hai tiếp cận cho mô hình cân bằng nash - cournot

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐÀO THỊ LÀNH
HAI TIẾP CẬN CHO MÔ HÌNH CÂN BẰNG
NASH-COURNOT
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU
Thái Nguyên - Năm 2014
i
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của khóa luận này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất
tới thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH. Lê Dũng Mưu, người thầy đã tận tình
hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn.
Trong quá trình học tập chương trình cao học tại trường Đại học khoa
học, tôi đã nhận được sự giúp đỡ và sự giảng dạy tận tình của GS.TSKH
Lê Dũng Mưu, GS.TS. Trần Vũ Thiệu, PGS. Nông Quốc Chinh, PGS.TS.
Lê Thị Thanh Nhàn, PGS.TS. Tạ Duy Phượng, TS. Nguyễn Thị Thanh
Thủy, cùng rất nhiều thầy cô công tác tại Viện Toán học Việt Nam, Trường
Đại học Thăng Long, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy, các cô.
Nhận dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm, tạo điều
kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá tình học tập.
Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã luôn
động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn tốt
nghiệp. Đặc biệt, cảm ơn anh Lưu Đình Trung đã giúp đỡ tôi rất nhiều
trong quá trình hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, ngày 21 tháng 06 năm 2014

Tác giả
Đào Thị Lành
ii
Mục lục
Mở đầu 1
1 Tiếp cận cân bằng Nash cho mô hình kinh tế bán độc quyền
Cournot. 2
1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Tập lồi, hàm lồi và toán tử đơn điệu . . . . . . . . 3
1.1.2 Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Mô hình cân bằng với cước phí tuyến tính . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Phát biểu mô hình Nash - Cournot . . . . . . . . . 15
1.2.2 Trường hợp cước phí tuyến tính . . . . . . . . . . . 17
1.3 Mô hình cân bằng Nash - Cournot với cước phí lõm . . . . . 21
1.3.1 Mô hình cân bằng Nash - Cournot với cước phí lõm 21
1.3.2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình . . . . . . . . . . . 22
2 Tiếp cận tối ưu vectơ cho mô hình kinh tế bán độc quyền
Cournot 25
2.1 Các kiến thức cơ bản về tối ưu vectơ . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Bài toán tối ưu một mục tiêu . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3 Bài toán tối ưu đa mục tiêu . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.4 Định lý vô hướng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Bài toán tối ưu vectơ cho mô hình Cournot . . . . . . . . . 30
2.2.1 Mô hình Cournot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Tiếp cận tối ưu vectơ cho mô hình Cournot . . . . 31
i
Kết luận 38
Tài liệu tham khảo 39
1

MỞ ĐẦU
Mô hình cân bằng thị trường độc quyền do A. Cournot đưa ra vào năm
1838 và đã được rất nhiều tác giả trên thế giới tập trung nghiên cứu. Mô
hình Cournot có vai trò rất quan trọng trong thực tiễn cuộc sống, đặc biệt
là trong lĩnh vực kinh tế. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng
của mô hình này là xây dựng cách tiếp cận cho mô hình Cournot. Hai cách
tiếp cận quan trọng cho mô hình Cournot đó là tiếp cận cân bằng và tiếp
cận tối ưu đa mục tiêu. Nội dung của luận văn này, trình bày về cách tiếp
cận cân bằng cho mô hình Cournot. Bản luận văn gồm hai chương:
Chương 1. Tiếp cận cân bằng Nash cho mô hình kinh tế bán độc quyền
Cournot.
Trong chương này ta tìm hiểu các kiến thức về tập lồi, hàm lồi, toán tử
đơn điệu và bài toán cân bằng. Sau đó, trình bày về mô hình cân bằng với
cưới phí tuyến tính và mô hình cân bằng với cước phí lõm.
Chương 2. Tiếp cận tối ưu vectơ cho mô hình bán độc quyền Cournot
Chương hai gồm các kiến thức về tối ưu vectơ như : Bài toán tối ưu một
mục tiêu, sự tồn tại nghiệm và bài toán tối ưu đa mục tiêu, sau đó trình
bày về định lý vô hướng hóa và tiếp cận tối ưu vectơ cho mô hình Cournot.
Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể
bạn đọc.
2
Chương 1
Tiếp cận cân bằng Nash cho mô
hình kinh tế bán độc quyền
Cournot.
Trong chương này chúng ta xét nội dung bao gồm: Một số kiến thức
liên quan đến không gian R
n
, giải tích lồi, bất đẳng thức biến phân Tiếp
sau đó là mô hình Cournot theo tiếp cận mô hình Nash. Đồng thời trình

bày về mô hình cân bằng với cước phí tuyến tính và mô hình cân bằng với
cước phí lõm. Các kiến thức trong chương này được lấy chủ yếu ở các tài
liệu [1], [2], [3], [4], [5].
1.1 Kiến thức chuẩn bị
Trong luận văn này chúng ta kí hiệu R
n
là không gian Euclide thực
n chiều. Một phần tử x = (x
1
, x
2
, , x
n
)
T
∈ R
n
là một vectơ cột R
n
. Ta
nhắc lại rằng, với hai vectơ x = (x
1
, x
2
, , x
n
), y = (y
1
, y
2

, , y
n
) ∈ R
n
,
x, y :=
n

i=1
x
i
y
i
3
được gọi là tích vô hướng của hai vectơ. Chuẩn Euclide của phần tử x và
khoảng cách Euclide giữa hai phần tử x, y được định nghĩa tương ứng bởi
 x :=

x, y,
d(x, y) := x − y  .
Ta gọi R = [−∞, +∞] = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} là tập số thực mở rộng.
Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của giải tích
lồi và toán tử đơn điệu.
1.1.1 Tập lồi, hàm lồi và toán tử đơn điệu
Định nghĩa 1.1. Một tập hợp C ⊂ R
n
được gọi là lồi nếu
∀x, y ∈ C, 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
Các ví dụ về tập lồi: Tập không gian R
n

, siêu phẳng, hình vuông, hình
tròn Tuy nhiên đường tròn hay hình vành khăn không phải tập lồi.





❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅





❍
❍
❍
❍
❍
❍
y
x

✫✪
✬✩
❆
❆
❆
❆
❆
❆



❅
❅
❅
❅
❅
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
x
y
Các tập hợp lồi
Các tập hợp không lồi




x
y
✫✪
✬✩
4
Một số tính chất cơ bản của tập lồi
a) Giao của một số bất kì các tập lồi là một tập lồi.
b) Nếu tập hợp C và D là lồi thì C + D, αC (và do đó cả C − D) cũng
lồi.
c) Bao đóng của một tập hợp lồi là tập hợp lồi.
d) Tập hợp tất cả các tổ hợp lồi của một số hữu hạn các điểm trong R
n
là
một tập hợp lồi.
Tập hợp C ⊂ R
n
được gọi là lồi chặt nếu ∀x, y ∈ C, x = y, mọi điểm
λx + (1 − λ)y với 0 < λ < 1 đều là điểm trong của C.
Định nghĩa 1.2 (Xem [4], Định nghĩa 1.1.3). Hàm f : R
n
→ R
n
\ {+∞}
được gọi là
(i) lồi trên C nếu với mọi λ ∈ (0, 1), ∀x, y ∈ C ta có
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y),
(ii) lồi chặt trên C nếu với mọi λ ∈ (0, 1), ∀x, y ∈ C, x = y ta có
f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y),
(iii) lồi mạnh trên C nếu tồn tại τ ∈ R, τ > 0 với mọi λ ∈ (0, 1), ∀x, y ∈ C

ta có
f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y) −
1
2
λ(1 − λ)τ  x − y 
2
,
(iv) lõm trên C nếu -f là hàm lồi trên C.
Định nghĩa 1.3. Một hàm aphin là hàm số có dạng f(x) = c, x + α
trong đó c ∈ R
n
, α ∈ R cho trước tùy ý.
Nếu f(x) là hàm afin thì với mỗi x, y ∈ R
n
và mọi số λ, µ sao cho
λ + µ = 1 ta có
f(λx + µy) = λf(x) + µf(y).
Một hàm afin f(x) = c, x +α không lấy giá trị âm thì phải đồng nhất
với một hằng số (vectơ c phải bằng 0), vì nếu c = 0 thì ta sẽ có
f(λc) = c, x + α → −∞ khi λ → −∞.
5
Định nghĩa 1.4 ( Xem [4], Định nghĩa 1.1.1). Cho C là tập lồi trong R
n
, Q: C → R
n
là một ánh xạ. Ánh xạ Q được gọi là
(i) Đơn điệu trên C nếu mỗi cặp điểm u, v ∈ C, ta có
Q(u) − Q(v), u − v ≥ 0.
(ii) Đơn điệu mạnh trên C với mỗi hằng số τ > 0 nếu mỗi cặp u, v ∈ C,
ta có

Q(u) − Q(v), u − v ≥ τ  u − v 
2
.
(iii) Đơn điệu ngặt trên C nếu với mọi u, v ∈ C, ta có
Q(u) − Q(v), u − v > 0.
(iv) Giả đơn điệu trên C nếu mỗi cặp điểm u, v ∈ C ta có
nếu Q(v), u − v ≥ 0. thì Q(u), u − v ≥ 0.
Định nghĩa 1.5. Đồ thị (epiF), miền hữu hiệu (domF), miền ảnh (rgeF)
của ánh xạ đa trị F : X → 2
Y
được định nghĩa tương ứng bằng công thức
sau
epiF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)};
domF = {x ∈ X : F (x) = 0};
rge = {y ∈ Y : ∃x ∈ X : y ∈ F (x)}.
Ví dụ 1.6. Cho toán tử T đơn trị xác định trên R như sau
T (x) = x, ∀x ∈ R.
Khi đó, T là toán tử đơn điệu vì ∀x, y ∈ R ta có:
T (x) − T (y), x − y = x − y, x − y = (x − y)
2
≥ 0
Định lý 1.7. Toán tử tuyến tính A : R
n
→ R
n
là đơn điệu khi và chỉ khi
Az, z ≥ 0, ∀z ∈ R
n
.
Chứng minh.

Hiển nhiên domA = R
n
và A là toán tử đơn điệu. Theo định nghĩa, A là
toán tử đơn điệu khi và chỉ khi
A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ R
n
,
6
hay
A(x − y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ R
n
.
Đặt z = x − y ta có Az, z ≥ 0, ∀z ∈ R
n
.
Định nghĩa 1.8 (Phép toán bảo toàn tính đơn điệu). Các tính chất sau
luôn đúng
(i) T : R
n
→ 2
R
n
đơn điệu khi và chỉ khi T
−1
: R
n
→ 2
R
n
là đơn điệu.

(ii) Nếu T
1
, T
2
là toán tử đơn điệu từ R
n
→ 2
R
n
và nếu λ
1
, λ
2
≥ 0 thì
λ
1
T
1
+ λ
2
T
2
cũng là toán tử đơn điệu. Nếu thêm điều kiện T
1
hoặc T
2
là
đơn điệu chặt thì λ
1
T

1
+ λ
2
T
2
là đơn điệu chặt.
(iii) Nếu T : R
n
→ 2
R
n
là toán tử đơn điệu và A : R
n
→ R
n
là toán tử
tuyến tính, A
∗
là toán tử liên hợp của A thì S(x) = A
∗
T (Ax + b) cũng là
toán tử đơn điệu. Ngoài ra nếu A là đơn ánh và T là toán tử đơn điệu chặt
thì S là toán tử đơn điệu chặt.
Chứng minh.
(i) Theo định nghĩa toán tử T là đơn điệu khi và chỉ khi
x − y, u − v ≥ 0, ∀x, y ∈ domT, x = y, ∀u ∈ T(x), ∀v ∈ T(y),
hay
x − y, u − v ≥ 0; ∀x, y ∈ domT
−1
, x = y, ∀x ∈ T

−1
(u), ∀y ∈ T
−1
(v).
Điều này chứng tỏ T
−1
là toán tử đơn điệu.
(ii Hiển nhiên ta có
dom(λ
1
T
1
+λ
2
T
2
) = {z ∈ R
n
: λ
1
T
1
(z)+λ
2
T
2
(z) = 0} = domT
1
∩domT
2

.
Giả sử x, y ∈ domT
1
∩ domT
2
và
u ∈ (λ
1
T
1
+ λ
2
T
2
)(x) = λ
1
T
1
(x) + λ
2
T
2
(x).
v ∈ (λ
1
T
1
+ λ
2
T

2
)(y) = λ
1
T
1
(y) + λ
2
T
2
(y).
Lấy u
i
∈ T
i
(x), v
i
∈ T
i
(y), i = 1, 2 sao cho u = λ
1
u
1
+ λ
2
u
2
, v = λ
1
v
1

+
λ
2
v
2
, do T
1
, T
2
là toán tử đơn điệu nên ta có
7
u
1
− v
1
, x − y ≥ 0,
u
2
− v
2
, x − y ≥ 0.
Nhân lần lượt hai biểu thức trên với λ
1
và λ
2
rồi cộng lại ta được
u − v, x − y ≥ 0.
Điều này chứng tỏ λ
1
T

1
+ λ
2
T
2
là toán tử đơn điệu.
(iii) Lấy x, y ∈ domT, u ∈ S(x) = A
∗
T (Ax+ b), v ∈ S(y) = A
∗
T (Ay +b),
chọn u
1
∈ T (Ax + b) và v
1
∈ T (Ay + b) sao cho u = A
∗
u
1
, v = A
∗
v
1
. Do
tính đơn điệu của T ta có
v − u, y − x = A
∗
v
1
− A

∗
u
1
, y − x = v
1
− u
1
, (Ay + b) − (Ax +b) ≥ 0.
Từ đó suy ra S là toán tử đơn điệu.
Giả sử A là đơn ánh và T là toán tử đơn điệu chặt, khi đó nếu x = y thì
Ax = Ay kéo theo Ax + b = Ay + b.
Giả sử u, v, u
1
, v
1
được lấy như trên, vì T là toán tử đơn điệu chặt nên
v
1
− u
1
, (Ay + b) − (Ax + b) > 0.
Suy ra
v − u, y − x > 0.
Từ đó chứng tỏ S là toán tử đơn điệu chặt.
Định nghĩa 1.9 (Song hàm cân bằng, xem [4]). Cho U là tập lồi, đóng,
khác rỗng trong R
n
, Φ : U × U → R ∪ {+∞} được gọi là một song hàm
cân bằng trên U nếu
Φ(u, u) = 0, ∀u ∈ U.

Ví dụ 1.10. Cho hàm Φ(x, y) = x
2
− y
2
; x, y ∈ R. Hiển nhiên ta có
Φ(x, x) = 0, ∀x ∈ R. Vậy Φ là một song hàm cân bằng trên R.
1.1.2 Bài toán cân bằng
Bài toán cân bằng là bài toán có nhiều ứng dụng, nhất là trong lĩnh
vực kinh tế. Sau đây ta sẽ trình bày bài toán cân bằng và một số tính chất
của bài toán cân bằng.
8
Định nghĩa 1.11 (Bài toán cân bằng, Xem [4], Định nghĩa 2.1.4). Cho U
là tập lồi, đóng, khác rỗng trong R
n
, Φ : U × U → R ∪ {+∞} là một song
hàm cân bằng trên U. Bài toán cân bằng là bài toán
Tìm u
∗
∈ U sao cho Φ(u
∗
, v) ≥ 0, ∀v ∈ U. (EP )
Ta kí hiệu tập nghiệm của bài toán cân bằng (EP) là SOL-EP(Φ, U).
Định nghĩa 1.12 (Bài toán đối ngẫu của bài toán cân bằng, Xem [4]).
Cho U là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong R
n
, Φ : U × U → R ∪ {+∞}
là một song hàm cân bằng trên U. Bài toán đối ngẫu của bài toán cân bằng
(EP) là bài toán
Tìm v
∗

∈ U sao cho Φ(u, v
∗
) ≤ 0, ∀v ∈ U. (DP )
Ta kí hiệu tập nghiệm của bài toán đối ngẫu của bài toán cân bằng là
(EP) là SOL-DP(Φ, U).
Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu về sự tồn tại nghiệm và tính chất của bài
toán cân bằng.
Mệnh đề 1.13 (Xem [4]). Cho U là tập con lồi, đóng, khác rỗng của
R
n
, Φ : U × U → R ∪ {+∞} là một song hàm cân bằng sao cho với mỗi
v ∈ U thì Φ(., v) là hàm nửa liên tục trên và mỗi u ∈ U thì Φ(u, .) là giả
lồi. Ngoài ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn
(i) U là tập compact
(ii) Tồn tại tập con compact W = ∅ của U sao cho với mỗi u ∈ U\W có
v ∈ W thỏa mãn
Φ(u, v) < 0.
Khi đó bài toán cân bằng (EP) có nghiệm.
Mệnh đề 1.14 (Xem [4]). Cho U là tập con lồi, đóng, khác rỗng của
R
n
, Φ : U × U → R ∪ {+∞} là một song hàm cân bằng. Khi đó
(i) Nếu Φ là đơn điệu ngặt trên U thì bài toán cân bằng (EP) có nhiều
nhất một nghiệm.
(ii) Nếu Φ(., v) là nửa liên tục trên với mỗi v ∈ U, Φ(u, .) là nửa liên tục
9
dưới với mỗi u ∈ U. Nếu có thêm Φ là đơn điệu mạnh trên U thì bài toán
cân bằng (EP) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh.
(i) Giả sử u

∗
và v
∗
là hai nghiệm phân biệt của bài toán cân bằng (EP).
Khi đó ta có
Φ(u
∗
, v
∗
) ≥ 0,
và
Φ(v
∗
, u
∗
) ≥ 0.
Mặt khác do Φ là đơn điệu ngặt trên U nên ta có
Φ(u
∗
, v
∗
) + Φ(v
∗
, u
∗
) < 0; ∀u
∗
, v
∗
∈ U.

Điều này vô lý. Vậy nếu Φ là đơn điệu ngặt thì bài toán cân bằng (EP) có
nhiều nhất một nghiệm.
(ii) Theo kết quả của (i) ta chỉ cần chứng minh bài toán cân bằng (EP)
có nghiệm.
Thật vậy, lấy điểm t ∈ U. Từ giả thiết Φ(t, .) là nửa liên tục dưới ta luôn
có số µ > −∞ sao cho
Φ(t, ω) ≥ µ, ∀ω ∈ A(t, 1) ∩ U,
trong đó A(t, 1) là quả cầu tâm t, bán kính bằng 1.
Chọn bất kỳ
u ∈ U\A(t, 1),
và số
λ =
1
|t − u|
.
Khi đó ta có
ω = λu + (1 − λ)t ∈ A(t, 1) ∩ U.
Áp dụng tính lồi của Φ ta có
µ ≤ Φ(t, ω) ≤ Φ(t, u)/  t − u  .
10
Mặt khác Φ là đơn điệu mạnh ta có
Φ(v, t) ≤ −µ  t − u  −r  t − u 
2
= −  t − u  (µ + r  t − u ) < 0,
nếu như
 t − u >
−µ
r
.
Đặt W = U ∩ A(t, µ


) với µ

= max{1,
−µ
r
}, ta thấy điều kiện (ii) trong
Mệnh đề 1.13 thỏa mãn .
Theo (ii) của Mệnh đề 1.13 ta có kết luận bài toán cân bằng (EP) có
nghiệm, do đó Φ đơn điệu mạnh nên (EP) có nghiệm duy nhất .
Mệnh đề 1.15 (Xem [4], Mệnh đề 2.1.15).
Cho U là tập lồi, đóng, khác rỗng của R
n
, Φ : U × U → R ∪ {+∞} là một
song hàm cân bằng. Khi đó
(i) Nếu Φ(u, .)là tựa lồi và liên tục dưới với mỗi u ∈ U thì tập nghiệm của
bài toán đối ngẫu DP(Φ,U) lồi và đóng.
(ii) Nếu Φ(., v) là nửa liên tục trên với mỗi v ∈ U và Φ(u, .) là lồi với mỗi
u ∈ U thì tập nghiệm của bài toán đối ngẫu nằm trong tập nghiệm của bài
toán cân bằng, nghĩa là SOL-EP(Φ, U)⊂ SOL-EP(Φ,U).
(iii) Nếu Φ là giả đơn điệu thì tập nghiệm của bài toán cân bằng nằm trong
tập nghiệm của bài toán đối ngẫu, nghĩa là
SOL − EP (Φ, U) ⊆ SOL − DP (Φ, U).
Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị
Định nghĩa 1.16. Cho C là một tập con lồi, đóng khác rỗng của R
n
,
F : C → 2
R
n

là ánh xạ đa trị . Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân
đa trị được phát biểu như sau
(MVI) : Tìm x
∗
∈ C và w
∗
∈ F (x
∗
) sao cho w
∗
, x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C.
• F được gọi là ánh xạ giá của bài toán bất đẳng thức biến phân (MVI).
• Khi F là ánh xạ đơn trị thì bài toán bất đẳng thức biến phân ( viết
tắt là (VI)) có dạng
11
Tìm x
∗
∈ C sao cho : F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C.
• Bài toán bất đẳng thức biến phân (MVI) có liên hệ mật thiết với
nhiều bài toán như: Bài toán bù phi tuyến tính, bài toán điểm bất động,
bài toán quy hoạch lồi,
Bài toán điểm bất động Kakutani
Cho C là một tập lồi đóng tùy ý trong R
n

và T là ánh xạ đa trị từ C
vào 2
c
. Bài toán điểm bất động của ánh xạ đa trị T được phát biểu như
sau
Tìm x
∗
∈ C sao cho x
∗
∈ T (x
∗
). (1.1)
Đặc biệt, nếu T là ánh xạ đơn trị thì bài toán điểm bất động Kakutani
trở thành bài toán điểm bất động Brouwer có dạng
Tìm x
∗
∈ C sao cho x
∗
= T (x
∗
).
Mệnh đề sau đây cho thấy mối liên hệ giữa bài toán (MVI) với bài toán
điểm bất động (1.1).
Mệnh đề 1.17. Giả sử ánh xạ F được xác định bởi F (x) = x−T (x), ∀x ∈
C. Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị (MVI) tương đương với
bài toán điểm bất động (1.1).
Chứng minh.
Giả sử x
∗
là nghiệm bài toán (MVI) và F (x) = x − T (x), tức là

w
∗
, x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C, w
∗
∈ F (x
∗
).
Do w
∗
∈ F (x
∗
) = x
∗
− T (x
∗
) nên tồn tại ξ
∗
∈ T (x
∗
) sao cho w
∗
= x
∗
− ξ
∗
.
Ta có
x

∗
− ξ
∗
, x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C.
Cho x = ξ
∗
ta được
 x
∗
− ξ
∗
≤ 0.
Suy ra x
∗
= ξ
∗
hay x
∗
∈ T(x
∗
). Vậy nên x
∗
là nghiệm của bài toán (1.1).
Chiều ngược lại hiển nhiên đúng.
12
Bài toán bù phi tuyến.
Chú ý rằng C là một nón lồi trong R
n

thì bài toán (MVI) trở thành bài
toán bù
Tìm x
∗
∈ C, w
∗
∈ F (x
∗
), w ∈ C

sao cho w
∗
, x
∗
 = 0, (CP )
trong đó C

= {y ∈ R
n
|x, y ≥ 0; ∀x ∈ C} được gọi là nón đối ngẫu của
C.
Khi đó ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 1.18. Nếu C là nón lồi, đóng trong R
n
thì bài toán bù (CP)
tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân (MVI).
Chứng minh.
Nếu x
∗
là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (MVI) và

w
∗
∈ F (x
∗
) thì
w
∗
, x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C. (1.2)
Do C là nón lồi, x
∗
∈ C nên
x
∗
+ x ∈ C, ∀x ∈ C.
Trong bất đẳng thức (1.2) ta thay x bởi x
∗
+ x, ta được
w
∗
, x
∗
+ x − x
∗
 = w
∗
, x ≥ 0, ∀x ∈ C.
Suy ra w
∗

thuộc nón đối ngẫu C

.
Còn nếu thay x = 0 vào (1.2) ta được
w
∗
, x
∗
 ≤ 0.
Suy ra w
∗
, x
∗
 = 0, hay x
∗
∈ C, w
∗
∈ F (x
∗
), w
∗
∈ C

là nghiệm của bài
toán bù (CP).
Ngược lại, nếu x
∗
∈ C là nghiệm của bài toán bù thì
w
∗

, x
∗
 = 0, w
∗
∈ F (x
∗
), w
∗
∈ C

.
Hay x
∗
∈ C, w
∗
∈ F (x
∗
) là nghiệm của bài toán (MVI).
13
Bài toán quy hoạch lồi.
Cho C ⊆ R
n
là một tập lồi, đóng, khác rỗng và f : C → R ∪ {+∞} là
một hàm lồi trên C. Bài toán quy hoach lồi được phát biểu như sau
Tìm x
∗
∈ C sao cho f(x) = min{f(x)|x ∈ C}. (1.3)
Trong trường hợp f là hàm lồi, khả vi, ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 1.19. Giả sử f : C → R là hàm khả vi, lồi trên tập lồi C ⊂ R
n

.
Khi đó, x
∗
∈ C là nghiệm của bài toán (1.3) khi và chỉ khi x
∗
là nghiệm
của bài toán bất đẳng thức biến phân (VI), với F(x) := ∇f(x).
Chứng minh.
Giả sử x
∗
là nghiệm của bài toán (1.3), tức là
f(x
∗
) ≤ f(x); ∀x ∈ C.
Để chứng minh x
∗
nghiệm cuả bài toán (VI), ta giả sử ngược lại rằng
∇f(x
∗
), x − x
∗
 < 0, ∀x ∈ C.
Khi đó, lấy α > 0 đủ nhỏ, do C là tập lồi nên
y
α
= x
∗
+ α(x − x
∗
) = αx + (1 − α)x

∗
∈ C, ∀x ∈ C,
và
f(y
α
) = f(x
∗
) + α∇f(x
∗
), x − x
∗
 + θ(x) < f(x
∗
),
tức x
∗
không là nghiệm của bài toán (1.3). Điều này trái với giả thiết.
Vậy, x
∗
là nghiệm của bài toán (VI).
Ngược lại, nếu x
∗
là nghiệm của bài toán (VI), tức là
∇f(x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C.
Do f là hàm lồi, khả vi nên
f(x) − f(x

∗
) ≥ ∇f(x
∗
), x − x
∗
, ∀x ∈ C.
Suy ra
f(x) ≥ f(x
∗
), ∀x ∈ C,
hay, x
∗
là nghiệm của bài toán (1.3).
14
Trong trường hợp f là hàm không lồi thì ta có thể mở rộng Mệnh đề
trên cho trường hợp khả vi dưới vi phân như sau
Mệnh đề 1.20 (Xem [3], 3.5). Cho C ⊂ R
n
là một tập lồi, đóng, khác
rỗng. Giả sử f : C → R là hàm lồi, khả dưới vi phân trên C. Khi đó, x
∗
là nghiệm của bài toán (1.3) khi và chỉ khi x
∗
là nghiệm của bài toán bất
đẳng thức biến phân (MVI), với F (x) := ∂f(x).
Chứng minh.
Giả sử x
∗
∈ C và w
∗

∈ ∂f(x) nên
w
∗
, x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C.
Vì w
∗
∈ ∂f(x
∗
) nên
w
∗
, x − x
∗
 ≤ f(x) − f(x
∗
), ∀x ∈ C.
Từ đó suy ra
f(x
∗
) ≤ f(x), ∀x ∈ C,
hay, x là nghiệm của bài toán (1.3)
Ngược lại, hiển nhiên đúng.
Ví dụ 1.21 (Bài toán xác định phương án sản xuất). Gọi C là tập
phương án sản xuất chấp nhận được và x = (x
1
, x
2
, , x

n
) ∈ R
n
được gọi
là số lượng sản phẩm, với x
i
là sản phẩm thứ i. Đặt F (x) là tập các chi
phí sản xuất ứng với phương án sản xuất x. Bài toán đặt ra là hãy tìm
một phương án sản xuất chấp nhận đước sao cho ứng với phương án này
có một chi phí là thấp nhất. Bài toán này có thể được mô ta dưới bài toán
bất đẳng thức biến phân sau
Tìm x
∗
∈ C sao cho F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C.
15
1.2 Mô hình cân bằng với cước phí tuyến tính
1.2.1 Phát biểu mô hình Nash - Cournot
Giả sử trong nền kinh tế thị trường có n hãng tham gia sản xuất
cùng một loại sản phẩm. Kí hiệu x
i
∈ V
i
⊆ R
+
là sản phẩm mã hàng
i(i = 1, 2, , n) dự định sẽ thực hiện. Ta giả sử rằng giá của một đơn vị

sản phẩm do hãng i cung cấp là p
i
và nó phụ thuộc vào tổng sản lượng
của tất cả các hãng, kí hiệu là σ :=
n

i=1
x
i
, nghĩa là ta có p
i
:= p
i
(σ). Đặt
h
i
(x
i
) là tổng chi phí sản xuất của hãng i khi hãng thực hiện kế hoạch sản
lượng x
i
và hàm lợi nhuận của hãng được xác định bởi
f
i
(x
1
, x
2
, , x
n

) = x
i
p
i
(
n

i=1
x
i
) − h
i
(x
i
), i = 1, 2, , n,
trong đó h
i
là hàm chi phí của hãng i chỉ phụ thuộc trên mức sản suất của
nó.
Mỗi hãng đều có chung một mong muốn là tìm một phương án sản xuất
để là cực đại hàm lợi nhuận của hãng mình. Ta gọi V
i
(i = 1, 2, , n) là tập
chiến lược sản phẩm của hãng i và đặt
V = V
1
× V
2
× × V
n

là tập chiến lược của tất cả các hãng. Từ đó ta có định nghĩa sau
Định nghĩa 1.22. Điểm x
∗
= (x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
n
) ∈ V được gọi là điểm cân
bằng Nash của mô hình cân bằng Nash-Cournot nếu ∀i = 1, 2, , n, và với
mọi y
i
∈ V
i
ta đều có
f
i
(x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
i−1

, y
i
, x
∗
i+1
, , x
∗
n
) ≤ f
i
((x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
i−1
, x
i
, x
∗
i+1
, , x
∗
n
). (1.4)
Đặt (x
∗

1
, x
∗
2
, , x
∗
i−1
, y
i
, x
∗
i+1
, , x
∗
n
) = (x
∗
[y
i
]), thì (1.4) tương đương với
f
i
(x
∗
[y
i
]) ≤ f
i
(x
∗

1
, x
∗
2
, , x
∗
i−1
, x
i
, x
∗
i+1
, , x
∗
n
).
Từ định nghĩa trên ta nhận thấy điểm cân bằng có ý nghĩa kinh tế như
sau
16
Tại điểm cân bằng, nếu một hãng i
0
(1 ≤ i
0
≤ n) nào đó tự ý thay đổi
sản lượng của hãng mình, trong khi các hãng khác giữ nguyên sản lượng
cân bằng, thì lợi nhuận không tăng thêm. Do đó các hãng đều muốn mình ở
vị trí cân bằng. Với mỗi x = (x
1
, x
2

, , x
n
) ∈ V và y = (y
1
, y
2
, , y
n
) ∈ V,
ta đặt
Ψ(x, y) = −
n

i=1
f
i
(x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
i−1
, y
i
, x
∗
i+1

, , x
∗
n
), (1.5)
và
Φ(x, y) = Ψ(x, y) − Ψ(x, x). (1.6)
Mệnh đề dưới đây nói rằng, bài toán tìm điểm cân bằng của mô hình
Nash - Cournot tương đương bài toán cân bằng sau
Tìm x
∗
∈ V sao cho Φ(x, y) ≥ 0, ∀y ∈ V .
Mệnh đề 1.23. Điểm x
∗
∈ V là một điểm cân bằng khi và chỉ khi x
∗
là
một nghiệm của bài toán cân bằng (EP).
Chứng minh.
Giả sử x
∗
∈ V là điểm cân bằng của mô hình. Khi đó
f
i
(x
∗
[y
i
]) ≤ f
i
(x

∗
), ∀i = 1, 2, , n, ∀y
i
∈ V
i
,
suy ra
n

i=1
f
i
(x
∗
[y
i
]) ≤
n

i=1
f
i
(x
∗
), ∀i = 1, 2, , n, ∀y
i
∈ V
i
,
hay

−
n

i=1
f
i
(x
∗
[y
i
]) ≥ −
n

i=1
f
i
(x
∗
), ∀i = 1, 2, , n, ∀y
i
∈ V
i
,
tức là ta có
Ψ(x
∗
, y) ≥ Ψ(x
∗
, x
∗

), ∀y ∈ V.
Khi đó
Φ(x
∗
, y) = Ψ(x
∗
, y) − Ψ(x
∗
, x
∗
) ≥ 0, ∀y ∈ V.
17
Vậy, x
∗
là nghiệm của bài toán cân bằng (EP).
Ngược lại, giả sử x
∗
là nghiệm của bài toán cân bằng (EP). Từ
Φ(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ V và Φ(x
∗
, x
∗
) = 0, suy ra
Φ(x
∗
, y) = Ψ(x
∗
, y) − Ψ(x

∗
, x
∗
) ≥ 0, ∀y ∈ V.
Hay
Ψ(x
∗
, y) ≥ Ψ(x
∗
, x
∗
), ∀y ∈ V.
Vậy
−
n

i=1
f
i
(x
∗
[y
i
]) ≥ −
n

i=1
f
i
(x

∗
), ∀i = 1, 2, , n, ∀y
i
∈ V
i
.
Điều này có nghĩa rằng
n

i=1
f
i
(x
∗
[y
i
]) ≤
n

i=1
f
i
(x
∗
), ∀i = 1, 2, , n, ∀y
i
∈ V
i
.
Do đó

f
i
(x
∗
[y
i
]) ≤ f
i
(x
∗
), ∀i = 1, 2, , n, ∀y
i
∈ V
i
,
Vậy, x
∗
∈ V là điểm cân bằng của mô hình.
1.2.2 Trường hợp cước phí tuyến tính
Trong mô hình cân bằng kinh tế cổ điển, hàm giá và hàm chi phí của
mỗi hãng được giả sử là hàm afin, có dạng như sau
p(σ) := α
0
− βσ; α
0
≥ 0, β > 0, σ =
n

i=1
x

i
,
h
i
(x
i
) := µ
i
x
i
+ ξ
i
; µ
i
≥ 0, ξ ≥ o, (i = 1, n).
Như vậy hàm giá không đổi cho mọi hãng. Theo định nghĩa của hàm Ψ và
hàm Ψ(x, x) = 0, nên ta có
Φ(x, y) = Ψ(x, y) − Ψ(x, x)
=
n

i=1
f
i
(x) −
n

i=1
f
i

(x[y
i
])
=
n

i=1

x
i
p
i
(
n

i=1
x
i
) − h
i
(x
i
) − y
i
p
i

n

j=i,j=1

(x
j
[y
i
])

+ h
i
(y
i
)

18
=
n

i=1

x
i
(α
0
−β
n

i=1
x
i
)−(µ
i

x
i
+ξ
i
)−y
i

α
0
−β
n

j=i,j=1
(x
j
[y
i
])

+µ
i
y
i
+ξ
i

=
n

i=1


(x
i
− y
i
)α
0
− β
n

i=1
x
2
i
+ µ
i
(y
i
− x
i
) − βy
i
n

i=j,j=1
(x
j
) + βy
2
i


=
n

i=1

(y
i
− x
i
)(β
n

j=i,j=1
x
i
− α
0
+ µ
i
) + βy
2
i
− βx
2
i

=
n


i=1

(y
i
− x
i
)(β
n

j=i,j=1
x
i
− α
0
+ µ
i
) + βy
2
i
− βx
2
i

+ β
n

i=1
y
2
i

− β
n

i=1
x
2
i
= 

Bx + µ − α, y − x + y
T
By − x
T
Bx,
trong đó
B =






β 0 0 · · · 0
0 β 0 · · · 0
· · · · · · · · · · · · · · ·
0 0 0 · · · β







;

B =






0 β β · · · β
β 0 β · · · β
· · · · · · · · · · · · · · ·
β β β · · · 0






và
α
T
= (α
0
, α
0
, , α
0

); µ
T
= (µ
1
, µ
2
, , µ
n
).
Do đó bài toán tìm điểm cân bằng của mô hình cân bằng Nash - Cournot
có thể viết lại thành bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp sau
Tìm x ∈ V sao cho 

Bx + µ − α, y − x + y
T
By − x
T
Bx ≥ 0, ∀y ∈ V.
Cho
P := 2B +

B =






2β β β · · · β
β 2β β · · · β

· · · · · · · · · · · · · · ·
β β β · · · 2β






.
Do β > 0, ma trận P và

B đối xứng và P là ma trận xác định dương.
Theo điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán quy hoạch lồi, nên bài toán
bất đẳng thức biến phân này tương ứng với bài toán quy hoạch lồi toàn
19
phương
min
x∈V

1
2
x
T
P x + (µ − α)
T
x

.
Thật vậy, vì V lồi và P xác định dương nên bài toán này có duy nhất
một nghiệm tối ưu và nó cũng là điểm cân bằng duy nhất của mô hình

cân bằng thị trường kinh tế Nash - Cournot.
Rõ ràng lời giải tối ưu cho bài toán quy hoạch lồi cũng viết được thành
bài toán sau, theo nghĩa hai tập hợp nghiệm của chúng trùng nhau
max
x∈V

α
T
x − µ
T
x −
1
2
x
T
P x

.
Điều đó có nghĩa là điểm cân bằng Nash là điểm có tổng lợi ích của
hãng là lớn nhất với ma trận hệ số giá
1
2
P :=

















β
1
2
β
1
2
β · · ·
1
2
β
1
2
β β
1
2
β · · ·
1
2
β
· · · · · · · · · · · · · · ·
1

2
β
1
2
β
1
2
β · · · β
















.
Ta có tổng lợi ích của hãng là
f(x) :=
n

i=1

f
i
(x
i
) = α
T
x − µ
T
x − x
T
Mx.
Ta có thể giải bài toán quy hoạch toàn phương lồi mạnh
max
x∈V

α
T
x − µ
T
x −
1
2
x
T
Mx

.
theo các phương pháp đã có của quy hoach toán học.
Với M =







β β β · · · β
β β β · · · β
· · · · · · · · · · · · · · ·
β β β · · · β






được gọi là ma trận hệ số giá.
20
Ví dụ 1.24. Ta gọi V
1
= [0; 10] là tập chiến lược của hãng 1; V
2
= [0; 15]
là tập chiến lược của hãng 2, và đặt V = V
1
× V
2
.
Chọn α
0
= 30; β =

1
2
, ta có: p(σ) = 30 −
1
2
σ.
Giả sử: - Chi phí của hãng thứ 1 khi sản xuất x
1
đơn vị hàng hóa là
h
1
(x
1
) = 3x
1
+ 1.
- Chi phí của hãng thứ 2 khi sản xuất x
2
đơn vị hàng hóa là
h
2
(x
2
) = 4x
2
+ 2.
Khi đó hàm lợi nhuận của hai hãng được xác định bởi
f
1
(x

1
) = p(σ)x
1
− h
1
(x
1
).
f
2
(x
2
) = p(σ)x
2
− h
2
(x
2
).
Theo (1.5) và (1.6) thì bài toán tìm điểm cân bằng của mô hình Nash -
Cournot tương đương bài toán
min
x∈V

1
2
x
T
P x + (µ − α)
T

x

,
với p =



1
1
2
1
2
1



, vì vậy ta viết được
min

1
2
(x
1
, x
2
)



1

1
2
1
2
1




x
1
x
2

+

(3, 4) − (30, 30)

T

x
1
x
2

= min
x∈V

1
2


3
2
x
1
,
3
2
x
2


x
1
x
2

+ (−27, −26)

x
1
x
2

= min
x∈V

1
2


3
2
x
1
,
3
2
x
2


x
1
x
2

− 27x
1
− 26x
2

= min
x∈V

3
4
x
2
1
+

3
4
x
2
2
− 27x
1
− 26x
2

= min
x
1
∈V
1

3
4
x
2
1
− 27x
1

+ min
x
2
∈V
2


3
4
x
2
2
− 26x
2

,
21
ta có

3
4
x
2
1
− 27x
1


= 0 ⇔
3
2
x
1
− 27 = 0 ⇔ x
1
= 18 /∈ [0, 10]


3
4
x
2
2
− 26x
2


= 0 ⇔
3
2
x
2
− 26 = 0 ⇔ x
2
=
52
3
/∈ [0, 15].
Do đó điểm cân bằng Nash của bài toán này là (10, 15).
1.3 Mô hình cân bằng Nash - Cournot với cước phí lõm
1.3.1 Mô hình cân bằng Nash - Cournot với cước phí lõm
Trong mô hình cân bằng kinh tế Nash - Cournot cổ điển, hàm cước
phí đã được giả thiết là hàm tăng, afin theo số lượng sản suất. Tuy nhiên
trong thực tế, chi phí để sản xuất một đơn vị hàng hóa thường là giảm khi
số lượng sản phẩm sản xuất tăng. Hơn nữa, giá sản xuất của mỗi hãng là
không giống nhau. Do đó trong phần này ta xét mô hình cân bằng Nash
- Cournot với chi phí sản xuất là hàm lõm và giá thành sản xuất của mỗi
hãng là khác nhau. Cụ thể ta cho hàm giá p

i
(σ) có công thức
p
i
(σ) = p
i
(
n

i=1
x
i
) = α
i
− β
i
(
n

i=1
x
i
); α
i
≥ 0, β
i
> 0, i = 1, 2, , n
và hàm chi phí của hãng thứ i là h
i
(x

i
) là một hàm lõm.
Khi đó ta có
Φ(x, y) = Ψ(x, y) − Ψ(x, x) =
n

i=1
f
i
(x) −
n

i=1
f
i
(x[y
i
])
=
n

i=1

x
i
p
i

n


i=1
x
i

− h(x) − y
i
p
i

n

j=i,j=1
x
j
[y
i
] + h(y)


=
n

i=1

x
i

α
i
− β

i
n

i=1
x
i

− h(x) − y
i

α
i
− β
i
n

i=j,j=1
(x
j
[y
i
])

+ h(y)

=
n

i=1


(y
i
− x
i
)(β
i
n

i=1
x
i
− α
i
) + β
i
n

i=1
y
2
i
− β
i
n

i=1
x
i
+ h(y) − h(x)
