hệ phương trình tuyến tính

Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
CHƯƠNG 5:
CHƯƠNG 5:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH
TUYẾN TÍNH
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM
a/ Định nghĩa:
* Hệ thống m phương trình tuyến tính, n ẩn là hệ thống
có dạng:







=+++
=+++
=+++
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
bxa xaxa

bxa xaxa
bxa xaxa
)1(
Trong đó: a

ij
, b
i
(i=1, … , m; j=1, … , n) là những số
cho trước thuộc trường k còn x
1
, … , x
n
là các ẩn của
hệ.
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt)
* Ma trận














=
mnmm
n

n
aaa
aaa
aaa
A




21
22221
11211














=
mmnmm
n
n

B
baaa
baaa
baaa
A




21
222221
111211
* Ma trận
được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1)
được gọi là ma trận của hệ (1)
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt)
b/ Chú thích:
* Nếu đặt















=
m
2
1
b

b
b
B
thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận như sau: A.X = B
* Nếu B = 0 thì hệ (1) được gọi là hệ phương trình thuần
nhất.














=

n
2
1
x

x
x
X
;
;
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt)
b/ Chú thích (tt):
* Hệ thuần nhất AX = 0 luôn luôn tương thích vì nó có
ít nhất một nghiệm là X = 0 và nghiệm này được gọi là
nghiệm tầm thường.
* Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu hệ này có ít
nhất một nghiệm; ngược lại hệ không tương thích nếu
hệ này không có nghiệm.
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER
a/ Định nghĩa:
Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính
có số phương trình bằng số ẩn và ma trận của hệ
không suy biến.
Tức là hệ có dạng:








=+++
=+++
=+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa




)2(
2211
22222121
11212111
Trong đó A = (a
ij
) ∈ M
n
(K) và detA ≠ 0
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt)
b/ Định lý Cramer:
Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất cho bởi công thức:
n, ,2,1i,

A
A
x
)i(
i
==










=
n
1
b

b
B
Trong đó: A
(i)
là ma trận nhận được từ A bằng cách
thay cột thứ i bởi cột
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt)
Chú thích:

* Nếu B = 0 thì hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất là
X = 0.
* Vậy hệ thuần nhất AX = 0 (Ở đây m = n) có nghiệm
không tầm thường ⇔ detA = 0.
Ví dụ: giải hệ phương trình sau





=+−
=++
=−−
58
124
522
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt)
Ví dụ (tt) :
Ta có:
18
11-8
214
2-1-2

detA
==
3,2,1i,
A
A
x
)i(
i
==
Nhận xét: detA ≠ 0. Vậy đây là hệ phương trình
Cramer nên có nghiệm duy nhất cho bởi công thức:
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt)
Ví dụ (tt) :
18
115
211
215
)1(
=
−
−−
=
A
18
158
214
252
)2(
=

−
=
A
36
518
114
512
)3(
−=
−
−
=
A
Vậy nghiệm của hệ là





−=
=
=
2
1
1
3
2
1
x
x

x
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3. ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ
a/ Định lý Kronecker – Capeli
(Đối với hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương
trình n ẩn)
Hệ phương trình (1) có nghiệm ⇔ r(A) = r(A
B
)
* Hệ phương trình (1) vô nghiệm ⇔ r(A) < r(A
B
).


b/ Chú ý:
* Hệ p.trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔ r(A) = r(A
B
) = n.
*
Hệ p.trình (1) có vô số nghiệm ⇔ r(A) = r(A
B
) < n.
(lúc này số ẩn tự do của hệ là n – r(A))
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3. ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt)
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham
số m






=++
=++
=++
1
1
1
mzyx
zmyx
zymx
2
)1m)(2m(
m11
1m1
11m
Adet
−+==
Ta có:
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3. ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt)
Ví dụ (tt):
0det
2
1
≠⇒



−≠

≠
A
m
m
a/ Trường hợp:
⇒ hệ có nghiệm duy nhất









+
=
+
=
+
=
2
1
2
1
2
1
m
z
m

y
m
x
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3. ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt)
Ví dụ (tt):
b/ Trường hợp m = 1:
Hệ đã cho tương đương với hệ gồm 1 phương trình
x + y + z = 1
Lúc này r(A) = r(A
B
) = 1
Vậy hệ có vô số nghiệm với 2 ẩn tự do
Rtt
tz
ty
ttx
∈





=
=
−−=
21
2
1
21

,,
1
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3. ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt)
Ví dụ (tt):
c/ Trường hợp m = – 2:
Hệ đã cho trở thành





=−+
=+−
=++−
12
12
12
zyx
zyx
zyx
Ta tính được: r(A) = 2 < r(A
B
) = 3
Do đó trường hợp: m = – 2 hệ vô nghiệm
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT
Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Hệ này viết lại ở dạng ma trận là: A.X = 0
Với A ∈ M

mxn
(K), x ∈ M
nx1
(K)







=+++
=+++
=+++
0xa xaxa

0xa xaxa
0xa xaxa
)3(
nmn22m11m
nn2222121
nn1212111
*
Hệ thuần nhất luôn có nghiệm tầm thường là:
x = (0, 0, . . ., 0)
T
.
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
a/ Định lý:
Hệ thuần nhất (3) có nghiệm không tầm thường

⇔ r(A) < n (Số ẩn của hệ)
b/ Hệ nghiệm cơ bản:
Do đó nghiệm tổng quát của hệ là:
Nếu r(A) = r < n thì hệ phương trình (3) có vô số
nghiệm trong đó có n – r ẩn tự do.
*
Vấn đề ta quan tâm ở đây là khi nào hệ thuần nhất có
nghiệm không tầm thường (X ≠ 0)
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)
b/ Hệ nghiệm cơ bản (tt):











=
=
=
=
=
−
+
−

−
−
rnn
r
rnrr
rn
rn
tx
tx
tttx
tttx
tttx

), ,,(

), ,,(
), ,,(
(*)
11
21
2122
2111
ζ
ζ
ζ
; ở đây: t
; ở đây: t
1
1
, t

, t
2
2
, …, t
, …, t
n-r
n-r


tuỳ ý
tuỳ ý
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)
b/ Hệ nghiệm cơ bản (tt):
Trong (*) lần lượt cho:
Thì ta sẽ được (n – r) nghiệm là: x
1
, x
2
, …, x
n - r
t
t
1
1
= 1
= 1
, t
, t
2

2
= 0, …, t
= 0, …, t
n-r
n-r
= 0
= 0
t
t
1
1
= 0,
= 0,
t
t
2
2
= 1
= 1
, …, t
, …, t
n-r
n-r
= 0
= 0
…
…
t
t
1

1
= 0, t
= 0, t
2
2
= 0, …,
= 0, …,
t
t
n-r
n-r
= 1
= 1
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Trong đó nghiệm x
k
có dạng:





























ξ
ξ
ξ
=
0

1

0

x
rk
k2
k1
k

Ở đây: Số 1 nằm ở hàng thứ r + k
ξ
1k
= ξ(0, 0, …, 1, …, 0) với vị trí thứ k bằng 1.
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)
b/ Hệ nghiệm cơ bản (tt):
Các nghiệm x
1
, x
2
, … , x
n – r
được gọi là hệ nghiệm cơ
bản của hệ thuần nhất.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản
của hệ phương trình thuần nhất sau đây





=−++
=+−+
=−++
02352
03
0342
4321
4321

4321
xxxx
xxxx
xxxx
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)










−
−
 →
−→
0000
4510
3421
233
hhh
Xét:











−
−
−
=
2352
1131
3421
A










−
−
−
 →
−→
−→

4510
4510
3421
233
122
2hhh
hhh
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)



−=
+−=+
432
4321
45
342
xxx
xxxx
Hệ đã cho tương đương với hệ
Ở đây r(A) = 2 < n = 4 nên hệ có vô số nghiệm với 2 ẩn
số tự do và nghiệm tổng quát có dạng:








=
=
−=
+−=
24
13
212
211
45
1114
tx
tx
ttx
ttx
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)
Ví dụ 1 (tt):
Lần lượt cho t
1
= 1, t
2
= 0 và t
1
= 0, t
2
= 1, ta có 2
nghiệm cơ bản của hệ là:















−
=














−
=
1

0
4
11
xvà
0
1
5
14
x
21
Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)
Ví dụ 2:
Với điều kiện nào của α thì hệ phương trình sau có
nghiệm không tầm thường? Tìm nghiệm tổng quát và
hệ nghiệm cơ bản của hệ trong trường hợp ấy?
Ta có:





=+−
=++
=++
074
032
02
321
321

321
xxx
xxx
xxx
α
α
)1(2
714
312
21
+−=
−
=
α
A
α
α