phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm p2

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1




Dạng 2. PP lượng giác hóa
 Nếu hàm f(x) có chứa
2 2
a x
−
thì đặt
2 2 2 2 2
(asin ) cos
asin
sin cos
dx d t a t dt
x t
a x a a t a t
= =


= →

− = − =



 Nếu hàm
f

(
x
) có chứa
2 2
a x
+
thì đặt
2
2 2 2 2 2
( tan )
cos
tan
tan
cos

= =


= →


+ = + =


adt
dx d a t
t
x a t
a
a x a a t

t


M
Ộ
T S
Ố
VÍ D
Ụ
M
Ẫ
U:
Ví dụ 1.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)

( )
1
2
; 2
4
= =
−
∫
dx
I a

x


b)

( )
2
2
1 ; 1
= − =
∫
I x dx a
c)
( )
2
3
2
; 1
1
= =
−
∫
x dx
I a
x
d)
( )
2 2
4
9 ; 3

= − =
∫
I x x dx a
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) Đặ
t
1
2 2
2
(2sin ) 2cos
2cos
2sin
2cos
4 4 4sin 2cos
4
dx d t t dt
dx t dt
x t I dt t C
t
x t t
x
= =



= → → = = = = +

− = − =
−


∫ ∫ ∫

T
ừ
phép
đặ
t
1
2sin arcsin arcsin
2 2
x x
x t t I C
   
= ⇔ = → = +
   
   

b) Đặ
t
2 2
(sin ) cos
sin
1 1 sin cos
dx d t t dt

x t
x t t
= =


= →

− = − =



Khi
đ
ó
2
2
1 cos2 1 1 1
1 cos .cos cos2 sin 2
2 2 2 2 4
t t
I x dx t t dt dt dt t dt t C
+
= − = = = + = + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Từ
2 2
2
cos 1 sin 1
sin sin 2 2sin .cos 2 1

arcsin
t t x
x t t t t x x
t x


= − = −
= ⇒ → = = −

=



2
2
arcsin 1
1
2 2
x
I x x C
→ = + − +

c) Đặt
2 2
(sin ) cos
sin
1 1 sin cos
dx d t t dt
x t
x t t

= =


= →

− = − =



Khi đó,
2 2
2
3
2
sin .cos 1 os2 1 1
sin sin2
cos 2 2 4
1
x dx t t dt c t
I t dt dt t t C
t
x
−
= = = = = − +
−
∫ ∫ ∫ ∫

Từ
2 2
2

cos 1 sin 1
sin sin 2 2sin .cos 2 1
arcsin
t t x
x t t t t x x
t x


= − = −
= ⇒ → = = −

=



2
3
arcsin 1
1
2 2
x
I x x C
→ = − − +

d) Đặt
2 2
(3sin ) 3cos
3sin
9 9 9sin 3cos
dx d t t dt

x t
x t t
= =


= →

− = − =



Khi
đó,
2 2 2 2 2 2
4
81 81 1 os4
9 9sin .3cos .3cos 81 sin .cos sin 2
4 4 2
c t
I x x dx t t t dt t t dt t dt dt
−
= − = = = =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Tài liệu bài giảng:

03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

81 1 1 81 1
os4 sin4
4 2 2 4 2 8
t
dt c t dt t C
   
= − = − +
 
 
   
∫ ∫

Từ
2
2
2
cos 1 sin 1
2
9
3sin sin2 1
3 9
arcsin
3
x
t t
x x
x t t

x
t

= − = −


= ⇒ → = −

 

=
 

 


M
ặt khác,
2
2 2 2
2
2 2 2
os2 1 2sin 1 2 1 sin4 2sin 2 . os2 2. 1 . 1
3 9 3 9 9
x x x x x
c t t t t c t
 
 
= − = − = − → = = − −
 

 
 
 

T
ừ

đ
ó ta
đượ
c
2 2
4
arcsin
81 2
3
1 . 1 .
4 2 6 9 9
x
x x x
I C
 
 
 
 
 
 
 
= − − − +
 

 
 
 
 

Ví dụ 2.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)

( )
1
2
; 1
1
dx
I a
x
= =
+
∫


b)

2
2

2 5
I x x dx
= + +
∫


c)

( )
2
3
2
; 2
4
x dx
I a
x
= =
+
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) Đặ
t

2
2
2
1
2
2 2
(tan ) (1 tan )
(1 tan )
tan
cos
1 tan
1 1 tan
dt
dx d t t dt
t dt
x t I dt t C
t
t
x t

= = = +
+

= → → = = = +

+

+ = +

∫ ∫

T
ừ
gi
ả
thi
ế
t
đặ
t
1
tan arctan arctan .
x t t x I x C
= ⇔ = → = +

b)
Ta có

1
2 2 2
2
2 5 ( 1) 4 ( 1) 4
t x
I x x dx x d x I t dt
= +
= + + = + + + → = +
∫ ∫ ∫


Đặ

t
2
2
2
2
2 2
2
(2tan )
2 cos
cos
2tan
2
2
cos cos
.cos
4 4 4tan
cos
cos
du
dt d u
du du udu
u
t u I
u u
u
t u
u
u

= =



= → → = = =


+ = + =


∫ ∫ ∫

2
(sin ) 1 (1 sin ) (1 sin ) 1 (sin ) 1 (sin ) 1 1 sin
(sin ) ln .
1 sin 2 (1 sin )(1 sin ) 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin
d u u u d u d u u
d u C
u u u u u u
+ + − +
= = = + = +
− + − − + −
∫ ∫ ∫ ∫

T
ừ
phép
đặ
t
2 2
2 2
2 2 2

1 4
2tan tan 1 sin 1 os 1
2 os 4 4 4
t t t
t u u u c u
c u t t
= ⇔ = → = + → = − = − =
+ +

T
ừ

đ
ó ta
đượ
c
2 2
2
2 2
1
1 1
1 1 sin 1 1
4 2 5
ln ln ln .
1
2 1 sin 2 2
1 1
4 2 5
t x
u

t x x
I C C C
t x
u
t x x
+
+ +
+
+ + +
= + = + = +
+
−
− −
+ + +

c) Đặ
t
2
2
2 2
2
(2tan ) 2(1 tan )
os
2tan
4 4tan 4
dt
dx d t t dt
c t
x t
x t


= = = +

= →


+ = +


( )
2 2 2 2 2
2 2
3
2
3 4
2
2
4tan .2(1 tan ) sin sin .cos sin . (sin )
4 tan 1 tan 4 4 4
cos cos
2 1 tan
1 sin
t t dt t t tdt t d t
I t t dt dt
t t
t
t
+
→ = = + = = =
+

−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Đặ
t
( )
2
2
2
3
2 2
2
1 (1 ) (1 )
sin 4 4 4
1 2 (1 )(1 )
1
u u u u
u t I du du du
u u u
u
 
+ − −
 
= → = = =
 
 
− + −
 
 
−

∫ ∫ ∫

2
2 2 2 2
1 1 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
1 1 (1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )
du du du d u d u u u du
du
u u u u u u u u u u
− + − + +
 
= − = + − = − + −
 
− + − + − + − + − +
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1 1 1 1 1 1 1
ln 1 ln 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
du du
du u u C
u u u u u u u u u u
 
− − − + = − − − − = − − − + + − +
 
− + + − − + + − − +
 
∫ ∫ ∫

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

3
1 1 1 1 1 1 1 1 sin 1
ln ln ln .
1 1 1 1 1 1 sin 1 sin 1 sin 1
u u t
C I C C
u u u u u u t t t
− − −
= − + + → = − + + = − + +
− + + − + + − + +

Từ giả thiết
2 2
2 2 2
2 2 2
1 4
2tan tan 1 tan 1 os sin
2 os 4 4 4
x x x
x t t t c t t
c t x x
= ⇔ = → = + = + ⇔ = → =
+ +

2

3
2
2 2 2
1
1 1
4
sin ln .
4
1 1 1
4 4 4
x
x
x
t I C
x x x
x
x x x
−
+
⇔ = → = − + +
+
− + +
+ + +

Ví dụ 3.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:

a)

1
2
1
dx
I
x
=
−
∫


b)

2
2 2
4
dx
I
x x
=
−
∫


c)

3
2

2 2
dx
I
x x
=
− −
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) Đặ
t
2
2
1
2
2
2
2
2
1 cos
cos
sin sin
1 cos
sin

sin sin .cot
1
1
1 cot
1 1
sin
t dt
t dt
dx d
dx
t t
dx t dt
t
x I
t t t
x
x t
x
t
 −
 
−
= =

 

=
−
 
 

= → ←→ → = =
 
−
 
− =
− = −



∫ ∫

2 2
sin (cos ) (cos ) 1 (1 cos ) (1 cos ) 1 1 cos
(cos ) ln .
sin 1 cos (1 cos )(1 cos ) 2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos
t dt d t d t t t t
d t C
t t t t t t t
− + + +
= − = = = = +
− − + − + −
∫ ∫ ∫ ∫

T
ừ
phép
đặ
t
2
2

2 2
1
2
2
1
1
1 1 1 1
os 1 sin 1 cos ln .
sin 2
1
1
x
x
x
x c t t t I C
t x x
x
x
−
+
−
= → = − = − ⇔ = → = +
−
−

b)

Đặ
t
2

2
2 2 2
2
2
2
2 2cos
2cos
sin sin
2
sin
8cot
sin
4
4 2cot 4
4 4
sin
sin
t dt
t dt
dx d
dx
t t
t
x
t
t
x t x x
x
t
t


−
 
−

= =
=
 


 
 
= → ←→
 
 
− =
⇒
− =
− = −





Khi
đ
ó,
2
2 2
2

2
2cos 1 1
sin cos .
8cot
4 4
4
sin .
sin
dx t dt
I t dt t C
t
x x
t
t
−
= = = − = +
−
∫ ∫ ∫

T
ừ

2 2
2 2
2
2
2 4 4 4
os 1 sin 1 cos .
sin 4
x x

x c t t t I C
t x x x
− −
= → = − = − ⇔ = → = +

c)

( )
1
3 3
2 2 2 2
2
( 1)
2 2 ( 1) 3 3
3
t x
dx d x dt dt
I I
x x x t
t
= −
−
= = → = =
− − − − −
−
∫ ∫ ∫ ∫

Đặ
t
2

2
2
2
2
3 3cos
3cos
sin sin
3
sin
sin
3
3 3cot
3 3
sin
udu
dt d
udu
dt
u u
t
u
u
t u
t
u

 
−

= =

 −
 
 
=


 
= → ←→
 
 
− =
− = −




3
2 2
2
2
3cos sin (cos ) (cos )
sin 1 cos (1 cos )(1 cos )
sin . 3cot
3
dt udu udu d u d u
I
u u u u
u u
t
−

→ = = = − = =
− − +
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 (1 cos ) (1 cos ) 1 1 cos
(cos ) ln .
2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos
u u u
d u C
u u u
− + + +
= = +
− + −
∫

T
ừ
2 2
2
2
3
2
2 2
3 2 2
1 1
3 3 3 1 1
1
os 1 cos ln ln .
sin 2 2

3 2 2
1 1
1
t x x
t
t x
t c u t I C C
u t t
t x x
t x
− − −
+ +
−
−
=
⇒
= − ⇔ = → = + = +
− − −
− −
−

Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
4


2 2
1
arctan .

dx x
C
x a a a
 
= +
 
+
 
∫


2 2
1
ln .
2
dx x a
C
x a a x a
+
= +
− −
∫


2 2
1
ln .
2
dx x a
C

a x a x a
−
= +
− +
∫


2
2
ln .
dx
x x a C
x a
= + ± +
±
∫


BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
2
1
2
4
x dx
I
x
=
+
∫

2)
2
2
2
1 x
I dx
x
−
=
∫
3)
2
3
2
4
x dx
I
x
=
−
∫

4)
4
2
1
3 2
I dx
x x
=

−
∫
5)
2
5
2 1
I x dx
= +
∫
6)
6
2
2 5
dx
I
x
=
−
∫