Bài tập hệ phương trình hay

BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tổng hợp: Đỗ Đường Hiếu
I. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI, PHƯƠNG PHÁP THẾ
VD1.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
 
33
22
4 16
1 5 1
x y y x
yx

  


  



HD: Thay
22
45yx
, hệ có 4 nghiệm
     
0; 2 , 1; 3 , 1;3  

VD2.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
22
32
8 12
2 12 0

xy
x xy y




  



HD: Thay
22
8 12xy
từ phương trình đầu vào phương trình hai, đáp số:
   
2; 1 , 2;1

VD3. (THPT Bỉm Sơn) Giải hệ phương trình
22
22
21 1
21 1
x y y
y x x

   


   




HD: Trừ từng vế, đáp số
2y

VD4.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
 
   
2 2 2 2
2
3 3 2
4 2 16 3 8
x y x xy y x y
x y x

      


    



ĐS:
   
2;0 , 1; 3

VD5.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
 
1
2

2 2 2
2 1 1 2
log 2
y
x
x
x
xy



  



  


ĐS:
 
2
17 17
1;2 , ;2 log
99





VD6.(THPT Thuận Thành số 1) Giải hệ phương trình:

32
3 2 3
2 5 3 3 10 6
6 13 10
x y x y x x y
x x x y y

        


    



HD: Từ phương trình thứ hai suy ra
2yx
, thay vào phương trình đầu, đáp số
 
2; 0xy

VD7.(THPT Cù Huy Cận – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
 
3 3 2
3
7 3 12 6 1
4 1 3 2 4
x y xy x y x x
x y x y

     



    



HD: Từ phương trình đầu suy ra
1yx
, thay vào PT thứ hai. ĐS
 
2; 1

Trang 2

VD8.(THPT Mai Anh Tuấn) Giải hệ phương trình:
2
20
22
x xy x
x y y y x x

  


  



HD: Sử dụng phương pháp thế để đưa về PT đẳng cấp. ĐS
   

0;0 , 1;1

VD9.(THPT Hậu Lộc 4) Giải hệ phương trình:
2
4 2 2 2
4 2 0
8 3 4 0
x xy x y
x x y x y

   


   



HD: Chia hai vế PT đầu cho x, chia hai vế PT hai cho
2
x
. ĐS:
     
0;0 , 1;1 , 2;1
.
VD10.(THPT Trần Phú – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
4 2 2 2
2
2 7 7 8
3 13 15 2 1
y xy y x x

y x x

     


    



ĐS:
   
3;2 , 3; 2
.
VD11.(THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp) Giải hệ phương trình:
 
 
 
2
2
10
1 2 0
x y x y
x x y y

   


    



ĐS:
   
0;1 , 1;2
.
VD12.(THTT – Đề 5) Giải hệ phương trình:
   
 
2
1 1 1 6
2 1 4
x x y y
x x y

     


   



HD: Cộng vế với vế. ĐS:
   
0;3 , 1;0
.
VD13.(THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải hệ phương trình:
22
12
2
1 2 3 3

yx
xy
x
y x x x

  



   


HD: Từ PT đầu có
2yx
yx





. ĐS:
 
3;2 3
.
VD14.(THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải hệ phương trình:
2
2
2
3
1

3 1 4
6
x
x y y
y
x x y x y


  




    



HD: Từ PT đầu có
2
1yx
, thay vào PT thứ hai, nhân liên hợp. ĐS:
 
2;3
.
VD15.(THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp) Giải hệ phương trình:
Trang 3

 
22
5 3 6 7 4 0

2 3 3
x y y x
y y x x

     


   



HD: Từ PT thứ hai có
3; 1y y x   
. ĐS:
   
1;2 , 4;5
.
VD16.(THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam) Giải hệ phương trình:
2
3 2 2 3
5 3 3
3
x y x xy
x x y y

  


  




HD: Đưa về PT đẳng cấp. ĐS:
   
11
0;0 , ; , 1;1
22





VD17.(THPT Chuyên ĐH Vinh) Giải hệ phương trình:
   


2
2
2
30
1 3 1 2 2 0
x xy x
x y xy x y y

   


      



HD: Thế
2
3xy x x   
vào PT thứ hai. ĐS:
 
1;3

VD18.(THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
3 3 3
22
27 7 8
96
x y y
x y y x








ĐS:
3 3 3 3 3 3
7 19 7 26 7 215
; ; ; 2 ; 2 ; 2
19 7 26 7 215 7
     
     

     
     
     

VD19.(THPT Thành Nhân) Giải hệ phương trình:
22
3
61
5
xy
x
x y x y





    



ĐS:
 
2; 2

VD20.(THPT Thanh Chương – Nghệ An) Giải hệ phương trình:
 
  
2
1 2 17 0

4 32
x xy y
x y xy

    


  



HD: Từ PT đầu có
  
2 16x y x  
, thay vào PT hai. ĐS:
     
0;8 ; 2;2 ; 6;2

VD20.(THPT Chuyên Lào Cai) Giải hệ phương trình:
  
3 2 3 2
2
3 5.6 4.2 0
22
x y x x y
x y y y x y x


  



    



HD: Từ PT hai có
2xy
. ĐS:
 
33
22
0;0 ; log 4;log 2




VD21.(THPT Cổ Loa) Giải hệ phương trình:
2 3 3 5 3 2
22
99
24
x y y x x x
y y x x

    


  



Trang 4

HD: Từ PT đầu có
33
9yx
, kết hợp với PT hai ta có
21yx
. ĐS:
   
1; 2 ; 2; 1

VD22.(THPT Thái Phúc – Thái Bình) Giải hệ phương trình:
   
3 7 1 2 1
2 4 5
x x y y y
x y x y
    



   



HD: Từ PT đầu có
31
2
yx

xy





. ĐS:
 
17 76
2;1 ; ;
25 25





II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
VD1. Giải hệ phương trình:
22
2 2 2 2
6 3 7
3 6 2
x y y x xy
x x y y x y

   


     




HD: Đặt ẩn phụ
2
2
3
3
x
u
x
y
v
y











, đáp số:
1 2 15 2 30
1; ; ;
2 15 15









VD2. (THPT Hoàng Lệ Kha) Giải hệ phương trình:
 
 
2
2
2
41
2 7 2
x x y y x
x x y y x

   


   



HD: Đặt
2
1
u x y
y
v

x








, đáp số:
   
2;1 , 5; 2

VD3. (THPT Lý Thái Tổ) Giải hệ phương trình:
 
33
22
9 3 1 125
45 75 6
yx
x y x y

  






HD: Đặt

3
5
ux
v
y







, đáp số:
2 1 5
;5 , ;
3 3 2
   
   
   

VD4.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
   
22
2 3 8 1 0
8 3 13 0
x y y x
x x y y

    



    



HD: Đặt
2
2
3
8
u x y
v y x







, ĐS
   
1;1 , 5; 7

VD5. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
  
 
22
58
13
x y xy y

x y x y
    



   



Trang 5

HD: Đặt
x y a
xy x b





, ĐS
3 5 1 5 3 5 1 5
; , ;
2 2 2 2
   
       
   
   
   

VD6. (Chuyên Bắc Ninh) Giải hệ phương trình:

22
13
2
xy x y
x y x y
  





HD: Đặt
1
xa
y
x
b
y









. ĐS
 
 

1
1 2;1 2 , 2;1 , 1;
2

   



VD7. (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
  
 
 
22
3 3 14
14 36
x y x y xy
x y x y xy

  


   



HD: Đặt
x y a
xy b








. ĐS
3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
; , ;
2 2 2 2
   
   
   
   
   

VD8. (THPT Phúc Trạch - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
2
22
2 6 1
7
x x y
x xy y

   


  



HD: Đặt
x y a
x y b





. ĐS
   
3;2 , 1;2

VD9. (THPT Phúc Trạch - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
12 3 4 16
4 5 5 6
x y xy
xy

  


   



HD: Đặt
4
4
x y a
xy b






. ĐS
   
3;2 , 1;2

VD10. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
2 2 2 2 2 2
22
4 3 12 3 4 1
3 2 9 8 3
x y x y xy x y xy x y
x y x y

       


   



HD: Đặt
2
2
3
4
x x u

y y v







. ĐS
3 13 3 13 9 21
;0 , ; 4 , ; 2 ,
2 2 6
     
  

     
     
     

VD11. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
1
11
3
xy xy x
y y y
x x x

  



  



HD: Đặt
1
u
x
yv







. ĐS
 
1;0

Trang 6

VD12. (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
 
2
2
1
3 2 4 2 5 3
3
3 6.3 3 2.3

1 2 1 3 3 2
y
x y y x y x
x y y x

    

  


    



HD: Từ phương trình đầu có
21yx
, thay vào PT thứ hai. ĐS
 
11 9
1;1 , ;
42




VD13. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
2 1 1
3 2 4
x y x y
xy


    






VD14. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
3 5 2
15 5 22 4 15
x y x y
x y x y

   


   



HD: Đặt
3
5
x y u
x y v








. ĐS:
1 58
;
77





VD15. (THPT Chuyên Lê Quý Đôn) Giải hệ phương trình:
3 2 2
3
3 1 0
8 3 1 0
x x y
y xy

  


  



HD: Chuyển vế hai PT, nhân từng vế, đặt
t xy
. ĐS:

3
3
1
4;
4





III. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÀM SỐ
VD1. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:




2 2 2 2 2
2
1 3 2 4 1 1 8
20
x x y y x y
x y x

     



  


HD: Từ PT đầu suy ra
0y 
, nhân hai vế của PT đầu với
2
4 1 1y 
và thay
2
2 x x y
ta
đưa đến PT:
2
2
1 1 1
1 2 4 1 2y y y
x x x
    
, đến đây sử dụng hàm số ….
VD2. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
22
2
2
2
11
11
4 3 2 2
9
xy
xy
xx
x

yy

  










HD: Sử dụng hàm số khẳng định
xy
, thay vào PT hai ta có
xy
…ĐS:
17
3
xy



VD3.(THPT Thuận Thành II – Bắc Ninh) Giải hệ phương trình:
 
 
2
22
1 2 1 4 2 6 3

1 2 4 8 4 4
x y x y x y
x x x x xy

      


     



Trang 7

HD: Từ PT thứ nhất có
4 2 1xy
, thay vào PT thứ hai. ĐS:
11
;
22




.
VD4.( Bắc Ninh) Giải hệ phương trình:
 
3 2 2
3
3 2 2
1

9 6 3 15 3 6 2
x x y x x y
x y x y x

    


     



HD: Từ PT thứ nhất có
10xy  
, thay vào PT thứ hai xét hàm số
 
3
3f t t t
, biến đổi đến
   
33
1 2 1xx  
. ĐS:
3
33
2 1 2
;
2 1 2 1







.
VD5.( THPT Thanh Bình – Hải Dương) Giải hệ phương trình:
3 3 2
3 3 2
1 2 2
x x y y
xy

   


   



HD: Xét hàm số
 
3
3 , 1f t t t t  
, từ PT thứ nhất suy ra
1xy
. ĐS:
 
2;3

VD6.( THPT Hà Trung) Giải hệ phương trình:
3 3 2

22
3 6 3 4
6 10 5 4
x y x x y
x y x y y x y

    


       



HD: Xét hàm số
 
3
3f t t t
, từ PT thứ nhất suy ra
1yx
. ĐS:
 
5; 4

VD7.( BDVH Lê Hồng Phong) Giải hệ phương trình:
    
32
2 2 3
8 4 2 1 13 1 5 7
1
x x x y y

x y y y

     


   



HD: Từ hai PT của hệ dẫn đến xét hàm số
 
3
f t t t
, suy ra
2 1 2xy  
. ĐS:
 
2;1

IV. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau
1)
22
4 2 2 4
4
8
x xy y
x x y y

  



  


; 2)
3
1 1 4
x y xy
xy

  


   


;
3)
33
22
10 0
1
xy
x xy y

  


  



; 4)
3 3 3 3
5
17
x xy y
x x y y
  


  

;
Trang 8

5)
1 1 9
2
15
2
xy
xy
xy
xy

   








6)
   
22
4
1 1 2
x y x y
x x y y y

   


    



Bài 2. Giải các hệ phương trình
1)
2
2
1
2
1
2
xy
y
yx

x









; 2)
1 6 3
1 6 3
xy
yx

   


   


;
3)
4
3
4
3
y
xy

x
x
yx
y









; 4)
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y













Bài 3. Giải các hệ phương trình:
1)
2
22
2
2 4 2 14
x xy
x xy y




  


; 2)
 
 
 
 

22
22
13
25
x y x y
x y x y

  


  



Bài 4. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
  
22
8
11
x y x y
xy x y m

   


  



Bài 5. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

2 2 2
21x y xy m
x y xy m m
   


  
