Chuyên đề Đại số luyện thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (630.58 KB, 27 trang )
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
97
Chuyên đề 3: ĐẠI SỐ
Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.
2n
2n
B0
A B
AB
(với n
*
)
2.
2n 2n
B 0 (hayA 0)
A B
AB
(với n
*
)
3.
2n 1 2n 1
A B A B
(với n
*
)
4.
2
A0
B0
A B C
A B C
5.
2
2
A0
B0
A B C
C0
A B C
B. ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011
Giải phương trình:
2
3 2 x 6 2 x 4 4 x 10 3x
(x R).
Giải
Điều kiện: –2 x 2.
Đặt t =
3 2 x 6 2 x
t
2
= 9(2 + x) – 36
2 x 2 x
+ 36(2 – x) = 9(10 – 3x –
2
4 4 x
)
Phương trình đã cho trở thành t –
2
t
9
= 0 t = 0 hoặc t = 9.
Với t = 0:
3 2 x 6 2 x 0
3 2 x 6 2 x
9((2 + x) = 36(2 – x)
6
x
5
(Thỏa điều kiện–2 x 2) .
Với t = 9:
3 2 x 6 2 x 9
3 2 x 6 2 x 9
(*).
Do –2 x 2 nên
3 2 x 6
6 2 x 9 9
. Suy ra phương trình (*) vô nghiệm.
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
98
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm
6
x
5
.
Cách khác:
Đặt u =
2x
và v =
2x
(u 0, v 0) thì :
u.v =
2
4x
2
2
u 2 x
v 2 x
u
2
+ 4v
2
= 10 – 3x và u
2
+ v
2
= 4
Do đó phương trình đã cho trở thành
22
22
3u 6v 4uv u 4v (1)
u v 4 (2)
(1) 3u – 6v = u
2
+ 4v
2
– 4uv 3(u – 2v) = (u – 2v)
2
u – 2v = 0 hoặc 3 = u – 2v
ª Với u = 2v thế vào (2) ta được
2
4
v
5
2
v
5
4
u
5
Suy ra:
4
2x
5
2
2x
5
16
2x
5
4
2x
5
6
x
5
ª Với u = 3 + 2v thế vào (2) ta được (3 + 2v)
2
+ v
2
= 4 5v
2
+12v +5 = 0
Phương trình này vô nghiệm vì v 0 .
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010
Giải phương trình
2
3x 1 6 x 3x 14x 8 0
(x ).
Giải
Điều kiện:
1
x 6
3
Với điều kiện
1
x 6,
3
phương trình đã cho tương đương:
2
3x 1 4 1 6 x 3x 14x 5 0
3x 15 x 5
(x 5)(3x 1) 0
3x 1 4 1 6 x
x – 5 = 0 hay
31
(3x 1) 0
3x 1 4 1 6 x
Nhận xét:
1
x
3
nên 3x + 1
0
Do đó
31
(3x 1) 0
3x 1 4 1 6 x
vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm x = 5.
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
99
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009
Giải phương trình:
3
2 3x 2 3 6 5x 8 0 x
.
Giải
Điều kiện x
6
5
. Khi đó đặt
3
u 3x 2 và v 6 5x, v 0
(*)
Ta có
3
2
u 3x 2
v 6 5x
32
5u 3v 8
Phương trình đã cho trở thành hệ:
32
2u 3v 8
5u 3v 8
2
3
8 2u
v
3
8 2u
5u 3 8
3
32
8 2u
v
3
15u 4u 32u 40 0
2
8 2u
v
3
u 2 15u 26u 20 0
u = 2 và v = 4 (nhận)
Thế u = 2 và v = 4 vào (*), ta được:
3
3x 2 2
6 5x 4
3x 2 8
6 5x 16
x = 2 (nhận)
Vậy phương trình có nghiệm x = 2
Bài 4: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI D NĂM 2007
Giải phương trình:
22
3 x 5x 10 5x x
Giải
Đặt t =
2
x 5x 10
(với t 0 ) suy ra t
2
= x
2
– 5x + 10 5x – x
2
= 10 t
2
Phương trình đã cho trở thành: 3t = 10 t
2
t 5 loại
t2
Vậy
2
x 5x 10
= 2
x
2
5x + 10 = 4
x3
x2
.
Bài 5: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN NĂM 2007
Giải phương trình:
3x 7 x 1
= 2.
Giải
Điều kiện: x 1
Với điều kiện x 1, phương trình đã cho tương đương:
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
100
3x 7 x 1
+ 2 3x + 7 = x + 5 + 4
x1
x + 1 = 2
x1
(x + 1)
2
= 4(x + 1)
x1
x3
(thỏa x 1)
Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
Giải phương trình:
2
2x 1 x 3x 1 0
(x ).
Giải
Đặt t =
2
2
t1
2x 1 (t 0) t = 2x 1 x =
2
.
Phương trình đã cho trở thành:
42
t 4t 4t 1 0
22
(t 1) (t 2t 1) 0 t 1, t 2 1
(nhận)
Với t = 1 ta có x = 1. Với t =
21
, ta có x = 2
2
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1; x = 2
2
Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Giải phương trình:
2
3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2
(1)
Giải
Đặt t =
3x 2 x 1 t 0
suy ra
22
t 4x 3 2 3x 5x 2
22
4x 2 3x 5x 2 t 3.
Khi đó:
(1) trở thành: t = t
2
– 6 t
2
– t – 6 = 0
t 2 loại
t 3 nhận
Khi đó: (1)
3x 2 x 1 3
(*)
Điều kiện:
3x 2 0
x1
x 1 0
(a)
Với điều kiện x 1, phương trình (*) tương đương:
3x – 2 + x – 1 +
2 3x 2 x 1 9
3x 2 x 1 6 2x
2
2
6 2x 0
x3
3x 2 x 1 6 2x x 19x 34 0
x3
x2
x2
x 17
thoả điều kiện (a)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
101
Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ 2 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
Giải phương trình: x + 2
7x
= 2
2
x 1 x 8x 7 1
(x )
Giải
Điều kiện
2
7 x 0
x 1 0
x 8x 7 0
1 x 7
Với điều kiện 1 x 7, phương trình đã cho tương đương:
x – 1 – 2
x 1 2 7 x x 1 7 x
= 0
x 1 x 1 2 7 x x 1 2
= 0
x 1 2 x 1 7 x
= 0
x 1 2 x 5
x4
x 1 7 x
Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005
Giải phương trình sau:
2 x 2 2 x 1 x 1 4
Giải
Điều kiện: x 1
Phương trình đã cho tương đương với
2
2 x 1 1 x 1 4 2 x 1 1 x 1 4
x 1 2 x 3 nhận
Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ 1 ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005
Giải phương trình:
3x 3 5 x 2x 4
. (1)
Giải
Điều kiện:
3x 3 0
5 x 0 2 x 5
2x 4 0
(a)
Với điều kiện 2 x 5, phương trình (1) tương đương:
3x 3 2x 4 5 x
2
3x 3 2x 4 5 x 2 (2x 4)(5 x)
(2x 4)(5 x) x 2 (2x 4)(5 x) (x 2)
(x 2) 2(5 x) (x 2) 0
x 2 x 4 thỏa điều kiện (a)
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
102
Bài 11:
Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm: x
5
x
2
2x 1 = 0.
Giải
Ta có x
5
x
2
2x 1 = 0 (1)
(1) x
5
= (x + 1)
2
điều kiện x 0
Với 0 x < 1 thì VT < 1 và VP 1 (1) vô nghiệm
Do đó chỉ xét x 1
Xét f(x) = x
5
x
2
2x 1, x 1
f'(x) = 5x
4
2x 2 = 2x (x
3
1) + 2(x
4
1) + x
4
> 0, x 1
Do đó f(x) tăng trên [1; +), f liên tục
Và f(1); f(2) < 0 nên f(x) = 0 luôn có nghiệm duy nhất.
Bài 12:
Giải phương trình:
2
x 4 x 4 2x 12 2 x 16
.
Giải
Điều kiện:
x 4 0
x4
x 4 0
Đặt t =
x 4 x 4 t 0
t
2
= 2x +
2
2 x 16
Phương trình (1) trở thành: t
2
– t – 12 = 0
t4
t 3 (loại)
Với t = 4:
x 4 x 4 4
2x +
2
2 x 16 16
và x 4
2
x 16 8 x
và x 4
2
2
4 x 8
4 x 8
x5
x5
x 16 8 x
.
Vấn đề 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.
2
B 0
A B A 0
A B
2.
2
B 0
B 0
A B hay
A 0
A B
3.
B 0
A B
A B
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
103
B. ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010
Giải bất phương trình:
2
xx
1
1 2(x x 1)
Giải
Điều kiện x 0. Khi đó:
2
xx
1
1 2(x x 1)
2
2
x x 1 2(x x 1)
0
1 2(x x 1)
(*)
Nhận xét:
Mẫu số:
2
2
1 3 3
1 2(x x 1) 1 2 x 1 0
2 4 2
Do đó bất phương trình (*) trở thành:
2
x x 1 2(x x 1)
≤ 0
2
2(x x 1) x x 1
2
2
x x 1 0
2(x x 1) x x 1
22
x x 1 0
2(x x 1) x x 1 2x x 2x 2 x
2
x x 1 0
x x 1 2x x 2 x 0
2
x x 1 0
(x 1) 2 x(x 1) x 0
2
x x 1 0
(x 1 x) 0
x x 1 0
x 1 x 0
x (1 x) 1 0
x 1 x
2
0 x 1
x (1 x)
2
0 x 1
x 3x 1 0
0 x 1
35
x
2
35
x
2
Cách khác:
Điều kiện: x 0. Vì
2
1 2(x x 1) 0
nên
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
104
2
xx
1
1 2(x x 1)
2
x x 1 2(x x 1)
(1)
• x = 0: (1) không thỏa.
• x > 0: Chia hai vế của bất phương trình (1) cho
x
ta được
(1)
11
x 1 2 x 1
x
x
11
2 x 1 x 1
x
x
Đặt
2
11
t x x t 2
x
x
(1) trở thành:
2
22
t1
2(t 1) t 1
2t 2 t 2t 1 (*)
(*)
2
t1
t 2t 1 0
2
t1
t 1 0
t = 1
Do đó:
1
x 1 x x 1 0
x
15
x
6 2 5 3 5
2
x
42
15
x (loại)
2
.
Bài 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009
Giải bất phương trình:
x 1 2 x 2 5x 1 x
Giải
x 1 2 x 2 5x 1
2
x2
x2
x2
2 x 3
x 1 x 2 2
x x 6 0
2 x 3.
Bài 3: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG NĂM 2007
Giải bất phương trình:
22
5x 10x 1 7 2x x
. (1)
Giải
22
5x 10x 1 7 2x x
Điều kiện để căn bậc hai có nghóa là:
5x
2
+ 10x + 1 0
5 2 5 5 2 5
x hoặc x
55
(*)
Với điều kiện đó ta có: (1)
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
105
22
5 5x 10x 1 36 5x 10x 1
(*)
Đặt
2
t 5x 10x 1, t 0
(*) trở thành t
2
+ 5t – 36 0 t 4 (nhận) t 9 (loại)
Với t 4, ta có:
2
5x 10x 1 4
x
2
+ 2x – 3 0
x 3 x 1 (những giá trò này đều thỏa điều kiện (*)).
Bài 4: CAO ĐẲNG BÁN CÔNG HOA SEN NĂM 2007
Giải bất phương trình:
2
x 4x
> x – 3. (1)
Giải
Điều kiện: x
2
– 4x 0 x 0 x 4
Trường hợp 1: x – 3 < 0 x < 3: (1) đúng so sánh với điều kiện được x 0
Trường hợp 2: x 3
(1) x
2
– 4x > x
2
– 6x + 9 x >
9
2
So với điều kiện x 3 ta nhận x >
9
2
Kết luận: nghiệm x 0; x >
9
2
Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005
Giải bất phương trình:
5x 1 x 1 2x 4
Giải
Điều kiện:
5x 1 0
x 1 0 x 2
2x 4 0
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với
5x 1 2x 4 x 1 5x 1 2x 4 x 1 2 (2x 4)(x 1)
x + 2 >
22
(2x 4)(x 1) x 4x 4 2x 6x 4
2
x 10x 0 0 x 10
Kết hợp với điều kiện ta có:
2 x < 10 là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ 2
Giải bất phương trình:
2
8x 6x 1 4x 1 0
Giải
2
8x 6x 1 4x 1 0
2
8x 6x 1 4x 1
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
106
2
22
2
11
xx
42
8x 6x 1 0
1
4x 1 0 x
4
8x 6x 1 (4x 1)
8x 2x 0
11
xx
11
42
x x .
1
42
x 0 x
4
Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ 1
Giải bất phương trình:
2x 7 5 x 3x 2
(1)
Giải
Điều kiện
2x 7 0
5 x 0
3x 2 0
2
x5
3
(a)
(1)
2x 7 3x 2 5 x
2x 7 3x 2 5 x 2 3x 2 5 x
3x 2 5 x 2
(3x – 2)(5 – x) 4
3x
2
– 17x + 14 0 x 1 x
14
3
So với điều kiện (a) ta có nghiệm
2 14
x 1 hay x 5
33
Bài 8:
Giải bất phương trình:
2
2 x 16
7x
x3
x 3 x 3
Giải
Điều kiện
2
x3
x 3 0
x 4
x4
x 16 0
x4
Bất phương trình đã cho tương đương với
22
2 x 16 x 3 7 x 2 x 16 10 2x
2
2
2
10 2x 0
10 2x 0
V
2 x 16 10 2x
x 16 0
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
107
x5
4x5
10 34 x 10 34
x 10 34
Bài 9:
Giải bất phương trình
22
x 3x 2x 3x 2 0
Giải
22
x 3x 2x 3x 2 0
2
2
2
2x 3x 2 0
2x 3x 2 0
x 3x 0
1
x < V x > 2
1
x x = 2
2
2
x 0 x 3
x
1
2
x 3 x = 2.
Bài 10: CAO ĐẲNG KINH TẾ TP. HCM
Giải bất phương trình:
x 1 x 1
4
Giải
22
x 1 x 1
x 1 x 1 4
2x 2 x 1 16 x 1 8 x
22
x1
1 x 8
65
8 x 0
1x
65
16
x
16
x 1 x 16x 64
Vấn đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1:
1 1 1
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 2
A x B y C
, Với A A B B 0
A x B y C
Lập:
11
1 2 2 1
22
AB
D A B A B
AB
11
x 1 2 2 1
22
CB
D C B C B
CB
;
11
y 1 2 2 1
22
AC
D A C A C
AC
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
108
Nếu D 0: hệ có duy nhất nghiệm:
Dx
x
D
Dy
y
D
Nếu
D0
Dx 0 (hoặc Dy 0)
: hệ vô nghiệm.
Nếu: D = Dx = Dy = 0: hệ có vô số nghiệm
Dạng 2: Đối xứng loại 1:
f(x, y) 0 f(x, y) f(y, x)
với
g(x, y) 0 g(x, y) g(y, x)
Đặt:
2
S x y
(điều kiện S 4P)
P x.y
Ta được hệ:
F(S, P) 0
ta tìm được S, P
E(S, P) 0
Khi đó x,y là nghiệm của phương trình:
2
X SX P 0
Dạng 3: Đối xứng loại 2:
f(x, y) 0 (1)
f(y, x) 0 (2)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được : (y x). h(x, y) = 0
y x (a)
h(x, y) 0 (b)
Kết hợp:
(a) và (1)
(b) và (1)
Dạng 4: Hệ tổng quát: Thường biến đổi để nhận ra ẩn số phụ, sau đó dùng
phương pháp thế để giải tiếp.
B. ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011
Giải hệ phương trình:
2 2 3
2
22
5x y 4xy 3y 2 x y 0 (1)
xy x y 2 x y (2)
(x, y R).
Giải
Ta có : (2)
2 2 2 2
xy x y 2 x y 2xy
22
x y xy 1 2 xy 1 0
22
xy 1 x y 2 0
22
xy 1 x y 2
.
Trường hợp 1:
2 2 3
5x y 4xy 3y 2 x y 0 (1)
xy 1 (3)
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
109
Ta có: (3)
1
y
x
(Vì x = 0 không là nghiệm) thế vào (1) ta được:
(1)
23
2
1 1 1 1
5x 4x 3 2 x 0
x x x x
3
4 3 2
5x 2x 0
xx
x
3
63
3x 0
x
x
42
3x 6x 3 0
2
2
3 x 1 0
x 1 y 1
x 1 y 1
.
Trường hợp 2:
2 2 3
22
5x y 4xy 3y 2 x y 0 (1)
x y 2 (4)
Thế (4) vào (1) ta được:
(1)
2 2 3 2 2
5x y 4xy 3y x y x y 0
2 2 3 3
4x y 5xy 2y x 0
23
x x x
4 5 2 0
y y y
(*) (Chia hai vế cho y
3
0)
Đặt t =
x
y
. Phương trình (*) trở thành:
23
4t 5t 2 t 0
32
t 4t 5t 2 0
2
t 1 t 2 0
t = 1 hay t = 2.
Vậy (*)
x
y
= 1 hay
x
y
= 2
Với
x
y
= 1 đã xét ở trường hợp 1.
Với
x
y
= 2 x = 2y thế vào
22
x y 2
ta được:
2
2
2y y 2
2
2
y
5
10 2 10
yx
55
10 2 10
yx
55
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:
x1
y1
x1
y1
2 10
x
5
10
y
5
2 10
x
5
10
y
5
.
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
110
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010
Giải hệ phương trình:
2
22
(4x 1)x (y 3) 5 2y 0 (1)
4x y 2 3 4x 7 (2)
(x, y ).
Giải
Điều kiện:
3
x
4
. Đặt u = 2x;
v 5 2y
Phương trình (1) trở thành
u(u
2
+ 1) = v(v
2
+1) (u v)(u
2
+ uv + v
2
+ 1) = 0 u = v
Nghóa là:
2
3
0x
4
2x 5 2y
5 4x
y
2
Phương trình (2) trở thành
24
25
6x 4x 2 3 4x 7 (*)
4
Xét hàm số
42
25
f(x) 4x 6x 2 3 4x
4
trên
3
0;
4
2
4
f'(x) 4x(4x 3)
3x 4
< 0
Mặt khác:
1
f7
2
nên (*) có nghiệm duy nhất x =
1
2
và y = 2.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x =
1
2
và y = 2.
Bài 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010
Giải hệ phương trình:
22
2 2x y 3 2x y
x 2xy y 2
(x, y ).
Giải
22
2 2x y 3 2x y (1)
x 2xy y 2 (2)
. Điều kiện : 2x + y 0 (*)
(1)
(2x y) 2 2x y 3 0
2x y 1
hay
2x y 3
(loại)
2x + y = 1 y = 1 – 2x (3)
Thay (3) vào (2) ta có: x
2
– 2x(1 – 2x) – (1 – 2x)
2
= 2
x
2
+ 2x – 3 = 0 x = 1 hay x = –3
Khi x = 1 thì y = –1 thỏa mãn (*); khi x = –3 thì y = 7 (thỏa mãn (*))
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
111
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
x1
y1
hay
x3
y7
Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
Giải hệ phương trình:
2 2 2
xy x 1 7y
x, y
x y xy 1 13y
.
Giải
Vì y = 0 không thỏa mãn hệ đã cho, nên
Hệ đã cho tương đương:
22
2
x1
x 7 (chia 2 vế cho y)
yy
x1
x 13 (chia 2 vế cho y )
y
y
Đặt a =
1
x
y
; b =
x
y
Ta có a =
1
x
y
22
2
1x
a x 2
y
y
22
2
1
x a 2b
y
Hệ trở thành
2
a b 7
a 2b b 13
2
a b 7
a b 13
2
a b 7
a a 20 0
a4
b3
hay
a5
b 12
.
Vậy
1
x4
y
x
3
y
hay
1
x5
y
x
12
y
2
x 4x 3 0
x 3y
hay
2
x 5x 12 0
x 12y
(VN)
x1
1
y
3
hay
x3
y1
Hệ có 2 nghiệm (x; y) =
1
(1; )
3
; (x; y) = (3; 1).
Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009
Giải hệ phương trình
2
2
x x y 1 3 0
x, y
5
x y 1 0
x
.
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
112
Giải
Điều kiện x 0
Hệ đã cho tương đương:
2 2 2
x(x y) x 3
x (x y) x 5
(*)
Đặt t = x(x + y). Hệ (*) trở thành:
2 2 2
t x 3 t x 3
t x 3 x 2 x 1
tx 2 t 1 t 2
t x 5 (t x) 2tx 5
Vậy
x2
x 2 x 1 x 1
3
x(x y) 1 x(x y) 2 y 1
y
2
Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008
Giải hệ phương trình:
2 3 2
42
5
x y x y xy xy
4
5
x y xy(1 2x)
4
Giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với :
22
22
5
x y xy(x y) xy
4
5
(x y) xy
4
Đặt u = x
2
+ y, v = xy ta có hệ:
2
5
u u.v v (1)
4
5
u v (2)
4
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được:
u
2
– u – uv = 0 u(u – 1 – v) = 0
u0
v u 1
Trường hợp 1: u = 0 thay vào (2)
5
v
4
Vậy
22
3
3
3
5
x
x y 0 y x
4
55
xy x
25
y
44
16
Trường hợp 2: v = u – 1 thay vào (2) ta được:
2
5 1 3
u u 1 u v
4 2 2
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
113
Vậy:
22
1 3 1
x1
x y x
2 2x 2
3
33
y
xy y
2
2 2x
Hệ phương trình có 2 nghiệm là:
3
3
5 25
;
4 16
và
3
1;
2
.
Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008
Giải hệ phương trình:
4 3 2 2
2
x 2x y x y 2x 9
(x, y )
x 2xy 6x 6
Giải
Giải hệ phương trình:
4 3 2 2
2
x 2x y x y 2x 9
(x, y )
x 2xy 6x 6
22
2
2
2
2
(x xy) 2x 9
x
x 3x 3 2x 9
x
3
xy 3x 3
2
x
4
+ 12x
2
+48x
2
+ 64x = 0 x(x + 4)
3
= 0
x0
x4
x = 0 không thỏa mãn hệ phương trình
x = 4
17
y
4
Nghiệm của hệ phương trình là:
17
4;
4
.
Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008
Giải hệ phương trình:
22
xy x y x 2y
(x, y )
x 2y y x 1 2x 2y
Giải
Hệ phương trình:
22
xy x y x 2y (1)
(x,y )
x 2y y x 1 2x 2y (2)
Điều kiện:
x1
y0
(1) xy + y
2
+ x + y – (x
2
– y
2
) = 0
y(x + y) + x + y – (x + y)(x – y) = 0
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
114
(x + y)(2y – x + 1) = 0
yx
x 2y 1
* Trường hợp 1: y = x. Do điều kiện y 0 x 0 loại
* Trường hợp 2: Thay x = 2y + 1 vào (2) ta được:
(2y 1) 2y y 2y 2y 2
y1
(y 1) 2y 2 0 y 2
y2
y0
Vậy hệ có nghiệm x = 5; y = 2.
Bài 9: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI A NĂM 2007
Giải hệ phương trình:
3
3
x 2y x 2
y 2x y 2
Giải
3
3
x 2y x 2
y 2x y 2
3
22
x 2y x 2
x y x xy y x y
3
3
22
x 2y x 2
I
xy
x 2y x 2
II
x xy y 1
(I)
x 1 x 2
y 1 y 2
; (II)
x
2
+ xy + y
2
+ 1 = 0
Do
y
2
4(y
2
+ 1) < 0 nên (II) vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm (1; 1); (2; 2)
Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006
Giải hệ phương trình:
x y xy 3
(x, y )
x 1 y 1 4
Giải
Điều kiện:
x 1, y 1, xy 0. Đặt t = xy (t 0).
Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra: x + y = 3 + t.
Bình phương hai vế của phương trình thứ hai ta được:
x y 2 2 xy x y 1 16
(1)
Thay xy = t
2
, x + y = 3 + t vào (1) ta được:
22
3 t 2 2 t 3 t 1 16 2 t t 4 11 t
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
115
2 2 2
0 t 11 0 t 11
t3
4(t t 4) (11 t) 3t 26t 105 0
Với t = 3 ta có x + y = 6, xy = 9.
Suy ra nghiệm của hệ là: (x; y) = (3; 3).
Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006
Giải hệ phương trình:
2
2
x 1 y(y x) 4y
(x 1)(y x 2) y
(x, y ).
Giải
Xét y = 0 hệ phương trình trở thành
2
2
x 1 0
(x 1)(x 2) 0
vô nghiệm
Xét y 0. Chia 2 vế của hai phương trình trong hệ cho y ta được:
2
2
x1
y x 4
y
x1
(y x 2) 1
y
(*)
Đặt:
2
x1
u
y
và v = y + x – 2 thì (*) trở thành:
u v 2 u 1
u.v 1 v 1
Vậy:
2
22
x1
1
x 1 y x 1 3 x
y
y 3 x y 3 x
y x 2 1
x 1 x 2
hay
y 2 y 5
.
Bài 12: ĐỀ DỰ BỊ 2 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Giải hệ phương trình:
22
22
(x y)(x y ) 13
(x y)(x y ) 25
(x, y )
Giải
2 2 2 2
2 2 2
(x y)(x y ) 13 (x y)(x y ) 13 (1)
(x y)(x y ) 25 (x y)(x y) 25 (2)
3
2
(x y) 1 x y 1
x y 5
(x y) 25
(3; 2) hoặc (2; 3)
Bài 13: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
Giải hệ phương trình:
22
2 2 2
x xy y 3(x y)
x xy y 7(x y)
(x, y ).
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
116
Giải
Đặt u = x y, v = xy
Ta có:
2
2
u 3u v 0 u 0 u 1
v 0 v 2
v 2u
u 0 x 0
v 0 y 0
u 1 x 2 x 1
hoặc
v 1 y 1 y 2
Bài 14: DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005
Giải hệ phương trình:
22
x y x y 4
x x y 1 y y 1 2
Giải
Hệ phương trình đã cho tương đương
22
22
x y x y 4 0
x y x y xy 2
22
x y x y 4 0
xy 2
(I)
Đặt S = x + y, P = x.y
(I)
2
S 2P S 4 0
P2
2
2
P2
thỏamãn S 4P
S0
P2
thỏamãn S 4P
S1
Với S = 0, P = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình: X
2
– SX + P = 0
X
2
– 2 = 0
1
2
X2
X2
.
Vậy nghiệm của hệ
x 2 x 2
y 2 y 2
Với S = 1, P = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình: X
2
– SX + P = 0
X
2
+ X – 2 = 0
1
2
X1
X2
Vậy nghiệm của hệ
x 1 x 2
y 2 y 1
Tóm lại: Hệ có 4 cặp nghiệm
( 2; 2), ( 2; 2), (1; 2), ( 2;1)
.
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
117
Bài 15: ĐỀ DỰ BỊ 2
Giải hệ phương trình:
2x y 1 x y 1
3x 2y 4
Giải
2x y 1 x y 1
(2x y 1) (x y) 5
. Điều kiện: x + y 0; 2x + y + 1 0 (*)
Đặt u =
2x y 1 0
;
v x y 0
Hệ trở thành:
1
1
22
2
u2
u v 1
2x y 1 4 x 2
v1
x y 1 y 1
u v 5
u 1 loại
(thỏa mãn (*) nên là nghiệm)
Bài 16:
Giải hệ phương trình
3
11
xy
xy
2y x 1
Giải
Điều kiện: xy 0. Hệ phương trình tương đương với:
34
3
yx
xy
y x 0 xy 1
xy
hoặc
2y x 1 x x 2 0
2y x 1
22
3
2
xy 1
y x 0
hoặc
1 1 3
x 2x 1 0
x x 0 vô nghiệm
2 2 2
2
y x 0
x 1 x x 1 0
x = y = 1 x = y =
51
.
Bài 17:
Giải hệ phương trình
2
2
2
2
y2
3y
x
x2
3x
y
Giải
Nhận xét: Với xy 0 thấy vế phải dương nên suy ra x > 0, y > 0 .
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
118
Ta có hệ phương trình đã cho tương đương
22
22
3yx y 2 1
3xy x 2 2
(1) (2) ta được 3xy (x y) = (y x) (y + x)
(x y) (3xy + x + y) = 0
1
2
x1
x 2 loại
y = x, thế vào (1) ta được 3x
3
x
2
2 = 0
(x 1) (3x
2
+ 2x + 2) = 0 x = 1 y = 1 (thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có một nghiệm
x 2 x 2
y 2 y 2
.
Bài 18:
Giải hệ phương trình
3
x y x y
x y x y 2
Giải
Điều kiện
x y 0
x y 0
Khi đó hệ phương trình
23
2
x y x y
x y x y 2
2
x y 0 x y = 1
x y 0 x y 1
x y 2 x + y = 1 (loại)
x+y x y 2 0
3
x =
x1
2
y 1 1
y
2
.
Bài 19: CAO ĐẲNG BÁN CÔNG HOA SEN
Giải hệ phương trình:
22
x y y x 6
x y y x 20
Giải
Điều kiện: x 0; y 0 (*)
Đặt u =
x 0,v y 0
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
119
Đưa về hệ:
22
4 2 2 4
u v uv 6
u v u v 20
Giải hệ này ta được
u 1 u 2
;
v 2 v 1
Nghiệm của hệ đã cho (x; y) = (4; 1) hay (x; y) = (1; 4) .
Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ
A. ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm.
32
2
2x y 2 x xy m
x x y 1 2m
(x, y R).
Giải
Ta có:
32
2
2x y 2 x xy m
x x y 1 2m
3 2 2
2
2x x y 2x xy m
x x 2x y 1 2m
2
2
x 2x y x 2x y m
x x 2x y 1 2m
2
2
x x 2x y m
x x 2x y 1 2m
(*).
Đặt: u = x
2
– x =
2
11
x
24
1
u
4
.
v = 2x – y v R .
Hệ (*) trở thành:
uv m
u v 1 2m
u 1 2m u m
v 1 2m u
2
u u m 2u 1
v 1 2m u
2
uu
m (1)
2u 1
v 1 2m u
.
Đặt:
2
uu
f(u)
2u 1
, với
1
u
4
.
Ta có:
2
2
2u 2u 1
f'(u)
2u 1
,
13
u (Loại)
2
f'(u) 0
13
u (Nhận)
2
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
120
u
1
4
13
2
+
f'(u)
+ 0
f(u)
23
2
5
8
–
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Hệ đã cho có nghiệm (1) có nghiệâm u thuộc
1
;
4
23
m
2
.
Bài 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011
Tìm các giá trò của tham số thực m để phương trình sau có nghiệm:
6 x 2 (4 x)(2x 2) m 4 4 x 2x 2
(
xR
).
Giải
Điều kiện: 1 x 4
Đặt t =
4 2 2 xx
với x [1; 4]
t' =
11
2 4 2 2
xx
=
2 4 2 2
2 4 2 2
xx
xx
t' = 0
2 4 2 2 xx
16 – 4x = 2x – 2 6x = 18 x = 3 t = 3
Điều kiện:
3
t 3
x
1 3 4
Ta có: t
2
= 2 + x +
2 (4 )(2 2)xx
t'
+ 0
x +
2 (4 )(2 2)xx
= t
2
2
t
3
(1) thành: 4 + t
2
= m + 4t
t
2
– 4t + 4 = m (2)
3
6
Xét f(t) = t
2
– 4t + 4 với t [
3
; 3]
f'(t) = 2t – 4, f'(t) = 0 t = 2 f(t) = 0
t
3
2 3
f'
0 +
f
7 4 3
1
0
(1) có nghiệm (2) có nghiệm t [
3
; 3] 0 m 1.
Bài 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008
Tìm giá trò của tham số m để hệ phương trình
x my 1
mx y 3
có nghiệm (x; y)
thỏa mãn xy < 0.
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
121
Giải
Ta có:
x my 1
mx y 3
2
xy
1 m 1 m 1 1
D 1 m , D 1 3m, D 3 m
m 1 3 1 m 3
Ta thấy: m, D = 1 + m
2
0 hệ luôn có nghiệm:
2
2
1 3m
Dx
x
x
D 1 m
Dy 3 m
yy
D
1m
Hệ có nghiệm (x; y) thỏa xy < 0
22
1 3m 3 m
.0
m 1 m 1
(1 + 3m)(3 – m) < 0
1
m
3
hay m > 3
Bài 4: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI
Đònh m để hệ phương trình sau vô nghiệm:
22
x y xy m
x y xy m 1
Giải
S = x + y, P = xy
Hệ trở thành
2
S P m
S và P là nghiệm phương trình: X mX m 1 0
PS m 1
X = 1 hay X = m – 1
Vậy (S = 1, P = m – 1) hay (S = m – 1, P = 1)
Hệ vô nghiệm S
2
– 4P < 0
2
1 4(m 1) 0
(m 1) 4 0
5
4
< m < 3.
Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:
2
x mx 2 2x 1
Giải
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt:
2
x mx 2 2x 1
(1)
22
2
1
x
2x 1 0
2
x mx 2 (2x 1)
f x 3x (m 4)x 1 0 (2)
(1) có 2 nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
12
1
xx
2
