KHẢO SÁT CHUYỂN PHA VORTEX LIQUID - VORTEX GLASS TRONG SIÊU DẪN LOẠI II MẤT TRẬT TỰ BẰNG MÔ PHỎNG ĐIỆN TRỞ TUYẾN TÍNH CHO MÔ HÌNH MẠNG XY

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA VẬT LÝ
CHUYÊN NGÀNH VẬT LÝ LÝ THUYẾT
———————————————
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Đề tài:
KHẢO SÁT CHUYỂN PHA VORTEX LIQUID -
VORTEX GLASS TRONG SIÊU DẪN LOẠI II
MẤT TRẬT TỰ BẰNG MÔ PHỎNG ĐIỆN TRỞ
TUYẾN TÍNH CHO MÔ HÌNH MẠNG XY
SVTH: Nguyễn Hà Hùng Chương
CBHD: PGS. TS. Hoàng Dũng
TS. Đỗ Hoàng Sơn
TP. HỒ CHÍ MINH - 2006
Lời cảm ơn
Để hoàn thành khóa luận này, trước hết tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn đối với các thầy
giáo, cô giáo trong bộ môn Vật lý Lý thuyết cùng các thầy giáo, cô giáo trong khoa
Vật lý, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã giảng dạy
chúng tôi trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trường.
Đặc biệt, tôi xin gửi đến PGS. TS. Hoàng Dũng và TS. Đỗ Hoàng Sơn - những
người thầy hướng dẫn khoa học, đã trực tiếp giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực
hiện khóa luận tấm lòng biết ơn sâu sắc. Đồng thời tôi cũng chân thành cảm ơn thầy
phản biện PGS. TSKH. Mai Xuân Lý và PGS. TS. Võ Văn Hoàng với những nhận
xét đóng góp quý báu cho khóa luận này.
Và tôi cũng gửi lời cảm ơn đến các anh chị và các bạn làm việc tại phòng Vật lý
Tính toán, khoa Vật lý, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh
cùng các bạn bè gần xa đã quan tâm, động viên để tôi hoàn thành được khóa luận
tốt nghiệp.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2006
Nguyễn Hà Hùng Chương

i
Mục lục
Danh sách hình vẽ iv
Danh sách bảng vi
Giới thiệu 1
1 Sơ lược về siêu dẫn 4
1.1 Hai tính chất quan trọng của siêu dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Tính dẫn điện lý tưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Tính nghịch từ lý tưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Các lý thuyết cơ bản của siêu dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Lý thuyết vi mô Bardeen-Cooper- Schrieffer . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Lý thuyết hiện tượng luận Ginzburg-Landau . . . . . . . . . . . 8
1.3 Siêu dẫn loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Hiệu ứng Josephson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Siêu dẫn nhiệt độ cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Trạng thái vortex-glass 16
2.1 Vortex và trạng thái hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Thăng giáng nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Sự mất trật tự và trạng thái vortex-glass . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Chuyển pha vortex-glass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
ii
3 Mô hình động học RSJ 29
3.1 Mạng cầu Josephson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Các mô hình thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Mô hình động học RSJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Các đại lượng trong mô hình RSJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.1 Biến pha θ(n, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.2 Thế vec-tơ A
µ
(n, t) và biến thăng giáng α

µ
(t) . . . . . . . . . . 36
3.4.3 Năng lượng tương tác Josephson J
µ
(n) . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.4 Dòng nhiễu Langevin η
µ
(n, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Công thức điện trở tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Thuật giải và kết quả tính điện trở tuyến tính theo mô hình RSJ 40
4.1 Thuật giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.1 Phân tích bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.2 Thuật giải hàm tính điện trở tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.3 Những khó khăn trong tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Kết quả mô phỏng điện trở tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 So sánh và thảo luận kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Kết luận và hướng phát triển 54
Danh mục công trình của tác giả 56
Tài liệu tham khảo 57
A Công thức gần đúng của điện trở tuyến tính 60
B Cấu trúc chương trình 63
iii
Danh sách hình vẽ
1.1 Điện trở thủy ngân giảm đột ngột ở 4.15K . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Sự phụ thuộc của từ trường tới hạn vào nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Giản đồ pha của các chất siêu dẫn loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Cầu Josephson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Nhiệt độ chuyển pha của các chất siêu dẫn theo thời gian . . . . . . . . 14
2.1 Cấu trúc một vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Giản đồ pha của chất siêu dẫn nhiệt độ cao khi xét đến thăng giáng

nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Sự tương tự của hệ từ và siêu dẫn: bên trái là sự sắp xếp của các spin
(kí hiệu bằng mũi tên lên hoặc xuống) trong hệ từ và tương ứng bên
phải là sự sắp xếp của các vortex (lõi vortex kí hiệu bằng dấu chấm và
dòng vortex kí hiệu bằng mũi tên tròn) trong hệ siêu dẫn. Hình lấy từ
tài liệu [33] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Giản đồ pha của chất siêu dẫn loại II mất trật tự với sự xuất hiện của
pha vortex-glass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Kết quả thí nghiệm đặc trưng dòng-thế của chất siêu dẫn nhiệt độ cao
Y BCO tại các nhiệt độ khác nhau trong từ trường H = 4 Tesla. Hình
lấy từ tài liệu [33] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 Mạng cầu Josephson hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Hai loại mất trật tự trong mạng cầu Josephson, (a) mất trật tự liên
kết, (b) mất trật tự vị trí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1 Thuật giải hàm resistivity() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
iv
4.2 Sự phụ thuộc của thời gian tính vào kích thước hệ với số bước tính
t
r
= 10.000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Sự thay đổi của điện trở tuyến tính theo thời gian hồi phục đối với hệ
có kích thước L = 4, (a) nhiệt độ T = 1.2, (b) nhiệt độ T = 0.5 . . . . 46
4.4 Sự phụ thuộc điện trở tuyến tính vào nhiệt độ đối với hệ có kích thước
L = 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Kết quả điện trở tuyến tính cho các hệ có kích thước L = 4, 6, 8 . . . . 49
4.6 Kết quả phân tích dữ liệu từ đồ thị 4.5 bằng phương pháp cắt . . . . . 50
A.1 Miền lấy tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
B.1 Cấu trúc của chương trình tính điện trở tuyến tính . . . . . . . . . . . 63
v
Danh sách bảng

4.1 Bảng thống kê thời gian tính theo kích thước hệ cho t
r
= 10.000 bước . 45
4.2 Bảng thống kê số mẫu và sai số của hệ có kích thước L = 4 . . . . . . . 48
4.3 Bảng thống kê số mẫu và sai số của hệ có kích thước L = 6 . . . . . . . 48
4.4 Bảng thống kê số mẫu và sai số của hệ có kích thước L = 8 . . . . . . . 48
4.5 Bảng so sánh giá trị chỉ số tới hạn động học z của thực nghiệm và các
mô hình khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
vi
Giới thiệu
Phát minh ra chất siêu dẫn độ cao vào năm 1986 đã mở ra một thời kì mới cho việc
nghiên cứu các vật liệu siêu dẫn. Khác biệt lớn nhất của các chất siêu dẫn nhiệt độ
cao với các chất siêu dẫn loại II nhiệt độ thấp là sự giảm điện trở đáng kể khi có mặt
của từ trường ngoài. Điều này đặt ra câu hỏi: "Có tồn tại một pha siêu dẫn thực sự
với điện trở bằng không trong các chất siêu dẫn loại II nhiệt độ cao khi có mặt từ
trường hay không?". Với việc xét đến hai yếu tố quan trọng trong siêu dẫn nhiệt độ
cao là thăng giáng nhiệt và sự mất trật tự, Fisher cho rằng trong các chất siêu dẫn
loại II mất trật tự tồn tại một trạng thái siêu dẫn mới có điện trở tuyến tính thực sự
bằng không và được gọi là trạng thái vortex-glass [1] [2]. Cho đến nay, vortex-glass là
trạng thái siêu dẫn duy nhất được biết có điện trở tuyến tính bằng không khi ở trong
từ trường lớn (H > H
c1
). Do đó việc kiểm chứng sự tồn tại của trạng thái vortex-glass
có ý nghĩa lý thuyết và ứng dụng vô cùng quan trọng.
Sau khi giả thuyết vortex-glass được đưa ra, các nghiên cứu lý thuyết cũng như
thực nghiệm đã được tiến hành để kiểm chứng. Các thí nghiệm được tiến hành chủ
yếu trên các vật liệu siêu dẫn oxit (Y-Ba-Cu-O, K-Ba-Bi-O) ở dạng tinh thể hay dạng
phim. Các nghiên cứu lý thuyết chủ yếu dựa trên mô phỏng các hệ siêu dẫn hai chiều
và ba chiều với việc sử dụng các mô hình mất trật tự khác nhau. Đối với hệ siêu dẫn
hai chiều, hầu hết các kết quả mô phỏng cho thấy rằng chuyển pha vortex-glass xảy

ra ở nhiệt độ tới hạn T
c
= 0 [3] [4] [5] và kết quả này đã được thực nghiệm kiểm chứng
đối với vật liệu siêu dẫn dạng phim [6]. Đối với hệ siêu dẫn ba chiều, nhiều kết quả
thực nghiệm [7] [8] [9] và kết quả mô phỏng lý thuyết [10] [11] [12] [13] đã ủng hộ cho
sự tồn tại của pha vortex-glass ở nhiệt độ hữu hạn (T
c
> 0) . Tuy nhiên kết luận cuối
cùng về sự tồn tại của pha vortex-glass cho hệ siêu dẫn ba chiều vẫn còn nhiều câu
hỏi [14] [15].
Mô hình lý thuyết đơn giản nhất và được dùng sớm nhất để khảo sát trạng thái
vortex-glass là mô hình gauge glass [10] với việc đưa yếu tố mất trật tự vào thế vec-tơ.
Các kết quả mô phỏng của mô hình này đối với hệ ba chiều đã cho thấy sự tồn tại
của chuyển pha vortex-glass ở nhiệt độ hữu hạn. Hai chỉ số tới hạn quan trọng và đặc
1
trưng cho chuyển pha vortex-glass là chỉ số tới hạn tĩnh học ν và chỉ số tới hạn động
học z được xác định từ mô hình này là ν  1.3 và z  3 −5 [10] [11] [16]. Tuy nhiên
mô hình này có một số nhược điểm như yếu tố mất trật tự trên thực tế nằm ở hằng
số tương tác chứ không phải thế vec-tơ. Hơn nữa, thế vec-tơ trong mô hình này lại
hoàn toàn đẳng hướng do việc lấy ngẫu nhiên. Điều này trái với thực tế vì từ trường
trong các chất siêu dẫn là có hướng xác định.
Để khắc phục những nhược điểm của mô hình gauge glass, H. Kawamura đã đưa
ra mô hình mạng XY
1
với việc đưa yếu tố mất trật tự vào hằng số tương tác [17]. Kết
quả mô phỏng bằng phương pháp Monte Carlo cho mô hình mạng XY với điều kiện
biên tuần hoàn và bỏ qua hiệu ứng chắn từ cũng cho thấy sự tồn tại của chuyển pha
vortex-glass ở nhiệt độ hữu hạn với chỉ số tới hạn tĩnh học ν = 1.1 nhưng tác giả chưa
xác định chỉ số tới hạn động học z. Nhóm Hoàng Dũng đã kiểm tra mô hình này bằng
phương pháp mô phỏng động học Langevin cho điện trở phi tuyến [18] [19] và khẳng

định lại kết quả của H. Kawamura với chỉ số tới hạn tĩnh học tìm được là ν = 1.1±0.2.
Đồng thời nhóm cũng tìm được giá trị chỉ số tới hạn động học z = 5.1 ± 0.3. Tuy
nhiên kết quả của chỉ số tới hạn động học xác định từ phương pháp scaling điện trở
phi tuyến chưa đủ độ tin cậy vì sai số của phương pháp này là khá lớn.
Do vậy, việc khảo sát chuyển pha vortex-glass và xác định chính xác hơn giá trị chỉ
số tới hạn động học của mô hình mạng XY là rất cần thiết. Cho đến nay, việc khảo sát
chuyển pha vortex-glass cho mô hình mạng XY mới chỉ được tiến hành bằng phương
pháp xác định tỉ số Binder [17] và khảo sát điện trở phi tuyến [18] [19]. Bên cạnh
đó, khảo sát điện trở tuyến tính cũng rất cần được tiến hành để đem lại thông tin
đáng tin cậy hơn cho mô hình mạng XY này. Với yêu cầu đó, mục đích của khoá luận
tốt nghiệp này là xây dựng chương trình mô phỏng điện trở tuyến tính cho mô hình
mạng XY. Từ đó, chúng tôi kiểm tra sự tồn tại của chuyển pha vortex-glass trong hệ
siêu dẫn ba chiều loại II mất trật tự và đồng thời xác định chỉ số tới hạn động học
z. Để khảo sát điện trở tuyến tính, chúng tôi sử dụng mô hình động học RSJ và để
xác định nhiệt độ tới hạn cũng như chỉ số tới hạn động học chúng tôi sử dụng phương
pháp cắt, là một phương pháp phân tích scaling cho điện trở tuyến tính ở gần nhiệt
độ tới hạn. Với mục tiêu như vậy, khoá luận sẽ được trình bày theo thứ tự sau:
Chương 1: giới thiệu các tính chất, hiện tượng cơ bản của siêu dẫn và một số lý
thuyết quan trọng được sử dụng để mô tả hiện tượng này.
Chương 2: trình bày cơ sở lý thuyết của trạng thái vortex glass và một số tính chất
1
tên mô hình được dịch từ tên "lattice XY model" do chính tác giả H. Kawamura sử dụng trong
bài báo [17]
2
của chuyển pha vortex glass.
Chương 3: trình bày về mô hình động học RSJ và công thức tính điện trở tuyến
tính để sử dụng cho tính toán mô phỏng. Các mô hình mất trật tự thông dụng
để khảo sát chuyển pha vortex-glass cũng được giới thiệu ở đầu chương.
Chương 4: phần đầu trình bày về thuật giải hàm tính điện trở tuyến tính cũng như
những khó khăn gặp phải khi thực hiện mô phỏng. Phần còn lại sẽ trình bày kết

quả khảo sát nhiệt độ tới hạn T
c
và chỉ số tới hạn động học z thu được từ mô
phỏng cho điện trở tuyến tính. Kết quả này cũng được so sánh với thực nghiệm
và các mô hình khác.
3
Chương 1
Sơ lược về siêu dẫn
1.1 Hai tính chất quan trọng của siêu dẫn
1.1.1 Tính dẫn điện lý tưởng
Hiện tượng siêu dẫn được phát hiện bởi H. Kamerlingh Onnes vào năm 1911 [20],
chỉ ba năm sau khi ông hoá lỏng được Heli. Việc hoá lỏng Heli đã tạo điều kiện cho
Onnes nghiên cứu kim loại ở nhiệt độ rất thấp (khoảng vài Kelvin). Điều bất ngờ đã
xảy ra khi hạ nhiệt độ thủy ngân xuống khoảng 4.15K, ông phát hiện điện trở của
nó giảm đột ngột và biến mất (hình 1.1). Sau đó vào tháng 12 năm sau, ông tiếp tục
công bố thiếc và chì cũng có hiện tượng mất điện trở tương tự. Hiện tượng này được
gọi là hiện tượng siêu dẫn.
Hình 1.1: Điện trở thủy ngân giảm đột ngột ở 4.15K
4
Trong thập niên 1910 và 1920, thêm nhiều chất khác được phát hiện có tính siêu
dẫn như In, Tl, Ga, Ti, Điều đáng chú ý là các chất này đều dẫn điện không tốt
ở nhiệt độ thường.
Nhiệt độ tại đó điện trở của chất biến mất được gọi là nhiệt độ tới hạn hay nhiệt
độ chuyển pha của chất siêu dẫn và được kí hiệu là T
c
. Mỗi chất siêu dẫn có một nhiệt
độ tới hạn riêng. Ở trạng thái siêu dẫn, chất có điện trở bằng không hay còn gọi chất
có tính dẫn điện lý tưởng. Đây là một trong hai đặc tính quan trọng của chất siêu
dẫn.
1.1.2 Tính nghịch từ lý tưởng

Một đặc tính quan trọng khác của chất siêu dẫn là tính nghịch từ lý tưởng, được phát
hiện bởi hai nhà vật lý Đức, Meissner và Ochsenfeld, vào năm 1933 [21]. Hai ông quan
sát thấy khi hạ nhiệt độ một mẫu chất siêu dẫn trong từ trường thì vào thời điểm
chuyển sang trạng thái siêu dẫn, các đường sức từ lập tức bị đẩy ra khỏi mẫu. Từ
trường lúc đó chỉ có thể xuyên vào trong mẫu một khoảng rất nhỏ cỡ 10
−6
cm. Hiện
tượng này được gọi là hiệu ứng Meissner và khoảng cách mà từ trường thấm được
vào trong mẫu gọi là độ xuyên sâu λ của chất siêu dẫn. Như vậy, từ trường không
chỉ bị đẩy ra khi được đưa vào mẫu đang ở trạng thái siêu dẫn (điều này có thể giải
thích bằng tính dẫn điện lý tưởng) mà còn bị đẩy ra khi chất chuyển từ trạng thái
thường sang trạng thái siêu dẫn (điều này không giải thích được bằng tính dẫn điện
lý tưởng).
Thực nghiệm cũng cho thấy sự tồn tại của một từ trường tới hạn H
c
. Trạng thái
siêu dẫn bị phá hủy khi từ trường ngoài lớn hơn giá trị H
c
. Sự phụ thuộc vào nhiệt
độ T của từ trường tới hạn có dạng gần đúng parabolic như hình 1.2.
Hình 1.2: Sự phụ thuộc của từ trường tới hạn vào nhiệt độ
5
1.2 Các lý thuyết cơ bản của siêu dẫn
1.2.1 Lý thuyết vi mô Bardeen-Cooper- Schrieffer
Đến giữa thập niên 50, tất cả các hiểu biết về siêu dẫn vẫn hoàn toàn dựa trên các
lý thuyết hiện tượng luận và chưa có một cơ chế vi mô nào giải thích thỏa đáng hiện
tượng bí ẩn này. Phải đến năm 1957, ba nhà vật lý Bardeen, Cooper và Schrieffer [22]
mới đưa ra được một lý thuyết vi mô thật sự - lý thuyết Bardeen-Cooper-Schrieffer
(lý thuyết BCS).
Nền tảng thực nghiệm của lý thuyết BCS là hai phát hiện quan trọng. Đầu tiên là

hiệu ứng đồng vị cho thấy sự phụ thuộc của nhiệt độ tới hạn vào số khối của chất siêu
dẫn T
c
∼ M
−α
với M là khối lượng ion và hệ số α  1/2. Điều này chứng tỏ rằng dao
động mạng của ion đóng vai trò quan trọng trong việc quyết định giá trị T
c
. Thứ hai
là phát hiện sự tồn tại của khe năng lượng ∆ giữa trạng thái cơ bản với trạng thái
kích thích sơ cấp của hệ siêu dẫn và ∆ ∼ k
B
T
c
. Các kết quả thực nghiệm cho thấy
rằng các kích thích sơ cấp phải được tạo ra từ những cặp điện tử.
Năm 1956, Cooper đã khảo sát vấn đề tương tác gián tiếp giữa hai điện tử thông
qua dao động mạng. Ông phát hiện rằng nhờ tương tác với phonon mà các điện tử
với spin đối nhau có thể hút nhau tạo thành từng cặp và chúng được gọi là các cặp
Cooper. Thế năng tương tác gián tiếp của cặp điện tử được cho bởi công thức
V
q
=
2M
2
q
ω
q
[
k

− 
k−q
]
2
− 
2
ω
2
q
(1.1)
trong đó M
q
biểu thị cường độ tương tác điện tử - phonon, 
k
là năng lượng của điện
tử trạng thái k, ω
q
là năng lượng phonon. Ta nhận thấy, chỉ có những điện tử ở các
trạng thái sao cho | 
k
−
k−q
|< ω
q
thì tương tác trên mới âm và khi tương tác này
thắng tương tác đẩy Coulomb thì lúc đó các điện tử mới có thể hút nhau.
Trạng thái cơ bản của khí điện tử trở thành không bền khi có sự tạo cặp Cooper.
Hệ sẽ có năng lượng thấp nhất khi tất cả các điện tử tạo thành các cặp Cooper và
trạng thái đó được coi là trạng thái cơ bản của siêu dẫn. Ở trạng thái này, do các
điện tử kết cặp với nhau nên chúng có thể di chuyển trong mạng tinh thể mà không

bị tán xạ bởi các ion và các điện tử khác. Do vậy điện trở của hệ sẽ bằng không.
Dựa vào đó, BCS đã khảo sát Hamiltonian chỉ chứa những tương tác cặp
H =

ks

k
n
ks
+

kk

V
kk

b
+
k
b
k
(1.2)
6
với b
+
k
, b
k
lần lượt là toán tử sinh và hủy một cặp Cooper ở trạng thái (k ↑, −k ↓),
n

ks
là toán tử số hạt và V
kk

là thế tương tác gián tiếp được cho bởi công thức (1.1).
Hàm riêng của Hamiltonian trên được xây dựng dưới dạng
|Ψ =

k

u
k
+ v
k
b
+
k

|0 (1.3)
trong đó v
k
là trọng số của trạng thái có cặp Cooper, u
k
là trọng số của trạng thái
không có cặp Cooper và chúng thoả mãn u
2
k
+ v
2
k

= 1. Ngoài ra v
k
và u
k
được chọn
sao cho năng lượng của hệ cực tiểu. Điều này dẫn tới
u
2
k
=
1
2

1 +

k
E
k

, v
2
k
=
1
2

1 −

k
E

k

(1.4)
trong đó
E
k
=


2
k
+ ∆
2
k

1/2
(1.5)
∆
k
= −

k

V
kk

∆
k

/2E

k

(1.6)
Sử dụng dạng đơn giản của tương tác BCS ta suy ra
• ∆
k
= ∆ (không phụ thuộc vào k) khi | 
k
− 
k

|< ω
D
• ∆
k
= 0 cho những trường hợp khác.
với ω
D
là năng lượng Debye. Trong giới hạn tương tác yếu (∆  ω
D
), giá trị ∆ sẽ
là:
∆(0) = 2ω
D
e
−1/V N(0)
 1.76k
B
T
c

(1.7)
trong đó, V là thế tương tác đơn giản và N(0) là mật độ trạng thái điện tử ở mức
Fermi. Đây chính là giá trị của khe năng lượng tại nhiệt độ T = 0K, là năng lượng
tối thiểu để kích thích một điện tử từ trạng thái cơ bản của siêu dẫn. Lý thuyết BCS
còn tiên đoán sự phụ thuộc vào nhiệt độ của khe năng lượng tại gần nhiệt độ chuyển
pha
∆(T )
∆(0)
 1.74

1 −
T
T
c

1/2
, T  T
c
(1.8)
Kết quả này của lý thuyết BCS hoàn toàn phù hợp khi so sánh với thực nghiệm.
Ngoài ra, lý thuyết BCS cũng giải thích tốt nhiều hiện tượng siêu dẫn trong đó có cả
hiện tượng điện trở bằng không và hiệu ứng Meissner. Nhiệt độ tới hạn của các chất
siêu dẫn được tiên đoán bởi lý thuyết BCS là không thể lớn hơn 30K.
7
1.2.2 Lý thuyết hiện tượng luận Ginzburg-Landau
Năm 1950, hai nhà vật lý Liên Xô, Ginzburg và Landau, đã xây dựng một lý thuyết
hiện tượng luận mô tả rất hiệu quả hiện tượng siêu dẫn [23]. Thuyết Ginzburg-Landau
(GL) dựa trên nền tảng là lý thuyết chuyển pha loại II của Landau. Trong lý thuyết
chuyển pha, Landau đưa ra khái niệm thông số trật tự, là đại lượng vật lý có giá trị
bằng không trong pha mất trật tự và khác không trong pha trật tự. Đối với hiện

tượng siêu dẫn, hai ông chọn thông số trật tự là hàm sóng phức Ψ và khi chuẩn hoá
|Ψ|
2
mang ý nghĩa mật độ điện tử siêu dẫn
n
s
= |Ψ|
2
(1.9)
Như vậy, Ψ đóng vai trò là hàm sóng hiệu dụng của các điện tử siêu dẫn và có dạng
Ψ = |Ψ|e
iθ
(1.10)
với pha của thông số trật tự θ là một đại lượng thực.
Để mô tả tính chất nhiệt động của trạng thái siêu dẫn Ginzburg và Landau sử dụng
biểu thức năng lượng tự do Gibbs, là hàm của thông số trật tự. Gần điểm chuyển
pha, thông số trật tự được giả thiết là rất nhỏ và hàm mật độ năng lượng tự do có
thể khai triển dưới dạng
G
s
= G
0
+ α|Ψ|
2
+
β
2
|Ψ|
4
+ ··· (1.11)

với G
0
là mật độ năng lượng tự do của trạng thái thường. Ta nhận thấy β phải dương
để cực tiểu của năng lượng tự do sẽ ứng với |Ψ|
2
có giá trị xác định. Ngoài ra, để thoả
mãn điều kiện của thông số trật tự Ψ, bằng không khi T > T
c
và khác không khi
T < T
c
, thì hệ số α phải đổi dấu khi qua điểm chuyển pha. Tại gần điểm chuyển pha,
ta có thể khai triển α(T ) theo (T/T
c
− 1) và chỉ cần giữ lại số hạng bậc thấp nhất
α(T ) = α
0

T
T
c
− 1

, α
0
> 0 (1.12)
Khi có từ trường ngoài, Ψ không còn là hằng số mà phụ thuộc vào toạ độ. Lúc đó,
hàm mật độ năng lượng tự do sẽ cần thêm mật độ năng lượng của từ trường H
2
/8π

và năng lượng liên quan đến sự không đồng nhất của Ψ. Năng lượng này được xem
như động năng của dòng siêu dẫn. Gần nhiệt độ chuyển pha, ta chỉ cần xét đại lượng
liên quan đến ∇Ψ là đủ. Chú ý rằng, để đảm bảo tính bất biến chuẩn chỉ có tổ hợp
−i∇ − e
∗
A/c được chấp nhận và mật độ năng lượng tương ứng là
1
2m
∗





−i∇ −
e
∗
c
A

Ψ




2
(1.13)
8
Từ đó, ta thu được hàm mật độ năng lượng tự do khi có mặt từ trường ngoài
G

s
= G
0
+ α|Ψ|
2
+
β
2
|Ψ|
4
+
1
2m
∗





−i∇ −
e
∗
c
A

Ψ





2
+
H
2
8π
(1.14)
Năng lượng tự do của hệ sẽ là tích phân theo thể tích của hàm mật độ năng lượng
tự do F
s
=

G
s
dr. Cực tiểu hoá năng lượng tự do lần lượt theo thông số trật tự Ψ
và thế vec-tơ A ta sẽ thu được hai phương trình quan trọng
αΨ + β|Ψ|
2
Ψ +
1
2m
∗

−i∇ −
e
∗
c
A

2
Ψ = 0 (1.15)

J =
c
4π
rotH =
e
∗

2im
∗
(Ψ
∗
∇Ψ − Ψ∇Ψ
∗
) −
e
∗2
m
∗
c
Ψ
∗
ΨA (1.16)
Đây là cặp phương trình chủ chốt trong lý thuyết Ginzburg-Landau và được gọi là
các phương trình Ginzburg-Landau. Từ hai phương trình này ta có thể rút ra các hệ
quả rất quan trọng sau:
• Đầu tiên là khái niệm lượng tử từ thông. Xét một vòng xuyến siêu dẫn với vật
liệu đồng nhất để mật độ điện tử siêu dẫn được xem là hằng số khác không và
kích thước của vòng xuyến được xem là rất lớn so với độ xuyên sâu. Từ trường
ngoài được đưa vào theo hướng vuông góc với mặt vòng xuyến. Như vậy ta có
thể tìm được một chu tuyến kín C mà dọc theo nó mật độ dòng bằng không.

Sử dụng phương trình GL thứ 2 và thay ψ trong công thức (1.10) vào ta được
J =
e
∗
m
∗
|Ψ|
2

∇θ −
e
∗
c
A

= 0 (1.17)
Do |Ψ|
2
được giả sử là hằng số khác không, nên
∇θ =
e
∗
c
A (1.18)
Tích phân theo chu tuyến C hai vế phương trình trên cho ta tích phân ở vế phải

A.dl là từ thông Φ xuyên qua chu tuyến C. Còn tích phân đường của ∇θ ở
vế trái cho ta sự thay đổi của θ khi đi hết một vòng kín C. Do đòi hỏi thông số
trật tự Ψ phải đơn trị nên khi đi hết một vòng kín, pha của thông số trật tự
chỉ có thể thay đổi một số nguyên lần của 2π. Từ đó ta thu được kết quả quan

trọng
Φ = 2πn
c
e
∗
= nΦ
0
(1.19)
Như vậy, từ thông đi qua vòng xuyến siêu dẫn bị lượng tử hoá và Φ
0
= hc/e
∗
được gọi là đơn vị lượng tử từ thông.
9
• Thứ hai, lý thuyết GL cho ta một độ dài đặc trưng gọi là độ dài kết hợp GL
ξ(T ) =

| 2m
∗
α(T ) |
1/2
(1.20)
Đại lượng này có thể thu được từ phương trình GL thứ nhất (1.15) khi ta xét
đến sự phụ thuộc vào tọa độ của thông số trật tự ở gần bề mặt chất siêu dẫn.
Trong khoảng cách ξ, thông số trật tự hay hàm sóng Ψ thay đổi rất nhanh. Như
vậy độ dài kết hợp ξ đặc trưng cho sự mở rộng hay sự ảnh hưởng của vùng siêu
dẫn.
Gần nhiệt độ chuyển pha, ta biết rằng α(T ) tiến đến 0. Điều này dẫn đến ξ(T)
phân kì theo hàm (T
c

− T )
−1/2
ở gần điểm tới hạn. Đây cũng là đặc trưng chung
của độ dài tương quan trong chuyển pha loại II.
• Thứ ba, lý thuyết GL đưa ra một tham số không thứ nguyên κ là tỉ số của độ
xuyên sâu λ và độ dài kết hợp ξ
κ =
λ
ξ
(1.21)
Tham số này được gọi là tham số GL. Ta sẽ thấy được ý nghĩa của tham số này.
Từ phương trình GL thứ hai (1.16), ta tìm được sự phụ thuộc của độ xuyên sâu
theo nhiệt độ
λ =

m
∗
c
2
4πe
∗2
β
| α(T ) |

1/2
(1.22)
Nhìn vào công thức của độ dài kết hợp ξ, phương trình (1.20), và của độ xuyên
sâu λ, phương trình (1.22), ta thấy rằng gần điểm chuyển pha cả hai đại lượng
này đều phân kỳ theo hàm (T
c

− T )
−1/2
do α(T ) tiến đến 0. Vì vậy, tham số
GL κ trở nên không phụ thuộc vào nhiệt độ.
Đối với hầu hết các chất siêu dẫn đơn chất, λ vào khoảng 500
˚
A và ξ vào khoảng
3000
˚
A nên κ  1. Các chất siêu dẫn này được gọi là siêu dẫn loại I, để phân
biệt với các chất siêu dẫn loại II.
1.3 Siêu dẫn loại II
Năm 1957, Abrikosov công bố kết quả khảo sát lý thuyết GL cho trường hợp κ lớn
thay vì nhỏ như trong các chất siêu dẫn cổ điển [24]. Ông thấy rằng, khác với trước
đây, giản đồ pha của các chất siêu dẫn loại này xuất hiện thêm một pha trung gian
mà cả trạng thái siêu dẫn và trạng thái thường cùng tồn tại. Ông gọi các chất siêu
dẫn này là siêu dẫn loại II.
10
Kết quả này liên quan đến hiệu ứng ở bề mặt của chất siêu dẫn. Như ta biết, tại
vùng bề mặt, từ trường có thể thấm vào mẫu (hiệu ứng Meissner) nên ở vùng này ta
có một trạng thái hỗn hợp vừa tồn tại từ trường vừa tồn tại điện tử siêu dẫn. Để khảo
sát hiệu ứng bề mặt, người ta sử dụng khái niệm năng lượng bề mặt. Năng lượng bề
mặt được xem như sự chênh lệch của năng lượng tự do giữa trạng thái hỗn hợp và
trạng thái đồng nhất
1
. Ở đây ta chỉ quan tâm đến trạng thái siêu dẫn. Tính toán
gần đúng cho ta giá trị của năng lượng bề mặt [25]
γ 
H
2

c
8π
(ξ −λ) (1.23)
Ta có nhận xét quan trọng sau đây. Đối với các chất siêu dẫn cổ điển thì κ  1
hay λ  ξ. Điều này dẫn đến nằng lượng bề mặt γ dương, nghĩa là năng lượng tự
do của trạng thái siêu dẫn thấp hơn năng lượng tự do của trạng thái hỗn hợp. Do
vậy trạng thái siêu dẫn là trạng thái bền, hệ không cho từ trường xâm nhập vào sâu
trong chất siêu dẫn. Đối với siêu dẫn loại II mọi chuyện lại khác. Do κ > 1 nên năng
lượng bề mặt γ âm, tức là năng lượng trạng thái hỗn hợp thấp hơn trạng thái siêu
dẫn và như vậy trạng thái hỗn hợp trở thành trạng thái bền hơn. Lúc này, hệ sẽ tự
giảm năng lượng của mình bằng cách tạo ra càng nhiều vùng hỗn hợp càng tốt. Và
hệ đạt trạng thái năng lượng thấp nhất khi số vùng có từ trường là lớn nhất, ứng với
mỗi vùng chỉ cho một đơn vị lượng tử từ thông đi qua.
Bằng các tính toán chính xác, Ginzburg, Landau và Abrikosov chỉ ra rằng năng
lượng bề mặt bằng không khi κ = 1/
√
2. Như vậy tham số GL κ chính là cơ sở để
phân biệt hai loại siêu dẫn:
• Siêu dẫn loại I ứng với κ < 1/
√
2
• Siêu dẫn loại II ứng với κ > 1/
√
2
Đối với siêu dẫn loại II, ta có hai giá trị từ trường tới hạn là H
c1
và H
c2
. Khi từ
trường ngoài nhỏ hơn H

c1
hệ ở trạng thái Meissner, là trạng thái siêu dẫn hoàn toàn.
Nếu từ trường lớn hơn H
c2
, trạng thái siêu dẫn sẽ bị phá vỡ và hệ ở trạng thái thường.
Còn trạng thái hỗn hợp tồn tại trong khoảng H
c1
< H < H
c2
(hình 1.3).
Một kết quả quan trọng khác của Abrikosov là việc ông tiên đoán trong trạng thái
hỗn hợp từ trường thấm vào mẫu thành những ống từ và chúng sắp xếp thành một
mạng trật tự. Các ống từ này được gọi là các vortex. Ban đầu, Abrikosov thấy rằng
các vortex sắp xếp theo mạng hình vuông nhưng những tính toán chính xác sau này
cho thấy mạng tam giác mới là mạng vortex có năng lượng thấp nhất. Mạng này được
gọi là mạng vortex Abrikosov.
1
trạng thái đồng nhất có thể là trạng thái siêu dẫn hoặc trạng thái thường
11
Hình 1.3: Giản đồ pha của các chất siêu dẫn loại II
1.4 Hiệu ứng Josephson
Vào năm 1962, một hiện tượng thú vị được phát hiện bởi Josephson khi ông khảo sát
một cầu nối gồm hai chất siêu dẫn phân cách bởi một lớp điện môi mỏng [26]. Ông
thấy rằng, dù không áp điện thế vào hai đầu cầu nối nhưng bên trong cầu vẫn xuất
hiện một dòng siêu dẫn, được xác định bởi công thức
I
s
= I
c
sin ∆ϕ (1.24)

với ∆ϕ là độ lệch pha của thông số trật tự G-L giữa hai chất siêu dẫn và cường độ
dòng tới hạn I
c
là giá trị cực đại của dòng siêu dẫn có thể chạy qua cầu nối. Hiện
tượng này được gọi là hiệu ứng Josephson dừng.
Hơn nữa, Josephson còn tiên đoán nếu giữa hai đầu cầu có một điện thế V thì độ
lệch pha ∆ϕ giữa hai chất siêu dẫn sẽ tuân theo phương trình
d(∆ϕ)
dt
=
2e

V (1.25)
Từ phương trình này ta thấy ngay dù điện thế V bằng không nhưng độ lệch pha ∆ϕ
vẫn có thể khác không và là một hằng số ϕ
0
nào đó. Do vậy dòng siêu dẫn I
s
trong
(1.24) là dòng một chiều. Còn khi V khác không thì ∆ϕ = ϕ
0
+ (2e/)V t và dòng
siêu dẫn sẽ có dạng
I
s
= I
c
sin (ϕ
0
+ 2πν

J
t) (1.26)
với ν
J
= 2eV/h được gọi là tần số Josephson. Như vậy nếu được áp bởi hiệu điện thế
một chiều thì trong cầu xuất hiện một dòng xoay chiều có tần số ν
J
. Hiện tượng này
được gọi là hiệu ứng Josephson không dừng.
Cầu nối có cấu tạo như trên được gọi là cầu Josephson (Josephson junction - hình
1.4) và cặp phương trình (1.24) - (1.25) được gọi là các phương trình Josephson.
12
Hình 1.4: Cầu Josephson
Một chú ý quan trọng là độ lệch pha ∆ϕ không phải là đại lượng bất biến chuẩn
(gauge-invariant). Nghĩa là với một trạng thái vật lý cho trước, ∆ϕ không xác định
đơn trị mà có thể sai khác một hằng số. Do vậy nó không thể dùng để xác định dòng
siêu dẫn I
s
, là một đại lượng bất biến chuẩn. Để tránh khỏi khó khăn này, người ta
đưa ra khái niệm độ lệch pha bất biến chuẩn, được định nghĩa như sau:
γ = ∆ϕ −(2π/Φ
0
)

A.ds (1.27)
trong đó A là thế vec-tơ và tích phân đường được lấy từ đầu này sang đầu kia của
cầu Josephson. Dòng siêu dẫn và hiệu điện thế bây giờ được viết lại
I
s
= I

c
sin γ (1.28)
V =

2e
dγ
dt
(1.29)
Năng lượng của cầu Josephson là tích phân theo thời gian của tích giữa hiệu điện
thế với cường độ siêu dòng. Sử dụng hai phương trình trên, ta thu được biểu thức
năng lượng của cầu Josephson
E
J
= −
I
c
2e
cos γ ≡ −J
0
cos γ (1.30)
với J
0
là năng lượng tương tác cực đại của cầu Josephson.
1.5 Siêu dẫn nhiệt độ cao
Suốt từ những năm khám phá ra hiện tượng siêu dẫn (1911) đến cuối năm 1985, mặc
dù khám phá ra nhiều chất siêu dẫn mới song nhiệt độ tới hạn của chúng đều dưới
24K. Điều này có nghĩa là lý thuyết BCS vẫn đứng vững. Do vậy chất lỏng Heli vẫn
là môi trường duy nhất dùng để nghiên cứu vật liệu siêu dẫn. Nó hạn chế rất nhiều
trong việc nghiên cứu cũng như ứng dụng của siêu dẫn.
Tuy nhiên, vào năm 1986, một phát hiện chấn động toàn thế giới được thực hiện

tại phòng thí nghiệm của hãng IBM (Zurich - Thụy Sĩ): K. A. Muller và J. G. Bednorz
13
công bố tìm được chất siêu dẫn có nhiệt độ tới hạn lớn hơn 30K [27]. Mặc dù giá
trị nhiệt độ này còn thấp nhưng nó đã vượt qua ngưỡng 30K của lý thuyết BCS.
Phát minh này được coi là một phát minh lịch sử, đánh dấu một giai đoạn mới trong
nghiên cứu siêu dẫn: thời kỳ siêu dẫn nhiệt độ cao.
Ngay sau khi khám phá này được công bố, nhiều trung tâm nghiên cứu, phòng
thí nghiệm trên thế giới đã chạy đua tìm kiếm các chất siêu dẫn có nhiệt độ chuyển
pha cao hơn. Chỉ sau hơn 10 năm nhiều chất siêu dẫn đã được tìm thấy và nhiệt độ
chuyển pha tăng đáng kể (hình 1.5).
Hình 1.5: Nhiệt độ chuyển pha của các chất siêu dẫn theo thời gian
Các chất siêu dẫn nhiệt độ cao cũng có các tính chất cơ bản của các chất siêu dẫn
nhiệt độ thấp như điện trở giảm đột ngột khi T < T
c
và tồn tại hiệu ứng Meissner.
Ngoài ra, vật liệu siêu dẫn nhiệt độ cao còn có các tính chất khác biệt:
• Chúng có cấu trúc tinh thể là cấu trúc lớp và không đẳng hướng.
• Giá trị hệ số α của hiệu ứng đồng vị nằm trong một khoảng rộng chứ không
bằng 1/2 như trong các chất siêu dẫn nhiệt độ thấp.
• Độ dài kết hợp ngắn, vào cỡ 10
−7
cm. Do vậy hầu hết các chất siêu dẫn nhiệt độ
cao đều thuộc siêu dẫn loại II.
14
Đến nay, vẫn chưa có một lý thuyết hoàn chỉnh nào ra đời để giải thích hiện tượng
siêu dẫn nhiệt độ cao. Nhiều câu hỏi vẫn còn phải trả lời: Cơ chế phonon và kết cặp
Cooper còn đúng không? Tại sao chúng có cấu trúc lớp?
15
Chương 2
Trạng thái vortex-glass

Năm 1989, sử dụng lý thuyết trường trung bình của Ginzburg-Landau, M. P. A. Fisher
đã tiên đoán sự tồn tại của một trạng thái siêu dẫn mới: trạng thái vortex-glass [1].
Mục đích của chương 2 là trình bày về trạng thái vortex-glass này. Trước tiên ta điểm
qua một số tính chất quan trọng của vortex và trạng thái hỗn hợp. Tiếp theo ta sẽ
nói đến hai yếu tố quan trọng quyết định đến sự tồn tại của trạng thái mới này là
thăng giáng nhiệt và sự mất trật tự. Cuối cùng chúng ta sẽ tìm hiểu một số tính chất
của chuyển pha vortex-glass.
2.1 Vortex và trạng thái hỗn hợp
Hiện nay, khi cơ chế vi mô cho siêu dẫn nhiệt độ cao vẫn chưa có thì phương hướng
tiếp cận hiện tượng này vẫn là lý thuyết trường trung bình. Lý thuyết này chính là
lý thuyết hiện tượng luận Ginzburg-Landau mà trong đó thông số trật tự Ψ đóng vai
trò quan trọng. Thông số trật tự là thông số mang tính hiện tượng luận và được xem
như hàm sóng của cặp Cooper. Lý thuyết trường trung bình được xây dựng từ việc
cực tiểu hoá năng lượng tự do F
GL
theo các biến thông số trật tự Ψ(r) và thế vec-tơ
A(r). Giản đồ pha thu được cho các chất siêu dẫn loại II (κ lớn) của lý thuyết trường
trung bình gồm 3 pha riêng biệt:
1. Pha dẫn điện thường nằm trong vùng T > T
c
, H > H
c2
. Cực tiểu năng lượng
cho ta Ψ(r) = 0 và B(r) = H, tương ứng với không có điện tử siêu dẫn và từ
trường xuyên hoàn toàn qua mẫu.
2. Pha Meissner nằm trong vùng T < T
c
và H
c
< H

c1
. Giá trị của tham số trật tự
ứng với cực tiểu năng lượng là Ψ(r) = (|α|/β)
1/2
và từ trường bị đẩy hoàn toàn
16
ra khỏi mẫu (B(r) = 0) chỉ trừ vùng biên. Tại biên từ trường có thể xuyên vào
mẫu một khoảng λ = (m
∗
c
2
β/16πe
2
|α|)
1/2
(công thức (1.22)).
3. Vùng còn lại (T < T
c
, H
c1
< H
c
< H
c2
) được gọi là pha hỗn hợp hay pha vortex
Abrikosov. Trong trạng thái này, từ trường xuyên qua mẫu thành những ống
vortex với từ thông có độ lớn bằng một đơn vị lượng tử từ thông, Φ
0
= hc/2e.
Các ống vortex này sắp xếp thành mạng vortex Abrikosov.

Vortex đóng một vai trò quan trọng trong việc hình thành trạng thái hỗn hợp cũng
như trạng thái vortex-glass sau này. Cấu tạo của vortex gồm một ống từ bán kính cỡ
độ dài kết hợp ξ và từ trường bị giam bởi những dòng siêu dẫn chạy xung quanh trên
bán kính cỡ độ xuyên sâu λ (hình 2.1). Ống từ được gọi là lõi vortex (vortex core) và
các siêu dòng chạy xung quanh được gọi là dòng vortex (vortex current).
Hình 2.1: Cấu trúc một vortex
Sự thay đổi của từ trường theo khoảng cách khi đi từ trong ống ra ngoài được cho
bởi công thức [25]
B(r) =
Φ
0
2πλ
2
K
0

r
λ

(2.1)
trong đó K
0
là hàm Hankel bậc không và có dạng tiệm cận
K
0
(x) 



(π/2x)

1/2
e
−x
, x → ∞
−ln(x), x → 0
(2.2)
Ta thấy, từ trường giảm nhanh theo hàm e
−r/λ
ở những khoảng cách lớn r  λ và
phân kì theo dạng hàm −ln(r/λ) khi r tiến đến không. Tất nhiên, trên thực tế sự
phân kì này bị cắt tại r ∼ ξ vì ở đó mật độ điện tử siêu dẫn |Ψ|
2
giảm xuống 0. Do
vậy từ trường trong lõi vortex r < ξ được xem là đều (hình 2.1).
Dòng vortex tạo ra năng lượng vortex và giá trị trên một đơn vị độ dài của đại
lượng này (vortex line energy) là

l
= 
0
ln κ (2.3)
17
Năng lượng tương tác giữa hai dòng vortex cách nhau một khoảng R > ξ được cho
bởi công thức
V (R) = 2
0
K
0

R

λ

(2.4)
trong đó 
0
= (Φ
0
/4πλ)
2
được xem là thang năng lượng cơ bản trong vortex. Năng
lượng tương tác này ứng với lực đẩy chính là lực Lorentz giữa hai dòng vortex
1
f
v
=
Φ
0
c
J
v
× n (2.5)
trong đó Φ
0
là lượng tử từ thông, n là vec-tơ đơn vị có hướng trùng với hướng của từ
trường ngoài và J
v
là mật độ dòng vortex tổng cộng.
Nhìn vào công thức (2.5) ta thấy hệ sẽ ở trạng thái cân bằng khi mật độ siêu dòng
tổng cộng J
v

triệt tiêu. Điều này có thể xảy ra khi các vortex sắp xếp thành một
mạng đối xứng và mạng có năng lượng thấp nhất chính là mạng tam giác. Đây là
nguyên nhân hình thành nên mạng vortex Abrikosov.
Bây giờ, ta khảo sát điện trở của mạng vortex để xem trạng thái hỗn hợp có thực
sự siêu dẫn hay không. Nguyên nhân có thể gây nên điện trở khi tồn tại vortex chính
là sự di chuyển của các vortex và kéo theo sự tiêu tán năng lượng. Có hai tương tác
cơ bản gây nên sự dịch chuyển của vortex. Thứ nhất là lực Lorentz
f
L
=
Φ
0
c
J × n (2.6)
với J = J
v
+ J
ext
là mật độ dòng tổng cộng gồm dòng vortex J
v
và dòng ngoài J
ext
.
Như đã nói ở trên, khi hệ ở trạng thái cân bằng thì tổng dòng vortex bằng không nên
nguyên nhân gây ra sự dịch chuyển vortex sẽ là dòng ngoài. Tuy nhiên giá trị điện
trở thực sự mà ta quan tâm là điện trở tuyến tính và được định nghĩa
ρ
lin
= lim
J

ext
→0
E
J
ext
(2.7)
Với định nghĩa này lực Lorentz trở nên không quan trọng trong nguyên nhân gây ra
điện trở.
Lực thứ hai thường được gọi là lực Magnus hay lực nâng. Như ta biết trong chất
siêu dẫn, các siêu dòng đi theo chiều tăng của pha φ (hiệu ứng Josephson dừng) và
do đó mật độ dòng siêu dẫn J
s
tỉ lệ với tốc độ tăng của pha J
s
∼ ∇φ. Chuyển động
này sinh ra lực Magnus tác dụng lên vortex và có hướng vuông góc với dòng [28]
f
M
= ρ
s
Φ
0
c
(v
s
− v
v
) × n (2.8)
1
công thức này thật ra là giá trị của lực Lorentz trên một đơn vị độ dài. Khi xem xét vortex các

đại lượng đều được khảo sát trên một đơn vị độ dài cho thuận tiện
18