chuyên đề hình học không gian - lê bá trần phương
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (9.07 MB, 112 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
LỚP TOÁN VB2-K2
LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Quan hệ vuông góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
I. Kiến thức cơ bản thường sử dụng:
* ðịnh lý 1:
; , ( )
( )
,
a b a b P
d P
d a d b
∩ ⊂
⇒ ⊥
⊥ ⊥
* ðịnh lý 2:
Nếu
( )
d P
⊥ ⇒
d vuông góc với mọi ñường thẳng nằm trong mp (P).
* ðịnh lý 3:
/ / '
' ( )
( )
d d
d P
d P
⇒ ⊥
⊥
* ðịnh lý 4:
( )
( ) ( )
( )
d Q
Q P
d P
⊂
⇒ ⊥
⊥
* ðịnh lý 5:
( ) ( )
( )
( ),
P Q
d Q
d P d
∩ = ∆
⇒ ⊥
⊂ ⊥ ∆
* ðịnh lý 6:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q
P R R
Q R
∩ = ∆
⊥ ⇒ ∆ ⊥
⊥
II. Các ví dụ mẫu:
1. Chứng minh ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Bài 1.
Cho chóp tam giác S.ABC có
ABC
∆
vuông tại C, mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với
mặt phẳng ñáy
a. Chứng minh: BC vuông góc (SAC)
b. E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng: AE vuông góc với mặt phẳng (SBC).
c. Mặt phẳng (P) qua AE và vuông góc mặt phẳng (SAB) cắt SB tại D. Chứng minh rằng: SB vuông góc
mp (P).
d. Gọi F là giao ñiểm của DE và BC. Chứng minh rằng: AF vuông góc mp (SAB).
Bài 2
(
Trích ñề ðHKD-2012
) Cho hình chóp tam giác ñều SABC, gọi H là hình chiếu vuông góc của A
trên SC. Chứng minh
( )
SC ABC
⊥
.
Bài 3.
Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB ñều, mặt phẳng (SAB) vuông góc
với (ABCD). Gọi I, J là trung ñiểm của AB, AD. Chứng minh rằng FC vuông góc với (SID).
Nguồn: Hocmai.vn
QUAN HỆ VUÔNG GÓC (Phần 01)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Quan hệ vuông góc thuộc khóa học Luyện
thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững
kiến thức phần Quan hệ vuông góc, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Quan hệ vuông góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1 (Trích ðHKA-2007) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD ñều. Mặt
phẳng (SAD) vuông góc với ñáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của SB, BC, CD. Chứng minh: AM
vuông góc BP.
Bài 2 (Trích ðHKB-2007) Cho tứ giác ñều S.ABCD có ñáy là hình vuông, E ñối xứng với D qua trung
ñiểm của SA. Gọi M, N là trung ñiểm của AE và BC. Chứng minh MN vuông góc với BD.
Bài 3 (Trích ðHKD-2007) Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông, góc ABC bằng góc
BAD = 90
0
, BA = BC = a ; AD = 2a. SA vuông góc với (ABCD). Chứng minh tam giác SCD vuông.
Bài 4. Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh tam giác
SBD vuông.
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn: Hocmai.vn
QUAN HỆ VUÔNG GÓC (Phần 02)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Quan hệ vuông góc thuộc khóa học Luyện
thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững
kiến thức phần Quan hệ vuông góc, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Quan hệ vuông góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng:
SB vuông góc SD.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.
a. CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK).
b. Gọi I là giao ñiểm của SC với mặt phẳng (AHK). CMR: HK vuông góc AI.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a. Chứng minh rằng:
( )
SO ABCD
⊥
b. I, K lần lượt là trung ñiểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK vuông góc SD.
c. Gọi (P) là mặt phẳng song song với SO chứa IK. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài 4:
Cho lặng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’, ñáy ABC có AB = AD = a và góc
0
60
BAD∠ =
,
3
AA'
2
a
= .
M, N lần lượt là trung ñiểm A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng:
' ( ).
AC BDMN
⊥
Bài 5:
Tứ diện SABC có
(
)
.
SA mp ABC
⊥
Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a.
Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và
(
)
(
)
SAC BHK
⊥
b.
Chứng minh
(
)
HK SBC
⊥
và
(
)
(
)
.
SBC BHK
⊥
Bài 6:
Cho lăng trụ ñứng
ABC.A’B’C’
có tất cả các cạnh ñều bằng
a.
Gọi
M
là trung ñiểm của
AA’.
Chứng
minh rằng
BM
vuông góc với
B’C.
Bài 7:
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông tâm O cạnh a.
( )
SA ABCD
⊥
. Gọi H, I, K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là
trung ñiểm của AB, AD, BC, SC. CMR:
1. ( ); 2. ( ); 3. ( ); 4. ( );
BC SAB CD SAD AH SBC AK SCD
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
5. ( ); 6. ( ); 7. ( ); 8. ( );
SC AHK OM SAB ON SAD BC OPQ
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
9. ; 10. ; 11. ; 12. ;
BC SB CD SD AH SC AK SC
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
13.( ) ( ); 14.( ) ( ); 15. ( ) ( ); 16.( ) ( );
SBC SAB SCD SAD AHK SBC AHK SCD
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
17.( ) ( ); 18.( ) ( ); 19.( ) ( ); 20.( ) ( );
AHK SAC OQM SAB OQN SAD OPQ SBC
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Quan hệ vuông góc (Phần 01+02+03) thuộc
khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các
Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Quan hệ vuông góc (phần
01+02+03). ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02+03)
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Quan hệ vuông góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
a
a
a
a
O
A
B
D
C
S
O
A
B
D
C
S
H
K
I
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng:
SB vuông góc SD.
Giải:
+ Gọi O là giao ñiểm của AC và BD. Vì ABCD là hình thoi
nên O là trung ñiểm của AC và BD
0
1
2
90
ABC ASC SO BO BD
BSD SB SD
+ ∆ = ∆ ⇒ = =
⇒ ∠ = ⇔ ⊥
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.
a. CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK).
b. Gọi I là giao ñiểm của SC với mặt phẳng (AHK). CMR: HK vuông góc AI.
Giải:
a. Ta có:
( ) (1)
AH SB
AH SBC AH SC
AH BC
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥
( ) (2)
AK SD
AK SDC AK SC
AK DC
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥
Từ (1) và (2) ta suy ra
( )
SC AHK
⊥
b. Ta có:
v v
SAB SAD SH SK
∆ = ∆ ⇒ =
/ /
SH SK
HK BD
SB SD
⇒ = ⇒
( ðịnh lý Ta lét ñảo)
( )
BD AC
BD SAC
BD SA
⊥
⇒ ⊥
⊥
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Quan hệ vuông góc (Phần 01+02+03) thuộc
khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các
Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Quan hệ vuông góc (phần
01+02+03). ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02+03)
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Quan hệ vuông góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
N
K
I
O
D
A
C
B
S
M
/ /
( )
( )
HK BD
HK SAC HK AI
BD SAC
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥
Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a. Chứng minh rằng:
( )
SO ABCD
⊥
b. I, K lần lượt là trung ñiểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK vuông góc SD.
c. Gọi (P) là mặt phẳng song song với SO chứa IK. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P).
Giải:
a. Ta có:
( )
SO AC
SO ABCD
SO BD
⊥
⇒ ⊥
⊥
b.
( )
( )
IK BD do AC BD
IK SBD IK SD
IK SO
⊥ ⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥
c. + Gọi M là giao ñiểm của SB với mặt phẳng (P),
N là giao ñiểm của DB với mặt phẳng (P).
/ /( ), ( )
/ /
( ) ( )
/ /
( )
SO P SO SBD
SO MN
SBD P MN
SO BD
MN BD
MN SO
BD IK
BD P
BD MN
⊂
+ ⇒
∩ =
⊥
+ ⇒ ⊥
⊥
+ ⇒ ⊥
⊥
Bài 4:
Cho lặng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’, ñáy ABC có AB = AD = a và góc
0
60
BAD∠ =
,
3
AA'
2
a
= .
M, N lần lượt là trung ñiểm A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng:
' ( ).
AC BDMN
⊥
Giải:
+ Gọi
S BN DM
= ∩ ⇒
M là trung ñiểm SD, N là trung ñiểm SB, A’ là trung ñiểm SA.
+ Gọi O = AC
∩
BD
+
∆
BAD ñều
3
2 3 , '
2
a
AO AC AO a SA CC AO
⇒ = ⇒ = = = =
+ Hai
∆
vuông SOA và ACC’ bằng nhau
AS '
O CAC
⇒ ∠ = ∠
.
Mà
0 0
AS 90 ' 90 '
O SOA CAC SOA AC SO
∠ + ∠ = ⇒ ∠ +∠ = ⇒ ⊥
+
'
' ( )
'
AC BD
AC BDMN
AC SO
⊥
⇒ ⊥
⊥
Bài 5:
Tứ diện SABC có
(
)
.
SA mp ABC
⊥
Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a.
Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và
(
)
(
)
SAC BHK
⊥
b.
Chứng minh
(
)
HK SBC
⊥
và
(
)
(
)
.
SBC BHK
⊥
Giải:
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Quan hệ vuông góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-
a. Vì H là trực tâm tam giác
ABC BH AC
∆ ⇒ ⊥
, theo giả thiết
(
)
SA mp ABC BH SA
⊥ ⇒ ⊥
. Nên
(
)
BH mp SAC SC BH
⊥ ⇒ ⊥
Do K là trực tâm
SBC BK SC
∆ ⇒ ⊥
Từ ñó suy ra
(
)
(
)
(
)
SC mp BHK mp BHK mp SAC
⊥ ⇒ ⊥
(ñpcm)
b. Tương tự như trên ta cũng chứng minh ñược:
(
)
SB mp CHK SB HK
⊥ ⇒ ⊥
Mà
(
)
SC mp BHK SC HK
⊥ ⇒ ⊥
.
Do ñó:
(
)
(
)
(
)
HK mp SBC mp SBC mp BHK
⊥ ⇒ ⊥
Bài 6:
Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh ñều bằng a. Gọi M là trung ñiểm của AA’. Chứng
minh rằng BM vuông góc với B’C.
Giải:
Gọi I là tâm hình vuông BCC’B’ nên I là trung ñiểm của B’C.
M là trung ñiểm AA’ nên MC=MB’ suy ra tam giác MB’C cân tại M
' ; ' ' ' .
B C MI B C BC B C MB
⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥
Bài 7:
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông tâm O cạnh a.
( )
SA ABCD
⊥
. Gọi H, I, K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là
trung ñiểm của AB, AD, BC, SC. CMR:
1. ( ); 2. ( ); 3. ( ); 4. ( );
BC SAB CD SAD AH SBC AK SCD
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
5. ( ); 6. ( ); 7. ( ); 8. ( );
SC AHK OM SAB ON SAD BC OPQ
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
9. ; 10. ; 11. ; 12. ;
BC SB CD SD AH SC AK SC
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
13.( ) ( ); 14.( ) ( ); 15. ( ) ( ); 16.( ) ( );
SBC SAB SCD SAD AHK SBC AHK SCD
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
B
S
C
A
H
K
A
A’
B
B’
C
C’
M
I
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Quan hệ vuông góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-
17.( ) ( ); 18.( ) ( ); 19.( ) ( ); 20.( ) ( );
AHK SAC OQM SAB OQN SAD OPQ SBC
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
Giải:
1.
BC
⊥
AB (giả thiết ABCD là hình vuông)
BC
⊥
SA (do giả thiết SA
⊥
(ABCD))
⇒
BC
⊥
(SAB).
2.
CD
⊥
AD (giả thiết ABCD là hình vuông),
CD
⊥
SA (do giả thiết SA
⊥
(ABCD))
⇒
CD
⊥
(SAD).
3.
AH
⊥
SB (giả thiết),
AH
⊥
BC (do theo câu 1 ta ñã có BC
⊥
(SAB)
mà AH
⊂
(SBC) )
⇒
AH
⊥
(SBC)
4.
AK
⊥
SD (giả thiết)
AK
⊥
CD (do theo câu 2 ta ñã có CD
⊥
(SAD)
mà AK
⊂
(SAD) )
⇒
AK
⊥
(SCD)
5.
AH
⊥
(SBC) (do theo câu 3)
⇒
AH
⊥
SC
AK
⊥
(SCD) (do theo câu 4)
⇒
AK
⊥
SC
Vậy SC
⊥
(AHK)
6.
OM là ñường trung bình của tam giác ABC nên OM//BC, mà BC
⊥
(SAB) (do theo câu 1) nên
OM
⊥
(SAB)
7.
ON là ñường trung bình của tam giác ABD nên ON//AB//CD mà CD
⊥
(SAD) (do theo câu 2)
nên ON
⊥
(SAD).
8.
OP là ñường trung bình của tam giác BDC nên OP//CD mà BC
⊥
CD (giả thiết) nên BC
⊥
OP
(*).
OQ là ñường trung bình của tam giác SAC nên OQ//SA mà SA
⊥
(ABCD) nên OQ
⊥
(ABCD),
⇒
BC
⊥
OQ (**).
Vậy từ (*) và (**) ta có BC
⊥
(OPQ)
9.
Theo câu 1: BC
⊥
(SAB)
⇒
BC
⊥
SB.
10.
Theo câu 2: CD
⊥
(SAD)
⇒
CD
⊥
SD.
11.
Theo câu 3: AH
⊥
(SBC)
⇒
AH
⊥
SC.
12.
Theo câu 4: AK
⊥
(SCD)
⇒
AK
⊥
SC.
13.
Theo câu 1: BC
⊥
(SAB) mà BC
⊂
(SBC)
⇒
(SBC)
⊥
(SAB).
14.
Theo câu 2: CD
⊥
(SAD) mà CD
⊂
(SCD)
⇒
(SCD)
⊥
(SAD).
15.
Theo câu 3: AH
⊥
(SBC) mà AH
⊂
(AHK)
⇒
(AHK)
⊥
(SBC).
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Quan hệ vuông góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-
16.
Theo câu 4: AK
⊥
(SCD) mà AK
⊂
(AHK)
⇒
(AHK)
⊥
(SCD).
17.
Theo câu 5: SC
⊥
(AHK) mà SC
⊂
(SAC)
⇒
(SAC)
⊥
(AHK).
18.
Theo câu 6: OM
⊥
(SAB) mà OM
⊂
(OMQ)
⇒
(OMQ)
⊥
(SAB).
19.
Theo câu 7: ON
⊥
(SAD) mà ON
⊂
(ONQ)
⇒
(ONQ)
⊥
(SAD).
20.
Theo câu 8: BC
⊥
(OPQ) mà BC
⊂
(SBC)
⇒
(SBC)
⊥
(OPQ).
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Quan hệ vuông góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1. Cho chóp SABC có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, I là trung ñiểm của BC, D ñối xứng với A qua
I, SD vuông góc với (ABC),
6
2
a
SD = . Chứng minh
a)
(SAD) vuông góc với (SBC)
b)
(SAB) vuông góc (SAC)
Bài 2 (Trích ðHKB-2006)
Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a,
2
AD a
=
, SA
vuông góc với ñáy, M là trung ñiểm của AD, gọi I là giao của BM và AC. Chứng minh (SAC) vuông góc
(SMB).
Bài 3.
Cho chóp SABCD có ñáy ABCD là hình thoi, SA = SC. Chứng minh rằng (SBD) vuông góc
(ABCD)
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn: Hocmai.vn
QUAN HỆ VUÔNG GÓC (Phần 03)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Quan hệ vuông góc thuộc khóa học Luyện
thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững
kiến thức phần Quan hệ vuông góc, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Các vấn ñề về góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1: Cho chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 vuông
góc với ñáy. Gọi D là trung ñiểm cạnh AB. Tính góc giữa AC và SD
Bài 2: Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung ñiểm BC, AD. Biết AB = CD = 2a, MN =
3
a
.
Tính góc giữa 2 ñường thẳng AB và CD
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang vuông tại A và D, AD=DC=a, AB=2a. SA vuông góc
với AB và AD, SA=
2 3
3
a
. Tính góc giữa 2 ñường thẳng:
a, DC và SB
b, SD và BC
Bài 4:
Cho hình lăng trụ tam giác ñều
. ' ' '
ABC A B C
có
1, ' ( 0).
AB CC m m
= = >
Tìm
m
biết rằng góc
giữa hai ñường thẳng
'
AB
và
'
BC
bằng
0
60
.
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC (Phần 01)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Luyện thi
ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về góc. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần
h
ọ
c trư
ớ
c
Bài gi
ả
ng
sau ñó làm ñ
ầ
y ñ
ủ
các bài t
ậ
p trong tài li
ệ
u này.
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Các vấn ñề về góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
N
M
D
S
A
B
C
K
Bài 1: Cho chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 vuông
góc với ñáy. Gọi D là trung ñiểm cạnh AB. Tính góc giữa AC và SD
Giải:
Ta có : AB =
2 5
,
Gọi M là trung ñiểm của BC ,ta có : DM = 1
SD =
2 2
30
SA AD+ =
,
SC =
2 2
29
SA AC+ =
SM =
2 2
33
SC CM+ =
Ta có :
2 2 2
30 1 33 1
cos
2 .
2 30 30
SD MD SM
SDM
SD MD
+ − + −
∠ = = = −
(*)
Góc
ϕ
giữa hai ñường thẳng AC và SD là góc giữa hai ñường thẳng DM và SD hay
ϕ
bù với góc
∠
SDM . Do ñó : cos
ϕ
=
1
30
Vậy
ϕ
= arcos
1
30
Bài 2:
Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung ñiểm BC, AD. Biết AB = CD = 2a, MN =
3
a
.
Tính góc giữa 2 ñường thẳng AB và CD
Giải:
Gọi P là trung ñiểm AC. Khi ñó MP // AB, NP // CD và MP = NP = a
( , ) ( , )
AB CD MP NP
⇒ ∠ = ∠
Trong tam giác MPN ta có:
2 2 2 2 2
0
2 3 1
os MPN=
2 . 2 . 2
120
MP NP MN a a
c
MP NP a a
MPN
+ − −
∠ = = −
⇒ ∠ =
Vậy
0 0
( , ) 60 ( , ) 60
MP NP AB CD∠ = ⇒ ∠ =
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang vuông tại A và D, AD=DC=a, AB=2a. SA vuông góc
với AB và AD, SA=
2 3
3
a
. Tính góc giữa 2 ñường thẳng:
a, DC và SB
b, SD và BC
Giải:
CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC (Phần 01)
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Luyện thi
ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về góc. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần
h
ọ
c trư
ớ
c
Bài gi
ả
ng
sau ñó làm ñ
ầ
y ñ
ủ
các bài t
ậ
p trong tài li
ệ
u này.
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Các vấn ñề về góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
a. Do
/ / ( , ) ( , )DC AB DC SB AB SB
α
⇒ ∠ = ∠ =
Tam giác SAB vuông tại A nên
α
là góc nhọn, khi ñó
0
2 3
3
3
tan 30
2 3
a
SA
AB a
α α
= = = ⇒ =
Vậy
0
( , ) 30
DC SB
∠ =
b. Gọi I là trung ñiểm AB, khi ñó AI=a. Tứ giác ADCI là hình bình hành, lại có AI=AD=a nên là hình
thoi, mà góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a
2
DI a
⇒ =
Tứ giác BIDC là hình bình hành nên BC // DI
Khi ñó
( , ) ( , )SD BC SD DI
β
∠ = ∠ =
Tam giác SAI vuông tại A nên
2
2 2 2
7
3
a
SI SA AI= + =
Tam giác SAD vuông tại A nên
2
2 2 2
7
3
a
SD SA AD= + =
Áp dụng ñịnh lý hàm số cosin trong tam giác SDI:
2 2 2 2
2 3
os
2 .
21 42
. . 2
3
SD DI SI a
c SDI
SD DI
a
a a
+ −
∠ = = =
>0
Suy ra
SDI
∠
là góc nhọn và
SDI
∠
=arccos
3
42
Bài 4:
Cho hình lăng trụ tam giác ñều
. ' ' '
ABC A B C
có
1, ' ( 0).
AB CC m m
= = >
Tìm
m
biết rằng góc
giữa hai ñường thẳng
'
AB
và
'
BC
bằng
0
60
.
Giải:
- Kẻ
/ / ' ( ' ')
BD AB D A B
∈
0
( ', ') ( , ') 60
AB BC BD BC⇒ = =
0
' 60
DBC⇒ ∠ =
hoặc
0
' 120 .
DBC∠ =
- Nếu
0
' 60
DBC∠ =
Vì lăng trụ ñều nên
' ( ' ' ').
BB A B C
⊥
Áp dụng ñịnh lý Pitago và ñịnh lý cosin ta có
2
' 1
BD BC m
= = +
và
' 3.
DC =
Kết hợp
0
' 60
DBC∠ =
ta suy ra
'
BDC
∆
ñều.
Do ñó
2
1 3 2.
m m
+ = ⇔ =
- Nếu
0
' 120
DBC
∠ =
Áp dụng ñịnh lý cosin cho
'
BDC
∆
suy ra
0
m
=
(loại).
Vậy
2.
m
=
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Các vấn ñề về góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
a
b
O
b'
a'
b
a
O
b'
b
a
I. Góc giữa 2 ñường thẳng:
1. ðịnh nghĩa góc giữa 2 ñường thẳng cắt nhau:
Cho 2 ñường thẳng a; b cắt nhau tại O.
Khi ñó ta có 4 góc, góc có số ño bé nhất trong 4 góc ñó
ñược gọi là góc giữa 2 ñường thẳng a, b. Kí hiệu:
(
)
,
a b
∠
* Chú ý: - Khi a và b trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0
o
- Khi a
⊥
b thì góc giữa chúng bằng 90
o
Như vậy nếu gọi α là góc giữa 2 ñường thẳng cắt nhau thì 0
0
≤ α ≤ 90
0
⇒
0 ≤ cosα ≤ 1
2. Cách xác ñịnh góc giữa hai ñường thẳng bất kì trong không gian.
Qui tắc 1: Góc giữa 2 ñường thẳng a, b bất kì trong không gian là góc giữa 2 ñường thẳng cắt nhau a’, b’
lần lượt song song (hoặc trùng nhau) với a và b.
Qui tắc 2: ðể xác ñịnh góc giữa 2 ñường thẳng a và b ta lấy ñiểm O thuộc ñường thẳng a rồi vẽ qua O
ñường thẳng b’// b. Khi ñó
( , ) ( , ')
a b a b
∠ = ∠
* Chú ý : - Khi tính góc giữa 2 ñường thẳng ta thường sử dụng ñịnh lí hàm số cosin hoặc dùng hệ thức
lượng giác trong tam giác vuông.
- ðịnh lí hàm số cosin:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + −
= + −
= + −
3. Bài tập mẫu:
Bài 1:
Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm BC và AD, MN = a
3
.
Tính góc của AB và CD
Bài 2:
(ðH khối A – 2008)
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñộ dài cạnh bên bằng 2a, ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,
CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC (Phần 01)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Luyện
thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững
kiến thức phần Các vấn ñề về góc, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Các vấn ñề về góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
AC = a
3
và hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) trùng với trung ñiểm của BC. Tính cosin của
góc giữa hai ñường thẳng AA’ và B’C’.
Bài 3:
Cho chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = a
3
, SA
⊥
BC. Gọi I và J lần lượt là
trung ñiểm của SA và SC. Tính góc giữa 2 ñường thẳng:
a)
SD và BC
b)
ỊJ và BD
Bài 4:
(ðH khối B – 2008)
Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a
3
, (SAB) vuông góc với mặt
phẳng ñáy. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB, BC. Tính cosin của góc giữa 2 ñường thẳng SM và
DN.
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa h
ọ
c
LTðH
môn Toán – Thầy Lê Bá Trầ n Phương
Chuyên ñề 01- Hình họ
c không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Góc giữa hai mặt phẳng:
1. ðịnh nghĩa:
Giả sử hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến
∆
. Từ ñiểm I bất kỳ trên
∆
ta dựng trong (P)
ñường thẳng a vuông góc với
∆
và dựng trong mp (Q) ñường thẳng b vuông góc
∆
. Khi ñó góc giữa hai
mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai ñường thẳng a, b.
2. Bài tập mẫu:
Bài 1:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính số ño góc giữa 2 mặt phẳng (BA’C) và (DA’C).
Bài 2:
BÀI GIẢNG 0
3
.
CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC ( Phần II)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
I
P
Q
Khóa h
ọ
c
LTðH ñ
ả
m b
ả
o
môn
Toán
–
Th
ầ
y Lê Bá Tr
ầ
n Phương
Chuyên ñề 01- Hình họ
c không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
Cho tứ giác ñều SABCD, ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a. Tính cosin góc giữa
2 mặt phẳng(SAB) và (SAD).
Bài 3:
Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ ñáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a,
0
120
BAC =
. Cạnh bên BB’ = a,
I là trung ñiểm CC’.
Chứng minh rằng tam giác AB’I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
Bài 4:
Cho hình chóp SABC, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).
a. Xác ñịnh góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (SBC)
b. Giả sử tam giác ABC vuông tại B. Xác ñịnh góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (SBC).
Giáo viên : Lê Bá Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Các vấn ñề về góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
3
a
, SD=
7
a
và SA
⊥
(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của SA và SB.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
Bài 2: Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC ñôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lượt là trung
ñiểm AB, BC. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAJ) và (SCI)
Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a, dựng
3
SA a
=
và vuông góc với (ABCD). Tính góc giữa các mp
sau:
a. (SAB) và (ABC)
b. (SBD) và (ABD)
c. (SAB) và (SCD)
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC (Phần 02)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Luyện thi
ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về góc. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần
h
ọ
c trư
ớ
c
Bài gi
ả
ng
sau ñó làm ñ
ầ
y ñ
ủ
các bài t
ậ
p trong
tài li
ệ
u này.
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Các vấn ñề về góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
3
a
, SD=
7
a
và SA
⊥
(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của SA và SB.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
Giải:
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
( )
SA AB
SA ABCD
SA AD
⊥
⊥ ⇒ ⇒
⊥
các tam giác SAB, SAD vuông tại A
Tương tự :
BC AB
BC SB SBC
BC SA
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ∆
⊥
vuông tại B
CD AD
CD SD SDC
CD SA
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ∆
⊥
vuông tại D
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
( ) ( )
SCD ABCD CD
∩ =
( ),
AD ABCD AD CD
⊂ ⊥
,
( ),
SD SCD SD CD
⊂ ⊥
Suy ra:
( )
( )
3 21
( ),( ) ; cos
7
7
21
( ),( ) ar cos
7
AD a
SCD ABCD SDA SDA
SD
a
SCD ABCD SDA
= ∠ ∠ = = =
⇒ = ∠ =
Bài 2:
Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC ñôi một vuông góc và SA = SB = SC.
Gọi I, J lần lượt là trung ñiểm AB, BC. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAJ) và (SCI)
Giải:
Do SA = SB = SC
⇒
AB = BC = CA
⇒
tam giác ABC ñều
Trong tam giác ABC, gọi H là giao của SJ và CI.
Khi ñó H vừa là trọng tâm vừa là trọng tâm của tam giác ABC
Ta có
( AJ) ( )
S SCI SH
∩ =
,
do ñó, ñể xác ñịnh góc giữa 2 mp (SAJ) và (SCI),
trước tiên ta xác ñịnh mp vuông góc với SH
Ta có : AH
⊥
BC (1) do tam giác ABC ñều
Lại có SA, SB, SC ñôi một vuông góc nên SA
⊥
(SBC)
⇒
SA
⊥
BC (2)
Từ (1) và (2) ta ñược BC
⊥
(SAH) suy ra BC
⊥
SH (*)
Tương tự ta cũng có
CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC (Phần 02)
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Luyện thi
ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về góc. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần
h
ọ
c trư
ớ
c
Bài gi
ả
ng
sau ñó làm ñ
ầ
y ñ
ủ
các bài t
ậ
p trong tài li
ệ
u này.
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Các vấn ñề về góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
( )
( )
AB CH AB CH
AB SCH
SC SAB AB SC
⊥ ⊥
⇒ ⇒ ⊥
⊥ ⊥
Hay AB
⊥
SH (**)
Từ (*) và (**) suy ra SH
⊥
(ABC)
Mà
( ) ( AJ) AJ
(( AJ),( )) (AJ, )
( ) ( )
ABC S
S SCI CI
ABC SCI CI
∩ =
⇒ ∠ = ∠
∩ =
Do tam giác ABC ñều nên
0 0 0 0
90 90 30 60
CHJ HCJ∠ = − ∠ = − =
Vậy
0
(( AJ),( )) (AJ, ) 60
S SCI CI CHJ∠ = ∠ = ∠ =
Bài 3:
Cho hình vuông ABCD cạnh a, dựng
3
SA a
=
và vuông góc với (ABCD). Tính góc giữa các mp
sau:
a.
(SAB) và (ABC)
b.
(SBD) và (ABD)
c.
(SAB) và (SCD)
Giải:
a. Gọi O là giao ñiểm của AC và BD
Suy ra:
2
2
a
AO AC= =
Khi ñó
( ) ( )
SAB ABC AB
∩ =
Ta có :
( )
AB SA
AB SAD
AB AD
⊥
⇒ ⊥
⊥
Mặt khác
0
( ) ( )
(( ),( )) ( , ) 90
( ) ( )
SAD SAB SA
SAB ABC SA AD SAD
SAD ABC AD
∩ =
⇒ ∠ = ∠ = ∠ =
∩ =
b.
( ) ( )
SBD ABD BD
∩ =
Ta có
( )
BD SA
BD SAC
BD AC
⊥
⇒ ⊥
⊥
Mặt khác
( ) ( )
(( ),( )) ( , )
( ) ( )
SAC SBD SA
SBD ABD SO AO SOA
SAC ABD AO
∩ =
⇒ ∠ = ∠ = ∠
∩ =
Trong tam giác vuông SOA ta có:
3
tan 6 (( ),( )) arctan 6
2
2
SA a
SOA SBD ABD
AO
a
∠ = = = ⇒ ∠ =
c.
( ) ( ) / / / /
SAB SCD Sx AB CD
∩ =
Mà
( ) ( )
AB SAD Sx SAD
⊥ ⇒ ⊥
Do
( ) ( )
(( ),( )) ( , )
( ) ( )
SAD SAB SA
SAB SCD SA SD ASD
SAD SCD SD
∩ =
⇒ ∠ = ∠ = ∠
∩ =
Trong tam giác vuông ASD:
0 0
1
tan 30 (( ),( )) 30
3 3
AD a
ASD ASD SAB SCD
SA
a
∠ = = = ⇒ ∠ = ⇒ ∠ =
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa h
ọ
c
LTðH
môn Toán – Thầ y Lê Bá Tr ầ n Phương
Chuyên ñề 01- Hình họ
c không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
P
d
H
A
I
Góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng
1. Cách xác ñịnh góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng:
+ Tìm giao ñiểm I của ñường thẳng d và mặt phẳng (P)
+ Từ 1 ñiểm A bất kì nằm trên ñường thẳng d, ta kẻ AH vuông góc với mp(P)
+ Vậy
(
)
,( )
d P AIH
=
2. Bài tập mẫu:
Bài 1:
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB) vuông góc ñáy (ABCD). SA = SB.
H là trung ñiểm AB, SH = HC. Tính góc giữa SC và (ABCD).
Bài 2:
Cho hình chóp ñều S.ABC có cạnh ñáy bằng a, các cạnh bên bằng
2 3
3
a
. Tính góc giữa SA và (ABC).
Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD),
6
SA a
=
. TÍnh sin
của góc giữa:
a. SC và (SAB)
b. AC và (SBC)
Giáo viên : Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
BÀI GIẢNG 0
4
.
CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC ( Phần III)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Các vấn ñề về góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Cạnh SA = a và
SA
⊥
(ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD.
a) Chứng minh BC
⊥
(SAB), CD
⊥
(SAD).
b) Chứng minh (AEF)
⊥
(SAC).
c) Tính tan ϕ với ϕ là góc giữa cạnh SC với (ABCD).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABCD), ñáy ABCD là hình vuông cạnh a ; SA = a
6
. Gọi
AH, AK lần lượt là ñường cao của các tam giác SAB và SAD.
1) Chứng minh : ∆ SAD ; ∆ SDC là những tam giác vuông.
2) Chứng minh: AK
⊥
(SDC) ; HK
⊥
(SAC)
3) Tính góc giữa ñường thẳng SD và mặt phẳng (SAC).
Bài 3: Cho hình chóp ñều S.ABCD, ñáy có cạnh bằng a và có tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung ñiểm
SA;BC.Biết góc giữa MN và (ABCD) bằng 60
0
.Tính MN, SO, góc giữa MN và mặt phẳng (SAO) .
Bài 4: Cho hình vuông ABCD và tam giác ñều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I là
trung ñiểm AB. CMR: SI
⊥
(ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD)
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC (Phần 03)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Luyện thi
ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về góc. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần
h
ọ
c trư
ớ
c
Bài gi
ả
ng
sau ñó làm ñ
ầ
y ñ
ủ
các bài t
ậ
p trong tài li
ệ
u này.
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Các vấn ñề về góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Cạnh SA = a và
SA
⊥
(ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD.
a) Chứng minh BC
⊥
(SAB), CD
⊥
(SAD).
b) Chứng minh (AEF)
⊥
(SAC).
c) Tính tan ϕ với ϕ là góc giữa cạnh SC với (ABCD).
Giải:
a. Vì
( ) , ( )
SA ABCD SA BC BC AB BC SAB
⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥
( ) , ( )
SA ABCD SA CD CD AD CD SAD
⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥
b.
( ),
SA ABCD SA a
⊥ =
, các tam giác SAB, SAD vuông cân
⇒
FE là ñường trung bình tam giác SBD
FE BD
⇒
, ( )
BD AC FE AC SA ABCD BD SA FE SA
⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
( ), ( ) ( ) ( )
FE SAC FE AEF SAC AEF
⊥ ⊂ ⇒ ⊥
c.
( )
SA ABCD
⊥
nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
SCA
ϕ
⇒ = ∠
0
1
tan 45
2 2
SA a
AC
a
ϕ ϕ
⇒ = = = ⇒ =
Bài 2
: Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABCD), ñáy ABCD là hình vuông cạnh a ; SA = a
6
. Gọi
AH, AK lần lượt là ñường cao của các tam giác SAB và SAD.
1) Chứng minh : ∆ SAD ; ∆ SDC là những tam giác vuông.
2) Chứng minh: AK
⊥
(SDC) ; HK
⊥
(SAC)
3) Tính góc giữa ñường thẳng SD và mặt phẳng (SAC).
Giải:
1). C/m: ∆ SAD là tam giác vuông.
Ta có : SA
⊥
(ABCD) ; AD ⊂ (ABCD)
⇒ SA
⊥
AD
⇒ ∆ SAD vuông tại A.
C/m: ∆ SDC là tam giác vuông.
Ta có : SA
⊥
(ABCD) ; DC⊂(ABCD)
⇒ DC
⊥
SA
DC
⊥
AD (do ABCD vuông)
⇒ DC
⊥
(SAD)
SD ⊂ (SAD)
⇒ DC
⊥
SD
⇒ ∆ SDC vuông tại D.
CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC (Phần 03)
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Luyện thi
ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về góc. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần
h
ọ
c trư
ớ
c
Bài gi
ả
ng
sau ñó làm ñ
ầ
y ñ
ủ
các bài t
ậ
p trong tài li
ệ
u này.
S
B
C
D
A
H
K
o
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Các vấn ñề về góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
2). C/m: AK
⊥
(SDC)
Ta có: DC
⊥
(SAD) ; AK ⊂ (SAD)
⇒
AK
⊥
DC
AK
⊥
SD (giả thiết)
⇒ AK
⊥
(SDC) (ñpcm)
C/m: HK
⊥
(SAC)
Ta có : ∆ SAB = ∆ SAD (c-g-c)
⇒SB=SD
Mà H, K là hình chiếu của A lên SB, SD
⇒
SH SK
SB SD
=
⇒
HK // BD (1)
Xét tam giác cân SBD
OB=OD (O là tâm hvuông ABCD)
⇒
SO
⊥
BD (2)
Từ (1),(2)
⇒
HK
⊥
SO (*)
Mặt khác: AO
⊥
BD (3)
Từ (1),(3)
⇒
HK
⊥
AO (**)
Từ (*),(**) HK
⊥
(SAO)
Hay HK
⊥
(SAC) (ñpcm)
3). Tính góc giữa SD và mp (SAC).
Ta có: SO
⊥
OD
⇒
SO là hình chiếu của SD trên mp (SAC)
⇒
góc giữa SD và mp (SAC) là góc hợp bởi SD và SO.
DO=
2
2
a
, SD=
7
a
⇒
Sin
DSO
∠
=
2
1
2
7 14
a
DO
SD
a
= =
Vậy
DSO
∠
= arcsin
1
14
Bài 3:
Cho hình chóp ñều S.ABCD, ñáy có cạnh bằng a và có tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung ñiểm
SA;BC.Biết góc giữa MN và (ABCD) bằng 60
0
.Tính MN, SO, góc giữa MN và mặt phẳng (SAO)
Giải:
Gọi P là trung ñiểm AO. Khi ñó MP // SO và SO
⊥
(ABCD).
Do ñó (MN;(ABCD)) =
∠
MNP = 60
0
Trong
∆
NCP , theo ñịnh lý hàm số Cosin ta có:
2
2 2 2 0
5
2 . . os45
2
a
NP CN CP CN CP c= + − =
Trong tam giác vuông MNP ta có
0
5
os60 2
PN
MN a
c
= =
và
0
15 15
.tan 60 2
8 2
PM PN a SO MP a= = ⇒ = =
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Các vấn ñề về góc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-
Gọi H là trung ñiểm OC. Suy ra NH // BD mà BD
⊥
(SAC), do ñó (MN;(SAC)) =
∠
NMH.
Ta có
1 2 5
,
2 4 2
a
NH OB MN a= = =
. Suy ra trong tam giác vuông MNH ta có
1
sin
2 5
NH
NHM
MN
∠ = =
Vậy góc giữa MN và mặt phẳng (SAC) là 1 góc có giá trị
α
thỏa mãn
1
sin ;0
2
2 5
π
α α
= ≤ ≤
.
Bài 4:
Cho hình vuông ABCD và tam giác ñều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I là
trung ñiểm AB. CMR: SI
⊥
(ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD)
Giải:
Sử dụng tính chất 2 mp vuông góc ta có:
( )
( ) ( ) ( )
SI SAB
SAB ABCD AB SI ABCD
SI AB
⊂
∩ = → ⊥
⊥
Khi ñó, I là hình chiếu của S lên (ABCD) suy ra SC có hình chiếu lên (ABCD) là IC
( ,( )) ( , )
SC ABCD SC IC SCI
⇒ ∠ = ∠ = ∠
( do tam giác SIC vuông tại I nên góc SCI là góc nhọn)
SI là ñường cao của tam giác ñều ABC nên
3
2
a
SI
=
Trong tam giác vuông ICB:
2
2 2 2
5
4 2
3
15
2
tan
2
5
2
a a
IC IB BC a
a
SI
SCI
CI
a
= + = + =
⇒ ∠ = = =
Vậy
15
( ,( )) arctan( )
2
SC ABCD SCI
∠ = ∠ =
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
