phương pháp hàm số để giải phương trình

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!



Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
5 4 10 6
2
, (1)
4 5 8 6, (2)

+ = +


+ + + =


x xy y y
x y

(
)
; ∈
ℝ
x y

Hướng dẫn giải:
Điều kiện:
4
.
5

≥ −
x

Nếu
0 0
= ⇒ =
y x
không thỏa mãn (2).
Nếu
0
≠
y
. Chia cả hai vế của (1) cho
5
y
ta được
5
5
( )
     
+ = + ⇔ =
     
     
x x x
y y f f y
y y y

Xét hàm số
5 4
( ) '( ) 5 1 0, ,

= + ⇒ = + > ∀ ∈
ℝ
f t t t f t t t
suy ra
( )
f t
đồng biến tên
ℝ

2
( )
 
= ⇔ = ⇔ =
 
 
x x
f f y y x y
y y
.
Khi đó
2
(2) 4 5 8 6 4 5 8 2 4 37 40 36
⇔ + + + = ⇔ + + + + + + =
x x x x x x

2
2 2
2
23
23 5 0

2 4 37 40 23 5
5
4(4 37 40) (23 5 )
9 378 369 0

− ≥
≤


⇔ + + = − ⇔ ⇔
 
+ + = −


− + =

x
x
x x x
x x x
x x

23
1 1
5
1; 41

≤

⇔ ⇒ = ⇒ = ±



= =

x
x y
x x

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (1; 1) và (1; −1).
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau :
(
)
( )
3 3
8 8
5 5 1
1 2
x x y y
x y

− = −


+ =



H
ướ
ng d

ẫ
n gi
ả
i:
Từ (2) suy ra :
, 1
x y
≤
.
Từ (1) ta xét hàm số :
[
]
3 2
( ) 5 '( ) 3 5 0 1;1
f t t t f t t t= − ⇒ = − < ∀ ∈ −

Do vậy f(t) là một hàm số nghịch biến . Vậy để có (1) chỉ xảy ra khi x = y.
Khi đó (2) trở thành :
( )
8
8 8 8 8 8
1 1 1 1 1 1
; ; ; ;
2
2 2 2 2 2
x x x y
   
= ⇔ = ± ⇒ = − −
   
   

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình :
3 3
6 6
3 3
1
x x y y
x y

− = −


+ =



H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
H
ọ
c hinh gi
ả
i ví d
ụ
2, t

ừ

đ
ó suy ra cách gi
ả
i ví d
ụ
2.

Ví dụ 4:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau :
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
−
−

+ − + = +



+ − + = +



H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Đặ
t u = x – 1 ; v = y – 1 khi
đ
ó h
ệ
có d
ạ
ng :
2
2
1 3
1 3
v
u
u u
v v

+ + =



+ + =



12. PP HÀM SỐ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Trừ hai phương trình vế với vế ta có phương trình :
2 2
1 3 1 3
u v
u u v v
+ + + = + + +
(*)
Xét hàm số :
2
2
( ) 1 3 '( ) 1 3 ln3 0
1
u u
u
f u u u f u
u
= + + + ⇒ = + + >
+
. Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n .
Để
có (*) thì ch
ỉ
x
ả
y ra khi
u
=
v
. Thay vào (1) ta có
(
)
(
)
2 2 2
1 3 ln 1 ln3 ( ) ln 1 ln3
u
u u u u u f u u u u⇔ + + = ⇔ + + = ⇒ = + + −
2
2 2
1
1
1
'( ) ln3 ln3 0
1 1

u
u
f u u
u u u
+
+
⇔ = − = − < ∨
+ + +
. Ch
ứ
ng t
ỏ
hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n . Nh
ư
ng ta l
ạ
i có f(0)=0
vì v
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m u = 0 và v = 0. Do

đ
ó h
ệ
có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t : x = y = 0.
Ví dụ 5:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau :
(
)
( )
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x

+ + − − =


+ + − =




Hướng dẫn giải:
Đ
i
ề
u ki
ệ
n :
3 5
,
4 2
x y
≤ ≤
.
Đặ
t :
( )
2
1
5 2 5
2
t y y t
= − ⇒ = − , thay vào (1) c
ủ
a h
ệ
ta có :
2

3 3 3
5
4 3 8 2
2
t
x x t x x t t
 
−
⇔ + = − ⇔ + = +
 
 
.
Xét hàm s
ố

3 2
( ) '( ) 3 1 0 ( )
f u u u f u u u f u
= +
⇒
= + > ∀
⇒ đồ
ng bi
ế
n
Do
đ
ó :
2
5 4

5 2 2
2
x
y x y
−
− = ⇔ = .
Thay vào ph
ươ
ng trình (2) c
ủ
a h
ệ
ta
đượ
c
2
2
2
5 4 3
( ) 4 2 3 4 0 0;
2 4
x
g x x x x
 
−
 
= + + − = ∀ ∈
 
 
 

 

D
ễ
th
ấ
y x = 0 và x = 3/4 không là nghi
ệ
m .
Ta xét :
( )
2 2
5 4 4 3
'( ) 8 8 2 4 4 3 0 0;
2 4
3 4 3 4
g x x x x x x x
x x
   
= − − − = − − < ∨ ∈
   
− −
   
,
v
ớ
i :
1 1
0 ; 0
2 2

g x y
 
= ⇒ = =
 
 
là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ

Ví dụ 6:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
3 2
2 2
3 ( 3) (1)
( 1) 2 5 0 (2)
x x y y
y y x y x






= − + +
+ + + + + − =

Hướng dẫn giải:
PT

3 3
(1) 3 3
x x y y
⇔ + = +

Xét hàm
3
( ) 3
f t t t
= +
. Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n. T
ừ
(1)
( ) ( )
f x f y x y
⇒ = ⇒ =

Thay và (2) tiếp tục sử dụng PP hàm số C/m PT (2) có 1 nghiệm duy nhất
1 1
x y
= ⇒ =
.
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình
3 3
3 ( 1) 9( 1) (1)
1 1 1 (2)
x x y y
x y

− = − − −


+ − = −



Hướng dẫn giải:
Từ điều kiện và từ phương trình (2) có
1; 1 1
x y
≥ − ≥

3 3
(1) 3 ( 1) 3 1
x x y y
⇔ − = − − −
, xét hàm số

3
( ) 3
f t t t
= −
trên
[1; )
+∞

Hàm s
ố đồng biến trên
[1; )
+∞
, ta có
( ) ( 1) 1
f x f y x y
= −
⇒
= −

Với
1
x y
= −
thay vào (2) giải được
1; 2
x x
= =

1 2
,

2 5
x x
y y
= =
 
⇒
 
= =
 

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y

− − + = + −


+ − + =



Hướng dẫn giải:
Từ phương trình (2)

2 2
1 1
( ) ( ) 1
2 2
x y
⇒ − + + =
nên
3 1 1 3
1 ; à 1
2 2 2 2
x v y
− −
≤ − ≤ ≤ + ≤

3 3
(1) ( 1) 12( 1) ( 1) 12( 1)
x x y y
⇔ − − − = + − +

nên xét
3
( ) 12
f t t t
= −
trên
3 3
;
2 2
 
−

 
 

Ch
ỉ
ra f(t) ngh
ị
ch bi
ế
n. Có
( 1) ( 1) 1 1
f x f y x y
− = + ⇒ − = +

Nghi
ệm
1 3 3 1
( ; ) ; ; ;
2 2 2 2
x y
   
= − −
   
   

Ví dụ 9:
Gi
ả
i h
ệ

ph
ươ
ng trình
1
3 2 2 3
( 1)
6 6 6
x y
e e e y x
x y xy x y xy
+

− = − +


− = + − −



BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1:
Gi
ả
i h
ệ
PT

3
1 1
2 1


− = −



= +

x y
x y
y x
Bài 2:
Gi
ả
i h
ệ
PT

2
1 1
2 1 0

− = −



− − =

x y
x y
x xy

Bài 3:
Gi
ả
i h
ệ
PT

2 1 2
2 1 2

+ − =


+ − =


x y
y x

Bài 4:
Gi
ả
i h
ệ
PT







=−+
=−+
22
22
xy
yx

Bài 5:
Gi
ả
i h
ệ
PT

1 7 4
1 4

+ + − =


+ + − =


x y
y x y

Bài 6:
Gi

ả
i h
ệ
PT






=−++
=−++
479
479
xy
yx

Bài 7:
Gi
ả
i h
ệ
PT

2 3 4 6
2
2 2
( 2) 1 ( 1)

+ = +



+ + = +


x y y x x
x y x

Bài 8:
Gi
ả
i h
ệ
PT

( )
(2 2) 2 1 ( 3) 2 0
8 4 2 2 1

+ + + − − =


+ − − − =


x x y y
x y y

Bài 9:
Gi

ả
i h
ệ
PT

3 3 2
2
3 4 2
1 2 1

+ = + + +


− − = − −


y y x x x
x y y

Bài 10:
Gi
ả
i h
ệ
PT
( )
( )
2 2
2 2
91 2 1

91 2 2
x y y
y x x

+ = − +


+ = − +



Bài 11:
Gi
ả
i h
ệ
PT
( )
3
4
1 1
1

− − = −


− =


x y x

x y

Bài 12:
Gi
ả
i h
ệ
PT

2 2
8 2 2 3 2

+ = +



+ − + = −

x y
y x
x y y

Bài 13:
Gi
ả
i h
ệ
PT

3

2
2
log log (4 ) 10
2

− = −


+ =


x y
e e x y
x
y


Bài 14: Giải hệ PT

3
4 2
2
2 3

− = −



= +


x y
x y
x y

Bài 15: Giải hệ PT

3
2(2 1) 2 1 (2 3) 2
4 2 2 4 6

+ + + = − −


+ + + =


x x y y
x y

Bài 16: Giải hệ PT
3
2 1 0
(3 ) 2 2 2 1 0

− + =


− − − − =



x y
x x y y

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Bài 17: Giải hệ PT
3
3
8 2 ( 4) 3 0
8 2 3 7

+ − + + =


+ − − + =


x x y y
x x y y

Bài 18: Giải hệ PT
2
2 1
2
log 3log 2

− = −


+ = −



x y
e e x y
x y

Bài 19: Giải hệ PT

2
1 1
log ( 3) 2

− = −



+ + − =

x y
x y
xy x y

Bài 20: Giải hệ PT

2
(3 ) 2 2 2 1 0
2 2 (2 1) 1

− − − − =



− − − =


x x y y
x y

Bài 21*:
Giài h
ệ
PT
2
2 2
2013 1
( 1)( 1) 1
x
y y
x x y y
−

= + +


+ + + + =



Bài 22*:
Gi
ả

i h
ệ
PT
2 3 2 2 6 4 2
2 2
( 1) 2 2 2
( ) 3 ( ) 3 4
x x y y y y
x y x y y

+ + = + −


+ + + − + =



Bài 23*:
Gi
ả
i h
ệ
PT
3 2 3
2
3
2 3 1
2 3 2 2 3
x x y y y
x y y


+ − + = +


− + + + =



Bài 24*:
Gi
ả
i h
ệ
PT
3 3 2
2 2 2
12 6 16 0 (1)
4 2 4 5 4 6 0 (2)
x x y y
x x y y

− − + − =


+ − − − + =



Bài 25*:
Gi

ả
i h
ệ
PT
2 2 4 2 2
2( 1) ( 1) 2 4 3 0
3( ) 3( 2) 12 5 14
x y x x x y y
x y x x y

+ + + + + + + + =


− + + = − +



Bài 26*:
Gi
ả
i h
ệ
PT
4 2 4 2
2 2
1 2 1
2 4
y y x x x
x y x y xy


+ − = + + +


+ + + =

