quan hệ song song - hình học không gian

HÌNH HỌC 11

QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

Đỗ Văn Thọ
(Biên Soạn)















Hội An
Quan hệ song song trong không gian Đỗ Văn Thọ

2

Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song

* Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song
- Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp
dụng các phương pháp chứng minh song song trong hình học
phẳng (định lý Ta-let đảo trong mặt phẳng, tính chất đường
trung bình…)
Định lý ta-let đảo trong mặt phẳng (lớp 8): Nếu một đường
thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh
đó những đoạn thẳng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với
một cạnh còn lại của tam giác
N
B
A
C
M

AM AN
AB AC
MN BC
AM AN
BM CD












O
A
B
C
D

OA OB
AB CD
OD OC
 
Quan hệ song song trong không gian Đỗ Văn Thọ

3

P
O
A
B
C
D

PC PD CD
CD AB
PA PB AB
  

- Cách 2: Áp dụng hệ quả định lý giao tuyến của hai mặt phẳng





   
   
,
P Q
a P b Q
a b c
a b
P Q c
 

 





 

 


- Cách 3: Chứng minh đường thẳng đó song song với đường
thẳng thứ 3

Bài tập:
Bài 3.1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,

đáy lớn AD, đáy nhỏ BC. Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các
tam giác SAB và SCD
a. Chứng minh
EF
AD BC
 

Quan hệ song song trong không gian Đỗ Văn Thọ

4

b. Gọi H là giao điểm của mặt phẳng (ABF) với SD và K là
giao điểm của mặt phẳng (CDE) với SA. Chứng minh
HK AD


Bài 3.2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AB, BC và Q là một điểm nằm trên cạnh AD và P là giao
điểm của CD với mặt phẳng (MNQ). Chứng minh rằng
PQ MN

và
PQ AC


Bài 3.3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy
lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB
a. Chứng minh
MN CD


b. Tìm giao điểm K của SC với (AND). Kéo dài AN và DK cắt
nhau tại I. Chứng minh
SI AB CD
 

Bài 3.4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của BC và BD. Gọi P là điểm tùy ý trên cạnh AB sao cho
P A

và
P B

. Gọi
I PD AN
 
và
J PC AM
 
. Chứng
minh rằng
IJ
CD

(Định lý giao tuyến)
Bài 3.5: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy
trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm S của AD với mặt
phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau:
a. PR song song với AC
b. PR cắt AC

Bài 3.6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi
M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD; E là
trung điểm của BC. Chứng minh rằng
MN BD

(dùng định lý
Ta-let đảo)
Bài 3.7: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các
tam giác ABC, ABD. Chứng minh
JI CD


Bài 3.8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD
với đáy là AD và BC. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam
Quan hệ song song trong không gian Đỗ Văn Thọ

5

giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M,
N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD lần lượt tại P, Q
a. Chứng minh MN song song với PQ
b. Giả sử
AM BP E
 
và
CQ DN F
 
. Chứng minh rằng
EF
MN PQ

 
.
Bài 3.9:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P,
Q là các điểm lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho
; ;
MN BS NP CD MQ CD
  

a. Chứng minh
PQ SA

(dùng Ta-let)
b. Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh
SK AD BC
 
(Hệ quả định lý giao tuyến)
Bài 3.10:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi
M, K lần lượt là trung điểm AB và BC, I là giao điểm của DM
và AC, J là điểm trên đoạn SM sao cho SJ=2JM
a. Chứng minh
JI SD


b. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJK)
Bài 3.11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành
ABCD. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của SA và SB
a. Chứng minh
HK CD



b. Gọi M là điểm trên cạnh SC và không trùng với S. Tìm giao
tuyến của (HKM) và (SCD)
* Dạng 4: Chứng minh đường thẳng song song với mặt
phẳng

- Cách 1: Ta chứng minh đường thẳng đó song song với một
đường thẳng nằm trong một mặt phẳng nào đó
Quan hệ song song trong không gian Đỗ Văn Thọ

6

d'
d
P



 
 
'
'
d P
d d d P
d P









 
- Cách 2: Ta chứng minh đường thẳng đã cho nằm trong một
mặt phẳng khác song song với mặt phẳng đã cho
Q
d
P


   
 
d Q
d P
P Q
 








Bài 4.1: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD.
Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB=2MC. Chứng minh
rằng



MG ACD


Bài 4.2: Cho tứ diện ABCD. Gọi
1
G
và
2
G
lần lượt là trọng tâm
của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng
1 2
G G
song
song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD)
Bài 4.3: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong
hai mặt phẳng phân biệt . Gọi O là giao điểm của AC và BD,
O’ là giao điểm của AE và BF
a. Chứng minh


OO'
ADF

và


OO'
BCE



Quan hệ song song trong không gian Đỗ Văn Thọ

7

b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE.
Chứng minh rằng


IJ EF
C


Bài 4.4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành
ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và I là trung điểm
của AB. Lấy điểm M trên đoạn AD sao cho AD=3AM
a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N.
Chứng minh rằng


NG SCD


c. Chứng minh rằng


MG SCD


Bài 4.5*: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD,
đáy lớn là AD và AD=2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
G là trọng tâm của tam giác SCD
a. Chứng minh rằng


OG SBC


b. Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng


CM SAB


c. Giả sử điểm I nằm trong đoạn SC sao cho
3
2
SC SI
 . Chứng
minh rằng


SA BID


Bài 4.6: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang có hai
đáy là AB và CD với AB=2CD. Gọi O là giao điểm của AC và
BD, I là giao điểm của AD và BC, K là điểm thuộc đoạn SI sao

cho KI=2KS. Chứng minh rằng


OK SAB


Bài 4.7: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam
giác SAB, N là điểm trên đoạn AC sao cho
1
3
AN
AC

. Chứng
minh GN song song với (SCD)
Bài 4.8: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang,
AB CD


và AB=2CD. Cho M, N là hai điểm trên cạnh AB và CD sao
Quan hệ song song trong không gian Đỗ Văn Thọ

8

cho AM=2DN. Gọi E là trung điểm của SM. Chứng minh


EN SAD

và



EN SBC


Bài 4.9: (Cơ Bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình
hành ABCD
a. Chứng minh rằng


AD SBC

và


CD SAB


b. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và ABD.
Chứng minh


MN SAD


Bài 4.10: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của AB, AD, BD
a. Chứng minh rằng



BD CMN


b. Gọi I là điểm trên cạnh AC sao cho AI=2IC, MI cắt BC tại
K. Chứng minh rằng


DK CPN


Bài 4.11: (Cơ Bản) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của AC, BC, CD. Chứng minh rằng
a.


MNP AB


b.


MNP AD


c.


MNP BD


Bài 4.12: (Cơ Bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thang, đáy lớn AB, đáy nhỏ CD. Gọi I, J lần lượt là trung
điểm AD, BC
a. Tìm giao tuyến của (SIJ) với các mặt phẳng (SAD), (SBC),
(ABCD), (SAB) và (SCD)
b. Chứng minh rằng


IJ
AB S

và


IJ
CD S


Bài 4.13: (Cơ bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ
giác lồi có các cặp cạnh đối không song song với nhau
a. Tìm giao tuyến của (SAC) với (SBD)
b. Tìm giao tuyến của (SCD) với (SAB)
Quan hệ song song trong không gian Đỗ Văn Thọ

9

c. Tìm giao tuyến của (SAD) với (SBC)
d. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA, SB và K là điểm bất
kỳ trên SD. Tìm giao điểm của IJ với (SCD)
e. Chứng minh rằng



IJ
AB D


f. Tìm giao điểm KJ với (SAC)
g. Tìm giao tuyến của (IJK) với (SAC)
Bài 4.14: (Cơ bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, SB và
điểm I là điểm bất kỳ trên cạnh CD sao cho I không trùng với
trung điểm của CD, và trùng C, D.
a. Tìm giao điểm của SD với (IMN)
b. Chứng minh
( )
IMN AD


Bài 4.15: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang có đáy lớn
AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB
a. Chứng minh
MN CD


b. Tìm giao điểm P của SC với (AND)
c. Gọi I là giao điểm AN với DP. Chứng minh
SI AB CD
 

* Dựng thiết diện song song với một đường thẳng
Phương pháp: Ta sử dụng định lý: Cho đường thẳng d song
song với mặt phẳng (P). Nếu một mặt phẳng (Q) chứa d và cắt
(P) theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d
Bài 5.1: Cho tứ diện ABCD. Một điểm M trên cạnh AC. Mặt
phẳng (P) đi qua M và song song với AB và CD. Tìm thiết diện
của mặt phẳng (P) với tứ diện ABCD
Bài 5.2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình thang
với đáy lớn AD. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AB và (P) là
mặt phẳng qua M song song với AD và SB
Quan hệ song song trong không gian Đỗ Văn Thọ

10

a. Xác định thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp
b. Chứng minh rằng SC song song với (P)
Bài 5.3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy
lớn là AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là
trọng tâm của tam giác SAB
a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG)
b. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG)
Bài 5.4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình
hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SAD. M
là trung điểm của CD. Xác định thiết diện của hình chóp với
mặt phẳng (IJM)
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
* Phương Pháp: Chứng minh mặt phẳng (P) song song với mặt
phẳng (Q)
- Nếu hai đường thẳng a, b cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng
(P) lần lượt song song với hai đường thẳng a’, b’ cắt nhau nằm

trong mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q)
 
   
   
,
;
a b I
a b P P Q
a Q b Q

 

 




 


BÀI TẬP
Quan hệ song song trong không gian Đỗ Văn Thọ

11

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành
tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD
a. Chứng minh





OMN SBC


b. Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON. Chứng minh


PQ SBC


Bài 2: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt
phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các
điểm M, N sao cho AM=BN. Các đường thẳng song song với AB
vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M’, N’
a. Chứng minh




CBE ADF


b. Chứng minh




EF ' '
D MNN M



Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, E theo thứ
tự là trung điểm của các cạnh AB, AA’, A’D’
1. Chứng minh




' '
MNE A BC


2. Xác định thiết diện của hình hộp với mặt phẳng (MNE)
Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, K, G lần
lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, A’B’C’, ACC’. Chứng
minh rằng:




' '
IKG BB C C

và




' '

A KG AIB


Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm
trên các cạnh AC, BC, CD sao cho
AM BN DP
AC BC SC
  . Chứng
Quan hệ song song trong không gian Đỗ Văn Thọ

12

minh rằng hai mặt phẳng


ABD
và


MNP
song song với
nhau
Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của AB, B’C’, DD’
1. Chứng minh rằng




' '

MNP AB D

và




'
MNP BDC


2. Xác định thiết diện của hình hộp với (MNP)
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình
hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD
1. Chứng minh rằng




OMN SBC


2. Gọi H là trung điểm OM. Chứng minh


HN SBC


Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD

1. Chứng minh rằng




OMN SBC


2. Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và
cách đều AB, CD. Chứng minh


IJ
SAB


3. Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là
các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB.
Chứng minh


EF
SAD


Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng





' ' ' '
ADD A BCC B

;




' ' '
AB D DBC
