Giáo án Toán tự chọn lớp 11 đẹp và đủ



 ! "
 1.Về kiến thức:Học sinhnắm rõ hơn các kiến thức đã đưc học trong phần bài học.
2.Về kỹ năng: Học sinh thành thạo hơn trong việc giải bài tập.
3.Về tư duy, thái độ: Rèn luyện tư duy linh hoạt thông qua việc giải toán.
 #$%"
 Giáo viên: Chuẩn bị một số bài tập về hàm số lưng giác.
Học sinh: Học kỹ lí thuyết, xem lại các ví dụ và bài tập đã giải.
&'&&"Về cơ bản sử dụng phương pháp dạy học gi mở vấn đề.
(
)(*(+,$-"
1/ $n định lớp: Kiểm tra sĩ số học sinh, chia lớp thành 6 nhóm.
2/ Kiểm tra bài cũ: Đan xen với các hoạt động nhóm.
3/ Bài mới: 
./012"(3456789:19;<4=>
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
Hỏi: Tập xác định của
hàm số
y=f(x) là gì?
Các biểu thức tanf(x),
cotf(x),
( )f x
,
( )
( )
f x
g x

có nghĩa khi nào?
Gv yêu cầu Hs áp dụng

tìm tập xác định của các
hàm số
Hs trả lời:
-Là tập hp tất cả các số thực x sao
cho hàm số có nghĩa
- tanf(x) có nghĩa khi
( )
2
f x k
π
π
≠ +
- cotf(x) có nghĩa khi
( )f x k
π
≠
-
( )f x
có nghĩa khi
( ) 0f x
≥
-
( )
( )
f x
g x
có nghĩa khi
( ) 0g x
≠
Hs xung phong lên bảng giải bài.

Bài 1:
Tìm t8p xác định của hàm số:
1 sin
1) ;
cos
x
y
x
−
=
1 sin
2) ;
1 sin
x
y
x
+
=
−
3) cot( );
3
y x
π
= +
4) tan(2 );
6
y x
π
= −
2

5) sin( );
1
x
y
x
=
−
6) cot( );
4
y x
π
= −
7) tan(2 1);y x= +
8) cos ;y x
=
4
9) cos ;
5
y
x
=
10) cot(2 ).
6
y x
π
= −
./012"(34(?<(9;989<4=>
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
Gv: Để làm những bài toán về
tìm GTLN và GTNN của các

hàm số có liên quan đến sinx,
cosx ta thường áp dụng hệ quả:
: 1 sin 1
α α
∀ ∈ − ≤ ≤¡
và
1 cos 1
α
− ≤ ≤
Gv: Với câu 5 và câu 6 ta phải
dùng công thức lưng giác nào
để biến đổi đưa về một hàm số
lưng giác.
-Hs lắng nghe và ghi nhớ
Trả lời:
2 2 2
5)4sin .cos sin 2x x x
=
2
6) 2sin cos 2 1 2cos 2x x x
− = −
Bài 2:
Tìm GTLN và GTNN của các
hàm số:
1) 2cos 1
3
y x
π
 
= − =

 ÷
 
2) 2 3cosy x= +
2
1 4cos
3)
3
x
y
+
=
4) 1 sin 3y x
= + −
2 2
5) 3 4sin .cosy x x
= −
2
6) 2sin cos 2y x x
= −
)@ABCBD"Học bài – Xem lại ví dụ – Đọc phần tiếp theo – Làm bài tập Sbt
(
)(*(+,$-"
1/ $n định lớp: Kiểm tra sĩ số học sinh, chia lớp thành 6 nhóm.
2/ Kiểm tra bài cũ: Đan xen với các hoạt động nhóm.
3/ Bài mới: 
./012E"F89:1G19H1IJ9;989<4=>
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
-Gv nhắc lại định nghĩa về
hàm số chẵn và hàm số lẻ.
-Gv yêu cầu Hs lên bảng giải.

-Hàm số y=f(x) với tập xác
định D gọi là hàm số chẵn
nếu
x
∀ ∈
D thì
x
− ∈
Dvà
f(-x)=f(x)
-Hàm số y=f(x) với tập xác
định D gọi là hàm số lẻ nếu
x
∀ ∈
D thì
x
− ∈
Dvà
f(-x)=-f(x).
-Hs lên bảng giải.
Bài 3:
Xác định tính chẵn lẻ của các hàm số:
1) tan 2siny x x
= +
2
2) cos siny x x
= +
3) sin cosy x x= +
4) sin .cos3y x x
=

5) sin coty x x
= +
6) .siny x x
=
7) .cos2y x x
=
3
8) sin 2y x x
=
9) siny x x
= −
10) sin 2y x
=
./012K"F89:19LMN9;<4=>
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
-Gv: Hãy xác định chu kì tuần
hoàn của các hàm số: sinx; cosx;
tanx?
-Vậy chu kì tuần hoàn của hàm
số là?
-Hs phát biểu:
-Chu kì tuần hoàn của hàm số
sin, cos là
2
π
.
-Chu kì tuần hoàn của hàm số
tan, cot là
π
.

-Hs xác định chu kì tuần hoàn
của các hàm số
Bài 4:
Xác định chu kỳ của hàm số:
1) cos6y x
=
2) sin 3y x
=
3) tan
3
x
y
=
)@ABCBD"
-Nắm các kiến thức về tập xác định, tính chẵn lẻ, sự biến thiên, đồ thị và GTLN, GTNN của một
hàm số lưng giác.
-Làm thêm các bài tập trong Sbt

&'(+,K
 ! "
1.Về kiến thức: Làm cho HS hiểu sâu sắc hơn về kiến thức cơ bản của phương trình lưng giác và
bước đầu hiểu đưc một số kiến thức mới về phương trình lưng giác trong chương trình nâng cao chưa
đưc đề cập trong chương trình chuẩn.
2.Về kỹ năng: Tăng cường rèn luyện kỹ năng giải toán về phương trình lưng giác. Thông qua
việc rèn luyện giải toán HS đưc củng cố một số kiến thức đã học trong chương trình chuẩn và tìm hiểu
một số kiến thức mới trong chương trình nâng cao.
3.Về tư duy, thái độ:
Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi. Biết quan sát và phán đoán chính xác.
Làm cho HS hứng thú trong học tập môn Toán.
 #$%"

Giáo viên: Giáo án, các bài tập và phiếu học tập,…
Học sinh: Ôn tập liến thức cũ, làm bài tập trước khi đến lớp.
&'&&"
Về cơ bản sử dụng phương pháp dạy học gi mở vấn đề.
(E
)(*(+,$-"
 1/ $n định lớp: Kiểm tra sĩ số học sinh, chia lớp thành 6 nhóm.
2/ Kiểm tra bài cũ: Đan xen với các hoạt động nhóm.
Ôn tập kiến thức cũ bằng cách đưa ra hệ thống câu hỏi sau:
-Nêu các phương trình lưng giác cơ bản sinx = a, cosx = a, tanx = a va cotx = a và công thức nghiệm
tương ứng.
-Dạng phương trình bậc nhất đối với hàm số lưng giác và cách giải.
-Phương trình bậc hai đối với một hàm số lưng giác.
-Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx và cách giải (phương trình a.sinx + b.cosx = c)
 3/ Bài mới:
&OP12Q31IOR122899PST1
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
" (Bài tập về
phương trình lưng giác cơ
bản)
GV nêu đề bài tập 14 trong
SGK nâng cao. GV phân
công nhiệm vụ cho mỗi
nhóm và yêu cầu HS thảo
luận tìm lời giải và báo
cáo.
GV gọi HS nhận xét, bổ
sung (nếu cần)
GV nêu lời giải đúng và
cho điểm các nhóm.

HS thảo luận để tìm lời giải…
HS nhận xét, bổ sung và ghi chép
sửa chữa…
HS trao đổi và cho kết quả:
) , ;
20 2 5 2
11 29
) 10 , 10 .
6 6
) 2 2 4 ;
2
) 2 , íi cos = .
18 5
a x k x k
b x k x k
c x k
d x k v
π π π π
π π
π π
π
π
α π α
= + = +
= − + = +
= ± +
= ± − +
Bài tập 1: Giải các phương
trình sau:
)sin 4 sin ;

5
1
)sin ;
5 2
) os os 2;
2
2
) os .
18 5
a x
x
b
x
c c c
d c x
π
π
π
=
+
 
= −
 ÷
 
=
 
+ =
 ÷
 
" (Bài tập về tìm

nghiệm của phương trình
trên khoảng đã chỉ ra)
GV nêu đề bài tập 2 và viết
lên bảng.
HS xem nội dung bài tập 2, thảo
luận, suy nghĩ và tìm lời giải…
HS nhận xét, bổ sung và ghi chép
Bài tập 2: tìm nghiệm của các
phương trình sau trên khoảng
đã cho:
a)tan(2x – 15
0
) =1 với
-180
0
<x<90
0
;
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
GV cho HS thảo luận và
tìm lời giải sau đó gọi 2 HS
đại diện hai nhóm còn lại
lên bảng trình bày lời giải.
GV gọi HS nhận xét, bổ
sung (nếu cần)
GV nêu lời giải đúng….
sửa chữa…
HS trao đổi và rút ra kết quả:
a)-150
0

, -60
0
, 30
0
;
b)
4
; .
9 9
π π
− −

1
0.
3
x
π
− < <= víi -
2
b)cot3x
)@ABCBD"
Hỏi: Giải các phương trình:
0
0
3
) tan3 tan ; ) tan( 15 ) 5;
5
2
)cot 20 3; )cot3 tan .
4 5

a x b x
x
c d x
π
π
= − =
 
+ = − =
 ÷
 
(K
)(*(+,$-"
1/ $n định lớp: Kiểm tra sĩ số học sinh, chia lớp thành 6 nhóm.
2/ Kiểm tra bài cũ: Đan xen với các hoạt động nhóm.
3/ Bài mới:
0=>6OP12Q31IOR12289OU122V6
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
HĐ1: (Bài tập về
phương trình bậc hai
đối với một hàm số
lưng giác)
GV để giải một
phương trình bậc hai
đối với một hàm số
lưng giác ta tiến hành
như thế nào?
GV nhắc lại các bước
giải.
GV nêu đề bài tập 1,
phân công nhiệm vụ

cho các nhóm, cho các
nhóm thảo luận để tìm
lời giải.
GV gọi HS đại diện
các nhóm trình bày lời
giải.
Gọi HS nhận xét, bổ
sung (nếu cần)
GV nêu lời giải
đúng…
HS suy nghĩ và trả lời…
HS chú ý theo dõi.
HS thảo luận theo nhóm để tìm lời giải
và cử đại diện báo cáo.
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa, ghi
chép.
HS trao đổi và cho kết quả:
a) x=k2
π
;x=
2 .
3
k
π
π
± +
b) x=
2 ;
2
k

π
π
− +
c)
, .
4 6
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài tập 1: Giải các phương trình
sau:
2
a)2cos 3cos 1 0x x− + =
2
b)sin sin 1 0x x+ + =
( )
2
c) 3 tan 1 3 tan 1 0.x x
− + + =
HĐ2 ( ): (Bài tập về
phương trình bậc nhất
đối với sinx và cosx)
Phương trình bậc nhất HS suy nghĩ và trả lời…
Bài tập 2: Giải các phương trình
sau:
a)3cosx + 4sinx= -5;
b)2sin2x – 2cos2x =
2
;

Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
đối với sinx và cosx có
dạng như thế nào?
-Nêu cách giải phương
trình bậc nhất đối với
sinx và cosx.
GV nêu đề bài tập 2 và
yêu cầu HS thảo luận
tìm lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ
sung (nếu cần)
GV nêu lời giải
đúng…
HS nêu cách giải đối với phương trình
bậc nhất đối với sinx và cosx…
HS thảo luận theo nhóm và cử đại diện
báo cáo.
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi
chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
) (2 1) ,
5 13
) , ;
24 24
)
a k
b x k x
c
α π α α
π π

π
+ +
= + =
3 4
víi cos = vµ sin =
5 5
V« nghiÖm.
c)5sin2x – 6cos
2
x = 13.
)@ABCBD: Học bài – Xem lại ví dụ – Đọc phần tiếp theo – Làm bài tập SGK
(W
)(*(+,$-"
1/ $n định lớp: Kiểm tra sĩ số học sinh, chia lớp thành 6 nhóm.
2/ Kiểm tra bài cũ: Đan xen với các hoạt động nhóm.
3/ Bài mới: 
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
HĐ1(Phương trình bậc nhất đối
với sinx và cosx; phương trình
đưa về phương trình bậc nhất đối
với sinx và cosx)
HĐTP 1: (phương trình bậc nhất
đối với sinx và cosx)
GV nêu đề bài tập và ghi lên
bảng.
GV cho HS các nhóm thảo luận
tìm lời giải.
GV gọi đại diện các nhóm trình
bày kết quả của nhóm và gọi HS
nhận xét, bổ sung (nếu cần)

GV hướng dẫn và nêu lời giải
đúng.
HĐTP 2: Phương trình đưa về
phương trình bậc nhất đối với
sinx và cosx)
GV nêu đề bài tập 2 và cho HS
các nhóm thảo luận tìm lời giải.
GV gọi HS trình bày lời giải và
nhận xét (nếu cần)
GV phân tích hướng dẫn (nếu HS
nêu lời giải không đúng) và nêu
lời giải chính xác.
HS các nhóm thảo luận và
tìm lời giải sau đó cử đại
biện trình bày kết quả của
nhóm.
HS các nhóm nhận xét, bổ
sung và sửa chữa ghi chép.
HS các nhóm xem nội dung
các câu hỏi và giải bài tập
theo phân công của các
nhóm, các nhóm thảo luận,
trao đổi để tìm lời giải.
Các nhóm cử đại diện lên
bảng trình bày.
HS nhận xét, bổ sung và sửa
chữa ghi chép.
Bài tập 1: Giải các phương trình
sau:
a)3sinx + 4cosx = 5;

b)2sinx – 2cosx =
2
;
c)sin2x +sin
2
x =
1
2
d)5cos2x -12sin2x =13.
Bài tập 2: Giải các phương trình
sau:
a)3sin
2
x +8sinx.cosx+
( )
8 3 9
−
cos
2
x = 0;
b)4sin
2
x + 3
3
sin2x-2cos
2
x=4
c)sin
2
x+sin2x-2cos

2
x =
1
2
;
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
Các phương trình ở bài tập 2 còn
đưc gọi là phương trình thuần
nhất bậc hai đối với sinx và cosx.
GV: Ngoài cách giải bằng cách
đưa về phương trình bậc nhất đối
với sinx và cosx ta còn có các
cách giải khác.
GV nêu cách giải phương trình
thuần nhất bậc hai đối với sinx và
cosx:
a.sin
2
x+bsinx.cosx+c.cos
2
x=0
HS chú ý theo dõi trên
bảng…
HS chú ý theo dõi trên
bảng…
d)2sin
2
x+
( )
3 3

+
sinx.cssx +
( )
3 1
−
cos
2
x = -1.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
"&OP12Q31S59
1X>?Y=17?<9.=7
?<6OP12Q31O;?
6OP12Q31S591X>
?Y=17?<9.=7
GV cho HS các nhóm thảo
luận để tìm lời giải sau đó
cử đại diện báo cáo.
GV gọi HS nhận xét, bổ
sung (nếu cần)
GV nêu lời giải đúng …
HS các nhóm thảo luận để tìm
lời giải các câu đưc phân công
sau đó cử đại diện báo cáo.
HS nhận xét, bổ sung và sửa
chữa ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
a)
5
2 , .
6

x k k
π
π
= − + ∈Z
) os 3 os
4 4
3 2 ,
4 4
b c x c
x k k
π π
π π
π
 
+ =
 ÷
 
⇔ + = ± + ∈Z
Vậy…
)( os 1)(4sin 3 os 1) 0
os 1
4sin 3 os 1
2
4 3 1
sin os
5 5 5
1
arccos 2
5
1

arccos 2 .
5
c c x x c x
c x
x c x
x k
x c x
x k
x k
π
α π
α π
− + − =
=

⇒

+ =

=


⇒

+ =

⇒ − = ± +
⇔ = ± +
Vậy …
Bài tập1: Giải các phương trình:

) 3 cos sin 2;
)cos3 sin3 1;
1
)4sin 3cos 4(1 tan ) .
cos
a x x
b x x
c x x x
x
+ = −
− =
+ = + −
"896OP12Q31
Z/12M89
GV nêu đề bài 2 và ghi lên
bảng.
GV cho HS các nhóm thảo
luận tìm lời giải.
GV gọi HS đại diện các
nhóm lên bảng trình bày lời
giải.
GV phân tích và nêu lời giải
HS các nhóm thảo luận để tìm
lời giải các câu đưc phân công
sau đó cử đại diện báo cáo.
HS nhận xét, bổ sung và sửa
chữa ghi chép.
Bài tập 2. Giải các phương trình
sau:
a)cos2x – sinx-1 = 0;

b)cosxcos2x = 1+sinxsin2x;
c)sinx+2sin3x = -sin5x;
d)tanx= 3cotx
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
đúng…
F@ABCBD"Học bài – Xem lại ví dụ – Đọc phần tiếp theo – Làm bài tập SGK
([
F(*(+,$-"
1/ $n định lớp: Kiểm tra sĩ số học sinh, chia lớp thành 6 nhóm.
2/ Kiểm tra bài cũ: Đan xen với các hoạt động nhóm.
3/ Bài mới:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
"
GV nêu các bài tập và
ghi lên bảng, hướng
dẫn giải sau đó cho HS
các nhóm thảo luận và
gọi HS đại diện các
nhóm lên bảng trình
bày lời giải.
GV gọi HS các nhóm
khác nhận xét và bổ
sung (nếu cần)
GV nêu lời giải đúng
nếu HS không trình
bày đúng lời giải.
HS các nhóm thảo luận đẻ tìm lời giải các
bài tập như đưc phân công.
HS đại diện các nhóm trình bày lời giải
(có giải thích).

HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi
chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
a)cos2 sin 1 0
sin (2sin 1) 0
sin 0

1
sin
2
x x
x x
x
x
− − =
⇔ + =
=


⇔ ⇔

= −

b) tanx = 3.cotx
ĐK: cosx
0
≠
và sinx
0
≠

Ta có: tanx = 3.cotx
2
3
tan tan 3
tan
x x
x
⇔ = ⇔ =
tan 3
,
3
x
x k k
π
π
⇔ = ±
⇒ = ± + ∈¢
Vậy…
c) HS suy nghĩ và giải …
Bài tập:
1)Giải các phương trình sau:
a)cos2x – sinx – 1 = 0
b)tanx = 3.cotx
c)sinx.sin2x.sin3x =
1
sin 4
4
x
"
GV nêu đề một số bài

tập và ghi đề lên bảng
sau đó phân công
nhiệm vụ cho các
nhóm
GV cho các nhóma
thảo luận và gọi HS đại
diện lên bảng trình bày
lời giải.
GV gọi HS nhận xét,
bổ sung (nếu cần)
GV nhận xét và nêu lời
giải chính xác (nếu HS
không trình bày đúng
lời giải)
HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải và
của đại diện lên bảng trình bày lời giải
(có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi
chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
a)ĐK: sinx≠0 và cosx≠0
2 2
2 2
cos cos2 sin
1
sin sin 2 cos
2cos cos 2 2sin sin 2
2(cos sin ) cos 2 sin 2
cos2 sin 2 tan 2 1

x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x
⇒ − = +
⇒ − = +
⇒ − − =
⇒ = ⇒ =
⇒
)b
Ta thấy với cosx = 0 không thỏa mãn
phương trình. với cosx≠0 chia hai vế của
Bài tập:
Giải các phương trình sau:
2
)cot cot 2 tan 1
)cos 3sin 2 3
)cos .tan3 sin 5
a x x x
b x x
c x x x
− = +
= +
=
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
phương trình với cos
2
x ta đưc:
1=6tanx+3(1+tan

2
x)
⇔
3tan
2
x+6tanx+2 = 0
3 3
tan
3
x
− ±
⇔ = ⇔
( ) ( )
)cos .tan3 sin 5
1 1
sin 4 sin 2 sin8 sin 2
2 2
sin8 sin 4
,
2
,
12 6
c x x x
x x x x
x x
x k k
x k k
π
π π
=

⇔ + = +
⇒ =

= ∈

⇒


= + ∈


¢
¢
F@ABCBD"
-Nêu lại công thức nghiệm các phương trình lưng giác cơ bản, các phương trình lưng giác thường gặp
và cách giải các phương trình lưng giác thường gặp.
-Xem lại các bài tập đã giải và các cách giải các phương trình lung giác cơ bản và thường gặp.
-Làm thêm các bài tập trong phần ôn tập chương trong sách bài tập.

E
(\&)F ](K
 ! "
1.Về kiến thức: Làm cho HS hiểu sâu sắc hơn về kiến thức cơ bản của tổ hp và xác suất và bước
đầu hiểu đưc một số kiến thức mới về tổ hp và xác suất chưa đưc đề cập trong chương trình chuẩn.
2.Về kỹ năng: Tăng cường rèn luyện kỹ năng giải toán về tổ hp và xác suất. Thông qua việc rèn
luyện giải toán HS đưc củng cố một số kiến thức đã học trong chương trình chuẩn và tìm hiểu một số
kiến thức mới trong chương trình nâng cao.
3.Về tư duy, thái độ:
Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi. Biết quan sát và phán đoán chính xác.
Làm cho HS hứng thú trong học tập môn Toán.

 #$%"
Giáo viên: Giáo án, các bài tập và phiếu học tập,…
Học sinh: Ôn tập liến thức cũ, làm bài tập trước khi đến lớp.
&'&&"
Về cơ bản sử dụng phương pháp dạy học gi mở vấn đề.
(^
)(*(+,$-"
1/ $n định lớp: Kiểm tra sĩ số học sinh, chia lớp thành 6 nhóm.
2/ Kiểm tra bài cũ: Đan xen với các hoạt động nhóm.
3/ Bài mới:
Ôn tập kiến thức cơ bản của chủ đề: Quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hp, tổ hp.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
_156M1`99a
?bLcd99012ebLcd9
1f1e.81?:e9g1R6e
hR6?<Qi1ILcj1Mk
1l422T.81
(&"_156M1`9
9a
GV gọi HS nêu lại quy tắc
cộng, quy tắc nhân, hoán vị,
chỉnh hp, tổ hp và công
thức nhị thức Niu-tơn.
(&"$<5686Zm12
GV nêu đề bài tập 1 và cho
HS các nhóm thảo luận tìm
lời giải.
Gọi HS đại diện lên bảng
trình bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung

(nếu cần)
GV nhận xét và nêu lời giải
chính xác (nếu HS không
trình bày đúng lời giải)
(&E"$<56?86
Zm12bLcd91f1
GV nêu đề bài tập 2 và cho
HS các nhóm thảo luận để
tìm lời giải.
Gọi HS đại diện trình bày lời
giải.
GV gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần)
GV nhận xét và nêu lời giải
chính xác (nếu HS không
trình bày đúng)
HS nêu lại lý thuyết đã học…
HS các nhóm thảo luận và ghi lời
giải vào bảng phụ.
Đại diện lên bảng trình bày lời
giải.
HS nhận xét, bổ sung, sửa chữa
và ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Ký hiệu A, B, C lần lưt là các
tập hp các cách đi từ M đến N
qua I, E, H. Theo quy tắc nhân ta
có: n(A) =1 x 3 x 1 =3
n(B) = 1x 3 x 1 x 2 = 6
n(C) = 4 x 2 = 8

Vì A, B, C đôi một không giao
nhau nên theo quy tắc cộng ta có
số cách đi từ M đến N là:
n(A∪B∪C)=n(A) +n(B) +n(C)
=3+6+8=17
HS các nhóm thảo luận để tìm lời
giải.
HS đại diện lên bảng trình bày
lời giải.
HS nhận xét, bổ sung, sửa chữa
và ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
a) Có 4 cách chọn hệ số a vì a≠0.
Có 5 cách chọn hệ số b, 5 cách
chọn hệ số c, 4 cách chọn hệ số
d. Vậy có: 4x5x5x5 = 500 đa
thức.
b) Có 4 cách chọn hệ số a (a≠0).
-Khi đã chọn a, có 4 cách chọn b.
-Khi đã chọn a và b, có 3 cách
chọn c.
-Khi đã chọn a, b và c, có 2 cách
chọn d.
Theo quy tắc nhân ta có:
4x4x3x2=96 đa thức.
_156"
$<5686Zm12"
$<56"Cho mạng giao thông
như hình vẽ:
M

N
D
I
H
E
F
G
$<56" Hỏi có bao nhiêu đa
thức bậc ba:
P(x) =ax
3
+bx
2
+cx+d mà ác hệ số
a, b, c, d thuộc tập
{-3,-2,0,2,3}. Biết rằng:
a) Các hệ số tùy ý;
b) Các hệ số đều khác nhau.
$<56EĐể tạo những tín hiệu,
người ta dùng 5 lá cờ màu khác
nhau cắm thành hàng ngang. Mỗi
tín hiệu đưc xác định bởi số lá
cờ và thứ tự sắp xếp. Hỏi có có
thể tạo bao nhiêu tín hiệu nếu:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
(&K"$<56?86
Zm129n12`9=>989.81
?:e=>9899g1R6
GV nêu đề bài tập 3 (hoặc
phát phiếu HT), cho HS các

nhóm thảo luận và gọi đại
diện lên bảng trình bày lời
giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần)
GV nhận xét và nêu lời giải
chính xác.
HS thảo luận và cử đại diện lên
bảng trình bày lời giải (có giải
thích)
HS nhận xét, bổ sung, sửa chữa
và ghi chép.
HS trao đổi và cho kết quả:
a)Nếu dùng cả 5 lá cờ thì một tín
hiệu chính là một hoán vị của 5
lá cờ. Vậy có 5! =120 tín hiệu
đưc tạo ra.
b)Mỗi tín hiệu đưc tạo bởi k lá
cờ là một chỉnh hp chập k của 5
phần tử. Theo quy tắc cộng, có
tất cả:
1 2 3 4 5
5 5 5 5 5
325A A A A A
+ + + + =
tín
hiệu.
a) Cả 5 lá cờ đều đưc dùng;
b) Ít nhất một lá cờ đưc dùng.
)@ABCBD"Học bài – Xem lại ví dụ – Đọc phần tiếp theo – Làm bài tập SGK

(o
)(*(+,$-"
1/ $n định lớp: Kiểm tra sĩ số học sinh, chia lớp thành 6 nhóm.
2/ Kiểm tra bài cũ: Đan xen với các hoạt động nhóm.
3/ Bài mới:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
"_156M1`9?<S<
5686Zm12
(&"_156I/M1`9
?hR6?<9n12`91:
`9LpP1e;4289&;=9;Ie
789=LX9;S19>q
GV gọi HS nêu lại lý thuyết về
tổ hp, viết công thức tính số các
tổ hp, viết công thức nhị thức
Niu-tơn, tam giác Pascal.
GV gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần)
"$<5686Zm129n12
`9?hR6?<9g1R6
(&"
GV nêu đề và phát phiếu HT
(Bài tập 1) và cho HS thảo luận
tìm lời giải.
Gọi HS đại diện lên bảng trình
bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu
cần)
HS nêu lại lý thuyết đã học…
Viết các công thức tính số các tổ

hp, công thức nhị thức Niu-tơn,
…
Xác suất của biến cố…
HS nhận xét, bổ sung …
HS các nhóm thảo luận và tìm
lời giải ghi vào bảng phụ.
HS đại diện nhóm lên bảng trình
bày lời giải.
HS nhận xét, bổ sung, sửa chữa
_156"
$<5686Zm12"
$<56"Từ một tổ gồm 6
bạn nam và 5 bạn nữ, chọn
ngẫu nhiên 5 bạn xếp vào bàn
đầu theo những thứ tự khác
nhau. Tính xác suất sao cho
trong cách xếp trên có đúng 3
bạn nam.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
GV nhận xét, và nêu lời giải
chính xác (nếu HS không trình
bày đúng lời giải)
(&"$<56?G1789
=LX9;S19>
GV nêu đề và phát phiếu HT 2
và yêu cầu HS các nhóm thảo
luận tìm lời giải.
Gọi HS đại diện các nhóm lên
bảng trình bày kết quả của
nhóm.

Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu
cần)
GV nhận xét và nêu lời giải
chính xác (nếu HS không trình
bày đúng lời giải)
và ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả;
Mỗi một sự sắp xếp chỗ ngồi
cho 5 bạn là một chỉnh hp chập
5 của 11 bạn. Vậy không gian
mẫu
Ω
gồm
5
11
A
(phần tử)
Ký hiệu A là biến cố: “Trong
cách xếp trên có đúng 3 bạn
nam”.
Để tính n(A) ta lí luận như sau:
-Chọn 3 nam từ 6 nam, có
3
6
C
cách. Chọn 2 nữ từ 5 nữ, có
2
5
C
cách.

-Xếp 5 bạn đã chọn vào bàn đầu
theo những thứ tự khác nhau, có
5! Cách. Từ đó thưo quy tắc
nhan ta có:
n(A)=
3 2
6 5
. .5!C C
Vì sự lựa chọn và sự sắp xếp là
ngẫu nhiên nên các kết quả đồng
khả năng. Do đó:
3 2
6 5
5
11
. .5!
( ) 0,433
C C
P A
A
= ≈
HS các nhóm thảo luận và ghi
lời giải vào bảng phụ, cử đại
diện lên bảng trình bày lời giải
(có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung, sửa chữa
và ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Kết quả của sự lựa chọn là một
nhóm 5 người tức là một tổ hp

chập 5 của 12. Vì vậy không
gian mẫu
Ω
gồm:
5
12
792C
=
phần tử.
Gọi A là biến cố cần tìm xác
suất, B là biến cố chọn đưc hội
đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó
có thầy P nhưng không có cô Q.
C là biến cố chọn đưc hội đông
gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có cô
Q nhưng không có thầy P.
Như vậy: A=B∪ C và
n(A)=n(B)+ n(C)
Tính n(B):
-Chọn thầy P, có 1 cách.
-Chọn 2 thầy từ 6 thầy còn lại,
$<56"Một tổ chuyên môn
gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong
đó thầy P và cô Q là v chồng.
Chọn ngẫu nhiên 5 người để
lập hội đồng chấm thi vấn đáp.
Tính xác suất để sao cho hội
đồng có 3 thầy, 3 cô và nhất
thiết phải có thầy P hoặc cô Q
nhưng không có cả hai.

Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
có
2
6
C
cách.
-Chọn 2 cô từ 4 cô, có
2
4
C
cách
Theo quy tắc nhân:
n(B)=1.
2
6
C
.
2
4
C
=90
Tương tự: n(C)=
3 1
6 4
1. . 80C C
=
Vậy n(A) = 80+90=170 và:
( ) 170
( )
( ) 792

n A
P A
n
= =
Ω
)@ABCBD"
Bài tập: Sáu bạn, trong đó có bạn H và K, đưc xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc. Tính xác suất sao cho:
a) Hai bạn H và K đứng liền nhau;
b) Hai bạn H và K không đứng liền nhau.

(r
)(*(+,$-"
1/ $n định lớp: Kiểm tra sĩ số học sinh, chia lớp thành 6 nhóm.
2/ Kiểm tra bài cũ: Đan xen với các hoạt động nhóm.
3/ Bài mới:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
"_156I/IsLc
?789=LX
(&"
Gọi HS nhắc lại:
-Công thức tính xác suất;
-Các tính chất của xác suất;
-Hai biến cố độc lập?
-Quy tắc nhân xác suất;
…
(&"$<5686Zm12
GV nêu đề bài tập 1 và ghi
lên bảng:
Nêu câu hỏi:
-Để tính xác suất cảu một

biến cố ta phải làm gì?
-Không gian mẫu, số phần tử
của không gian mẫu trong bài
tập 1.
GV cho HS các nhó thảo luận
và gọi HS đại diện lên bảng
trình bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung …
GV nhận xét và nêu lời giải
đúng.
HS suy nghĩ và trả lời các câu hỏi…
HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải
và ghi vào bảng phụ
Hs đại diện lên bảng trình bày lời giải.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Không gian mẫu:
{ } ( )
1,2, ,20 20n
Ω = ⇒ Ω =
Gọi A, B, C là các biến cố tương ứng
của câu a), b), c). Ta có:
$<56"
Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ
một hộp chứa 20 thẻ đưc
đánh số từ 1 tới 20. Tìm xác
suất để thẻ đưc lấy ghi số:
a)Chẵn;
b)Chia hết cho 3;
c)Lẻ và chia hết cho 3.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng

(&E"
Nếu hai biến cố A và B xung
khắc cùng liên quan đến phép
thử thì ta có điều gì?
Vậy nếu hai biến cố A và B
bất kỳ cùng liên quan đến
một phép thử thì ta có công
thức tính xác suất
( )
?P A B
∪
(&K"$<5686Zm12
GV nêu đề bài tập 2 và cho
HS các nhóm thảo luận tìm
lời giải.
Gọi Hs đại diện trình bày lời
giải, gọi HS nhận xét, bổ
sung và nêu lời giải đúng.
{ } ( )
( )
{ } ( )
( )
{ }
) 2,4,6, ,20 10
10 1
20 2
) 3,6,9,12,5,18 6
6 3
0,3
20 10

3
) 3,9,15 ( ) 0,15
20
a A n A
P A
b B n B
P B
c C P C
= ⇒ =
⇒ = =
= ⇒ =
⇒ = = =
= ⇒ = =
HS suy nghĩ trả lời:
( ) ( ) ( )
P A B P A P B
∪ = +
( ) ( ) ( ) ( )
P A B P A P B P A B∪ = + − ∩
HS các nhóm thảo luận và tìm lời
giải…
$<56"
Một lớp học có 45 HS trong
đó 35 HS học tiếng Anh, 25
HS học tiếng Pháp và 15 HS
học cả Anh và Pháp. Chọn
ngẫu nhiên một HS. Tính
xác suất của các biến cố sau:
a)A: “HS đưc chọn học
tiếng Anh”

b)B: “HS đưc chọn chỉ học
tiếng Pháp”
c)C: “HS đưc chọn học cả
Anh lẫn Pháp”
d)D: “HS đưc chọn không
học tiếng Anh và tiếng
Pháp”.
F@ABCBD"
Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Tìm xác suất sao cho trong hai người đó:
a)Cả hai người đó đều là nữ;
b)Không có nữ nào;
c)Ít nhất một người là nữ;
d)Có đúng một người là nữ.
(t
F(*(+,$-"
1/ $n định lớp: Kiểm tra sĩ số học sinh, chia lớp thành 6 nhóm.
2/ Kiểm tra bài cũ: Đan xen với các hoạt động nhóm.
3/ Bài mới:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
"_156
GV gọi HS nêu lại công
thức nhị thức Niu-tơn,
công thức tam giác
Pascal…
(&"$<5686
Zm12
GV nêu các bài tập và ghi
lên bảng.
GV phân công nhiệm vụ
cho các nhóm và cho các

nhóm thảo luận để tìm lời
giải, gọi HS đại diện các
nhóm lên bảng trình bày
lời giải.
GV gọi HS nhận xét, bổ
sung và sửa chữa ghi
chép.
GV nhận xét và nêu lời
giải chính xác (nếu HS
không trình bày đúng lời
giải).
(&"$<56?34
40=>/12Q.12M;
Qu11:`9LpP1
GV nêu đề và ghi lên
bảng.
GV cho HS các nhóm thảo
luận để tìm lời giải và gọi
HS đại diện lên bảng trình
bày lời giải.
GV gọi HS nhận xét, bổ
sung (nếu cần)
GV nêu lời giải chính xác
(nếu HS không trình bày
dúng lời giải)
HS suy nghĩ và trả lời…
HS các nhóm thảo luận và cử đại diện lên
bảng trình bày lời giải (có giải thích).
HS đại diện các nhóm lên bảng trình bày
lời giải.

HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi
chép…
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Theo công thức nhị thức Niu-tơn ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
5
5
3 2
5 4 3 2
5 4 3 2 2 3 4 5
5 10 10
5 10 10 5
x a x a
x x a x a x a
x x a x a x a xa a
− = + −
 
 
= + − + − + − +
= − + − + −
HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải.
HS đại diện nhóm lên bảng trình bày lời
giải (có giải thích)
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Số hạng tổng quát trong khai triển là:
( )
( )
6
6

2
6 6 3
6
1
2 .
2 1
k
k
k
k
k k k
C x
x
C x
−
− −
 
−
 ÷
 
= −
Ta phải tìm k sao cho: 6 – 3k = 0, nhận
đưc k = 2
Vậy số hạng cần tìm là …. 240.
Bài tập1:
Khai triển (x – a)
5
thành
tổng các đơn thức.
Bài tập 2: Tìm số hạng

không chứa x trong khai
triễn:
6
2
1
2x
x
 
−
 ÷
 
"$<5686Zm12
(&"$<56?34
=>/12`MQ.12M;
Qu11:`9
GV nêu đề và ghi lên bảng
và cho HS các nhóm thảo
luận tìm lời giải, gọi HS
đại diện nhóm có kết quả
nhanh nhất lên bảng trình
bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần).
GV nêu lời giải chính xác
(nếu HS không trình bày
HS các nhóm xem đề và thảo luận tìm lời
giải.
HS đại diện các nhóm lên bảng trình bày
lời giải (có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi

chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Số hạng thứ k + 1 trong khai triễn là:
Bài tập3:
Tìm số hạng thứ 5 trong
khai triễn
10
2
x
x
 
+
 ÷
 
, mà
trong khai triễn đó số mũ
của x giảm dần.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
đúng lời giải)
(&"(341Q.12
M;Qv11:`9Lp
P1
GV nêu đề và ghi lên
bảng, cho HS các nhóm
thảo luận tìm lời giải.
Gọi HS đại diện nhóm
trình bày lời giải và gọi
HS nhận xét, bổ sung (nếu
cần)
GV nhận xét, nêu lời giải

chính xác (nếu HS không
trình bày dúng lời giải)
10
1 10
4
4 10 4 2
5 10
2
5
2
2
3360
3360
k
k k
k
t C x
x
t C x x
x
t x
−
+
−
 
=
 ÷
 
 
⇒ = =

 ÷
 
=VËy
HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải và
cử đại diện lên bảng trình bày lời giải.
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi
chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Số hạng thứ k + 1 của khai triễn là:
( )
1
3
k
k
k n
t C x
+
=
.Vậy số hạng chứa x
2
là:
( )
2
2 2 2
3
3 9
n n
t C x C x= =
Theo bài ra ta có:
2

9
n
C
=90
5n
⇔ =
Bài tập4: Biết hệ số trong
khia triễn
( )
1 3
n
x+
là 90.
Hãy tìm n
(&E"
GV nêu đề bài tập và ghi
lên bảng và cho HS các
nhóm thảo luận tìm lời
giải.
GV gọi HS đại diện nhóm
lên bảng trình bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần)
GV nhận xét, bổ sung và
nêu lời giải đúng (nếu HS
không trình bày đúng)
(&K"
GV nêu đề bài tập 2 và
cho HS các nhóm thảo
luận để tìm lời giải.

Gọi HS đại diện các nhóm
lên bảng trình bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần)
HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải và
cử đại diện lên bảng trình bày lời giải.
HS đại diện lên bảng trình bày lời giải có
giải thích.
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi
chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Ta có
( )
1 2 2 2
1 ax 1 ax
n
n n
C C a x+ = + + +
Theo bài ra ta có:
( )
1
2
2 2
24
24
1
252
252
2
3

8
n
n
na
C a
n n a
C a
a
n
=


=
 
⇒
 
−
=
=




=

⇒

=

HS các nhóm thảo luận và cử đại diện lên

bảng trình bày lời giải (có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi
chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Số hạng chứa x
7
là
( ) ( )
( )
2
0 2 1 1 2 2 0 7
3 6 3 6 3 6
.C C b C aC b C a C x
− + − +
S
ố hạng chứa x
8
là:
( )
( )
0 1 1 0 8
3 6 3 6
C C b C aC x− +
.Theo bài ra ta
có:
$<56"
Trong khai triển của (1+ax)
n
ta có số hạng đầu là 1, số
hạng thứ hai là 24x, số hạng

thứ ba là 252x
2
. Hãy tìm a
và n.
$<56"
Trong khai triển của
( ) ( )
3 6
x a x b+ −
, hệ số x
7
là
-9 và không có số hạng chứa
x
8
. Tìm a và b.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
GV nhận xét, bổ sung và
nêu lời giải đúng (nếu HS
không trình bày đúng lời
giải)
GV ra thêm bài tập tương
tự và hướng dẫn giải sau
đó rọi HS các nhóm lên
bảng trình bày lời giải.
2 2
2
2
15 18 3 9
6 3 0 1

2
1
2
1
a b
b ab a
b a b
a
b
a
b
=
 
− + = −
⇒
 
− + = =
 
 =



=


⇒

= −




= −



F@ABCBD"
- Xem lại các bài tập đã giải, làm các bài tập 3.2, 3.4, 3.5 trong SBT/65.

K
Bwp]&xp]&yK
 ! "
1.Về kiến thức: Làm cho HS hiểu sâu sắc hơn về kiến thức cơ bản của dãy số, cấp số cộng, cấp số
nhân và bước đầu hiểu đưc một số kiến thức mới về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân chưa đưc đề cập
trong chương trình chuẩn.
2.Về kỹ năng: Tăng cường rèn luyện kỹ năng giải toán về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân.
Thông qua việc rèn luyện giải toán HS đưc củng cố một số kiến thức đã học trong chương trình chuẩn
và tìm hiểu một số kiến thức mới trong chương trình nâng cao.
3.Về tư duy, thái độ:"
Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi. Biết quan sát và phán đoán chính xác.
Làm cho HS hứng thú trong học tập môn Toán.
 #$%"
Giáo viên: Giáo án, các bài tập và phiếu học tập,…
Học sinh: Ôn tập liến thức cũ, làm bài tập trước khi đến lớp.
&'&&"Về cơ bản sử dụng phương pháp dạy học gi mở vấn đề.
(
)(*(+,$-"
1/ $n định lớp: Kiểm tra sĩ số học sinh, chia lớp thành 6 nhóm.
2/ Kiểm tra bài cũ: Đan xen với các hoạt động nhóm.
Ôn tập kiến thức cũ bằng các đưa ra hệ thống câu hỏi sau:
+Nêu phương pháp quy nạp toán học.

+Nêu định nghĩa dãy số, dãy số tăng, giảm, dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn,…
3/ Bài mới:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
"&OP12686
bLc1/6.81z9
(&"_156I/66
bLc1/6.81z9
GV gọi một HS nêu lại
các bước chứng minh
bằng pp quy nạp toán
học.
HS nêu các bước chứng minh một bài
toán bằng pp quy nạp.
HS thảo luận để tìm lời giải và cử đại
diện lên bảng trình bày lời giải có giải
$<56"Chứng minh rằng:
1.2 +2.5+3.8+ …+n(3n-1)
=n
2
(n+1) với
*
n
∈
¥
(1).
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
Áp dụng pp chứng minh
quy nạp để giải các bài
tập sau.
GV nêu đề và ghi lên

bảng và cho HS các
nhóm thảo luận để tìm
lời giải.
Gọi HS đại diện nhóm
lên bảng trình bày lời
giải.
Gọi HS nhận xét, bổ
sung (nếu cần)
GV nhận xét, bổ sung và
nêu lời giải chính xác
(nếu HS không trình bày
đúng lời giải)
(&"
GV nêu đề bài tập 2 và
cho HS các nhóm thảo
luận tìm lời giải.
GV gọi HS đại diện
nhóm lên bảng trình bày
lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ
sung (nếu cần)
GV nhận xét, hướng dẫn
và phân tích tìm lời giải
nếu HS không trình bày
đúng lời giải
thích.
HS nhận xét, bổ sung và sửa hữa ghi
chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Với n = 1, VT = 1.2 = 2

VP = 1
2
(1+1) = 2
Do đó đẳng thức (1) đúng với n=1.
Đặt VT = S
n
.
Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k, k
≥
1, tức là:
S
k
= 1.2 +2.5+3.8+…+k(3k-1)
=k
2
(k+1)
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với
n = k +1, tức là:
S
k+1
= (k+1)
2
(k+2)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
S
k+1
=S
k
+(k+1)[3(k+1)-1]
=k

2
(k+1)+(k+1)(3k+2)
=(k+1)(k
2
+3k+2)=(k+1)
2
(k+2)
Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi
*
n
∈
¥
.
HS thảo luận để tìm lời giải…
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi
chép…
HS chú ý theo dõi trên bảng…
$<56"
Chứng minh rằng:
n
7
– n chia hết cho 7 với mọi
*
n
∈
¥
.
"_156?Z{c=>
?<S<5686Zm12
(&"

GV gọi HS nhắc lại khái
niệm dãy số và dãy số
hữu hạn.
Cho biết khi nào thì một
dãy số tăng, giảm, bị
chặn trên, dưới và bị
chặn.
GV nêu đề bài tập và ghi
lên bảng, cho HS các
nhóm thảo luận tìm lời
giải như đã phân công.
Gọi HS đại diện lên
bảng trình bày lời giải.
HS nhắc lại khái niệm dãy số và nêu
khái niệm dãy số tăng, giảm, bị chặn,
các nhóm thảo luận để tìm lời giải.
HS đại diện các nhóm lên bảng trình
bày lời giải (có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi
chép.
HS thảo luận và nêu kết quả:
a)Ta có:
( )
2
2
1
1 ,
n n
u n n u n
+

= + > = ∀
Vậy u
n
là dãy tăng.
b)u
n
=
1 1n
= − +
$<56E"
Xét tính tăng, giảm hay bị chặn
của các dãy số xác dịnh bởi số
hạng tổng quát sau:
a) u
n
= n
2
; b) u
n
=
1 1n
= − +
,
c)
1
2
n
u
n
=

+
; d)
2
os
n
u c n
=
;
e)
2
2
1
n
n
u
n
=
+
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần)
GV nhận xét và nêu lời
giải đúng (nếu HS không
trình bày đúng lời giải)
Ta có:
1n n
u u
+
− =
( ) ( )

1 2 1 1
1
1 2 0
1 2
n n
n n
n n
= − + − − +
−
= + − + = <
+ + +
1n n
u u
+
⇒ <
Vậy dãy (u
n
) là dãy giảm.
c)
1
2
n
u
n
=
+
Ta có: 0 < u
n
<
1

2n
+
<
1
,
2
n∀
Dãy số (u
n
) bị chặn trên bởi
1
2
bị chặn
dưới bởi 0.
Vậy (u
n
) bị chặn.
)@ABCBD"
 $ài tập: Chứng minh dãy số xác định bởi số hạng tổng quát sau là dãy tăng:

2 1
3 1
n
n
u
n
−
=
+
(

)(*(+,$-"
1/ $n định lớp: Kiểm tra sĩ số học sinh, chia lớp thành 6 nhóm.
2/ Kiểm tra bài cũ: Đan xen với các hoạt động nhóm.
Ôn tập kiến thức cũ bằng các đưa ra hệ thống câu hỏi sau:
+Nêu định nghĩa cấp số cộng.
+Viết công thức tính số hạng tổng quát khi biết số hạng đầu và công sai.
+Nêu tính chất của cấp số cộng.
+Viết các công thức tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số cộng.
3/ Bài mới: 
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
"
(&"(341?<
9n12=;9;409X6
=>9012
GV nêu đề và ghi lên
bảng, cho HS các nhóm
thảo luận tìm lời giải,
gọi HS đại diện lên
bảng trình bày lời giải.
GV gọi HS nhận xét,
bổ sung (nếu cần)
GV nhận xét, bổ sung
và nêu lời giải đúng
(nếu HS không trình
bày đúng lời giải)
HS các nhóm thảo luận để tìm lời
giải.
HS đại diện lên bảng trình bày lời
giải (có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sả chữa ghi

chép.
HS trao đổi và nêu kết quả:
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
2
2
2
2.400
16
5 45
8
1
1 3
n
n n n
n
n
n
n
n u u
S S n u u
S
n
u u

u u
u u n d d
n
+
= ⇔ = +
⇔ = = =
+ +
−
= + − ⇔ = =
−
HS thảo luận để tìm lời giải và cử đại
diện lên bảng trình bày lời giải (có
$<56"
Một cấp số cộng có số hạng thứ
nhất là 5, số hạng cuối là 45 và tổng
số là 400. Tìm n và công sai.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
(&"$<56?
34=>/12L
M

GV nêu đề và ghi lên
bảng. Cho HS các
nhóm thảo luận và tìm
lời giải.
Gọi HS đại diện lên
bảng trình bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ
sung (nếu cần)
GV nhận xét và nêu lời

giải chính xác (nếu HS
không trình bày đúng)
giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa
ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
( )
1
54 1
4 1
1
23 1
1
53 (1)
3 (2)
143 5
,
2 2
33
22
2
n
u u n d
u u d
u u d
u d
u u d
= + −
⇔ = +
⇔ = +

= = −
⇒ = + =

Gi¶i hÖ ph ¬ng tr×nh (1), (2) ta ® îc:
$<56"
Một cấp số cộng có số hạng thứ 54
và thứ 4 lần lưt là -61 và 64. Tìm
số hạng thứ 23.
"
(&"(34989=>
/129|1I/9;40
9X6=>9012MS=>
/12}L?<=>/12
9L>q
GV nêu đề bài tập và
ghi lên bảng, cho HS
thảo luận tìm lời giải.
Gọi HS đại diện nhóm
lên bảng trình bày lời
giải.
Gọi HS nhận xét, bổ
sung (nếu cần)
GV nêu nhận xét, và
trình bày lời giải đúng
(nếu HS không trình
bày đúng lời giải)
(&"$<56?
G1h129;1=>
/12}L9;409X6
=>9012

GV nêu đề và ghi lên
bảng, cho HS thảo luận
tìm lời giải.
Gọi HS đại diện lên
bảng trình bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ
sung (nếu cần)
GV nhận xét và nêu lời
giải chính xác (nếu HS
không trình bày đúng
lời giải)
HS các nhóm thảo luận để tìm lời
giải.
HS đại diện nhóm lên bảng trình bày
lời giải (có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa
ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Ta xem số 4 là số hạng đầu và số 67
như là số hạng cuối. Như vậy cấp số
cộng phải tìm có tất cả 22 số hạng.
( )
1
: 1
67 4 21
3
n
u u n d
d
d

= + −
⇔ = +
⇔ =
Ta cã
Vậy cấp số cộng đưc tạo thành là:
4, 7, 10, … , 61, 64, 67 và 20 số cần
chèn là: 7, 10, 13, …, 58, 61, 64.
HS thảo luận theo nhóm để tìm lời
giải và cử đại diện lên bảng trình bày
lời giải (có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa
ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
( )
( )
1
1
cã : S
2
17 1
1 5 263
17 5 .
2 2 4 2
n
n
n d
Ta n u
S
− 
= +

 
 
− 
⇔ = + =
 
 
$<56E"
Chèn 20 số vào giữa số 4 và 67,
biết rằng dãy số đó là một cấp số
cộng.
$<56K"
Tìm tổng của một cấp số cộng gồm
các số:
1 3
5 ,6 ,8
2 4
®Õn sè h¹ng thø 17.
)@ABCBD"
*Áp dụng: Giải bài tập sau:
Có bao nhiêu số của một cấp số cộng -9; -6; -3; … để tổng số các số này là 66.
(EpK
)(*(+,$-"
1/ $n định lớp: Kiểm tra sĩ số học sinh, chia lớp thành 6 nhóm.
2/ Kiểm tra bài cũ: Đan xen với các hoạt động nhóm.
Ôn tập kiến thức cũ bằng các đưa ra hệ thống câu hỏi sau:
+Nêu định nghĩa cấp số nhân.
+Viết công thức tính số hạng tổng quát khi biết số hạng đầu và công bội.
+Nêu tính chất các số hạng của cấp số nhân.
+Viết các công thức tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân.
3/ Bài mới:

Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
"
(&"i1989=>
?<.2~;;=>{9.
9;409X6=>1f1
GV nêu đề và ghi lên
bảng. Cho HS các nhóm
thảo luận để tìm lời giải.
Gọi HS đại diện lên bảng
trình bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần).
GV nhận xét và nêu lời
giải chính xác (nếu HS
không trình bày đúng lời
giải)
(&"(G1h129;
1=>/129;409X6=>
1f1
GV nêu đề và ghi lên bảng
(hoặc phát phiếu HT)
GV cho HS thảo luận theo
nhóm để tìm lời giải.
Gọi HS đại diện nhóm lên
bảng trình lời giải.
HS các nhóm thảo luận để tìm lời
giải.
HS đại diện lên bảng trình bày lời
giải (có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa

ghi chép.
HS trao đổi để rút ra kết quả:
Ta xem số 160 như là số hạng đầu
và số 5 như là số hạng thứ 6 của một
cấp số nhân.
Ta có:
5
6 1
.u u q
=
5
6 6
5
5
1 1
5
5
1
32
1 1
=
2 2
u u
q q
u u
⇔ = ⇒ = =
=
Suy ra các số hạng của cấp số nhân
là:
160, 80, 40, 20, 10, 5

Vậy các số cần chèn là: 80, 40, 20.
10.
HS thảo luận theo nhóm để tìm lời
giải và cử đại diện lên bảng trình
bày lời giải.
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa
ghi chép.
HS trao đổi để rút ra kết quả:
Cấp số nhân có công bội là:
3
2
q = −
. Ta có:
$<56"
Hãy chèn 4 số của một cấp số
nhân vào giữa hai số 160 và 5.
$<56"
Tìm tổng của một cấp số nhân
gồm 7 số hạng mà các số hạng
đầu là:
2 3
, 1, ,
3 2
−
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
Gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần)
GV nhận xét và trình bày
lời giải chính xác (nếu HS
không trình bày đúng lời

giải)
1
7
7
1

1
3
1
2 463
2
.
3
3 96
1
2
n
n
q
S u
q
S
−
=
−
 
− −
 ÷
 
⇒ =

+
"
(&"$<56?34
989=>/129;409X6
=>1f1MSh12?<
G99;989=>•
GV ghi đề và ghi lên
bảng. Cho HS thảo luận
theo nhóm và gọi HS đại
diện nhóm lên bảng trình
bày.
GV gọi HS nhận xét, bổ
sung (nếu cần)
GV nhận xét và nêu lời
giải đúng (nếu HS không
trình bày đúng lời giải)
(&"$<56?34
=>/12}L9;409X6
=>1f1MS9n12
S0eh12?<=>/12
9L>
GV nêu đề và ghi lên bảng
hoặc phát phiếu HT.
GV cho HS các nhóm thảo
luận để tìm lời giải.
GV gọi HS đại diện nhóm
lên bảng trình bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần)
GV nhận xét, bổ sung và

HS các nhóm thảo luận để tìm lời
giải và cử đại diện lên bảng trình
bày lời giải (có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa
ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Giải:
Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số
nhân là:
, , ) (víi q lµ c«ng béi
a
a aq
q
Theo giả thiết ta có:
. . 216 (1)
19 (2)
a
a aq
q
a
a aq
q

=




+ + =



Từ (1) ta có a = 6. Thay vào (2) ta
đưc:
6q
2
- 13q + 6 = 0
3 2
2 3
hoÆc q q⇔ = =
Vậy 3 số hạng cần tìm là:
4, 6, 9 hay 9, 6, 4.
HS các nhóm thảo luận để tìm lời
giải và cử đại diện lên bảng trình
bày lời giải (có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa
ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
$<56E"
Tìm 3 số hạng của một cấp số
nhân mà tổng số là 19 và tích là
216.
$<56K"
Tìm số hạng đầu của một cấp số
nhân biết rằng công bội là 3, tổng
số là 728 và số hạng cuối là 486.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
nêu lời giải đúng (nếu HS
không trình bày đúng lời
giải)
1

1
1
1
1
1
1
1
.
(2)
1
(1) .
1
(1)
(2)
Tõ
Thay vµo (3)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
q
S u
q
u u q

u
u
q
u
q
S
q q
−
−
−
−
=
−
=
⇒ =
−
⇒ =
−
Theo giải thiết S
n
=728, u
n
=486,q=3
( )
1
1 5
1
1 5
486 1 3
3 728 .

3 1 3
486
3 243 3
2
1 5 6
486 486
u 2
3 243
n
n
n
n
n
n n
u
q
−
−
−
−
⇒ =
−
⇔ = = =
⇔ − = ⇔ =
⇒ = = = =
F@ABCBD"
*Áp dụng: Giải bài tập sau:
Tìm công bội của một csn có số hạng đầu là 7 số hạng cuối là 448 và tổng số các số hạng là 889.
€•W
 ! "

1.Về kiến thức: Làm cho HS hiểu sâu sắc hơn về kiến thức cơ bản của giới hạn và bước đầu hiểu
đưc một số kiến thức mới về giới hạn trong chương trình nâng cao chưa đưc đề cập trong chương trình
chuẩn.
2.Về kỹ năng: Tăng cường rèn luyện kỹ năng giải toán về giới hạn. Thông qua việc rèn luyện giải
toán HS đưc củng cố một số kiến thức đã học trong chương trình chuẩn và tìm hiểu một số kiến thức
mới trong chương trình nâng cao.
3.Về tư duy, thái độ:"
Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi. Biết quan sát và phán đoán chính xác.
Làm cho HS hứng thú trong học tập môn Toán.
 #$%"
Giáo viên: Giáo án, các bài tập và phiếu học tập,…
Học sinh: Ôn tập kiến thức cũ, làm bài tập trước khi đến lớp.
&'&&"Về cơ bản sử dụng phương pháp dạy học gi mở vấn đề.
)(*(+,$-"
1/ $n định lớp: Kiểm tra sĩ số học sinh, chia lớp thành 6 nhóm.
2/ Kiểm tra bài cũ: Đan xen với các hoạt động nhóm.
Ôn tập kiến thức cũ bằng các đưa ra hệ thống câu hỏi sau:
-Nêu các định nghĩa về giới hạn hữu hạn của dãy số và các giới hạn đặc biệt.
-Nêu các định lí về giới hạn hữu hạn, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn,…
-Giới hạn vô cực và các giới hạn đặc biệt về giới hạn vô cực.
*Bài tập: Tính các giới hạn sau:
2 2
2 2
4 1 3 1
)lim ; b)lim
3 2 1 2
n n n n
a
n n
− − + +

+ −
3/ Bài mới:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
"$<56?G12Y
/19;989Z{c=>"
GV nêu đề bài tập và gọi HS
các nhóm thảo luận để tìm lời
giải, gọi HS đại diện lên bảng
trình bày.
GV gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần).
GV nhận xét, bổ sung và nêu
lời giải đúng.
HS các nhóm thảo luận để tìm
lời giải và cử đại diện lên
bảng trình bày (có giải thích).
HS các nhóm nhận xét, bổ
sung và sửa chữa ghi chép.
HS các nhóm trao đổi để rút
ra kết quả: …
$<56"(G19892Y/1=;L"
a)
( )
(
)
2
2
2 2
2
)lim ;

1
b)lim 1 ;
)lim 1
a n
n
n n n
c n n n
 
−
 ÷
+
 
− + +
+ − −
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
"$<56?G12Y
/19;40Z{c=>9.S‚
9n12`9QLcƒ"
GV nêu đề bài tập và cho HS
các nhóm thảo luận để tìm lời
giải, gọi HS đại diện lên bảng
trình bày.
Gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần).
GV nhận xét, bổ sung và nêu
lời giải đúng (nếu HS không
trình bày đúng lời giải)
HS các nhóm thảo luận để tìm
lời giải và cử đại diện lên
bảng trình bày lời giải (có giải

thích).
HS nhận xét, bổ sung và sửa
chữa ghi chép.
HS các nhóm trao đổi để rút
ra kết quả: …
$<56"
Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:
1
1
2
2
n n
u
u u
+

=


= + ≥


víi n 1
Biết (u
n
) có giới hạn khi
n
→ +∞

, hãy
tìm giới hạn đó.
$<56E"
Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức
truy hồi:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
1
1
1
2
1
2
n
n
u
u
u
+

=




= ≥
−



víi n 1
Dãy số (u
n
) có giới hạn hay không khi
n
→ +∞
? Nếu có, hãy tính giới hạn đó.
U2T"
$<56"
Đặt limu
n
= a. Ta có:
1 1
2
2 lim lim 2
2 2 0 1 2
n n n n
u u u u
a a a a a a
+ +
= + ⇒ = +
⇒ = + ⇒ − − = ⇒ = − = hoÆc
Vì u
n
>0 nên limu
n
= a
0≥
. Vậy limu
n

= 2
*Lưu ý: Trong lời giải trên, ta đã áp dụng tính chất sau đây:
“Nếu lim u
n
= a thì lim u
n+1
= a”(Có thể chứng minh bằng định nghĩa)
$<56E"(Xem lời giải ví dụ 10 trong sách bài tập trang 146)
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
E"$<56?G1h12
9;9X6=>1f1I„?n/1"
GV nêu đề bài tập, cho HS
các nhóm thảo luận tìm lời
giải và gọi HS đại diện các
nhóm lên bảng trình bày lời
giải.
GV gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần)
GV nhận xét và nêu lời giải
đúng (nếu HS không trình bày
đúng lời giải).
HS các nhóm thảo luận để tìm
lời giải và cử đại diện lên
bảng trình bày lời giải (có giải
thích).
HS nhận xét, bổ sung và sửa
chữa ghi chép.
HS các nhóm trao đổi và rút
ra kết quả: …
$<56K"

Tính tổng:
1 1
2 2 1
2
2
S = − + − + −
$<56K"
Dãy số vô hạn:
1 1
2, 2,1, , ,
2
2
− −
là một cấp số nhân với công bội
2 1
.
2
2
q
−
= = −
Vì
1 1
1
2 2
q = − = <
nên dãy số này là một cấp số nhân lùi vô hạn. Do đó ta có:
1 1 2 2 2
2 2 1
1

2
2 2 1
1
2
S = − + − + − =
+
+
.
(6…."
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
"
(&"_156IGLc?
2Y/1?n9†9
‡Y/1V9Sj"
)lim
k
a n k
= +∞
víi nguyªn d ¬ng;
)lim 1.
n
b q q
= +∞ >
nÕu
GV nhắc lại các giới hạn đặc
biệt và các công thức về giới
hạn vô cực.
(&"$<5686Zm12"
GV nêu đề bài tập (hoặc phát
phiếu HT) và cho HS các

nhóm thảo luận để tìm lời giải
và gọi HS đại diện lên bảng
trình bày.
Gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần)
GV nhận xét, bổ sung và nêu
lời giải đúng (nếu HS không
trình bày đúng lời giải)
HS chú ý theo dõi để lĩnh hội
kiến thức…
HS các nhóm thảo luận để tìm
lời giải và ghi lời giải vào
bảng phụ, cử đại diện lên
bảng trình bày lời giải (có giải
thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa
chữa ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
…
‡:1IG"
) lim
lim lim 0;
n
n
n
n
a u a
u
v
v

=
= ±∞ =
NÕu vµ
th×
) lim 0,lim 0
0 lim ;
n n
n
n
n
b u a v
u
v n
v
= > =
> ∀ = +∞
NÕu
vµ th×
) lim
lim 0 lim .
n
n n n
c u
v a u v
= +∞
= > = +∞
NÕu vµ
th×
(Xem các giới hạn đặc biệt cuả hàm số
và các công thức về giới hạn hàm số)"

$<56"
Cho hàm số
( )
2 2
3 1f x x x x
= + − +
Tìm
( )
lim
x
f x
→+∞
.
Lời giải bài tập 1:
Ta có:
( )
(
)
(
)
( )
2 2 2 2
2 2
2 2
3 1 3 1
3 1
3 1
x x x x x x
f x x x x
x x x

+ − + + + +
= + − + =
+ + +
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2
1
3
3 1
3 1
3 1
3 1 3 1
1 1
x
x x x
x
x
x x x x x x
x
x x
 
−
 ÷
+ − +
−
 
= = =
 
+ + + + + +

+ + +
 ÷
 
( )
2
2
1
1
3
3
3
lim lim lim
2
3 1
3 1
1 1
1 1
x x x
x
x
x
f x
x
x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
 
−
−
 ÷

 
= = =
 
+ + +
+ + +
 ÷
 
VËy
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
"
(&"(34uL?2Y/1
0
0
 
 ÷
 
d¹ng
9;<4=>"
GV nêu đề hoặc phát phiếu HT,
cho HS các nhóm thảo luận để tìm
lời giải và gọi HS đại diện lên
bảng trình bày lời giải.
HS thảo luận theo nhóm để
tìm lời giải và cử đại diện
lên bảng trình bày lời giải
(có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và
$<56"Tính các giới hạn sau: