skkn các dạng bài toán về dãy số

Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
1


Lời nói đầu

Một trong những phơng pháp rất mạnh trong toán học dùng nghiên cứu và
chứng minh các giả thiết là nguyên lý quy nạp toán học. Phơng pháp quy nạp
đợc áp dụng sâu rộng vào hầu hết các dạng toán: Số học, Dãy số, Hình học,
BĐT, Tổ hợp,Trong báo cáo này tôi chỉ đề cập đến áp dụng của phơng pháp
quy nạp vào một số dạng toán về dãy số.
Trong chơng trình toán phổ thông thì toán về dãy số đợc phân phối thời
lợng không nhiều, đặc biệt trong chơng trình toán phân ban hiện nay đã lợc
bỏ nhiều định lý quan trọng.Trong phần lớn các kỳ thi thì dạng toán này hầu nh
không có. Toán về dãy số thờng chỉ giành cho những học sinh khá giỏi trong
các kỳ thi cấp Tỉnh và Quốc gia, do vậy nó càng ít đợc học sinh và cả giáo viên
quan tâm đến. Phần vì dạng toán này cũng tơng đối khó và trừu tợng đối với
học sinh, học sinh gặp nhiều khó khăn và rất ngại khi gặp dạng toán này.
Trong thời gian vừa qua tôi đã thu thập, tích lũy và hệ thống đợc một số dạng
toán về dãy số nhằm phục vụ cho công tác giảng dạy, bồi dỡng học sinh giỏi của
mình. Với mục đích giúp học sinh tiếp cận một số dạng toán đặc trng về dãy số
do đó tôi lựa chọn đề tài này. Các bài toán đợc lựa chọn chủ yếu cho những học
sinh khá, giỏi. Sự phân chia thành các dạng toán và những đánh giá của tôi là
theo quan điểm chủ quan của mình, do đó không tránh khỏi những thiếu sót.
Kính mong các thầy cô và các bạn đồng nghiệp đọc và cho ý kiến góp ý để tài
liệu này đợc hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cám ơn !

Vĩnh Tờng 5 . 2009

Tác giả: Nguyễn Minh Hải
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
2




Mục lục

TT Nội dung Trang

Lời nói đầu 1
Phần 1 Một số vấn đề về lý thuyết
I

Phơng pháp quy nạp toán học 3
II

Một số vấn đề về dãy số 5
III

Một số dạng toán về dãy số thờng gặp 6
Phần 2
áp dụng giải toán

I

Chứng minh dãy số tăng, giảm và bị chặn 8
II

Công thức tổng quát của dãy số 10
III

Tìm giới hạn của dãy số 12
IV

Một số dạng toán khác 18
Phần 3 Bài tập tng hợp 21
Tài liệu tham khảo 23






Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
3

Phần 1. Một số vấn đề về nguyên lý Quy nạp toán học và Dãy số
.
I.Phơng pháp quy nạp toán học
Sau đây là ba dạng của nguyên lí quy nạp toán học thờng đợc dùng trong những

bài toán ở THPT.
1. Định lí 1
. Cho n
0
là một số nguyên dơng và P(n) là mệnh đề có nghĩa với mọi số tự
nhiên
0
.
n n


Nếu: 1
0
. P(n
0
) là mệnh đề đúng
2
0
. Nếu P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng với mỗi số tự nhiên
0
.
k n


Khi đó mệnh để P(n) đúng với mọi số tự nhiên
0
.
n n

Ví dụ 1. Cho dãy số (u
n
) xác đinh bởi: u
n
= n
2
.
CMR tồng của n phần tử đầu tiên của dãy đợc tính:
( 1)(2 1)
.
6
n
n n n
S



Chứng minh.
Với n = 1. Đẳng thức đúng.
Giả sử ĐT đúng với n = k ( k 1), tức là có:
( 1)(2 1)
.
6
k
k k k
S



Ta chứng minh ĐT đúng với n = k+1, tức CM:

1
( 1)( 2)(2 3)
.
6
k
k k k
S




Thật vậy. Ta có
2 2
1
( 1)(2 1) ( 1)( 2)(2 3)
( 1) ( 1) .
6 6
k k
k k k k k k
S S k k




Vậy ĐT đúng với mọi số nguyên dơng.

2. Định lí 2. Cho p là số nguyên dơng và dãy các mệnh đề: P(1), P(2), , P(n),
Nếu: 1
0
. P(1), P(2), , P(p) là những mệnh đề đúng

2
0
. Với mỗi số tự nhiên
k p

các mệnh đề
( 1), ( 2), , ( )
P k p P k p P k


đúng, suy ra mệnh đề P(k+1) cũng đúng.
Khi đó mệnh để P(n) đúng với mọi số nguyên dơng n.
Ví dụ 2
. Cho
0 1
2, 3
v v

và với mỗi số tự nhiên k có đẳng thức:
1 1
3 2 .
k k k
v v v



CMR:
2 1.
n
n

v


Chứng minh.
- Dễ thấy mệnh đề đúng với n = 0, 1.
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
4

- Giả sử với mỗi số tự nhiên
2
k

mđ đúng với n = k và n = k 1.
Tức là có:
1
1
2 1, 2 1.
k k
k k
v v




-Ta chứng minh mđ đúng với n = k + 1.
TV. Theo CT truy hồi

1 1
1 1
3 2 3(2 1) 2(2 1) 2 1. ( )
k k k
k k k
v v v dpcm




Vậy bài toán đợc chứng minh.
3. Định lí 3. Cho dãy các mệnh đề: P(1), P(2), , P(n),
Nếu: 1
0
. P(1) là những mệnh đề đúng
2
0
. Với mỗi số tự nhiên
1
k

các mệnh đề
(1), (2), , ( )
P P P k
đúng,
suy ra mệnh đề P(k+1) cũng đúng.
Khi đó mệnh để P(n) đúng với mọi số nguyên dơng n.
Dạng quy nạp này mạnh hơn dạng thứ hai ở bớc quy nạp.
Ví dụ 3
. Cho dãy số (u

n
) xác đinh bởi:
* *
1
1
, , . .

n
n
n
U x n N x N U Z
x

CMR (u
n
) là dãy các số nguyên.
Chứng minh
Với n = 1 mệnh đề hiển nhiên đúng.
Giả sử với mọi số tự nhiên từ 1 đến k, u
k
là số nguyên. Ta CM u
k+1
cũng nguyên.
TV.
1 1
1 1 1
1 1
1 1 1 1
( )( ) ( ) .

k k k
k k k
k k k
u x x x x u u u Z
x x x x

Vậy (u
n
) là dãy các số nguyên.










Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
5

II. Một số vấn đề về dãy số.

2.1. Dãy số tăng, giảm (đơn điệu).
ĐN. Dãy số (u
n
) đợc gọi là dãy tăng nếu với mọi
*
n N

ta có u
n
< u
n+1
.
Dãy số (u
n
) đợc gọi là dãy giảm nếu với mọi
*
n N

ta có u
n
> u
n+1
.
Dãy số tăng và dãy giảm đợc gọi chung là dãy đơn điệu.
2.2. Dãy bị chặn.
ĐN
+) Dãy số (u
n
) đợc gọi là dãy bị chặn trên, nếu tồn tại một số M sao cho

*
, .

n
u M n N

+) Dãy số (u
n
) đợc gọi là dãy bị chặn dới, nếu tồn tại một số m sao cho

*
, .

n
u m n N

+) Dãy số (u
n
) đợc gọi là dãy bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dới,
tức là tồn tại các số m, M sao cho
*
, .

n
m u M n N


*
( 0 : , )

n
M u M n N

2.3. Giới hạn dãy số.
ĐN 1. Dãy số (u
n
) có giới hạn 0 nếu với mỗi số dơng nhỏ tuỳ ý cho trớc, mọi số
hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ
hơn số dơng đó. Ta viết lim(u
n
) = 0 hoặc limu
n
= 0 hoặc u
n

0.
Cách phát biểu mới này giúp học sinh hình dung đợc dãy số có giới hạn 0 một cách
thuận lợi hơn, tuy nhiên định nghĩa này khó diễn đạt trong khi chứng minh một số định
lý về giới hạn. Do vậy tôi xin trở lại định nghĩa trớc đây:
ĐN 2
. Ta nói rằng dãy số (u
n
) có giới hạn 0 nếu với mỗi số dơng

bất kỳ, tồn tại
một số nguyên dơng N sao cho
*
n
n N , n N | u | .

Ta viết lim(u
n
) = 0 hoặc limu
n
= 0 hoặc u
n

0.
ĐN 3. Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là số thực L nếu lim(u
n
L) = 0.
Ta viết lim(u
n
) = L hoặc limu
n
= L hoặc u
n

L.
ĐN 4.
- Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn +

nếu với mỗi số dơng tuỳ ý cho trớc, mọi số
hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dơng đó.
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software

For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
6

- Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn -

nếu với mỗi số âm tuỳ ý cho trớc, mọi số
hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số dơng đó.
Định lí 1. Cho hai dãy số (u
n
) và (v
n
).
Nếu | u
n
| v
n
với mọi n và limv
n
= 0 thì limu
n
= 0.
Định lí 2. Nếu | q| < 1 thì lim q
n
= 0.
Định lí 3. Giả sử lim u

n
= L. Khi đó:
a) lim | u
n
| = | L | và
3
3
n
lim u L.


b) Nếu u
n
0 với mọi n thì L 0 và
n
lim u L.


Định lí 4
. Giả sử lim u
n
= L, lim v
n
= M và c là một hằng số. Khi đó:

lim( ) .

n n
u v L M

lim( . ) .

n n
u v L M


n
lim(c.u ) c.L


lim
n
n
u
L
v M
nếu M 0.
Định lí 5. Nếu lim |u
n
| = + thì
n
1
lim 0.
u


Vận dụng các kết quả trên, ta có thể chúng minh đợc các định lý sau:
Định lí 6.(Điều kiện cần) Một dãy số có giới hạn thì nó bị chặn.
Định lí 7. (Duy nhất) Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Định lí 8

. (Giới hạn kẹp) Cho ba dãy số (u
n
), (v
n
), (w
n
) thỏa mãn:

0 *
1 . , .

n n n
v u w n N


0
2 . lim lim
n n
v w A

thì lim u
n
= A.
Ta thừa nhận định lí sau đây.
Định lí 9. (Điều kiện đủ- Định lí Waiesstras)
Một dãy tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.
Một dãy giảm và bị chặn dới thì có giới hạn.
Hiện nay bốn Định lý trên không đợc giới thiệu trong chơng trình, tuy nhiên có
thể chứng minh đợc Định lí 6, 7, 8 từ các định lý có sẵn. Trong báo cáo này tôi vẫn
xin đợc sử dụng để các dạng toán đợc đa dạng hơn.

Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
7

2.4. Cấp số cộng.
Định nghĩa
. Cấp số cộng là một dãy số, trong đó, kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng
đều là tổng của số hạng liền trớc với một số không đổi gọi là công sai.
Tính chất
. Cho cấp số cộng ( u
n
) công sai d, khi đó
*

n N
ta có:

0
1 1
1 . ; ( 1) .
n n n
u u d u u n d

0
2
1
2 . .
2
n n
n
u u
u







0
1 2 1 1
3 . ( ) 2 ( 1) .
2 2
n n n
n n
S u u u u u u n d


2.5. Cấp số nhân.
Định nghĩa. Cấp số nhân là một dãy số, trong đó, kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng
đều là tích của số hạng liền trớc với một số không đổi gọi là công bội.
Tính chất. Cho cấp số nhân ( u

n
) công bội q, ta có:

0 1
1 1
1 . . ; . .
n
n n n
u u q u u q





0
1 2
2 . .
n n n
u u u




0
1 2 1
1
3 . . ; ( 1)
1
n
n n

q
S u u u u q
q




Tổng của cấp số nhân vô hạn công bội q (q <1)

1
1
1
lim lim . . ( 1)
1 1
n
n
uq
S S u q
q q




III. Một số dạng toán về dãy số thờng gặp.
1. Chứng minh dãy số tăng, giảm, bị chặn, dãy có giới hạn.
2. Chứng minh dãy số lập thành cấp số cộng, cấp số nhân, tính chất của cấp số.
3. Tìm công thức tổng quát của dãy số.
4. Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn dãy số.
5. Một số dạng khác: BĐT về dãy số, chứng minh tính chất chia hết, chứng minh
dãy số nguyên

Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
8

Phần 2. áp dụng trong giải toán

I. Chứng minh dãy số tăng, giảm và bị chặn.
Bài 1.1 Cho dãy (u
n
):
1 2
1 2
1, 2.
2 , 3.
n n n
u u
u u u n






CMR:
*

5
, .
2




n
n
u n N

Giải
ở bài toán này u
n
cho bởi công thức truy hồi, đợc tính theo u
n-1
và u
n-2
do đó ta
vận dụng nguyên lí quy nạp thứ hai để chứng minh.
- Với n = 1, n = 2 mệnh đề đúng.
- Giả sử mđ đúng với n = k 1, và n = k ( k >1), tức là có:
1
1
5 5
, .
2 2
n n
n n
u u

- Ta chứng minh mđ đúng với n = k + 1.
TV. Ta có:
1 1
1 2
5 5 5
2 2. .
2 2 2






n n n
n n n
u u u
(đpcm)
Bài 1.2 Cho dãy (u
n
):
1
*
1

1.
3( 2)
, .
2( 1) 2( 1)










n n
u
n n
u u n N
n n

a). CM dãy số bị chặn trên.
b). CM dãy số tăng.
Giải
Đây là bài toán không khó nếu dự đoán đợc dãy số bị chặn trên bởi số nào thích
hợp nhất? Ta có thể xuất phát từ yêu cầu thứ hai của bài toán:
Có:
1
(3 )( 2)
0 3.
1

n
n n n
u n
u u u
n





a). Ta CM quy nạp theo nguyên lí thứ nhất:
*
3, .

n
u n N

- Giả sử mđ đúng với n = k khi đó có:

1
3( 2) 3 3( 2)
3.
2( 1) 2( 1) 2( 2) 2( 1)
k k
k k k k
u u
k k k k

- Vậy mđ đúng với n = k +1.
b). Theo phần (a) có:
1
(3 )( 2)
0.
1
n
n n
u n
u u
n





Vậy dãy (u
n
) tăng và bị chặn trên.
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
9

Bài 1.3 Chứng minh dãy
1

(1 )
n
n
u
n

là dãy tăng và bị chặn trên.
Giải
+) Ta chứng minh
*
3, .

n
u n N

- Với n = 1, n = 2. BĐT hiển nhiên đúng.
- Với n 3, ta chứng minh BĐT phụ sau đây:
2
2
1
(1 ) 1 , :1 . (1)
k
k k
k k n
n n n


TV. Với k = 1, BĐT đúng .
- Giả sử (1) đúng với k (
1 1

k n

), tức :
2
2
1
(1 ) 1 .
k
k k
n n n


Khi đó:
2 2 2
1
2 2 3
1 1 1 1 1
(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1 .
k k
k k k k k k
n n n n n n n n n




Mặt khác dễ dàng CM:
2 2 2
2 3 2
( 1)
.

k k k k
n n n




2
1
2
1 1 ( 1)
(1 ) 1 .
1 ( 1)
k
k k
n n n




Vậy BĐT đúng với k + 1.
KL. BĐT (1) đúng với mọi số nguyên dơng k, (
1
k n

)
-) Với k = n ta có :
2
2
1
(1 ) 1 3.

n
n n
n n n


+) Chứng minh dãy tăng.
áp dụng BĐT Cauchy cho n + 1 số dơng không đồng thời bằng nhau, ta đợc:

1
1 1 1 1
1 (1 ) (1 ) (1 ) ( 1) (1 ) .
n
n
n
n n n n




1 *
1
1
1 1 1 1
1 (1 ) (1 ) (1 ) , .
1 1

n n n
n
n n
u u n N
n n n n

Bài 1.5 Xét tính đơn điệu, bị chặn của các dãy số sau:

1
0
*
1
2
1 .
1
, .
2








n
n
u
u
u n N

1
0
*
1
2
2 .
2 , .








n n
u
u u n N

Giải

1
0
. Bằng quy nạp ta chứng minh (u
n
) là dãy giảm và bị chặn dới bởi 0.
2
0
. Bằng quy nạp ta chứng minh (u

n
) là dãy tăng và bị chặn trên bởi 2.

Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
10

II. Công thức tổng quát của dãy số.
Bài 2.1 Cho dãy (u
n
):
1 2
1 1
2, 3.
3 2 , 2.
n n n
u u
u u u n






CMR
1
2 1.

n
n
u
Tớnh S
n
.
Giải
Quy nạp. Với n =1; n = 2. Đúng.
Giả sử mđ đúng với k-1 và k (k > 1), ta chứng minh mđ đúng với n = k + 1.
Thật vậy: Có
2 1 1 2 2
1 1
2 1, 2 1 3(2 1) 2(2 1) 4.2 1 2 1.



k k k k k k
k k k
u u u

Mệnh đề đợc chứng minh.
Khi đó:
1
1 2
1 (1 2) (1 2 ) 2 1.
n n
n n
S u u u n

Bài 2.2 Cho dãy (u
n
):
1
*
1
2
, .
1









n
n
n
u
u
u n N
u

a) CMR:

*
0, .

n
u n N

b) Đặt
1
.
n
n
n
u
v
u


CMR
n
3
v n, n.
2


c). Tìm CTTQ tính
n n 1 2 n
u ,S u u u .


Giải

a). Chứng minh bằng quy nạp.
- Với n = 1 mđ đúng.
- Giả sử mđ đúng với n = k ( k

1), tức
0.
k
u

Khi đó
1
0,1 0 0.
1
k
k k k
k
u
u u u
u




- Vậy mđ đúng với n = k +1.
b). Ta có:
1 1 1
. .
1
n
n n n n n

n
u
u u u u u
u




1 1
1
1 1
1 1
1.
.
n n n n
n n
n n n n
u u u u
v v
u u u u







1
1 ( )
n n n

v v v


là CSC công sai d = -1,
1
1
1
1
2 1 1
.
2 2
u
v
u






1
1 3
( 1) ( 1)( 1) .
2 2
n
v v n d n n


Từ
1

1 2
.
1 2 1
n
n n
n n
u
v u
u v n





Cách 2. CM quy nạp.
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
11

Bài 2.4 Cho dãy (u
n
):
1 2
1 1
1, 2.
2 2, 2.
n n n

u u
u u u n






CMR:
2
( 1) 1.

n
u n
Tìm S
n
?
Giải
- Hiển nhiên công thức đúng với n = 1, n = 2.
- Giả sử công thức đúng với n = k - 1, n = k tức:
2 2
1
( 2) 1; ( 1) 1


k k
u k u k

Khi đó:
2 2 2 2

1 1
2 2 2[( 1) 1] [( 2) 1] 2 1 [( 1) 1] 1


k k k
u u u k k k k

Vậy công thức đúng với n = k + 1.
Khi đó:
2 2 2
( 1)(2 1)
( 1) ( 2) 1 .
6
n
n n n
S n n n n



Chú ý
: Nếu bài toán yêu cầu chứng minh
1
n
u

là số chính phơng thì cách làm
hoàn toàn vẫn nh vậy.
Bài 2.5 Cho dãy (u
n
):

1 2
1 1
3, 2.
3 2 1, 2.
n n n
u u
u u u n







CMR:
1
1
1
2 2 4.
1




n
n
n
q
u v n n
q

Tính S
n
?
Giải
Quy nạp: Giả sử:
1
1
2 ( 1) 4; 2 4



k k
k k
u k u k


1 1 1
1 1
3 2 1 3[ 2 4] 2[ 2 3] 1 8.2 5 2 ( 1) 4



k k k k
n n n
u u u k k k k

Bài 2.6 Cho dãy (u
n
):
*

1
0
1
1
, , .
2. 1 2





n
n
n
u
u u n N
u n
Tìm CTTQ của u
n
?
Giải
- Nếu
0
0 0, .

n
u u n N

- Nếu
0

0.
u

Bằng quy nạp ta chứng minh đợc
0, .

n
u n N

Khi đó:
1
1
2 1
1 1
2 .
n
n n n
u
u u u





Đặt

1
1
2
n n n n

n
v v v v
u


là CSC công sai
2.
d



0
0
0 0
1 1
2 .
2 . 1
n n
n
u
v v nd n u
u v n u





Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
12

III. Tìm giới hạn của dãy số.
Nếu dãy số cho bởi CTTQ thì ta thờng sử dụng các phơng pháp tính giới hạn của
dãy số để tính. Trong nhiều trờng hợp ta phải biến đổi CTTQ đó về dạng đơn giản
hơn trớc khi tính giới hạn.
Một số phơng pháp tính giới hạn của dãy số:
- Nhân liên hợp, đối với giới hạn dạng

-


- Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n, đối với giới hạn dạng
;



- Kết hợp hai phơng pháp trên cho giới hạn dạng
0
; ; ; .
0



- Sử dụng định lý giới hạn kẹp
- Sử dụng điều kiện đủ để dãy số có giới hạn, thiết lập biểu thức về giới hạn.
Kết quả giới hạn là nghiệm của một phơng trình nào đó.
Bài 3.1 Tính các giới hạn sau:

3
2 3
lim( )
A n n n


2
3
4
1
lim
n n
B
n n n





3
2 6
4 2
1
lim
1
n n
C
n n

1
3 2
lim
2 5.3
n n
n n
D






1
4.3 7
lim
2.5 7
n n
n n
E





2
2

4 1 2 1
lim
4 1
n n
F
n n n




HD.

1 1 1
; ; 0; ; 7; .
3 5 2
A B C D E F


Bài 3.2 Tính giới hạn của các dãy số sau

1 1 1
lim
1.2 2.3 ( 1)
A
n n

1 1 1
lim
1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2)
B
n n n







2 2 2
1 1 1
lim(1 )(1 ) (1 )
2 3
C
n


2 2 2 2
1 3 5 2 1
lim
n
D
n n n n

1 1 1 1
lim ( )
1 3 3 5 2 1 2 1
E
n n n



{Đề thi HSG lớp 11 năm 2007}

Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
13

Học sinh thờng áp dụng sai công thức tính giới hạn của tổng và tích các dãy số.
Hai công thức này chỉ áp dụng đối với tổng và tích hữu hạn các dãy số. Học sinh
thờng áp dụng cho tổng, tích vô hạn dẫn đến kết quả sai.
Giải

a). Nhận xét:
*
1 ( 1) 1 1
,

( 1) ( 1) 1



n n
n N
n n n n n n


1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1 ) ( ) ( ) 1
1.2 2.3 ( 1) 2 2 3 1
n
u
n n n n n




1
lim lim(1 ) 1.
n
A u
n


b). Nhận xét:
*
1 ( 2) 1 1 1
( ),

( 1)( 2) 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1)( 2)



n n
n N
n n n n n n n n n


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
[( ) ( ) ( )]
1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 ( 1) ( 1)( 2)
n
u
n n n n n n n




1 1 1
.
4 2( 1)( 2) 4
n
u B
n n



c).
2 2 2

2 2 2
2 1 3 1 1 1.3 2.4 ( 1)( 1) 1 1
. . .
2 3 2.2 3.3 . 2 2
n
n n n n
u C
n n n n



d).
2
2 2
1 3 5 (2 1)
1.
n
n n
u D
n n



e). Ta có:
1 2 1 2 1 2 1 2 1
, 1.
(2 1) (2 1) 2 2
2 1 2 1
n n n n
n

n n
n n






1 1 1 1
( )
1 3 3 5 2 1 2 1
n
u
n n n




1 3 1 5 3 2 1 2 1 1 2 1 1
.[( ) ( ) ( )] .
2 2 2 2 2 2 2
n n n
n n




2 1 1 2
lim lim .
2

2
n
n
E u
n



Bài 3.3
Tính các giới hạn sau

2
1 2 3
lim
2 3
n
A
n n




2 2 2
3
1 2 3
lim
4 1
n
B
n

3 3 3
4 2
1 2 3
lim
3 1
n
C
n n




2 2 2
3
1 3 5 (2 1)
lim
3 4
n
C
n n

Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
14

Giải
Để đơn giản biểu thức ta chứng minh quy nạp các công thức sau:
0
( 1)
1 . 1 2 3
2
n n
n



0 2 2 2
( 1)(2 1)
2 . 1 2 3
6
n n n
n



0 3 3 3
( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)( 4)
3 . 1 2 3 1 8( 1) 19 ( 1)( 2)( 3)

2 4
n n n n n n
n n n n n



0 2 2 3
1
4 . 1 3 5 (2 1) (2 1)(2 1).
3
n n n n


- Khi đó ta có đợc các kết quả sau:

1 1 1 4
. . . .
4 12 4 9
A B C D


Trong nhiều bài toán ta không thể đơn giản đợc CTTQ để sử dụng hai phơng pháp
nhân liên hợp, hoặc chia cho lũy thừa của n. Khi đó hãy nghĩ đến
Định lí giới hạn kẹp

Bài 3.4 Tính giới hạn sau.

2 2 2
1 1 1
lim

1 2
A
n n n n






1.3.5.7 (2 1)
lim
2.4.6 (2 )
n
B
n



Giải

a). Ta có:
2 2 2
1 1 1
, ,1 .
1


k N k n
n n n k n

2 2 2 2 2
1 1 1
,
1 2 1
n
n n
u
n n n n n n n



mà
2 2
lim lim 1
1
n n
n n n



lim 1 1.
n
u A


b). Đặt
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2

1.3.5.7 (2 1) 1.3 .5 .7 (2 1) 1.3 3.5 (2
1).(2 1) 1
. .
2.4.6 (2 ) 2 .4 .6 (2 ) 2 4 (2 ) 2 1
n n
n n n n
u u
n n n n





2
1 1
0 0 ,
2 1
2 1
n n
u u
n
n




mà
1
lim 0 lim 0.
2 1

n
B u
n



Đối với những bài toán mà dãy số cho bởi công thức truy hồi, hoặc cho một hệ thức
liên hệ giữa các phần tử thì ta tiến hành nh sau:
- Tìm CTTQ của dãy số sau đó tìm giới hạn.
- Nếu không tìm đợc CTTQ thì ta sử dụng điều kiện đủ để dãy số có giới hạn.
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
15

Chứng minh dãy tăng và bị chặn trên hoặc giảm và bị chặn dới. Sau đó đặt giới
hạn vào công thức truy hồi hoặc hệ thức liên hệ giữa các phần tử ta thu đợc một
phơng trình với ẩn là giới hạn cần tìm.
Bài 3.5 Cho dãy (u
n
):
1
1
1
( ), 2.
2
n n
n

a
u u n
u




1
0, .
a u a


CMR (u
n
) có giới hạn. Tính giới hạn đó.
Giải

- CM quy nạp
*
, .

n
u a n N

BĐT Cauchy:
1 1
1 1
1 1
( ) .2 . .
2 2

n n n
n n
a a
u u u a
u u




Dấu bằng không xảy ra.
.
n
u a


- Ta chứng minh (u
n
) là dãy giảm.
Ta có:
1
1
1
2
1 1 1
2
1( )
1 1 1 1
1 , 1 ( )
2 2 2 2
n

n n
n n n
n n n
u
u u
u u n u
u u u






là dãy giảm.

lim 0.
n
L u

Ta có:
1
1
2
1
lim lim ( ) .
2 2
n n
n
L
a

L
L u u L a
u




Vậy
lim .
n
u a


Chú ý
: ở bài toán trên, thực ra chỉ cần giả thiết
1
0, 0.
a u

Khi đó việc chứng minh
hoàn toàn tơng tự.
- Nếu
*
1
, lim .

n n
u a u a n N u a

- Nếu

1
, 1 0, .
n n
u a u a n u n


lim .
n
u a


Bài 3.6
Cho dãy (u
n
):
1
2
1
1
(2 ), 2.
3
n n
n
a
u u n
u

3
1
0, .
a u a


CMR (u
n
) có giới hạn. Tính giới hạn đó.
Giải
- Tơng tự bài 4.6 ta CM quy nạp.
*
3
, ; ( )

n n
u a n N u
là dãy tăng.
- Đặt
lim 0.
n
L u

Theo gt có:
2
3
1
2
1
2

1
lim lim (2 ) .
3 3
n n
n
a
L
a
L
L u u L a
u





Vậy
3
lim .
n
u a


Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
16

Chú ý: ở bài toán trên, thực ra chỉ cần giả thiết
1
0, 0.
a u

Khi đó việc chứng minh
hoàn toàn tơng tự.
- Nếu
*
3 3 3
1
, lim .

n n
u a u a n N u a

- Nếu
3 3
1
, 1 0, .
n n
u a u a n u n


3
lim .
n
u a

Bài 3.7 Cho dãy (u
n
):
0 1
n
u

và
1
1
(1 ) .
4
n n
u u


Tính limu
n
?
Giải
- Chứng minh dãy (u
n
) tăng và bị chặn trên.
Theo gt hiển nhiên (u
n
) bị chặn trên.
áp dụng BĐT Cauchy:
*
1 1 1
1

(1 ) 2 (1 ) 2. 1 , .
2


n n n n n n
u u u u u u n N

(u
n
) tăng
Vậy (u
n
) có giới hạn, đặt
lim .
n
a u

1
1 1 1
lim[ (1 )] (1 ) .
4 4 2
n n
u u a a a



Bài 3.8 Cho dãy (u
n
):
2

1 1
3, 3 4, 1.
n n n
u u u u n



a). CMR (u
n
) là dãy đơn điệu nhng không bị chặn.
b). Dãy (v
n
) xđ:
1 2
1 1 1
, 1.
1 1 1
n
n
v n
u u u


có giới hạn, tính giới hạn đó.
Giải
a). Quy nạp. - Ta có:
2
2 1 1 1
3 4 4 3 .
u u u u

- Giả sử
1
.
n n
u u


Ta CM
1
. (*)
n n
u u



TV.
2 2
1
(*) 3 4 ( 2) 0
n n n n n
u u u u u


(đúng). Vậy (u
n
) là dãy tăng.
+) Giả sử (u
n

) là dãy bị chặn khi đó (u
n
) là dãy có giới hạn, đặt
lim .
n
u a


Khi đó -). (u
n
) là dãy tăng,
3, lim 3.

n n
u n N a u

-).
2 2
1
lim lim( 3 4) 3 4 2.
n n n
a u u u a a a


( Vô lý)
Vậy (u
n
) là dãy không bị chặn.
lim .
n

u


b). Từ
2
1 1
1
1 1 1 1
3 4 2 ( 1)( 2) .
( 1)( 2) 2 1
n n n n n n
n n n n n
u u u u u u
u u u u u






1
1 1 1
.
1 2 2
n n n
u u u

Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay - VÜnh Têng - VÜnh phóc

VT. 05 - 2009
17


1 2 1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 2 2 2 2 2 2
n
n n n
v
u u u u u u u u u

   
 
           
   
 
        
 
   


1 1 1
1 1 1
0 ( ) / .

2 2 2
n n
n
v v b c
u u u

 
     
 
  
 

- V×
3 ( )
n n
u v
 
lµ d·y t¨ng.
-
1 1 1
1 1 1
lim lim( ) 1.
2 2 2
n
n
v
u u u

   
  

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
18

IV.Một số dạng toán khác

Bài 4.1 Cho dãy (u
n
):
2
1
*
0, .






n n n
n
u u u
u n N

*
1
: , .

n
CMR u n N
n

Giải
Chứng minh Quy nạp.
- Với n = 1, có:
2

1 1 2 1 1 1 1
( 1) 0 1. ( 0, )
n
u u u u u u u do u n


Vậy mđ đúng với n = 1.
- Với n = 2, có:
2 2 2
1 1 2 1 2 1 1 1
1 1 1 1
( ) .
4 2 4 2
u u u u u u u u


Vậy mđ đúng với n = 2.
- Giả sử có:
1
, ( 2)
n
u n
n

. Hàm số
2
( )
f x x x

đồng biến trên đoạn

1
[0, ].
2

Do
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 ( ) ( )
( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1)
n n
n n
u f u f
n n n n n n n n n n n n n n n





1
2
1 1 1
( ) .
1 ( 1) 1
n n
u f u
n n n n



Vậy mđ đúng với n +1.

Mệnh đề đợc chứng minh.
Bài 4.2
Cho hai dãy (a
n
) và (b
n
) xác định bởi:
1 1 1
1
; , 0.
n n
n
a a a b
b




*
1
1
, .


n n
n
b b n N
a

: 2 2 , 2.

n n
CMR a b n n


Giải
Chứng minh bằng Quy nạp.
- Dễ ràng chứng minh
*
, 0, .

n n
a b n N

- Với n = 3 ta có:
2 2 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
. ( ).( ) . 2 4.
.
a b a b a b
b a a b



3 3 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
. ( ).( ) . 2 . 4 2 6.
a b a b a b
b a a b

3 3 3 3
2 . 2 2.3
a b a b
Vậy mđ đúng với n = 3.
- Giả sử mđ đúng với n = k ( k >2), tức:
2 2 .
k k
a b k


- Ta chứng minh mđ đúng với n = k + 1.
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
19

TV. Ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2
1 1 1 1
( ) 2 ; ( ) 2 .
k k
k k k k k k
k k k k k k

a b
a a a b b b
b b b a a a




1 1
2
2 . 2 . 4
.
k k k k
k k
a b a b
a b



Suy ra:
2 2 2 2
1 1
1 1
( ) ( ) ( ) 4 . 4 ( ) 4 4 8 8.
Cosi
k k k k k k k k
k k
a b a b a b a b k
a b

2 2( 1).
k k
a b k

Vậy mđ đúng với n = k + 1. Kết luận.
2 2 , 2.
n n
a b n n


Bài 4.3 Cho dãy(u
n
):
2
1 1
1 1
, .
2
o k k k
u u u u
n



1

:1 1.
n
CMR u
n


Giải
+) Ta có:
2
1 1
1
.
k k k
u u u
n


Bằng quy nạp chứng minh đợc
1
, 1.
k k
u u k n




2
1 1 1
1 1
1 1

1 1 1
. .
. . .
k k k k
k k k
k k k k k k
u u u u
u u u
n u u n u u u n u






Do
1
1 2 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
, 1. ; ; ; .
k k
k k k k
u u k n
u u n u u n u u n





0 0 1 1 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 1.
k k k
k
u u u u u u u u n



1
2 1 1.
k
k
u
u


+) Lại có:
1 1
2
1 1 1 1
1 1 1 1
.
. . 1
k k
k k k k k k
u u
u u n u n u u n u n

1 2 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
; ; ; 1 .
1 1 1 1 1
k k k k k
n
u u n u u n u u n u u n n





1 1 1
1 1 .
2 2
k
n
u
n n n



Vậy mđ đợc chứng minh.
Bài 4.4 Cho dãy số xác định:
4 15 1; 10 18 28.
n n
n n

u n v n


: 9; 27, .


n n
CMR u v n N

Giải
+) Chứng minh
9.
n
u


- Dễ thấy mđ đúng với n = 0, n = 1.
- Giả sử mđ đúng với n = k, có nghĩa
9.
k
u


Khi đó:
1
1
4 15( 1) 1 4(4 15 1) 18 4. 18 9
k k
k k
u k k u

Vậy mđ đúng với n = k+1.
Bài 4.5 Giả sử p/t:
2
ax bx c 0 (a 0)

có hai nghiệm
1 2
x , x .
Đặt
n n *
n 1 2
S x x , n N .


Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
20

a. CMR:
n n 1 n 2
a.S b.S c.S 0, n N, n 3.

b. Giả sử a = c = 1, b = - 4. CMR:
n
S
không chi hết cho 3.
Giải.
a. Ta có:
2 n n 1 n 2
1 1 1 1 1
2 n n 1 n 2
2 2 2 2 2
ax bx c 0 ax bx cx 0
ax bx c 0 ax bx cx 0












n n n 1 n 1 n 2 n 2
1 2 1 2 1 2 n n 1 n 2
a(x x ) b(x x ) c(x x ) a.S b.S c.S 0, n N,n 3.

b. Ta có:
1 1 2
S x x 4

. không chia hết cho 3.

2 2 2
2 1 2 1 2 1 2
S x x (x x ) 2x x 16 2 14

không chia hết cho 3.
Giả sử S
k-1
, S
k
(k >1)không chia hết cho 3, ta chứng minh S
k+1
cũng không
chia hết cho 3. Thật vậy. Theo (a) có:
k k 1 k 2
S 4S S


không chia hết cho 3.
Bài 4.6
Giả sử
1 2
x , x .

là hai nghiệm của p/t:
2
x x 5 0.

CMR:
2009 2009
1 2
x x Z.


Giải.
Chứng minh quy nạp:
n n *
n 1 2
S x x Z, n N .


S dụng kết quả bài 5.9:
n n 1 n 2
S S 5S 0, n N,n 3.


Trong đó: S
1
=1; S
2
=11.
Bài 4.7 Tính giới hạn của dãy số

2 2 2

1) .
2
2 2
2 2 2
n
u



2 2 2
2)
2 2 3
n
u




Giải. Trong bài này ta thừa nhận kết quả:
0
sin
lim 1.
x
x
x



1. Quy nạp CT:
1

2 1
, .
cos
2 2 2
2
n
n





Khi đó:
1
1
1 1
sin
1 1 1
2
. 2 .sin lim lim .
2 2 2
cos cos cos
4 8 2 2
n
n
n n
n
n n
u u

2. Quy nạp CT:
2 2 2 2.cos ; 2 2 3 2.cos
2 3.2
n n



1
1
2 2cos
sin
1
2
2
lim .
3
2 2cos sin
3.2 3.2
n
n
n n
n n
u u

Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
21


Phần 3. Bài tập tơng tự
Bài 1. CMR:
3 5 2 1
3 3 3 3 30.
n
n
u




2 1 2
12 11 133

n n
n
v




Bài 2
. Cho x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình
2
27 14 0.
x x


CMR
1 2
, .

n n
n
S x x n N
không chia hết cho 715.
Bài 3. Ký hiệu
2 2 2 2
n
R

cân bậc hai n lần.

1 2
1 1
: cos , sin 2 .
2 2 2 2
n n
n n
CMR R R




Bài 4. Cho dãy (a
n
) xác định :
2 *
2 1 2
( 2)( 1) 0, , 0, 1.


n n
n n a n a n N a a
Tìm a
n
?
Bài 5. Cho dãy (S
n
):
2 3

*
1
1 2 2 2
(2 ), .
2 2 3



n
n
n
n
S n N
n

CM dãy (S
n
) đơn điệu giảm và bị chặn dới.
Bài 6. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn điều kiện
2
1.
a b


Dãy số (u
n
) đợc xác định:
2 2
0 1
0, . , .

n n n
u u au b u c n N

CMR mọi số hạng của dãy đều là số chính phơng.
Bài 7. Cho hai dãy số
2 1 1 2 1 1 *
2 2 1; 2 2 1, .


n n n n
n n
a b n N

CMR với mỗi n chỉ có một và chỉ một trong hai số a
n
, b
n
chia hết cho 5.
Bài 8. Dãy(a
n
) là một CSC,
*
0, .

n
a n N

Giả sử:

1 2
;

n
a a a


1 2
1 1 1
.

n
a a a

Tính
1 2
.
n
P a a a

theo
, .


Bài 9. Cho dãy (u
n
):
1 1
4. 5; ( 1), 1.
n n

u u n u


Xác định CTTQ tính u
n
? S
n
?
Bài 10. Cho dãy (u
n
):
1 2
1 1
, .
. ( ) , 2.
n n n
u u
a u a b u bu c n







Tìm CTTQ của u
n
, S
n
?

Bài 11. Ba số
2, 3, 5
có thể cùng có mặt trong một CSC hay CSN đợc hay không?
Bài 12
. CMR
*

n N
có :
2 2 2
1 1 1 5
1. .
1 2 3
n


1 1 1 1
2. 2.
2
3 2 4 3 ( 1)n n



Bài 13. Tìm CTTQ của các dãy số sau:

1
1
1
)
( 1), 1.

n n
u
a
u u n n n







1 2
2 1
1
).
, 0.
n n n
u u
b
u u u n







Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
22


1 2
2 1
2, 5
).
5 6 , 0.
n n n
u u
c
u u u n







1 2
1 2
1
, 0
).
2
2 1 0, 2.
n n n
u u

d
u u u n









Bài 14. Cho dãy (u
n
) xđ:

1
1
1
2
2 3
, 1.
2
n n
u
n
u u n
n

CMR:
1.
n
limS


Bài 15. Đặt
2 2 *
( ) ( 1) 1, .

f n n n n N
Dãy (u
n
) xđ:

*
(1). (3) (2 1)
, .
(2). (4) (2 )


n

f f f n
u n N
f f f n

1
: lim .
2
n
CMR n u

Bài 16. Cho dãy số (u
n
) có tính chất:
1 1
2 , ( ) 1.
n n n
u u u K Const n



Tính giới hạn
2
lim ?
n
u
n


Bài 17. Cho dãy (u
n

):
*
1 2
0 2
2. 0, .






n
n n n
u
u u u n N

*
1
: ( ) 2, .


n n
CMR n u u n N

Bài 18.
Cho dãy (u
n
):
1
3 2

1
2
3. 2 9 9 3, 1.
n n
u
u u n n n n







CMR với p là số nguyên tố thì
1
.
p
S p



Bài 19
Cho dãy (a
n
):
2 *
1 1
1, 2. 1, .

n n
a a a n N
CMR:
1 2 1

n
n n
a b
.
Bài 20
Cho dãy (a
n
):
1 2
1 2
2 1
.
1 1
, , .
2 3 3. 2.
n n
n
n n
a a
a a a
a a

CMR:
*
1
1
, .
2 1



n
n
a n N

Bài 21 Cho dãy (u
n
):
1
*
1
1
8
, .
5

n
n
u
u
u n N
và dãy (v
n
): v
n
= u
n
2,
*
.

n N

CMR:
1
( )
5

n
n
v

Bài 22
Có tồn tại CSN chứa đồng thời 3 phần tử: 2, 3, 5 không ?

Có tồn tại CSC chứa đồng thời 3 phần tử: 1,
3,
3 không ?
Bài 23 Cho
1 2
, , , 0; 2
k
a a a k

thỏa mãn:
1 2
.
k
a a a k


Đặt
*
1 2
, .

n n n
n k
u a a a n N
CMR (u
n
) là dãy tăng.

Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.

Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
23


Tài liệu tham khảo

1. SGK Đại số lớp 11. ( Chơng trình không phân ban)
2. SGK Đại số lớp 11. ( Chơng trình phân ban)
3. Phơng pháp quy nạp toán học. Nguyễn Hữu Điển
4. Một số bài toán chọn lọc về dãy số. Nguyễn Văn Mậu
5. Cơ sở lý thuyết và một số bài toán về dãy số. Võ Giang Giai
6. 10.000 bài toán sơ cấp Dãy số và giới hạn. Phan Huy Khải
7. Bất đẳng thức.Phan Đức Chính.
8. Nâng cao giải tích 12. Phan Huy Khải.
9.
Bồi dỡng đại số 11. Phan Huy Khải.

10.
Tuyển tập đề thi OLIMPIC 30-4, lần X 2004.

11.
Tuyển tập đề thi OLIMPIC 30-4, lần XI 2005.

12.
Tuyển tập đề thi OLIMPIC 30-4, lần XII 2006.

13.
Tuyển tập đề thi OLIMPIC 30-4, lần XIII 2007.

14.
Tuyển tập đề thi OLIMPIC 30-4, lần XIII 2008.

15.
Báo Toán học và tuổi trẻ.







Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.