một số vấn đề giải tích biến phân và tối ưu hoá

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN LÊ HOÀNG ANH
MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG
GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN
VÀ TỐI ƯU HOÁ
Chuyên ngành: Lý Thuyết Tối Ưu
Mã số: 62 46 20 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Tp. Hồ Chí Minh năm 2014
Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên.
Người hướng dẫn khoa học : GS. TSKH. Phan Quốc Khánh.
Phản biện 1: PGS.TS. Nguyễn Định
Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Đình Huy
Phản biện 3: PGS.TS. Nguyễn Đình Phư
Phản biện độc lập 1: PGS.TS. Tạ Duy Phượng
Phản biện độc lập 2: TS. Trần Thanh Tùng
Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp tại:
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, số 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận
5, TP HCM
vào lúc giờ ngày tháng năm .
Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1. Thư viện Tổng hợp Quốc gia Tp.HCM
2. Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
GIỚI THIỆU
Giải tích biến phân liên quan đến nhiều lý thuyết toán học, đặc biệt là
những vấn đề về hội tụ biến phân và tối ưu hoá.
Theo sự hiểu biết của chúng tôi, nhiều khái niệm hội tụ của dãy hàm đã
được giới thiệu và được dùng trong các bài toán biến phân. Năm 1975, De
Giorgi đưa ra định nghĩa của Γ-hội tụ. Định nghĩa này đóng vai trò quan trọng
trong số các khái niệm hội tụ của bài toán biến phân. Hơn nữa, những áp dụng

của Γ-hội tụ cũng được phát triển trong những lĩnh vực khác của giải tích biến
phân, như: phép toán biến phân và phương trình vi phân
Gần đây, tính không trơn đã trở thành một trong những đặc trưng của
giải tích biến phân. Trong thực tế, nhiều đối tượng của bài toán biến phân,
như: hàm khoảng cách, hàm giá trị trong tối ưu và bài toán điều kiển, ánh xạ
nghiệm , có thể được biểu diễn dưới dạng hàm đa trị hoặc không trơn. Điều
này dẫn đến sự phát triển của một hướng nghiên cứu mới liên quan đến các
dạng đạo hàm (tính khả vi) suy rộng.
Từ những phân tích bên trên, trong luận án này chúng tôi nghiên cứu một
số vấn đề liên quan đến Γ-giới hạn và các dạng đạo hàm suy rộng.
Luận án gồm 6 chương.
+ Chương 1, chúng tôi trình bày chi tiết mục đích nghiên cứu của từng vấn
đề trong luận án.
+ Chương 2, những kiến thức chuẩn bị của luận án được giới thiệu.
+ Chương 3, chúng tôi giới thiệu định nghĩa và một số tính chất cơ bản của
Γ-giới hạn. Ngoài ra, các kết quả liên quan đến dạng dãy của Γ-giới hạn cũng
được trình bày. Sau đó, chúng tôi đưa ra một số áp dụng của Γ-giới hạn.
+ Chương 4, dựa vào khái niệm tập biến phân, một dạng đạo hàm suy rộng
được đưa ra bởi Khánh và Tuấn (2008), chúng tôi nghiên cứu tính chất của các
ánh xạ nhiễu và các áp dụng trong phân tích độ nhạy của bài toán tối ưu.
+ Chương 5, khái niệm tập theo tia (radial) cấp cao và đạo hàm theo tia
cấp cao được giới thiệu và dùng để thiết lập điều kiện cần và đủ cho nhiều loại
nghiệm của bài toán tối đa trị có ràng buộc.
+Chương 6 thảo luận về đạo hàm Studniarski cho ánh xạ đa trị. Chúng
tôi trình bày những phép toán của đạo hàm này và những áp dụng của chúng
được khảo sát.
1
Chương 1. Mục đích nghiên cứu
1.1. Γ-giới hạn
Vài thập kỷ gần đây đã chứng kiến sự phát triển của hội tụ biến phân và

các áp dụng trong những lĩnh vực khác. Trong hội tụ biến phân, Γ-giới hạn có
vai trò quan trọng. Hơn nữa, hầu hết các dạng hội tụ khác đều có thể được
biểu diễn dưới dạng Γ-giới hạn. Năm 1983, Greco giới thiệu khái niệm limitoid
trong Greco (1983) và suy ra rằng các Γ-giới hạn là trường hợp đặc biệt của
limitoid. Sau đó, Gerco trình bày định lý biễu diễn, theo đó mỗi quan hệ của
các limitoid sẽ tương ứng với quan hệ trong lý thuyết tập. Điều này giúp chúng
tôi đạt được các kết quả dạng dãy của Γ-giới hạn một cách dễ dàng.
Ngoài ra, dùng Γ-giới hạn, chúng tôi cũng đề xuất một hướng thống nhất
đối với các khái niệm liên quan đến nón tiếp xúc và đạo hàm suy rộng.
1.2. Phân tích độ nhạy
Phân tích độ nhạy và sự ổn định có vai trò quan trọng trong tối ưu hoá.
Phân tích sự ổn định liên quan đến việc nghiên cứu tính chất liên tục (hoặc
nửa liên tục) của ánh xạ nghiệm và ánh xạ giá trị tối ưu. Trong khi đó, phân
tích độ nhạy đề cập đến các dạng đạo hàm của các ánh xạ được đề cập bên
trên. Theo chúng tôi biết, hiên nay có nhiều dạng đạo hàm suy rộng được giới
thiệu và dùng trong điều kiện tối ưu. Tuy nhiên, các kết quả về phân tích độ
nhạy là không nhiều. Vì thế, chúng tôi mong chờ nhiều dạng đạo hàm khác,
ngoài đạo hàm tiếp liên (contingent derivative), có thể được áp dụng trong chủ
đề này.
Do đó, chúng tôi chọn tập biến phân cấp cao, được giới thiệu bởi Khánh
và Tuấn (2008), cho mục đích này. Đây là khái niệm chứa nhiều dạng đạo hàm
suy rộng khác.
1.3. Điều kiện tối ưu
Tối ưu hóa là một công cụ cần thiết cho việc xây dựng nhiều vấn đề dưới
dạng tối thiểu hoặc tối đa hóa một hàm số với các ràng buộc nhất định. Đây
là một khoa học về lựa chọn quyết định tốt nhất trong các khả năng có thể.
Các lý thuyết ban đầu của tối ưu hoá được trình bày với giả thuyết khả vi của
các hàm liên quan. Trong khi đó, những nỗ lực để giảm nhẹ hoặc loại bỏ giả
thuyết khả vi đã dẫn đến sự phát triển của tối ưu không trơn. Điều kiện tối
ưu không trơn là một chủ đề đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học.

Nhiều dạng đạo hàm suy rộng được giới thiệu để thay thế cho đạo hàm Fréchet
và đạo hàm Gâteaux trong trường hợp không trơn. Hầu hết các dạng đạo hàm
này được xây dựng dựa trên các dạng của nón tiếp xúc.
Năm 1998, đạo hàm theo tia (radial) được đưa ra bởi Taa dựa vào khái
niệm bao nón. Để đạt được nhiều thông tin trong điều kiện tối ưu, đạo hàm
2
cấp cao cần được định nghĩa. Do đó, trong luận án này, chúng tôi định nghĩa
đạo hàm theo tia cấp cao và áp dụng vào điều kiện tối ưu cấp cao cho bài toán
tối ưu đa trị có ràng buộc.
1.4. Các phép toán và áp dụng
Nghiên cứu về điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu không trơn dẫn đến
nhiều dạng đạo hàm suy rộng được giới thiệu. Tuy nhiên, có khá ít kết quả về
các phép toán và áp dụng của những đạo hàm này.
Năm 1986, Studniarski giới thiệu một cách khác để định nghĩa đạo hàm cấp
cao (không dựa vào những cấp thấp hơn) cho hàm thực suy rộng, gọi là đạo
hàm Studniarski. Gần đây, đạo hàm này được mở rộng cho ánh xạ đa trị và áp
dụng trong điều kiện tối ưu. Tuy nhiên chưa có nghiên cứu về các phép toán
của dạng đạo hàm này. Do đó, trong luận án này, chúng tôi thiết lập các phép
toán của đạo hàm Studniarski và các áp dụng của chúng.
Chương 2. Kiến thức chuẩn bị
2.1. Các định nghĩa trong lý thuyết tập
Định nghĩa 2.1.1. Cho S là tập con của không gian tôpô X.
(i) Một họ F các tập con của S được gọi là không suy biến nếu ∅ ∈ F.
(ii) Một họ không suy biến F trên S được gọi là nửa lọc nếu G ⊇ F ∈
F =⇒ G ∈ F.
(iii) Một nửa lọc F trên S được gọi là lọc nếu F
0
, F
1
∈ F =⇒ F

0
∩ F
1
∈ F.
Định nghĩa 2.1.2. (i) Một tập L được gọi là dàn nếu hai phần tử bất kỳ của
L có một chận trên nhỏ nhất và một chận dưới lớn nhất.
(ii) Một dàn L được gọi là đầy đủ nếu mỗi tập con S của L có một chận
trên nhỏ nhất và một chận dưới lớn nhất trong L.
(iii) Một dàn đầy đủ L được gọi là phân phối nếu
(a)

j∈J

i∈A
j
f(j, i) =

ϕ∈

j∈J
A
j

j∈J
f(j, ϕ(j)),
(b)

j∈J

i∈A

j
f(j, i) =

ϕ∈

j∈J
A
j

j∈J
f(j, ϕ(j)),
với mỗi họ (khác rỗng) {A
j
}
j∈J
và với mỗi hàm f xác định trên {(j, i) ∈ J ×I :
i ∈ A
j
} có giá trị trong L, và

j∈J
A
j
:= {ϕ ∈ (

j∈J
A
j
)
J

:
∀
j∈J
ϕ(j) ∈ A
j
},
trong đó (

j∈J
A
j
)
J
ký hiệu tập của những hàm số từ J vào

j∈J
A
j
.
3
2.2. Các định nghĩa trong giải tích đa trị
Giả sử X, Y là hai không gian vector, C la một nón (khác rỗng) trong Y ,
và A ⊆ Y . Chúng tôi thường dùng những nón sau đây :
cone A := {λa : λ ≥ 0, a ∈ A}, cone
+
A := {λa : λ > 0, a ∈ A},
C
∗
:= {y
∗

∈ Y
∗
: y
∗
, c ≥ 0, ∀c ∈ C}, C
+i
:= {y
∗
∈ Y
∗
: y
∗
, c > 0, ∀c ∈ C\{0}}.
Một tập con B của nón C được gọi là cơ sở của C nếu C = cone B và
0 ∈ cl B.
Một tập con M ⊆ X × Y được xem như một ánh xạ đa trị (hoặc một quan
hệ) M từ X vào Y . Ảnh của điểm {x} được ký hiệu bởi Mx := {y ∈ Y : (x, y) ∈
M}. Ảnh ngược của tập K trong Y là M
−1
K := {x ∈ X : Mx ∩ K = ∅}.
Định nghĩa 2.2.1. Cho F : X → 2
Y
và (x
0
, y
0
) ∈ gr F .
(i) F được gọi là nửa liên tục dưới tại (x
0
, y

0
) nếu với mỗi lân cận V của
y
0
, tồn tại một lân cận U của x
0
sao cho V ∩ F(x) = ∅ với mọi x ∈ U.
(ii) Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn. Ánh xạ F được gọi là
tĩnh giả H¨older địa phương cấp m (m-th order locally pseudo-H¨older calm)
tại x
0
với y
0
∈ F (x
0
) nếu ∃λ > 0, ∃U ∈ N (x
0
), ∃V ∈ N (y
0
), ∀x ∈ U,
(F (x) ∩ V ) ⊆ {y
0
}+ λ||x − x
0
||
m
B
Y
, trong đó B
Y

là quả cầu đơn vị đóng trong
Y .
Khi m = 1, từ “H¨older" được thay bởi “Lipschitz". Nếu V = Y , thì “tĩnh giả
H¨older địa phương" trở thành “tĩnh H¨older địa phương" (locally H¨older calm).
Giả sử C là nón lồi, đóng, có đỉnh. a
0
∈ A được gọi là điểm hiệu quả Pareto
của A nếu (A − a
0
) ∩ (−C \ {0}) = ∅.
Định nghĩa 2.2.2. (Ha 2009) Cho Q là một nón mở trong Y . a
0
∈ A được
gọi là điểm Q-hiệu quả của A nếu (A − a
0
) ∩ −Q = ∅.
Tập các điểm Q-hiệu quả được ký hiệu bởi Min
Q
A.
Mệnh đề 2.2.3. (Ha 2009) (i) Giả sử int C = ∅, a
0
∈ A được gọi là điểm hiệu
quả yếu của A nếu và chỉ nếu a
0
∈ Min
Q
A với Q = int C.
(ii) a
0
∈ A được gọi là điểm hiệu quả mạnh của A nếu và chỉ nếu a

0
∈
Min
Q
A với Q = Y \ (−C).
(iii) Giả sử C
+i
= ∅, a
0
∈ A được gọi là điểm hiệu quả dương của A nếu và
chỉ nếu a
0
∈ Min
Q
A với Q = {y ∈ Y : ϕ(y) > 0}, trong đó ϕ ∈ C
+i
.
4
(iv) a
0
∈ A được gọi là điểm hiệu quả Geoffrion của A nếu và chỉ nếu a
0
∈
Min
Q
A với Q = C(), trong đó  > 0 và C() := {y ∈ Y : d
C
(y) < d
−C
(y)}.

(v) a
0
∈ A được gọi là điểm hiệu quả Henig của A nếu và chỉ nếu a
0
∈
Min
Q
A với Q là nón lồi, mở, có đỉnh và C \ {0} ⊆ Q.
(vi) Giả sử C có một cơ sở lồi B, a
0
∈ A được gọi là điểm hiệu quả Henig
mạnh của A nếu và chỉ nếu a
0
∈ Min
Q
A với Q = int C

(B), trong đó 0 <  < δ
(δ := inf{||b|| : b ∈ B} > 0 ) và C

(B) := cone(B + B
Y
).
Chương 3. Lý thuyết của Γ-giới hạn
3.1. Γ-giới hạn
Xét n tập S
1
, , S
n
và một hàm f từ S

1
× × S
n
vào R. Cho các họ không
suy biến A
1
, , A
n
trên các tập tương ứng S
1
, , S
n
, và α
1
, , α
n
∈ {+, −}.
Định nghĩa 3.1.1. (De Giorgi 1977) Đặt
Γ(A
α
1
1
, , A
α
n
n
) lim f := ext
−α
n
A

n
∈A
n
ext
−α
1
A
1
∈A
1
ext
α
1
x
1
∈A
1
ext
α
n
x
n
∈A
n
f(x
1
, , x
n
),
where ext

+
= sup and ext
−
= inf.
Công thức trên được gọi là Γ-giới hạn. Cho các tôpô τ
1
, , τ
n
trên các tập
tương ứng S
1
, , S
n
, khi đó
(Γ(τ
α
1
1
, , τ
α
n
n
) lim f) (x
1
, , x
2
) := Γ(N
τ
1
(x

1
)
α
1
, , N
τ
n
(x
n
)
α
n
) lim f
1
.
Chú ý rằng Γ(τ
α
1
1
, , τ
α
n
n
)lim f là một hàm số từ S
1
× × S
n
vào R.
Các tính chất của Γ-giới hạn được trình bày trong phần 3.2 của luận án.
3.2. Γ-giới hạn trong dàn phân phối đầy đủ

Định nghĩa 3.2.1. (Greco 1983) Một hàm T : L
S
→ L được gọi là L-limitoid
trong S (hoặc ngắn gọn, limitoid) nếu với mọi f, g ∈ L
S
và mọi đồng cấu đầy
đủ ϕ của L trong L,
(i) g ≤ f =⇒ T (g) ≤ T (f),
(ii) T(ϕ ◦ g) = ϕ(T (g)),
(iii) T(g) ∈ g(S)
L
,
với g(S)
L
là dàn con đóng nhỏ nhất của L chứa g(S), và L
S
là tập những hàm
từ S vào L .
1
Nếu (X, τ) là không gian tôpô, khi đó N
τ
(x) ký hiệu tập các lân cận của x.
5
Định nghĩa 3.2.2. (Greco 1983) Tập tựa của một limitoid T trong S, ký hiệu
bởi st(T), là họ các tập xác định bởi
st(T ) := {A ⊆ S : T (χ
L
A
) = 1
L

},
với χ
L
A
: S → L lấy giá trị 1
L
trên A và bằng 0
L
trên S \ A.
Định lý 3.2.3. (Greco 1983) (định lý biểu diễn của limitoid) Cho L là một
dàn phân phối đầy đủ và T là một limitoid trong S. Khi đó, với mọi f ∈ L
S
,
T (f) = liminf
st(T )
f,
với st(T ) là tập tựa của T.
3.3. Dạng dãy của Γ-giới hạn của hàm thực suy rộng
Định nghĩa 3.3.1. (Dolecki 2009) Cho F là một lọc trên X.
(i) F được gọi là lọc chủ yếu nếu tồn tại một tập A của X sao cho F =
{B ⊆ X : A ⊆ B}. Tập các lọc chủ yếu trên X được ký hiệu bởi F
0
(X).
(ii) F được gọi là lọc dãy nếu tồn tại một dãy {x
n
}
n
trong X sao cho
họ {{x
n

: n ≥ m} : m ∈ N} là một cơ sở của F. Khi đó, chúng ta ký hiệu
F ≈ {x
n
}
n
. Tập các lọc dãy trên X được ký hiệu bởi F
seq
(X).
(iii) F được gọi là lọc đếm được nếu nó có một cơ sở đếm được. Tập các
lọc đếm được trên X được ký hiệu bởi F
1
(X).
Định nghĩa 3.3.2. (Jordan và Mynard 2004) Cho F là một lọc trên X.
(i) F được gọi là lọc Fréchet nếu
∀ G ∈ F
0
(X) : G#F =⇒ ∃H ∈ F
seq
(X) : H ≥ F ∨ G,
với F ∨ G := {F ∩ G : F ∈ F, G ∈ G} là cận trên của F và G; G#F nghĩa là
G ∩ F = ∅, ∀G ∈ G, F ∈ F .
(ii) F được gọi là lọc Fréchet mạnh nếu
∀ G ∈ F
1
(X) : G#F =⇒ ∃H ∈ F
seq
(X) : H ≥ F ∨ G.
(iii) F được gọi là lọc Fréchet hiệu quả nếu
∀ G ∈ F
sF

(X) : G#F =⇒ ∃H ∈ F
1
(X) : H ≥ F ∨ G,
với F
sF
(X) là tập các lọc Fréchet mạnh trên X.
6
Định nghĩa 3.3.3. (Greco 1984) Cho N ≈ {n}
n
, A
1
, , A
k
là các lọc trên các
tập tương ứng S
1
, , S
k
, và f : N × S
1
× ×S
k
→ R. Γ-giới hạn dãy được định
nghĩa bởi
Γ
seq
(N
α
0
, A

α
1
1
, , A
α
k
k
)lim f :=
ext
α
1
{x
1
n
}
n
∈Seq(A
1
)
ext
α
k
{x
k
n
}
n
∈Seq(A
k
)

ext
−α
0
m∈N
ext
α
0
n≥m
f(n, x
1
n
, , x
k
n
),
với ext
−
= inf, ext
+
= sup, α
0
, α
1
, , α
k
∈ {+, −}.
3.3.1. Hai biến
Định lý 3.3.4. Cho f : N × X → R.
(i) Nếu G là lọc Fréchet mạnh trên X, khi đó
Γ(N

−
, G
−
) = Γ
seq
(N
−
, G
−
), Γ(N
+
, G
+
) = Γ
seq
(N
+
, G
+
).
(ii) Nếu G là lọc đếm được trên X, khi đó
Γ(N
−
, G
+
) = Γ
seq
(N
−
, G

+
), Γ(N
+
, G
−
) = Γ
seq
(N
+
, G
−
).
3.3.2. Ba biến
Định lý 3.3.5. Cho G, H là hai lọc trên X, Y , và f : N × X × Y → R.
(i) Giả sử G là lọc Fréchet mạnh và H là lọc Fréchet hiệu quả (hoặc ngược
lại). Khi đó
Γ(N
−
, G
−
, H
−
) = Γ
seq
(N
−
, G
−
, H
−

),
Γ(N
+
, G
+
, H
+
) = Γ
seq
(N
+
, G
+
, H
+
).
(ii) Giả sử G là lọc đếm được và H là lọc Fréchet mạnh. Khi đó
Γ(N
−
, G
+
, H
−
) = Γ
seq
(N
−
, G
+
, H

−
),
Γ(N
+
, G
−
, H
+
) = Γ
seq
(N
+
, G
−
, H
+
).
(iii) Giả sử G, H là các lọc đếm được. Khi đó
Γ(N
+
, G
−
, H
−
) = Γ
seq
(N
+
, G
−

, H
−
),
Γ(N
−
, G
+
, H
+
) = Γ
seq
(N
−
, G
+
, H
+
).
(iv) Giả sử G là lọc Fréchet mạnh và H là lọc đếm được. Khi đó
Γ(N
+
, G
+
, H
−
) = Γ
seq
(N
+
, G

+
, H
−
).
7
Γ(N
−
, G
−
, H
+
) = Γ
seq
(N
−
, G
−
, H
+
).
3.3.3. Trường hợp hơn ba biến
Định lý 3.3.6. Cho F là lọc Fréchet mạnh trên X, và G, H là các lọc đếm
được trên Y, Z. Khi đó, với mọi f : N × X × Y × Z → R,
Γ(N
−
, F
−
, G
+
, H

−
)lim f = Γ
seq
(N
−
, F
−
, G
+
, H
−
)lim f.
Tuy nhiên, tồn tại các lọc đếm được F, G, H và một hàm thực suy rộng f sao
cho
Γ(N
+
, F
−
, G
+
, H
−
)lim f = Γ
seq
(N
+
, F
−
, G
+

, H
−
)lim f.
3.4. Áp dụng
Trong phần này, bằng cách dùng Γ-giới hạn, chúng tôi giới thiệu một cách
thống nhất các ký hiệu của đạo hàm suy rộng và nón tiếp xúc.
3.4.1. Đạo hàm suy rộng
Cho N
+
(0) := N (0) ∩ (0, +∞) là một lọc trên (0, +∞), τ là một tôpô trên
X, và f : X → R. Giả sử ϑ
f
là cận trên của τ và tôpô thô nhất trên X sao cho
f liên tục. Một ký hiệu thống nhất các dạng đạo hàm của f tại x
0
được xác
định bởi
D(N
+
(0)
α
1
; ϑ
α
2
f
, τ
α
3
)f(x

0
)(h) :=

Γ(N
+
(0)
α
1
; ϑ
α
2
f
, τ
α
3
) lim
f(x + tu) − f (x)
t

(x
0
, h), (1)
với α
1
∈ {+, −}, α
2
, α
3
∈ {+, −, ∗}, trong đó α
2

= ∗ (hoặc α
3
= ∗) nghĩa là x
(u, tương ứng) là cố định và bằng x
0
(h, tương ứng).
Công thức (1) được viết ngắn gọn như sau
D
(α
1
,α
2
,α
3
)
f(x
0
)(h) = Γ

(t → 0
+
)
α
1
, (x → x
0
)
α
2
, (u → h)

α
3

lim
f(x + tu) − f (x)
t
.
Định nghĩa 3.4.1. Cho f : (X, τ) → R và x
0
∈ X.
(i) Đạo hàm Dini trên của f tại x
0
theo phương h ∈ X là
D
(+,∗,∗)
f(x
0
)(h) = Γ((t → 0
+
)
+
) lim
f(x
0
+ th) − f(x
0
)
t
.
(ii) Đạo hàm Dini dưới của f tại x

0
theo phương h ∈ X là
D
(−,∗,∗)
f(x
0
)(h) = Γ

(t → 0
+
)
−

lim
f(x
0
+ th) − f(x
0
)
t
.
8
(iii) Đạo hàm Hadamard trên của f tại x
0
theo phương h ∈ X là
D
(+,∗,+)
f(x
0
)(h) = Γ


(t → 0
+
)
+
, (u → h)
+

lim
f(x
0
+ tu) − f(x
0
)
t
.
(iv) Đạo hàm Hadamard dưới của f tại x
0
theo phương h ∈ X là
D
(−,∗,−)
f(x
0
)(h) = Γ

(t → 0
+
)
−
, (u → h)

−

lim
f(x
0
+ tu) − f(x
0
)
t
.
(v) Đạo hàm paratangent của f tại x
0
theo phương h ∈ X là
D
(+,+,+)
f(x
0
)(h) = Γ

(t → 0
+
)
+
, (x → x
0
)
+
, (u → h)
+


lim
f(x + tu) − f (x)
t
.
(vi) Đạo hàm Clarke của f tại x
0
theo phương h ∈ X là
D
(−,−,−)
f(x
0
)(h) = Γ

(t → 0
+
)
−
, (x → x
0
)
−
, (u → h)
−

lim
f(x + tu) − f (x)
t
.
3.4.2. Nón tiếp xúc
Cho S là một tập con của X. Chúng ta xét một ánh xạ đa trị từ (0, +∞)×X

vào X xác định bởi
H
S
(t, x) :=
1
t
(S − x). (2)
H
S
có thể được xem như một quan hệ trong (0, +∞) × X × X. Nếu x
0
cố
định, (2) được ký hiệu bởi H
S,x
0
.
Nhắc lại, với A ⊆ X, hàm đặc trưng của A được định nghĩa bởi
χ
A
(x) :=



1, if x ∈ A,
0, if x ∈ A.
Cho τ, θ là tôpô trên X. Chúng tôi định nghĩa
v ∈ T
S
(N
+

(0)
α
1
; θ
α
2
S
, τ
α
3
)(x
0
) ⇐⇒

Γ(N
+
(0)
α
1
; θ
α
2
S
, τ
α
3
) lim χ
(H
S
)


(x
0
, v) = 1,
(3)
với θ
S
là tôpô trên S được cảm sinh bởi θ, α
1
, α
3
∈ {+, −}, α
2
∈ {+, −, ∗}, với
α
2
= ∗ nghĩa là x cố định và bằng x
0
.
Công thức (3) được viết ngắn gọn như sau
v ∈ T
(α
1
,α
2
,α
3
)
S
(x

0
) ⇐⇒ Γ

(t → 0
+
)
α
1
, (x → x
0
)
α
2
, (u → v)
α
3

lim χ
(H
S
)
= 1.
9
Định nghĩa 3.4.2. Cho S ⊆ X và x
0
∈ cl S.
(i) Nón tiếp liên của S tại x
0
được xác định bởi
v ∈ T

(+,∗,+)
S
(x
0
) ⇐⇒ Γ((t → 0
+
)
+
, (u → v)
+
) lim χ
(H
S,x
0
)
= 1.
(ii) Nón kề của S tại x
0
được xác định bởi
v ∈ T
(−,∗,+)
S
(x
0
) ⇐⇒ Γ((t → 0
+
)
−
, (u → v)
+

) lim χ
(H
S,x
0
)
= 1.
(iii) Nón paratangent của S tại x
0
được xác định bởi
v ∈ T
(+,+,+)
S
(x
0
) ⇐⇒ Γ((t → 0
+
)
+
, (x → x
0
)
+
, (u → v)
+
) lim χ
(H
S
)
= 1.
(iv) Nón Clarke của S tại x

0
được xác định bởi
v ∈ T
(−,−,+)
S
(x
0
) ⇐⇒ Γ((t → 0
+
)
−
, (x → x
0
)
−
, (u → v)
+
) lim χ
(H
S
)
= 1.
Chương 4. Tập biến phân và áp dụng vào phân tích độ nhạy
của bài toán tối ưu vector
4.1. Tập biến phân
Cho X, Y là các không gian định chuẩn, C là nón lồi đóng có đỉnh trong
Y , F : X → 2
Y
và (x
0

, y
0
) ∈ gr F .
Định nghĩa 4.1.1 (Khánh và Tuấn 2008) Tập biến phân loại 1 được định
nghĩa như sau:
V
1
(F, x
0
, y
0
) = Limsup
x
F
→x
0
, t→0
+
1
t
(F (x) − y
0
),
V
m
(F, x
0
, y
0
, v

1
, · · · , v
m−1
) = Limsup
x
F
→x
0
, t→0
+
1
t
m
(F (x) − y
0
− tv
1
− · · · t
m−1
v
m−1
).
Định nghĩa 4.1.2 (Khánh và Tuấn 2008) Tập biến phân loại 2 được định
nghĩa như sau:
W
1
(F, x
0
, y
0

) = Limsup
x
F
→x
0
cone
+
(F (x) − y
0
), ,
W
m
(F, x
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) = Limsup
x
F
→x
0
t→0
+
1
t
m−1

(cone
+
(F (x)−y
0
)−v
1
−· · ·−t
m−2
v
m−1
).
10
Nếu giới hạn trên trong Định nghĩa 4.1.1 và 4.1.2. bằng với giới hạn dưới,
khi đó F được gọi là có tập biến phân trùng loại 1 và loại 2 tại (x
0
, y
0
).
4.2. Tập biến phân của ánh xạ nhiễu
Cho U là không gian định chuẩn của tham số nhiễu, Y là không gian mục
tiêu, F : U → 2
Y
. Đặt
G(u) := Min
C\{0}
F (u), S(u) := Min
int C
F (u).
G và S được gọi là ánh xạ nhiễu và ánh xạ nhiễu yếu.
Định nghĩa 4.2.1 Cho (x

0
, y
0
) ∈ grF , v
1
, · · · , v
m−1
∈ Y , và m ∈ N. Tập biến
phân suy biến cấp m loại 1 (loại 2, tương ứng) của F tại (x
0
, y
0
) được xác định
bởi
V
∞(m)
(F, x
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) := {y ∈ Y : ∃x
n
F
→ x
0
, ∃t

n
→ 0
+
, ∃λ
n
→ 0
+
,
∃y
n
∈
F (x
n
) − y
0
− t
n
v
1
− · · · − t
m−1
n
v
m−1
t
m
n
, λ
n
y

n
→ y}
(W
∞(m)
(F, x
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) := {y ∈ Y : ∃x
n
F
→ x
0
, ∃t
n
→ 0
+
, ∃λ
n
→ 0
+
,
∃y
n
∈
cone

+
(F (x
n
) − y
0
) − v
1
− · · · − t
m−2
n
v
m−1
t
m−1
n
, λ
n
y
n
→ y}).
Định nghĩa 4.2.2. Cho A ⊆ Y .
(i) A được gọi là có tính trội nếu và chỉ nếu A ⊆ Min
C\{0}
A + C.
(ii) Khi int C = ∅, A được gọi là có tính trội yếu tương ứng với nón
ˆ
C nếu
và chỉ nếu A ⊆ Min
int C
A +

ˆ
C, với
ˆ
C ⊆ int C ∪ {0} là một nón lồi đóng.
Ánh xạ F được gọi là có tính chất trội quanh u
0
nếu và chỉ nếu tồn tại một
lân cận V của u
0
sao cho F (u) có tính chất trội với mọi u ∈ V . Ánh xạ F được
gọi là có tính trội yếu quanh u
0
tương ứng với
ˆ
C nếu và chỉ nếu tồn tại một
lân cận V của u
0
sao cho F (u) có tính trội yếu tương ứng với
ˆ
C với mọi u ∈ V .
Định lý 4.2.3. Cho (u
0
, y
0
) ∈ gr G và v
1
, · · · , v
m−1
∈ Y . Giả sử F có tính trội
quanh u

0
và C có cơ sở compact.
(i) Giả sử một trong số các điều kiện sau đây thoả:
(i
1
) V
m
(F + C, u
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) có tính chất trội,
(i
2
) V
∞(m)
(F, u
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) ∩ (−C) = {0}.
11

Khi đó
Min
C\{0}
V
m
(F, u
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) = Min
C\{0}
V
m
(G, u
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
).
(ii) Giả sử một trong số các điều kiện sau đây thoả:
(ii
1
) W

m
(F + C, u
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) có tính chất trội,
(ii
2
) W
∞(m)
(F, u
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) ∩ (−C) = {0}.
Khi đó
Min
C\{0}
W
m
(F, u
0

, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) = Min
C\{0}
W
m
(G, u
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
).
Định lý 4.2.4. Cho (u
0
, y
0
) ∈ gr S và v
1
, · · · , v
m−1
∈ Y . Giả sử F có tính trội
yếu quanh u
0

tương ứng với
ˆ
C, trong đó
ˆ
C ⊆ int C ∪ {0} là nón lồi đóng có cơ
sở compact.
(i) Giả sử một trong số các điều kiện sau đây thoả:
(i
1
) V
m
(F +
ˆ
C, u
0
, y
0
, v
1
· · · , v
m−1
) có tinh chất trội yếu tương ứng với
ˆ
C,
(i
2
) V
∞(m)
(F, u
0

, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) ∩ (−
ˆ
C) = {0}.
Khi đó
Min
int C
V
m
(F, u
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) = Min
int C
V
m
(S, u
0
, y
0

, v
1
, · · · , v
m−1
).
(ii) Giả sử một trong số các điều kiện sau đây thoả:
(ii
1
) W
m
(F +
ˆ
C, u
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) có tinh chất trội yếu tương ứng
với
ˆ
C,
(ii
2
) W
∞(m)
(F, u
0

, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) ∩ (−
ˆ
C) = {0}.
Khi đó
Min
int C
W
m
(F, u
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) = Min
int C
W
m
(S, u
0
, y
0

, v
1
, · · · , v
m−1
).
Ví dụ 4.3.3 và 4.3.5 (trong luận án) được xây dựng để minh hoạ cho hai
định lý trên. Bên cạnh đó, Ví dụ 4.3.6 trình bày một trường hợp trong đó hai
định lý của chúng tôi có thể áp dụng, nhưng kết quả tương tự khi dùng các
đạo hàm suy rộng khác thì không thể.
Định lý 4.2.5. Cho (u
0
, y
0
) ∈ gr S, v
1
, · · · , v
m−1
∈ Y , và
ˆ
C là nón lồi đóng
được chứa trong int C ∪ {0} và có cơ sở compact. Giả sử:
(i) một trong số các điều kiện sau đây thoả:
12
(i
1
) V
m
(F +
ˆ
C, u

0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) có tính chất trội yếu tương ứng
với
ˆ
C,
(i
2
) V
∞(m)
(F, u
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) ∩ (−
ˆ
C) = {0},
(ii) F có tính chất trội yếu quanh u
0
tương ứng với
ˆ

C,
(iii) F có tập biến phân trùng cấp m loại 1 tại (u
0
, y
0
).
Khi đó
V
m
(S, u
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) = Min
int C
V
m
(F, u
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
).

Ví dụ 4.3.9 chứng tỏ rằng Định lý 4.2.5 không đúng khi thay “S” và
“Min
intC
” bằng “G” và “Min
C\{0}
”.
4.3. Phân tích độ nhạy của bài toán tối ưu vector
Chúng tôi xét 2 bài toán sau
Min
C\{0}
F (x, u), thoả x ∈ X(u), (4)
Min
int C
F (x, u), thoả x ∈ X(u). (5)
Trong đó, U, W, Y là không gian định chuẩn, C là nón lồi, đóng, có đỉnh, F
là ánh xạ mục tiêu từ W × U vào Y , và X là ánh xạ ràng buộc từ U vào W.
Đặt
H(u) := F (X(u), u) = {y ∈ Y : y ∈ F (x, u), x ∈ X(u)}.
H(u) là tập tham số chấp nhận được trong không gian mục tiêu. Tập nghiệm
(trong Y ) của bài toán (4) và (5) được ký hiệu bởi Min
C\{0}
H(u) và Min
int C
H(u).
Đặt
G(u) := Min
C\{0}
H(u), S(u) := Min
int C
H(u).

Định nghĩa 4.3.1. Cho W, U, Y là các không gian định chuẩn, F : W × U →
2
Y
, ((x
0
, u
0
), y
0
) ∈ gr F , x ∈ W , và (w
i
, v
i
) ∈ W × Y với i = 1, · · · , m − 1.
(i) Tập biến phân trên (dưới, tương ứng) của F tại ((x
0
, u
0
), y
0
) tương ứng
với x được định nghĩa bởi
V
m
q
(F, (x
0
[x], u
0
), y

0
, w
1
, v
1
, · · · , w
m−1
, v
m−1
) := {v ∈ Y : ∃t
n
→ 0
+
, ∃h
n
→ 0
+
,
∃x
n
→ x, ∃u
n
→ u
0
, ∃v
n
→ v, ∀n, y
0
+ h
n

v
1
+ · · · + h
m−1
n
v
m−1
+ h
m
n
v
n
∈ F (x
0
+ t
n
w
1
+ · · · + t
m−1
n
w
m−1
+ t
m
n
x
n
, u
n

)}
(V
m
q
(F, (x
0
[x], u
0
), y
0
, w
1
, v
1
, w
m−1
, v
m−1
) := {v ∈ Y : ∀t
n
→ 0
+
, ∀x
n
→ x,
13
∀u
n
→ u
0

, ∃v
n
→ v, ∀n, y
0
+ t
n
v
1
+ + t
m−1
n
v
m−1
+ t
m
n
v
n
∈ F (x
0
+ t
n
w
1
+ + t
m−1
n
w
m−1
+ t

m
n
x
n
, u
n
)}).
(ii) F được gọi là có sự biến phân trùng cấp m của F tại ((x
0
, u
0
), y
0
) nếu
và chỉ nếu, với mọi x,
V
m
q
(F, (x
0
[x], u
0
), y
0
, w
1
, v
1
, · · · , w
m−1

, v
m−1
) =
V
m
q
(F, (x
0
[x], u
0
), y
0
, w
1
, v
1
, · · · , w
m−1
, v
m−1
).
Định lý 4.3.2. Cho (u
0
, y
0
) ∈ gr G, x
0
∈ X(u
0
), y

0
∈ F(x
0
, u
0
), W hữu hạn
chiều, và C có cơ sở compact. Giả sử
(i) H có tính trội quanh u
0
,
(ii) một trong số các điều kiện sau đây thoả:
(ii
1
) V
m
(H + C, u
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) có tính trội,
(ii
2
) V
∞(m)
(H, x
0

, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) ∩ (−C) = {0},
(iii) F có sự biến phân trùng cấp m tại ((x
0
, u
0
), y
0
),
(iv)

X tĩnh quanh (u
0
, y
0
),
(v)

X(u
0
, y
0
) = {x
0
} và V

1
q
(

X, (u
0
, y
0
[0]), x
0
) = {0}.
Khi đó
Min
C\{0}



x∈V
m
(X,u
0
,x
0
,w
1
,··· ,w
m−1
)
V
m

q
(F, (x
0
[x], u
0
), y
0
, w
1
, v
1
, · · · , w
m−1
, v
m−1
)


= Min
C\{0}
V
m
(G, x
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1

).
Định lý 4.3.3. Cho (u
0
, y
0
) ∈ gr S, x
0
∈ X(u
0
), y
0
∈ F(x
0
, u
0
), W hữu hạn
chiều, và
ˆ
C là nón lồi đóng được chứa trong int C ∪ {0}, và có cơ sở compac.
Giả sử
(i) Y có tính trội yếu quanh u
0
tương ứng với
ˆ
C,
(ii) một trong số các điều kiện sau đây thoả:
(ii
1
) V
m

(H +
ˆ
C, u
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) có tính trội yếu tương ứng
với
ˆ
C,
(ii
2
) V
∞(m)
(H, x
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) ∩ (−
ˆ
C) = {0},
14

(iii) F có sự biến phân trùng cấp m tại ((x
0
, u
0
), y
0
),
(iv)

X tĩnh quanh ((u
0
, y
0
), x
0
),
(v)

X(u
0
, y
0
) = {x
0
} và V
1
q
(

X, (u

0
, y
0
[0]), x
0
) = {0}.
Khi đó
Min
int C



x∈V
m
(X,u
0
,x
0
,w
1
,··· ,w
m−1
)
V
m
q
(F, (x
0
[x], u
0

), y
0
, w
1
, v
1
, · · · , w
m−1
, v
m−1
)


= Min
int C
V
m
(S, x
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
).
Định lý 4.3.4. Cho (u
0
, y
0

) ∈ gr S, giả sử các giả thuyết của định lý 4.3.3
thoả, và H có tập biến phân trùng cấp m loại 1 tại (u
0
, y
0
). Khi đó
V
m
(S, u
0
, y
0
, v
1
, · · · , v
m−1
) =
Min
int C



x∈V
m
(X,u
0
,x
0
,w
1

,··· ,w
m−1
)
V
m
q
(F, (x
0
[x], u
0
), y
0
, w
1
, v
1
, · · · , w
m−1
, v
m−1
)


.
Các Ví dụ 4.4.3-4.4.6 chứng tỏ rằng các giả thuyết trong ba định lý trên là cần
thiết.
Chương 5. Tập theo tia, đạo hàm theo tia và áp dụng vào
điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu vector
5.1. Tập theo tia và đạo hàm theo tia cấp cao
Định nghĩa 5.1.1. Cho X là không gian định chuẩn, x

0
∈ S ⊆ X, và
u
1
, , u
m−1
∈ X với m ≥ 1.
(i) Tập theo tia trên cấp m của S tại x
0
tương ứng với u
1
, , u
m−1
được
xác định bởi
T
r(m)
S
(x
0
, u
1
, , u
m−1
) := {y ∈ X : ∃t
n
> 0, ∃y
n
→ y, ∀n,
x

0
+ t
n
u
1
+ + t
m−1
n
u
m−1
+ t
m
n
y
n
∈ S}.
(ii) Tập theo tia dưới cấp m của S tại x
0
tương ứng với u
1
, , u
m−1
được
xác định bởi
T
r(m)
S
(x
0
, u

1
, , u
m−1
) := {y ∈ X : ∀t
n
> 0, ∃y
n
→ y, ∀n,
15
x
0
+ t
n
u
1
+ + t
m−1
n
u
m−1
+ t
m
n
y
n
∈ S}.
Định nghĩa 5.1.2. Cho X, Y là các không gian định chuẩn, F : X → 2
Y
,
(x

0
, y
0
) ∈ gr F , và (u
i
, v
i
) ∈ X × Y , i = 1, , m − 1 với m ≥ 1.
(i) Đạo hàm theo tia trên cấp m của F tại (x
0
, y
0
) tương ứng với (u
1
, v
1
) , ,
(u
m−1
, v
m−1
) là ánh xạ đa trị D
m
R
F (x
0
, y
0
, u
1

, v
1
, , u
m−1
, v
m−1
) : X → 2
Y
mà
đồ thị của nó được xác định bởi
gr D
m
R
F (x
0
, y
0
, u
1
, v
1
, , u
m−1
, v
m−1
) := T
r(m)
gr F
(x
0

, y
0
, u
1
, v
1
, , u
m−1
, v
m−1
).
(ii) Đạo hàm theo tia dưới cấp m của F tại (x
0
, y
0
) tương ứng với (u
1
, v
1
) , ,
(u
m−1
, v
m−1
) là ánh xạ đa trị D
(m)
R
F (x
0
, y

0
, u
1
, v
1
, , u
m−1
, v
m−1
) : X → 2
Y
với
gr D
(m)
R
F (x
0
, y
0
, u
1
, v
1
, , u
m−1
, v
m−1
) := T
r(m)
gr F

(x
0
, y
0
, u
1
, v
1
, , u
m−1
, v
m−1
).
Định nghĩa 5.1.3. Cho F : X → 2
Y
, (x
0
, y
0
) ∈ gr F và (u
i
, v
i
) ∈ X × Y ,
i = 1, , m − 1 với m ≥ 1.
(i) Nếu T
r(m)
F (X)
(y
0

, v
1
, , v
m−1
) = T
r(m)
F (X)
(y
0
, v
1
, , v
m−1
), khi đó tập này
được gọi là tập theo tia trùng cấp m của F(X) tại y
0
tương ứng với v
1
, , v
m−1
.
(ii) Nếu D
m
R
F (x
0
, y
0
, u
1

, v
1
, , u
m−1
, v
m−1
)(x) = {v ∈ Y : ∀t
n
> 0, ∀x
n
→
x, ∃v
n
→ v : y
0
+t
n
v
1
+ +t
m−1
n
v
m−1
+t
m
n
v
n
∈ F (y

0
+t
n
u
1
+ +t
m−1
n
u
m−1
+
t
m
n
x
n
), ∀n}, với mọi x ∈ dom D
m
R
F (x
0
, y
0
, u
1
, v
1
, , u
m−1
, v

m−1
), khi đó đạo
hàm này được gọi là nửa đạo hàm theo tia cấp m của F tại (x
0
, y
0
) tương ứng
với (u
1
, v
1
), , (u
m−1
, v
m−1
).
5.2. Phép cộng và phép tích ánh xạ
Mệnh đề 5.2.1. (Phép cộng) Cho F
i
: X → 2
Y
, x
0
∈ Ω := dom F
1
∩ dom F
2
,
y
i

∈ F
i
(x
0
) với i = 1, 2.
(i) Nếu F
1
(Ω) hoặc F
2
(Ω) có tập theo tia trùng cấp m tại y
1
tương ứng với
v
1,1
, , v
1,m−1
hoặc tại y
2
tương ứng với v
2,1
, , v
2,m−1
, khi đó
T
r(m)
F
1
(Ω)
(y
1

, v
1,1
, , v
1,m−1
) + T
r(m)
F
2
(Ω)
(y
2
, v
2,1
, , v
2,m−1
)
⊆ T
r(m)
(F
1
+F
2
)(Ω)
(y
1
+ y
2
, v
1,1
+ v

2,1
, , v
1,m−1
+ v
2,m−1
).
(ii) Nếu F
1
hoặc F
2
có nửa đạo hàm theo tia cấp m tại (x
0
, y
1
) tương ứng với
(u
1
, v
1,1
), , (u
m−1
, v
1,m−1
) hoặc tại (x
0
, y
2
) tương ứng với (u
1
, v

2,1
), , (u
m−1
, v
2,m−1
),
khi đó với mọi u ∈ X,
D
m
R
F
1
(x
0
, y
1
, u
1
, v
1,1
, , u
m−1
, v
1,m−1
)(u)+D
m
R
F
2
(x

0
, y
2
, u
1
, v
2,1
, , u
m−1
, v
2,m−1
)(u)
16
⊆ D
m
R
(F
1
+ F
2
)(x
0
, y
1
+ y
2
, u
1
, v
1,1

+ v
2,1
, , u
m−1
, v
1,m−1
+ v
2,m−1
)(u).
Mệnh đề 5.2.2. (Phép tích ánh xạ) Cho G : X → 2
Y
, F : Y → 2
Z
với Im G ⊆
dom F , (x
0
, y
0
) ∈ gr G, (y
0
, z
0
) ∈ gr F và (u
1
, v
1
, w
1
), , (u
m−1

, v
m−1
, w
m−1
) ∈
X × Y × Z. Giả sử F có nửa đạo hàm theo tia cấp m tại (y
0
, z
0
) tương ứng với
(v
1
, w
1
), , (v
m−1
, w
m−1
). Khi đó
(i) D
m
R
F (y
0
, z
0
, v
1
, w
1

, , v
m−1
, w
m−1
)[T
r(m)
G(X)
(y
0
, v
1
, , v
m−1
)]
⊆ T
r(m)
(F ◦G)(X)
(z
0
, w
1
, , w
m−1
),
(ii) D
m
R
F (y
0
, z

0
, v
1
, w
1
, , v
m−1
, w
m−1
)[D
m
R
G(x
0
, y
0
, u
1
, v
1
, , u
m−1
, v
m−1
)(X)]
⊆ T
r(m)
(F ◦G)(X)
(z
0

, w
1
, , w
m−1
).
Tiếp theo, chúng tôi xây dựng các kết quả khác về phép tổng và tích ánh
xạ.
Cho G : X → 2
Y
và F : Y → 2
Z
, với X, Y, Z là các không gian định
chuẩn. Đặt C : X × Z → 2
Y
xác định bởi C(x, z) := G(x) ∩ F
−1
(z). Khi đó,
dom C = gr (F ◦ G).
Mệnh đề 5.2.3. Cho (x
0
, z
0
) ∈ gr (F ◦ G), y
0
∈ C(x
0
, z
0
), và (u
i

, v
i
, w
i
) ∈
X × Y × Z.
(i) Nếu, với mọi w ∈ Z,
T
r(m)
G(X)
(y
0
, v
1
, , v
m−1
) ∩ D
m
R
F
−1
(z
0
, y
0
, w
1
, v
1
, , w

m−1
, v
m−1
)(w)
⊆ D
m
R
C
X
(z
0
, y
0
, w
1
, v
1
, · · · , w
m−1
, v
m−1
)(w), (6)
với C
X
: Z → 2
Y
được xác định bởi C
X
(z) := C(X, z), khi đó
D

m
R
F (y
0
, z
0
, v
1
, w
1
, v
m−1
, w
m−1
)[T
r(m)
G(X)
(y
0
, v
1
, , v
m−1
)]
⊆ T
r(m)
(F ◦G)(X)
(z
0
, w

1
, , w
m−1
).
(ii) Nếu, với mọi (u, w) ∈ X × Z,
D
m
R
G(x
0
, y
0
, u
1
, v
1
, , u
m−1
, v
m−1
)(u)∩D
m
R
F
−1
(z
0
, y
0
, w

1
, v
1
, , w
m−1
, v
m−1
)(w)
⊆ D
m
R
C((x
0
, z
0
), y
0
, (u
1
, w
1
), v
1
, , (u
m−1
, w
m−1
), v
m−1
)(u, w), (7)

khi đó
D
m
R
F (y
0
, z
0
, v
1
, w
1
, v
m−1
, w
m−1
)[D
m
R
G(x
0
, y
0
, u
1
, v
1
, , u
m−1
, v

m−1
)(u)]
⊆ D
m
R
(F ◦ G)(x
0
, z
0
, u
1
, w
1
, , u
m−1
, w
m−1
)(u).
17
Cho M, N : X → 2
Y
. Với (x, z) ∈ X ×Y , đặt H(x, z) := M(x)∩(z − N (x)).
Mệnh đề 5.2.4. Cho (x
0
, z
0
) ∈ gr (M + N), y
0
∈ H(x
0

, z
0
) và (u
i
, v
i
, w
i
) ∈
X × Y × Y .
(i) Nếu, với mọi w ∈ Y ,
T
r(m)
M(X)
(y
0
, v
1
, , v
m−1
) ∩ [w − T
r(m)
N(X)
(z
0
− y
0
, w
1
, , w

m−1
)]
⊆ D
m
R
H
X
(z
0
, y
0
, v
1
+ w
1
, v
1
, · · · , v
m−1
+ w
m−1
, v
m−1
)(w), (8)
với H
X
: Y → 2
Y
được xác định bởi H
X

(y) := H(X, y), khi đó
T
r(m)
M(X)
(y
0
, v
1
, , v
m−1
) + T
r(m)
N(X)
(z
0
− y
0
, w
1
, , w
m−1
)
⊆ T
r(m)
(M+N )(X)
(z
0
, v
1
+ w

1
, · · · , v
m−1
+ w
m−1
).
(ii) Nếu, với mọi (u, w) ∈ X × Y ,
D
m
R
M(x
0
, y
0
, u
1
, v
1
, , u
m−1
, v
m−1
)(u)∩[w−D
m
R
N(x
0
, z
0
−y

0
, u
1
, w
1
, , u
m−1
, w
m−1
)(u)
⊆ D
m
R
H((x
0
, z
0
), y
0
, (u
1
, v
1
+ w
1
), v
1
, , (u
m−1
, v

m−1
+ w
m−1
), v
m−1
)(u, w),
(9)
khi đó
D
m
R
M(x
0
, y
0
, u
1
, v
1
, , u
m−1
, v
m−1
)(u)+D
m
R
N(x
0
, z
0

−y
0
, u
1
, w
1
, , u
m−1
, w
m−1
)(u)
⊆ D
m
R
(M + N)(x
0
, z
0
, u
1
, v
1
+ w
1
, , u
m−1
, v
m−1
+ w
m−1

)(u).
Nhiều ví dụ được trình bày để minh hoạ cho các kết quả bên trên, xem Ví
dụ 5.2.13, 5.2.16, và 5.2.18.
5.3. Điều kiện tối ưu
Cho X, Y và Z là các không gian định chuẩn, C ⊆ Y và D ⊆ Z là các nón
lồi, đóng, có đỉnh, S ⊆ X, và F : S → 2
Y
, G : S → 2
Z
. Bài toán tối ưu được
xét có dạng
(P) Min
Q
F (x), s.t. x ∈ S, G(x) ∩ −D = ∅.
Tập chấp nhận được của (P) được ký hiệu bởi A := {x ∈ S : G(x) ∩ −D = ∅}.
Định lý 5.3.1. (Điều kiện cần) Cho (x
0
, y
0
) ∈ grF là một nghiệm Q-hiệu quả
của (P), (u
i
, v
i
, w
i
) ∈ X × (−C) × (−D), i = 1, , m − 1, và z
0
∈ G(x
0

) ∩ −D.
Giả sử nón mở Q thoả Q + C ⊆ Q. Khi đó,
T
r(m)
(F,G)
+
(S)
(y
0
, z
0
, (v
1
, w
1
), , (v
m−1
, w
m−1
)) ∩ (−Q × −int D) = ∅,
18
D
m
R
(F, G)
+
(x
0
, y
0

, z
0
, (u
1
, v
1
, w
1
), , (u
m−1
, v
m−1
, w
m−1
))(X)∩(−Q×−int D) = ∅.
Định lý 5.3.2. (Điều kiện đủ) Cho (x
0
, y
0
) ∈ gr F và x
0
∈ A. Giả sử tồn tại
z
0
∈ G(x
0
) ∩ (−D) sao cho, với (u
i
, v
i

, w
i
) ∈ X × (−C) ×(−D), i = 1, , m −1,
và x ∈ S, nếu một trong số các điều kiện sau thoả
T
r(m)
(F,G)
+
(S)
((y
0
, z
0
), (v
1
, w
1
), , (v
m−1
, w
m−1
)) ∩ −(Q × D(z
0
)) = ∅,
D
m
R
(F, G)
+
(x

0
, y
0
, z
0
, u
1
, v
1
, w
1
, , u
m−1
, v
m−1
, w
m−1
)(x−x
0
)∩−(Q×D(z
0
)) = ∅,
khi đó, (x
0
, y
0
) là một nghiệm Q-hiệu quả của (P), với mọi nón mở Q.
Vì các dạng nghiệm khác của (P) là trường hợp riêng của nghiệm Q-hiệu
quả khi chọn những nón Q thích hợp. Do đó, từ hai định lý bên trên, chúng tôi
đạt được kết quả cho các dạng nghiệm khác (xem Định lý 5.3.2 và 5.3.7 trong

luận án). Hơn nữa, Ví dụ 5.3.5 chứng tỏ rằng Định lý 5.3.1 (điều kiện cần) có
thể dùng để loại bỏ nghiệm ứng viên một cách có hiệu quả trong khi các dạng
đạo hàm suy rộng khác không thể. Một số lợi thế khi dùng điều kiện đủ trong
Định lý 5.3.2 được trình bày trong Ví dụ 5.3.8.
5.4. Áp dụng cho các bài toán đặc biệt
Cho F : X → 2
Y
và G : X → 2
X
. Xét
(P
1
) Min
Q
F (x

) s.t. x ∈ X and x

∈ G(x).
Bài toán này có thể được trình bày dưới dạng bài toán không ràng buộc:
Min
Q
(F ◦ G)(x). Nhắc lại (x
0
, y
0
) là nghiệm Q-hiệu quả nếu y
0
∈ (F ◦ G)(x
0

)
và ((F ◦ G)(X) − y
0
) ∩ (−Q) = ∅.
Định lý 5.4.1. Giả sử với (P
1
), Im G ⊆ dom F , (x
0
, z
0
) ∈ gr G, (z
0
, y
0
) ∈ gr F ,
và (u
1
, v
1
, w
1
), , (u
m−1
, v
m−1
, w
m−1
) ∈ X × X × (−C). Giả sử một nón mở Q
thoả Q + C ⊆ Q và (x
0

, y
0
) là một nghiệm Q-hiệu quả của (P
1
).
(i) Nếu F
+
có nửa đạo hàm theo tia cấp m tại (z
0
, y
0
) tương ứng với
(v
1
, w
1
), , (v
m−1
, w
m−1
) hoặc (6) thoả cho F
+
và G, khi đó
D
m
R
F
+
(z
0

, y
0
, v
1
, w
1
, , v
m−1
, w
m−1
)[T
r(m)
G(X)
(z
0
, v
1
, , v
m−1
)] ∩ (−Q) = ∅.
(ii) Nếu F
+
có nửa đạo hàm theo tia cấp m tại (z
0
, y
0
) tương ứng với
(v
1
, w

1
), , (v
m−1
, w
m−1
) hoặc (7) thoả cho F
+
và G, khi đó
D
m
R
F
+
(z
0
, y
0
, v
1
, w
1
, , v
m−1
, w
m−1
)[D
m
R
G(x
0

, z
0
, u
1
, v
1
, , u
m−1
, v
m−1
)(X)]∩(−Q) = ∅.
19
Tiếp theo, chúng tôi xét bài toán sau:
(P
2
) Min
Q
F (x) s.t. g(x) ≤ 0,
với X, Y như trong bài toán (P
1
), F : X → 2
Y
và g : X → Y . Đặt A := {x ∈
X : g(x) ≤ 0} là tập chấp nhận được. Định nghĩa G : X → 2
Y
bởi G(x) := {0}
nếu x ∈ A và G(x) := {g(x)} cho trường hợp khác. Chú ý bài toán không ràng
buộc sau đây, với s > 0 bất kỳ,
(P
3

) Min
Q
(F + sG)(x).
Khi Y = R và F là đơn trị, (P
3
) thưởng được dùng để xấp xỉ (P
2
) trong phương
pháp phạt.
Định lý 5.4.2. Cho y
0
∈ F (x
0
), x
0
∈ Ω = dom F ∩dom G, và (u
1
, v
i,1
), ,(u
m−1
,
v
i,m−1
) ∈ X ×(−C) với i = 1, 2. Giả sử Q là nón mở thoả Q+C ⊆ Q và (x
0
, y
0
)
là một nghiệm Q-hiệu quả của (P

3
). Khi đó
(i) Nếu F
+
(Ω) (hoặc sG
+
(Ω)) có tập theo tia trùng cấp m tại y
0
tương ứng
với v
1,1
, , v
1,m−1
(tại 0 tương ứng với v
2,1
, , v
2,m−1
) hoặc (8) thoả cho F
+
và sG
+
, thì
(T
r(m)
F
+
(Ω)
(y
0
, v

1,1
, , v
1,m−1
) + sT
r(m)
G
+
(Ω)
(0, v
2,1
/s, , v
2,m−1
/s)) ∩ (−Q) = ∅.
(ii) Nếu F
+
(hoặc sG
+
) có nửa đạo hàm theo tia cấp m tại (x
0
, y
0
) tương
ứng với (u
1
, v
1,1
), , (u
m−1
, v
1,m−1

) (tại (x
0
, 0) tương ứng với (u
1
, v
2,1
), ,
(u
m−1
, v
2,m−1
)) hoặc (9) thoả cho F
+
và sG
+
, thì
(D
m
R
F
+
(x
0
, y
0
, u
1
, v
1,1
, , u

m−1
, v
1,m−1
)(u)+
+sD
m
R
G
+
(x
0
, 0, u
1
, v
2,1
/s, , u
m−1
, v
2,m−1
/s)(u)) ∩ (−Q) = ∅.
Ví dụ 5.4.4 và 5.4.7 trình bày các trường hợp mà Định lý 5.4.1 và 5.4.2 có
thể áp dụng, trong khi các kết quả dùng trên đạo hàm tiếp liên (contingent
epiderivative) của Jahn và Khan (2002) không thể sử dụng.
Chương 6. Các phép toán và áp dụng của đạo hàm Studniarski
trong phân tích độ nhạy và định lý hàm ẩn
6.1. Đạo hàm Studniarski
Cho X, Y là các không gian định chuẩn, F : X → 2
Y
, (x
0

, y
0
) ∈ grF ,
u ∈ X, và m ≥ 1.
20
Định nghĩa 6.1.1. Đạo hàm Studniarski cấp m của F tại (x
0
, y
0
) được xác
định bởi
D
m
F (x
0
, y
0
)(x) := Limsup
(t,x

)→(0
+
,x)
F (x
0
+ tx

) − y
0
t

m
,
hoặc, một cách tương đương, ta có
D
m
F (x
0
, y
0
)(x) = {v ∈ Y : ∃t
n
→ 0
+
, ∃(x
n
, v
n
) → (x, v), ∀n,
y
0
+ t
m
n
v
n
∈ F (x
0
+ t
n
x

n
)}.
Nếu giới hạn trên trong Định nghĩa 6.1.1 trùng với giới hạn dưới, thì F
được gọi là có đạo hàm Studniarski trùng cấp m tại (x
0
, y
0
).
Mệnh đề 6.1.2. Cho dim Y < +∞, (x
0
, y
0
) ∈ gr F, và x
0
∈ int(dom F ). Giả
sử
(i) F là nửa liên tục dưới tại (x
0
, y
0
),
(ii) F là tĩnh giả H¨older địa phương cấp m tại x
0
với y
0
.
Khi đó, D
m
F (x
0

, y
0
)(x) = ∅ với mọi x ∈ X.
6.2. Các phép toán
Mệnh đề 6.2.1. (Phép tổng) Cho F
1
, F
2
: X → 2
Y
, x
0
∈ dom F
1
∩ dom F
2
,
y
i
∈ F (x
i
) (i=1,2) và u ∈ X. Giả sử F
1
hoặc F
2
có đạo hàm Studniarski trùng
cấp m tại (x
0
, y
1

) hoặc tại (x
0
, y
2
). Khi đó
D
m
F
1
(x
0
, y
1
)(u) + D
m
F
2
(x
0
, y
2
)(u) ⊆ D
m
(F
1
+ F
2
)(x
0
, y

1
+ y
2
)(u). (10)
Hơn nữa, nếu dim Y < +∞ và F
1
hoặc F
2
tĩnh H¨older địa phương cấp m tại
x
0
với y
1
hoặc với y
2
, khi đó (10) trở thành đẳng thức.
Mệnh đề 6.2.2. (Phép tích ánh xạ) Cho F : X → 2
Y
, G : Y → 2
Z
, (x
0
, y
0
) ∈
gr F , (y
0
, z
0
) ∈ gr G, và Im F ⊆ dom G.

(i) Giả sử G có đạo hàm Studniarski trùng cấp m tại (y
0
, z
0
). Khi đó,
D
m
G(y
0
, z
0
)(D
1
F (x
0
, y
0
)(u)) ⊆ D
m
(G ◦ F)(x
0
, z
0
)(u). (11)
Hơn nữa, nếu dim Y < +∞ và F là tĩnh Lipschitz địa phương tại x
0
với y
0
,
khi đó (11) trở thành đẳng thức.

(ii) Giả sử G có đạo hàm Studniarski trùng cấp 1 tại (y
0
, z
0
). Khi đó,
D
1
G(y
0
, z
0
)(D
m
F (x
0
, y
0
)(u)) ⊆ D
m
(G ◦ F)(x
0
, z
0
)(u). (12)
21
Hơn nữa, nếu dim Y < +∞ và F là tĩnh H¨older địa phương cấp m tại x
0
với
y
0

, khi đó (12) trở thành đẳng thức.
Các phép toán cũng được thiết lập cho các toán tử khác như tích vô hướng,
phép chia.
Do phép toán tích ánh xạ có thể suy ra phép cộng như một trường hợp
riêng, chúng tôi xét tổng M + N của hai ánh xạ đa trị M, N : X → 2
Y
bằng
cách biểu M + N như phép tích ánh xạ như sau. Gọi F : X → 2
X×Y
và
G : X × Y → 2
Y
, I là ánh xạ đồng nhất trên X và (x, y) ∈ X × Y ,
F = I × M và G(x, y) = y + N (x). (13)
Khi đó, dễ thấy M + N = G ◦ F .
Bây giờ, chúng tôi đưa ra một số định nghĩa về đạo hàm Studniarski liên
quan như sau.
Cho F : X → 2
Y
và G : Y → 2
Z
. Xét C : X × Z → 2
Y
được xác định bởi
C(x, z) := F (x) ∩ G
−1
(z).
Khi đó, dom C = gr(G ◦ F ).
Định nghĩa 6.2.3. Cho ((x, z), y) ∈ gr C.
(i) Đạo hàm y-Studniarski cấp m của G ◦F tại ((x, z), y) được xác định bởi

D
m
(G ◦
y
F )(x, z)(u) := {w ∈ Z : ∃t
n
→ 0
+
, ∃(u
n
, y
n
, w
n
) → (u, y, w), ∀n,
y
n
∈ C(x + t
n
u
n
, z + t
m
n
w
n
)}.
(ii) Với k ∈ N, đạo hàm giả-Studniarski cấp m của ánh xạ C tại (x, z) tương
ứng với k được xác định bởi, với (u, w) ∈ X × Z,
D

m(k)
p
C((x, z), y)(u, w) := {y ∈ Y : ∃t
n
→ 0
+
, ∃(u
n
, y
n
, w
n
) → (u, y, w), ∀n,
y + t
k
n
y
n
∈ C(x + t
n
u
n
, z + t
m
n
w
n
)}.
Cho M, N : X → 2
Y

. Với (x, z) ∈ X × Y , chúng tôi đặt
S(x, z) := M(x) ∩ (z − N(x)).
Cho ((x, z), y) ∈ gr S, đạo hàm y-Studniarski cấp m của M + N tại (x, z)
được định nghĩa bởi
D
m
(M +
y
N)(x, z)(u) := {w ∈ Y : ∃t
n
→ 0
+
, ∃(u
n
, y
n
, w
n
) → (u, y, w), ∀n,
22
y
n
∈ S(x + t
n
u
n
, z + t
m
n
w

n
)}.
Sử dụng những định nghĩa trên, ta có những phép toán tích ánh xạ cho G
và F trong Mệnh đề 6.3.14. Sau đó, chúng tôi áp dụng phép toán tích ánh xạ
này để thiết lập phép cộng cho M, N : X → 2
Y
trong Mệnh đề 6.3.17.
6.3. Áp dụng
6.3.1. Đạo hàm Studniarski của ánh xạ nghiệm của bao hàm thức
Cho M : P × X → 2
Z
là ánh xạ đa trị giữa các không gian định chuẩn. Khi
đó, ánh xạ S, xác định bởi,
S(p) := {x ∈ X : 0 ∈ M(p, x)}, (14)
được gọi là ánh xạ nghiệm của bao hàm thức tham số 0 ∈ M(p, x).
Định lý 6.3.1. Với ánh xạ nghiệm S xác định bởi (14) và x ∈ S(p), ta có, với
p ∈ P ,
D
m
S(p, x)(p) ⊆ {x ∈ X : 0 ∈ D
m
p
M((p, x), 0)(p, x)}.
Trong tối ưu tham số, M thường có dạng
M(p, x) = F (p, x) + N (p, x), (15)
với F : P × X → 2
Z
và N : P × X → 2
Z
. Đặt

ˆ
S : P × X × Z → 2
Z
như sau
ˆ
S(p, x, z) := F (p, x) ∩ (z − N(p, x)).
Định lý 6.3.2. Với ánh xạ nghiệm S(p) = {x ∈ X : 0 ∈ F (p, x) + N(p, x)} và
x ∈ S(p), Z hữu hạn. Giả sử một trong số các điều kiện sau đây thoả
(i)
ˆ
S là compact và đóng tại (p, x, 0) và D
m
p
ˆ
S((p, x, 0), y)(0, 0, 0) = {0} với
mọi y ∈
ˆ
S(p, x, 0);
(ii) tồn tại y ∈
ˆ
S(p, x, 0) sao cho F hoặc N là tĩnh H¨older địa phương cấp
m tại (p, x) với y hoặc với−y.
Khi đó
D
m
S(p, x)(p) ⊆ {x ∈ X : 0 ∈

y∈
ˆ
S(p,x,0)

(D
m
p
F ((p, x), y)(p, x)+D
m
p
N((p, x), 0−y)(p, x))}.
23