Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 14

Vấn đề 4: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất
đònh. Phương pháp đổi biến số để xác đònh nguyên hàm có hai dạng dựa trên đònh lý sau:
Đònh lý:
a/ Nếu
f(x)dxF(x)Cvàu(x)=+=j
ò
là hàm số có đạo hàm thì
f(u)duF(u)C=+
ò
.
b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = j(t) trong đó j(t) cùng với đạo hàm của nó
(j’(t) là những hàm số liên tục, ta sẽ được:
f(x)dxf[(t)].'(t)dt.=jj
òò

Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến như sau:
Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tích tích phân bất đònh
If(x)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.
+ Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt
+ Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó
Ig(t)dt.=

ò

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:
Dấu hiệu Cách chọn
22
ax-
xasintvớit
22
xxcostvới0t
pp
é
=-££
ê
ê
=££p
ê
ë

22
xa-
a
xvớit;\{0}
sint22
a
xvớit[0;]\{}
cost2
é pp
éù
=Ỵ-
ê

êú
ëû
ê
p
ê
=Ỵp
ê
ë

22
ax+
xatgtvớit
22
xacotgtvới0t
pp
é
=-<<
ê
ê
=<<p
ê
ë

axax
hoặc
axax
+-
-+

x = acos2t

(xa)(bx)--
x = a + (b – a)sin
2
t

Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I.
(1x)
=
-
ò

Giải:
Đặt xsint;t
22
pp
=-<<
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 15
Suy ra:
32
23
dxcostdtdt
dxcostdt&d(tgt)
costcost
(1x)
====
-

Khi đó:
2
x
Id(tdt)tgtCC.
1x
==+=+
-
ò

Chú ý: Trong ví dụ trên sở dó ta có:
233
2
x
(1x)costvàtgt
1x
-==
-

là bởi:
2
22
costcost
tcost0
22
cost1sint1x
ì
=
pp
ï

-<<Þ>Þ
í
=-=-
ï
ỵ

Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh:
2
2
xdx
I
x1
=
-
ò

Giải:
Vì điều kiện x1> , ta xét hai trường hợp :
· Với x > 1
Đặt:
1
x;0t
sin2t4
p
=<< Suy ra:
2
2cos2tdt
dx
sin2t
=

ú
2222
333
2
xdx2dt2(costsint)dt
sin2t8sintcost
x1
+
=-=-
-


22
222
1111
(cotgt.tgt.)dt
4sintcostsintcost
11121
(cotgt.tdt.)
4sintcosttgtcost
1d(tgt)
[cotgt.d(cotgt)tgt.d(tgt)2].
4tgt
=-++
=-++
=--++

Khi đó:
1d(tgt)
I[cotgt.d(cotgt)tgt.d(tgt)2]

4tgt
=--++
òòò


2222
22
11111
(cotgttgt2lntgt)C(cotgttgt)lntgtC
42282
11
xx1lnxx1C.
22
=--+++=--+
=----+

· Với x < –1 Đề nghò bạn đọc tự làm
Chú ý: Trong ví dụ trên sở dó ta có:
2222
cotgttgt4xx1vàtgtxx1-=-=--
là bởi:
442
22
22222
costsint4cos2t41sin2t41
cotgttgt1
cost.sintsin2tsin2tsin2tsin2t
--
-====-
tgt =

-
===-
22
2
sint2sint1cos2t1cos2t
cost2sint.costsin2tsin2t
sin2t
= --
2
11
1
sin2t
sin2t

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 16
Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh:
23
dx
I
(1x)
=
+
ò

Giải:
Đặt: xtgt;t
22
pp
=-<< . Suy ra:

3
22
23
dtdxcostdt
dx&costdt.
costcost
(1x)
===
+

Khi đó:
2
x
IcostdtsintCC
1x
==+=+
+
ò

Chú ý:
1. Trong ví dụ trên sở dó ta có:
22
1x
costvàsint
1x1x
==
++

là bởi:
2

2
costcost
tcost0
x
22
sinttgt.cost
1x
ì
=
pp
ï
-<<Þ>Þ
í
==
ï
+
ỵ

2. Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát:

222k1
dx
I,vớikZ.
(ax)
+
=Ỵ
+
ò

Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tích tích phân
If(x)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn t = y(x), trong đó y(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp
+ Bước 2: Xác đònh vi phân =ydt'(x)dx.
+ Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó
Ig(t)dt.=
ò










Dấu hiệu Cách chọn
Hàm số mẫu có t là mẫu số
Hàm số f(x,(x)j t(x)=j
Hàm
a.sinxb.cosx
f(x)
c.sinxd.cosxe
+

=
++

xx
ttg(vớicos0)
22
=¹
Hàm
1
f(x)
(xa)(xb)
=
++

· Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt:
txaxb=+++
· Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt:
txaxb=-+--

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 17
Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh:
328
Ix(23x)dx.=-
ò

Giải:
Đặt:
2
t23x=- . Suy ra: dt6xdx=

328228898
2t2t11
x(23x)dxx(23x)xdx.t.dt(t2t)dt.
33618
--
ỉư
-=-==-=-
ç÷
èø

Khi đó:
98109109
111211
I(t2t)dtttCttC
181810918081
ỉư
=-=-+=-+
ç÷
èø
ò

Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh:
2
xdx
I
1x
=
-
ò

Giải:
Đặt:
2
t1xx1t=-Þ=-
Suy ra:
222
42
xdx(1t)(2tdt)
dx2tdt&2(t2t1)dt
t
1x
--
=-==-+
-

Khi đó:
425342
122
I2(t2t1)dt2tttC(3t10t15)tC
5315
ỉư
=-+=--++=--++
ç÷
èø
ò

22
22
[3(1x)10(1x)15]1xC(3x4x8)1xC

1515
=----+-+=-++-+

Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh:
522
3
Ix(12x)dx.=-
ò

Giải:
Đặt:
3
3 22
1t
t12xx
2
-
=-Þ= . Suy ra:
2
3
2xdxttdt,
2
=-

3
5222222274
33
1t33
x(12x)dxx(12x)xdx.ttdt(tt)dt.
248

-
ỉư
-=-=-=-
ç÷
èø

Khi đó:
7485632
33113
I(tt)dtttC(5t8t)tC
8885320
ỉư
=-=-+=-+
ç÷
èø
ò


22222
3
3
[5(12x)8(12x)](12x)C
320
=----+

4222
3
3
(20x4x3)(12x)C.
320

=---+
Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh:
3
Isinxcosxdx.=
ò

Giải:
Đặt:
2
tcosxtcosx=Þ=
dt = sinxdx,
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 18

322
462
sinxcosxdxsinxcosxsinxdx(1cosx)cosxsinxdx
(1t).t.(2tdt)2(tt)dt.
==-
=-=-

Khi đó:
627362
112
I2(tt)dt2ttC(3t7t)tC
7321
ỉư
=-=-+=-+
ç÷
èø

ò


3
2
(cosx7cosx)cosxC.
21
=-+
Ví dụ 8: Tính tích phân bất đònh:
3
2
cosx.sinxdx
I
1sinx
=
+
ò

Giải:
Đặt:
22
t1xx1tat1sinx=-Þ=-=+
Suy ra: dt2sinxcosxdx,=

32
22
cosx.sinxdxsinx.cosx.sinxdx(t1)dt11
1dt.
1sinx1sinx2t2t
-

ỉư
===-
ç÷
++
èø

Khi đó:
22
111
I1dtf12(tlntC[1sinxln(1sinx)]C
2t2
ỉư
=-=-+=+-++
ç÷
èø
ò

Ví dụ 9: Tính tích phân bất đònh:
2
8
cosxdx
I.
sinx
=
ò

Giải:
Đặt: t = cotgx
Suy ra:
2

1
dtdx,
sinx
=-

22
2222
862422
222
cosxdxcosxdx1dxdx
cotgxcotgx.(1cotgx)
sinxsinxsinxsinxsinxsinx
t.(1t)dt.
===+
=+

Khi đó:
22642753
121
It.(1t)dt(t2tt)dttttC
753
ỉư
=+=++=+++
ç÷
èø
òò


753
1

(15cotgx42cotgx35cotgx)C.
105
=+++
Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh:
xx/2
dx
I
ee
=
-
ò

Giải:
Đặt:
x/2
te
-
=

Suy ra:
x/2
x/2
1dx
dtedx2dt,
2e
=-Û-=

x/2
xx/2xx/2x/2x/2
dxdxedx2tdt1

2(1)dt
eee(1e)e(1e)1tt1
-
--
-
====+
-----