Tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 92

Vấn đề 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác đònh có hai dạng cơ bản (ngoài ra
còn dạng 3) dựa trên đònh lý sau:
Đònh lý:
a. Nếu f(x)dxF(x)Cvàu(x)=+=j
ò
là hàm số có đạo hàm trong [a ; b] thì:

(b)
(b)
(a)
(a)
f(u)duF(u)
j
j
j
j
=
ò

b. Nếu hàm số f(x) xác đònh và liên tục trên đoạn [a ; b], hàm số x = j(t) xác đònh và
(i) Tồn tại đạo hàm j’(t) liên tục trên đoạn [a; b]
(ii) j ( a ) = a và j(b) = b.
(iii) Khi t biến đổi từ a đến b thì x biến thiên trong đoạn [a ; b]
Khi đó:
b
a

f(x)dxf[(t)]'(t)dt.
b
a
=jj
òò


Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tính tsch phân
b
a
If(x)dx.=
ò

Giải:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.
Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt
Bước 3: Tính các cận a và b tương ứng theo a và b
Bước 4: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
Bước 5: Khi đó: Ig(t)dt.
b
a
=
ò

Lưu ý: Chúng ta cần nhớ lại các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông
thường là:
Dấu hiệu Cách chọn
22
ax-

xasintvới/2t/2
xacostvới0t
é=-p££p
ê
=££p
ë

22
xa-
a
xvớit[;]\{0}
sint22
a
xvớit[0;]\{}
cost2
é pp
=Ỵ-
ê
ê
p
ê
=Ỵp
ê
ë

22
ax+
xatgtvới/2t/2
xacotgtvới0t
é=-p<<p

ê
=<<p
ë

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 93
Dấu hiệu Cách chọn
axax
hoặc
axax
+-
-+

x = acos2t
(xa)(bx)--
2
xa(ba)sint=+-

Ví dụ 1: (ĐHTCKT_97) Tính tích phân : =
-
ò
2
2
2
0
2
x
Idx.
1x

Giải:
Đặt x = sint, khi đó: dx = costdt
Đổi cận: với x= 0 Þ t = 0;
2
xt.
24
p
=Þ=
Ta có:
2222
22
xdxsint.costdtsint.costdtsintcostdt1
(1cos2t)dt.
costcost2
1x1sint
====-
--

Khi đó:
/4
/4
0
0
1111
I(1cos2t)dttsin2t.
22284
p
p
p
ỉư

=-=-=-
ç÷
èø
ò

Ví dụ 2: Tính tích phân :
2/3
2
2
dx
I
xx1
=
-
ò

Giải:
Đặt
2
1cost
x,khiđó:dxdt
sint sint
==-
Đổi cận: với x= 1 Þ t = p/2;
2
xt.
3
3
p
=Þ=

Khi đó:
/2/2
2
/2
/3
/3/3
2
1
costdt
sint
dtt
1
6
1
sint1
sint
pp
p
p
pp
-
p
===
-
òò

Chú ý: Cũng có thể sử dụng phép đổi:
2/3
2

2
2
dx
I
1
x1
x
=
-
ò
.
Từ đó sử dụng phép đổi biến
1
t,
x
= ta sẽ nhận được:
3/2
2
1/2
dt
I.
1t
=
-
ò

Rồi tiếp tục sử dụng phép đổi biến t = sinu, ta được
/3
/3
/6

/3
Iduu.
6
p
p
p
p
p
===
ò

Đó chính là lời giải có thể bổ sung (để phù hợp với hạn chế chương trình của Bộ
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 94
GD&ĐT) hầu hết các tài liệu tham khảo trước đây.
Ví dụ 3: Tính tích phân :
0
a
ax
Idx,(a0)
ax
+
=>
-
ò

Giải:
Đặt xa.cos2t,khiđó:dx2a.sin2tdt.==-
Đổi cận: với xat
2

p
=-Þ= ; x0t
4
p
=Þ=
Ta có:
axaa.cos2t
dx(2a.sin2tdt)cotgt(2a.sin2tdt)
axaa.cos2t
++
=-=-
--


2
4a.cost.dt2a(1cos2t)dt.=-=-+
Khi đó:
/2
/2
/4
/4
1
I2a(1cos2t)dt2atsin2ta1
24
p
p
p
p
p
ỉưỉư

=-+=--=-
ç÷ç÷
èøèø
ò
.

Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tính tích phân
b
a
If(x)dx.=
ò

Giải:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác đònh x =
y(x) (nếu có thể).
Bước 2: Xác đònh vi phân dx = j’(t)dt
Bước 3: Tính các cận a và b tương ứng theo a và b
Bước 4: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
Bước 5: Khi đó: Ig(t)dt.
b
a
=
ò

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

Dấu hiệu Cách chọn
Hàm có mẫu số t là mẫu số
Hàm f(x,(x))j t(x)=j

Hàm
a.sinxb.cosx
f(x)
c.sinxd.cosxe
+
=
++

xx
ttg(vớicos0)
22
=¹
Hàm
1
f(x)
(xa)(xb)
=
++

· Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt:
txaxb=+++
· Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt:
txaxb=--+--
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 95
Ví dụ 4: Tính tích phân :
/3
2
/6
cosdx

I
sinx5sinx6
p
p
=
-+
ò

Giải:
Đặt x = sint, khi đó: dt = cosxdx
Đổi cận: với
1
xt
62
p
=Þ= ;
3
xt
32
p
=Þ=
Ta có:
22
cosdxdtdt
(t2)(t3)sinx5sinx6t5t6
==
---+-+

AB[(AB)t2A3B]dt
dt

t3t2(t2)(t3)
+--
ỉư
=+=
ç÷
----
èø

Từ đó:
AB0A1
2A3B1B1
+==
ìì
Û
íí
--==-
ỵỵ

Suy ra:
2
cosxdx11
dt.
t3t2sinx5sinx6
ỉư
=-
ç÷
---+
èø

Khi đó:

3/2
3/2
1/2
1/2
11t33(63)
Idtlnln
t3t2t2
5(43)
--
ỉư
=-==
ç÷
---
èø
-
ò

Ví dụ 5: Tính tích phân :
7
3
3
2
0
xdx
I
1x
=
+
ò

Giải:
Đặt
3
232
tx1tx1,=+Þ=+ khi đó:
2
2
3tdt
3tdt2xdxdx.
2x
=Þ=
Đổi cận: với x = 0 Þ t = 1; x7t2.=Þ=
Ta có:
332
34
3
2
xdxx.3tdt
3t(t1)dt3(tt)dt.
2xt
1x
==-=-
+

Khi đó:
2
2
52
4
1

1
tt141
I3(tt)dt3.
5210
ỉư
=-=-=
ç÷
èø
ò


Bài toán 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 3 tính tích phân
b
a
If(x)dx.=
ò

Giải:
Dựa vào việc đánh giá cận của tích phân và tính chất của hàm số dưới dấu tích
phân ta có thể lựa chọn phép đặt ẩn phụ, thông thường:
· Với
a
a
If(x)dx0
-
==
ò
có thể lựa chọn việc đặt x = –t
· Với
/2

0
If(x)dx
p
=
ò
có thể lựa chọn việc đặt tx.
2
p
=-
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 96
· Với
0
If(x)dx
p
=
ò
có thể lựa chọn việc đặt t = p – x
· Với
2
0
If(x)dx
p
=
ò
có thể lựa chọn việc đặt t = 2p – x
· Với
b
a
If(x)dx=

ò
có thể lựa chọn việc đặt x = a + b + t
Ghi chú: Xem vấn đề 6
Ví dụ 6: Tính tích phân :
1
2004
1
Ixsinxdx
-
=
ò

Giải:
Viết lại I về dưới dạng:
01
20042004
10
Ixsinxdxxsinxdx.
-
=+
òò
(1)
Xét tích phân
0
2004
1
Jxsinxdx.
-
=
ò

Đặt xtdxdt=-Þ=- khi đó:
2
2
3tdt
3tdt2xdxdx.
2x
=Þ=
Đổi cận: x = –1 Þ t = 1; x = 0 Þ t = 0
Khi đó:
01
20042004
10
I(t)sin(t)dtxsinxdx.=---=-
òò

Thay (2) vào (1) ta được I = 0. (2)
Ví dụ 7: (ĐHGT Tp.HCM_99) Tính tích phân :
/2
4
44
0
cosx
Idx.
cosxsinx
p
=
+
ò

Giải:
Đặt txdxdt
2
p
=-Þ=-
Đổi cận: với x = 0 Þ t =
2
p
; xt0.
2
p
=Þ=
Khi đó:
4
0/2/2
44
4444
44
/200
cos(t)(dt)
sintdtsinx
2
Idx.
costsintcosxsinx
cos(t)sin(t)
22
pp
p
p
--

===
pp
++
-+-
òòò

Do đó:
/2/2
44
44
00
cosxsinx
2IdxdxI.
24
cosxsinx
pp
+pp
===Þ=
+
òò