Hệ phương trình cơ bản

THPT Hồng Ngự 2
Lê Trung Tín
HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
I. Hệ chứa một phương trình bậc nhất:
Đặc điểm của hệ này là phương trình thứ nhất hoặc phương trình thứ hai có chứa phương trình bậc nhất
2 ẩn ax + by = c. Phương pháp chung để giải hệ này là từ phương trình ax + by = c ta biểu diễn y theo x
(hoặc x theo y) rồi thế vào phương trình còn lại.
Bài 1. Giải hệ phương trình



x + y = 1
x
3
+ y
3
= 3(x − y )
Hướng dẫn
Từ pt thứ nhất, ta được y = x − 1 thế vào phương trình thứ hai
Bài 2. Giải hệ phương trình



x + y = 5
x
4
+ y
4
= 97
Hướng dẫn
Từ pt thứ nhất, ta được y = 5 − x thế vào phương trình thứ hai x

4
+ (x − 5)
4
= 97
Chú ý: Để giải phương trỉnh dạng (x + a)
4
+ (y + b)
4
= c thì ta đặt t = x +
a + b
2
Bài 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm



x + y = m
x
2
− y
2
+ 2x = 2
II. Hệ đối xứng loại 1:
Đặc điểm để nhận dạng hệ đối xứng loại 1 là ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình thứ nhất và phương
trình thứ hai không thay đổi. Phương pháp chung giải hệ đối xứng loại 1 là ta đặt ẩn phụ, thông thường
thì ta đặt S = x + y, P = xy (Điều kiện S
2
− 4P ≥ 0)
Bài 1. Giải hệ phương trình




x
2
+ y
2
+ xy = 3
x
3
y + xy
3
= 2
Hướng dẫn
Đặt S = x + y, P = xy.
Bài 2. Giải hệ phương trình



x
2
y + xy
2
= 20
1
x
+
1
y
=
5
4

Hướng dẫn
Đặt S = x + y, P = xy.
Bài 3. Giải hệ phương trình



x
2
+ y
2
+ x + y = 18
xy(x + 1)( y + 1) = 72
Hướng dẫn
Đặt u = x
2
+ x, v = y
2
+ y.
1
THPT Hồng Ngự 2
Lê Trung Tín
Bài 4. Giải hệ phương trình





x + y +
x
y

+
y
x
= 4
x + y +
x
2
y
+
y
2
x
= 4
Hướng dẫn
Đặt u = x + y, v =
x
y
+
y
x
.
Bài 5. Giải hệ phương trình







(x + y)


1 +
1
xy

= 5
(x
2
+ y
2
)

1 +
1
x
2
y
2

= 49
Hướng dẫn
Đặt u = x +
1
x
, v = y +
1
y
.
III. Hệ đối xứng loại 2:
Đặc điểm để nhận dạng hệ đối xứng loại 2 là ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình thứ nhất trở

phương trình thứ hai và ngược lại. Phương pháp chung giải hệ đối xứng loại 2 là lấy phương trình thứ nhất
trừ phương trình thứ hai sẽ tìm được nhân tử chung x − y.
Bài 1. Giải hệ phương trình:



3x
3
= x
2
+ 2y
2
3y
3
= y
2
+ 2x
2
Hướng dẫn
Điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0. Lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai (x−y)(3(x
2
+xy+y
2
)+x+y) = 0
Bài 2. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:






2x
2
= y +
m
2
y
2y
2
= x +
m
2
x
Hướng dẫn
Nếu (x
0
; y
0
) là nghiệm thì (y
0
; x
0
) cũng là nghiệm. Do đó, hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi y
0
= x
0
. Khi
đó pt 2x
2
0
= x

0
+
m
2
x
0
= 0 có nghiệm duy nhất.
IV. Hệ đẳng cấp:
Dạng



f(x
n
, x
n−1
y, x
n−2
y
2
, . . . , x
2
y
n−2
, xy
n−1
, y
n
) = p
g(x

n
, x
n−1
y, x
n−2
y
2
, . . . , x
2
y
n−2
, xy
n−1
, y
n
) = q
Phương pháp: Xét y = 0; xét y = 0, khi đó đặt x = ty. Sau đó từ phương trình thứ nhất và phương trình
thứ hai ta khử ẩn y, ta được pt h(t) = 0 và giải pt h(t)=0
Bài 1. Giải hệ phương trình:



3x
2
+ 5xy − 4y
2
= 38
5x
2
− 9xy − 3y

2
= 15
Bài 2. Giải hệ phương trình:



x
3
+ y
3
= 1
x
2
y + 2xy
2
+ y
3
= 2
2