BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (A COURSE OF HIGHER MATHEMATICS)

Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 1

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP
(A COURSE OF HIGHER MATHEMATICS)



CHƢƠNG 7. TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN (INTEGRALS)

7.1. ÔN TẬP VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
(ANTIDERIVATIVE or PRIMITIVE FUNCTION & INDEFINITE INTEGRAL)
7.1.1. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM
1. Nguyên hàm: Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập xác định D
nếu đạo hàm của F(x) là f(x), tức là F’(x) = f(x), xD.
Nhận xét: Hiển nhiên nếu hàm f(x) có một nguyên hàm thì nó sẽ có vô số nguyên hàm và hai
nguyên hàm bất kỳ của f(x) chỉ sai khác nhau một hằng số.
2. Tích phân bất định: Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) được gọi là họ nguyên
hàm hay tích phân bất định của nó và kí hiệu là
()f x dx

.
Như vậy, nếu f(x) có một nguyên hàm là F(x) thì tích phân bất định của nó là
( ) ( )f x dx F x C


7.1.2. BẢNG CÁC TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CƠ BẢN

1
, 1;

1
x
x dx C

ln
dx
xC
x


(0 1);
ln
x
x
a
a dx C a
a

xx
e dx e C


sin cos ;xdx x C

cos sinxdx x C


2
tan
cos

dx
xC
x



2
cot
sin
dx
xC
x
  



2
arcsin ;
1
dx
xC
x

2
arctan
1
dx
xC
x






22
arcsin , 0;
dx x
Ca
a
ax

22
1
arctan , 0
dx x
Ca
aa
ax
  





'
ln
u
dx u C
u

1
,0
ax ax
a
e dx e c a  



1
sin cos , 0
a
axdx ax c a   


1
cos sin , 0
a
axdx ax c a  





7.1.3. CÁC TÍNH CHẤT
Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 2

 
1. ( ) ( ) ( )

2. ( ) ( ) ( ) ( )
af x dx a f x dx a const
f x g x dx f x dx g x dx

  

  

 
'
3. '( ) ( )
4. ( ) ( )
f x dx f x C
f x dx f x





7.1.4. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau đây
 
32
;x x x dx


3
2 4 ;
xx
e dx

x







22
;
sin cos
dx
xx


 
2cos2 8sin4xx dx


Ví dụ 2. Tính các tích phân sau đây
a)
tgxdx

b)
2
21
1
x
dx
x




c)
2
41
4
x
dx
x



d)
1
x
dx
e 


7.1.5. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1. Phƣơng pháp tích phân (theo) từng phần
a) Ý tƣởng: Khéo đƣa tích phân khó
()f x dx
về dạng
udv
để chia việc tích phân theo
từng phần dễ hơn
v dv
và

vdu
rồi dùng công thức
udv uv vdu
để suy
ra tích phân gốc.
b) Áp dụng đối với các tích phân
()f x dx
với f(x) thuộc một trong các dạng
P(x).ln(…); P(x).arcsin(…); P(x).arctan(…); P(x)sin(…); P(x).cos(…); P(x).e
(…)
.
c) Cách đặt u hoặc dv theo câu “thần chú”:
“ U ơi lốc ác quá trời
E rằng sin cos còn mời đê vê ”
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp tích phân từng phần
a)
2
( 1)arcsinx xdx
b)
2
lnx xdx

c)
 
1 cosx xdx


d)
2x
xe dx


e)
 
2 1 sin2xdxx 



2. Phƣơng pháp đổi biến
   
 
 

 dttxtxfdxxf
'

trong đó
 
txx 
, với t là biến số mới.
Các bƣớc thực hiện:
- Chọn biến số mới, tính vi phân của nó.
- Viết tích phân ban đầu theo biến số mới và tính tích phân thu được theo biến số mới.
- Trả kết quả về biến số ban đầu.
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp đổi biến số

2
);
ln
dx
a

xx

b)
2
2x x dx


c)
2
sin
1 cos
x
dx
x

d)
 
2008
1x x dx



7.2. ÔN TẬP VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (DEFINITE INTEGRAL)
Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 3

7.2.1. CÔNG THỨC NEWTON – LEIBNIZ
       
aFbFxFdxxf

b
a
b
a



trong đó F(x) là nguyên hàm của f(x).
Ví dụ 5. Tính các tích phân xác định sau đây

 
1
2
0
3 4 2x x dx


2
32
1
3 4 2 1
2
x x x
dx
x
  



4
2
0
cos xdx



1
32
2
0
3 2 2
1
x x x
dx
x
  




7.2.2. CÁC TÍNH CHẤT

( ) ( )
bb
aa
cf x dx c f x dx


[ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx  
  


( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
  

Nếu f(x) là hàm số chẵn (nghĩa là
( ) ( )f x f x
) thì
0
( ) 2 ( )
aa
a
f x dx f x dx



.
Nếu f(x) là hàm số lẻ (nghĩa là
( ) ( )f x f x  
) thì
( ) 0
a
a

f x dx



.
Ví dụ 6.
11
22
10
1
2 2 arctan ;
2
0
11
dx dx
x
xx


  



2
3
2
2
0;
1
x dx

x





Ví dụ 7.
3 0 3 0 3
1 1 0 1 0
5x dx xdx xdx xdx xdx
  
     
    



7.2.3. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1. Phƣơng pháp tích phân từng phần
bb
b
a
aa
u dv uv vdu

Các dạng áp dụng và cách đặt u, dv tương tự trường hợp tích phân bất định.


Ví dụ 8. Tính các tích phân xác định sau đây bằng phương pháp tích phân từng phần
Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 4

a)
1
ln
e
x xdx

b)
2
0
( 2 1)sinx xdx




c)

1
0
arctanx xdx
d)
2
3
cosx xdx




2. Phƣơng pháp đổi biến số

   
 
 




dttxtxfdxxf
b
a
'



,
là các cận mới của tích phân xác định theo biến số t .
Các bƣớc thực hiện:
- Chọn biến số mới, tính vi phân của nó
- Đổi cận tích phân theo biến số mới
- Viết tích phân ban đầu theo biến số mới và tính tích phân mới.
Ví dụ 9. Tính các tích phân xác định sau đây bằng phương pháp đổi biến số
a)
7
2
2
2x x dx

b)
2
2

0
cos
1 sin
xdx
x




c)
3
1
ln
e
x
dx
x

d)
2
3
0
sin xdx





7.3. SƠ LƢỢC VỀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG (IMPOPER INTERGRALS)
Khi xét tích phân xác định

()
b
a
f x dx

, ta đòi hỏi các cận a, b là các số hữu hạn và hàm số lấy tích phân
f(x,y) liên tục trên [a,b]. Dưới đây ta mở rộng khái niệm tích phân cho trường hợp các cận của nó là vô
hạn.
7.3.1. Định nghĩa tích phân suy rộng với cận vô hạn

( ) lim ( ) ;
b
b
aa
f x dx f x dx





( ) lim ( ) ;
bb
a
a
f x dx f x dx





( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
c c b
ab
c a c
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
 
 
 
   
    

trong đó c là hằng số bất kì, còn f(x) là hàm số liên tục trên khoảng lấy tích phân.
Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 5

Khi các giới hạn bên các vế phải tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng ở vế trái tương ứng hội tụ
và có giá trị bằng giới hạn hữu hạn ở vế phải tương ứng. Trường hợp ngược lại, tức là (một trong) các
giới hạn ở vế phải không tồn tại hoặc vô hạn thì ta nói tích phân suy rộng ở vế trái tương ứng phân kỳ.

Ví dụ 10.
22
11
1 1 1 1
lim lim lim 1 1.
1
b
b b b
b

dx dx
xb
xx

  
   
      
   
   



Ví dụ 11.
   
11
lim lim ln lim ln 1 .
b
b b b
ee
b
dx dx x b
xx
e

  
     


Ví dụ 12.
 

00
22
0
11
lim lim arctan lim ( arctan ) .
2
11
a a a
a
dx dx x a
a
xx

  

    



Ví dụ 13.

0
2 2 2
0
1 1 1
lim lim
1 1 1
b
ab
a

dx dx dx
x x x

 

  
  
  


lim ( arctan ) lim arctan
22
ab
ab


 
     

Ví dụ 14. Tính các tích phân suy rộng sau đây
8.
a)
0
x
xe dx



b)
1

dx
xx


c)
0
2
4
dx
x



d)
3
4
dx
x





7.3.2. Vài tích phân suy rộng hội tụ kinh điển và tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộng của
hàm không âm
1. Vài tích phân suy rộng kinh điển hội tụ
Tích phân suy rộng
a
dx
x

( > 0)
+ Hội tụ khi (và chỉ khi)  > 1; + Phân kỳ khi (và chỉ khi)  ≤ 1.
2. Các tiêu chuẩn so sánh
a) Tiêu chuẩn so sánh thứ nhất
Giả thiết: 0 ≤ f(x) ≤ g(x), x ≥ a.
Kết luận: + (
()
a
fx
phân kì )  (
()
a
gx
cũng phân kỳ).
+ (
()
a
gx
hội tụ )  (
()
a
fx
cũng hội tụ).
b) Tiêu chuẩn so sánh thứ hai
Giả thiết: + 0 ≤ f(x), x ≥ a và f(x)  0 (tức là f(x) VCB ) khi x  +.
+ f(x) 
k
x
(0 < k < +) khi x  +.
Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 6

Kết luận: + (
()
a
fx
hội tụ )  ( > 1), (
()
a
fx
phân kỳ)  ( ≤ 1) .
3. Ví dụ 15. Xét sự hội tụ (hay phân kỳ) của các tích phân dưới đây
a)
2
3
1
3 2 1
42
xx
dx
xx
; b)
2
0
23
31
x
dx
xxx

; c)
2
4
0
2
4 3 1
3 5 2
xx
dx
xx
; d)
2013
2015
0
2012
2
2
41
3xx
dx
xx
.

7.4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG KINH TẾ
7.4.1. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1. Xác định quỹ vốn theo lƣợng đầu tƣ
Giả sử việc đầu tư được tiến hành liên tục theo thời gianK = K(t) là quỹ vốn tại thời điểm t (t
là biến thời gian) và I = I(t) là lượng đầug tư tại thời điểm t (0 ≤ t). Khi đó ta có
K(t) =
()I t dt

Ở đây, hằng số C trong tích phân ở vế phải được xác định nhờ quỹ vốn ban đầu K(0) = K
0
.
2. Xác định hàm tổng theo giá trị cận biên
Giả sử một biến số kinh tế mang ý nghĩa tổng giá trị (tổng chi phí C, tổng doanh thu R, tổng
lợi nhuận , …). Khi đó nếu biết hàm giá trị cận biên (chi phí cận biên, doanh thu cận biên, lợi
nhuận cận biên, …) thì dễ dàng tính được hàm tổng giá trị bằng cách lấy tích phân (bất định).
3. Ví dụ
Ví dụ 16. Giả sử lượng đầu tư tại thời điểm t cho bởi I = I(t) = 180t
0,8
, t ≥ 0. Hãy xác định
quỹ vốn biết rằng vốn ban đầu là 200.
Giải + Quỹ vốn xác định bởi K = K(t) =
0,8 1,8
( ) 180 100I t dt t dt t C
.
+ Vì vốn ban đầu là K(0) = C = 200 nên K = 100t
1,8
+ 200.
Ví dụ 17. Giả sử chi phí cận biên (Marginal Cost) của một doanh nghiệp ở mỗi mức sản
lượng Q cho bởi MC = 30 – 40Q + 9Q
2
. Hãy xác định tổng chi phí TC (Total Cost) và chi
phí khả biến (Variable Cost) VC theo Q biết rằng chi phí cố định (Fixed Cost) là VC = TC –
FC và FC = 100.
Giải + TC = TC(Q) =
MCdQ
=
2

(30 40 9 )Q Q dQ
= 30Q – 20Q
2
+ 3Q
3
+ C.
+ Vì FC = 100 = TC(0) = C nên C = 100. Tức là TC = 100 + 30Q – 20Q
2
+ 3Q
3
.
+ Chi phí khả biến là VC = TC – FC = 30Q – 20Q
2
+ 3Q
3
.
7.4.2. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1. Thặng dƣ của ngƣời tiêu dùng và thặng dƣ của nhà sản xuất
Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại hàng hóa theo giá P cho bởi Q
s
= Q
s
(P) và Q
d
=
Q
d
(P). Khi đó tìm giá P theo lượng cung, cầu ta được các hàm cung ngược P = P(Q
s
) và hàm

cầu ngược P = P(Q
d
).
Giải phương trình cân bằng Q
s
= Q
d
ta xác định được điểm cân bằng (P
0
, Q
0
). Khi đó thặng
dư của người tiêu dùng CS (Consumers’ Surplus) và thặng dư của nhà sản xuất PS
(Producers’ Surplus) được xác định bởi các tích phân xác định theo công thức dưới đây
CS =
0
00
0
()
Q
dd
P Q dQ PQ
; PS =
0
00
0
()
Q
ss
PQ P Q dQ

.
2. Ví dụ
Ví dụ 18. Biết hàm cung, cầu của một loại hàng hóa cho bởi Q
s
=
1P
, Q
d
=
113 P
.
Hãy xác định thặng dư của người tiêu dùng và nhà sản xuất đối với hàng hóa đó.
Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 7

Giải + Các hàm cung, cầu ngược cho bởi P = (Qs + 1)
2
, P = 113 – Q
d
2
.
+ Điểm cân bằng thị trường cho bởi phương trình Q
s
= Q
d
, tức là
Q
s
= Q

d

1P
=
113 P
 (P
0
, Q
0
) = (64, 7).
+ Thặng dư của người tiêu dùng là
0
7
7
23
00
0
00
1
( ) (113 ) 64 7 113 448
3
Q
d d d d
P Q dQ PQ Q dQ Q Q
=
686
3
.

+ Thặng dư của nhà sản xuất là

0
7
7
3
2
00
00
0
( 1)
( ) 64 7 ( 1) 448
3
Q
s
s s s s
Q
PQ P Q dQ Q dQ
=
833
3
.
Ví dụ 19. Biết hàm cung, cầu của một loại hàng hóa cho bởi Q
s
=
3P
, Q
d
=
185 P
.
Hãy xác định thặng dư của người tiêu dùng và nhà sản xuất đối với hàng hóa đó.

Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 8

CHƢƠNG 8. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN(DIFFERENTIAL EQUATIONS)

8.0. BỔ TÚC VỀ SỐ PHỨC (COMPLEX NUMBERS) (SV Tự ôn)
8.1.SƠ LƢỢC VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
(FIRST - ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS)

8.2.SƠ LƢỢC VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
(SECOND – ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS)

CHƢƠNG 8: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN

8.1. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT
8.1.1. KHÁI NIỆM
1. Phƣơng trình vi phân: là phương trình có chứa đạo hàm của hàm số cần tìm.
Ví dụ 1. a)
2
1
'2y y x
x


;
b)
" 4 ' 3 2sin 4cosy y y x x   
.
Đây là các phương trình vi phân với
y
là ẩn hàm cần tìm,
x
là biến số độc lập,
', "yy
là các đạo hàm của ẩn hàm.
2. Cấp của phƣơng trình vi phân: là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong
phương trình đó.
Ví dụ 2. a) Phương trình cho ở ví dụ 1a) là phương trình vi phân cấp 1.
b) Phương trình cho ở ví dụ 1b) là phương trình vi phân cấp 2.
3. Nghiệm của phƣơng trình vi phân: là hàm số thoả mãn phương trình đó.
Ví dụ 3. a) Hàm số
3
yx
là nghiệm của phương trình cho ở ví dụ 1a), vì thay
32
, ' 3y x y x
vào phương trình đó ta thấy:
2 3 2
11
' 3 2y y x x x
xx
   
là đẳng thức đúng với mọi
0.x 

Tương tự, hàm số
3
y x cx
(với
c
là hằng số bất kì) cũng là nghiệm của
phương trình cho ở ví dụ 1a), vì: thay
3
y x cx
,
2
'3y x c
vào phương
trình đã cho ta cũng thấy thoả mãn.
b) Hàm số
sinyx
là nghiệm của phương trình
" 4 ' 3 2sin 4cosy y y x x   

4. Phân loại nghiệm:
a) Nghiệm tổng quát: là nghiệm có chứa hằng số tuỳ ý.
Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 9

Ví dụ 4.
3
y x cx
là nghiệm tổng quát của phương trình

2
1
'2y y x
x

.
b) Nghiệm riêng: là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát khi cho hằng số
c
một
giá trị cụ thể.
Ví dụ 5.
3
yx
là nghiệm riêng của phương trình
2
1
'2y y x
x

vì nó được suy
từ nghiệm tổng quát khi
0c 
.
c) Nghiệm kì dị: là nghiệm không suy được từ nghiệm tổng quát. Nghiệm kì dị
thường xuất hiện khi xét các trường hợp đặc biệt của phương trình vi phân.
Nhận xét. Ứng với mỗi nghiệm tổng quát sẽ có vô số nghiệm riêng. Do đó, muốn
tìm một nghiệm riêng nào đó, ta cần biết trước điều kiện của nghiệm. Ta gọi đó là
điều kiện ban đầu của phương trình vi phân. Điều kiện này thường được viết ở dạng :
00
()y x y

hoặc
0
0xx
yy


.
Khi đó, chỉ cần thay điều kiện ban đầu vào nghiệm tổng quát, ta sẽ tìm được giá trị
cần có của hằng số. Từ đó suy ra nghiệm riêng.
Ví dụ 6. Hãy tìm nghiệm riêng của phương trình
2
1
'2y y x
x

thoả mãn điều kiện:
(1) 0.y 

Ta đã có nghiệm tổng quát của phương trình đó là
3
y x cx
. Muốn thoả mãn
điều kiện đã cho thì
3
0 1 1 1.cc    
Vậy, nghiệm riêng cần tìm là hàm số
3
.y x x

8.1.2. PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
1. Phƣơng trình có biến số phân li
a) Khái niệm. Phương trình có biến số phân li (còn gọi là phương trình tách biến)
là phương trình vi phân cấp một có dạng
( ) ( )f x dx g y dy

Ví dụ 1. a)
sin lnxdx ydy
là phương trình phân li.
b)
sin cosx ydx tgydy
không là phương trình phân li, nhưng có thể
biến đổi để đưa về phương trình phân li. Chẳng hạn, nếu chia hai vế cho
cos y
, với
điều kiện
cos 0y 
, ta được phương trình phân li
Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 10

2
sin
sin sin
cos
cos
tgy y
xdx dy hay xdx dy
y

y

.
b) Cách giải. Lấy tích phân bất định hai vế của phương trình phân li sẽ được
nghiệm tổng quát ở dạng “hàm ẩn”.
Ví dụ 2. Giải phương trình cho ở ví dụ 1a), ta có
sin ln sin ln
cos (ln 1)
xdx ydy xdx ydy
x c y y
  
    


Chú ý: Chỉ cần cộng hằng số vào một trong hai vế ở công thức nghiệm.
Ví dụ 3. Giải phương trình
sin cosx ydx tgydy
.
Ví dụ 4. Giải phương trình
ln 0.tgydx x xdy

Ví dụ 5. Tìm nghiệm riêng thoả mãn điều kiện
( 8) 1y 
của phương trình
22
(1 ) 1 0xydx y x dy   
.

2. Phƣơng trình đẳng cấp
a) Khái niệm. Phương trình đẳng cấp là phương trình vi phân cấp một có dạng

' ( )
y
yf
x


Ví dụ 6. a)
' cos
yy
y
xx

là phương trình đẳng cấp.
b)
'2xy y x
không là phương trình đẳng cấp, nhưng có thể biến đổi
để đưa về phương trình đẳng cấp. Chẳng hạn, nếu chia hai vế cho
x
, với điều kiện
0x 
, ta được phương trình đẳng cấp
'2
y
y
x

.
b) Cách giải. Đặt ẩn hàm mới
' ' .
y

z hay y zx y z x z
x
    

Thay vào phương trình đẳng cấp sẽ được phương trình phân li theo
,.zx
Giải
phưong trình này sẽ tìm được
z
, từ đó suy ra
.y

Ví dụ 7. Giải phương trình cho ở ví dụ 6a). Đặt ẩn hàm
' ' .
y
z y zx y z x z
x
     

Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 11

Thay vào phương trình đẳng cấp ta được
' cos ' cos
cos
cos
z x z z z z x z
dz dz dx
xz

dx z x
    
   

Đây là phương trình phân li với điều kiện
cos 0z 
. Lấy tích phân bất định hai vế
ta có
ln ln ln
cos 2 4
2 4 2 4
dz dx z
tg x c
zx
zy
tg cx tg cx
x



    


   
     
   
   


Xét trường hợp

cos 0
2
z hay z k


  
, ta có
'0z 
, thay vào
phương trình
' cosz x z
, ta thấy thoả mãn. Vậy đây là nghiệm kì dị của phương
trình. Khi đó
2
y zx k x



  


.
Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm tổng quát và một nghiệm kì dị.

Chú ý: Có thể cộng
ln c
vào một trong hai vế ở công thức nghiệm để khử
ln
ra
khỏi nghiệm, khi đó công thức nghiệm sẽ gọn hơn.

Ví dụ 8. Giải phương trình
'2xy y x
.
Ví dụ 9. Tìm nghiệm riêng thoả mãn điều kiện
(1) 1y 
của phương trình
' ln .
y
xy y
x


3. Phƣơng trình tuyến tính
a) Khái niệm: là phương trình vi phân có dạng
' ( ) ( )y p x y q x

trong đó
( ), ( )p x q x
là các hàm số của biến số độc lập
x
.
Ví dụ 10. a)
2
1
' siny y x x
x

là phương trình tuyến tính với
2
1

( ) , ( ) sin .p x q x x x
x
  

Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 12

b)
2
(2 3) 0xy dx x dy  
không là phương trình tuyến tính nhưng có
thể đưa về phương trình tuyến tính sau một vài phép biến đổi.
b) Cách giải: Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính là hàm số
 
( ) ( )
()
p x dx p x dx
y q x e dx C e





trong đó
hay y = u(x). v(x) với
()
()
( ) , ( ) .
()

p x dx
qx
u x e v x dx
ux





Khi tính
()p x dx
e

hay
()ux
không lấy hằng số C tuỳ ý, khi tính
()vx
cần lấy hằng
số đó.
Ví dụ 11. Giải phương trình ở ví dụ 10a). Ta có
 
ln
( ) ,
sin cos sin ,
( cos sin ).
dx
x
x
u x e e x
v x x xdx x x x c

y x x x x c

  
    
   


Ví dụ 12. Giải phương trình
' cos sin cos , (0) 0.y y x x x y  

Trước hết ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình. Ta có
cos
sin
sin
sin
sin
( ) cos , ( ) sin cos ,
( ) ,
( ) sin cos
( 1) (sin 1) ,
sin 1 .
xdx
x
x
t t x
x
p x x q x x x
u x e e
v x e x xdx
te dt e t c e x c

y x ce







      
  



Để tìm nghiệm riêng ta cần thay điều kiện
(0) 0y 
vào nghiệm tổng quát, khi đó
ta được
sin0
0 sin0 1 1.ce c

    

Vậy nghiệm riêng cần tìm là hàm số
sin
sin 1 .
x
y x e

  

Ví dụ 13. Giải phương trình
2
(2 3) 0.xy dx x dy  

Ví dụ 14. Giải phương trình
2
' 1 arcsin , (0) 0.y x y x y   

4. Phƣơng trình Bernoulli
Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 13

a) Khái niệm: là phương trình vi phân có dạng
' ( ) ( )y p x y q x y



trong đó
( ), ( )p x q x
là các hàm số của biến số độc lập
x
, còn

là số thực bất kì.
Với
0, 1


, phương trình Bernoulli chính là phương trình tuyến tính đã xét,

do đó ta chỉ đưa ra cách giải phương trình trên khi
0, 1.



Ví dụ 15.
24
'
y
y x y
x

là phương trình Bernoulli với
4.



b) Cách giải: Đặt ẩn hàm mới
1
' (1 ) 'z y z y y



   
.
Thay vào phương trình Bernoulli đã cho sẽ được phương trình tuyến tính theo
,.zx
Giải phương trình này ta tìm được
z
, từ đó suy ra

.y

Ví dụ 16. Giải phương trình ở ví dụ 15.
Ta thấy ngay
0y 
là một nghiệm kì dị của phương trình đã cho.
Xét trường hợp
0y 
, đặt
3 4 4
1
' 3 ' ' '
3
z y z y y hay y y z

     
.
Thay vào phương trình đã cho, ta được
4 2 4 2
13
' ' 3
3
y
y z x y z z x
xx
      
.
Đây là phương trình tuyến tính với
2
3

( ) , ( ) 3p x q x x
x
   
nên
3
3 ln 3
3
( ) ,
3
( ) 3 ln ,
( 3ln ).
dx
x
x
u x e e x
v x dx x c
x
z x x c

  
    
  


Dođó nghiệm của phương trình đã cho là
33
( 3ln ).y x x c

  

Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm tổng quát và một nghiệm kì dị.
Ví dụ 17. Giải các phương trình sau
a)
2
23
3
3
' ( 1)sin , (0) 1.
1
xy
y y x x y
x
   


b)
3
3 (1 3 ) sin 0, ( ) 1.
2
dy y y xdx y

   

Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 14

5. Phƣơng trình vi phân toàn phần
a) Khái niệm: là phương trình vi phân có dạng
( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy

trong đó
( , ), ( , )P x y Q x y
là các hàm hai biến có các đạo hàm riêng thoả mãn điều
kiện
''
xy
QP
.
Ví dụ 18. a)
2
( 3 ) (4 ) 0y x dx y x dy   
,
b)
22
23
0y dx x dy
xy


   






là các phương trình vi phân toàn phần.
b) Cách giải: Chọn điểm
00

( , )xy
bất kì mà tại đó các hàm số
( , ), ( , )P x y Q x y
liên
tục và có các đạo hàm riêng liên tục. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
toàn phần được tính bởi công thức
00
0
( , ) ( , )
y
x
xy
P x y dx Q x y dy C


hoặc
00
0
( , ) ( , )
y
x
xy
P x y dx Q x y dy C

.
Ví dụ 19. Giải các phương trình cho ở ví dụ 18.
a) Chọn
00
( , ) (0,0)xy 
, ta có nghiệm tổng quát của phương trình là

2 3 2
00
( 0 3 ) ( 4 ) 2
y
x
x dx y x dy C x y xy C        


hoặc
2 3 2
00
( 3 ) (4 0) 2
y
x
y x dx y dy C x y xy C        

.
b) Chọn
00
( , ) (1,1)xy 
, ta có nghiệm tổng quát của phương trình là
Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 15

22
11
1
23
1

2 3 2 3
11
y
x
dx x dy C
xy
xy
x xy C xy C
x y x y


   





   
         
   
   


Ví dụ 20. Giải các phương trình sau
a)
2
( ) ( 2 ) 0,x y dx x y dy   

b)
( sin ) ( cos ) 0.

xy
e y y dx e x x y dy     


8.2.PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI
8.2.1. KHÁI NIỆM
1. Phƣơng trình vi phân cấp hai là phương trình có chứa đạo hàm cấp hai của hàm
số cần tìm.
Ví dụ 1.
" 3 ' 2 2 3y y y x   
là phương trình vi phân cấp hai với
x
là biến số
độc lập,
y
là ẩn hàm cần tìm.
2. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai là nghiệm có chứa hai hằng
số bất kì.
Ví dụ 2. Hàm số
2
12
xx
y c e c e x  
là nghiệm tổng quát của phương trình vi
phân cho ở ví dụ 1, vì
22
1 2 1 2
' 2 1, " 4
x x x x
y c e c e y c e c e    

.
Thay vào phương trình đã cho ta thấy
22
1 2 1 2
2
12
" 3 ' 2 ( 4 ) 3( 2 1)
2( ) 2 3
x x x x
xx
y y y c e c e c e c e
c e c e x x
       
    

là đẳng thức đúng.
3. Nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp hai được suy từ nghiệm tổng quát khi
các hằng số nhận giá trị cụ thể. Để tìm một nghiệm riêng nào đó ta cần biết điều kiện
mà nó thoả mãn. Ta gọi đó là điều kiện ban đầu của phương trình vi phân. Điều kiện
này thường được cho ở dạng:
'
0 0 0 0
( ) , '( ) .y x y y x y

Ví dụ 3. Từ nghiệm tổng quát ở ví dụ 2, hãy tìm nghiệm riêng thoả mãn điều kiện
(0) 3, '(0) 5.yy

Thay điều kiện đã cho vào
, ',yy
ta có

Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 16

00
1 2 1
00
2
12
0 3 2
1
2 1 5
c e c e c
c
c e c e

   






  



Vậy, nghiệm riêng cần tìm là hàm số
2
2.

xx
y e e x  


8.2.2. PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
1. Phƣơng trình giảm cấp đƣợc
a) Khái niệm. Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được là phương trình có thể
đưa được về phương trình vi phân cấp một bằng cách đặt ẩn hàm mới.
Sau đây ta xét một số phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được.
b) Phƣơng trình vi phân cấp hai thiếu
,'yy

Khi đó phương trình có dạng
" ( ).y f x

Muốn giải phương trình này, ta lấy tích phân bất định hai lần, sẽ được nghiệm tổng
quát.
Ví dụ 1.
" sinyx
là phương trình vi phân cấp hai thiếu
,'yy
.
- Lấy tích phân bất định lần thứ nhất, ta được
1
' cos .y x c  

- Lấy tích phân bất định lần thứ hai, ta được
12
sin .y x c x c   

Đây là nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.
Ví dụ 2. Giải phương trình
" , (0) 1, '(0) 2.
x
y xe y y  

- Trước hết, ta tìm nghiệm tổng quát.
Lấy tích phân bất định hai lần ta được
 
1
1 1 2
' ( 1) ,
( 1) ( 2) .
xx
xx
y xe dx x e c
y x e c dx x e c x c
   
      



- Thay điều kiện ban đầu vào
,'yy
, ta được
0
11
0
2
12

1 (0 1) 2
4
2 (0 2) 0
e c c
c
e c c

   






   



- Vậy, nghiệm riêng cần tìm là hàm số
( 2) 2 4.
x
y x e x   

Ví dụ 3. Giải phương trình
2
" 3 2 1, (0) 1, '(0) 2.y x x y y    

c) Phƣơng trình vi phân cấp hai thiếu
y

Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 17

Khi đó phương trình có dạng
" ( , ').y f x y

Muốn giải phương trình này, ta đặt ẩn hàm
' ' ".z y z y  

Thay vào phương trình đã cho, sẽ được phương trình mới có dạng
' ( , )z f x z
.
Đây là phương trình vi phân cấp một đối với ẩn hàm
z
, biến số độc lập
x
. Giải
phương trình này, sẽ tìm được
z
, tức là tìm được
'y
. Từ đó, lấy tích phân bất định,
sẽ tìm được ẩn hàm
.y

Ví dụ 4. Giải phương trình
'
" ' ln
y

xy y
x




.
Đặt
' ' ".z y z y  
Thay vào phương trình đã cho, ta được
' ln ' ln
z z z
xz z z
x x x
   
  
   
   

Đây là phương trình đẳng cấp theo
,zx
.
Đặt
' ' .
z
t z tx z t x t
x
     
Thay vào phương trình đẳng cấp, ta có
' ln ln

(ln 1 0)
(ln 1)
dt
t x t t t x t t t
dx
dt dx
t
t t x
    
   


Đây là phương trình phân li, lấy tích phân bất định hai vế, ta được
 
1
11
1
1
ln ln 1 ln ln ln 1
ln 1
cx
t x c t c x
z
c x z xe
x

     
   

Thay

'zy
và lấy tích phân bất định, ta có
1 1 1
1 1 1
2
2
1
1
1
c x c x c x
x
y xe dx e e c
c
c
  
   


Đây là nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.
Xét trường hợp
ln 1 't hay t e z ex z e     

Thay vào phương trình đẳng cấp, ta thấy thoả mãn. Vậy, đây là nghiệm kì dị của
phương trình. Khi đó
2
'.
2
e
y ex y x  

Như vậy, phương trình đã cho có một nghiệm tổng quát và một nghiệm kì dị.
Ví dụ 5. Giải phương trình
'
" ( 1), (2) 1, '(2) 1.
1
y
y x x y y
x
     


Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 18

Ví dụ 6. Giải phương trình
'
" 0.
y
y
x


d) Phƣơng trình vi phân cấp hai thiếu
x

Khi đó phương trình có dạng
" ( , ').y f y y

Muốn giải phương trình này, ta đặt ẩn hàm

'
dy
py
dx

và xem
p
là hàm số
của
.y
Khi đó
'
' " . '.
dp dy dp dp dy
p y p p
dy dx dx dy dx
     

Thay vào phương trình đã cho, sẽ được phương trình mới có dạng
' ( , )pp f y p
.
Đây là phương trình vi phân cấp một đối với ẩn hàm
p
, biến số độc lập
y
. Giải
phương trình này, sẽ tìm được
p
, tức là tìm được
'y

. Từ đó, giải phương trình phân
li tương ứng, sẽ tìm được ẩn hàm
.y

Ví dụ 7. Giải phương trình
2
" ' 0yy
.
Đặt
'
dy
py
dx

và xem
p
là hàm số của
.y
Khi đó
" '.y pp

Thay vào phương trình đã cho, ta được
2
0 (1)
' 0 ( ' ) 0
' (2 )
p
pp p p p p
pp



     




Ta có
11
1
11
1
2
(1) ' 0 .
(2) ln
.
y c y c
yc
y c y c
y y c
dp dp
p dy p y c
dy p
dy dy
p e e dx
dx
e
e dy dx e x c


   

   
      
     
     


Ví dụ 8. Giải phương trình
2
" 1 ' .yy y

Ví dụ 9. Giải phương trình
2
" ' 0, (0) 1, '(0) 2.yy y y y   



2. Phƣơng trình tuyến tính hệ số hằng thuần nhất
Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 19


a) Khái niệm. Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất là phương
trình vi phân có dạng
12
" ' 0y a y a y  
.
b) Cách giải. Xét phương trình đặc trưng
2
12

0k a k a  
.
- Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt
12
,kk
thì nghiệm
tổng quát của phương trình vi phân là
12
12
k x k x
y c e c e
.
- Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép
0
k
thì nghiệm tổng quát của phương
trình vi phân là
0
12
()
kx
y e c x c
.
- Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức liên hợp
i


thì nghiệm
tổng quát của phương trình vi phân là
12

( cos sin )
x
y e c x c x



.
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau
) " 3 ' 2 0
) " 4 ' 4 0
) " 2 ' 5 0
a y y y
b y y y
c y y y
  



Ví dụ 11. Giải các phương trình sau
) " 4 ' 13 0
) " 6 ' 9 0
) " 2 ' 0
) " 4 0
a y y y
b y y y
c y y
d y y
  
  





3. Phƣơng trình tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất

a) Khái niệm. Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng không thuần nhất là
phương trình vi phân có dạng
12
" ' ( )y a y a y f x  
.
Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 20

b) Cách giải. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất có dạng
r
y y y
, trong đó
y
là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương
ứng
12
" ' 0y a y a y  
,
r
y
là nghiệm riêng của phương trình không thuần
nhất đã cho.
- Cách tìm
y

như ở mục 2.
- Cách tìm
r
y
: Tuỳ thuộc vào dạng của hàm số
()fx
ở vế phải của phương trình đã
cho.
* Trường hợp
( ) ( )
ax
n
f x e P x
, trong đó
()
n
Px
là đa thức bậc
n
của
x
có các
hệ số cho trước. Khi đó
- Nếu
a
không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì
()
ax
rn
y e Q x

trong đó
()
n
Qx
là đa thức bậc
n
của
x
có các hệ số chưa biết. Để tìm các hệ số
này, ta thay
r
y
và các đạo hàm của nó vào phương trình đã cho rồi đồng nhất hai
vế.
- Nếu
a
là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì
()
ax
rn
y xe Q x


- Nếu
a
là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì
2
()
ax

rn
y x e Q x


* Trường hợp
 
( ) ( )cos ( )sin
ax
nm
f x e P x bx Q x bx
, trong đó
( ), ( )
nm
P x Q x
là các đa thức bậc
,nm
của
x
có các hệ số cho trước.
Khi đó
- Nếu
a ib
không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì
 
( )cos ( )sin
ax
r k k
y e H x bx L x bx

trong đó

( ), ( )
kk
H x L x
là các đa thức bậc
max( , )k n m
của
x
có các hệ số
chưa biết. Để tìm các hệ số này, ta thay
r
y
và các đạo hàm của nó vào phương trình
đã cho rồi đồng nhất hai vế.
- Nếu
a ib
là nghiệm phức của phương trình đặc trưng thì
 
( )cos ( )sin
ax
r k k
y xe H x bx L x bx

Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 21


Ví dụ 12. Giải phương trình
-x
" 3 ' 2 (6 7)ey y y x   

Đây là phương trình không thuần nhất nên nghiệm tổng quát có dạng
r
y y y
.
- Ta tìm
y
là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
" 3 ' 2 0y y y  

Xét phương trình đặc trưng
2
3 2 0 1, 2k k k k     
.
Do đó
2
12
xx
y c e c e
.
- Ta tìm
r
y
là nghiệm riêng của phương trình đã cho.
Ta nhận thấy vế phải của phương trình đã cho là
1
( ) ( )
x
f x e P x




có
1a 
không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên
1
( ) ( )
xx
r
y e Q x e Ax B

  

Suy ra
'"
( ), ( 2 )
xx
rr
y e Ax A B y e Ax A B

      

Thay vào phương trình đã cho, ta được
"'
-x
3 2 (6 7)
( 2 ) 3 ( )
2 ( ) (6 7)e
(6 5 6 ) (6 7)
x

r r r
xx
x
xx
y y y x e
e Ax A B e Ax A B
e Ax B x
Ax A B e x e




   
       
   
    

Đồng nhất hai vế, ta có hệ phương trình
6 6 1
5 6 7 2
AA
A B B




   


Do đó nghiệm riêng là

( 2)
x
r
y e x


.
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
2
12
( 2).
x x x
y c e c e e x

   

Ví dụ 13. Giải phương trình
x
" 3 ' 2 2ey y y  

Đây là phương trình không thuần nhất nên nghiệm tổng quát có dạng
r
y y y
.
Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 22

- Ta tìm
y

là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
" 3 ' 2 0y y y  

Xét phương trình đặc trưng
2
3 2 0 1, 2k k k k     
.
Do đó
2
12
xx
y c e c e
.
- Ta tìm
r
y
là nghiệm riêng của phương trình đã cho.
Ta nhận thấy vế phải của phương trình đã cho là
0
( ) ( )
x
f x e P x

có
1a 
là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên
0
()
xx
r

y xe Q x Axe

Suy ra
'"
( 1), ( 2)
xx
rr
y Ae x y Ae x   

Thay vào phương trình đã cho, ta được
"'
x
3 2 2
( 2) 3 ( 1) 2 2e
22
x
r r r
x x x
xx
y y y e
Ae x Ae x Ae
Ae e A
  
     
   

Do đó nghiệm riêng là
2
x
r

y xe
.
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
2
12
2.
x x x
y c e c e xe  

Ví dụ 14. Giải phương trình
x
" 2 ' 2ey y y  

Đây là phương trình không thuần nhất nên nghiệm tổng quát có dạng
r
y y y
.
- Ta tìm
y
là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
" 2 ' 0y y y  

Xét phương trình đặc trưng
2
2 1 0 1k k k    
.
Do đó
12
()
x

y e c x c
.
- Ta tìm
r
y
là nghiệm riêng của phương trình đã cho.
Ta nhận thấy vế phải của phương trình đã cho là
0
( ) ( )
x
f x e P x

có
1a 
là nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên
Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 23

22
0
()
xx
r
y x e Q x Ax e

Suy ra
' 2 " 2
( 2 ), ( 4 2)
xx

rr
y Ae x x y Ae x x    

Thay vào phương trình đã cho, ta được
"'
2 2 2 x
22
( 4 2) 2 ( 2 ) 2e
2 2 1
x
r r r
x x x
xx
y y y e
Ae x x Ae x x Ax e
Ae e A
  
      
   

Do đó nghiệm riêng là
2 x
r
y x e
.
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
2
12
( ) .
xx

y e c x c x e  

Ví dụ 15. Giải phương trình
2x
" 2 ' 5 ey y y

Ví dụ 16. Giải phương trình
" siny y x

Ví dụ 17. Giải các phương trình sau
2
2
) " 3 ' 4
) " 2 '
) " 5 ' 6 ( 1)
) " 2 ' 10 2
) " 4 cos2
x
x
x
a y y y e
b y y y e
c y y y e x
d y y y x x
e y y x

  
  
   
    



 Trường hợp
12
( ) ( ) ( )f x f x f x
, trong đó
12
( ), ( )f x f x
có dạng như ở
các trường hợp trên. Khi đó
12
r r r
y y y
,
với
1
r
y
là nghiệm riêng của phương trình
1 2 1
" ' ( )y a y a y f x  
,
1
r
y
là nghiệm riêng của phương trình
1 2 2
" ' ( )y a y a y f x  
.

Ví dụ 18. Giải phương trình
"5
x
y y e x  
.
Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 24

BÀI TẬP TP VÀ PTVP


1. Tính các tích phân bất định
a)
x1
dx
x


; b)
(sin5x sin7x)dx

; c)
2
dx
sin 2x
4







; d)
x
x
e
dx
2e

;
e)
22
dx
sin x 2cos x

; f)
3
sinx
dx
cos x

; g)
3 2x
x e dx

; h)
arcsinx
dx
1x


;

i)
2 sinx
dx
2-cosx


; k)
tanx
dx
(cosx-sinx).cosx

.


2. Tính tích phân bất định của các hàm hữu tỉ sau
10
22
3 3 4
xdx x dx dx
a) ; b) ; c) ;
(x 1)(x 2)(x 3)
x x 2 (x 1)(x 1)
dx xdx dx
d) ; e) ; f) .
x 1 x 3x 2 x 1
  
   

   
  
  

3. Tính các tích phân lƣợng giác và vô tỷ sau
/2 /4 6 15
2
2
0 0 1
3
64 1 3 /4 /3
3
8 5 3
3
2
1 0 0 /6
dx dx dx dx
a) ; b) ; c) ; d) ;
3 2cosx
1 2sin x
1 3x 2
x 1 x

dx (x 3)dx sin xdx dx
e) ; f) ; g) ; h) .
cos x sin xcos x
(4 x) x
x 2x 2

  









   
   


4. Xét sự hội tụ và tính giá trị (nếu hội tụ) của các tích phân suy rộng dƣới đây

0

2 2 2
1 0 5
d
arctanx 2x 1 dx 1
a) dx; b) dx; c) ; ) dx;
1+x (x 2) 4+x
x x 4
  




   

2x
2
01
dx
i) e dx; k) .
x x 4
 




5. Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau
2
3 2 2
0 3 0 0
x dx sin xdx xdx
a) dx; b) ; c) ; d) ;
x +2x+1 1 x cos x
x(x 1)(x 2) x x
   


   

Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 25

1 1 1
2
x
2 5 4
3
0 0 0
dx x x.dx
e) ; f) dx; g) .
e cosx
(1 x ) 1 x


  

6. Giải các phương trình vi phân có biến số phân ly sau đây
a) lncosydx + xtgydy = 0;
b)
011
22
 dyxydxyx
;
c) (1 + e
2x
)y
2
dy = e
x
dx với điều kiện y(0) = 0;
d)
y

y
y
ln
'

với điều kiện y(2) = 1.
7. Giải các phương trình vi phân tuyến tính sau đây
a) xy' - y = x
2
cosx;
b) (1 + x
2
) y' + y = arctanx;
c) y' sinx - ycosx = 1 với điều kiện
0)(
2


y
;
d)
1
cos
' tan
x
y y x
với điều kiện y(0) = 0;
e)
xyxy arcsin1'
2


với điều kiện y(0) = 0;
f)
3
2
x
x
y
dx
dy

.
8. Giải các phương trình vi phân cấp 2 sau đây:

22
) " 3 ' 4 ; ) " 2 ' ;
) " 5 ' 6 ( 1); ) " 2 ' 10 2;
) " 4 cos2 ; ) " 2(cos sin ).
xx
x
a y y y e b y y y e
c y y y e x d y y y x x
e y y x f y y x x

     
        
     


Bài tập ứng dụng

9.
a) Tìm hàm tổng chi phí theo sản lương Q biết chi phí cố định là 100 (triệu
đồng) và hàm chi phí cận biên MC = 3Q
2
+ 4Q (triệu đồng).
b) Tìm quỹ vốn theo thời gian t biết vốn ban đầu là 5 tỉ và lượng đầu tư là I =
I(t) = 4t
3
+ 3t
2
+ 2t (tỉ đồng).
c) Cho biết hàm cầu và hàm cung đối với một loại hàng hóa nào đó là
Q
d
=
113 p
; Q
s
=
1p
.
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng đối với
loại hàng hóa đó.
10.
a) Tìm hàm tổng chi phí theo sản lương Q biết chi phí cố định là 100 (triệu
đồng) và hàm chi phí cận biên MC = 9Q
2
+ 8Q – 6 (triệu đồng).