
b
a

1
= a0 + 0 = a0 +
a
b
b
phân số có thể viết dưới dạng: b
b
b0

Vì b0 là phần dư của a khi chia cho b nên b > b 0. Lại tiếp tục biểu diễn phân số
b
b
1
= a1 + 1 = a1 +
b0
b0
b0
b1

Cứ

tiếp

tục

quá

b
a
= a0 + 0 = a0 +

b
b
a1 +

trình

1

1

...an −2 +

này

sẽ

kết

thúc

sau

n

bước

và

ta

được:

1 . Cách biểu diễn này gọi là cách biểu diễn số hữu tỉ
an

dưới dạng liên phân số. Mỗi số hữu tỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng liên phân
số, nó được viết gọn [ a0 ,a1 ,...,an ] . Số vô tỉ có thể biểu diễn dưới dạng liên phân số vô
hạn bằng cách xấp xỉ nó dưới dạng gần đúng bởi các số thập phân hữu hạn và biểu
diễn các số thập phân hữu hạn này qua liên phân số.

Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

5


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS
Vấn đề đặt ra: hãy biểu diễn liên phân số

a0 +

1
a1 +

1

a
1 về dạng b . Dạng
...an −1 +
an

toán này được gọi là tính giá trị của liên phân số. Với sự trợ giúp của máy tính ta có
thể tính một cách nhanh chóng dạng biểu diễn của liên phân số đó.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn lần lượt an −1 + 1 ab / c an = an−2 + 1 ab / c Ans = ...a0 + 1 a b/ c Ans =
Ví dụ 2.a: Tính giá trị của

A = 1+

1

2+

1

3+

1
2

-- Giải Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

23
16

b/ c
b/ c
b/ c
b/ c
Ấn các phím: 3 + 1 a 2 = 2 + 1 a Ans = 1 + 1 a Ans = SHIFT a ( )

Ví dụ 2.b: Biết

15
1
=
17 1 + 1

1 trong đó a và b là các số dương. Tính a,b?
a+
b

-- Giải --

15 1
1
1
1
=
=
=
=
17
2
1
1
17
1+
1+
1+

Ta có:
15
1 . Vậy a = 7, b = 2.
15
15
7+
2
2

Nhận xét:  Dạng toán tính giá trị của liên phân thuộc dạng toán kiểm tra
kỹ năng tính toán và thực hành. Trong thực hành, liên phân số có bị biến thể đi đôi
chút ví dụ như:

A = 2,35 +

8,2
6,21
2+
0,32 với dạng này thì nó lại thuộc dạng tính toán
3,12 +
2

giá trị biểu thức. Do đó cách tính trên máy tính cũng như đối với liên phân số (tính từ
dưới lên, có sử dụng biến nhớ Ans).
3. Dạng 3:

Số thập phân vô hạn tuần hoàn

(Chương trình Toán lớp 7)
Lý thuyết: “Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc

vô hạn tuần hoàn. Ngược lại, mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn biểu
diễn một số hữu tỉ”.
Như vậy những số thập phân vô hạn tuần hoàn như: 0,(31); 0,0(31), … sẽ có thể
biểu diễn được dưới dạng số hữu tỉ hay về dạng phân số. Giáo viên có thể dạy cho
học sinh biết cách biến đổi các số như vậy về dạng phân số bằng cách kết hợp thuật

Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

6


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS
toán và máy tính bỏ túi (nếu không sử dụng máy tính bỏ túi việc tính toán sẽ phức tạp
hơn rất nhiều lần) như sau:
1
1
1
= 0,(01);
= 0,(001); ...
Nhận xét: Dùng máy tính bỏ túi ta tính được = 0,(1);
9
99
999
Như vậy với các số sau dấu phẩy là chu kỳ ta đều có thể viết được về dạng phân số
31
541
có mẫu là 9; 99; 999; …. Chẳng hạn như: 0,(31) =
; 0,(541) =
; ….

99
999
Ví dụ 3a: Đổi số thập phân 1,5(42) ra phân số.
15 1 42 15 42
+ . =
+
Ta biến đổi như sau: 1,5(42) = 1,5 + 0,1.0,(42) =
10 10 99 10 990
509
Dùng máy tính để tính: 15 ab / c 10 + 42 a b / c 990 = Đáp số:
330
509
Vậy 1,5(42) =
330
4. Dạng 4: Lãi kép – Niên khoản
(Chương trình Toán lớp 7)
Bài toán mở đầu: Gởi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng
là r% trong n tháng. Tính cả vốn lẫn lãi A sau n tháng?
-- Giải -Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có:
Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r)
Thaùng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2
…………………
Thaùng n (n = n): A = a(1 + r)n – 1 + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n
Vaäy A = a(1 + r)n

(*)

Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn
lãi sau n tháng.
Từ công thức (*) A = a(1 + a)n ta tính được các đại lượng khác như sau:

A
Ar
a(1 + r) (1 + r)n − 1
A

 ; 4) a =
n
− 1 ; 3) A =
a ; 2) r =
1) n =
(1 + r) (1 + r)n − 1
a


r
ln(1 + r)
ln

(ln trong công thức 1 là Lôgarit Nêpe, trên máy fx-500 MS và fx-570 MS phím ln ấn
trực tiếp)
Ví dụ 4.1: Một số tiền 58.000.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7% tháng. Tính
cả vốn lẫn lãi sau 8 tháng?
-- Giải -Ta có: A = 58000000(1 + 0,7%)8
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
58000000 ( 1 + . 007 ) ^ 8 =

Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

Kết quả: 61 328 699, 87

7


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS
Ví dụ 4.2: Một người có 58 000 000đ muốn gởi vào ngân hàng để được 70 021
000đ. Hỏi phải gởi tiết kiệm bao lâu với lãi suất là 0,7% tháng?
-- Giải -70021000
Số tháng tối thiểu phải gửi là: n = 58000000
ln ( 1 + 0, 7%)
ln

Qui trình ấn máy (fx-500MS vaø fx-570 MS)
ln 70021000 a b / c 58000000 ÷ ln ( 1 + . 007 ) =

Kết quả: 27,0015 tháng
Vậy tối thiểu phải gửi là 27 tháng.
(Chú ý: Nếu không cho phép làm tròn, thì ứng với kết quả trên số tháng tối thiểu là
28 tháng)
Ví dụ 4.3: Số tiền 58 000 000đ gởi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được 61
329 000đ. Tìm lãi suất hàng tháng?
-- Giải -Lãi suất hàng tháng: r = 8

61329000
−1
58000000

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
8^

x

Kết quả: 0,7%

61329000 a b / c 58000000 − 1 = SHIFT % =

Ví dụ 4.4: Mỗi tháng gửi tiết kiệm 580 000đ với lãi suất 0,7% tháng. Hỏi sau 10
tháng thì lãnh về cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
--Giải-Số tiền lãnh cả gốc lẫn lãi:
A=

580000(1 + 0,007) (1 + 0,007)10 − 1


0,007

=

580000.1,007. ( 1,00710 − 1)
0,007

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
580000 × 1 . 007 ( 1 . 007 ^ 10 − 1 ) = ÷ . 007 =

Kết quả: 6028055,598
Ví dụ 4.5: Muốn có 100 000 000đ sau 10 tháng thì phải gửi quỹ tiết kiệm là bao
nhiêu mỗi tháng. Với lãi suất gửi là 0,6%?
-- Giải -Số tiền gửi hàng tháng:

a=

100000000.0,006
100000000.0,006
=
10
10
( 1 + 0,006 ) ( 1 + 0,006 ) − 1 1,006 ( 1,006 − 1)



Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
100000000 × 1 . 006 ÷ ( 1 . 006 ( 1 . 006 ^ 10 − 1 ) ) =

Kết quả: 9674911,478
Nhận xét:  Cần phân biệt rõ cách gửi tiền tiết kiệm:
Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

8


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS
+ Gửi số tiền a một lần -----> lấy cả vốn lẫn lãi A.
+ Gửi hàng tháng số tiền a -----> lấy cả vốn lẫn lãi A.
 Cần phân tích các bài toán một cách hợp lý để được các khoảng tính đúng
đắn.
 Có thể suy luận để tìm ra các công thức từ 1) -> 4) tương tự như bài toán mở
đầu
 Các bài toán về dân số cũng có thể áp dụng các công thức trên đây.
5. Dạng 5:

Đa thức

(Chương trình Toán lớp 7 và 8)
5.1. Tính giá trị của đa thức
Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x0, y = y0; …
Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức
để tính.
Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)
n
n −1
Viết P(x) = a0 x + a1x + ... + an dưới dạng P(x) = (...(a0 x + a1 )x + a2 )x + ...)x + a n
Vaäy P(x 0 ) = (...(a0 x 0 + a1 )x 0 + a2 )x 0 + ...)x 0 + an . Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2;
…; bn = bn-1x0 + an. Suy ra: P(x0) = bn.
Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1.
Giải trên máy:
- Gán giá x0 vào biến nhớm M.
- Thực hiện dãy laëp: bk-1 ALPHA M + ak
3x 5 − 2x 4 + 3x 2 − x
khi x = 1,8165
4x 3 − x2 + 3x + 5
Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans

Ví dụ 5.1.a: Tính A =

n phím: 1 . 8165 =
( 3 Ans ^ 5 − 2 Ans ^ 4 + 3 Ans x 2 − Ans + 1 ) ÷ ( 4 Ans ^ 3 − Ans x 2 + 3 Ans + 5 ) =

Kết quả: 1.498465582
Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X

n phím: 1 . 8165 SHIFT STO X

( 3 ALPHA X ^ 5 − 2 ALPHA X ^ 4 + 3 ALPHA X x 2 − ALPHA X + 1 ) ÷ ( 4 ALPHA X ^ 3 − A

Kết quả: 1.498465582
Chú ý:
 Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy fx220 và fx-500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng phương pháp
tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể thế các giá
trị của biến x nhanh bằng cách bấm CALC , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị
của biến x ấn phím là = xong. Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán
giá trị x0 vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị.
Ví dụ 5.1.b: Tính A =
865,321
Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

3x 5 − 2x 4 + 3x 2 − x
khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x =
4x 3 − x 2 + 3x + 5

9


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS
Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x 1 = - 0,235678 vào biến nhớ X:

( −) . 235678

SHIFT STO X

Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím = là
xong.
5.2. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r,
b
a

b
a

trong đó r là một số (không chứa biến x). Thế x = − ta được P( − ) = r.
Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P(

b
− ), lúc này dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1.
a
x14 − x9 − x 5 + x 4 + x 2 + x − 723
Ví dụ 5.2: Tìm số dư trong phép chia:P=
x − 1,624

Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 1 . 624 SHIFT STO X
ALPHA X ^ 14 − ALPHA X ^ 9 − ALPHA X ^ 5 + ALPHA X ^ 4 + ALPHA X ^ 2
+ ALPHA X − 723 =

Kết quả: r = 85,92136979
5.3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r.
b

a

Muốn P(x) chia hết cho x – a thì m + r = 0 hay m = -r = - P( − ). Như vậy bài toán trở
về dạng toán 5.1.
Ví dụ 5.3: Xác định tham số
5.3.1. Tìm a để x 4 + 7x3 + 2x 2 + 13x + a chia heát cho x+6.
- Giải 3
Số dư a = − (−6) + 7(−6) + 2 ( −6 ) + 13 ( −6 ) 


2

4

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: ( −) 6 SHIFT STO X
( −) ( ALPHA X ^ 4 + 7 ALPHA X x 3 + 2 ALPHA X x 2 + 13 ALPHA X )

=

Keát quaû: a = -222
5.2.2. Cho P(x) = 3x + 17x – 625. Tính a để P(x) + a chia hết cho x + 3?
-- Giải –
3

2

3
Số dư a2 = - 3 ( −3 ) + 17 ( −3 ) − 625 => a = ± − 3 ( −3) + 17 ( −3) − 625





Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
3

(−) ( 3 ( (−) 3 ) x3 + 17 ( (−) 3 ) − 625 ) =

Kết quả: a = ± 27,51363298
Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

10


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS
Chú ý: Để ý ta thấy rằng P(x) = 3x 3 + 17x – 625 = (3x 2 – 9x + 44)(x+3) – 757. Vậy để
P(x) chia hết cho (x + 3) thì a2 = 757 => a = 27,51363298 và a = - 27,51363298
5.4. Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho đơn thức
Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta sẽ được thương
là một đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 và số dư r. Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 =
(b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c). Ta laïi có công thức
truy hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3.
Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi
chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát.
Ví dụ 5.4: Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5.
-- Giaûi -Ta coù: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 1.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
(−) 5 SHIFT STO M 1 × ALPHA M + 0 = (-5) × ALPHA M − 2 = (23)
× ALPHA M + (−) 3 = (-118) × ALPHA M + 0 = (590) × ALPHA M + 0 = (-2950)

× ALPHA M + 1 = (14751) × ALPHA M + (−) 1 = (-73756)

Vaäy x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 = (x + 5)(x 6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751)
– 73756.
5.5. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức
Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c:
P(x)=r0+r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n.
Ví dụ 5.5: Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3.
-- Giải -Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q1(x) và
r0. Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau:
1 -3 0 1 -2 x4-3x2+x-2
3 1 0 0 1 1 q1(x)=x3+1, r0 = 1
3 1 3 9 28
q2(x)=x3+3x+1, r1 =
28
3 1 6 27
q3(x)=x+6, r0 = 27
3 1 9
q4(x)=1=a0, r0 = 9
4
3
2
Vaäy x – 3x + x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3) + 9(x-3)3 + (x-3)4.
5.6. Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa thức
Nếu trong phân tích P(x) = r 0 + r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n ta có ri ≥ 0 với mọi i
= 0, 1, …, n thì mọi nghiệm thực của P(x) đều không lớn hơn c.
Ví dụ 5.6: Cận trên của các nghiệm dương của đa thức x 4 – 3x3 + x – 2 là c = 3.
(Đa thức có hai nghiệm thực gần đúng là 2,962980452 và -0,9061277259)
Nhận xét:  Vận dụng linh hoạt các phương pháp giải kết hợp với máy tính có thể
giải được rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không được

hoặc sử dụng công thức Cardano quá phức tạp. Do đó nếu sử dụng tốt các dạng toán
trên sẽ giúp cho người dạy và người học có thêm một công cụ hữu ích để va giải
những bài toán đa thức phức tạp.
Ví dụ minh họa vận dụng trong chương trình toán THCS:
Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

11


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS
Ví dụ 5: Khi dạy bài “§2. Giá trị của một biểu thức đại số” - Toán 7 – Tập 2.
Sách giáo khoa trình bày cách tính như sau: “Để tính giá trị của một biểu thức
đại số tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay các giá trị cho trước đó vào
biểu thức rồi thực hiện các phép tính”.
Hầu hết các em học sinh đều làm được việc thay các giá trị cho trước vào biểu
thức nhưng việc tính toán thì các em lại gặp rất nhiều khó khăn. Do đó, giáo viên có
thể hướng dẫn cho các em cách tính trên máy tính bỏ túi như sau:
- Thay các biến x, y, … bởi các biến nhớ X, Y, … của máy tính. Gán các giá trị
cho trước của biến vào biến nhớ đã thay.
- Nhập lại toàn bộ biểu thức vào máy tính với biến mới rồi thực hiện tính.
Ví dụ 5a: Tính giá trị của biểu thức A(x) = 5x 5 + 3x3 – 2x2 + 125
tại x = 1,52; 5,236
(Qui trình trên máy Casio FX 500MS)
Ấn: 1,52 SHIFT STO X (//Gán giá trị cho biến nhớ X của máy tính)
Ấn tiếp: 5 ALPHA X ^ 5 + 3 ALPHA X x 3 − 2 ALPHA X x 2 + 125 =
ĐS:171,48303
(//Màn hình máy tính hiện: 5X^5+3X3-2X2+125 gần giống như biểu thức đã cho)
Ấn tiếp: 5,236 SHIFT STO X ∆ =

Đáp số: 20178,2361

Như vậy chỉ cần một lần nhập biểu thức nhưng có thể tính với nhiều giá trị
khác nhau của biến x, nó rất thích hợp cho những dạng bài tính toán giá trị biểu thức
tại nhiều giá trị của biến. Ví dụ như: Hãy điền vào bảng sau:
x

5

1
2

0,0(25)

1,856

8

A(x)
Ví dụ 5b: Tính giá trị của biểu thức P(x,y) = 8x5y3+ 3x3y tại x = 1,52; y = 3.
(Qui trình trên máy Casio FX 500MS)
Ấn:

1,52 SHIFT STO X
3 SHIFT STO Y

(//Gán giá trị cho biến nhớ X, Y của máy tính)

Ấn tiếp: 8 ALPHA X ^ 5 ALPHA Y x 3 + 3 ALPHA X x 3 ALPHA Y =
ĐS:1784,16

(//Màn hình máy tính hiện:8X^5Y3+3X3Y gần giống như biểu thức đã cho)
Ví dụ 5c: Tìm số a để đa thức 2x3 – 3x2 + x + a chia heát cho x + 2. – Bài tập 74
– Tr32 – Toán 8 – Tập 1.
Thuật toán: Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được
P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r (với r là số dư). Muốn P(x) + m chia hết cho ax + b thì m + r
Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

12


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS
b
a

= 0 hay m = -r = - P( − ). Như vậy bài toán trở về dạng tính giá trị của biểu thức P(x)
tại x = −

b
mà học sinh đã biết.
a

(Qui trình trên máy Casio FX 500MS)
Ấn: −2 SHIFT STO X

(//Gán giá trị cho biến nhớ X của máy tính)

Ấn tiếp: 2 ALPHA X x 3 − 3 ALPHA X x 2 + ALPHA X = Đáp số: -30
Vậy số a = 30 hay đa thức 2x3 – 3x2 + x + 30 chia heát cho x + 2.
6. Dạng 6:

Thống kê một biến

(Chương trình toán lớp 7)
Khi dạy xong Chương III: Thống kê - Toán 7 – Tập 2. Ở tiết 48 (luyện tập) và
tiết 49 (Ôn tập chương III) giáo viên dạy cho học sinh sử dụng chương trình thống kê
một biến đã được cài sẵn trong máy để tính tần số, số các giá trị, giá trị trung bình
cộng, tần suất, ….
Ví dụ 6: Một vận động viên bắn súng, có số điểm mỗi lần bắn và số lần bắn
theo bảng sau:
Điểm số

10

9

8

7

6

Số lần bắn

25

42

14

15

4

Hãy tính x; ∑ x; n ?
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
MODE MODE 2
10 SHIFT ; 25 DT
9 SHIFT ; 42 DT

………………
6 SHIFT ; 4 DT

Đọc các số liệu
SHIFT S.VAR 1 =
AC SHIFT S.SUM 2 =
AC SHIFT S.SUM 3 =

7. Daïng 7:

( x = 8,69)
( ∑ x = 869 )
( n = 100 )

Phương trình và Hệ phương trình

(Chương trình toán lớp 8 và 9)
Sau các bài học về giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (bằng phương pháp thế
và cộng đại số) của chương trình đại số 9. Ở hai tiết luyện tập 38, 39 giáo viên có thể
hướng dẫn cho học sinh cách sử dụng chương trình cài sẵn trong máy tính để giải hệ

phương trình, nó sẽ giúp cho học sinh kiểm tra lại kết quả bài giải của mình trong
Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

13


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS
phần luyện tập và giúp cho học sinh giải nhanh hơn khi học bài “Giải bài toán bằng
cách lập hệ phương trình”.
Giải theo chương trình cài sẵn trên máy Casio FX 500MS
Ấn MODE MODE 1 2 nhập các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2 vào máy, sau mỗi
lần nhập hệ số ấn phím = giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính.
83249x + 16751y = 108249

x

Ví dụ 7a: Nếu x, y thỏa mãn hệ phương trình 16751x + 83249y = 41715 thì y


bằng (chọn một trong 5 đáp số)
A.1
B.2
C.3
-- Giải –
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím:

D.4

E.5

MODE MODE 1 2 83249 = 16751 = 108249 = 16751 = 83249 = 41751 = (1, 25) = (0, 25)

Ấn tiếp: MODE 1 1 . 25 a b/ c 0 . 25 = (5)
Vaäy đáp số E là đúng.
Chú ý: Nếu hệ phương trình vô nghiệm hoặc vô định thì máy tính sẽ báo lỗi Math
ERROR.
Ví dụ 7.b: Khi dạy bài “§4. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai” Toán 9 – Tập 2 – trang 43.
Ở tiết luyện tập 54 giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh cách sử dụng
chương trình cài sẵn trong máy tính để giải phương trình bậc hai, nó sẽ giúp cho học
sinh kiểm tra lại kết quả bài giải của mình trong phần luyện tập và giúp cho học sinh
giải nhanh hơn khi học các bài tiếp theo và bài “Giải bài toán bằng cách lập phương
trình”.
Giải theo chương trình cài sẵn trên máy Casio FX 500MS
Ấn MODE MODE 1 > 2 nhập các hệ số a, b, c vào máy, sau mỗi lần nhập hệ
số ấn phím = giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính.
Ví dụ 9a: Giải phương trình: 1,85432x2 – 3,21458x – 2,45971 = 0
-- Giải -Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
MODE MODE 1 > 2
1 . 85432 =

( − ) 3 . 321458

=

(−) 2

. 45971 = ( x1 = 2.308233881 ) = ( x2 = -0.574671173 )

Chú ý: Khi giải bằng chương trình cài sẵn trên máy nếu ở góc trái màn hình máy hiện
R ⇔ I thì nghiệm đó là nghiệm phức, trong chương trình Trung học cơ sở nghiệm
này chưa được học do đó không trìn bày nghiệm này trong bài giải. Nếu có một
nghiệm thực thì phương trình có nghiệm kép, cả hai nghiệm đều là nghiệm phức coi
như phương trình đó là vô nghiệm.
8. Dạng 8:

Máy tính điện tử trợ giúp giải toán

Với máy tính điện tử, xuất hiện một dạng toán mới: kết hợp hữu cơ giữa suy
luận toán học với tính toán trên máy tính điện tử. Có những bài toán khó không những
Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

14


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS
chỉ đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết đồng dư, chia hết, …) và sáng
tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà trong quá trình giải còn phải xét và
loại trừ nhiều trường hợp. Nếu không dùng máy tính thì thời gian làm bài sẽ rất lâu.
Như vậy máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài, do đó muốn giải tốt các dạng
toán này cần thiết phải kết hợp với máy tính điện tử. (Trích lời dẫn của Tạ Duy
Phượng - Viện toán học).
Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 8.1: Tìm tất cả các số tự nhiên n (1010 ≤ n ≤ 2010) sao cho
an = 20203 + 21n cuõng là số tự nhiên.
-- Giải -Vì 1010 ≤ n ≤ 2010 neân 203,5 ≈ 41413 ≤ an ≤ 62413 ≈ 249,82.
Vì an nguyên nên 204 ≤ n ≤ 249. Ta coù an2 = 20203 + 21n = 21.962 + 1 + 21n.
Suy ra: an2 – 1 = 21(962+n), hay (an - 1)(an + 1) = 3.7.(962+n).

2
Do đó, an − 1 = ( an − 1) ( an + 1) chia hết cho 7.
Chứng tỏ (an - 1) hoặc (an + 1) chia hết cho 7. Vậy an = 7k + 1 hoặc an = 7k – 1.
* Nếu an = 7k – 1 thi do 204 ≤ n =7k-1 ≤ 249 => 29,42 ≤ k ≤ 35,7. Do k nguyeân nên
k = { 30;31;32;33;34;35} . Vì a2 − 1 = 7k(7k − 2) chia hết cho 21 nên k chỉ là: 30; 32; 33;
n
35. Ta có:
k
30
32
33
35
n
1118 1406 1557 1873
an
209 223 230 244
* Neáu an = 7k + 1 thi do 204 ≤ n =7k-1 ≤ 249 => 29,14 ≤ k ≤ 35,57. Do k nguyeân neân
k = { 30;31;32;33;34;35} . Vì a2 − 1 = 7k(7k + 2) chia hết cho 21 nên k chỉ là: 30; 31; 33;
n
34. Ta có:
k
n
an

30
1118
209

32
1406

223

33
1557
230

35
1873
244

Như vậy ta có tất cả 8 đáp số.
Ví dụ 8.2: Tính A = 999 999 9993
-- Giải -Ta có: 93=729; 993= 970299; 9993=997002999; 99993= 99992.9999=99992(1000-1)=
999700029999.
99...93 = 99...9 7 00...0 2 99...9
23
Từ đó ta có quy luật: 1chữ số 9 n{ số n{ số { số 9
−1 chữ
−1 chữ
n chữ
n

Vậy 999 999 9993 = 999 999 997 000 000 002 999 999 999.
9. Dạng 9:

Dãy truy hồi

(Chương trình toán lớp 7 và 9)
9.1. Dãy Fibonacci
9.1.1. Bài toán mở đầu : Giả sử thỏ đẻ theo quy luật sau: Một đôi thỏ cứ mỗi

tháng để được một đôi thỏ con, mỗi đôi thỏ con cứ sau 2 tháng lai sinh ra một đôi thỏ
Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

15


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS
nữa, rồi sau mỗi tháng lại sinh ra một đôi thỏ con khác v.v… và giả sử tất cả các con
thỏ đều sống.
Hỏi nếu có một đôi thỏ con nuôi từ tháng giêng đến tháng 2 thì đẻ đôi thỏ đầu
tiên thì đến cuối năm có bao nhiêu đôi thỏ?
-- Giải -- Tháng 1 (giêng) có một đôi thỏ số 1.
- Tháng 2 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 2. Vậy có 2 đôi thỏ trong tháng 2.
- Tháng 3 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 3, đôi thỏ số 2 chưa đẻ được. Vậy có 2 đôi thỏ
trong tháng 3.
- Tháng 4 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 4.1, đôi thỏ số 2 để đôi thỏ số 4.2, đôi thỏ số 3
chưa đẻ. Vậy trong tháng 4 có 5 đôi thỏ.
Tương tự ta có tháng 5 có 8 đôi thỏ, tháng 6 có 13 đôi thỏ, …
Như vậy ta có dãy số sau: (ban đầu)1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233 (tháng
12)
Đây là một dãy số có quy luật: Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ ba bằng tổng hai số
hạng trước đó.
Nếu gọi số thỏ ban đầu là u1; số thỏ tháng thứ n là un thì ta có công thức:
u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1
(với n ≥ 2)
Dãy { un } có quy luật như trên là dãy Fibonacci. un gọi là số (hạng) Fibonacci.
9.1.2. Công thức tổng quát của số Fibonacci: Nhờ truy hồi ta chứng minh được
số hạng thứ n của dãy Fibonacci được tính theo công thức sau:
n

n
1  1 + 5   1 − 5  

un =
÷ −
÷  (*)
5  2 ÷  2 ÷ 
 
 


Chứng minh

1  1 + 5   1 − 5  

÷− 
÷ = 1 ; Với n = 2 thì
5  2 ÷  2 ÷
 


2
2
1  1 + 5   1 − 5  

u1 =
÷ −
÷  =1;
5  2 ÷  2 ÷ 
 

 

3
3
1  1 + 5   1 − 5  

÷ −
÷  = 2;
Với n = 3 thì u1 =
5  2 ÷  2 ÷ 

 
 

Giả sử công thức đúng tới n ≤ k. Khi ấy với n = k + 1 ta có:

Với n = 1 thì u1 =

k
k
k −1
k −1
1− 5  
1  1 + 5   1 − 5   1  1 + 5 


u k +1 = u k + u k −1 =
÷ −
÷ +
÷ −

÷ 

÷

÷

÷
5  2 ÷  2  
5  2 


 2  




k
k
1  1 + 5  
2   1− 5  
2 

=
÷ 1 +
÷ 1 +
÷− 
÷
5  2 ÷  1 + 5   2 ÷  1 − 5  







Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

16


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS
k
k
1  1 + 5   3 + 5   1 − 5   3 − 5  

=
÷
÷− 
÷
÷
5  2 ÷  1 + 5 ÷  2 ÷  1 − 5 ÷
 
 
 


k +1
k +1
 1− 5  
1  1 + 5 



=
÷ −
 2 ÷ 
÷
5  2 ÷


 


Theo nguyên lý quy nạp công thức (*) đã được chứng minh.
9.1.3. Tính các số hạng của dãy Fibonacci trên máy tính điện tử
9.1.3.1. Tính theo công thức tổng quát
n
n
1  1 + 5   1 − 5  

÷ −
÷  . Trong công thức
Ta có công thưc tổng quát của dãy: un =
5  2 ÷  2 ÷ 
 
 


tổng quát số hạng un phụ thuộc n, vì n thay đổi nên ta dùng biến nhớ Ans để thay giá
trị n trong phép tính.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

Ấn các phím: 1 =
1 ab / c

5( ( (1+

5 ) ÷ 2 ) ) ^ Ans − ( ( 1 −

5 ) ÷ 2 ) ) ^ Ans ) =

Muốn tính n = 10 ta ấn 10 = , rồi dùng phím ∆ một lần để chọn lại biểu thức vừa
nhập ấn =
9.1.3.2. Tính theo dãy
Ta có dãy Fibonacci: u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1
(với n ≥ 2)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
1 SHIFT STO A
Ấn các phím:
----> gán u2 = 1 vào biến
nhớ A
+ 1 SHIFT STO B
----> lấy u2+ u1 = u3 gán vào B
Lặp lại các phím: + ALPHA A SHIFT STO A
----> lấy u3+ u2 = u4 gán vào A
+ ALPHA B SHIFT STO B
----> lấy u4+ u3 = u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta ∆ một lần và = , cứ liên tục như vậy n – 5 lần.

Ví dụ: Tính số hạng thứ 8 của dãy Fibonacci?
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 1 SHIFT STO A + 1 SHIFT STO B + ALPHA A SHIFT STO A

+ ALPHA B SHIFT STO B ∆ = ∆ = ∆ = (21)
Chú ý:  Có nhiều qui trình ấn phím để tính số hạng u n của dãy nhưng qui trình trên
đây là qui trình tối ưu nhất vì số phím ấn ít nhất. Đối với máy fx-500 MS thì ấn ∆ = ,
đối với máy fx-570 MS có thể ấn ∆ = hoặc ấn thêm ∆ SHIFT COPY = để tính các
số hạng từ thứ 6 trở đi.
9.4. Dãy Lucas
Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un-1(với n ≥ 2. a, b là hai số tùy ý nào
đó)
Thực hiện: Nguyễn Taán Phong

17


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS
Nhận xét: Dãy Lucas là dãy tổng quát của dãy Fibonacci, với a = b = 1 thì dãy Lucas
trở thành dãy Fibonacci.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
b SHIFT STO A
Ấn các phím:
----> gán u2 = b vào biến nhớ A
+ a SHIFT STO B ----> lấy u2+ u1 = u3 (u3 = b+a) gán vào B
Lặp lại các phím: + ALPHA A SHIFT STO A
----> lấy u3+ u2 = u4 gán vào A
+ ALPHA B SHIFT STO B
----> lấy u4+ u3 = u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta ∆ một lần và = , cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Chú ý: Các qui trình ấn phím trên đây là qui trình ấn phím tối ưu nhất (thao tác
ít nhất) xong có nhiều dạng (thường dạng phi tuyến tính) thì áp dụng qui trình trên
nếu không cẩn thận sẽ dẫn đến nhầm lẫn hoặc sai xót thứ tự các số hạng. Do đó, ta có

thể sử dụng qui trình ấn phím theo kiểu diễn giải theo nội dung dãy số để tránh nhầm
lẫn, vấn đề này không ảnh hưởng gì đến đánh giá kết quả bài giải.
2
2
Ví dụ: Cho u1 = a, u2 = b, u n +1 = Aun + Bun −1 (với n ≥ 2).
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
a SHIFT STO A
Ấn các phím:
----> gán u1 = a vào biến nhớ A
b SHIFT STO B
----> Tính u2 = b gán vào B
Lặp lại các phím:
A ALPHA B x2 + B ALPHA A x2 SHIFT STO A --> Tính u3 gán vào A
A ALPHA A x2 + B ALPHA B x2 SHIFT STO B

--> Tính u4 gán vào B

Bây giờ muốn tính un ta ∆ một lần và = , cứ liên tục như vậy n – 4 lần.
Nhận xét:  Lập qui trình theo kiểu này thì tất cả dạng toán đều làm được, rất ít
nhầm lẫn nhưng tính tối ưu không cao.
 Nhờ vào máy tính để tính các số hạng của dãy truy hồi ta có thể phát
hiện ra quy luật của dãy số (tính tuần hoàn, tính bị chặn, tính chia hết, số chính
phương, …) hoặc giúp chúng ta lập được công thức truy hồi của dãy các dãy số.
 Đây là dạng toán thể hiện rõ nét việc vận dụng máy tính điện tử
trong học toán theo hướng đổi mới hiện nay. Trong hầu hết các kỳ thi tỉnh, thi khu vực
đều có dạng toán này.
10. Dạng 10: Phương trình sai phân bậc hai
Phương trình sai phân là một trong những dạng toán khó và phức tạp, nó không
được nhắc đến trong các sách giáo khoa phổ thông hiện tại (cả sách cấp 2 và cấp 3)
mà chỉ được nguyên cứu trong các trường đại học, cao đẳng. Đối với toán phổ thông

chỉ được viết dưới dạng các bài toán thực tế như lý thuyết dãy, lãi kép – niên khoản,
cấp số …. Trong phần này chỉ trình bày các kiến thức cơ bản và đơn giản nhất về
phương trình sai phân bậc hai thường gặp ở bậc THCS.
Định nghóa: Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc hai với hệ số là
hằng số có dạng: ax n +2 + bx n +1 + cx n = 0 (*); với n = 0;1;2;... trong đó a ≠ 0; b, c là hằng
số.
Nghiệm tổng quát:

Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

18


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS
b
• Nếu c = 0 thì phương trình (*) có daïng: ax n +2 + bx n +1 = 0 ⇔ x n +2 = − x n +1 = λx n +1 có
a
n
nghiệm tổng quát x n+1 = λ x1 .
• Nếu phương trình (*) có phương trình đặc trưng là aλ 2 + bλ + c = 0 có hai nghiệm
λ1 , λ 2 thì việc tìm nghiệm dựa vào các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1: Giả sử hai nghiệm của phương trình đặc trưng là phân biệt ( λ1 ≠ λ 2 ) khi

ấy phương trình (*) có nghiệm tổng quát là: x n = C1λ 1 + C2 λ 2 trong đó C1, C2 là những
số bất kỳ gọi là hằng số tự do và được xác định theo điều kiện ban đầu x 0, x1.
Ví
dụ
10.1:
Tìm

nghiệm
của
phương
trình
sai
phân:
u 0 = 7; u1 = −6; un + 2 = 3u n +1 + 28un .
-- Giải -Phương trình đặc trưng λ 2 -3λ − 28 = 0 có hai nghiệm λ1 = −4; λ 2 = 7 . Vậy nghiệm tổng
n
n
quát có dạng: un = C1 (-4) + C2 7 .
Với n = 0 ta có: C1 + C2 = 7(= x 0 )
Với n = 1 ta có: -4.C1 + 7C2 = −6(= x1 )
n

n

C1 + C2 = 7
C1 = 5
=> 
-4.C1 + 7C2 = −6
 C2 = 2

Giải hệ 

n
n
Vậy nghiệm tổng quát phương trình có dạng: un = 5.(-4) + 2.7

Mệnh đề 2: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép λ1 = λ 2 = −

b
thì nghiệm
a

tổng quát của phương trình (*) có dạng: x n = C1λ 1 + C2 nλ 1 = ( C1 + C2 n ) λ 1 trong đó C1,
C2 là hằng số tự do và được xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1.
Ví dụ 10.2: Tìm nghiệm phương trình sai phân: u0 = −1; u1 = 2; u n +2 = 10un +1 − 25un .
-- Giaûi -Phương trình đặc trưng λ 2 -10λ + 25 = 0 có hai nghiệm λ1 = λ 2 = 5 . Vậy nghiệm tổng
n
quát có dạng: un = (C1 + C2 n)5 .
Với n = 0 ta có: C1 = −1
n

Với n = 1 ta có: (C1 + C2 ).5 = 2 => C2 =

7
5

n

n

7
5

n
Vậy nghiệm tổng quát phương trình có dạng: un = (-1+ n)5

 Nhận xét tổng quát: Sử dụng máy tính bỏ túi để giải nhanh các dạng toán

sẽ giúp cho học sinh:
- Được trang bị thêm một số kiến thức về thuật giải, trong đó có các thuật giải
dựa vào thuật toán, có các thuật giải tự suy luận lôgíc từ các kiến thức toán học.
- Giúp học sinh làm quen với các chương trình cài đặt sẵn trong máy tính, đây
là công cụ giúp cho học sinh tự kiểm tra lại kết quả giải toán của mình một cách
nhanh chóng, tiện lợi. Đồng thời nó chính là mô hình ứng dụng công nghệ phần mềm
trong công việc hiện nay.
- Giúp học sinh được làm quen với cách tìm ra các quy luật toán học.
Đây là một cách tiếp cận rất tốt cho các em về sau này trong việc nghiên cứu toán
học hiện đại và các ứng dụng toán học trong đời sống.
IV. ƯU VÀ NHƯC ĐIỂM
Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

19


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS
1. Ưu điểm
Việc dạy cho học sinh sử dụng máy tính điện tử bỏ túi giải nhanh một số dạng
toán thường gặp ngay trong chương trình học toán sẽ giúp cho học sinh:
- Khai thác hiệu quả các chức năng của máy tính điện tử trong việc tính toán
của môn toán nói riêng và các môn học khác nói chung.
- Rèn luyện cho học sinh khả năng tính toán các bài tập toán một cách có hệ
thống, chính xác và lôgíc.
- Tiết kiệm được rất nhiều thời gian trong các giờ dạy học toán, từ đó có thời
gian để giảng dạy thêm các bài tập toán phức tạp hơn, bài tập không thuật toán trong
sách giáo khoa.
- Kích thích tinh thần hứng thú học tập bộ môn toán của các học sinh, đặc biệt
là các em hạn chế về khả năng tính nhẩm.

2. Nhược điểm
- Giáo viên không có nhiều thời gian để dạy cho các em học sinh một cách đầy
đủ và cặn kẽ, chỉ có thể lồng vào trong các giờ luyện tập hoặc các hoạt động ngoại
khóa của môn toán.
- Giáo viên cần phải đầu tư nhiều thời gian để tìm ra các phương pháp giải cho
phù hợp với từng loại máy tính mà học sinh đang dùng.
- Học sinh vận dụng còn máy móc dẫn đến việc sử dụng máy tính bỏ túi một
cách không hợp lý.
V. KẾT QUẢ
Qua thời gian thực hiện giải pháp này tôi nhận thấy kết quả đạt được như sau:
1. Đối với giáo viên
- Rèn luyện được khả năng tính toán chính xác và kiểm tra kết quả của học
sinh.
- Tiết kiệm thời gian tính toán, tăng cường được thời gian giảng bài.
- Mở rộng được cho học sinh các bài toán khó, có tính qui luật.
2. Đối với học sinh
- Khái thác tốt hơn các chức năng của máy tính bỏ túi trong việc tính toán.
- Rèn luyện được khả năng tính toán chính xác và khả năng kiểm tra kết quả
giải bài tập.
- Định hướng giải bài toán nhanh, tiếp cận được nhiều dạng toán phức tạp.
VI. YÊU CẦU VÀ PHẠM VI ỨNG DỤNG
1. Yêu cầu
- Thuật giải phải chính xác.
- Cài đặt chương trình giải phải hợp lí, không phát sinh lỗi.
- Học sinh phải tích cực học tập, vận dụng linh hoạt mới phát huy và khắc sâu
được kiến thức của bài học.
- Giáo viên phải đưa ra các ví dụ để cho học sinh thấy được khi nào nên và
không nên sử dụng máy tính điện tử.
2. Phạm vi ứng dụng
Áp dụng trong quá trình giảng dạy môn toán ở các môn Số học, Đại số và Hình

học trong các giờ luyện tập toán và hoạt động ngoại khóa của môn toán.
Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

20


Giải pháp hữu ích: Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Giải nhanh một số dạng
toán ở trường THCS

C. KẾT LUẬN
Qua thực tế sử dụng giải pháp này tôi cảm thấy có thể giúp cho học sinh khai
thác hiệu quả các chức năng của máy tính điện tử bỏ túi, giúp cho các em có khả
năng tính toán và kiểm tra kết quả tính toán một cách chính xác, đặc biệt là đối với
các em học lực trung bình và yếu. Rèn luyện được cho học sinh khả năng vận dụng
linh hoạt máy tính bỏ túi trong việc học tập của mình cũng như các công việc trong
cuộc sống hàng ngày. Qua đó nâng cao khả năng tư duy lôgíc, rèn luyện tính linh hoạt
trong phán đoán nhận xét vấn đề, rèn luyện kó năng thực hành và năng lực định
hướng giải toán cho học sinh. Từ đó góp phần vào nâng cao chất lượng bộ môn toán
trong nhà trường và làm cho các em yêu thích bộ môn toán hơn, giúp cho các em tiếp
cận tốt hơn các thành tựu công nghệ mới và toán học hiện đại.
Trên đây là một giải pháp mà tôi đã tìm tòi và áp dụng. Rất mong sự góp ý và
bổ sung của các đồng nghiệp.
Đồng Nai, ngày 30 tháng 11 năm 2006
Người thực hiện

Nguyễn Tấn Phong

Thực hiện: Nguyễn Tấn Phong

21