Các dạng bài toán về tính giới hạn hàm

1



Phần 1. Các dạng bài toán về tính giới hạn hàm số

 Một số giới hạn cơ bản được dùng trong các kì thi:

0
sinx
lim 1
x
x


;
0
1
lim 1
x
x
e
x





0

ln(1 )
lim 1
x
x
x



;
1
00
1
lim 1 lim(1 )
x
x
xx
xe
x


   




2
2
00
sin 1 cos
lim 1;lim , , 0

ax 2
xx
ax ax a
a R a
x


   
( * )( cái này có được vì sao? )
@ Sau đây là các bài toán hay và thường gặp về giới hạn
 Thí dụ 1. Tìm giới hạn
3
0
2 1 8
lim
x
xx
T
x

  

( ĐHQGHN 1997 )
Lời giải.
Trước hết ta thêm bớt 2 trên tử rồi tách ra như sau
3
00
2( 1 1) (2 8 )
lim lim
xx

xx
T
xx

   

tại sao lại là số 2? Đến đây chắc chắn bạn sẽ làm theo cách
nhân lượng liên hiệp, ( ko hay cho lắm, nếu căn lớn hơn ). Bạn chú ý nhá:
Đặt
3
1 ; 8u x v x   
thì
23
1; 8 ; , 2x u x v u v    
. Như vậy chúng ta có thể viết:
 
2 3 2
2 2 2 2
21
2 2 1 2 1 3
lim lim lim lim
1 8 1 4 2 3 12 4
u v u v
u
v
T
u v u v v
   



      
    
(cách giải này có cái hay là
chúng ta đã loại đi những dấu căn cồng kềnh, khi đổi biến thì nhớ đổi ‘cận’ của giới hạn). Ưu
điểm hơn qua bài toán sau:

 Thí dụ 2. Tìm giới hạn
5
4
1
2 1 2
lim
1
x
xx
T
x

  


( ĐHSPHN 1999 )
ĐS:
7
10
T 
,
Câu hỏi đặt ra là làm sao tìm được hệ số tự do thêm bớt vào ( trong bài 1 là số ‘2’ ấy ). Bạn xem
bài toán tổng quát từ đó rút ra suy nghĩ nhé:
( ) ( )

lim
nm
xa
f x g x
T
xa




số bạn cần tìm là:
( ) ( )
nm
f a g a
nếu điều này không xảy ra thì có nghĩa bạn đang đối mặt với một bài toán khó
hơn! Bạn nhìn lại thí dụ 1 và 2 điều này có đúng không.









2
 Thí dụ 3. Tìm giới hạn
2
0
1 cos cos2

lim
x
xx
T
x




Lời giải. Biến đổi và sử dụng công thức ( * )
2 2 2 2
0 0 0
1 cos 1 os2 1 cos 1 os2
lim( cos . ) lim limcos .
x x x
x c x x c x
T x x
x x x x
  
   
   

22
1 2 5
2 2 2
  

Tổng quát:
2 2 2
2

0
1 cos 2 ...cos 1 2 ...
lim
2
x
xco x nx n
x

   


 Thí dụ 4. Tìm giới hạn
cos os3
2
0
os2
lim
x c x
x
e c x
T
x





Lời giải. Biến đổi như sau
cos os3
22

0
1 1 os2
lim( )
x c x
x
e c x
T
xx




bạn đang gặp lại dạng thêm bớt lúc đầu nhé!
Vậy
12
T T T
với
cos os3 cos os3
1
2 cos os3 2
00
1 1 cos os3
lim lim .
x c x x c x
x c x
xx
e e x c x
T
xx





  




cos os3
cos os3 2 2
0
1 1 os3 1 cos
lim
x c x
x c x
x
e c x x
xx



  





o
 
cos os3

cos os3
00
11
lim lim 1; cos os3
x c x t
x c x
xt
ee
t x c x
t




   


 Thí dụ 5. Tính giới hạn
0
ln(sinx cos )
lim
x
x
T
x




Lời giải. Biến đổi

2
00
ln(sinx cos ) ln(1 sin2 ) sin2
lim lim( . )
2 sin2 2
xx
x x x
T
x x x



( nhớ học công thức nhan
các anh em )
o
00
ln(1 sin2 ) ln(1 )
lim lim ; sin2
sin2
xt
xt
tx
xt




o
00
sin2 sin

lim lim ; 2
2
xu
xt
ux
xt



Vậy
1.1 1T 
( chú ý phải trình bày cẩn thận các phép đổi cận thì giang hồ mới chấp nhận ví
như ko được viết
0
sin2
lim 0
2
x
x
x


)

 Thí dụ 6. Tìm giới hạn
3
lim
1
x
x

x
T
x








Lời giải. Thực hiện phép biến đổi
32
lim lim 1
11
xx
xx
x
T
xx
 

   
  
   

   

Đặt
21

1xt


, ta có
2 1;x t x t     
vì vậy
2
2 1 1
2
1 1 1
lim 1 lim 1 1
tt
tt
Te
t t t

 

     
     

     

     



 Thí dụ 7. Tìm giới hạn



3
3 2 2
lim 3 1
x
T x x x x

    



3
Lời giải. Thực hiện phép biến đổi đơn giản


3
3 2 2
lim ( 3 ) ( 1 )
x
T x x x x x x

      
(cái này gợi cho ta sự thêm bớt đúng hem, nhưng nó
mang đẳng cấp cao hơn rùi)
o


 
2
3
32

3
3 2 3 2 2
3
3
lim 3 lim
33
xx
x
D x x x
x x x x x x
 
   
   
2
3
3
3
lim 1
33
1 1 1
x
xx



   



o

2
2
1
lim ( 1 ) lim
1
xx
x
Du x x x
x x x
 

    
  
2
1
1
1
lim
2
11
11
x
x
xx




  

Vậy
3
2
T D Du  

 Thí dụ 8. Tìm giới hạn T=
0
sin(sinx)
lim
x
x

( ĐH Bách Khoa HN 1997 ) – cùi bắp
Lời giải.
00
sin(sinx) sinx sin(sinx)
lim lim . 1
sinx
xx
xx






 Thí dụ 9. Tìm giới hạn
 
2
0

1 cos
lim
11
x
x
T
x





Lời giải. Ta thực hiện biến đổi sau
   
2 2 2 2
22
2
00
2sin (1 1 ) 2sin (1 1 )
22
lim lim
1 1 1 1
xx
xx
xx
T
x
xx

   


   
22
2
0
2sin (1 1 )
2
lim 1
4
2
x
x
x
x






( bạn
trình bày chỗ này rõ ra nhé! )

 Thí dụ 10. Tính giới hạn sau
2
0
1 os 2
lim
sin
x

cx
T
xx



( ĐN 1997 )
Lời giải.
2
22
0 0 2 0
1 os 2 sin 2 sin 2 4
lim lim lim . 4
sinx
sin sin 2
x x x
c x x x
T
x x x x x
x
  


   






Chỉ là những phép biến đổi khéo léo ở bạn đó!

 Thí dụ 11. Tìm giới hạn sau
0
1
lim . os
x
T x c
x


( ĐH Giao Thông 1997 )
Lời giải. Bài này phải dùng pp đánh giá nói đúng hơn là nguyên lí kẹp của vaiơstrat ( hic sách
giáo khoa 11 cho nhỏ bên cạnh nhà mượn rùi, ghi nhầm có gì bà con bỏ qua nhen )
Tóm tắt pp: Giả sử ta có :


4
o
( ) ( ) ( );u x f x v x x D   
( tập xác định của ba hàm số này )
o
lim ( ) lim ( ) ;
x a x a
u x v x Dieu a D

  

Thì
lim ( ) ;

xa
f x Dieu a D



( ui khuya quá rồi, nhớ cô bé đáng yêu ghê, ngày mai viết tiếp, bé ơi ngủ đi đêm đã khuya rồi …
măm măm, tối thứ bảy, 29-3-2009 )
Tiếp nè:
 
1 1 1
cos os cos 1x x c x x x x
x x x
     
   
0 0 0
1
lim lim cos lim 0
x x x
x x x
x
  

    


0
1
lim cos 0
x
x

x







 Thí dụ 12. Tìm giới hạn sau
0
1 1 sin3
lim
1 cos
x
x
T
x




( ĐHQG HN 1997 )
Lời giải. Biến đổi như sau
00
1 1 sin3
1 1 sin3
lim lim
1 cos 1 cos
xx
x

x
T
xx





( vì
1 sin3 0x
)
32
2
2
0 0 0
4sin 3sin sinx 4sin 3
1 os
lim lim lim 4sin 3
1 co s
1 os 1 cos
x x x
x x x
cx
x
ax
cx
  


   



2
0
lim 1 cos 4sin 3 3 2
x
xx

   


 Thí dụ 13. Tính giới hạn sau
sinx
lim
sinx
x
x
T
x




( ĐHGT 1998 )
Lời giải. Tiếp tục ý tưởng với nguyên lí kẹp của vaiơstrat, bắt đầu nào
sinx
sinx 1 1 sinx 1 sinx
; 0 lim 0
x
x

x x x x x x x


        
( các bạn nên thuộc giới hạn này
nhé )
Vì vậy
sinx
sinx
1
1
sinx
lim lim lim 1
sinx
sinx
sinx
1
1
x x x
x
x
x
x
T
x
x
x
x
  







   








 Thí dụ 14. Tính giới hạn sau
3
2
0
2 1 1
lim
sinx
x
xx
T

  

( ĐHQG HN 2000 )
Lời giải. Các bạn nhớ lại ý tưởng thêm bớt nhé, chúng ta thử mới biết là có giải được hay không?
3

2
0
( 2 1 1) ( 1 1)
lim
sinx
x
xx
T

    

3
2
00
( 2 1 1) ( 1 1)
lim lim
sinx sinx
xx
xx

   

AB

o
  
   
00
2 1 1 2 1 1
12

lim lim . 1
sinx
2 1 1 sinx 2 1 1
xx
xx
A
xx
x

   
  
   



5
o








33
2 2 2 2
3
00
33

2 2 2 2 2 2
33
1 1 ( 1) 1 1
1
lim lim 0
sinx
( 1) 1 1 sinx ( 1) 1 1
xx
x x x
x
B
x x x x
x


     

  

       



o Vậy
1T 
.


 Thí dụ 15. Tính giới hạn
2

2
0
3 cos
lim
x
x
x
T
x



( ĐHSP HN 2000 )
22
ln3
22
00
3 cos ( 1) (1 cos )
lim lim
xx
xx
x e x
T
xx

   


 
2

2
ln3
2
2
00
2sin
1
1
2
lim .ln3 lim ln3
.ln3 2
4
2
x
xx
x
e
x
x


   





 Thí dụ 16. Tính giới hạn sau
2
0

1 cos cos2 cos3
lim
x
x x x
T
x




Lời giải. Bạn hãy nhìn lại thí dụ 3 xem sao, tôi khẳng định chúng có mối quan hệ với nhau, hehe,
còn quan hệ như thế nào bạn tự suy nghĩ nhé!
Đs:
7
2
T 
( nếu bí quá bạn có thể liên hệ với chúng tôi qua )

 Thí dụ 17. ( Một bài toán cực kì quan trọng )
Tính giới hạn sau
0
1 ax 1
lim
n
x
T
x




với n nguyên dương
Lời giải. Thực hiện phép đổi biến đê:
Đặt
1 ax
n
y 
Khi ấy
0x 
thì
1y 
vì thế em có :
 
 
12
11
11
lim lim
1
1 ... 1
n
nn
yy
yy
T a a
y
y y y y






    
12
1
1
lim
... 1
nn
y
a
a
y y y n



   

Làm một vài ứng dụng của nó nha! ( Bạn hãy tổng quát kết quả trên với đa thực bậc n:
10
( ) ...
n
n
p n a x a x a   
nhá, có nghĩa là lúc này x được thay bằng p(n) )