phát triển các kỹ thuật nhánh cận và ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG




Phạm Chí Hiếu




PHÁT TRIỂN
CÁC KĨ THUẬT NHÁNH CẬN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60.48.01


LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH


NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TSKH. Nguyễn Xuân Huy

Thái Nguyên –
2014


i

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả
trong luận văn là trung thực, và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ tài
liệu nào khác.
Tôi xin cam đoàn rằng mọi sự giúp đỡ để hoàn thành luận văn này đã
đƣợc cảm ơn. Các thông tin trích dẫn trong luận văn đã đƣợc ghi rõ nguồn
gốc.


Học viên thực hiện luận văn



Phạm Chí Hiếu

ii

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN i
DANH MỤC CÁC HÌNH iv

MỞ ĐẦU 1
1. Đặt vấn đề 1
2. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 2
3. Hƣớng nghiên cứu của đề tài 2
LỜI CẢM ƠN 3
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN KĨ THUẬT NHÁNH CẬN 4
1.1. Giới thiệu chung 4
1.2. Ý tƣởng của thuật toán 5
1.3. Kĩ thuật tỉa nhánh 10
1.4. Kết hợp thuật toán nhánh cận vào thuật toán quay lui. 11
1.5. Kết luận 13
CHƢƠNG II. ÁP DỤNG KĨ THUẬT NHÁNH CẬN CHO MỘT SỐ BÀI
TOÁN 14
2.1. Các bài toán khó 14
2.2. Bài toán Ba lô 16
2.2.1. Bài toán: 16
2.2.2. Phân tích bài toán Ba lô 17
2.2.3. Chƣơng trình minh họa 22
2.3. Bài toán ngƣời du lịch (TSP) 25
2.3.1. Bài toán 25
2.3.2. Phân tích bài toán TSP 26
2.3.3. Chƣơng trình minh họa 27
2.3.4. Cải tiến 29
2.4. Bài toán đổi tiền (ATM) 35

iii

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2.4.1. Bài toán 35

2.4.2. Phân tích bài ATM 35
2.4.3. Chƣơng trình minh họa 36
2.5. Bài toán dãy ABC 40
2.5.1. Bài toán 40
2.5.2. Phân tích bài toán 40
2.5.3. Chƣơng trình minh họa 41
2.6. Kết luận 44
CHƢƠNG 3. ỨNG DỤNG PHÁT TRIỂN NHÁNH CẬN 45
3.1. Thủ tục rút gọn. 46
3.2. Thủ tục chọn cạnh phân nhánh (r,c) 50
3.3. Mô hình thuật toán 53
KẾT LUẬN 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO 56



iv

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1. Giải bài toán ba lô bằng nhánh cận 21
Hình 2. Giải bài toán ngƣời du lịch 31
Hình 3. Mô hình phân nhánh 46
Hình 4. Minh họa rút gọn hành trình 49
Hình 5. Minh họa rút gọn hành trình 2 51

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỞ ĐẦU
1. Đặt vấn đề
Ngày nay với sự phát triển nhƣ vũ bão của khoa học công nghệ trên thế
giới, mặc dù xuất phát chậm hơn rất nhiều nƣớc nhƣng trong hơn chục năm
qua đất nƣớc chúng ta đã trải qua cuộc cách mạng lớn lao về công nghệ thông
tin. Để đáp ứng những đòi hỏi của sự phát triển đó phải có kế hoạch đào tạo
bồi dƣỡng những cá nhân có niềm say mê và có năng khiếu trong lĩnh vực tin
học đặc biệt học sinh các lớp chuyên tin tạo nguồn, cung cấp cho các trƣờng
đại học các sinh viên đã đƣợc trang bị vốn kiến thức cơ sở vững chắc, giúp
cho mục tiêu đi trƣớc đón đầu, rút ngắn khoảng cách về trình độ tin học giữa
nƣớc ta và thế giới.
Với học sinh phổ thông ở trƣờng chuyên phải đƣợc trang bị các kiến
thức cơ sở về các loại cấu trúc dữ liệu và trang bị các kiến thức tiên tiến nhất
về giải thuật. Việc truyền đạt các kiến thức về một số giải thuật nhƣ: quay lui,
nhánh cận, quy hoạch động, tham lam, các giải thuật trên đồ thị … là rất cần
thiết cho học sinh trƣờng Chuyên cũng nhƣ trong việc bồi dƣỡng học sinh
giỏi các trƣờng THPT (trung học phổ thông) để phát triển tƣ duy và lập trình
giải các bài toán tin học. Hình thành những nét cơ bản của nghệ thuật đoán
nhận giải thuật và nghệ thuật lập trình. Tạo lập và củng cố lòng say mê tìm
hiểu và khám phá cho học sinh khi giải các bài toán tin.
Để giải một bài toán thông thƣờng có nhiều cách tiếp cận. Mỗi cách tiếp
cận khác nhau cho kết quả với độ tối ƣu khác nhau. Với nhiều bài toán việc
tìm ra giải thuật tối ƣu không phải việc đơn giản, do đó một kĩ năng cần thiết
để giải đƣợc một bài toán hoàn chỉnh là phải giải đƣợc bài toán ở kích thƣớc
dữ liệu vừa phải. Đây là sẽ những bộ dữ liệu thử mang tính định hƣớng chiến
lƣợc cho việc giải bài toán. Có rất nhiều bài toán, đặc biệt là bài toán tối ƣu,

2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

có thể giải ngay bằng thuật toán duyệt toàn bộ hoặc một phần của một bài
toán lớn. Với phƣơng pháp duyệt toàn bộ, điển hình là thuật toán quay lui có
một nhƣợc điểm đó là độ phức tạp bài toán thƣờng lớn, do đó kích thƣớc bài
toán giải đƣợc rất hạn chế. Để khắc phục nhƣợc điểm chúng ta thƣờng phải áp
dụng kết hợp kĩ thuật nhánh cận (nhánh và cận).
Việc áp dụng kĩ thuật nhánh cận vào các bài toán bài toán thƣờng khá
trừu tƣợng và khó hiểu với học sinh THPT. Làm thế nào để có thể xây dựng
được một “cận” để có thể đánh giá được “độ tốt” của “nhánh” đang xét ?
Làm thế nào có thể kết hợp kĩ thuật nhánh cận vào các bài toán duyệt quay
lui hiệu quả ? Do đó tôi thấy việc phân tích, đánh giá và định hƣớng cách
tiếp cận một bài toán bằng kĩ thuật nhánh cận là rất cần thiết. Từ đó nâng cao
chất lƣợng của việc dạy và học cho học sinh.
Trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Phát
triển các kĩ thuật nhánh cận và ứng dụng”.
2. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Kĩ thuật nhánh cận và ứng dụng để giải một số bài toán liệt kê và tìm
phƣơng án tối ƣu.
3. Hƣớng nghiên cứu của đề tài
- Giới thiệu tổng quan kĩ thuật nhánh cận và các kỹ thuật liên quan.
- Tổ chức bài toàn theo kĩ thuật nhánh cận
- Cách đánh giá cận của các bài toán khác nhau
- Cài đặt chƣơng trình cho một số bài toán.

3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

LỜI CẢM ƠN
n vă , tôi đ
c s h ng ô
. V ơn tôi xin ơ
đ Sau đ Đ Công nghệ
Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên đ đ n thu n l
n văn.
ƣ -
Khoa học Nguyễn Xuân Huy, ng n đ
, đ ng viên, đ n thu n l
t n vă p.
Trong quá trình học tập, cũng nhƣ là trong quá trình làm luận văn, khó
tránh khỏi sai sót, rất mong các Thầy, Cô thông cảm, bỏ qua. Đồng thời do
trình độ cũng nhƣ kinh nghiệm thực tiễn còn hạn chế nên luận văn không thể
tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp Thầy, Cô
để em học thêm đƣợc nhiều kinh nghiệm và sẽ hoàn thành tốt hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN KĨ THUẬT NHÁNH CẬN
1.1. Giới thiệu chung
Một trong những bài toán đặt ra trong thực tế là việc tìm ra một nghiệm
thoả mãn một số điều kiện nào đó, và nghiệm đó là tốt nhất theo một chỉ tiêu
cụ thể, nghiên cứu lời giải các lớp bài toán tối ƣu thuộc về lĩnh vực quy
hoạch toán học. Tuy nhiên cũng cần phải nói rằng trong nhiều trƣờng hợp
chúng ta chƣa thể xây dựng một thuật toán nào thực sự hữu hiệu để giải bài
toán, mà cho tới nay việc tìm nghiệm của chúng vẫn phải dựa trên mô hình

liệt kê toàn bộ các cấu hình có thể và đánh giá, tìm ra cấu hình tốt nhất. Việc
liệt kê cấu hình có thể cài đặt bằng các phƣơng pháp liệt kê: Sinh tuần tự và
tìm kiếm quay lui.
Thuật toán quay lui (backtracking) là chiến lƣợc tìm nghiệm bài toán
bằng cách xét tất cả các phƣơng án có thể. Đó là một quá trình tìm kiếm theo
độ sâu trong một tập hợp các lời giải. Trong quá trình tìm kiếm, nếu ta gặp
một hƣớng lựa chọn không thỏa mãn, ta quay lui về điểm lựa chọn nơi có các
hƣớng khác và thử hƣớng lựa chọn tiếp theo. Khi đã thử hết các lựa chọn
xuất phát từ điểm lựa chọn đó, ta quay lại điểm lựa chọn trƣớc đó và thử
hƣớng lựa chọn tiếp theo tại đó. Quá trình tìm kiếm thất bại khi không còn
điểm lựa chọn nào nữa. Đây là một thuật toán có thể áp dụng để giải rất
nhiều bài toán với kích thƣớc dữ liệu thích hợp. Ƣu điểm của thuật toán là
đảm bảo tìm ra nghiệm đúng chính xác. Tuy nhiên, hạn chế là độ phức tạp
thƣờng lớn.
Mô hình thuật toán quay lui là tìm kiếm trên một cây phân cấp. Nếu giả
thiết rằng ứng với mỗi nút tƣơng ứng với một giá trị đƣợc chọn cho x[i] sẽ
ứng với chỉ 2 nút tƣơng ứng với 2 giá trị mà x[i+1] có thể nhận thì cây n cấp
sẽ có tới 2
n
nút lá, con số này lớn hơn rất nhiều lần so với dữ liệu đầu vào n.

5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chính vì vậy mà nếu nhƣ ta có thao tác thừa trong việc chọn x[i] thì sẽ phải
trả giá rất lớn về chi phí thực thi thuật toán bởi quá trình tìm kiếm lòng vòng
vô nghĩa trong các bƣớc chọn kế tiếp x[i+1], x[i+2], … Khi đó, một vấn đề
đặt ra là trong quá trình liệt kê lời giải ta cần tận dụng những thông tin đã tìm
đƣợc để loại bỏ sớm những phƣơng án chắc chắn không phải tối ƣu. Kỹ thuật

đó gọi là kỹ thuật đánh giá nhánh cận trong tiến trình quay lui.
Kĩ thuật Nhánh cận (Nhánh và cận – Branch and Bound) giúp chúng ta
đánh giá đƣợc nghiệm, do có thể cắt bỏ đi những phƣơng án (nhánh) không
cần thiết, việc tìm nghiệm tối ƣu sẽ nhanh hơn, cải thiện đƣợc độ phức tạp
thuật toán.
Những bài toán tìm một nghiệm, liệt kê hoặc bài toán tối ƣu là những
lớp bài toán có thể giải bằng Kĩ thuật Nhánh cận.
1.2. Ý tưởng của thuật toán
Nhánh cận là kỹ thuật xây dựng cây tìm kiếm phƣơng án tối ƣu, nhƣng
không xây dựng toàn bộ cây mà sử dụng giá trị cận để hạn chế bớt các nhánh.
Phƣơng án là các khả năng có thể của bài toán, những phƣơng án thỏa
yêu cầu đƣợc gọi là nghiệm của bài toán.
Trong quá trình duyệt qua tất cả các phƣơng án của bài toán, từ một nút
có thể phát sinh ra nhiều nút con khác nhau, mỗi nút con này có thể có nhiều
nút con khác nữa. Do đó, mỗi nút con này sẽ lại là gốc của một cây con. Quá
trình tìm kiếm này sẽ tạo ra một cây tìm kiếm. Nếu ta có thể đánh giá để cắt
bỏ đi một nhánh con không khả thi thì số lƣợng phƣơng án phải duyệt sẽ giảm
đi đáng kể.
Với mỗi nút trên cây ta sẽ xác định một giá trị cận. Giá trị cận là một giá
trị gần với giá của các phƣơng án. Với bài toán tìm Min ta sẽ xác định cận

6

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

dƣới, còn với bài toán tìm Max ta sẽ xác định cận trên. Cận dƣới là giá trị nhỏ
hơn hoặc bằng giá của phƣơng án, ngƣợc lại cận trên là giá trị lớn hơn hoặc
bằng giá của phƣơng án.
 Để giải bài toán tốt ta phải xác định cận càng sớm càng tốt.
Ta sẽ mô tả chi tiết tƣ tƣởng của thuận toán trên mô hình bài toán tối ƣu

tổ hợp tổng quát sau:
min {f(x): x D}
Trong đó D là tập hữu hạn phần tử.
Giả thiết rằng tập D đƣợc mô tả nhƣ sau:
D = {x=(x
1
, x
2
, …, x
n
) S
1
S
2
… S
n
: x thỏa mãn tính chất P}
với S
1
, S
2
, …, S
n
là các tập hữu hạn, còn P là tính chất trên tích Đêcac S
1
S
2

… S
n.

Với giả thiết về tập D ở trên, ta có thể sử dụng thuật toán quay lui để liệt
kê các phƣơng án của bài toán. Trong quá trình liệt kê theo thuật toán quay
lui, ta sẽ xây dựng dần các thành phần của phƣơng án. Một bộ k thành phần
(a
1
, a
2
, …, a
k
) xuất hiện trong quá trình thực hiện thuật toán sẽ gọi là phƣơng
án bộ phận cấp k – Tiền tố của phƣơng án.
Thuật toán nhánh cận có thể áp dụng để giải bài toán đặt ra nếu nhƣ có
thể tìm đƣợc một hàm g xác định trên tập tất cả các phƣơng án bộ phận của
bài toán thỏa mãn bất đẳng thức sau:
g(a
1
, a
2
, …, a
k
) min {f(x): x D, x
i
= a
i
, i = 1, 2, …, k} (*)
với mọi lời giải bộ phận (a
1
, a
2
, …, a

k
) và với mọi k = 1, 2, …
Bât đẳng thức (*) có nghĩa là giá trị của hàm g tại phƣơng án bộ phận
(a
1
, a
2,
…, a
k
) là không vƣợt quá giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu của bài

7

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

toán trên tập con các phƣơng án. Hay nói một cách khác, g(a
1
, a
2
, …, a
k
) là
cận dưới của giá trị hàm mục tiêu trên tập D(a
1
, a
2
, …, a
k
). Do đó, hàm g
đƣợc gọi là hàm cận dƣới, và giá trị g(a

1
, a
2
, …, a
k
) đƣợc gọi là cận dƣới của
tập D(a
1
, a
2
, …, a
k
). Do có thể đồng nhất tập D(a
1
, a
2
, …, a
k
) với phƣơng án
bộ phận (a
1
, a
2
, …, a
k
) nên ta cũng gọi g(a
1
, a
2
, …, a

k
) là cận dƣới của
phƣơng án bộ phận (a
1
, a
2
, …, a
k
).
Giả sử rằng đã có hàm g. Ta xét cách sử dụng hàm này để giảm bớt khối
lƣợng duyệt trong quá trình liệt kê các cấu hình tổ hợp (các phƣơng án) của
bài toán theo thuật toán quay lui. Trong quá trình liệt kê các phƣơng án có thể
đã thu đƣợc một số phƣơng án của bài toán. Gọi
x
là phƣơng án với giá trị
hàm mục tiêu nhỏ nhất trong số các phƣơng án đã tìm đƣợc, kí hiệu
f
= f(
x
).
Ta gọi
x
là phƣơng án tốt nhất hiện có, còn
f
là kỷ lục. Giả sử đã có
f
, khi
đó nếu g(a
1
, a

2
, , a
k
) >
f
thì từ bất đẳng thức (*) ta suy ra:
f
< g(a
1
, a
2
, …, a
k
) min {f(x): x D, x
i
= a
i
, i = 1, 2, …, k}
Vì thế tập con các phƣơng án của bài toán D(a
1
, a
2
, …, a
k
) chắc chắn không
phải là phƣơng án tối ƣu. Trong trƣờng hợp này ta không cần tiếp tục phát
triển phƣơng án (a
1
, a
2

, …, a
k
), nói cách khác là ta có thể bỏ qua các phƣơng
án trong tập D(a
1
, a
2
, …, a
k
) trong quá trình tìm kiếm.
Để dễ hình dung, ta giả sử nghiệm của bài toán có thể biểu diễn dƣới
dạng một vectơ (x
1
, x
2
, , x
n
), mỗi thành phần x
i
(i = 1,2, , n) đƣợc chọn ra từ
tập S
i
. Mỗi nghiệm của bài toán x = (x
1
, x
2
, ,x
n
) đƣợc xác định “độ tốt” bằng
một hàm f(x) và mục tiêu cần tìm nghiệm có giá trị f(x) đạt giá trị nhỏ nhất

(hoặc đạt giá trị lớn nhất).

8

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Tƣ tƣởng của phƣơng pháp nhánh và cận nhƣ sau: Giả sử, đã xây dựng
được k thành phần (x
1
, x
2
, ,x
k
) của nghiệm và khi mở rộng nghiệm (x
1
, x
2
,
,x
k+1
), nếu biết rằng tất cả các nghiệm mở rộng của nó (x
1
, x
2
, ,x
k+1,
…)
đều không tốt bằng nghiệm tốt nhất đã biết ở thời điểm đó, thì ta không cần
mở rộng từ (x
1

, x
2
, ,x
k
) nữa. [4]
Nhƣ vậy, với phƣơng pháp nhánh và cận, ta không phải duyệt toàn bộ
các phƣơng án để tìm ra nghiệm tốt nhất mà bằng cách đánh giá các nghiệm
mở rộng, ta có thể cắt bỏ đi những phƣơng án (nhánh) không cần thiết, do đó
việc tìm nghiệm tối ƣu sẽ nhanh hơn. Cái khó nhất trong việc áp dụng phƣơng
pháp nhánh và cận là đánh giá đƣợc các nghiệm mở rộng, nếu đánh giá đƣợc
tốt sẽ giúp bỏ qua đƣợc nhiều phƣơng án không cần thiết, khi đó thuật toán
nhánh cận sẽ chạy nhanh hơn nhiều so với thuật toán vét cạn.
Việc đánh giá các nghiệm mở rộng đề cập ở trên chính là việc ta xây
dựng hàm g trong bất đẳng thức (*). Việc xây dựng này sẽ phụ thuộc vào từng
bài toán tối ƣu tổ hợp cụ thể. Thông thƣờng ta sẽ cố gắng xây dựng nó sao
cho:
- Việc tính giá trị của g phải đơn giản hơn việc giải bài toán tối ƣu tổ
hợp ở về phải của (*).
- Giá trị của g(a
1
, a
2
, …, a
k
) phải sát với giá trị vế phải của (*)
Thuật toán nhánh cận có thể mô tả bằng mô hình đệ quy sau:
procedure BranchBound (i);
begin
<Đánh giá khả năng mở rộng các nghiệm>;
If (các phương án mở rộng đều không tốt hơn BestSol) then exit;

<Xác định S
i
>;
for X
i


S
i
do begin

9

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

<ghi nhận thành phần thứ i>;
if (tìm thấy nghiệm) then
<Cập nhật BestSol>
else
BranchBound(i+1);
<loại thành phần i>;
end;
end;
Trong thủ tục trên, BestSol là nghiệm tốt nhất đã biết ở thời điểm đó.
Thủ tục <cập nhật BestSol> sẽ xác định “độ tốt” của nghiệm mới tìm thấy,
nếu nghiệm mới tìm thấy tốt hơn BestSol thì BestSol sẽ đƣợc cập nhật lại là
nghiệm mới tìm đƣợc.
Hoặc với một cách khác nhƣ sau: [2]
Procedure Init;
Begin

<Khởi tạo một cấu hình xuất phát>;
end;
{Thủ tục này thử chọn cho x[i] tất cả các giá trị nó có thể nhận}
procedure Try(i: Integer);
begin
for <Mọi giá trị V có thể gán cho x[i]>do
begin
<Thử cho x[i] := V>;
If <Việc thử trên vẫn còn hi vọng tìm ra cấu hình tốt hơn BestSol> then
If <x[i] là phần tử cuối cùng trong cấu hình> then
<Cập nhật BestSol>
else begin

10

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

<Ghi nhận việc thử x[i] = V nếu cần>;
Try(i + 1); {Gọi đệ quy, chọn tiếp x[i+1]}
<Bỏ ghi nhận việc thử cho x[i] = V (nếu cần)>;
end;
end;
end;
begin
Init;
Attempt(1);
<Thông báo cấu hình tối ƣu BestSol> ;
end.
Với cấu trúc của kỹ thuật nhánh cận nhƣ trên, ta có thể dễ thấy Kỹ thuật
này đã thêm vào cho thuật toán quay lui khả năng đánh giá theo từng bƣớc,

nếu tại bƣớc thứ i, giá trị thử gán cho x[i] không có hi vọng tìm thấy cấu hình
tốt hơn cấu hình BestSolution thì thử giá trị khác ngay mà không cần phải gọi
đệ quy tìm tiếp hay ghi nhận kết quả làm gì. Nghiệm của bài toán sẽ đƣợc làm
tốt dần, bởi khi tìm ra một cấu hình mới (tốt hơn BestSolution ), ta không in
kết quả ngay mà sẽ cập nhật BestSolution bằng cấu hình mới vừa tìm đƣợc
1.3. Kĩ thuật tỉa nhánh
Để có thể tỉa bớt nhánh (loại bỏ những hƣớng đi, trƣờng hợp) của một
bài toán liệt kê bằng đệ quy ta có nhiều phƣơng pháp khác. Nhƣng chủ yếu là
dựa vào những dữ liệu đã biết, kết hợp với việc phán đoán để có thể định
lƣợng cho các giá trị cụ thể trong từng trƣờng hợp.
Định lƣợng để đánh giá độ tối ƣu của một hƣớng đi (một nhánh) là một
việc khó của kĩ thuật nhánh cận. Ngƣời lập trình chỉ có thể đánh giá đƣợc cận

11

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

của nhiều bài toán khi đã làm nhiều bài tập, từ đó đúc rút kinh nghiệm trong
quá trình tìm cận.
Trong chƣơng 2, một số bài toán sẽ đƣợc đƣa ra để phân tích, tìm hiểu
cách đánh giá cận và phƣơng pháp cài đặt. Nhƣng bài toán này sẽ mang tính
định hƣớng phƣơng pháp đánh giá cận cho nhiều bài toán sau.
1.4. Kết hợp thuật toán nhánh cận vào thuật toán quay lui.
Mô hình chung của kỹ thuật cài đặt đệ quy quay lui [1]
Procedure Try(i); //xây dựng thành phần thứ i
Begin
<xác định tập S
i
– tập các khả năng có thể của x
i

> (1)
For x
i
S
i
do begin
<ghi nhận thành phần thứ i>;
If <tìm thấy nghiệm> then <đưa ra nghiệm>
Else
Try(i+1); (2)
<loại thành phần thứ i>;
End;
Với mô hình đệ quy quay lui nhƣ trên ta có thể dễ dàng nhận ra đây là
mô hình liệt kê tất cả các cấu hình nghiệm có thể của nghiệm X = (x
1
, x
2
, … ,
x
n
), với mỗi thành phần x
i
thuộc tập S
i
. Sau khi thực hiện thử giá trị cho thành
phần x
i
, mô hình trên sẽ tiến hành thử tiếp tất cả các giá trị cho thành phần
x
i+1

. Để tránh việc rẽ nhánh quá trình mà không hiệu quả ta hoàn toàn có thể
tìm cách đánh giá việc đi tiếp (điền giá trị cho x
i+1
) có hiệu quả không tại vị trí
trƣớc dòng lệnh (1) hoặc trƣớc dòng lệnh (2). Cụ thể nhƣ sau:

12

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Procedure Try(i); //xây dựng thành phần thứ i [1]
Begin
If <việc mở rộng nghiệm không khả quan> then exit;
<xác định tập S
i
– tập các khả năng có thể của x
i
> (1)
For x
i
S
i
do begin
<ghi nhận thành phần thứ i>;
If <tìm thấy nghiệm> then <đưa ra nghiệm>
Else
Try(i+1); (2)
<loại thành phần thứ i>;
End;
Hoặc

Procedure Try(i); //xây dựng thành phần thứ i
Begin
<xác định tập S
i
– tập các khả năng có thể của x
i
> (1)
For x
i
S
i
do begin
<ghi nhận thành phần thứ i>;
If <tìm thấy nghiệm> then <đưa ra nghiệm>
Else
If <việc mở rộng nghiệm khả quan> then Try(i+1); (2)
<loại thành phần thứ i>;
End;

13

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1.5. Kết luận
Kĩ thuật nhánh cận, cũng nhƣ nhiều kĩ thuật khác trong lập trình nó chỉ
mang tính định hƣớng chiến lƣợc để giải bài toán. Đây là không phải là một
công cụ siêu việt để có thể giải tất cả các bài toán tìm nghiệm tối ƣu hay liệt
kê. Do đó, khi áp dụng, đòi hỏi ngƣời lập trình phải linh hoạt kết hợp thêm
nhiều kĩ thuật, thuật toán khác nhau thì mới có thể đem lại kết quả tốt nhất.

14

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

CHƢƠNG II. ÁP DỤNG KĨ THUẬT
NHÁNH CẬN CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN
2.1. Các bài toán khó
Hiện này có nhiều bài toán có thể giải bằng các thuật toán trong thời gian đa
thức theo kích thƣớc dữ liệu. Ví dụ nhƣ:
- Bài toán Tìm cây khung ngắn nhất, giải bằng thuật toán Prim có độ phức
tạp thuật toán là O(n
2
).
- Bài toán Tìm đƣờng đi ngắn nhất trong đồ thị, giải bằng thuật toán
Dijkstra có độ phức tạp là O(n
2
).
- Bài toán tìm ƣớc chung lớn nhất của 2 số nguyên dƣơng m và n, giải
bằng thuật toán Euclid có độ phức tạp O(m+n).
Tuy nhiên còn rất nhiều các bài toán khó mà hiện nay chúng ta mới chỉ giải
đƣợc bằng các thuật toán với độ phức tạp là hàm mũ theo kích thƣớc dữ liệu vào
của bài toán.
Hàm mũ có dạng: a
n
với a>1 và n là kích thƣớc dữ liệu của bài toán.
Với những bài toán phải giải bằng các thuật toán với độ phức tạp là hàm mũ
thì thời gian giải tăng rất nhanh theo kích thƣớc dữ liệu của bài toán.
Mặc dù bất kì lời giải nào cho mỗi bài toán đều có thể đƣợc kiểm chứng
nhanh chóng, nhƣng hiện chƣa có cách nào tìm ra đƣợc lời giải đó một cách hiệu
quả. Thời gian thực thi của tất cả các thuật toán hiện tại cho những bài toán khó

đều tăng rất nhanh theo kích thƣớc bài toán. Vì vậy ngay cả những trƣờng hợp có
kích thƣớc tƣơng đối lớn đã đòi hỏi thời gian hàng tỷ năm để giải. Do đó, việc xác
định xem những bài toán này có thể đƣợc giải quyết nhanh chóng hay không là
một trong những bài toán mở của khoa học máy tính hiện nay.

15

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Một số bài toán khó tiêu biểu với độ phức tạp là hàm mũ nhƣ:
1. Bài toán bè cực đại (MaxClique): Cho một đồ thị vô hƣớng G = (V, E). V
là tập các đỉnh, E là tập các cạnh tƣơng ứng các đỉnh trong V. Cần tìm bè lớn nhất
của G. Bè là tập các đỉnh trong đồ thị mà đôi một có cạnh nối với nhau (là một đồ
thị con đầy đủ trong đồ thị G).
2. Bài toán tập độc lập (Independent set): Cho đồ thị vô hƣớng G = (V, E) và
số nguyên K, hỏi có thể tìm đƣợc tập độc lập S với |S| ≥ K. Tập độc lập là tập các
đỉnh trong đồ thị mà chúng đôi một không có cạnh nối với nhau.
3. Bài toán phủ đỉnh (Vertex cover): Ta gọi một phủ đỉnh của đồ thị vô
hƣớng G = (V, E) là một tập con các đỉnh của đồ thị S V sao cho mỗi cạnh của
đồ thị có ít nhất một đầu mút trong S. Bài toán đặt ra là: Cho đồ thị vô hƣớng G =
(V, E) và số nguyên k. Hỏi G có phủ đỉnh với kích thƣớc k hay không?

16

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Sau đây là cách áp dụng các kĩ thuật nhánh cận và tổ chức dữ liệu cho một số
bài toán điển hình. Những bài toán dƣới đây mang tính chất tiêu biểu cho lớp bài
toán mà nó đại diện. Từ đó giúp minh họa việc áp dụng các kĩ thuật nhánh cận vào
các bài toán thực tế. Hơn nữa, giúp chúng ta sẽ có cái nhìn tổng quát hơn cho

những bài toán có thể áp dụng các kĩ thuật nhánh cận.
2.2. Bài toán Ba lô
Bài toán Ba lô (Knapsack Problem) hay còn gọi là bài toán cái túi đã
đƣợc biết đến hơn một thế kỷ. Nhƣng đến thập niên 50 của thế kỷ XX, bài
toán này mới đƣợc nhà toán học Tobias Dantzig (1884–1956) định nghĩa đầy
đủ. [7]
Bài toán này là một bài toán khó, chƣa có thuật toán giải trong thời gian
đa thức theo kích thƣớc của bài toán.
2.2.1. Bài toán:
Cho một cái ba lô có thể đựng một trọng lƣợng b. Có n đồ vật, mỗi đồ
vật i có một số lƣợng không hạn chế, một trọng lƣợng a
i
nhất định và một giá
trị c
i
nào đó. Tìm một cách chọn lựa các đồ vật sao cho tổng trọng lƣợng của
các đồ vật không vƣợt quá b và có tổng giá trị là lớn nhất.
Dữ liệu: cho từ tệp văn bản BAG.INP
- Dòng đầu chứa 2 số nguyên dƣơng n và b (n<100, b<32000)
- Dòng thứ hai chứa n số nguyên lần lƣơt là c
1
, c
2
, …, c
n

- Dòng thứ ba chứa n số nguyên lần lƣợt là a
1
, a
2

, …, a
n

Các số trên cùng dòng cách nhau ít nhất 1 dấu cách.
Kết quả: ghi ra tệp văn bản BAG.OUT gồm 2 dòng
- Dòng đầu ghi 1 số nguyên dƣơng là tổng giá trị các đồ vật trong ba lô

17

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

- Dòng thứ hai ghi n số nguyên lần lƣợt là số lƣợng các đồ vật 1, 2, …,
n.
2.2.2. Phân tích bài toán Ba lô
Nếu chấp nhận một kết quả gần đúng, ta hoàn toàn có thể giải bài toán
này theo phƣơng pháp tham lam. Và rất dễ thấy, tiêu chuẩn để chọn là giá đơn
vị cao. Ta duyệt cao vật theo giá đơn vị từ cao xuống thấp. Vật đƣợc chọn ta
sẽ lấy tối đa. [3]
Với cách giải nhƣ trên, tùy vào từng trƣờng hợp của dữ liệu, đôi khi ta
sẽ thu đƣợc kết quả tuyệt đối của bài toán.
Sau đây ta sẽ phân tích bài toán để tìm phƣơng án áp dụng kĩ thuật nhánh
cận:
Mô hình toán học của bài toán có dạng sau: Tìm
*
11
max{ ( ) : , , 1,2, , }
nn
j j j j j
jj
f f x c x a x b x Z j n

, (1)
Trong đó :
Z
+
là tập các số nguyên không âm.
1
n
jj
j
cx
: là tổng giá trị của các đồ vật đƣợc chọn.
1
n
jj
j
ax
: là tổng trọng lƣợng của các đồ vật đƣợc chọn.
Kí hiệu D là tập hợp các phƣơng án của bài toán (1)
n
1 2 n j
j=1
{x=(x ,x , ,x ) : a , , 1,2, , }
jj
D x b x Z j n
.

18

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Để đảm bảo tính tổng quát ta giả thiết rằng các đồ vật đƣợc đánh số sao
cho bất đẳng thức sau đƣợc thỏa mãn:
12
12

n
n
c c c
a a a
(2)
(Sắp xếp giảm theo giá của một đơn vị đồ vật)
Để dễ dàng xây dựng hàm tính cận trên của bài toán (1), ta xét bài toán
có biên liên tục sau: Tìm
*
11
max{ ( ) : , 0, 1,2, , }
nn
j j j j j
jj
g f x c x a x b x j n
(3)
Trong đó: (x
j
≥ 0, x
j
R)
Mệnh đề: [5]
Phƣơng án tối ƣu của bài toán (3) là vectơ
12
( , , , )

n
x x x x
với các thành
phần đƣợc xác định bởi công thức:
1 2 3
1
, 0
n
b
x x x x
a
.
và giá trị tối ƣu
*
1
1
c
gb
a

Chứng minh:
Thực vậy, xét x=(x
1
,x
2
,…,x
n
) là một phƣơng án tùy ý của bài toán (3).
Khi đó từ bất đẳng thức (2) và do x
j

0, ta suy ra:
1
1
, 1,2, ,
j j j j
c
c x a x j n
a

Suy ra:

19

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

*
1 1 1
1 1 1
1 1 1
n n n
j j j j j j
j j j
c c c
c x a x a x b g
a a a

Mệnh đề đã đƣợc chứng minh.
Bây giờ, giả sử ta có phƣơng án bộ phận cấp k: (u
1
, u

2
, …, u
k
). Khi đó
giá trị sử dụng của các đồ vật đang có trong ba lô là:

1 1 2 2

k k k
cu c u c u

Và trọng lƣợng còn lại của ba lô là:

1 1 2 2

k k k
b b au a u a u

Ta có:

max{ ( ): , , 1,2, , }
jj
f x x D x u j k

=
11
max{ : , , 1, 2, , }
nn
k j j j j k j
j k j k

c x a x b x Z j k k n


11
max{ : , 0, 1, 2, , }
nn
k j j j j k j
j k j k
c x a x b x j k k n

Theo Mệnh đề thì:
1
11
1
max{ : , 0, 1, 2, , }
nn
k
j j j j k j k
j k j k
k
c
c x a x b x j k k n b
a

Suy ra:
11
1
1
max{ : , 0, 1, 2, , }
nn

k j j j j k j
j k j k
k
kk
k
c x a x b x j k k n
c
b
a


20

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Vậy ta có thể tính cận cho phƣơng án bộ phận với k thành phần của
phƣơng án đã đƣợc xây dựng (u
1
, u
2
, …, u
k
) bởi công thức sau:
1
12
1
( , , , )
k
k k k
k

c
g u u u b
a

Khi tiếp tục xây dựng thành phần thứ k+1 cho lời giải, các giá trị đề cử
cho x
k+1
sẽ là 0, 1, …,
1
k
k
b
a
. Do đã có kết quả của mệnh đề, khi chọn các giá
trị cho x
k+1
ta sẽ duyệt các giá trị đề cử theo giá trị giảm dần.
Ví dụ: Giải bài toán ba lô theo thuật toán nhánh cận ở trên vừa trình bày
với dữ liệu nhƣ sau:
n = 4, b = 8,
i
1
2
3
4
c
i
10
5
3

6
a
i
5
3
2
4
Mô hình toán học:
f(x) = 10x
1
+ 5x
2
+ 3x
3
+ 6x
4
→ max,
5x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
+ 4x
4
≤ 8,
x
j
Z
+

, j = 1,2,3,4.
Giải ví dụ:
Quá trình giải bài toán đƣợc mô tả trong cây bên dƣới. Thông tin về một
phƣơng án bộ phận trên cây đƣợc ghi các các nút (các hình chữ nhật) tƣơng
ứng theo thứ tự nhƣ sau:
- Các thành phần của phƣơng án theo đúng thứ tự.