phát triển các quy tắc toán vedic và ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG



PhạmVăn Bắc


PHÁT TRIỂN CÁC QUY TẮC TOÁN VEDIC VÀ ỨNG DỤNG


Ngành : Côngnghệthông tin
Chuyênnghành : Khoahọcmáytính
Mãsố : 604801


LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH



NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TSKH NguyễnXuânHuy




TháiNguyên - 2014
1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu


LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là Phạm Văn Bắc, học viên cao học khóa 11, chuyên ngành
Khoa học máy tính. Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ “Phát triển các quy
tắc toán Vedic và ứng dụng”là công trình nghiên cứu của tôi thực hiện dƣới
sự hƣớng dẫn của PGS TSKH Nguyễn Xuân Huy.Mọi tham khảo trong luận
văn đều trích dẫn rõ dàng. Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào
tạo hay gian trá, tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Học viên thực hiện


Phạm Văn Bắc

2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

LỜI CẢM ƠN

Học viên xin gửi lời cảm ơn tớicác Thầy, cô đã tận tình truyền đạt các kiến
thức quý báu cho học viên trong suốt quá trình học tập.
Đặc biệt, học viên xin gửilời cảm ơn và biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy giáo
PGS.TSKH Nguyễn Xuân Huy, thầy đã tận tình chỉ bảo học viên trong suốt quá
trình thực hiện đề tài. Bên cạnh những kiến thức khoa học, thầy đã giúp học viên
nhận ra những bài học về phong cách học tập, làm việc và những kinh nghiệm sống
quý báu.
Học viên xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và những
ngƣời thân đã động viên khích lệ tinh thần và giúp đỡ để học viên hoàn thành luận
văn này.

3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN 0
LỜI CẢM ƠN 2
MỤC LỤC 3
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 4
LỜI MỞ ĐẦU 5
CHƢƠNG I: TỔNG QUAN VỀ TOÁN VEDIC 11
1.1. Giới thiệu về toán Vedic (hay còn gọi là toán Vệ Đà) 11
1.2. Lịch sử hình thành và phát triển của toán Vedic 11
Chƣơng II: Bộ các quy tắc toán Vedic 15

2.1 Phép nhân trên hệ thập phân 15
2.1.1. Nhân theo cơ sở lũy thừa 10 (tròn chục) 17
2.1.2 Luật Nikhilam 23
2.1.3 Anurupyena 28
2.1.4 Urdhva-tiryagbhyam 30
2.2. Bình phƣơng một số 35
2.2.1 Bình phƣơng của một số có chữ số cuối cùng là 5: 35
2.2.2 Bình phƣơng của một số từ 50 đến 59 36
37
37
41
2.4. Ứng dụng của Toán Vedic trong lĩnh vực Khoa học máy tính “Toán
Vedic và mối quan hệ của nó với các lĩnh vực khoa học khác. 44
CHƢƠNG III: CHƢƠNG TRÌNH THỰC NGHIỆM 48
3.1. Bài toán: 48
3.2. Chƣơng trình: 48
3.3 Cài đặt và thử nghiệm 56
PHẦN KẾT LUẬN 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO 60
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
ACT
American College Testing
SAT
Scholastic Aptitude Test
SCr
Masters Science

5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Các nghiên cứu đều cho thấy: có hơn 85% trẻ em sợ học môn Toán.
“Học sinh vào lớp để học môn toán với những ý tƣởng tiêu cực về khả năng
học toán của mình, thể hiện qua điểm số trong một số bài học nên có thái độ
đó?Và trên một phƣơng diện khác, những học sinh có ý nghĩ tích cực về môn
toán có điểm số phản ánh đúng thái độ đó không?”.Tại sao học sinh lại sợ học
môn toán? Có thể là do mọi ngƣời xung quanh nói môn toán thật khó, cũng có
thể ngƣời học tự cho rằng đã có máy tính giúp họ trong việc tính toán, nhƣng
cũng có thể trong phƣơng pháp giảng dạy truyền thống thiếu sự đổi mới …
[1].
Khoảng 12 tuổi, học sinh cảm thấy “sợ” môn toán và bắt đầu né tránh
các giờ học toán. Ngay cả sinh viên đại học cũng phải lo sợ khi tính toán với
các con số lớn mà không có sự trợ giúp của máy tính điện tử hay của giấy bút.
Trƣớc hết, tôi muốn nhấn mạnh khía cạnh lý thuyết, và sau đó là khía
cạnh thực tế. Do thiếu hiểu biết về lý thuyết nằm trong Toán học nên trẻ em
thƣờng gặp khó khăn và sợ học Toán. Có lẽ đó là lý do các bài học Toán

Vedic thƣờng đƣợc xây dựng theo định dạng của một bài thơ, và yếu tố đạo
đức của nó đã hỗ trợ để duy trì và xây dựng tính cách dễ dàng hơn, rồi sau đó
mới là giảng giải và học nâng cao. Ở các nƣớc phƣơng Đông, học lý thuyết đã
rồi mới thực hành.Còn ở các nƣớc phƣơng Tây, tất cả mọi thứ đều bắt đầu
bằng một hiện tƣợng thực tế, sau đó mới đến lý thuyết. Có lẽ chúng ta cần
phải cân bằng hai phƣơng pháp này để dạy và học cho tốt hơn.
Thật khó giải thích về những lợi ích của việc học Toán Vedic, trừ khi
chính một ngƣời trải nghiệm nó. Không cần phải nói về độ rõ ràng ẩn chứa
trong Toán Vedic khi bắt đầu phân tích các vấn đề theo nhiều chiều. Những
đứa trẻ không chỉ trở nên thông minh, sáng láng trong môn Toán, mà sẽ còn
thông minh, sáng tạo trong các môn học khác nữa. Đó là thực tế cho thấy sức
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

mạnh của Toán Vedic đối với những trẻ em đƣợc đào tạo trong dịp nghỉ hè.
Khi tham dự các chƣơng trình của Câu lạc bộ Toán học mùa hè, những đứa
trẻ bắt đầu suy nghĩ theo các hƣớng khác nhau chứ không phải là suy nghĩ rập
khuôn, cứng nhắc. Một số phụ huynh và giáo viên nhận thức đƣợc sự chuyển
biến rõ rệt và khác biệt ở con em và học sinh của mình. Đó là sự sắc sảo,
thông minh khi đối phó với bất kỳ loại vấn đề nào.
Trong thế giới cạnh tranh hiện đại, tất cả mọi thứ đều là kinh doanh.
Nói một cách đơn giản, đầu tƣ nhƣ thế nào thì nhận đƣợc lợi nhuận nhƣ thế,
và đôi khi tăng gấp đôi đầu tƣ là cách sớm nhận đƣợc lợi nhuận. Tất cả mọi
ngƣời đều hiểu rõ câu nói này. Vì vậy, để các bậc phụ huynh đƣợc hài lòng,
tôi xin mạnh dạn nói rằng: "Trẻ em sẽ đƣợc hƣởng lợi từ các công thức Toán
Vedic, đặc biệt là khi các em dự thi ACT, SAThoặc các kỳ thi mang tính cạnh
tranh cao khác. Vì thời gian làm bài là yếu tố cốt yếu trong các kỳ thi mang
tính cạnh tranh cao, các em có thể tiết kiệm đƣợc thời gian khi giải một bài
toán này để có thể tiết kiệm đƣợc thời gian khi giải những bài toán khác".Và
chúng ta nên hiểu rằng, Toán Vedic không phải là Toán học đơn giản, mà nó

vƣợt ra ngoài Toán.
Từ đó cần có một giải pháp để xóa đi nỗi “sợ” học toán của ngƣời học
đồng thời làm tăng tốc độ tính toán cho ngƣời học mà không cần tới giấy bút
cũng nhƣ máy tính điện tử. Chúng ta có thể làm gì để giúp các em thoát khỏi
nỗi sợ này?Và làm thế nào để giúp các em vui tƣơi nhẹ nhàng đi vào thế giới
số,thấy Thế giới số thật giản dị và trong sáng. Chỉ với một vài qui tắc đời
thƣờng các em có thể tính toán với các số dài hàng chục chữ số, viết nhanh
đƣợc các bảng số diệu kì, đoán đƣợc ngày sinh của bạn bè và những ngƣời
thân trong gia đình, nhận biết đƣợc các đồ vật và nhân vật yêu thích.
Toán Vedic ra đời tại Ấn Độ, là hệ thống Toán học cổ xƣa của ngƣời
Ấn Độ, đƣợc Sri Bharati Tirthaji (1884-1960) tái phát hiện từ kinh Veda và
trình bày lại vào khoảng những năm 1911-1918 của thế kỷ XX. Toán Vedic
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

đƣợc áp dụng cho mọi lĩnh vực. Một số bài toán phức tạp và toán nâng cao có
thể giải đƣợc bằng phƣơng pháp Toán Vedic một cách dễ dàng và nhanh hơn
ít nhất là 10-15 lần so với các phƣơng pháp thông thƣờng [3].
Có lẽ đặc điểm nổi bật nhất của Toán Vedic là sự mạch lạc của nó.
Thay vì một mớ kỹ thuật lộn xộn chẳng liên quan với nhau, toàn bộ hệ thống
Toán Vedic có sự liên quan và thống nhất rất chặt chẽ. Ví dụ, phƣơng pháp
nhân tổng quát có thể dễ dàng đảo ngƣợc để cho phép làm phép chia theo
dòng ngang, và phƣơng pháp bình phƣơng đơn giản có thể đƣợc đảo ngƣợc để
thực hiện phép khai căn bậc hai theo dòng ngang [2]. Và tất cả những điều
này thật dễ hiểu.Phẩm chất thống nhất này làm cho học sinh rất thỏa mãn, và
nó làm cho việc học Toán trở nên dễ dàng, thú vị và khuyến khích sự đổi mới.
Trong việc dạy Toán thông thƣờng nhƣ hiện nay, học sinh thƣờng chỉ
có một cách để làm một phép tính. Đây là điều cứng nhắc và nhàm chán, và
những học sinh thông minh và sáng tạo thƣờng không thích nhƣ thế. Khi đƣợc
cho phép sử dụng nhiều phƣơng án để giải một bài toán, bạn sẽ có rất nhiều

lợi ích. Bạn sẽ trở nên sáng tạo hơn. Còn giáo viên sẽ đƣợc khuyến khích để
đổi mới, và đƣợc học sinh hƣởng ứng, yêu mến.Trong Toán Vedic có những
phƣơng pháp tổng quát luôn luôn có thể áp dụng, ví dụ nhƣ một phƣơng pháp
nhân có thể áp dụng đƣợc cho bất kỳ số nào.Nhƣng Toán Vedic còn có nhiều
phƣơng pháp đặc biệt, khi một phép tính có một điểm đặc biệt nào đó thì có
thể sử dụng nó để tìm ra đáp số dễ dàng hơn nhiều.Đồng thời các quy tắc của
toán Vedic giúp cho ngƣời học dễ nhớ, linh hoạt sử dụng trong mọi phép tính
[4].Bên cạnh đó, với những phép tính với các con số lớn, máy tính điện tử
ngày nay không thể tính đƣợc, hoặc nếu có tính đƣợc thì chỉ đƣa ra kết quả là
những số xấp xỉ.Chính vì thế, khi sử dụng tính toán bằng các quy tắc của toán
Vedic vào trong máy tính sẽ giúp cho tốc độ tính toán của máy tính một cách
nhanh hơn đồng thời tăng tính bảo mật thông tin cho quá trình tính toán.

8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Xét thí dụ:
122 x 75 = ?
B1. Cơ sở = 100. Nửa phải gồm 2 chữ số.
B2. Phần dôi = 122 - 100 = 22; phần hụt = 100 - 75 = 25
B3. Nửa phải = 22 x 25 = (5)50.
Vì nửa bên phải chỉ có 2 chữ số nên tôi viết 50 và ghi nhận số nhớ là 5: (5)50
Tôi tính bù chục của 50 là 50.Tôi viết nửa bên phải = (5)50
B4. Nửa bên trái = 75 + 22 = 97.
Em trừ đi số nhớ 5 để thu đƣợc nửa bên trái = 97 - 5 = 92
Sau đó em trừ thêm 1:
nửa bên trái = 92 – 1 = 91.
B5. Kết quả: 9150.
Từ đầu thập kỷ bảy mƣơi của thế kỷ trƣớc sự ra đời của máy tính điện
tử đã tạo ra một bƣớc ngoặt mới cho việc áp dụng toán học vào xã hội, và ở

một mức độ nào đó thì máy tính đã giúp ích con ngƣời rất nhiều, tuy nhiên lệ
thuộc quá nhiều vào máy tính, con ngƣời dần mất đi khả năng tƣ duy cũng
nhƣ tính toán nhanh. Do đó cần phải phát triển tƣ duy và khả năng tính toán
nhanh cho các em học sinh sinh viên là cần thiết.
2. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu:
a. Đối tƣợng:
Đề tài “ ” tập trung tìm
hiểu một số tổ hợp các quy tắc toán Vedic, giúp ngƣời học tính toán một cách
nhanh chóng.
b. Phạm vi:
Cùng với việc nghiên cứu về quy tắc toán Vedic, đề tài tiến hành xây
dựng một hệ thống trợ giúp các em học sinh sinh viên trong việc tính toán
nhanh.


9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

3. Hƣớng nghiên cứu của đề tài
Tìm hiểu Toán Vedic và các ứng dụng của của toán Vedic đối với
các ngành khoa học khác. Tìm hiểu các tính toán và khả năng vận dụng các
thuật toán Vedic trong chuyên ngành khoa học máy tính.
Xây dựng chƣơng trình hƣớng dẫn và giúp các em học sinh có thể
kiểm tra trắc nghiệm kết quả tính toán đối với các bài toán số lớn.
4. Những nội dung nghiên cứu chính
Phần mở đầu
Chƣơng 1. Tổng quan về toán Vedic
1.1.Giới thiệu về toán Vedic
1.2.Lịch sử hình thành và phát triển của toán Vedic
Chƣơng 2. CÁC QUY TẮC TOÁN VEDIC

Chƣơng 3.CHƢƠNG TRÌNH THỰC NGHIỆM
KẾT LUẬN
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Dựa vào mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài, cácphƣơng pháp nghiên cứu dự
kiến đƣợc sử dụng:
- Tổng hợp, phân tích và đánh giá các kết quả lý thuyết, các ứng dụng,
các nghiên cứu trong nƣớc và thế giới trong lĩnh vực tính toán nhanh.
- Phƣơng pháp phân tích đối với các số lớn, thử nghiệm và thực nghiệm
trên máy tính để từ đó rút ra các đặc thù, các quy luật.
- Đối sánh kết quả nghiên cứu của mình với các tác giả khác để từ đó rút
ra quy luật chung.
- Kế thừa tối đa những kết quả nghiên cứu đã có ở trong nƣớc và trên thế
giới.
- Nghiên cứu, đề xuất các phƣơng pháp lý thuyết bằng phƣơng pháp quy
nạp không hoàn toàn.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

+Nội dung nghiên cứu: tập trung nghiên cứu một số quy tắc toán Vedic.
6. Ý nghĩa khoa học của đề tài
Luận văn có ý nghĩa trên cả hai phƣơng diện về mặt thực tiễn và khoa
học nhƣ sau:
+ Phƣơng diện thực tiễn: cung cấp cho học sinh các kỹ năng cơ bản về
tính toán nhanh, góp phần giải các bài toán số lớn một cách nhanh chóng và
chính xác.
+ Về phƣơng diện khoa học: đề tài đóng góp một số tổ hợp các quy tắc
toán, phối hợp giữa các quy tắc toán với nhau để giải các bài toán một cách
nhanh chóng.

11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

CHƢƠNG I: TỔNG QUAN VỀ TOÁN VEDIC

1.1.Giới thiệu về toán Vedic (hay còn gọi là toán Vệ Đà)
Vệ Đà nghĩa là kiến thức.“Từ” này thuộc tiếng Sanskrit và suy từ động
từ gốc “vid”, nghĩa là “biết”.Nguyên thủy các kinh Vệ Đà đƣợc kết hợp bằng
tiếng Sanskrit.Có hai loại Sanskrit, vaidika và laukika. Tiếng Sanskrit trong
Vệ đà đƣợc gọi là “vaidika” và phức tạp hơn về cả hai, văn phạm cũng nhƣ
cách dùng, nhất là với một số từ tìm thấy trong các kinh Vệ Đà. Tiếng
Sanskrit đƣợc biết nhiều trên thế giới và phổ thông đƣợc gọi là “laukika”.Đó
là ngôn ngữ của các sắc dân puranas và itihasas. Các kinh Vệ Đà không cho
biết nhiều về nguồn gốc hay mục đích của chính chúng, và chúng không đƣợc
quan tâm bởi các trƣờng phái Tây phƣơng, họ cho chúng là những tín đồ và
thần học bán khai. Phần kinh điển Vệ Đà đƣợc ca tụng và biết đến nhiều nhất
không nghi ngờ gì là Rg-Vệ Đà. Từ “rg” là do động từ gốc “rc”, nghĩa là “cầu
nguyện”. Cũng từ động từ gốc này, dẫn ra danh từ cái “rc”, có nghĩa là “Cầu
nguyện” hay “ngâm vịnh”, đặc biệt là câu ngâm vịnh dâng hiến trong lời cầu
nguyện của thánh thần. Vậy ta có thể hiểu nghĩa trực tiếp của Rg-Vệ Đà
là“Kiến thức của sự dâng nguyện” hay, nhƣ thƣờng đƣợc định nghĩa trong từ

điển, “Vệ Đà của sự nguyện cầu”.
1.2.Lịch sử hình thành và phát triển của toán Vedic
Toán học Vedic là tên đƣợc đặt cho hệ thống cổ xƣa của Toán học Ấn
Độ mà đã đƣợc phát hiện từ kinh Vệ Đà giữa năm 1911 và năm 1918 của Shri
Bharati Krishna Tirthaji (1884-1960). Theo nghiên cứu của ông tất cả các
toán học dựa trên mƣời sáu kinh điển, hay các công thức. Các công thức mô
tả một cách tự nhiên các hoạt động trong đời sống của con ngƣời, do đó nó là
một trợ giúp lớn trong việc chỉ đạo các học sinh, đƣa ra các giải pháp tối ƣu
giúp học sinh dễ dàng hiểu và vận dụng hơn.
Để hiểu rõ toán Vedic là gì, nguồn gốc và mục đích của chúng ra sao,
tốt nhất chúng ta hãy thử nghiên cứu một số lời kinh tiêu biểu trích trực tiếp
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

trong văn hóa Vệ Đà để minh tƣờng giải thích những vấn đề này. Trong
những trƣờng phái triết học Tây phƣơng, ngƣời ta có khuynh hƣớng không
quan tâm đến chính những câu kinh xác định sở quyền mà kinh Vệ Đà đã tự
minh định, mà trái lại hay đi tìm tác giả đã sáng tác kinh Vệ Đà, thời kỳ, nơi
chốn, và mục đích.
Sri Bharati Krishna Tirthaji là nhà tiên tri, nhà triết học, nhà toán học,
nhà khoa học vĩ đại ngƣời Ấn Độ. Ông đã sáng lập ra môn Toán Vedic, từng
giữ những vị trí lãnh đạo nhiều tổ chức tôn giáo Hindu, và đƣợc coi là ngƣời
tông đồ kế tục xuất sắc sự nghiệp của Adi Shankara (nhà triết học vĩ đại nhất
của Ấn Độ sống vào thế kỷ VIII).Bhart Krishna sinh ngày 14 tháng 3 năm
1884 tại Tinnievelly, vùng Tamil Nadu, Ấn Độ, trong một gia đình sùng đạo.
Ông đã nổi tiếng là một thần đồng trƣớckhi đƣợc coi là một vị thánh.
Tháng 7 năm 1899, ông đƣợc tặng danh hiệu "Saraswati" (tên của Nữ
thần tri thức, âm nhạc, nghệ thuật và khoa học) của Hiệp hội tiếng Phạn ở
Madras vì có trình độ uyên thâm và tài năng hùng biện bằng tiếng Phạn. Ông
có một lý lịch khoa học rực rỡ với các tấm bằng thạc sĩ khoa học (MSc) trong

sáu môn khoa học - tiếng Phạn, tiếng Anh, Lịch sử, Triết học, Toán học và
Khoa học sau khi theo học tại Trung tâm Bombay của Trƣờng đại học Khoa
học Rochester của Mỹ, có trụ sở chính ở New York.
Sau một thời gian học tập xuất sắc trong các trƣờng đại học, ông trở
thành giảng viên Toán học và Khoa học tại trƣờng đại học Baroda. Sau đó
ông trở thành hiệu trƣởng Trƣờng Cao đẳng quốc gia Rajamundary ở Andhra
Pradesh, Ấn Độ.
Năm 1905, khi phong trào Tự do bắt đầu ở Bengal, Sri Bharati Krishna
Tirthaji tham gia phong trào tự do cùng với Shri Aurobindo Ghosh và Gopal
Krishna Gokhale - một nhà dân tộc chủ nghĩa rất hăng hái. Bharati Krishna đã
viết bài cho nhiều tờ báo để tuyên truyền về phong trào Tự do. Vào năm
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

1908, ông đƣợc bổ nhiệm làm "Ngƣời đứng đầu nhóm Những đứa con của Ấn
Độ" do Tiến sĩ Annie Besant thành lập.
Hình nhƣ có sự thôi thúc mang tính đạo đức trong Bharati Krishna là
phải dâng hiến đời mình để phục vụ nhân loại, và ông phải trở thành con
ngƣời có thể phục vụ nhân loại chỉ sau khi đạt đƣợc Tự giác ngộ. Do đó, năm
1909, ông hành hƣơng đến Đền thiêng Shringeri để đƣợc tự giác ngộ dƣới
chân của Đức thánh Sachchidananda Shivabhinava Narasimha Bharati.


Trong những năm từ 1911-1918, Bharati Krishna đã thực hành thiền định sâu
và nghiên cứu các môn khoa học siêu hình và kinh Vệ Đà.Ông phải thực hành
một cuộc sống khắc khổ của một vị thánh. Ông đã duy trì một cuộc sống hoàn
toàn thánh thiện bằng việc chỉ ăn rau, củ, quả. Cuộc sống của ông là thiền
định liên tục, và ông đã dâng hiến cuộc đời cho việc nghiên cứu triết học
Vedanta (một trong 6 trƣờng phái triết học của Ấn Độ) và ở lỳ trong rừng để
thiền định sâu và đạt đƣợc các thành tựu tâm linh.

Trong sự cô đơn, ông đã nhận thức đƣợc các câu cách ngôn Ganita hay
còn gọi là Công thức làm toán dễ dàng, rồi ông biên soạn thành một tác phẩm
hoành tráng là "Toán Vedic", một đóng góp độc đáo cho lĩnh vực Toán học và
nghiên cứu. Bharati Krishna nắm đƣợc mã khóa để mở các mật mã trong
trong kinh Atharva Veda và tái tạo Toán Vedic với sự giúp đỡ của phƣơng
pháp từ điển học. Ông đã tìm ra "Mƣời sáu câu kinh" (còn gọi là các công
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

thức) bao phủ tất cả các lĩnh vực của Toán học nhƣ Số học, Đại số, Hình học,
Lƣợng giác, Vật lý, hình học phẳng và Hình học không gian, nghiên cứu hình
nón, Toán tính, gồm cả vi phân và tích phân, đƣợc ứng dụng trong các lĩnh
vực khác nhau nhƣ Động lực học, Thủy tĩnh học, v.v…
Sau đó, tháng 7 năm 1919, ông đƣợc Shri Trivikram Teerthaji ở
Varanasi kết nạp vào giáo phái Sanyas, và kể từ đó ông chính thức đƣợc gọi
với cái tên mới là "Shri Bharati Krishna Tirtha". Là một tín đồ trung thành với
các nguyên tắc Vệ Đà nên ông không bao giờ xa rời các nguyên tắc đó.
Ôngđƣợc Shri Trivikram Teerthaji bổ nhiệm làm ngƣời
đứngđầu Dwarkapeeth vào năm 1921. Kể từ đó, ông bắt đầu cuộc sống của
một Shankaracharya và thuyết giảng ở bất cứ nơi nào ông đến.

15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Chƣơng II: Bộ các quy tắc toán Vedic

2.1 Phép nhân trên hệ thập phân
Trong toán học Vedic có 3 phƣơng pháp để thực hiện phép nhân. Trong
số ba có một phƣơng pháp chung mà có thể đƣợc áp dụng cho tất cả các
trƣờng hợp trong khi hai khác là trƣờng hợp đặc biệt đó là đơn giản để giải
quyết. Nhƣ mục đích chính của toán họcVedic là để có thể giải quyết tính
toán phức tạp bằng các kỹ thuật đơn giản mà có thể đƣợc thực hiện đƣợc cả
về mặt tinh thần, và cần rất ít đến các công thức của toán tính phức tạp, gây
khó khăn cho ngƣời dùng.
Trong khi các ông bố, bà mẹ ở các nƣớc khác đang lo lắng vì thấy đứa
con nhỏ của mình vất vả mãi mà chƣa học thuộc hết các bảng cửu chƣơng, từ
bảng 2x đến bảng 9x, thì trẻ em Ấn Độ đã thuộc nằm lòng các bảng nhân đến
19 19 rồi. Có lẽ vì thế mà những năm gần đây đất nƣớc Ấn Độ phát triển
nhanh nhƣ vậy. “Bảng cửu chƣơng” của Ấn Độ đƣợc tính từ 1 đến 19 (có lẽ
phải gọi là “Bảng thập cửu chƣơng” thì mới đúng). Nhƣng các bạn có biết
ngƣời Ấn Độ ghi nhớ các con số từ 11 đến 19 nhƣ thế nào không?
Chúng ta hãy thử tính kết quả của phép nhân 13 12 = ? theo cách sau
nhé:
Bƣớc 1: Lấy số bị nhân 13 cộng với số hàng đơn vị của số nhân là

Bƣớc 2: Lấy kết quả ở bƣớc thứ nhất nhân với 10 (cũng có nghĩa là
thêm số 0 sau con số đó): 15 10 150.
Bƣớc 3: Lấy số hàng đơn vị của số bị nhân (là 3) nhân với số hàng đơn

vị của số nhân (là 2):
Bƣớc 4: Lấy kết quả ở Bƣớc 2 cộng với kết quả ở Bƣớc 3 sẽ ra kết quả
cuối cùng: (13+2) 10 + 6 = 156
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Với cách làm nhƣ vậy, chỉ cần để ý một chút là chúng ta có thể nhanh
chóng tính ra đáp án của các phép tính từ 11x11 đến 19x19 rồi đấy.
Chúng ta hãy thử làm thêm các phép tính sau xem sao:


14x13=?
16x17=?
19x19=?
Bƣớc 1
14+3=17
16+7=23
19+9=28
Bƣớc 2
17x10=170
23x10=230
28x10=280
Bƣớc 3
4x3=12
6x7=42
9x9=81
Bƣớc 4
170+12=182
230+42=272
280+81=361

Đây là phép tính nhẩm đơn giản, chủ yếu là dạy cho học sinh cấp 1.
Còn các bậc phụ huynh thì ngoài việc biết cách nhân nhẩm nhanh này ra thì
cũng nên hiểu thêm một chút về nguyên lý của nó.Dƣới đây là sơ đồ biểu diễn
cách tính độc đáo này thông qua hình học phẳng.

Vẽ một hình chữ nhật có chiều dài 13 và chiều rộng 12 (không cần tính
đến đơn vị đo, chỉ cần tỷ lệ tƣơng đối là đƣợc). Men theo các cạnh của hình
chữ nhật vẽ hình vuông với độ dài các cạnh là 10. Nhƣ hình vẽ biểu thị, khi
chúng ta chuyển hình chữ nhật bị bôi xanh sang vị trí mới (theo hình mũi tên)
thì hình chữ nhật ban đầu với kích thƣớc 13x12 sẽ biến thành một hình mới
có hai phần: một hình chữ nhật lớn có kích thƣớc 15x10 và một hình chữ nhật
nhỏ có kích thƣớc 3 2. Nhƣ vậy, diện tích hình vẽ mới bằng tổng diện tích
của hai hình chữ nhật lớn và nhỏ.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

- Diện tích hình chữ nhật lớn là 15 10 = 150. Tƣơng ứng với Bƣớc 1
và Bƣớc2.
- Diện tích hình chữ nhật nhỏ là 3 2 = 6. Tƣơng ứng với Bƣớc 3.
- Diện tích hình vẽ mới là 150 +6 = 156.Tƣơng ứng với Bƣớc 4.
Nói là làm 4 bƣớc xem ra có vẻ lâu, nhƣng thực ra đó là chia nhỏ các
phép tính để tính nhẩm trong đầu cho nhanh. Nhìn lƣớt qua là đã tính đƣợc 3
bƣớc đầu rồi, chỉ có phép cộng cuối cùng (tùy theo phép tính) thì có lẽ hơi lâu
một chút. Nếu thực hành quen rồi thì thời gian làm xong mỗi phép tính nói
trên có lẽ không quá 10 giây.
2.1.1. Nhân theo cơ sở lũy thừa 10 (tròn chục)
Em đã biết
* Các số gồm số 1 tiếp theo là dãy số 0 đƣợc gọi là các số tròn chục
hay các số lũy thừa 10.

Thí dụ 10, 100, 1000, … là các số tròn chục.
* Khi nhân hai số A và B để thu đƣợc số C, em viết: A B = C.
Em gọi hai số A và B là hai thừa số.
Em gọi kết quả C là tích số.
Qui tắc
Muốn nhân hai số em theo qui tắc 5 bƣớc sau đây:
B1. Em xác định cơ sở dạng 10, 100, 1000… gần nhất với hai thừa số.
B2. Em xác định phần lệch của hai thừa số so với cơ sở. Nếu thừa số nhỏ thua
cơ sở thì em gọi phần lệch là phần hụt: phần hụt = cơ sở thừa số
B3. Kết quả sẽ đƣợc ghép từ hai nửa: nửa trái T và nửa phải P.
Em tính nửa phải P:
B3.1. Em xác định chiều dài của nửa phải: có bao nhiêu số 0 trong cơ sở thì
nửa phải có ngần ấy chữ số.
B3.2. Em tính trị của nửa phải P = tích hai phần hụt.
B4. Em tính trị của nửa trái T = thừa số này – phần hụt của thừa sốkia.
B5. Ghép nửa trái với nửa phải để nhận kết quả : T | P.


18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Thí dụ
a) 97 94 = ?
B1. Cơ sở = 100.
B2. Các phần hụt: 100 – 97 = 3; 100 – 94 = 6
B3. Vì cơ sở 100 có 2 số 0 nên nửa phải gồm 2 chữ số và bằng
P = 3 x6 = 18.
B4. Nửa trái T = 97 – 6 = 91 hoặc T = 94 – 3 = 91. Em muốn tính T theo cách
nào cũng đƣợc.
B5. Kết quả: T | P = 91 | 18 = 9118.

Em viết qui trình tính toán nhƣ sau:
Nhân theo cơ sở 3
97 – 3
94 – 6
91 | 18
Vậy, 97 x94 = 9118.
b) 96 x88 = ?
Cơ sở = 100. Nửa phải có 2 chữ số.
96 – 4
88 – 12
84 | 48
Vậy, 96 x88 = 8448.
c) 96 x98 = ?
Cơ sở = 100. Nửa phải có 2 chữ số.
96 – 4
98 – 2
94 | 08 (vì nửa phải có 2 chữ số nên em viết 08)
Vậy, 96 x98 = 9408.
d) 100 x89 = ? (Dĩ nhiên em biết ngay kết quả là 8900). Em thử làm:
Cơ sở = 100. Nửa phải có 2 chữ số.
100 – 0
89 – 11
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

89 | 00 (vì nửa phải có 2 chữ số nên em viết 00)
Vậy, 100 x89 = 8900.
e) 992 x996 = ?
Cơ sở = 1000. Nửa phải có 3 chữ số.
992 – 8

996 – 4
988 | 032 (vì nửa phải có 3 chữ số nên em viết 032)
Vậy 992 x996 = 988032.
f) 995 x982 = ?
Cơ sở = 1000. Nửa phải có 3 chữ số.
995 – 5
982 – 18
977 | 090 (vì nửa phải có 3 chữ số nên em viết 090)
Vậy, 995 x982 = 977090.
Nhân theo cơ sở 4
g) 9985 x9980 = ?
Cơ sở = 10000. Nửa phải có 4 chữ số.
9985 – 15
9980 – 20
9965 | 0300 (vì nửa phải có 4 chữ số nên em viết 0300)
Vậy 9985 x9980 = 99650300.
a, Khi nửa phải chật chỗ
80 x 75 = ?
B1. Cơ sở = 100. Nửa phải gồm 2 chữ số.
B2. Các phần hụt: 100 – 80 = 20; 100 – 75 = 25
B3. Nửa phải = 20 x 25 = 500.
Vì nửa phải chỉ có 2 chữ số nên em viết 00 và ghi nhận số nhớ là 5: (5)00
B4. Nửa trái = 75 – 20 = 55.
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Em cộng thêm số nhớ 5 để thu đƣợc nửa trái: 55 + 5 = 60
B5. Kết quả: 6000.
Em viết qui trình tính toán nhƣ sau:
80 – 20

75 – 25
55 | (5)00 → 55+5 | 00 = 6000.
Vậy, 80 x 75 = 6000.
Em ghi nhớ
* Nếu nửa phải có ít chữ số hơn qui định thì em thêm cho đủ các số 0
vào bên trái.
* Nếu nửa phải có nhiều chữ số hơn qui định thì em cắt bớt các chữ số
thừa bên trái làm số nhớ để cộng sang nửa trái.
b, Khi nửa trái chật chỗ
Em ghi nhớ
* Nếu nửa phải có ít chữ số hơn qui định thì em thêm cho đủ các số 0
vào bên trái.
*Nếu nửa phải có nhiều chữ số hơn qui định thì em cắt bớt các chữ
số thừa bên trái làm số nhớ cộng sang nửa trái.
Thí dụ
120 x125 = ?
B1. Cơ sở = 100. Nửa phải gồm 2 chữ số.
B2. Các phần dôi: 120 x100 = 20; 125 x100 = 25
B3. Nửa phải = 20 x25 = 500.
Vì nửa phải chỉ có 2 chữ số nên em viết 00 và ghi nhận số nhớ là 5: (5)00
B4. Nửa trái = 120 + 25 = 145.
Em cộng thêm số nhớ 5 để thu đƣợc nửa trái = 145 + 5 = 150.
B5. Kết quả: 15000.
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Em viết qui trình tính toán nhƣ sau:
Cơ sở = 100. Nửa phải có 2 chữ số.
120 + 20
125 + 25

145 | (5)00 = 145+5
c. Nhân với phần hụt và phần dôi
Nếu một thừa số lớn hơn cơ sở, thừa số kia nhỏ hơn cơ sở thì em cũng theo
qui tắc 5 bƣớc nhƣ trên, chỉ sửa chút ít nhƣ sau:
Qui tắc
Muốn nhân hai số theo phần hụt (-) và phần dôi (+) em theo qui tắc 5 bƣớc
sau đây:
B1. Em xác định cơ sở dạng 10, 100, 1000… gần nhất với hai thừa số.
B2. Em xác định phần lệch của hai thừa số so với cơ sở. Nếu thừa số lớn hơn
cơ sở thì em tính:
phần dôi = thừa số - cơ sở
và ghi dấu + vào phần dôi
Nếu thừa số nhỏ thua cơ sở thì em tính:
phần hụt = cơ sở - thừa số
và ghi dấu - vào phần hụt
B3. Kết quả sẽ đƣợc ghép từ hai nửa: nửa trái T và nửa phải P. Em tính nửa
phải P:
B3.1. Em xác định chiều dài của nửa phải: có bao nhiêu số 0 trong cơ sở thì
nửa phải có ngần ấy chữ số.
B3.2. Em tính trị của nửa phải P = phần dôi +phần hụt.
Em nhớ bù thêm số 0 vào P cho đủ chiều dài qui định.
Em tính số bù chục cho nửa phải P.
B4. Em tính trị của nửa trái:
T = thừa số này + phần dôi của thừa số kia – 1
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

hoặc
T = thừa số này -phần hụt của thừa số kia – 1.
B5. Em nhận kết quả = T | P.

Thí dụ
a) 103 x94 = ?
Cơ sở = 100. Nửa phải có 2 chữ số.
103 + 3
94 x6
97 | 18
-1 | 82 (bù chục của 18)
96 | 82
Vậy, 103 x94 = 9682.
Em ghi nhớ
Em viết số bù chục của số A là A*.Em gọi độ lệch của số A là a, của số B là
b.
Em có các mẫu tính sau đây
A – a
B + b
(A + b – 1) | (a xb)*
hoặc
(B – a – 1) | (a xb)*
A + a
B – b
(A – b – 1) | (a xb)*
hoặc
(B + a – 1) | (a xb)*

Thí dụ (tiếp)
b) 94 x112 = ?
Cơ sở = 100. Nửa phải có 2 chữ số.
94 -6
112 + 12
106 | 72

23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

-1 | 28 (bù chục của 72)
105 | 28
Vậy, 94 x112 = 10528.
2.1.2Luật Nikhilam
Công thức đầu tiên đƣợc xem xét là Nikhilam Navatascharam Dashtah
có nghĩa là tất cả các từ 9 và cuối cùng từ 10.Cách giải thích chi tiết cho thủ
tục nhƣ sau: Chúng ta sẽ bắt đầu từ nhân đơn giản của 7 x 8 và sau đó di
chuyển dần dần về cách tính các số lớn.

7

7
-3
8

8
-2
56

5
/6
Hình 2.1.1 - Ví dụ về Nikhilam
1. Có cơ sở tính toán nhƣ sức mạnh của 10 là gần nhất với số bị nhân và số
nhân M và N. Trong trƣờng hợp xem xét ở trên nó đƣợc, nói B, 10.
n và lƣu ý hai dƣ nhƣ nói m và n trong
trƣờng hợp này họ là -3 và -2 tƣơng ứng.
3. Sản phẩm này sẽ có hai phần. Đây đƣợc hiển thị bằng cách tách "/". Phần

bên phải là thu đƣợc bằng phép nhân của hai dƣ cụ thể là m và n
R = m x n
Đây 2 x 3 = 6
4. Phần còn lại có thể thu đƣợc bằng các phƣơng pháp khác nhau nhƣ sau.
a. Trừ cơ sở B từ tổng của hai số M và N
L = M + N -10
Đây 7 + 8 - 10 = 5
b. Thêm tổng của hai dƣ, m và n từ cơ sở B
L = 10 + m + n
Đây 10-2 - 3 = 5
24
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

c. Chéo thêm phần còn lại với số ân đó có thể là M + n hoặc N + m
L = M + n hoặc L = N + m
Ta sẽ có 8-3 = 5 hay 7 - 2 = 5
5. Câu trả lời là thu đƣợc bằng cách chỉ ghép một phần trái và phải nhƣ LR,
kết quả là 56.
Mặc dù phƣơng pháp này đƣợc áp dụng cho tất cả các trƣờng hợp. Tuy nhiên
nó vẫn phụ thuộc chủ yếu vào sự “quen thuộc” hay độ lớn của số bị nhân và
số nhân so với số tròn 10.
Hình minh họa đại số của phƣơng pháp này là nhƣ sau:
(x-a) * (x-b) = x (x-a) – b (x-a)
= x (x-a) – bx + ab
= x (x – a – b) + ab
Ở đây x hành vi nhƣ cơ sở B đƣợc quyết định vào lúc bắt đầu của quá trình.
Trong phƣơng pháp sản phẩm này ab đƣợc giới hạn số lƣợng chữ số
bằng sức mạnh mà 10 phải đƣợc nâng lên để có đƣợc cơ sở.Nếu sản phẩm có
nhiều chữ số sau đó các chữ số thêm đƣợc thêm vào bên trái có mặt. Trong
hình minh họa sau đây nhƣ là cơ sở trong 10, do đó cho phép chữ số ở bên

phải đƣợc giới hạn trong 1. Nhƣng vì có 2 chữ số thêm chữ số đƣợc thêm vào
bên trái để có đƣợc chính xác
Minh họa:

5

5
5
6

6
4
30

1
20
= 1 + 2 / 0
= 30
Hình 2.1.2 Ví dụ về Nikhilam
Nikhilam có thể đƣợc sử dụng cho con số đó là hơn cơ sở không hạn chế.