giáo án tự chọn toán 12 (bộ 3)

CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN
TOÁN LỚP 12
CÁC CHUYÊN ĐỀ :
 HÀM SỐ
 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
 SỐ PHỨC
 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU-PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin
Kỹ Năng Cơ Bản Giải Đề Thi TNTHPT
Câu I
1. Khảo sát hàm số: Yêu cầu đủ đúng các bước trong bài toán KSHS.
a. Tập xác định.
b. Sự biến thiên
 Giới hạn; đường tiệm cận(nếu có)
 Tính y’; xét dấu y’
 Kết luận về sự đồng biến và nghịch biến; cực trị của hàm số (* Chú ý)
 Lập bảng biến thiên.
c. Đồ thị
 Dựa vào bảng biến thiên xác định đơn vị và vẽ hệ trục tọa độ cho hợp lí.
 Khi vẽ đồ thị phải vẽ hết mặt phẳng tọa độ
2. Bài toán liên quan
2.1 Tiếp tuyến: Biết tọa độ tiếp điểm( hoặc tìm được tọa độ tiếp điểm). Biết hoặc tìm
được hệ số góc.
2.2: Tương giao giữa hai đồ thị: Biến đổi phương trình làm xuất hiện hàm số vừa khảo
sát.
2.3 Bài toán về sự đồng biến; nghịch biến: Lưu ý định lí mở rộng
2.4 Bài toán về cực trị: Sử dụng dấu hiệu 1 và 2
Dạng toán: Tìm cực trị; viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị; tính
khoảng cách giữa hai điểm cực trị.

2.5 Các điểm đặc biệt: Điểm có tọa độ nguyên. Điểm cách đều hai trục tọa độ; điiểm
cách đều hai đường tiệm cận.
Câu II:
1: Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
 Hàm số: Tính đồng biến; nghịch biến và dạng của đồ thị
 Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
Học sinh cần giải các phương trình; bất phương trình đơn giản; có thể đưa về dạng cơ
bản(Bằng các phép biến đổi đã học)
2. GTLN; GTNN của hàm số: Cần nắm vững qui trình tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ
nhất của hàm số trên một khoảng; đoạn.
3. Nguyên hàm, tích phân:
Lưu ý : Kĩ năng nhận dạng ⇒ chọn phương pháp hợp lí.
Chú ý các dạng bài tập tích hợp nhiều phương pháp
(Sau khi biến đổi ra hai tích phân độc lập và sử dụng hai phương pháp riêng biệt)
Câu III:
 Kĩ năng vẽ hình. Tính diện tích; khoảng cách; thể tích
(viết công thức tính; thay các yếu tố đã biết)
 Kĩ năng tính độ dài đoạn thẳng(ghép vào tam giác; chọn tam giác phù hợp)
Câu IV: Rèn luyện:
Kĩ năng tính tọa độ vectơ; điểm. Kĩ năng viết phương trình mặt cầu; ptđt; ptmp.
Ghi nhớ chính xác công thức tính góc; khoảng cách; thể tích; diện tích.
Câu V
1. Số phức: Ôn tập như trong SGK
2. Ứng dụng của tích phân: Ôn tập như trong SGK
- 2 -
Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12
Chủ đề I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Vấn đề 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
B1: Tìm tập xác định của hàm số

B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x
i
(i = 1; 2;…;n) mà tại đó y’=0 hoặc
không xác định.
B3: Sắp xếp các điểm x
i
theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
B4: dựa vào định lý sau để Nêu kết luận về các khoảng đồng biến; nghịch biến.
Định Lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

•
Nếu f '(x) > 0,
x K
∀ ∈
thì y = f(x) đồng biến trên K.

•
Nếu f '(x) < 0,
x K∀ ∈
thì y = f(x) nghịch biến trên K.
*Chú ý: Nếu f
′
(x) = 0,
x K
∀ ∈
thì f(x) không đổi trên K.
Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số
 Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số:
a) y = x
3

– 3x
2
+ 2 b) y = − x
4
+ 4x
2
– 3 c)
1
2
+
=
−
x
y
x
d)
3
2
=y x
e) y = x – e
x

Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.
 Chứng minh hàm số
2
2= −y x x
nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Chứng minh hàm số
2
9= −y x

đồng biến trên nửa khoảng [3; +
∞
).
Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến; nghịch biến
trên khoảng xác định cho trước
Phương pháp:  Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số.
 Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai.
 f(x) đồng biến trên K ⇔ f’(x) ≥ 0; ∀x ∈ K ( ⇔
x K
min f'(x) 0
∈
≥
)
 f(x) nghịch biến trên K ⇔ f’(x) ≤ 0; ∀x ∈ K ( ⇔
x K
max f'(x) 0
∈
≤
)
Hàm số bậc 3
 Tập xác định
 Đạo hàm y
/
( y’ = 0 ⇔ ax
2
+ bx + c = 0)
 Hàm số tăng trên  (từng khoảng xác định): y
/
≥ 0; ∀x ∈  ⇔
0

0
>


∆ ≤

a
. Giải Tìm m.
 Hàm số giảm trên  (từng khoảng xác định): y
/
≤ 0; ∀x ∈  ⇔
0
0
<


∆ ≤

a
. Giải Tìm m.
Chú ý: Nếu hệ số a của y
/
có tham số thì phải xét khi a = 0
Hàm số nhất biến :
+
=
+
ax b
y
cx d

 Tập xác định  Đạo hàm y
/
 Hàm số tăng (giảm) trên từng khoảng xác định : y
/
> 0 ( y
/
< 0 ) ⇔ ad − bc (tử) > 0
(<0)
Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 0
Tổng quát: “Tìm m để hàm số y = f(x;m) đồng biến trên K”.
B1. Tính đạo hàm f’(x;m).
B2. Lý luận: Hàm số đồng biến trên K ⇔ f’(x;m) ≥ 0; ∀x ∈ K ⇔ m ≥ g(x); ∀x∈K (m
≤ g(x))
B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.
 Tìm giá trị của tham số a để hàm số
3 2
1
( ) ax 4 3
3
= + + +f x x x
đồng biến trên .
- 3 -
Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin
 Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
2 2 2 2 5
3
−

 
= − − + − +
 ÷
 
m
y x m x m x
a. Định m để hàm số luôn luôn đồng biến;
b. Định m để hàm số luôn luôn nghịch biến
 Định m để hàm số
2 2
2 3
2
− +
=
−
x mx m
y
x m
đồng biến trong từng khoảng xác định .
 Tìm m để hàm số
( ) ( )
3
2
1
1 3 2
3 3
= − − + − +
mx
y m x m x
luôn đồng biến trên 

 Định m để hàm số:
2
1
= + +
−
m
y x
x
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT (nâng cao)
 Đưa BĐT về dạng f(x)>0 (hay f(x)≥ 0);∀x∈(a;b)
 Tính f’(x); xét dấu f’(x) suy ra f(x) đồng biến (hay nghịch biến trên (a;b)
 Áp dụng định nghĩa:
f(x) đồng biến ⇔ x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) < f(x
2
); f(x) nghịch biến ⇔ x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) > f(x
2
)

 Kết luận BĐT cần phải chứng minh.
( f(x) đồng biến / [a; b] thì f(a) ≤ f(x) ≤ f(b); f(x) nghịch biến /[a; b] thì f(a) ≥ f(x) ≥
f(b))
1) Chứng minh: sinx + tanx > 2x với mọi x ∈ K =
0;
2
 
 ÷
 
π

Giải: Xét f(x) = sinx + tanx – 2x liên tục /K ta có
2
1
f'(x) = cos 2
cos
+ −x
x
.
∀x
∈
K ta có 0< cosx <1 ⇒ cosx > cos
2
x nên f’(x) > cos
2
x +
2
1
cos x
− 2 =

2 2
2
(cos 1)
cos
−x
x
>0
⇒ f đồng biến/
0;
2
 
 ÷
 
π
⇒ f(x) > f(0) ∀x
0;
2
 
∈
 ÷
 
π
⇒ ĐPCM
2) CMR: a) f(x) = 2sinx + tanx −3x tăng trên
0;
2
 
÷

 

π
. b)
2sin tan 3 , 0;
2
 
+ > ∀ ∈
 ÷
 
x x x x
π
.
a) Hàm số liên tục trên
0;
2
 
÷

 
π
và f’(x) =
( ) ( )
2
2
1 cos 2cos 1
0, 0;
2cos
x x
x
x
π

− +
 
> ∀ ∈
 ÷
 
⇒ Kết quả.
b) Từ câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0;
0;
2
 
∀ ∈
 ÷
 
x
π

2sin tan 3 , 0;
2
 
⇔ + > ∀ ∈
 ÷
 
x x x x
π
(đpcm).
3) CMR: a) f(x) = tanx − x đồng biến trên
0;
2
 
÷


 
π
. b)
3
tan , 0;
3 2
 
> + ∀ ∈
 ÷
 
x
x x x
π
.
Vấn đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp: Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó
f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí
hiệu là x
i
là các nghiệm của nó.

B3: Tính f ”(x
i
)
B4: Dựa vào dấu của f ” (x
i
) suy ra cực trị
 f ”(x
i
) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x
i
;
 f ”(x
i
) < 0 thì hàm số có cực đại tại x
i
- 4 -
Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12
Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x)
= 0 phức tạp.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số
3 2
2 3 36 10= + − −y x x x
Qui tắc I
D = 
2
2
' 6 6 36
2
' 0 6 6 36 0
3

= + −
=

= ⇔ + − = ⇔

= −

y x x
x
y x x
x
Vậy x =
−3 là điểm
cực đại và
y
cđ
=71
x= 2
là điểm cực tiểu và y
ct
= − 54
Qui tắc II
D = 
2
2
' 6 6 36
2
' 0 6 6 36 0
3
= + −

=

= ⇔ + − = ⇔

= −

y x x
x
y x x
x
y”= 12x + 6
y’’(2) = 30 > 0
nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y
ct
= − 54
y’’(−3) = −30 < 0
nên hàm số đạt cực đại tại x = −3 và y
cđ
=71
Tìm cực trị của các hàm số sau:

2 3 4 3 3 2
4 2 3 2 3
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432 . y = x 3 24 7
d. y = x 5x + 4 e. y = 5x + 3x 4x + 5 f. y = x 5x
− − + − − +
− − − − −
a x x c x x

2 2 2

2 2
x+1 x 5 (x - 4) x 3 3
. y = b. y = c. y = . y =
1 1x 8 2 5
+ − − +
+ −+ − +
x x
a d
x xx x

2
2 2 2
x+1 5 - 3x x
. y = x 4 - x b. y = c. y = . y = e. y = x 3 - x
x 1 1 - x 10 - x+
a d
*
. sin 2 +2 . 3 2cos cos2 . 2sin cos 2 ( [0; ])= − = − − = + ∈a y x x b y x x c y x x x
π
Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị
I) điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a
B1: Tính y’ = f’(x)
B2:
'( ) 0
''( ) 0
f a
f a
=



≠

tìm được giá trị của m
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a
thì f’(a) = 0 không kể CĐ hay CT)
II) điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = a
'( ) 0
''( ) 0
f a
f a
=



p
tìm được giá trị của m
III) điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = a
'( ) 0
''( ) 0
f a
f a
=



f
tìm được giá trị của m
IV) Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu)
y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
0

0a
∆

⇒

≠

f
V) Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị
Y’=0 có 3 nghiệm phân biệt
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ ( m − 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
Ta có
2
' 3 6 1= − + −y x mx m
.
Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0
2
3.(2) 6 .2 1 0 1⇔ − + − = ⇔ =m m m
- 5 -
+∞
− ∞
− 54
71
+
+
−

0
0
2
− 3
+ ∞
−∞
y
y'
x
Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin
Với m = 1 ta được hàm số: y = x
3
– 3x
2
+ 2 có :
2
0
' 3 6 ' 0
2
=

= − ⇒ = ⇔

=

x
y x x y
x
tại x = 2
hàm số đạt giá trị cực tiểu . Vậy m = 1 là giá trị cần tìm

 Xác định m để hàm số y = mx
3
+ 3x
2
+ 5x + 2 đạt cực đại tại x = 2.
 Tìm m để hàm số
3 2
2
( ) 5
3
= − + − +y x mx m x
có cực trị tại x =1. Đó là CĐ hay CT
 Tìm m để hàm số
2
1+ +
=
+
x mx
y
x m
đạt cực đại tại x = 2.
 Tìm m để hàm số y = x
3
– 2mx
2
+ m
2
x – 2 đạt cực tiểu tại x = 1.
 Tìm các hệ số a; b; c sao cho hàm số f(x) = x
3

+ ax
2
+ bx + c đạt cực tiểu tại điểm x
= 1; f(1) = −3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
Hàm sô y = f(x) có y’ = 0 ⇔ ax
2
+ bx + c=0 có 2 nghiệm phân biệt.
 hàm số có 2 cực trị
'
0
0
≠


⇔

∆ >


y
a
.
 hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi y
CĐ
.y
CT
< 0.
 hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục Oy khi x

CĐ
.x
CT
< 0.
 hai cực trị nằm phía trên trục Ox khi
0
. 0
+ >


>

CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
.
 hai cực trị nằm phía dưới trục Ox khi
0
. 0
+ <


<

CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
.

 đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi y
CĐ
.y
CT
= 0
1. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
a) y = (m + 2)x
3
+ 3x
2
+ mx + m (−3 < m < 1 và m ≠ 2); b) y =
2 2 2
2
1
+ +
+
x m x m
x
(−1<m<1)
2. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị
a) y = (m − 3)x
3
− 2mx
2
+ 3. b) y =
2
+ +
+
mx x m
x m

(m=0)
3*. Cho
( )
( )
( )
3 2 2
3 1 2 7 2 2 2= − + + + + − +y x m x m m x m m
. Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại;
cực tiểu .
HD  :
( )
( )
2 2
' 3 6 1 2 7 2= − + + + +y x m x m m
( )
( )
2 2
' 0 3 6 1 2 7 2 0= ⇔ − + + + + =y x m x m m
…….KQ:
4 17 4 17< − ∨ > +m m

Vấn đề 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT −GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Cách 1 : Tìm GTLN và GTNN trên khoảng (a ;b)
B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
B2: Xét dấu đạo hàm f’(x); lập bảng biến thiên, Trong đó tại x
0
thì f’(x
0
) bằng
0 hoặc không xác định

Cách 2: Để tìm GTLN; GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]
B1: Tìm y’,y’=0 tìm
[ ]
;
i
x a b∈
B2: Tính f(a); f(x
1
); f(x
2
); …; f(x
n
); f(b).
B3: GTLN = Max{ f(a); f(x
1
); f(x
2
); …; f(x
n
); f(b)}
GTNN = Min{ f(a); f(x
1
); f(x
2
); …; f(x
n
); f(b)}
- 6 -
Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

1
= +y x
x
trên khoảng
(0; )+∞
Hướng dẫn: hàm số xác định nên liên tục trên
(0; )+∞
2
2 2
1
1 1
' 1 , ' 0
1 (0; )
=

−
= − = = ⇔

= − ∉ +∞

x
x
y y
x
x x
. Lập BBT
KL:
(0; )
min ( )
+∞

f x
= 2 khi x = 1 và hàm số không có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 2. Tính GTLN; GTNN của hàm số
3
2
2 3 4
3
= + + −
x
y x x
trên đoạn [−4; 0]
Hướng dẫn Hàm số xác định nên liên tục trên [−4; 0].
f’(x) = x
2
+ 4x +3; f’(x)=0 ⇔
1
3
= −


= −

x
x
.
16 16
( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 4
3 3
− −
− = − = − − = = −f f f f

Vậy:
[-4;0]
Max
∈x
f(x) = f(−3) = f(0) = − 4;
[-4;0]
Min
∈x
f(x) = f(−4) = f(−1) =
16
3
−
VD3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3 2
2y x x x= − − +
trên đoạn:
a) [–1; 2] b) [–1; 0]
c) [0; 2] d) [2; 3]
2
3 2 1y x x' = − −
;
1
0
3
1
x
y
x
'


= −

= ⇔

=


1 59
3 27
y
 
− =
 ÷
 
;
1 1y( ) =
a) y(–1) = 1; y(2) = 4
⇒

[ ]
1 2
1 1 1y y y
;
min ( ) ( )
−
= − = =

[ ]
1 2
2 4max y y

;
( )
−
= =
b) y(–1) = 1; y(0) = 2
⇒

[ ]
1 0
1 1y y
;
min ( )
−
= − =

[ ]
1 0
1 59
3 27
max y y
;−
 
= − =
 ÷
 
c) y(0) = 2; y(2) = 4
⇒

[ ]
0 2

1 1y y
;
min ( )= =

[ ]
( )
0 2
2 4max y y
;
= =
d) y(2) = 4; y(3) = 17
⇒

[ ]
2 3
2 4y y
;
min ( )= =
[ ]
( )
2 3
3 17max y y
;
= =
1. Tính GTLN, GTNN của hàm số:
a)
3 2
3 9 35y x x x= − − +
trên các đoạn [–4; 4], [0; 5].
b)

4 2
3 2y x x= − +
trên các đoạn [0; 3], [2; 5]
c)
2
1
x
y
x
−
=
−
trên các đoạn [2; 4], [–3; –2].
d)
5 4y x= −
trên [–1; 1].
Giải
a)
[ ]
[ ]
4 4
4 4
0 5
0 5
41 40
8 40
y y
y y
[ ; ]
;

[ ; ]
;
min ; max
min ; max
−
−
= − =
= =
b)
[ ]
[ ]
0 3
0 3
2 5
2 5
1
56
4
6 552
y y
y y
[ ; ]
;
[ ; ]
;
min ; max
min ; max
= − =
= =
c)

[ ]
[ ]
2 4
2 4
11
11
2
0
3
1 3
y y
y y
[ ; ]
;
[ ; ]
;
min ; max
min ; max
−
−
= =
= =
d)
11 11
1 3y y
[ ; ] [ ; ]
min ; max
− −
= =
2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a)
2
4
1
y
x
=
+
b)
3 4
4 3y x x= −
c)
y x=
d)
4
0y x x
x
( )= + >
Giải
- 7 -
Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin
a)
4
R
ymax =
; không có GTNN b)
1
R
ymax =
; không có GTNN

c)
0
R
ymin =
; không có GTLN d)
0
4y
( ; )
min
+∞
=
;không có GTLN
Luyện tập. Tìm GTLN; GTNN của hàm số (nếu có):
 a) y = x
3
+ 3x
2
– 9x + 1 trên [−4; 4]; b) y = x
3
+ 5x – 4 trên [−3; 1]
c) y = x
4
– 8x
2
+ 16 trên [−1; 3]; d) y = x
3
+ 3x
2
– 9x – 7 trên [−4; 3]
 a) y =

x
x + 2
trên (−2; 4]; b) y = x + 2 +
1
x 1−
trên (1; +∞);
c) y=
1
cosx
trên
3
;
2 2
 
 ÷
 
π π
; d) y = x
2
1 x−
;
e) y = x
2
.e
x
trên [−1;1]; f) y =
2
ln
x
x

trên [e;e
3
]. g) y= ln(x
2
+x−2) trên [ 3; 6]
 a.
3
4
f(x)=2sin sin
3
−x x
trên
[ ]
0;
π
(
3 2 3
( ) ( ) ;m (0) ( ) 0
4 4 3
= = = = = =M f f f f
π π
π
)
b.
f(x)= 2 cos2 4sin+x x
trên
0;
2
 
 

 
π
(
( ) 2 2; m (0) 2
4
= = = =M f f
π
)
c. f(x) = x
2
ln(1−2 x) trên đoạn [−2;0] (
1 1
( 2) 4 ln 5; m ( ) ln 2
2 4
= − = − = − = −M f f
)
d.f(x) = sin
3
x − cos2x + sinx + 2 (. M = 5;m =
23
27
)
e. f(x) = cos
3
x − 6cos
2
x + 9cosx + 5 ( M = 9;m = −11)
Vấn Đề 4: Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số
I. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG
1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn. Đường thẳng y = y
0
là tiệm cận
ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả
mãn:
0
x
f x ylim ( )
→+∞
=
,
0
x
f x ylim ( )
→−∞
=
Chú ý: Nếu
0
x x
f x f x ylim ( ) lim ( )
→+∞ →−∞
= =
thì ta viết chung là
0
x
f x ylim ( )
→±∞
=
2. Cách tìm tiệm cận ngang
Nếu tính được

0
x
f x ylim ( )
→+∞
=
hoặc
0
x
f x ylim ( )
→−∞
=
thì đường thẳng y = y
0
là TCN của
đồ thị hàm số y = f(x).
VD1: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:
a)
2 1
1
x
y
x
−
=
+
b)
2
1
1
x

y
x
−
=
+
c)
2
2
3 2
1
x x
y
x x
− +
=
+ +
d)
1
7
y
x
=
+
VD2: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:
a)
2
1
3
x
y

x x
−
=
−
b)
3
2 1
x
y
x
+
=
−
c)
2
2
3 2
3 5
x x
y
x x
− +
=
− +
d)
7
x
y
x
=

+
II. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG
1. Định nghĩa
Đường thẳng x = x
0
đgl tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một
trong các điều kiện sau được thoả mãn:
- 8 -
Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12
0
x x
f xlim ( )
+
→
= +∞
;
0
x x
f xlim ( )
+
→
= −∞
;
0
x x
f xlim ( )
−
→
= +∞
;

0
x x
f xlim ( )
−
→
= −∞
2. Cách tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Nếu tìm được
0
x x
f xlim ( )
+
→
= +∞
hoặc
0
x x
f xlim ( )
+
→
= −∞
, hoặc
0
x x
f xlim ( )
−
→
= +∞
, hoặc
0

x x
f xlim ( )
−
→
= −∞
thì đường thẳng x = x
0
là TCĐ của đồ thị hàm số y = f(x).
VD1: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:
a)
2 1
3
x
y
x
+
=
−
b)
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
c)
2

1
3
x
y
x x
−
=
−
d)
1
7
y
x
=
+
VD2: Tìm TCĐ và TCN của đồ thị hàm số:
a)
2
1
3 2
x
y
x x
−
=
− +
b)
2
3
2

x
y
x x
−
=
+ −
c)
3
2 1
x
y
x
+
=
−
d)
2
2
3
2
x x
y
x x
+ −
=
+ +
1. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
a)
2
x

y
x
=
−
b)
7
1
x
y
x
− +
=
+
c)
2 5
5 2
x
y
x
−
=
−
d)
7
1y
x
= −
2. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
a)
2

2
9
x
y
x
−
=
−
b)
2
2
1
3 2 5
x x
y
x x
+ +
=
− −
c)
2
3 2
1
x x
y
x
− +
=
+
d)

1
1
x
y
x
+
=
−
3. Tìm m để đồ thị hàm số có đúng hai TCĐ:
a)
2
3
2 2 1
y
x mx m
=
+ + −
b)
2
2
2
3 2( 1) 4
x
y
x m x
+
=
+ + +
c)
2

3
2
x
y
x x m
+
=
+ + −
Vấn đề 4. Khảo sát hàm số
 Tìm tập xác định của hàm số .
 Tính đạo hàm y’; tìm nghiệm của phương trình y’= 0.hoặc y’ không xác định
 Tìm các giới hạn tại vô cực; các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
 Lập bảng biến thiên.
Ghi các kết quả của hàm số: đồng biến,nghịch biến, điểm cực đại,điểm cực tiểu (nếu
có)
 Tìm điểm đặc biệt và tính đối xứng của đồ thị. Vẽ đồ thị.

Hàm số bậc ba: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
− Xét y’ = 0 : ∆ ≤ 0 luôn đồng biến ( a > 0) hoặc nghịch biến (a < 0) trên 
∆ > 0 có 2 điểm cực trị.
- 9 -
Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin
− Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn I(x
o
; y
o

) với x
o
là nghiệm của phương trình
0
′′
=y

Hàm số trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)
− Có 1 cực trị ( a.b ≥ 0) hoặc có 3 cực trị (a. b < 0)
− Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

Hàm nhất biến: y =
+
+
ax b
cx d
(c ≠ 0; ad – bc ≠ 0)
− Luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên (−∞; −
d
c
) và (−
d
c
; +∞).
− Tiệm cận đứng: x = −
d

c
; tiệm cận ngang y =
a
c
.
− Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
Vấn đề 5. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: Sự tương giao giữa 2 đồ thị:
a) Bài toán 1:
Tìm số giao điểm của hai đường
( )
1
C
:
( )
=y f x
và
( )
2
C
:
( )
=y g x
 Lập phương trình hoành độ giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2

C
:
( ) ( )
=f x g x
.
 Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm chính là số giao điểm của hai
đường.
b) Bài toán 2: Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình
 Biến đổi phương trình đã cho về phương trình hoành độ giao điểm (một vế là
phương trình của hàm số đã có đồ thị (C); một vế là phần còn lại
 Lập luận: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của (C) và (d).
 Dựa vào đồ thị; ta tìm các giá trị m ảnh hưởng đến số giao điểm của (C) và (d)
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x)
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại điểm
( )
0 0 0
M x f x; ( )
∈
(C).
→
0 0 0
y y f x x x'( ).( )− = −
(y
0
= f(x
0
))
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x), biết tiếp tuyến có hệ số góc
k.
→ Gọi M (x

0
; y
0
) là toạ độ của tiếp điểm.
⇒
f
′
(x
0
) = k(*) Giải pt (*), tìm được x
0
. Từ
đó viết pttt.
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x), biết tiếp tuyến đi qua điểm
A(x
1
; y
1
).
VD2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số sau tại các giao điểm của
(C) với trục hoành:
3
2 3y x x= + −
Phương trình có dạng: y – y
o
= k (x – x
o
) ( hệ số góc tiếp tuyến k = f’(x
o
) )

a) Tại M
o
(x
o
; y
o
): tìm hệ số góc tiếp tuyến k = f’(x
o
).
b) Biết hệ số góc k của tiếp tuyến: sử dụng
0
( )
′
=k f x
tìm x
0
; tìm y
0
.
 Tiếp tuyến ∆ // d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = a ⇔ f’(x
0
) = a; giải
phương trình tìm x
0
; thế x
0
vừa tìm được vào (C) tìm y
0
.
 Tiếp tuyến ∆ ⊥ d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k =

1
−
a
⇔ f’(x
0
) =
1
−
a
;
giải phương trình tìm x
0
; thế x
0
vừa tìm được vào (C) tìm y
0
.
Bài 1: 1/Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = 2x
3
– 3x
2

- 10 -
Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12
2/Tìm k để phương trình : 2x
3
– k= 3x
2
+1 có 3 nghiệm phân biệt. Đáp số :( − 2 < k <
−1)

Bài 2: Cho hàm số y = x
4
+ kx
2
− k −1 ( 1)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi k = −1
2/ Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=
2
x
− 1.
ĐS : y= −2x−2
3/. Xác định k để hàm số ( 1 ) đạt cực đại tại x = −2.
Bài 3: 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = (x−1)
2
( 4 − x )
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn của (C) .
ĐS : y = 3x − 4
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) qua A( 4 ; 0 ) .
Đáp số : y = 0 và y = −9x + 36
Bài 4: Cho hàm số y=
1
2
x
4
– ax
2
+ b
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a =1 ; b = −
3
2

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với Ox
Đáp số :
4 3. 12= − −y x
và
4 3. 12= −y x
Bài 5: a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=
1
2
x
4
− 3x
2
+
3
2
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm uốn .
Đáp số : y = 4x+3 và y = −4x +3
c/ Tìm các tiếp tuyến của (C) đi qua diểm A ( 0;
3
2
).
Đáp số : y = 0 ; y =
3
2 2.
2
± +x
Bài 6: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2

+ mx + m − 2 có đồ thị (Cm )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m= 3
2/ Gọi A là giao điểm của (C) và trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại
A.
3/ Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Bài 7: Cho hàm số y=
3 2
2
2
3 2
+ −
x x
m
có đồ thị ( Cm )
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị(C) của hàm số với m = −1
2/ Xác định m để ( C
m
) đạt cực tiểu tại x = −1.
3/ Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến vuông góc ∆: y= −
5
2 2
+
x
.
Đs: y =
19
2
6
−x
; y =

4
2
3
+x
Bài 8 :1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= −
1
3
x
3
– 2x
2
− 3x + 1
2/ Tìm các giá trị của m để pt :
1
3
x
3
+ 2x
2
+ 3x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt
3/ Tìm m để pt :
1
3
x
3
+2x
2
+3x −2 + m
2
= 0 có 1 nghiệm

4/ Viết pttt của (C) song song với đường thẳng y = −3x
Bài9 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x
3
– 3x +1
2/ Một đường thẳng d đi qua điểm uốn của (C)và có hệ số góc bằng 1. Tìm toạ độ giao
điểm của d và (C). ĐS: ( 0; 1) (2; 3 ) ( −2; −1 )
- 11 -
Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin
Bài 10 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = −
4 2
1 9
2
4 4
+ +x x
2/ Vẽ và viết pttt với đồ thị (C) tại tiếp điểm có hoành độ x= 1. ĐS: y=
3x+1
Bài 11 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x
3
− 6x
2
+ 9x
2/. Với các giá trị nào của m ; đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt .
Bài 12 : 1/. Tìm các hệ số m và n sao cho hàm số : y = − x
3
+ mx + n đạt cực tiểu tại
điểm x = −1 và đồ thị của nó đi qua điểm ( 1 ; 4)
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với các giá trị của m ; n tìm được .
Bài 13: : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =
3 2
1

−
−
x
x
2/. Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân
biệt.
ĐS :
6 2 5; 6 2 5
0

< − − > − +


≠


m m
m
Bài 14 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x
4
+ x
2
−3
2/. CMR đường thẳng y = −6x−7 tiếp xúc với đồ thị của hàm số đã cho tại điểm có
hoành độ bằng −1 .
Bài 15 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y =
3
2 1
− +
+

x
x
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a) tại giao điểm của (C) với trục hoành . b) tại giao điểm của (C) với trục tung .
c) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) : 7x – y +2 =0
Bài 16 : Cho hàm số y =
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
−
+ − + + −x a x a x
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 0
2/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn của (C) .
ĐS : y =
11
4
3
−x
Bài 17 : Cho hàm số y = x
3
+ ax
2
+ bx +1
1/. Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua 2 điểm A( 1; 2); B( −2; −1).
ĐS : a = 1 ; b = −1
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với a và b tìm được .
Bài 18 : Cho hàm số y = x
4
+ ax

2
+ b
1/. Tìm a và b để hàm số có cực trị bằng
3
2
khi x = 1.
ĐS : a = −2 ; b =
5
2
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với a =
1
2
−
và b = 1 .
3/. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1 .
Bài 19 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =
2
2 − x
2/. Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị của hàm số y = x
2
+ 1 . Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) tại mỗi giao điểm .
ĐS : y =
1
1
2
+x
; y = 2x
Bài 20 : Cho Hàm số
2 1

2
x
y
x
+
=
−
(TN2009)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
- 12 -
Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -5
Bài 21 : Cho hàm số
3 2
1 3
5
4 2
y x x= − +
(TN2010)
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
d) Tìm các giá trị của m để phương trình
3 2
6 0x x m− + =
có 3 nghiệm thực phân
biệt
Bài 22 :Cho hàm số
2 1
2 1
x
y

x
+
=
−
(TN2011)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)của hàm số trên
b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị(C) với đường thẳng
2y x= +
Bài 23.cho hàm số
3 2 2
3y x x m x m= − + +
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b) tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại,cực tiểu và các điểm cực đại và
cực tiểu của đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng
1 5
2 2
y x= −
(đề 1)
Bài 24.cho hàm số
3 2
6 9y x x x= − +
(đề 4)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b) từ đồ thị hàm số đã cho suy ra đồ thị của hàm số
3 2
6 9y x x x= − +
Bài 25.cho hàm số
4 2
5 4y x x= − + −
(đề 7)

a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b) xác định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt
4 2 2
5 3 0x x m m− − + =
Bài 26. cho hàm số
3
1 2
3 3
y x x= − +
(đề 8)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b)tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị C vuông góc với đường
thẳng
1 2
3 3
y x= − +
Bài 27. cho hàm số
3
1
3
y x x m= − +
( đề 10)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m=
2
3
b) tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Bài 28. cho hàm số
3 2
2y x x x= − +
(đề 16)

a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b) tìm diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng
4y x=
Bài 29.cho hàm số
3
3y x x= −
(đề 19)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b)chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng cho bởi phương trình
( 1) 2y m x= + +
luôn cắt đồ thị hàm số tại một điểm A cố định.
Bài 30. cho hàm số
3 2
3( 1) 3 ( 2) 1y x a x a a x= − − + − +
(đề 20)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi a=0
b) với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho:
1 2x≤ ≤
Bài 31. cho hàm số
3 2
1
1
3
y x mx x m= − − + +
(đề 25)
- 13 -
Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m=0
b)trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số đã khảo sát hãy tìm tiếp tuyến có hệ
số góc nhỏ nhất

c) chứng minh với mọi m, hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu. hãy xác định m
sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất.
Bài 32 .cho hàm số
3 2
3y x x= −
(đề 29)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b) viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số trên, biết rằng tiếp tuyến ấy
vuông góc với đường thẳng
1
3
y x=
Bài 33.cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
(đề 39)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b) cho điểm A(0;a). xác định a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến C sao cho hai tiếp
điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox
Bài 34. .cho hàm số
4 2 2
( 10) 9y x m x= − + +
(đề 40)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m=0

b) chứng minh rằng với mọi
0m
≠
đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành tại 4 điểm
phân biệt.chứng minh rằng trong số các giao điểm đó có hai điểm nằm trong khoảng (-
3;3) và có 2 điểm nằm ngoài (-3;3)
Bài 35 cho hàm số
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
(đề 41)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m=1
b)chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn đạt cực trị tại
1 2
;x x
với
2 1
x x−
không phụ
thuộc vào m
- 14 -
Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12
Chủ đề II
HÀM SỐ; PHƯƠNG TRÌNH; BPT MŨ ; LÔGARIT.
TÓM TẮT KIẾN THỨC:
1) Luỹ thừa:
 Các công thức cần nhớ:
0
1
1; ;
−

= = =
m
n
n m
n
n
a a a a
a
 Tính chất của lũy thừa:
.
+
=
m n m n
a a a
;
−
=
m
m n
n
a
a
a
;
( )
=
n
m mn
a a
;

( )
.=
n
n n
ab a b
;
 
=
 ÷
 
n
n
n
a a
b b
;
 Quy tắc so sánh: + Với a > 1 thì
> ⇔ >
m n
a a m n
+ Với 0 < a < 1 thì
> ⇔ <
m n
a a m n
2) Căn bậc n:
. .=
n n n
a b a b
;
=

n
n
n
a a
b
b
;
( )
=
m
n
m
n
a a
;
=
m
n mn
a a
3) Lôgarit:
 Định nghĩa: Cho
, 0; 1> ≠a b a
:
log = ⇔ =
a
b a b
α
α
 Tính chất:
log

log 1 0; log 1; log ;= = = =
a
b
a a a
a a a b
α
α
 Quy tắc so sánh: + Với a > 0 thì:
log log> ⇔ >
a a
b c b c
+ Với 0 < a <1 thì:
log log> ⇔ <
a a
b c b c
 Quy tắc tính:
( )
1 2 1 2
log . log log= +
a a a
b b b b
;
1
1 2
2
log log log= −
a a a
b
b b
b

;
log log=
a a
b b
α
α
;
1
log log=
a
a
b b
α
α
 Công thức đổi cơ số:
log
log
log
=
a
b
a
c
c
b
hay
log .log log=
a b a
b c c
1

log
log
=
a
b
b
a
hay
log .log 1=
a b
b a
;
 Chú ý: Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx hoặc lgx, Lôgarit cơ số e kí
hiệu là lnx
Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1) Hàm số mũ y = a
x
:  TXĐ:  ; y = a
x
> 0 với mọi x.
 Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1; nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1.
2) Dạng cơ bản:
)x(glog)x(f
0)x(g,1a0
)x(ga
);x(g)x(f
1a0
aa
a
)x(f)x(g)x(f

=⇔



>≠<
=
=⇔



≠<
=



<
<<
∨



>
>
⇔>
)x(g)x(f
1a0
)x(g)x(f
1a
aa
)x(g)x(f

Dạng 1:Phương pháp Đưa về cùng cơ số
1.Biến đổi đưa về dạng :
( ) ( )f x g x
a a=
• Chú ý đến các công thức sau:

0
. ; ; ( )
1
1;
x x
x
x y x y x y
y x
x
x
a a a
a a a a
ba b
a a
a
+ −
−
= = =
= =
Ví dụ 1)
2
3 2
1
2

4
+ −
=
x x
; 2)
2
3 1
1
3
3
− +
 
=
 ÷
 
x x
; 3)
1 2
2 2 36
+ −
+ =
x x
; 4)
2 1
5 .2 50
−
=
x x
1) pt ⇔
2

3 2 2
2 2
+ − −
=
x x
⇔ x
2
+ 3x – 2 = −2 ⇔ x
2
+ 3x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = − 3
- 15 -
Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin
2) pt ⇔
2
( 3 1) 1
3 3
− − +
=
x x
⇔ …⇔ x
2
– 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2
3) pt ⇔
2
2.2 36
4
+ =
x
x
x x 4

8.2 2
36 9.2 36.4 2 2 4
4
+
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
x x
x
4)
2 1
20
4
5 .2 50 5 . 50 20 100 log 100
2
−
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
x
x x x x
x
3.Biến đổi về dạng Phương Trình Tích: A(x).B(x)=0
2.Biến đổi về dạng :
( )
( ) log ;(0 1; 0)
f x
a
a b f x b a b= ⇒ = ≠p f

Dạng 2. đặt ẩn phụ (Đưa phương trình về dạng phương trình bậc 2,3)
1.Biến đổi đưa phương trình về dạng:
2. ( ) ( )
. 0

f x f x
m a na b+ + =
Cách giải: B1: đặt
( )f x
t a=
ĐK
0t f
B2: Phương trình trở thành
2
. 0m t nt b+ + =
2.Biến đổi đưa về dạng:
( ) ( )
. 0
f x f x
m a na b
−
+ + =
Cách Giải: B1: đặt
( )f x
t a=
ĐK
0t f
B2 Phương trình trở thành
1
. 0mt n b
t
+ + =

Ví dụ 1)
2 8 5

3 4.3 27 0
+ +
− + =
x x
; 2)
25 2.5 15 0− − =
x x
; 3)
2 2
3 3 24
+ −
− =
x x
1) pt ⇔
8 2 5
3 .3 4.3 .3 27 0− + =
x x
( )
2
6561. 3 972.3 27 0⇔ − + =
x x
(*)
Đặt t = 3
x
> 0 ta có phương trình (*) ⇔ 6561t
2
– 972t + 27 = 0 ⇔
1 1
9 27
= ∨ =t t

Với
2
1
3 3 2
9
−
= ⇔ = ⇔ = −
x
t x
; Với
3
1
3 3 3
27
−
= ⇔ = ⇔ = −
x
t x
2) pt ⇔
( )
2
5 2.5 15 0− − =
x x
(*). Đặt
5 0= >
x
t
; (*)
2
5

2 15 0
3 (loai)
=

⇔ − − = ⇔

= −

t
t t
t
Với t = 5 ⇔ 5
x
= 5 ⇔ x = 1. Vậy phương trình có nghiệm: x = 1.
3) pt ⇔
( )
2
9
9.3 24 0 9. 3 24.3 9 0
3
− − = ⇔ − − =
x x x
x
(*)
Đặt
3 0= >
x
t
. Pt (*)
2

3
9t 24 9 0
1
( loai)
3
=


⇔ − − = ⇔

= −


t
t
t
Với
3 3 3 1
= ⇔ = ⇔ =
x
t x
; Vậy phương trình có nghiệm:
1=x
Bài tập: (TNBTT2010) giải : 9
x
– 3
x
– 6 = 0. (TNBTT2007)
1
7 2.7 9 0

−
+ − =
x x

a) 2
2x + 5
+ 2
2x + 3
= 12 b) 9
2x +4
− 4.3
2x + 5
+ 27 = 0 c) 5
2x + 4
– 110.5
x + 1
– 75 = 0
d)
1
5 2 8
2 0
2 5 5
+
   
− + =
 ÷  ÷
   
x x
e)
3

5 5 20
−
− =
x x
f)
( ) ( )
4 15 4 15 2− + + =
x x
g)
(
)
(
)
5 2 6 5 2 6 10+ + − =
x x
2 1
)3 9.3 6 0
+
− + =
x x
h
i)
2 2
2 9.2 2 0
+
− + =
x x

Dạng 3. Logarit hóạ
1.phương pháp lấy logarit hai vế với cơ số thích hợp

Dạng Tổng Quát:
( ) ( ) ( )
. .
f x g x h x
a b c d=
Cách Giải: Lấy logarit hai vế ta có

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
log ( . . ) log
log log log log
( ) ( )log ( )log log
f x g x h x
a a
f x g x h x
a a a a
a a a
a b c d
a b c d
f x g x b h x c d
=
⇒ + + =
⇒ + + =
a) 2
x − 2
= 3 b) 3
x + 1
= 5
x – 2
c) 3

x – 3
=
2
7 12
5
− +x x
d)
2
2 5 6
2 5
− − +
=
x x x
e)
1
5 .8 500
−
=
x
x
x
f) 5
2x + 1
− 7
x + 1
= 5
2x
+ 7
x
Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu a) 3

x
+ 4
x
= 5
x
b) 3
x
– 12
x
= 4
x
c) 1 + 3
x/2
= 2
x
- 16 -
Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12
Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
 Hàm số: y = log
a
x có tập xác định D = (0 ; +∞);
0 1< ≠a
. Tập giá trị: 
 Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1; nghịch biến nếu 0 < a < 1
 Phương trình và bất phương trình cơ bản:

0 1
log ( ) log ( )
( ) ( ) 0
< ≠


= ⇔

= >

a a
a
f x g x
f x g x

0 1
0 ( ) ( )
log ( ) log ( )
1
( ) ( ) 0
 < <



< <


> ⇔

>



> >




a a
a
f x g x
f x g x
a
f x g x
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Các kiến thức cần nhớ:

log
1
1 2 1 2 1 2
2
log (0 1; 0)
( 0); log ;log 1
log log log ;log ( . ) log log
log
1
log (0 1);log ;
log log
1
log .log ;log log
a
b
a
x
x
a a

a a a a a a
b
a a
b b
a a a
a
x b x a a x
x a x x a a
x
x x x x x x
x
x
x b b
a a
x x x x
α
α
α
α
= ⇒ = ≠
= = =
= − = +
= ≠ =
= =
p f
f
p

Dạng 1: Biến đổi về dạng

log ( ) log ( ) ( ) ( )
( ) 0
( ) 0
a a
f x g x f x g x
f x
g x
= ⇔ =



f
f
a)
( )
2 2
log log 1 1+ + =x x
;
b)
( ) ( )
2 2
log 3 log 1 3− + − =x x
c)
( ) ( ) ( )
log 1 log 1 log 2 3+ − − = +x x x
d)
( ) ( )
4 4 4
log 2 log 2 2log 6+ − − =x x
e) log

4
x + log
2
x + 2log
16
x = 5
f)
( ) ( )
3 3 3
log 2 log 2 log 5+ + − =x x
g) log
3
x = log
9
(4x + 5) +
1
2
.
KQ: a) 1; b) −1; c)
1 5
2
− +
; d) ∅; e)
4 2
; f) 3; g)
6 51+
Dạng 2. đặt ẩn phụ (TNTHPT 2010) giải :
2
2 4
2log 14log 3 0− + =x x

h)
2
2 4
log 6log 4+ =x x
i)
( ) ( )
2 3
2
2 2
log 1 log 1 7− + − =x x
j)
( ) ( )
2 2
2 2
log 9 7 2 log 3 1
− −
+ − = +
x x
k)
1 2
1
4 ln 2 ln
+ =
− +x x
l)
2
2 1
2
2
log 3log log 2+ + =x x x

m)
3 3
3 log log 3 1− =x x
n) log
3
(3
x
– 8) = 2 – x o)
( )
3
log 4.3 1 2 1− = +
x
x
p)
[ ]
3 3
log 5 4.log ( 1) 2+ − =x
KQ: h)
1
2;
16
; i)
7
4
1
3; 1
2
 
+
 ÷

 
; j) 2; 3; k) e; e
2
; l)
1
; 2
2
; m) 3; 81; n) 2; o) 0; −1; p) 4.
Dạng 3 mũ hóa a) 2 – x + 3log
5
2 = log
5
(3
x
– 5
2 − x
) b) log
3
(3
x
– 8) = 2 – x
Bất phương trình mũ  a)
2
4 15 4
3 4
1
2 2
2
− +
−

 
<
 ÷
 
x x
x
b)
2 5
1
9
3
+
 
<
 ÷
 
x
c)
6
2
9 3
+
≤
x
x
d)
2
6
4 1
− +

>
x x
e) 16
x – 4
≥ 8 f) 5
2x
+ 2 > 3. 5
x
g) (1/2)
2x − 3
≤ 3
 a) 2
2x + 6
+ 2
x + 7
> 17 b) 5
2x – 3
– 2.5
x −2
≤ 3 c)
1 1
1 2
4 2 3
− −
> +
x x
d) 5.4
x

+2.25

x
≤ 7.10
x
e) 2. 16
x
– 2
4x
– 4
2x – 2
≤ 15 f) 4
x +1
−16
x
≥ 2log
4
8
Bất phương trình logarit
- 17 -
Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin
a) log
4
(x + 7) > log
4
(1 – x) b) log
2
( x + 5) ≤ log
2
(3 – 2x) – 4 c) log
2
( x

2
– 4x – 5) <
4
d) log
½
(log
3
x) ≥ 0 e) 2log
8
(x− 2) – log
8
( x− 3) > 2/3 f) log
2x
(x
2
−5x + 6) <
1
g)
1 1
1
1 log log
+ >
− x x
h)
16
2
1
log 2.log 2
log 6
>

−
x x
x
k)
4 1
4
3 1 3
log (3 1).log ( )
16 4
−
− ≤
x
x
Bảng đạo hàm:

( )' =
x x
e e

( )' .ln=
x x
a a a

1
(ln )' =x
x

1
(log )'
ln

=
a
x
x
a a

( )' '.=
u u
e u e

( )' '. .ln=
u u
a u a a

'
(ln )' =
u
u
u

'
(log )'
.ln
=
a
u
u
u a
 Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = sin
2

x biết F(
π
) = 0.Đáp số : F(x) =
1 1
sin 2
2 4 2
x x
π
− −
 CM: F(x) = ln
2
1x x c+ + +
là 1 nguyên hàm của f(x) =
2
1
1x +
. Hd: Cm F
/
(x) = f(x)
CHỦ ĐỀ 3 : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
NGUYÊN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I /Tóm tắt kiến thức
A Nguyên hàm
1/Khái niệm nguyên hàm
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K
Nếu
( ) ( )
,F x f x x K= ∈
( K là khoảng ,đoạn hoặc nửa đoạn của R )
-Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) +C là họ tất cả các

nguyên hàm của f(x) trên K kí hiệu
( )
( ) ;f x dx F x C C= + ∈
∫
¡
2/ Tính chất nguyên hàm
( )
( )
( )
'
/a f x dx f x=
∫
và
( ) ( )
'
f x dx f x C= +
∫
( ) ( )
/b Kf x dx K f x dx=
∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )
/c f x dx g x dx f x dx g x dx± = ± 
 
∫ ∫ ∫
3/Phương pháp tính nguyên hàm
a/Đổi biến số :
( )
( )
( ) ( )

( )
'
f u x u x dx F u x C= +
∫
b/Tính nguyên hàm từng phần
udv uv vdu= −
∫ ∫
B Tích phân
1/Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
.Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x)
trên đoạn
[ ]
;a b
Ta có
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= −
∫
2/Tính chất của tích phân
( ) ( )
/
b b
a a
a Kf x dx K f x dx=
∫ ∫
(K là hằng số)

- 18 -
Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12

( ) ( ) ( ) ( )
/
b b b
a a a
b f x dx g x dx f x dx g x dx± = ± 
 
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
/
c b b
a c a
c f x dx f x dx f x dx+ =
∫ ∫ ∫
với
a c b
< <
3/ Phương pháp tính tích phân
a/ Đổi biến số
Dạng 1:
( ) ( )
( )
( )
'
b
a
f x dx f t t dt
β

α
ϕ ϕ
=
∫ ∫
Với
( ) ( )
;a b
ϕ α ϕ β
= =
và
( )
[ ]
; ;a t b t
ϕ α β
≤ ≤ ∀ ∈
Dạng 2:
( )
( )
( )
( )
b u b
a u a
f x dx g u du=
∫ ∫
với
( ) ( )
( )
( )
'
f x g u x u x=

b/Tích phân từng phần
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −
∫ ∫
Với u=u(x) ,v=v(x) có đạm hàm liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
C/Ứng dụng của tích phân trong hình học
1/Tính diện tích hình phẳng
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của 2 hàm số y=f(x),y=g(x) liên tục trên
đoạn
[ ]
;a b
và các đường thẳng x=a ;x=b là
( ) ( )
b
a
S f x g x dx= −
∫
2/Tính thể tích vật thể
a/ Tính thể tích vật thể V là

( )
b
a
V s x dx=
∫

Trong đó S(x) là diện tích hình phẳng của thiết diện tạo bởi mặt phẳng vuông góc với
trục ox tại
[ ]
,x a b∈
với vật thể V
b/Quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục y=f(x) y=o;x=a;x=b xung
quanh trục ox ta được khối tròn xoay có thể tích V là
( )
2
b
a
V f x dx
π
=
∫
II/CÁC VÍ DỤ
1/ Tính các nguyên hàm của các hàm số sau
( )
9
2
/ sin cos
2 1
/
3
1
/
1
/ cos5 cos3
/ 1
x

x
a x xdx
x
b dx
x x
c dx
e
d x xdx
e x e dx
−
−
− +
+
−
∫
∫
∫
∫
∫
Giải
a/ Đặt
9 9 10 10
sin cos
1 1
sin cos sin
10 10
u x du xdx
x xdx u du u C x C
= ⇒ =
⇒ = = + = +

∫ ∫
b/Đặt
- 19 -
Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin
( )
2
2
2
3 2 1
2 1
2 2 3
3
u x x du x dx
x du
dx u c x x c
u
x x
= − + ⇒ = −
−
⇒ = = + = − + +
− +
∫ ∫
cos sin
0 1
2
4 2
u x du xdx
x u
x u
π

= ⇒ = −
= ⇒ =
= ⇒ =
/ 1
1
ln ln 1
1 1
x x
x
x
x x
c u e du e dx
e du
dx dx u c e c
e e u
−
= + ⇒ =
⇒ = = = + = + +
+ +
∫ ∫ ∫
( )
1 1 1
/ cos5 cos3 cos8 cos2 sin 8 sin 2
2 16 4
d x xdx x x dx x x c= + = + +
∫ ∫
( )
( )
( ) ( )
/ 1

1 1 1 2
x x
x x x x x x x
e u x du dx
dv e dx v e
x e dx e e e dx e x e C e x C
= − ⇒ = −
= ⇒ =
⇒ − = − + = − + + = − +
∫ ∫
2/Tính các tích phân sau
( )
3
1
4
2
0 0 1
sin
/ / 1 / ln
cos
e
x
x
a dx b x e dx c x xdx
x
π
−
+
∫ ∫ ∫
Giải

a/Đặt
cos sin
0 1
2
4 2
u x du xdx
x u
x x
π
= ⇒ = −
= ⇒ =
= ⇒ =
( )
1
2
2
3
1
4 2
2
2 2 2
0 1
2
2
2
1
sin 1 1 3 2
1 2
cos 2
u

x
dx du du u
x u u u
π
−
   
⇒ = − = − = − − = −
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫
b/Đặt
1
x x
u x du dx
dv e dx e
− −
= + ⇒ =
= = −
Suy ra
( ) ( ) ( )
1 1
1 1 1
0 0 0
0 0
3
1 1 1 2
x x x x x
x e dx e x e dx e x e
e
− − − − −

+ = − + + = − + − = −
∫ ∫
c/Đặt
3
2
ln
2
3
dx
u x du
x
dv xdx v x
= ⇒ =
= ⇒ =
Suy ra
3 1 3 3 3
1
2 2 2 2 2
1 0
1 1 1
2 2 2 4 2
ln ln ln 2
3 3 3 9 9
e e e
e
x xdx x x x dx x x x e
 
= − = − = +
 ÷
 

∫ ∫
3/Tính diện tích hình phẳng
a/Tính S hình phẳng giới hạn bởi 2 đường
2
y x x= −
và
2
3y x x= −
b/Tính S hình phẳng giới hạn bởi các đường
sin ; cosy x y x= =
và x=0
c/Tính S hình phẳng giới hạn bởi đường cong
3
1y x= −
và tiếp tuyến của đường cong
tại điểm M(-1;-2)
- 20 -
Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12
Giải
a/Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường là
( )
2 2 2
2
2
2 3 2
0
0
0
3 2 4 0
2

2 16 8 8
2 4 2 8
3 3 3 3
x
x x x x x x
x
S x x dx x x
=

− = − ⇔ − = ⇔

=

 
= − = − = − = − =
 ÷
 
∫
Vậy
8
3
S =
(đvdt)
b/Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường là
( ) ( )
4
4
0
0
sin cos tan 1

4
sin cos cos sin 2 1
x x x x
S x x dx x x
π
π
π
= ⇔ = ⇔ =
= − = − − = −
∫
Vậy
2 1S = −
(đvdt)
c/Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại M(-1;-2) là y=3x+1
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường là
( )
3 3
2
4
2
3 2
1
1
1
1 3 1 3 2 0
2
3 27
3 2 2
4 2 4
x

x x x x
x
x
S x x dx x x
−
−
= −

− = + ⇔ − − = ⇔

=

 
= − − = − − =
 ÷
 
∫
Vậy
27
4
S =
(đvdt)
4/Tính thể tích khối tròn xoay
Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay trục ox hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau
2
/ 3a y x x= −
và
0y =
/ tan ; 0; 0b y x y x= = =

và
4
x
π
=
Giải
a/Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường là
( ) ( )
2
3 3
2
2 2 3 4
0 0
0
3 0
3
81
3 9 6
10
x
x x
x
V x x dx x x x dx
π π π
=

− = ⇔

=


= − = − + =
∫ ∫
Vậy
81
10
V
π
=
(đvtt)
b/

( )
2
4 4
4
2
0
0 0
1
tan 1 tan 1
cos 4
V xdx dx x x
x
π π
π
π
π π π π
   
= = − = − = −
 ÷  ÷

   
∫ ∫
Vậy
1
4
V
π
π
 
= −
 ÷
 
(đvtt)
- 21 -
Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin
III Bài tập tự giải
1/Tìm các nguyên hàm sau
2
/
1
x
a dx
x−
∫
ĐS
2
1 x C− − +
2
2
/

1
x
b dx
x x
+
+ +
∫
ĐS
( )
2
ln 1x x C+ + +
( )
2
ln
/
x
c dx
x
∫
ĐS
3
1
ln
3
x C+
3 2
sin
/
x
d dx

cos x
∫
ĐS
3
cos x C− +
32 3
/ 1e x x dx+
∫
ĐS
( )
4
3
3
1
1
4
x C+ +
2
/
x
f xe dx
−
∫
ĐS
2
1
2
x
e C
−

− +
sin cos
/
sin cos
x x
g dx
x x
+
−
∫
ĐS
2 sin cosx x C− +
/ sin
2
x
h x dx
∫
ĐS
2 cos 4sin
2 2
x x
x C− + +
( )
/ 2 1 cosi x xdx−
∫
ĐS
( )
2 1 sin 2cosx x x C− + +
2/Tính các tích phân sau
1

ln
/
e
x
a dx
x
∫
ĐS
1
2
2
0
/ sin 2b x xdx
π
∫
ĐS
4
π
sin
2
0
/ cos
x
c e xdx
π
∫
ĐS
1e −
( )
3

2
2
0
/ sin 2 1 sind x x dx
π
+
∫
ĐS
15
4
1
1
4
/
x
e e dx
∫
ĐS
e
2
2
1
/ logf x xdx
∫
ĐS
3
2
4ln 2
−
ln2

2
0
/
x
g xe dx
−
∫
ĐS
1 3
ln 2
8 16
− +
2
2
0
/ sinh x xdx
π
∫
ĐS
2
π
−
3/Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
/ 1a y x= +
và
3x y+ =
ĐS
9
2

S =
2
/ 2 1b x y= +
và
1x y= −
ĐS
16
3
S =
2
/ 2 ; 2 2 0c x y y x= − + =
và trục tung ĐS
4
3
S =
2
2 10 12
/
2
x x
d y
x
− −
=
+
và đường thẳng y=0 ĐS
63 16ln8S
= −
- 22 -
Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12

2
ln
/ ; 0; 1
x
e y y x
x
= = =
và
x e=
ĐS
2
1S
e
= −
4/Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay trục ox hình phẳng được giới hạn bởi
các đường sau đây
3 2
1
/ , 0, 0, 3
3
a y x x y x x= − = = =
ĐS
81
15
V
π
=
2
/ 2 , 0b y x x y= − =
ĐS

16
15
V
π
=
/ cos , 0, 0,
4
c y x y x x
π
= = = =
ĐS
2
2
8
V
π π
+
=
2
/ sin , 0, 0,d y x y x x
π
= = = =
ĐS
2
3
8
V
π
=
1

2 2
/ , 0, 1, 2
x
e y x e y x x= = = =
ĐS
( )
2
2 ln 2 1V
π
= −
CHỦ ĐỀ 4: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
I) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
a) y = x
2
− 3x + 2 ; y = x −1; x = 0 ; x = 2. ĐS: 2
b) y = x.e
x
; x = 1 ; y = 0. ĐS: S= 1
c) y = sin
2
x + x ; y = x; x = 0; x = π . ĐS: S=
2
π
d) y
2
= 2x và y = 2x −2 . ĐS : S=
9
4
e) đồ thị hàm số y =
2

2 10 12
2
− −
+
x x
x
và đường thẳng y = 0. ĐS: S = 63 −16 ln 8
f) y
2
= 2x +1 và y = x – 1. ĐS: 16/ 3
g) (P): y = – x
2
+ 4x và trục Ox. ĐS:S =
32
3
đvdt
h) (P): y = – x
2
và y = – x – 2 . ĐS:S =
9
2
đvdt
i) (C): y = 5x
4
– 3x
2
– 8; trục Ox trên [1; 3] ĐS: S = 200 đvdt
II)Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Ox của
hình giới hạn bởi :
a) (C): y=

1
1
−
+
x
x
; các trục toạ độ . ĐS : V=
π
( 3− 4 ln2 )
b) (P): y
2
= 8x và x = 2 ĐS : 16
π
đvtt
c) y = x
2
và y = 3x ĐS :
162
5
π
đvtt
d) y =
sin
2
x
; y = 0; x = 0; x =
4
π
ĐS :
2 2

8
−
π
đvtt
 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Oy của hình
giới hạn bởi Parabol
( )
2
: ; 2; 4
2
= = =
x
P y y y
và trục Oy

Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân:
(2001 – 2002 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y
2
= 2x +1 và y = x
−1
(2002 – 2003) 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y =
3 2
2
3 3 1
2 1
+ + −
+ +
x x x
x x
; biết F(1) =

1
3

- 23 -
Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin
2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=
2
2 10 12
2
− −
+
x x
x
và trục Ox.
HD: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y =
2
2 10 12
2
− −
+
x x
x
và y = 0 là
2
2 10 12
2
− −
+
x x
x

= 0 ⇔ x = –1; x = 6. vì
2
2 10 12
2
− −
+
x x
x
≤ 0 ∀x∈
[ ]
1;6−
.
Do đó S =
6 6 6
2 2
1 1 1
2 10 12 2 10 12 16
14 2
2 2 2
− − −
− − − −
 
= − = − −
 ÷
+ + +
 
∫ ∫ ∫
x x x x
dx dx x dx
x x x

=
6
2
1
14 16ln 2 63 16ln8
−
 
− − + = −
 
x x x
(đvdt)
(TNTHPT năm 2003 – 2004 ) Cho hàm số y =
1
3
x
3
– x
2
(C). Tính thể tích vật thể tròn
xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y = 0; x =0; x = 3 quay quanh trục
Ox.
HD: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y =
3 2
1
3
−x x
; y = 0
là
3 2
1

3
−x x
= 0 ⇔ x = 0; x = 3. Ta có: V =
2
( )
∫
b
a
f x dx
π
.
V =
3
2
3 3
7 6 5
3 2 6 5 4
0 0
0
1 1 2 81
3 9 3 63 9 5 35
 
   
− = − + = − + =
 ÷
 ÷  ÷
   
 
∫ ∫
x x x

x x dx x x x dx
π
π π π
(đvtt)
(TNTHPT năm 2004 – 2005) Tính tích phân: I =
/2
2
0
( sin ).cos .+
∫
x x x dx
π

Hướng dẫn: I =
2 2
2
0 0
cos cos sin+ = +
∫ ∫
x xdx x xdx J K
π π
.
 Tính J: Đặt u = x ⇒ du = dx; dv = cosx dx ⇒ v = sinx
[ ] [ ] [ ]
2
2 2 2
0 0 0
0
sin sin sin cos 1
2

= − = + = −
∫
J x x xdx x x x
π
π π π
π
 Tính K: Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx.
Đổi cận:
1
2
0
0
=
=
⇒
=
=
t
x
t
x
π
. Do đó K =
1
1
3
2
0
0
1

3 3
= =
∫
t
t dt
. Vậy I =
2
2 3
−
π
(TNTHPT năm 2005– 2006)
a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số : y = e
x
; y = 2; x = 1.
b. Tính tích phân: I =
/2
2
0
sin 2
4 cos−
∫
x
dx
x
π
( THPT năm 2005− 2006 Ban A). Tính tích phân I =
ln5
ln 2
( 1)
1

+
−
∫
x x
x
e e dx
e
.
Hướng dẫn: Đặt t =
1−
x
e
⇒
2
1 2
= + ⇒ =
x x
e t e dx tdt
.
Đổi cận:
ln5 2
ln 2 1
= =
⇒
= =
x t
x t
. Do đó I =
2
2

2 3
1
1
1 26
2 ( 2) 2 2
3 3
 
+ = + =
 
 
∫
t dt t t
(TN.THPT năm 2005 − 200 6 Ban C). Tính tích phân I =
1
0
(2 1)+
∫
x
x e dx
.
Hướng dẫn: Đặt u = 2x + 1 ⇒ du = 2dx; dv = e
x
dx ⇒ v = e
x
. Do đó
I =
1 1
1 1
0 0
0 0

(2 1) (2 1) 2 3 1 2 3 1 2 2 1
 
+ = + − = − − = − − + = +
 
∫ ∫
x x x x
x e dx x e e dx e e e e e
(TNTHPT năm 2006– 2007)
- 24 -
Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12
1. Tính tích phân J =
2
1
ln
∫
e
x
dx
x
. HD: Đặt t = lnx ⇒ dt =
dx
x
.
Đổi cận:
1
1 0
= =
⇒
= =
x e t

x t
. Do đó I =
1
1
2 3
0
0
1 1
3 3
= =
∫
t dt t
.
2. Tính tích phân I =
1
2
3
0
3
1+
∫
x
dx
x
.
Đặt t =
3
x
+ 1 ⇒ dt = 3
2

x
dx. Đổi cận:
1 2
0 1
= =
⇒
= =
x t
x t
. Do đó I =
2
2
1
1
ln ln 2= =
∫
dt
t
t
(THPT năm 2006 − 20007 Phân ban).
1. Tính tích phân I =
2
2
1
2
1+
∫
xdx
x
. HD : Đặt t =

2
1+x
⇒
2
1
=
+
xdx
dt
x
.
Đổi cận:
2 5
1
2
= =
⇒
=
=
x t
x
t
. I =
5
5
2
2
2 2 2( 5 2)= = −
∫
dt t

.
2. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sinx; y = 0; x =
2
π
. Tính thể tích
khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành.
Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là sinx = 0 ⇒ x =
0.
Do đó V =
2
2 2
2
2
0 0
0
1 1
sin (1 cos2 ) sin 2
2 2 2 4
 
= − = − =
 
 
∫ ∫
xdx x dx x x
π π
π
π π
π π
. (đvtt)
(TNTHPT năm 2007– 2008)

1. Tính tích phân I
1
2 3 4
1
(1 )
−
= −
∫
x x dx
. Đặt t = 1 –
3
x
⇒ dt = –3
2
x
dx.
Đổi cận:
1 0
1 2
= =
⇒
= − =
x t
x t
. Do đó I =
2
0 2
5
4 4
2 0

0
1 1 32
3 3 15 15
− = = =
∫ ∫
t
t dt t dt
2. Tính tích phân I =
1
0
(1 )+
∫
x
e xdx
. HD: I =
1
1 1 1 1
2
0 0 0 0
0
1
2 2
+ = + = +
∫ ∫ ∫ ∫
x x x
x
xdx xe dx xe dx xe dx
. Đặt
= =
 

⇒
 
= =
 
x x
u x du dx
dv e dx v e
⇒ I =
1
1 1
0 0
0
1 1 3
2 2 2
   
+ − = + − =
   
∫
x x x
xe e dx e e
(TNTHPT năm 2008– 2009) Tính tích phân I =
0
(1 cos )+
∫
x x dx
π
.
HD: I =
2 2
0 0 0 0

0
cos cos cos
2 2
+ = + = +
∫ ∫ ∫ ∫
x
xdx x xdx x xdx x xdx
π
π π π π
π
.
Đặt
cos sin
= =
 
⇒
 
= =
 
u x du dx
dv xdx v x
. I =
2 2 2
0 0
0
4
sin sin cos
2 2 2
−
+ − = + =

∫
x x xdx x
π
π π
π π π
(TNTHPT năm 2009– 2010) Tính tích phân I
1
2 2
0
( 1)= −
∫
x x dx
.
I =
1
2 2
0
( 2 1)− +
∫
x x x dx
=
1
4 3 2
0
( 2 )− +
∫
x x x dx
=
1
5 4 3

0
1
5 2 3 30
 
− + =
 
 
x x x
.
CHỦ ĐỀ 5 SỐ PHỨC
1. Định nghĩa số phức
Mỗi biểu thức dạng
a bi+
, trong đó a, b
∈
R,
i
2
1= −
đgl một số phức.
a: phần thực, b: phần ảo.
Tập số phức: C.
- 25 -