hệ phương trình có cấu trúc đặc biệt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (146.46 KB, 11 trang )
Nguyễn Đình Sỹ
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CỦA BÀI GIẢNG SỐ 3 :
HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
c.
( )
( )
( )
2
2 2
2 2
19
2001
7
x xy y x y
HH
x xy y x y
+ + = −
−
− + = −
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
0
3 19 6
0
19
*
1
7
7 ( )
6
x y
x y xy x y xy x y
xy
x xy y x y
x y
x xy y x y
x y xy x y x y x y
xy
− =
− + = − = −
=
+ + = −
⇔ ⇔ ⇔
− =
− + = −
− + = − − = −
=
Giải (*) cho ta nghiệm x,y .
d.
( )
2
2
3
2
2001
3
2
x y
x
TL
y x
y
+ =
−
+ =
. Đây là hệ đối xứng kiểu 2 đã biết cách giải .
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau :
a.
( )
( )
2 3 2
4 2
5
4
2008
5
1 2
4
x y x y xy xy
KA
x y xy x
+ + + + = −
−
+ + + = −
Hệ viết lại :
( )
( )
( )
2 2
2
2
2 2
5 5
4 4
;
5 5
4 4
x y xy x y xy u v uv
u x y v xy
x y xy u v
+ + + + = − + + = −
⇔ = + =
+ + = − + = −
Học sinh giải tiếp ta được :
( )
2
3
3
2
0
0
5
5
4
4
3 25 3
; ; , 1;
1
1
4 16 2
2
2
3
3
2
2
u
x y
v
xy
x y
u
x y
v
xy
=
+ =
= −
= −
⇔ ⇒ = − −
÷
÷
÷
= −
+ = −
= −
= −
b.
( )
2 2 2
1 7
08
1 13
xy x y
KB
x y xy y
+ + =
−
+ + =
( )
2
2
2 2 2
2
2
2
2
1
1
7
7
1 7
1 1
7 13 *
1
1 13
1
13
13
x
x
x
x
y y
xy x y
y y
x x
x
y y
x y xy y
x
x
x
y y
y y
+ + =
+ + =
÷
+ + =
⇔ ⇔ ⇒ + + − + =
÷ ÷
+ + =
+ + =
+ + =
÷
Đặt :
( ) ( )
2
2
3 89
1
2
* : 3 20 0 1
1
1 0
3 89
2
x ty
t
x ty
t x t t
t ty
y
ty ty
y
t
−
=
=
=
= + ⇒ − − = ⇔ ⇔ ⇔
= −
− + =
+
=
Giải (1) tìm được x,y.
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau :
Thân tặng tập thể lớp 12
TÀI LIỆU LƯU
a.
( )
( )
4 3 2 2
3 2
1 1
1 2
x x y x y
x y x xy
− + =
− + = −
Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta được phương trình :
( ) ( ) ( )
2
2
4 3 2 2 2 2 2
2
1
2 2 0 2 0
2
x xy
x x y x y x xy x xy x xy
x xy
− =
⇔ − + + − − = ⇔ − + − − = ⇔
− = −
Thay lần lượt vào (2) :
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2 2
2
3
2
2 2
3 2
2 2
1
1
1
1 0
0
0
2 2 2
3 3
2 3
x xy
x xy
x xy
x x
x xy
x y
x xy x xy x xy
x y x xy
x x
− =
− =
− =
− =
=
=
⇔ ⇔ ⇔
− = − − = − − = −
= − = −
+ = −
Học sinh giải tiếp
b.
( )
4 3 2 2
2
2 2 9
08
2 6 6
x x y x y x
CD KB
x xy x
+ + = +
− −
+ = +
( )
( )
( )
2
2
4 3 2 2
2
2
2 9 3
2 2 9
6 6
2 6 6
4
2
x xy x
x x y x y x
x x
x xy x
xy
+ = +
+ + = +
⇔
− +
+ = +
=
. Thay (4) vào (3) sau đó rút gọn ta có :
( )
4 3 2
3
3 2
0
0
0
12 48 64 0
4
12 48 64 0
4 0
x
x
x
x x x x
x
x x x
x
=
=
=
⇔ + + + = ⇔ ⇔ ⇒
= −
+ + + =
+ =
X=0 loại . Vậy hệ có nghiệm duy nhấy :
( )
17
; 4;
4
x y
= −
÷
c.
( ) ( )
2 1 2 1
2 2
1
1
1 1
0
2 2 0 2 21 0
1 1
2 2
2 2
2 2 2 1 3 2 2
x x x x
x y x
x y x
x x
x y x y
x y x y
x y y x
x y x y
x y
x y
x x
− −
+ −
+ −
− −
− = =
− = = − + − =
+ = +
⇔ ⇔ ⇔
+ = + =
− = −
− = −
− = − − =
• Khi x=y , thì x=-1. Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1)
• Khi x+y=1 , (2) có nghiệm duy nhất : x=1 , do đó hệ có nghiệm : (x;y)=(1;0)
d.
( )
( )
( )
2
2
1
2
2 2
3
2 2 1
2
2 2 4 1 0 2
x
y
x
xy
x y x x y x
−
+ + =
+ − − + =
.
Từ (2) :
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2 2
1 2
2 2 2 1 0 2 1 0 *
1 2
x
y
x
x y x x y x x y x
x
xy
x
−
=
⇔ + − + + = ⇔ + − = ⇔
−
=
Thay vào phương trình (1):
2
2 2
1 1 2
1 1
2 2
2
x x
x x
x
− −
⇔ − = −
. Phương trình này đã biết cách giải ở
phần phương pháp giải phương trình mũ .
Bài 4. Giải các phương trình sau :
Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218
Trang 2
TÀI LIỆU LƯU
a.
( )
3
3
3 3
3 3 3
3
3
2
2 2
2
1
1
19
19
19
1 19
1
. 6
6
6
6
y
y
u v
x y x
x
x
y
u v u v
y y
y xy x
y
x x
x x
+ =
+ =
+ =
+ =
⇔ ⇔ ⇔
+ = −
+ = −
+ = −
+ = −
÷
. Với :
1
;u v y
x
= =
Học sinh tự giải tiếp .
b.
2
3 2 2
3
2 2 2 2
2
1 2 12 0
2 12 0 1 2 12 0
8 12 8 1 12
12
8 1
y y
x xy y u uv
x x
y x u v
y
x x
+ + =
÷
+ + = + + =
⇔ ⇔
+ = + =
+ =
÷
. Với :
2
1
;
y
u v
x x
= =
Giải tiếp tìm được u,v , sau đó tìm x,y .
d.
2 2
2 2
2 5 2 1 0
4 12 12 10 0
x xy y x y
x y xy x y
+ + + + + =
+ + + + + =
. Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
11 11 9 0 11 9 11 9 *x y xy x y x y xy x y xy x y x y⇔ + + − − − = ⇔ + − − + = ⇒ = + − + −
Phương trình (2) :
( ) ( )
2
2 12 10 0x y xy x y⇔ + + + + + =
.
Thay (*) vào ta được :
( ) ( )
2
2
3 10 8 0
3
4
x y
x y x y
x y
+ = −
⇔ + − + − = ⇔
+ =
Vậy hệ đã cho :
2
2
2
3
3
659
2 2
11 9
9
3 3
4
4
37
16 11.4 9
x y
x y
xy
xy
x y
x y
xy
xy
+ = −
+ = −
= −
= − − − −
⇔ ⇔
÷ ÷
+ =
+ =
= −
= − −
. Giải tiếp ta tìm được x,y
Bài 5. Giải các hẹ phương trình sau :
a.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 10 0
12 20 0
ln 1 ln 1
ln 1 ln 1
x y x y
x xy y
x y x y
x y x y
− − =
− + =
⇔
+ − + = −
+ − + = −
Từ (2) :
( )
1
ln 1 ln(1 ) ( ) ln 1; '( ) 1 0 0x x y y f t t t f t t
t
+ − = + − ⇔ = + − = + > ∨ >
. Chứng tỏ hàm
số f(t) đồng biến . Cho nên để có (2) thì chỉ xảy ra khi x=y.
• Nếu :
( ) ( )
x=2y
; 0;0
x=y
x y
⇒ =
,
• Nếu :
( ) ( )
10
; 0;0
x y
x y
x y
=
⇒ =
=
b.
( )
( ) ( )
( )
3 2 3
3 2 3
2
3 3 2 1
1 3 3 1 3 3 3
2 1
log log 3 2
1 2
y x
x x y y
x x x y y x
x y
x
y x
− = − −
⇒ ⇔ − + − = − + −
− −
+ = −
÷
÷
− −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3
3 3
1 3 3 1 1 3 1 3 *x y y x x x y y⇔ − = − + − ⇔ − − − = −
Để (*) xảy ra khi và chỉ khi : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1 .
2
1
1
x
y
−
⇔ =
−
Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218
Trang 3
TÀI LIỆU LƯU
Thay vào (2) ta có :
( ) ( )
2 2
log 1 log 1 3 3 0 3
y x
x x x+ = − ⇒ − = ⇔ =
.Vậy : y=x-1=3-1=2
Do đó nghiệm của hệ phương trình là : (x;y)=(3;2).
c.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
2 2 2 2 4
2 3 4 6
2 2 3 2
2
2
2
2 0
2 2
2 0
2 1 1
2 1 1
2 1 1
y x x y yx x
x y y x x
x y x y x
x y x
x y x
x y x
− + + + =
+ = +
− + − =
⇔ ⇔
+ + = +
+ + = +
+ + = +
-Trường hợp 1: y=
2
x
, thay vào (2) :
( )
( )
( )
2 2 2
2 1 1 2 2 2 0 2;x x x x t x t x t t x+ + = + + ⇔ − + + = ⇒ = =
2 2
2
1 2 3 3
.
1
x x x
x x x
+ = ⇒ = ↔ = ±
⇔
+ = ⇒ ∈∅
-Trường hợp :
( )
2 2 2 4 2 2 2 4
2 0 yx 2 0x y yx x y x x+ + + = ⇔ + + + =
( )
4 2 4 4 2
4 2 3 8 0 0
y y
x x x x x x R⇒ ∆ = − + = − − < ∨ ∈ → ∆ <
2 2 2 4
(, ) 2 0 ,f y x y yx x x y⇒ = + + + > ∨
. Phương trình vô nghiệm .
Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)=
( ) ( )
3;3 , 3;3−
d.
( ) ( )
2
2 6 2
2 2 2 3 0
2 2 6 0
2 3 2
2 3 2
2 3 2
x
y x y
x y y x y y
x y y x y y
y
x x y x y
x x y x y
x x y x y
+ = − −
− + − − =
− − − − =
⇔ ⇔
+ − = + −
+ − = + −
+ − = + −
- Trường hợp 1:
2
0
2 2
2 4
y
x y y
x y y
≤
− = − ⇔
− =
.
Thay vào (2)
2 2 2
2 4 5 2 2 4 5 2 4 7 2 0x y y y y y y y y⇔ − = + − ⇔ − = + − ⇒ + − =
- Trường hợp :
( )
2 2
0 0
2 3 *
2 9 9 2
y y
x y y
x y y x y y
≥ ≥
− = ⇒ ⇔
− = = +
.
Thay vào (2) :
2 2 2 2
9 2 3 9 2 3 2 9 5 9 5 2 0y y y y y y y y y y⇔ + + = + + − ⇔ + = + − =
2
2
2
2
1
2
9 5 0
9 5 4 0
4
9 5 2
2 0
9
y
t
t y y
y y
y
y y
t t
= −
=
= + ≥
⇔ ⇔ ⇒ + − = ↔
=
+ =
− − =
Thay lần lượt các giá trị của y vào (*) ta tìm được x .
Bài 6. Giải các hệ phương trình sau :
a.
( )
( )
2 2
2
2
1 1
2
xy
x y
x y
x y x y
+ + =
+
+ = −
. Từ (2) viết lại :
( )
2
2 2
x y x y x x x y x y x x+ + + = + ⇔ + + + = +
Ta xét hàm số f(t)=
( ) ( )
2
0 ' 2 1 0 0t t t f t t t+ ≥ ⇒ = + > ∨ ≥
. Chứng tỏ f(t) là một hàm số
đồng biến , cho nên ta có :
2
x y x y x x+ = ⇔ = −
. (*)
Thay vào (1) :
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2
1 1 1 1 2 1 0
x x x
xy
x y x x x x x x x
x x
−
⇔ + + = ⇔ + − + = ⇔ − + − + − =
( ) ( )
( )
( )
2
3 2
1 0
1 1 1 2 0 **
3 0
x
x x x x
x x x
− =
⇔ − + + − + = ⇔
− + + =
Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218
Trang 4
TÀI LIỆU LƯU
Giải (**) ta tìm được x , thay vào (*) tìm được y , từ đó suy ra nghiệm của hệ
b.
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
2 96 3
48 2 96
24 24 2 24 4
y x y
y x y y x y
x y x y y x y x x y x y x
− =
− = − =
⇔ ⇔
+ + − = + − = − + − = −
.
Thay (3) vào (4) ta có :
2 2
576 96 480
96 48 576 10
48 48
x x x x
−
+ = − + ⇔ = = =
Thay vào (1) :
( )
2
2 2 2 2 4 2
2
36
100 48 100 48 100 2034 0
64
y
y y y y y y
y
=
⇔ − = ⇔ − = ⇔ − + = ⇒
=
Vậy : (x;y)=(10;-6),(10;6),(10;-8),(10;8)
c.
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
2
2 2 3 2 0
2 2 3 0
2 3 4 6
4 4 12 3
2 4 12 7 0
2 2 7 2 1 0
y x x
x y
xy x y
x y x y
x y y
x y y
+ + + =
+ + =
+ + = −
⇔ ⇔
+ + + =
+ + + − =
+ + + − =
-Trường hợp : x+2=0 , thay vào (2) :
( )
7
7 1
2
; 2; , 2;
1
2 2
2
y
x y
y
= −
⇒ ⇔ = − − −
÷ ÷
=
-Trường hợp : 2y+3=0 hay : 2y=-3 , thay vào (2) :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
2
3 3
2 3 7 3 1 0 2 4 ; 2; , 6;
6
2 2
x
x x x y
x
=
⇔ + + − + − − = ⇔ + = ⇔ ⇔ = − − −
÷ ÷
= −
d.
( )
( )
( )
( )
2
1 2
2
2
2
2
1 2
2
2
2
2 . 1
1 2
2
1
2 2 0
1 2
u
y
y
y
x y
v
x y
x y
u v
x
x
x
y u v
u
y x y x
x y
xy y x
x
v
= − +
− + = −
= − −
− + = −
− + = −
+ = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇒
= −
= − −
− = −
− = −
− + =
= − +
.
Với u=x-y và v=
2y
x
. Học sinh giải tiếp .
Bài 7. Giải các hệ phương trình sau :
a.
( )
( )
2 2
2
2 2 1 2 1
2 2 1 6 2
x y x y
y x y xy
+ = + +
+ + + =
. Lấy (1) cộng với (2) vế với vế :
2 2
2
3 2 0
4
x y
x xy y
x y
=
− + = ⇒
=
• Với : x=2y thay vào (2) :
( )
2
5 3 5
5 3 5 5 3 5 5 3 5 5 3 5
20
10 5 1 0 ; ; . ;
10 20 10 20
5 3 5
20
y
y y x y
y
−
=
− − + +
− − = ⇔ ⇒ =
÷ ÷
÷ ÷
+
=
• Với x=4y, thay vào (2) :
( )
2
1
4 1 1
11
22 9 1 0 , ; , 2;
1
11 11 2
2
y
y y x y
y
=
− − = ⇒ ⇔ =
÷ ÷
=
b.
( )
( )
2 2 4 2
2
1 3 1
2 2
x y y y
xy x y
+ + =
+ =
. Học sinh giải theo cách : Đặt x=ty .
Cách khác :
Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218
Trang 5
TÀI LIỆU LƯU
Lấy (1) trừ cho hai sau khi nhân hai vế với x ( Khử
2 2
x y
ở hai phương trình của hệ ) :
( )
( )
2
2
4 2 2 4 2 2 2 2
1 3 2 2 1 2 1y x y xy y y x xy y y x y⇔ + − = − ⇔ − + = − + ⇔ − = −
2 2
2 2
1 1
1 1
y x y x y y
y y x x y y
− = − ↔ = + −
⇔
− = − ↔ = − +
. Thay vào (2)
• Nếu :
( ) ( )
( )
( )
2 2 4 3 3
1 1 2 1 0 1 1 0y y y y y y y y y+ + − = ⇔ + − − = ⇔ + − =
1; 1
1; 1
y x
y x
= − = −
⇒
= =
• Với : x=
2
1y y− +
, thay vào (2) ta được :
( )
( )
3
1 1 0 1y y y− + = ↔ = ±
Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1),(1;1).
c.
( )
( )
2
2 2 2
2
2 1
1
3 2
x y y
x x y
x
+ =
+ + =
Cách 1:
Lấy phương trình (2) trừ cho phương trình (1) sau khi nhân hai vế của nó với
2
x y
, ta
được phương trình :
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
1
1
1
x
xy x a
x
x
xy x
x
x
x xy b
x
−
= −
−
= − ⇔
÷
−
= −
-Thay a) vào (1) :
( )
( )
2
3
2
2 1
1 1 0 1
1
x x
y x x x
x x
− +
= = ⇒ + − = → = ±
+
-Tương tự thay b) vào (1) . Học sinh tự làm
Cách 2:
Do x=0 không là nghiệm cho chia hai vế phương trình (1) cho xy
0
≠
.
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
1 2
1 2
1 2
3
2
1
5 5 4 0 4
5
x
x
x
x xy
x xy
x xy
x y x y x y
x x y
xy
x
+
+ =
=
+ =
⇒ ⇔ ⇔
+ = − + =
+ + =
÷
÷
Từ (4) suy ra :
2 2 2 2
1 4x y x y= ∨ =
( loại ). Cho nên :
2
2
1
1
1
1 2
2
2 1 0 1
4 1
4
1 2 1
2 2 0
2
xy
xy
y
x
x x x
x xy
xy xy
xy
x
x x
x
x xy
=
=
= −
+ = =
+ + = = −
⇒ ⇔ ⇔
= =
=
∈∅
− + =
+ = =
2
2
1
1
1
1 2
2
2 1 0 1
4 4
4
1 2 1
2 2 0
2
xy
xy
y
x
x x x
x xy
xy xy
xy
x
x x
x
x xy
= −
= −
=
+ = = −
+ + = = −
⇒ ⇔ ⇔
= − = −
= −
∈∅
+ + =
+ = = −
Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218
Trang 6
TÀI LIỆU LƯU
Vậy hệ có nghiệm : (x,y)=(-1;-1),(-1;1)
d.
( )
( )
3
3 1
3 2
y
x y x
x
x y x x
−
+ + + =
+ + = +
. Điều kiện :
0; 0x x y> + ≥
Phương trình (1) :
3 0
3 3
3
3
y
y y
x
x y x x
x y x
− =
− −
= ⇔
+ − + =
+ − +
• Với y=3 , thay vào (1) : 2
3 0 3 0x x+ = → = − <
( loại )
• Với
3
3 3 3 1; 8
3
x y x x
y x x x y
x y x x
+ − + =
≠ ⇒ ↔ + + = ⇔ = =
+ + = +
Bài 8. Giải các hệ phương trình sau :
a.
( )
( )
2 2
1 1
1 2
x y x y x y
x y
+ + − = + −
+ =
. Điều kiện :
0, 0,x y x y> > >
Phương trình (1)
( ) ( )
1 0 1 1 0x y x y x y x y x y x y⇔ + + − − − + − = ⇔ − − − + =
• Với :
1 1
1
0; 1
1; 0
1 2 0
1
x y x y
x y
x y
x y
x y xy
x y
+ = + =
+ =
= =
⇔ ⇔ ⇒
= =
+ = =
+ =
• Với :
1 1
1
2 1 2 2 2
1
x y x y
x y
x y xy x xy
x y
− = − =
− =
⇔ ⇔
+ + = + =
+ =
. Học sinh giải tiếp .
b.
( )
( )
( )
( )
2 2
2
3
4 4 7 1
1
2 3 2
xy x y
x y
x
x y
+ + + =
+
+ =
+
. Điều kiện :
0x y+ ≠
Phương trình (1) :
( ) ( )
( )
2 2 2 2
2
3
3 6 2 7x y xy x y xy
x y
+ + + + − + =
+
( )
( )
( )
2 2
2
3
3 7x y x y
x y
⇔ + + + − =
+
Phương trình (2) :
( ) ( )
1
3x y x y
x y
+ + + − =
+
Vậy : Đặt
( )
( )
2
2
2
1 1
; 2x y u v x y u x y
x y
x y
+ + = = − ⇒ − = + +
+
+
Hệ trở thành :
( )
( )
2 2
2
2 2
1 7
3 2 7
,
3 3 13 0 4 6 4 0
2 2
3
2; 1
u v
u v
u u u u
u v
u v
− + =
= − =
⇒ + − − = ⇔ − − = ↔
+ =
= =
1 1
2
7
2
x y
x y
x y
+ + = −
+
⇔
− =
. Hệ vô nghiệm .
( )
2
1
1
2
1; 0
2 0
1
x y
x y
x y
x y
y
x y
= +
+ + =
+
⇔ ⇔ ↔ = =
=
− =
Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218
Trang 7
TÀI LIỆU LƯU
c.
2
2
2
1 1 1
2 1
4
4
2 4
1 1
3
1 1
1 1 1
4
4
x
x
x y y x xy
x x y
x y
x
x x
x xy y
x
x x xy y
x x y
+ + + =
+ + =
+ + =
÷
÷
⇔ ⇔ ⇔
+ + =
+ + + =
+ + =
÷
÷
• Trường hợp :
( ) ( )
2
1
2
2 1 0
; 1;1
1
1
2
2
x
x x
x
x y
y
x
x
y
+ =
− + =
⇔ ⇔ =
=
+ =
−
d.
( )
( )
2
3 2
2
2
3
2
1
2 9
2
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y
+ = +
− +
+ = +
− +
.
Lấy (1) cộng với (2) vế với vế , ta được :
( ) ( )
( )
2 2
2 2
3 3
2 2
3
1 8 1 8
xy xy
x y
x y
⇔ + = +
− + − +
Do :
( )
( )
2
3
3
3 2
2
3
3
2
3
2
1 8 8 2
2 9
2
2
1 8 8 2
2 9
xy
xy
x
x x
VT xy
xy
y
xy
y y
≤
− + ≥ =
− +
⇒ ⇔ ≤
− + ≥ =
≤
− +
;
2 2
2VP x y xy= + ≥
Cho nên để xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi : VT=VP=2xy và : x=y=1. Do đó hệ có
nghiệm duy nhất : (x,y)=(1;1).
Bài 9. Giải các hệ phương trình sau :
a.
( )
( )
( )
( )
1 1
2 5 1
2 5
5 2 4 3 2 1
1 1
3 4
3 4 2
x y
x y xy x y xy
y x
x y y x x y
x y xy x y xy
x y
y x
+ + + =
+ + + =
⇔ ⇒ − − = + − ⇔ = −
+ + − =
+ + − =
Thay vào (2) :
( ) ( ) ( )
3 2
2 1 2 1 5 3 4 2 1 10 19 10 1 0y y y y y y y y y− + + − − = − ⇔ − + − =
( )
( )
2
1
1 10 9 1 0
9 41 9 41
20 20
y
y y y
y y
=
⇔ − − + = ⇔
+ −
= ∨ =
b.
( ) ( )
( )
4 4 2 2 4 4 2 2
4 4 2 2
4
2 2 2 2
6 41 6 41
6 41
10 4 40
81
x y x y x y x y
x y x y
xy x y xy x y
x y
+ + = + + =
+ + =
⇔ ⇔
+ = + =
+ =
.
( )
( )
( )
( )
2
4 2 2
2 2
2
2 9 10 0
4 2 81 41 40
4 41
9
3
3
x y xy
xy x y xy
x y xy x y
x y
x y
x y
− + =
+ − = − =
+ − + =
⇔ ⇔ ⇔
+ =
+ = ±
+ = ±
• TH1:
2 1, 2 2, 1
3 1, 2 2, 1
xy x y x y
x y x y x y
= = = ∨ = =
⇔
+ = ± = − = − ∨ = − = −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
; 1; 2 , 2; 1 1;2 2;1x y⇔ = − − − −
• TH2.
2
5
5 5
3 0 9 4 1 0
2
2 2
3
xy
t t
x y
=
⇒ ± + = ⇒ ∆ = − = − <
÷
+ = ±
.Hệ vô nghiệm
Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218
Trang 8
TÀI LIỆU LƯU
c.
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
1
1 2 8 3
4
1 4
2
2
2 1 7
1 7 4
1 7
x
x x y
y x
x y xy y
y
y y
y x y x y
x x y
x y x
y
y
+ + + =
+ + + =
+ + + =
⇔ ⇔
+ = + +
+ − + = −
+ = + +
( ) ( )
2
5
2 15 0
3
x y
x y x y
x y
+ = −
⇒ + + + − = ⇔
+ =
. Thay lần lượt vào (3) ta có hai hệ :
( )
2 2
2 2
5 5
1 13
1 9 9 46 0
1 13 7 13 1 13 7 13
; ; , ;
2
2 2 2 2
3 3
3
1 3 0
x y y x
x y x x
x
x y
x y y x
y x
x y x x
+ = − = − −
− ±
+ = + + =
− − + − + −
=
⇔ ⇔ ⇔ =
÷ ÷
÷ ÷
+ = = −
= −
+ = + − =
d.
( )
( )
( )
( )
( )
3
3
2 2
3 3
2
2
2 2
2
2 2
2
1 1
1
4. 1 16 .
4 1 4 1 3
4 16 1
1 5 1 2
1 1
1
1 5
5 4 1 4
x x
x x
y y y y
x y y x
y y y
y x
x
x
y y y
y y
+ = +
+ − =
÷ ÷
÷ ÷
+ = +
⇔ ⇔
+ = +
+ = +
+ =
÷
÷
Đặt :
x
t
y
=
(*) Từ (3) và (4) :
( )
( )
3 2 3 2
1 5 1 4 1 21 5 4 0t t t t t t⇒ + − − = ⇔ − − =
2
1
0
3
4
21 5 4 0
7
t
t
t t
t
= −
=
⇔ ⇒
− − =
=
. Thay t vào (*) để tính x theo y , sau đó thay vào (1) ta sẽ
tìm đượcnghiệm của hệ .(x,y)=(1;-3),(-1;3)
Bài 10. Giải các hệ phương trình sau :
a.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
1 2 1
1 3
1
1 4
1 2
( ) 1
x y x y xy
u v
x y x y
u v uv
x x y xy y xy
x y xy x y xy
+ + = +
+ =
− + =
⇔ ⇔
+ + =
+ + = + +
− + − + =
.
Với : u=x-y,v=xy . Từ (3) và (4) , tính uv theo u+v thay vào (3) ta có :
( ) ( )
{
2
0; 1
1 0
1; 0
2 3 0
3 4
,
u v
u v uv
u v
u v u v
u v uv
u v
= =
+ = → =
= =
⇔ + + + − = ⇒ ⇔
+ = − → =
∈∅
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1
1 1
; 1; 1 , 1;1 , 0; 1 , 1;0
1 0; 1
0 1; 0
x y x y
xy x y
x y
x y x y
xy x y
− = = = −
= = =
⇔ ⇔ ⇔ = − − −
− = = = −
= = =
b.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2 2
2
2
2
2
4 1
2 2 2 4 4 0
2 2 8 6 0 1
3
1
4 1 0 2
1 4 1
2 2 2 2 4
x x
x x y y
x y x y
y
x
x xy y x
y x x x
x x y
− + +
+ − + + + =
+ + + + =
=
⇔ ⇔
+
+ + + + =
+ = − − −
+ − + +
Từ (3) :
( )
2
2 1
2
1
x x
y
x
− + −
+ =
+
, thay vào (4) ta được :
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2 2
2 1
2 2 2 0 2 2 2 1 2 2 1 0
1
x x
x x x x x x x x
x
+ −
⇔ + − + = ⇔ + − + + + + − =
÷
+
Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218
Trang 9
TÀI LIỆU LƯU
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
2
0
2 0
2
0; 2
3 5 0
5
5
3 6 5 0
2
2 1 2 1 0
3
3
t
x x
t x x
x x
t t
t
x x
x x
t t t
=
+ =
= +
= = −
⇔ ⇔ − = ⇔ ⇔ ⇔
=
+ − =
+ =
− + + − =
2
1 1
1
1
0; 1
0; 2
2; 1
3 2 6 3 6
;
4 1
3 3
; .
1
x y
x x
x y
x x
x x
x x y
x
= =
= = −
⇔ ⇔ = − = −
− − − +
= =
− − +
= =
+
c.
( )
( )
2
2
2
2 2
3 3 3 3
2 2
3
1
1 3 3
3
2 2 2 2 4
1 1
2 2
x x
u u v
y y y
x xy y
x y y x u v uv
x x
y y y y
+ + =
÷ ÷
+ + =
+ + =
⇔ ⇔
+ = + + = +
+ = +
÷ ÷
Với :
2
1
x
u
y
v
y
=
=
lấy (3)trừ cho (4) :
( ) ( ) ( )
2 3 2
1 2 2 1 1 2 1 u u u v uv u u u v u⇔ − + − = − ⇔ − − − = −
( )
( )
2
1 1 2 0u u v⇔ − − − =
- Với u=1 thay vào (3) : 3v=3 suy ra v=1
( ) ( ) ( )
2
2
1
, 1; 1 , 1;1
1
1
1
x
x y
y
x y
y
y
=
=
⇒ ⇔ ⇔ = − −
=
=
- Với :
2
1
2
u
v
−
=
, thay vào (3) :
2
2 2
1 6
1
1 3 2 5 0
2
1 6
u
u
u u u u
u
= −
−
+ + = ⇔ − − = ⇔
÷
= +
* Khi :
( )
2
1
1 6 1 6 1 3 6
2
u v
= − → = − − = −
Do đó ta có hệ :
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
1 6
1 6
1 6
1 3 6
3 6
1
3 6
3
3 6
3
1 6
1 6
1 6
1
1
1
3 6
3 6
3 6
x
x y
x y
y
y
y
y
x
x y
x y
y
y
y
y
= −
= −
= −
⇔ ⇒
+
+
= =
= ±
= −
−
= +
= +
= +
⇔ ⇒
= =
= ±
= +
+
+
Cách khác :
Lấy phương trình (2) trừ cho phương trình (1) sau khi đã nhân hai vế của (1)với y , ta
được phương trình :
( )
( )
3 3 2 2 2 2
2 2 2 2( )x y x y xy y x x y x y xy x y+ − − = − + ⇔ + + − = −
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
2 0 2 0x y x y x y x y x y⇔ + − − − = ⇔ − − − =
* Với : x-y=0 thay vào (1) ta có
( ) ( )
2
1 ; ( 1; 1), 1;1x x y= ⇒ = − −
Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218
Trang 10
TÀI LIỆU LƯU
* Với :
( )
( )
2 2
2 2
2 3
3 4
x y
x y xy
− =
+ + =
. Lấy (3) nhân với 2 trừ cho (2) nhân với 3 ( Khử số hàng tự
do ) ta :
2 2
6
5 2 0
6
x y y
x y xy
x y y
= −
− − = ⇒
− +
. Trở về như trên .
d.
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
3 2
3 3 2 2 2
2
2 3 2
2 3 1
2 6 5 3 2
2 6 6 5 3 2
x y xy x
x y x
x y x x y
x y xy x y x x y xy
+ − = −
+ + =
⇔
+ + = + +
+ − + + = + + −
Đặt : a=x+y,b=xy . Lấy (1) cộng với (2) vế với vế ta được :
Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218
Trang 11
