SKKN: Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI
CÁC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ.
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài:
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vị trí, vai trò hết sức quan
trọng. Là môn học cơ bản, môn học công cụ. Nếu học tốt môn toán thì những tri
thức cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt
những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học
sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết; môn toán còn rèn luyện cho
học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có
tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo và bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Trong chương trình toán học ở bậc trung học phổ thông, bài toán tìm giá
trị tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm là bài
toán quan trọng và thường gặp trong kì thi tuyển sinh vào Đại học,Cao đẳng
.Đây là bài toán mà học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn khi làm, nhất là từ
khi thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình thì các dạng toán phải sử
dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng vì định lí này đã bỏ,
do đó học sinh trong khi đọc sách tham khảo xuất bản trước đó có rất nhiều bài
toán sử dụng định lý đó nên học sinh đọc sách rất hoang mang và không biết
phải giải quyết như thế nào.
Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trung
khai thác các bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình ,
hệ phương trình có nghiệm bằng phương pháp đạo hàm.Với việc sử dụng
phương pháp này, những bài toán về tìm giá trị của tham số để phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình có nghiệm sẽ được giải quyết một cách rất tự
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
1

Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

nhiên, thuần túy, ngắn gọn và đơn giản.Đó là lí do để tôi chọn đề tài: “Sử dụng
đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa
tham số”
II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm:
Xuất phát từ mối liên hệ giữa số nghiệm của phương trình một ẩn với số
giao điểm của hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của phương trình đó để giải quyết
các bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình, hệ bất
phương trình có nghiệm.
Trong khi giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình mà phải thực hiện việc đặt ẩn phụ thì việc tìm điều kiện của ẩn phụ
là rất cần thiết, việc tìm điều kiện của ẩn phụ thực ra là tìm tập giá trị của ẩn phụ
trên tập xác định của bài toán đã cho bằng hàm số. Sau khi tìm được điều kiện
của ẩn phụ thì những yêu cầu của đề bài đối với bài toán theo ẩn chính phải
được quy về những yêu cầu tương ứng cho bài toán theo ẩn phụ trên điều kiện
của nó. Đó là điều quan trọng để chọn đặt hàm số tương ứng trên tập giá trị của
ẩn phụ.
Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các em
học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng hàm số để giải
bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có chứa tham số.
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói
trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, bất phương
trình , hệ phương trình có chứa tham số.
- Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình
đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là phương trình,
bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình
mũ và logarit, hệ phương trình.
IV.Phạm vi áp dụng: Áp dụng cho tất cả học sinh bậc THPT trên toàn tỉnh

GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
2
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I.Cơ sở lý luận của vấn đề:
Để sử dụng phương pháp đạo hàm giải bài toán tìm giá trị tham số để
phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm. Ta cần nắm vững các
mệnh đề sau:
Cho hàm số
( )y f x=
liên tục trên tập D
* Phương trình f(x) = m có nghiệm
min ( ) max ( )
x D
x D
x D f x m f x
∈
∈
∈ ⇔ ≤ ≤
* Bất phương trình
( )f x m≤
có nghiệm
min ( )
x D
x D f x m
∈
∈ ⇔ ≤
* Bất phương trình
( )f x m≥

có nghiệm
max ( )
x D
x D m f x
∈
∈ ⇔ ≤
* Bất phương trình
( )f x m≤
, nghiệm đúng với mọi
max ( )
x D
x D m f x
∈
∈ ⇔ ≥
* Bất phương trình
( )f x m≥
, nghiệm đúng với mọi
min ( )
x D
x D m f x
∈
∈ ⇔ ≤
* Cho hàm số
( )y f x=
đơn điệu trên D.
Khi đó:
( ) ( ) ( , )f u f v u v u v D= ⇔ = ∀ ∈
* Cho hai hàm số
( ), ( )y f x y g x= =
có đồ thị lần lượt là

( ) ( )
1 2
,C C
.
Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
là :
( ) ( ) (1)f x g x=
Số nghiệm phương trình (1) bằng số giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
II.Thực trạng của vấn đề:
a.Thuận lợi: Đưa được bài toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất
phương, hệ phương trình có nghiệm vềdạng
( ) ( )f x g m=
hoặc
( ) ( )f x g m≤
sau đó
ta sử dụng các mệnh đề trên để giải quyết bài toán đơn giản.

b.Khó khăn: Không phải mọi bài toán đều đưa được về dạng
( ) ( )f x g m=

hoặc
( ) ( ); ( ) ( )f x g m f x g m≤ ≥
, nhất là khi g(m) là một đa thức theo m mà bậc của
m không cùng bậc.
III.Các phương pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:
1. Phương pháp chung:
Để giải bài toán tìm các giá trị tham số m để phương trình (PT), bất phương
trình (BPT), hệ phương trình (HPT) ta có thể thực hiện thứ tự như sau:
* Biến đổi phương trình, bất phương trình, hệ phương trình về dạng
( ) ( )f x g m=
hoặc
( ) ( ); ( ) ( )f x g m f x g m≤ ≥
.
* Tìm tập xác định D của hàm số f(x)
* Tính
'
( )f x
* Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)
* Xác định
max ( );min ( )
x D
x D
f x f x
∈
∈
.
* Vận dụng một trong các mệnh đề trên, để đưa ra kết luận cho bài toán.

Chú ý: Trường hợp phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa
các biểu thức phức tạp ta làm như sau:
* Đặt ẩn số phụ
( )t x
ϕ
=
.
* Từ điều kiện ràng buộc của ẩn x, ta tìm điều kiện cho ẩn t.
* Đưa phương trình, bất phương trình ẩn x về phương trình, bất phương
trình ẩn t.Ta được
( ) ( )h t g m=
hoặc
( ) ( ); ( ) ( )h t g m h t g m≤ ≥

* Lập bảng biến thiên của hàm số f(t)
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
3
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

* Từ bảng biến thiên rút ra kết luận bài toán
2.Các bài toán minh họa:
2.1 *Dạng 1: Phương trình.
Bài toán 1 : Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
2
2 2 1x mx x+ + = +
có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải:
Ta có:
2
2

1
2 2 1
2
3 4 1 (1)
x
x mx x
mx x x

≥ −

+ + = + ⇔


= + −

Nếu x = 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu
{ }
1
; \ 0
2
x
 
∈ − +∞
÷

 
thì
1
(1) 3 4 (2)m x

x
⇔ = + −
Phương trình (2) là phương trình hoành độ giao điểm của
:d y m=
và đồ thị
1
( ): ( ) 3 4C f x x
x
= + −
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
{ }
1
; \ 0
2
x
 
∈ − +∞ ⇔
÷

 
:d y m=
cắt
1
( ): ( ) 3 4C f x x
x
= + −
trên
{ }
1
; \ 0

2
 
− +∞
÷

 
.Ta có:
{ }
'
2
1 1
( ) 3 0, ; \ 0
2
f x x
x
 
= + > ∀ ∈ − +∞
÷

 
Bảng biến thiên:
x
1
2
−
0 +
∞

f’(x) + +
+

∞
+
∞
f(x)

9
2
-
∞
Từ bảng biến thiên ta có:
9
2
m ≥
* Nhận xét :
Đưa về bài toán tìm số giao điểm đường thẳng và đồ thị.Nếu giải theo cách đưa
về phương trình bậc hai thì tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm
phân biệt thỏa điều kiện
1
;
2
x
 
∈ − +∞
÷

 
.Khi đó dẫn đến so sánh hai nghiệm của
phương trình bậc hai với
1
2

−
, bài toán trở nên phức tạp.
Bài toán 2: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm

2
9 9x x x x m+ − = − + +
(1)
Lời giải:
Điều kiện:
0 9x≤ ≤
PT (1)
2
9 2 (9 ) 9x x x x x x m⇔ + − + − = − + +
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
4
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số


2 2
9 2 9 9x x x x m⇔ + − + = − + +
(2)
Đặt
2
9t x x= − +
Ta có:
'
2
2 9
2 9
x

t
x x
− +
=
− +
;
'
9
0
2
t x= ⇔ =
x 0
9
2
9

'
t
+ 0
−


t
9
2


0 0
Do đó :
9

0
2
t≤ ≤
Phương trình (2) trở thành
2 2
9 2 2 9t t m t t m+ = + ⇔ − + + =
(3)
Xét hàm số
2
( ) 2 9f t t t= − + +
,
9
0
2
t≤ ≤
Ta có :
' '
( ) 2 2 ; ( ) 0 1f t t f t t= − + = ⇔ =
Bảng biến thiên :
t 0 1
9
2


'
( )f t
+ 0
−

( )f t
10

9
9
4
−
Phương trình (1) có nghiệm
[ ]
0;9x∈ ⇔
phương trình (3) có nghiệm
9
0;
2
t
 
∈
 
 

9
10
4
m⇔ − ≤ ≤
* Nhận xét :
Nếu không đặt ẩn phụ thì ta được pt :
2 2
9 2 9 9x x x x m+ − + + − =

Khi đó xét hàm số
2 2
( ) 9 2 9 9f x x x x x= + − + + −
thì việc tính đạo hàm và xét dấu
đạo hàm để lập bảng biến thiên tương đối khó khăn. Tuy nhiên khi đặt ẩn phụ
thì phải tìm điều kiện của t. Khi đó đưa về phương trình hoành độ giao điểm của
đường thẳng song song với trục Ox và đồ thị (C ).
Bài toán 3: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm

2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
(1)
Lời giải :
Điều kiện :
1x ≥
PT (1)
2
4 4
1 1
3 2
1 1
x x
m
x x
 
− −
⇔ + =
 ÷
 ÷

+ +
 
(2)
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
5
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

Đặt
4
1
1
x
t
x
−
=
+
, Do
4 4
1 2
0 1 1 0 1
1 1
x
t
x x
−
≤ = − < ⇒ ≤ <
+ +
Phương trình (2) trở thành :
2 2

3 2 3 2t m t m t t+ = ⇔ = − +
(3)
Xét hàm số
2
( ) 3 2f t t t= − +
,
[
)
0;1t ∈
Ta có :
' '
1
( ) 6 2 ; ( ) 0
3
f t t f t t= − + = ⇔ =
Bảng biến thiên :
t 0
1
3
1

'
( )f t
+ 0
−



( )f t

1
3
0 -1
Phương trình (1) có nghiệm
[
)
1;x ∈ +∞ ⇔
phương trình (3) có nghiệm
[
)
0;1t ∈

1
1
3
m⇔ − < ≤
* Nhận xét:
Nếu không đặt được ẩn phụ mà giải trực tiếp thì đây là bài toán tương đối phức
tạp. Khi đặt ẩn phụ học sinh hay gặp sai lầm là chỉ nói được
0t ≥
, không chỉ ra
được t<1.
Bài toán 4: Cho phương trình
2 2
2 1 2
2
log log 3 (log 3)x x m x+ − = −
(1)
Tìm m để phương trình có nghiệm
[

)
32;x∈ +∞
Lời giải :
Từ điều kiện của x, ta có
2 2
log 5 log 3 2x x≥ ⇒ − ≥
nên
0m ≥
PT (1)
2
2 2 2
log 2log 3 (log 3)x x m x⇔ − − = −

( )
2 2 2
2 2 2
log 2log 3 (log 3) 2x x m x⇔ − − = −
Đặt
2
log ; 5t x t= ≥
.PT (2) trở thành


2 2 2
2 3 ( 3)t t m t− − = −
2
1
2
t
m

t
+
⇔ =
−
(3)
Xét hàm số
1
( )
2
t
f t
t
+
=
−
,
5t ≥
Ta có :
( )
'
2
4
( ) 0 , 5
3
f t t
t
−
= < ∀ ≥
−
Bảng biến thiên

t 5
+∞


'
( )f t




( )f t
3
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
6
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số


1
Phương trình (1) có nghiệm
[
)
32;x∈ +∞ ⇔
phương trình (3) có nghiệm
[
)
5;t ∈ +∞

2
1 3m⇔ < ≤
Kết hợp với điều kiện

0m
≥
, ta có :
1 3m< ≤
.
* Nhận xét :
Nếu ta đưa về phương trình bậc hai theo t thì khi phương trình (3) có nghiệm t
phải kiểm tra nghiệm đó thỏa
5t ≥
. Trong khi đó ta giải theo cách trên đưa về
dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên.
Bài toán 5 :Cho phương trình
1 1 2 2
4 4 ( 1)(2 2 ) 2
x x x x
m m
+ − + −
+ = + − +
(1)
Tìm m để phương trình có nghiệm
[ ]
0;1x∈
Lời giải :
PT (1)
4(4 4 ) ( 1)4(2 2 ) 2
x x x x
m m
− −
⇔ + = + − +
(2)

Đặt
2
2 2 4 4 2
x x x x
t t
− −
= − ⇒ + = +
Ta có :
[ ]
'
2 ln 2 2 ln 2 0 , 0;1
x x
t t
−
= + > ∀ ∈

x 0 1

'
t
+


t
3
2

0
Do đó :
3

0
2
t≤ ≤
PT (2) trở thành :
2
2
2 2 4
2( 2) 2( 1)
2 1
t t
t m t m m
t
− +
+ = + + ⇔ =
+
(3)
Xét hàm số
2
2 2 4 3
( ) , 0;
2 1 2
t t
f t t
t
− +
 
= ∈
 
+
 

Ta có :
( )
2
' '
2
1 11
4 4 10
2
( ) ; ( ) 0
2 1
1 11
2
t
t t
f t f t
t
t

− +
=

+ −

= = ⇔

+
− −
=



Bảng biến thiên :
t 0
3
2


'
( )f t

−



( )f t
4
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
7
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số




11
8
Phương trình (1) có nghiệm
[ ]
0;1x∈ ⇔
phương trình (3) có nghiệm
3

0;
2
t
 
∈
 
 

11
4
8
m⇔ ≤ ≤
* Nhận xét :
Nếu ta đưa về phương trình bậc hai theo t thì khi phương trình (3) có nghiệm t
phải kiểm tra nghiệm đó thỏa
[ ]
0;1t ∈
. Trong khi đó ta giải theo cách trên đưa về
dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên.
Bài toán 6 :Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm thực

( )
2 2
1 1 1 1
9 3 3 2 1 0
x x
m m
+ − + −

− + + + =

Lời giải:
Điều kiện:
1 1x≤ ≤
. Đặt
2
1 1
3
x
t
+ −
=
.
Ta có:
2 2
0 1 1 1 1 1 2x x≤ − ≤ ⇒ ≤ − + ≤
Nên
2
1 1 2
3 3 3 3 9
x
t
− +
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
Khi đó, phương trình đã cho trở thành

( )
2
2

3 1
3 2 1 0
2
t t
t m t m m
t
− +
− + + + = ⇔ =
−
Xét hàm số
( )
2
3 1
2
t t
f t
t
− +
=
−
trên
[ ]
3;9
.
Ta có
( )
[ ]
2
'
2

4 5
( ) 0, 3;9
2
t t
f t t
t
− +
= > ∀ ∈
−
.
Suy ra:
( )f t
là hàm số đồng biến trên
[ ]
3;9
Do đó phương trình đã có nghiệm khi và chỉ khi
[ ]
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
3;9
3;9
55
min ax 3 9 1
7
f t m m f t f m f m≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

Bài toán 7 : Cho phương trình
( ) ( )
3 tan 1 sin 2cos sin 3cosx x x m x x+ + = +

(1)
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
Lời giải :
Xét
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
, khi đó
sin 0,cos 0,tan 0 ,sin 3cos 0x x x x x> > > + >
PT (1)
sin 2cos
3 tan 1
sin 3cos
x x
x m
x x
+

⇔ + =
+

tan 2
3 tan 1
tan 3
x
x m
x
+
⇔ + =
+
(2)
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
8
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

Đặt
tan , 0t x t= >
PT (2) trở thành
2
3 1 .
3
t
t m
t
+
+ =
+
, t >0

Xét hàm số
2
( ) 3 1 . , 0
3
t
f t t t
t
+
= + >
+
Ta có :
( )
'
2
3 2 1
( ) . 3 0 , 0
3
2 1
3
t t
f t t
t
t
t
+ +
= + > >
+
+
+
Bảng biến thiên

t 0
+∞


'
( )f t
+



( )f t

+∞


2
Ứng mỗi
0t
>
thỏa mãn PT (3), ta được đúng một nghiệm
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
của PT (1)
Do đó PT (1) có nghiệm duy nhất thỏa

0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
khi và chỉ khi PT (3) có duy
nhất nghiệm
0t >
.
Từ bảng biến thiên ta có :
2m >
* Nhận xét :
Đây là bài toán tương đối khó, sau khi đặt ẩn phụ ta vẫn được một phương trình
chứa căn phức tạp.Cách giải trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó
là ưu điểm của cách giải trên.
Bài toán 8 : Cho phương trình
6 3x x mx− + + =
(1) .Tìm m để phương trình có
nghiệm
Lời giải :
Điều kiện :
3 6x− ≤ ≤
Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên (1) tương đương với

6 3x x
m
x x

− +
+ =
Xét hàm số
6 3
( )
x x
f x
x x
− +
= +
,
[ ]
3;6x∈ −
Ta có :
'
2 2
12 6
( )
2 6 2 3
x x
f x
x x x x
− +
= −
− +
Với mọi
[ ]
3;6 12 0, 6 0x x x∈ − ⇒ − < + >
nên
( )

'
( ) 0 , 3;6f x x< ∀ ∈ −
Bảng biến thiên :
x
3−
0 6
f’(x)
−

−
-1 +
∞
f(x)
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
9
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

-
∞

1
2
Từ bảng biến thiên ta có : Phương trình (1) có nghiệm
1
1
2
m
m
≤ −



⇔

≥

* Nhận xét :
Đây là bài toán mà ta không đặt được ẩn phụ, nếu dùng phép biến đổi mất căn
thì dẫn đến một phương trình phức tạp. Cách giải trên đưa về dùng bảng biến
thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên.
Bài toán 9 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

2 3 2
3 1 2 2 1x x x m− − + + =
(1) trên
1
;1
2
−
 
 
 
Lời giải:
Xét hàm số
( )
2 3 2
3 1 2 2 1f x x x x= − − + +
trên
1
;1
2

−
 
 
 
.
Ta có
2
'
2 3 2 2 3 2
3 3 4 3 3 4
( )
1 2 1 1 2 1
x x x x
f x x
x x x x x x
 
− + +
= − = − +
 ÷
− + + − + +
 
Xét hàm số
( )
3 2
2 1g x x x= + +
trên
1
;1
2
−

 
 
 
.
Ta có
( )
2
3 4 0 0g x x x x
′
= + = ⇔ =
Ta có bảng biến thiên
x
1
2
−
0 1

'
( )g x
+ 0
−



( )g x



1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

1
( ) 1, ;1
2
g x x
 
≥ ∀ ∈ −
 
 

và
1
;1
2
x
 
∀ ∈ −
 
 
ta có
1 5
3( ) 4 3 4 3.1 4 3 4 7
2 2
x x− + ≤ + ≤ + ⇔ ≤ + ≤
.
Suy ra
2 3 2
3 3 4 1
0, ;1
2
1 2 1

x
x
x x x
+
 
+ > ∀ ∈ −
 
 
− + +
Do đó
( )
0 0f x x
′
= ⇔ =
Bảng biến thiên:
x
1
2
−
0 1

'
( )f x

−
0 +
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
10
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

( )f x
1


3 3 22
2
−

4−
PT (1) là phương trình hoành độ giao điểm của
:d y m=
và
(C ) :
( )
2 3 2
3 1 2 2 1f x x x x= − − + +
Phương trình có nghiệm duy nhất khi
3 3 22
4
2
m
−
− ≤ <
hoặc
1m
=
.

* Nhận xét :Đây là bài toán mà ta không đặt được ẩn phụ, nếu dùng phép biến
đổi mất căn thì dẫn đến một phương trình phức tạp. Cách giải trên đưa về dùng
bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên.
Bài toán 10 : Chứng minh rằng
0m∀ >
, phương trình sau luôn có hai nghiệm
thực phân biệt:
2
2 8 ( 2)x x m x+ − = −

Giải
Do
0m >
nên
2x ≥

(1)
⇔
[ ]
2
( 2)( 4) ( 2) ( 2)( 4) ( 2)x x m x x x m x− + = − ⇔ − + = −
2
3 2
2
( 2) ( 2)( 4) 0
6 32 0(*)
x
x x x m
x x m
=


 
⇔ − − + − = ⇔

 
+ − − =

Yêu cầu bài toán quy về chứng minh phương trình (*) có một nghiệm trong
(2; )+∞
Biến đổi (*)
3 2
6 32m x x⇔ = + −
.
Xét hàm số
3 2
( ) 6 32f x x x= + −
với
2x >
.
Ta có
' 2
( ) 3 12 0, 2f x x x x= + ≥ ∀ >
và
lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞
Bảng biến thiên:
x 2

+∞


'
( )f x
+



( )f x

+∞


0
Từ bảng biến thiên suy ra
0m∀ >
phương trình (*) có đúng một nghiệm
2x >
.
Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt
0m∀ >
.
* Nhận xét:
Sau khi tìm được điều kiện
2x ≥
việc khảo sát hàm số
( )f x
ở trên là rất dễ
dàng chủ yếu là dùng đạo hàm tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng

biến của hàm số
( )f x
.
2.2 * Dạng 2: Bất phương trình.
Bài toán 1: Tìm
m
để bất phương trình
4 2 2 4x x m− + − <
có nghiệm.
Lời giải:
Điều kiện:
1
4
2
x≤ ≤
.
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
11
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

Khi đó, bất phương trình
4 2 2 4x x m− + − <
có nghiệm
1
;4
2
x
 
∈
 

 

1
;4
2
min 4 2 2 4m x x
 
 
 
 
⇔ > − + −
 
Xét hàm số
( )
4 2 2 4f x x x= − + −
trên
1
;4
2
 
 
 
.
Ta có
( )
( ) ( )
2 1 2 4 4 2
4 2 4
4 2 4
x x

f x
x x
x x
− − −
′
= − =
− −
− −

( )
9
0 2 4 4 2
4
f x x x x
′
= ⇔ − − − ⇔ =
Tính
( )
1 9
14; 2 7; 4 14
2 4
f f f
   
= = =
 ÷  ÷
   
. Suy ra
( )
1
;4

2
min 14f x
 
 
 
 
=
 
.
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
14m >
.
Bài toán 2: Tìm tham số
m
để bất phương trình sau có nghiệm:

3 1mx x m− − ≤ +
(1)
Giải
Điều kiện:
3x ≥
. Đặt
2
3 , 0 3t x t x t= − ≥ ⇒ = +
BPT (1) trở thành
2
2
1
( 3) 1
2

t
m t t m m
t
+
+ − ≤ + ⇔ ≤
+
(2)
Xét hàm số
2
1
( )
2
t
f t
t
+
=
+
,
0t
≥
Ta có:
( )
2
' ' 2
2
2
1 3
2 2
( ) , ( ) 0 2 2 0

1 3
2
t
t t
f t f t t t
t
t

= − +
− − +
= = ⇔ − − + = ⇔

= − −

+

Bảng biến thiên
t 0
3 1−

+∞


'
( )f t
+ 0
−

( )f t

1 3
4
+

1
2
0
Suy ra
[
)
( )
0;+
1 3
ax
4
m f t
∞
+
 
=
 

Bất phương trình (1) có nghiệm
3x ≥

⇔
bất phương trình (2) có nghiệm
0t ≥

[
0; )
max ( )m f t
+∞
⇔ ≤

3 1
4
m
+
⇔ ≤
* Nhận xét:
Nếu đưa về bất phương trình
1 3
3 1
1
x
mx x m m
x
+ −
− − ≤ + ⇔ ≥
−
. Khi đó hàm số
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
12
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

( )
1 3

1
x
f x
x
+ −
=
−
dẫn đến việc tính đạo hàm, giải phương trình đạo hàm và xét dấu
đạo hàm gặp khó khăn.
Bài toán 3: Tìm m để bất phương trình
( ) ( )
2
4 6 2x x x x m+ − ≤ − +
(1) nghiệm
đúng với mọi
[ ]
4;6x∈ −
Lời giải:
Đặt
2 2 2
2 24 2 24t x x x x t= − + + ⇒ − = −

' '
2
2 2
, 0 1
2 2 24
x
t t x
x x

− +
= = ⇔ =
− + +
x
4−
1 6

'
t

−
0 +



t
5

0 0
Do đó
0 5t≤ ≤
Bất phương trình (1) trở thành
2 2
24 24t t m m t t≤ − + ⇔ ≥ + −
(2)
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
[ ]
4;6x∈ − ⇔
Bất phương trình (2)
nghiệm đúng với mọi

[ ]
[ ]
0;5
0;5 max ( )t m f t∈ ⇔ ≥
Ta có
2 ' '
1
( ) 24 , ( ) 2 1 , ( ) 0 ( )
2
f t t t f t t f t t l= + − = + = ⇔ = −
Tính f(0) = -24, f(5) = 6. Do đó
[ ]
0;5
max ( ) 6f t =
Vậy
6m
≥
.
Bài toán 4: Tìm
m
để bất phương trình
2
2 9m x x m+ < +
có nghiệm với mọi
x
.
Lời giải
Ta có
2
2

2 9
2 9 1
x
m x x m m
x
+ < + ⇔ <
+ −
, vì
2
2 9 1 0,x x+ − > ∀
Khi đó, phương trình có nghiệm với mọi
x
2
min
2 9 1
x
m
x
 
⇔ <
 
+ −
 
¡
Xét hàm số
( )
2
2 9 1
x
f x

x
=
+ −
trên
¡
.
Ta có
( )
(
)
2
2
2
2 2
6
9 2 9
0 9 2 9 0
6
2 9 2 9 1
x
x
f x x
x
x x
= −

− +
′
= = ⇔ − + = ⇔


=

+ + −
Bảng biến thiên:
x

−∞
-6 6
+∞

( )
f x
′
- 0 + 0 -
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
13
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số


1
2
−

3
4
( )
f x

3
4

−

1
2
Suy ra
( )
3
min
4
f x
 
= −
 
¡
.
Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi
x
khi
3
4
m < −
.
Bài toán 5: Tìm
m
để bất phương trình
tanx tanx
.16 2 .4 2 2 0m m m− + − ≥
nghiệm đúng
với mọi
0;

4
x
π
 
∈
 
 
.
Lời giải
Đặt
tanx
4t =
. Với
[ ]
0; 1;4
4
x t
π
 
∈ ⇒ ∈
 
 
.
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành
2
2 2 2 0mt mt m− + − ≥
.
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi
0;
4

x
π
 
∈
 
 
khi và chỉ khi
[ ] [ ]
[ ]
2
2 2
1;4
2 2
2 2 2 0, 1;4 , 1;4 ax
2 2 2 2
mt mt m t m t m m
t t t t
 
− + − ≥ ∀ ∈ ⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ ≥
 
− + − +
 
.
Xét hàm số
( )
2
2
2 2
f t
t t

=
− +
trên
[ ]
1;4
. Ta có
( )
( )
( )
[ ]
2
2
4 1
0, 1;4
2 2
t
f t t
t t
−
′
= ≤ ∀ ∈
− +
Bảng biến thiên
t 1 4

'
( )f t

−

( )f t
2



1
5
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
[ ]
1;4
ax ( ) 2m f t =
. Do đó giá trị cần tìm là:
2m
≥
.
Bài toán 6: Tìm
m
để bất phương trình
( ) ( )
2 2
5 5
1 log 1 log 4x mx x m+ + ≥ + +
nghiệm
đúng với mọi
x
.
Lời giải:
Ta có

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
5 5 5 5
1 log 1 log 4 log 5 1 log 4x mx x m x mx x m
 
+ + ≥ + + ⇔ + ≥ + +
 
( )
2
2
2 2
2
4
4 0
1
4
5 1 4
5
1
x
m
mx x m
x
x
x mx x m
m
x
−

>


+ + >

 
+
⇔ ⇔
 
+ ≥ + +
 

≤ −

+

(*)
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
14
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

Hệ bất phương trình (*) thỏa với mọi x
2
2
4
ax
1
4
5 min
1
x
m m

x
x
m
x

−
 
>

 
+
  
⇔

−
 

≤ +
 

+
 

¡
¡
Xét hàm số
( )
2
4
1

x
f x
x
−
=
+
trên
¡
. Ta có
( )
( )
( )
2
2
2
4 1
1
0
1
1
x
x
f x
x
x
−
= −

′
= = ⇔


=

+
Bảng biến thiên:
x

−∞
-1 1
+∞

( )
f x
′
+ 0 - 0 +
2 0

( )
f x

0 -2
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
( ) ( )
min 2;max 2f x f x
   
= − =
   
¡
¡
.

Vậy giá trị cần tìm là:
2 5 2 2 3m m< ≤ − ⇔ < ≤
.
Bài toán 7: Tìm
m
để hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
1 3 2
3 3
y mx m x m x= − − + − +
đồng biến trên

[
)
2;+∞
.
Lời giải:
Ta có
( ) ( )
2
2 1 3 2y mx m x m
′
= − − + −
.
Hàm số đồng biến trên
[
)
2;+∞

⇔
( ) ( )
[
)
2
2 1 3 2 0, 2;y mx m x m x
′
= − − + − ≥ ∀ ∈ +∞

[
)
[
)
2 2
2;
6 2 6 2
, 2; ax
2 3 2 3
x x
m x m m
x x x x
+∞
− −
 
⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≥
 
− + − +
 
Xét hàm số
( )

2
6 2
2 3
x
f x
x x
−
=
− +
trên
[
)
2;+∞
.
Ta có
( )
( )
2
'
2
2
2 12 6
0 3 6
2 3
x x
f x x
x x
− +
= = ⇔ = ±
− +

Bảng biến thiên:
x 2
3 6+

+∞

'
( )f x

−
0 +



( )f x

2
3
0
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
[
)
( )
2;
2
ax
3
m f x
+∞
 

=
 
. Do đó giá trị cần tìm là:
2
3
m ≥
.

Bài toán 8: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
cos
4
x - 5cos3x - 36sin
2
x - 15cosx + 36 + 24m - 12m
2

≥
0 (1)
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
15
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

Lời giải:
TXĐ: D = IR
Trên D bpt (5)
⇔
3cos
4
x - 20cos
3

x + 36cos
2
x

+ 24m - 12m
2

≥
0 (2)
Đặt t = cosx với t
∈

[ ]
1;1−
Bất phương trình (2) trở thành 3t
4
- 20t
3
+ 36t
2
+ 24m - 12m
2

≥
0

⇔
3t
4
- 20t

3
+ 36t
2

≥
12m
2
- 24m (3)
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
x IR∈ ⇔
bất phương trình (3) nghiệm
đúng với mọi
[ ]
1;1t ∈ −

Xét hàm số : f(t) = 3t
4
- 20t
3
+ 36t
2
víi t
∈

[ ]
1;1−
Ta có: f’(t) = 12t
3
- 60t
2

+ 72t = 12t(t
2
- 5t + 6)
f’(t) = 0
⇔
12t(t
2
- 5t + 6) = 0
⇔






=
=
=
3t
2t
0t
Bảng biến thiên
t -1 0
1

'
( )f t

−
0 +

( )f t

59
19
0
Từ bảng biến thiên ta có f(t)
≥
12m
2
- 24m ,
∀
t
∈

[ ]
1;1−


⇔
12m
2
- 24m
≤
[ ]
)t(f
min
1;1-

⇔
12m
2
- 24m
≤
0
⇔
0
≤
m
≤
2
Vậy: 0
≤
m
≤
2
2.3* Dạng 3: Hệ phương trình
Bài toán 1: Tìm m để hệ phương trình
( ) ( )
2 2
8
1 1
x y x y
xy x y m

+ + + =



+ + =


(1) có nghiệm
Lời giải:
Đặt
2 2
,u x x v y y= + = +
.Điều kiện
1 1
,
4 4
u v≥ − ≥ −
Hệ phương trình (1) trở thành
( )
2
8
8
8 2
v u
u v
u u m
uv m
= −
+ =


⇔
 
− + =

=


GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
16
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

Vì
1 1 33
8
4 4 4
v u u≥ − ⇒ − ≥ − ⇔ ≤
. Do đó:
1 33
4 4
u− ≤ ≤
Hệ phương trình (1) có nghiệm
⇔
phương trình (2) có nghiệm
1 33
;
4 4
u
 
∈ −
 
 
Xét hàm số
2
( ) 8f u u u= − +

,
1 33
;
4 4
u
 
∈ −
 
 
Ta có
' '
1
( ) 2 1 , ( ) 0
2
f u u f u u= − + = ⇔ =
Bảng biến thiên
u
1
4
−

1
2

33
4

'
( )f u

+
0
−



( )f u
16

33
16
−

33
16
−
Từ bảng biến thiên ta có
33
16
16
m− ≤ ≤
*Nhận xét
Ta có thể giải cách khác là: Hệ phương trình có nghiệm
⇔
phương trình (2) có
hai nghiệm u, v lớn hơn hoặc bằng
1
4
−
. Khi đó dẫn đến so sánh hai nghiệm với

1
4
−
và học sinh sẽ gặp khó khăn vì so sánh hai nghiệm với số thực không có
trong bài định lí về dấu tam thức bậc hai ở lớp 10.
Bài toán 2: Tìm m để hệ phương trình
1 1
1 1
x y m
y x m

+ − = +


+ − = +


(1) có nghiệm duy nhất
Lời giải:
Điều kiện:
0 1
0 1
x
y
≤ ≤


≤ ≤

Từ hệ

1 1x y x x⇒ + − = − +

1 1
( ) ( )
x x y y
f x f y
⇔ − − = − −
⇔ =
Xét hàm số
[ ]
( ) 1 , 0;1f t t t t= − − ∈

( )
'
1 1
( ) 0 , 0;1
2 2 1
f t t
t t
= + > ∀ ∈ ⇒
−
hàm số
( )y f t=
đồng biến trên
[ ]
0;1
Khi đó :
( ) ( )f x f y x y= ⇔ =
Thay vào hệ ta được :
[ ]

1 1 , 0;1x x m x− − = + ∈
(2)
Xét hàm số
[ ]
( ) 1 , 0;1f x x x x= + − ∈
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
17
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

Ta có :
'
1 1 1
( )
2 2 1 2 (1 )
x x
f x
x x x x
− −
= − =
− −

'
1
( ) 0 1
2
f x x x x= ⇔ − = ⇔ =
Bảng biến thiên :
x
0

1
2

1

'
( )f x

+
0
−



( )f x

2


1

1
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
⇔
phương trình (2) có nghiệm duy
nhất.
Từ bảng biến thiên ta có :
1 2 2 1m m+ = ⇔ = −
* Nhận xét :
Ta có thể giải hệ trên dùng điều kiện cần và đủ. Giả sử

( )
;
o o
x y
là một nghiệm của
hệ thì
( )
1 ;1
o o
x y− −
cũng là một nghiệm của hệ. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất
cần
1
2
o o
x y= =
.Từ đó tìm m và thử lại.Cách giải này hay gặp sai lầm là không
thử lại.
Bài toán 3 : Tìm m để hệ phương trình
3 2
2
2 ( 2)
1 2
x y x xy m
x x y m

− + + =

+ − = −


(1) có nghiệm
Lời giải :
Hệ phương trình (1)
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2 1 2
x x x y m
x x x y m

− − =

⇔

− + − = −


Đặt
2
1
, ; 2
4
u x x u v x y= − ≥ − = −
Hệ đã cho trở thành
2
(2 1) 0 (2)

1 2
1 2
uv m
u m u m
u v m
v m u
=

+ − + =

⇔
 
+ = −
= − −


Hệ đã cho có nghiệm
⇔
phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn
1
4
u ≥ −
Với
1
4
u ≥ −
, ta có : (2)
2
2
(2 1)

2 1
u u
m u u u m
u
− +
⇔ + = − + ⇔ =
+
Xét hàm số
2
( )
2 1
u u
f u
u
− +
=
+
, với
1
4
u ≥ −
Ta có :
( )
2
' '
2
2 2 1 3 1
( ) , ( ) 0
2
2 1

u u
f u f u u
u
+ − −
= − = ⇔ =
+
Bảng biến thiên :

GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
18
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

u
1
4
−

3 1
2
−

+∞

'
( )f u

+
0
−

( )f u

2 3
2
−


5
8
−

−∞
Từ bảng biến thiên ta có :
2 3
2
m
−
≤
.
* Nhận xét :
Đây là một câu trong đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2011. Nếu học sinh
không trang bị đầy đủ kiến thức về dạng toán trên thì gặp khó khăn khi giải bài
này.
Bài toán 4: Tìm m để hệ phương trình
2 3
3 3
2
3 3

1
3 3
3
x y x y
x y
y m x
m
+ +
+
−

+ =


 
+ =

 ÷
 

(1) có nghiệm
Lời giải :
Hệ đã cho
( )
2 3
3
2
3 3
3 3 3
x y x y

x y
x y m
m
+ +
− +
+

+ =

⇔

+ =


Đặt
2
3
3
( 0, 0)
3
x y
x y
u
u v
v
+
+

=
> >


=

.Ta được :
( )
3 3
1 1
3 3 3 2
m m
u v u v
u v
v v
+ = = −
 
 
⇔
 
+ = − + =
 
 
Vì
0 3 0 3u v v> ⇒ − > ⇒ <
.Do đó :
0 3v< <
.
Hệ phương trình đã cho có nghiệm
⇔
phương trình (2) có nghiệm thỏa
0 3v< <
Xét hàm số

( )
1
( ) 3 , 0;3f v v v
v
= − + ∈
Ta có :
( )
'
2
1
( ) 1 0 , 0;3f v v
v
= − − < ∀ ∈
Bảng biến thiên :
v 0 3

'
( )f v

−



( )f v

+∞

1
3
Từ bảng biến thiên ta có:
1
3 1
3
m
m> ⇔ > −
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
19
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

Bài toán 5: Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm

3 3 2
2 2 2
12 6 16 0 (1)
4 2 4 5 4 0 (2)
x x y y
x x y y m

− − + − =


+ − − − + =


Lời giải:
Điều kiện:
2 2

0 4
x
y
− ≤ ≤


≤ ≤

Ta có
( ) ( )
3
3
(1) 12 2 12 2x x y y⇔ − = − − −
Xét hàm số
[ ]
3
( ) 12 , 2;2f t t t t= − ∈ −

( )
( )
' 2 2
( ) 3 12 3 4 0 , 2;2f t t t t t⇒ = − = − < ∀ ∈ −
Suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên
[ ]
2;2−
(3)
Ta có: x và y – 2 cùng thuộc đoạn
[ ]
2;2−
và

( ) ( 2) 2f x f y x y= − ⇒ = −
Thay vào (2) ta được phương trình
2 2
3 4 4x x m− − =
(4)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm
⇔
phương trình (4) có nghiệm x thuộc
[ ]
2;2−
Xét hàm số
2 2
( ) 3 4 4g x x x= − −
,
[ ]
2;2x∈ −

'
2 2
'
3 3
( ) 8 8
4 4
( ) 0 0
x
g x x x
x x
g x x
 
−

= − = − +
 ÷
− −
 
= ⇔ =
Bảng biến thiên
x
2−

0

2

'
( )g x

+
0
−



( )g x

6



16
−

16
−
Từ bảng biến thiên ta có :
16 6m− ≤ ≤
Bài toán 6 : Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm

2 1 2 1
2
7 7 2005 2005 (1)
( 2) 2 3 0 (2)
x x x
x
x m x m
+ + + +

− + ≤


− + + + ≥


Lời giải:
Điều kiện:
1x ≥ −
Ta có
( )
( )
2 1 2 1 1 2
(7 7 2005 2005 7 7 7 2005 1

x x x x x
x x
+ + + + +
− + ≤ ⇔ − ≤ −
(3)
Nếu x = 1thỏa bất phương trình (3).Do đó bất phương trình (3) có nghiệm x = 1
Nếu
1x >
thì VT > 0 còn VP < 0 nên bất phương trình (3) vô nghiệm
Nếu
1 1x− ≤ <
thì VT < VP nên bất phương trình (3) có nghiệm là
1 1x− ≤ <
Do đó:Bất phương trình (3) có tập nghiệm là
[ ]
1;1T = −
Để hệ bất phương trình có nghiệm thì bất phương trình (2) có nghiệm
[ ]
1;1x∈ −

GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
20
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

Ta có :
( )
[ ]
2
2 2
2 3

( 2) 2 3 0 2 2 3 (3), 1;1
2
x x
x m x m x m x x m x
x
− +
− + + + ≥ ⇔ − ≤ − + ⇔ ≥ ∈ −
−
Xét hàm số
2
2 3
( )
2
x x
f x
x
− +
=
−
,
[ ]
1;1x∈ −

( )
2
' ' 2
2
2 3
4 1
( ) , ( ) 0 4 1 0

2
2 3
x
x x
f x f x x x
x
x

= +
− +
= = ⇔ − + = ⇔

−
= −



Bảng biến thiên
x -1
2 3−
1

'
( )f x

+
0
−

( )f x

2 3−
-2 -2
Từ bảng biến thiên ta có
[ ]
1;1
min ( ) ( 1) 2f x f
−
= ± = −
Bất phương trình (3) có nghiệm
[ ]
[ ]
1;1
1;1 min ( ) 2x m f x m
−
∈ − ⇔ ≥ ⇔ ≥ −
Vậy:
2m
≥ −
IV.Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm:
Sáng kiến kinh nghiệm nhằm trang bị cho học sinh THPT, đăc biệt học
sinh 12 phương pháp dùng đạo hàm để giải bài toán tìm giá trị tham số để
phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm. Phương pháp này
nhằm giúp cho học sinh giải được bài toán dạng trên trong đề thi tuyển sinh Đại
học, Cao đẳng.


GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

21
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

C. KẾT LUẬN
Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 trong một số giờ tự chọn
ôn thi, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm
và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình đã giúp cho học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa số nghiệm
của một phương trình với số giao điểm của các đồ thị của hai hàm số ở hai vế,
học sinh biết cách sử dụng đạo hàm trong nhiều bài toán tìm tham số, làm bài có
những lập luận chặt chẽ hơn trong những tình huống giải phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình .
Mặc dù Sách giáo khoa đã giảm tải khá nhiều nhưng trong các đề thi tuyển
sinh vào đại học có nhiều bài rất khó được phát triển từ các bài tập trong sách
giáo khoa, nên để giải quyết các bài toán đó cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn
điệu của hàm số. Đề tài này chỉ giới thiệu cách giải một số phương trình, bất
phương trình, đặc biệt là phương trình, bất phương trình chứa tham số bằng việc
sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết,
vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì năng lực và thời gian
có hạn, rất mong được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp và những người
yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường.
Góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông.
Giúp các em học sinh có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quan
đến hàm số trong các kỳ thi cuối cấp.

Quảng Điền, ngày 20 tháng 3 năm 2012.
Người viết
Trần Dũng

GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
22
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

Tài liệu tham khảo
1.Tạp chí Toán học và tuổi trẻ
2.Sách giáo khoa môn Toán 10, 11, 12
3.Sách bài tập môn Toán 10, 11, 12
4.Chuyên đề Đại số các phương pháp giải phương trình đại số -Nxb của
Huỳnh Công Thái
5.Chuyên đề các phương pháp giải phương trình mũ, lôgarit và các loại hệ
phương trình đại số -Nxb của Huỳnh Công Thái


GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
23
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
24