công thức mũ logarit cơ bản

CÁC CÔNG THỨC VỀ MŨ VÀ LOGARIT
1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.
Số mũ
α
Cơ số a
Lũy thừa
α
a
*
Nn ∈=
α
Ra ∈
naaaaa
n
( ==
α
thừa số )
0=
α
0≠a
1
0
== aa
α
)(
*
Nnn ∈−=
α
0≠a
n
n

a
aa
1
==
−
α
),(
*
NnZm
n
m
∈∈=
α
0>a
)( abbaaaa
n
n
n
m
n
m
=⇔===
α
),(lim
*
NnQrr
nn
∈∈=
α
0>a

n
r
aa lim=
α
2. TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA.
* với a > 0, b > 0, ta có
α
α
α
αααβαβαβα
β
α
βαβα
b
a
b
a
baabaaa
a
a
aaa
=






====
−+

;.)(;)(;;.
.
* So sánh:
+) a > 1 :
βα
βα
>⇔> aa
+) 0 < a < 1 :
βα
βα
<⇔> aa
+) Với
0 a b< <
, m là số nguyên thì

0
m m
a b m< ⇔ >

0
m m
a b m> ⇔ <
+) Với
a b<
, n là số tự nhiên lẻ thì

n n
a b<
+) Với
, 0a b >

,
*
n ∈¢
thì

n n
a b a b= ⇔ =
3. TÍNH CHẤT CỦA CĂN
+) Với n nguyên dương lẻ, ta có

0 0
n
a khi a> >
,
0 0
n
a khi a< <
+)


=





½
n
n
a khi n lÎ

a
a khi n ch n
+) Với
, 0, a b ≥
m, n nguyên dương, p, q nguyên tùy ý, ta có:

.
n n n
ab a b=

( 0)
n
n
n
a a
b
b
b
= >

( )
( 0)
p
n p
n
a a a= >

m
n mn
a a=

mn m
n
a a=
4. ĐỊNH NGHĨA LÔGARIT.
* Với số
0,10 >≠< ba
.
bab
a
=⇔=
α
α
log
* Đặc biệt:

α
α
= ⇔ =log 10b b
(lôgarit thập phân hay lôgarit cơ số 10)

α
α
= ⇔ =ln b e b
(lôgarit tự nhiên hay lôgarit Ne-Pe hay lôgarit cơ số e)
5. TÍNH CHẤT CỦA LÔGARIT: Với
0 1, , 0a b c< ≠ >
*
baa
b

aa
a
===
log
;1log;01log
*
cbcb
aaa
loglog).(log +=


cb
c
b
aaa
logloglog −=







bb
aa
log.log
α
α
=
Đặc biệt:

b
n
bb
b
a
n
aaa
log
1
log;log
1
log =−=
*
= =
log
log log .log log
log
a
b a b a
a
c
c hay b c c
b
Đặc biệt :
= =
1
log log . log 1
log
a a b

b
b hay b a
a

α
α
=
1
log log
a
a
b b
* So sánh: Với
0 1, , 0a b c< ≠ >
+)
> > ⇔ >1: log log
a a
a b c b c

> ⇔ >log 0 1
a
b b
+)
< < > ⇔ <0 1: log log
a a
a b c b c

> ⇔ <log 0 1
a
b b

+)
= ⇔ =log log
a a
b c b c
* Chú ý: ĐK để lôgarit có nghĩa là: cơ số lớn hơn 0 và khác 1
Biểu thức dưới dấu lôgarit phải lớn hơn 0.
6. GIỚI HẠN:
1
)1ln(
lim;1
1
lim
00
=
+
=
−
→→
x
x
x
e
x
x
x
7. BẢNG ĐẠO HÀM.
xx
ee =)'(
aaa
xx

ln.)'( =
x
x
1
)'(ln =
aa
x
x
a
ln
1
)'(log =
)0,0(.)'(
1
>≠=
−
xxx
αα
αα
n
n
n
xn
x
1
1
)'(
−
=
uu

eue '.)'( =
aaua
uu
ln.'.)'( =
u
u
u
'
)'(ln =
au
u
u
a
ln.
'
)'(log =
'.)'(
1
uuu
−
=
αα
α
n
n
n
un
u
u
1

.
'
)'(
−
=
7 .CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ
LÔGARIT.
a)
)()(10
)()(
xgxfaaa
xgxf
=⇔=≠<




=
>>
⇔=
)()(
)0)((0)(
)(log)(log
xgxf
xghayxf
xgxf
aa
b)
)()(1
)()(

xgxfaaa
xgxf
>⇔>>

0)()()(log)(log >>⇔> xgxfxgxf
aa
c)
)()(10
)()(
xgxfaaa
xgxf
<⇔><<

)()(0)(log)(log xgxfxgxf
aa
<<⇔>