chuyên đề phương trình và bất phương trình - lê bá trần phương
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (16.67 MB, 162 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
LỚP TOÁN VB2-K2
LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Khóa học LTĐH KIT-1 môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1: Giải phương trình:
2
9
4 2 3 4
23
x
xx
x
Bài 2 : Giải phương trình :
2
1 2 1 3 1x x x
Bài 3 : Giải phương trình :
22
5 7 2 3x x x x x
Bài 4 : Giải phương trình :
2 1 2 1 2x x x x
Bài 5 : Giải phương trình :
22
1
11
2
x x x x
Bài 6 : Tìm m để phương trình
4 3 2 2
4 2 3 1 0x x x x m x
có nghiệm thực.
Bài 7 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất :
2
31
21
21
x
x mx
x
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 01. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN (PHẦN 01)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 01. Phương trình chứa căn (phần 01) thuộc khóa
học LTĐH KIT-1 môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 01. Phương trình chứa căn (phần 01). Để sử dụng hiệu quả, bạn
cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1: Giải phương trình:
2
9
4 2 3 4
23
x
xx
x
Giải:
Điều kiện :
3
2 3 0
2
xx
Phương trình
2
4(2 3) 4 2 3 9x x x x
2
2
4(2 3) 4 2 3 9
2 2 3 3
2 2 3 9
2 2 3 3
2 2 3 3 (1)
2 2 3 3 (2)
x x x x
xx
xx
xx
xx
xx
Phương trình (1)
22
1
4(2 3) (3 ) 2 3 0
3
x
x x x x
x
(thỏa mãn)
Phương trình (2)
2
3
3
7 52
7 52
4(2 3) ( 3)
7 52
x
x
x
x
xx
x
Bài 2 : Giải phương trình :
2
1 2 1 3 1x x x
Giải :
Điều kiện :
2
1 0 1 1x x x
+ Với
1x
thì phương trình
2 2 2
5
1 3 3 1 (1 3 ) 9( 1) 6 10
3
x x x x x x
(loại)
+ Với
1x
thì phương trình
2 2 2
5
3 1 3 1 (3 1) 9( 1) 6 10
3
x x x x x x
Đáp số : Vậy
5
3
x
là nghiệm của phương trình.
Bài 3 : Giải phương trình :
22
5 7 2 3x x x x x
Giải :
Phương trình
2
22
31
2 3 0
5 2( 2)(*)
5 7 2 3
x
xx
x x x
x x x x x
BÀI 01. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN (PHẦN 01)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 01. Phương trình chứa căn (phần 01) thuộc khóa
học LTĐH KIT-1 môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 01. Phương trình chứa căn (phần 01). Để sử dụng hiệu quả, bạn
cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
+ Với
0x
thì (*) không thỏa mãn
+ Với
3 0 0 1xx
thì (*)
2
52
x
x
x
32
2
2
2
20
20
16 16 0
( 2)
54
x
x
x
x x x
x
x
x
2
20
20
1
1
( 1)( 16) 0
4
x
x
x
x
xx
x
Đáp số :
1x
Bài 4 : Giải phương trình :
2 1 2 1 2x x x x
Giải :
Điều kiện :
2 1 0
21
1
2 1 0
1
2
2 1 0
2
xx
xx
x x x
x
x
Phương trình
2
2 1 2 ( 1) 2 1 2x x x x x
2
2 2 2 2
1 0 1
( 1) 1
( 1) (1 ) ( 1) (1 )
xx
xx
x x x x
Kết hợp điều kiện suy ra đáp số :
1
1
2
x
Bài 5 : Giải phương trình :
22
1
11
2
x x x x
Giải :
Điều kiện
xR
Phương trình
22
1
11
2
x x x x
Bình phương 2 vế ta được :
2
1
12
4
x x x
2
4 1 8 1x x x
22
2
1
8 1 0
15
8
48
16( 10 ( 8 1)
48 15
x
x
x
x x x
x
Bài 6 : Tìm m để phương trình
4 3 2 2
4 2 3 1 0x x x x m x
có nghiệm thực.
Giải :
Phương trình
2
4 3 2 2
4 3 2 2 2
10
4 2 3 1
4 2 3 (1 )
x
x x x x m x
x x x x m x
3
11
4 3 1
x
x x m
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
Để phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình :
3
4 3 1x x m
phải có nghiệm thực thỏa mãn
11x
hai đồ thị
3
4 3 1; 1;1y x x x
ym
phải có điểm chung
Xét hàm số :
3
4 3 1; 1;1y x x x
Ta có :
2
1
' 12 3; ' 0
2
y x y x
Bảng biến thiên :
x
-1
1
2
1
2
1
y’
+ 0 - 0 +
y
0 0
-2 -2
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm là :
20m
Bài 7 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất :
2
31
21
21
x
x mx
x
Giải :
Điều kiện :
1
2
x
Phương trình
2
3 1 2 1 2 1x x mx x
32
21
x
m
x
Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì 2 đồ thị
3 2 1
,
2
21
x
yx
x
và y = m phải cắt nhau tại duy
nhất một nghiệm.
Xét hàm số :
3 2 1
,
2
21
x
yx
x
Ta có :
31
'0
(2 1) 2 1
x
y
xx
với
1
2
x
Bảng biến thiên :
x
1
2
+
y’
+
y
+
-
Từ bảng biến thiên suy ra với mọi m thì phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học LTĐH KIT-1 môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
I. Phƣơng trình cơ bản
2
( ) 0
1. ( ) ( )
( ) ( )
gx
f x g x
f x g x
3
3
2. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x
Ví dụ 1: (ĐHKD – 2006) Giải phương trình:
2
2 1 3 1 0x x x
Ví dụ 2: (ĐHKB – 2006) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
2
2 2 1x mx x
II. Các dạng bài tập
Dạng I: Biến đổi thông thường
Bài tập mẫu:
Bài 1: Giải phương trình
2
22
2
1. ( 3) 5 4 2 6
2. ( 3) 10 12
3. 2 7 2 1 8 7 1
x x x x
x x x x
x x x x x
2
4. 2 1 ( 1) 0x x x x x x
Bài 2: Giải phương trình
3
1. 4 1 3 2
3
2. 3 2 2 2 6
x
xx
x x x
3. (ĐHKB – 2010)
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x
Bài 3: Giải phương trình
22
22
2 2 2
1. 2 8 6 1 2 2
2. 4 3 2 3 1 1
3. 3 2 4 3 2 5 4
x x x x
x x x x x
x x x x x x
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 01. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN (PHẦN 01)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 01. Phương trình chứa căn (Phần 01) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1 môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 01.
Phương trình chứa căn (phần 01), bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1. Chứng minh rằng phương trình:
32
2 3 6 5 1 6 0x x x x
không có nghiệm âm.
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
22
11x x x x m
Bài 3. Giải phương trình:
22
2 4 7 1 3 1 0x x x x x
Bài 4. Giải phương trình
1)
3
4 1 3 2
5
x
xx
2)
3 2 2 2 6x x x
3) ĐHKB 2010:
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x
4)
2
1 1 4 3x x x
5)
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x
6)
22
91 2x x x
, điều kiện:
2x
7)
2
1 3 3 4 2x x x x
Bài 5. Giải phương trình
1.
22
2 5 2 2 3 6x x x x x
2.
22
4 3 2 3 1 1x x x x x
Bài 6. Giải phương trình
1.
1 2 2 1 2 2 1x x x x
2.
5
2 2 1 2 2 1
2
x
x x x x
Bài 7. Giải phương trình
1.
2
3
4 6 3 13x x x
2.
3
2
1 4 3 2x x x x
3.
2
2 . 1 2x x x x
4.
2
2
2
1
1
39
4 3 9
x
x
x
5.
3
22
1 2 1 3xx
BÀI 2. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN (PHẦN 2)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 2. Phương trình chứa căn (phần 2) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 2. Phương trình chứa căn (phần 2). Để sử dụng hiệu quả, bạn
cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
6.
2
2
2
4 3 2 2
9
xx
x
xx
7.
1
3 1 4 3 . 3
3
x
x x x
x
8)
2
4
2 1 1 2
14
x
xx
x
Bài 8: Giải phương trình
1.
22
(4 1) 1 2 2 1x x x x
2.
22
3
(3 1) 2 1 5 3
2
x x x x
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1. Chứng minh rằng phương trình:
32
2 3 6 5 1 6 0x x x x
không có nghiệm âm.
Giải
Đặt:
32
11
( ) 5 1 1
32
f x x x x x
, hàm số xác định
xR
Ta có:
2
2
1 10 1
'( )
2
2 5 1
x
f x x
xx
Và
22
19
''( ) 2
4 5 1 . 5 1
f x x
x x x x
Nhận thấy f’’(x) < 0
0x
, nên f’(x) là hàm nghịch biến trên
,0
Suy ra f’(x) > f’(0) = 0
0x
. Vậy f(x) là hàm đồng biến trên khoảng
,0
.
Do đó f(x) < f(0) = 0
0x
. Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm.
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
22
11x x x x m
Giải
Để phương trình đã cho có nghiệm thì 2 đồ thị:
22
1 1;y x x x x x R
ym
phải cắt nhau.
Xét hàm
22
1 1;y x x x x x R
Ta có:
2 2 2 2
11
2 1 2 1
22
'
2 1 2 1
1 3 1 3
2 4 2 4
xx
xx
y
x x x x
xx
Xét hàm
2
( ) ;
3
4
t
f t t R
t
3
2
3
'( ) 0
3
4.
4
f t t
t
=> f(t) là hàm đồng biến =>
11
22
f x f x x
BÀI 2. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN (PHẦN 2)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 2. Phương trình chứa căn (phần 2) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 2. Phương trình chứa căn (phần 2). Để sử dụng hiệu quả, bạn
cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
=>
'0yx
=> y là hàm đồng biến.
22
22
22
22
lim lim 1 1 lim lim 1
1 1 1 1
11
11
x x x
x
x
y x x x x
x x x x
x x x x
22
22
22
lim lim lim 1
1 1 1 1
11
11
x x x
x
y
x x x x
x x x x
Do đó ta có bảng biến thiên:
x
-
+
y’
+
y
1
-1
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm là -1 < m < 1
Bài 3. Giải phương trình:
22
2 4 7 1 3 1 0x x x x x
Giải
Phương trình
22
2 2 3 1 . 3 1x x x x
(*)
Xét hàm
2
( ) 3 1f t t t
Ta có:
2
2
2
'( ) 1 3 0
3
t
f t t t R
t
Vậy f(t) là hàm đồng biến. Do đó ta có (*) f(x + 2) = f(-x) x + 2 = -x x = -1
Đáp số: x = -1
Bài 4. Giải phương trình
1)
3
4 1 3 2
5
x
xx
; điều kiện:
2
3
x
33
5 3 3 4 1 3 2
5
4 1 3 2
xx
x x x x
xx
3 . 4 1 3 2 5 0x x x
Hoặc: x + 3 = 0 x = -3 (loại)
Hoặc:
4 1 3 2 5 4 1 2 4 1 3 2 3 2 25x x x x x x
2
2
2
2
26
26 7 0
2 12 5 2 26 7
7
4 12 5 2 26 7
344 684 0
x
x
x x x
x x x
xx
26
2
7
342; 2
x
x
xx
Đáp số: x = 2
2)
3 2 2 2 6x x x
; điều kiện:
2x
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
3 2 6 2 6x x x
83
2 3 4 3 3 2 6 3
3 2 6
x
x x x x x
xx
3 3 2 6 4 0x x x
Hoặc: x = 3
Hoặc:
2
3 2 6 4 3 4 12 14 5x x x x x
2
2
14
14 5 0
11 45
5
2
9 4 12 14 5
11 45
2
x
x
x
x x x
x
Đáp số:
3
11 45
2
x
x
3) ĐHKB 2010
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x
; điều kiện
1
6
3
x
2
3 1 4 1 6 3 14 5 0x x x x
3 5 5
5 3 1 0
3 1 4 1 6
xx
xx
xx
11
5 3 1 0 5 0 5
3 1 4 1 6
x x x x
xx
Vì:
1
0
3 1 4
1 1 1
0 3 1 0
1 6 3 1 4 1 6
3 1 0
x
x
x x x
x
4)
2
1 1 4 3x x x
; điều kiện:
0x
2
21
4 1 3 1 0 2 1 2 1 0
31
x
x x x x x
xx
11
2 1 2 1 0 2 1 0
2
31
x x x x
xx
Vì:
1
2 1 0
31
x
xx
5)
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -
Điều kiện:
2
2
2
2
3 7 3 0
20
3 5 1 0
3 4 0
xx
x
xx
xx
Phương trình:
2 2 2 2
3 7 3 3 5 1 2 3 4x x x x x x x
2 2 2 2
2 2 3 2
3 7 3 3 5 1 2 3 4
xx
x x x x x x x
0
2 2 2 2
_______________________________________________________________________________
23
20
3 7 3 3 5 1 2 3 4
x
x x x x x x x
2 0 2xx
Với x = 2 thử vào điều kiện ta thấy thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.
6)
22
91 2x x x
, điều kiện:
2x
22
91 10 2 1 9x x x
2
2
93
33
21
91 10
xx
xx
x
x
= 0
2
31
3 3 0
21
91 10
x
xx
x
x
2
11
3 3 1 0
21
91 10
xx
x
x
Do:
2
11
3 1 0 2
21
91 10
xx
x
x
Nên phương trình
3 0 3xx
7)
2
1 3 3 4 2x x x x
Giải
Điều kiện:
13x
Phương trình:
2
1 1 3 1 3 4 4x x x x
22
2 3 2
1 1 3 1
xx
xx
xx
11
2 3 2 0
1 1 3 1
xx
xx
Dễ thấy với
13x
thì biểu thức trong ngoặc vuông là hàm nghịch biến và tại x = 1 thì biểu thức đó
nhận giá trị là
5 4 2
0
12
. Chứng tỏ với mọi
13x
thì biểu thức trong dấu ngoặc vuông luôn âm. Do
đó phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2.
Bài 5. Giải phương trình
1.
22
2 5 2 2 3 6x x x x x
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -
Giải
Điều kiện:
21xx
Phương trình:
2 1 2 1 2 3 2x x x x x
+) Với x = -2 thì phương trình thỏa mãn.
+) Với
1x
thì phương trình:
2 1 1 3xx
2 1 1 3xx
2 1 2 2 3 1 2 3 1 1x x x x x
2
2
1
4 3 1 1 14 13
13
x
x x x x
x
Đáp số:
1
13
2
x
x
x
2.
22
4 3 2 3 1 1x x x x x
Giải
Điều kiện:
1
13
2
x x x
Phương trình:
1 3 1 2 1 1x x x x x
+) Với
3x
thì phương trình
3 2 1 1x x x
3 1 2 1x x x
Bình phương hai vế ta có:
2
2 2 3 1 1 2x x x
Phương trình này vô nghiệm vì với
3x
thì vế phải âm.
+) Với x = 1 thì phương trình thỏa mãn.
+) Với
1
2
x
thì phương trình
1 3 1 1 2 1x x x x x
3 1 2 1x x x
3 1 1 2x x x
2
2 4 3 3xx
(Vô nghiệm)
Đáp số: x = 1
Bài 6. Giải phương trình
1.
1 2 2 1 2 2 1x x x x
Giải
Phương trình
22
2 1 2 1 1xx
; điều kiện
2x
2 1 2 1 1xx
+) Nếu
2 1 0 2 1 3x x x
thì ta có:
2 1 2 1 1 2 1xx
(vô nghiệm)
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6 -
+) Nếu
2 1 0 2 3xx
thì ta có:
2 1 2 1 1xx
19
2 2 1 2
44
x x x
Đáp số:
9
4
x
2.
5
2 2 1 2 2 1
2
x
x x x x
Giải
Phương trình
22
5
1 1 1 1
2
x
xx
; điều kiện
1x
5
1 1 1 1
2
x
xx
+) Nếu
1 1 0 1 1 0x x x
thì phương trình tương đương:
5
1 1 1 1
2
x
xx
2
4 1 5 16 1 5x x x x
2
6 9 0 3x x x
+) Nếu
1 1 0 1 1 1 0x x x
thì phương trình tương đương:
55
1 1 1 1 2 1
22
xx
x x x
Đáp số: x = 3; x = -1
Bài 7. Giải phương trình
1.
2
3
4 6 3 13x x x
Giải
Điều kiện:
32
3 0 3 0 0x x x x x
Phương trình
23
8 3 6 3 0x x x x
+) Với x = 0 thì phương trình không thỏa mãn.
+) Với x > 0 thì phương trình
33
8 6 0xx
xx
Đặt:
4
3
; 12t x t
x
Thay vào phương trình, ta có:
2
2
6 8 0
4
t
tt
t
+) Với t = 2, ta có x = 1; x = 3.
+) Với t = 4, ta có:
8 61x
2.
3
2
1 4 3 2x x x x
Giải
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 7 -
Điều kiện:
1x
Phương trình
3
1 1 3 2x x x x
Đặt
21tx
Thay vào phương trình ta được:
22
1 1 1 1t t t t t t t t
2
23
2
1
1
1 1 2 1
11
t t t
t
t t t t t t
t t t t
2
1
1
11
1 1 0
t
t
tt
tt
1 5 5 3
22
tx
3.
2
2 . 1 2x x x x
Giải
Điều kiện
1x
Phương trình:
2
1 1 2 1 2 1 0x x x x x
Đặt
1 ; 0x t t
Thay vào phương trình ta có:
22
1 2 2 0x x t t t
2 1 0x t x t
20xt
(do x + t + 1 > 0)
2
2 2 1 4 1x t x x x x
2
4 4 0 2x x x
4.
2
2
2
1
1
39
4 3 9
x
x
x
Giải
Điều kiện:
3 0 0 3xx
Đặt:
2
9 ; 0, 3t x t t
22
9xt
, thay vào phương trình ta có:
2
2
91
1 4 3 4 3 1 0
3 4 3
t
tt
tt
2
2 3 1 0 2 3 1tt
2
5 5 11
9
2 2 2
t x x
5.
3
22
1 2 1 3xx
Giải
Điều kiện:
11x
Đặt
6
2
1 ; 0x t t
Thay vào phương trình ta có:
3 2 2
2 3 0 1 3 3 0 1t t t t t t
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 8 -
6
2
1 1 0xx
6.
2
2
2
4 3 2 2
9
xx
x
xx
Giải
Điều kiện:
0x
Phương trình:
2
2
42
9 3 2xx
xx
Đặt
2 2 2 2
22
2 4 4
3 9 12 9 12t x t x x t
x x x
Khi đó ta có phương trình:
2
2
2
20
2
12 2 2
2
12 2
t
t
t t t
t
tt
Với t = 2, ta có:
2
2 1 7
2 3 3 2 2 0
3
x x x x
x
7.
1
3 1 4 3 . 3
3
x
x x x
x
Giải
Điều kiện:
1
0
13
3
3
x
xx
x
x
Đặt
2
1
3 3 1
3
x
t x t x x
x
Thay vào phương trình ta có:
2
1
4 4 3 0
3
t
tt
t
+) Với t = -1, ta có:
1
31
3
x
x
x
- Với x > 3 thì phương trình vô nghiệm.
- Với
1x
, ta có: (x - 3)(x + 1) = 1
2
15
2 4 0
1 5 ( )
x
xx
x loai
+) Với t = -3 ta có:
1
33
3
x
x
x
- Với x > 3 thì phương trình vô nghiệm.
- Với
1x
, ta có (x - 3)(x + 1) = 9
2
1 13 ( )
2 12 0
1 13
x loai
xx
x
Đáp số:
15
1 13
x
x
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 9 -
8.
2
4
2 1 1 2
14
x
xx
x
Giải
Điều kiện:
11
22
x
Đặt:
2 1 , 0x u u
1 2 , 0x v v
22
4u v x
. Thay vào phương trình ta có:
22
1
u v u v
u v uv u v
u v u v
Khi đó ta lại có phương tình:
2
1 4 2 1 1 2x x x
Từ phương trình suy ra:
2 1 1 2 0 2 1 1 2 2 1 1 2x x x x x x
<=> x > 0, kết hợp điều kiện ta có:
1
0
2
x
Bình phương hai vế ta có:
2 2 2 2
1 4 2 2 1 4 1 4 2 1 4 2 0x x x x
Đặt
2
1 4 ; 0x t t
Khi đó ta có:
2
1 3( )
2 2 0
13
t loai
tt
t
Với
13t
ta có:
22
1 4 3 1 1 4 4 2 3xx
2
2 3 3 2 3 3
42
xx
Bài 8: Giải phương trình
1.
22
(4 1) 1 2 2 1x x x x
Giải
Đặt
2
1; 1t x t
2 2 2
1; 1 1t x t x t
Thay vào phương trình đã cho ta được:
2
(4 1) 2( 1) 2 1x t t x
2
2 (4 1) 2 1 0
1
1
2
21
t x t x
t
tx
22
2 1 1 2 1 3 4 0
0
4
3
t x x x x x
x
x
Với x = 0 (loại) do
1 2 1 1 1t x x
2.
22
3
(3 1) 2 1 5 3
2
x x x x
Giải
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 10 -
Điều kiện:
2
11
2 1 0
22
x x x
Phương trình
22
2(3 1) 2 1 10 3 6x x x x
2 2 2
2(3 1) 2 1 4(2 1) 2 3 2x x x x x
Đặt
2
2 1; 0t x t
Thay vào phương trình ta có:
22
4 2(3 1) 2 3 2 0t x t x x
2
2
21
21
21
2
2
2
21
2
2
x
x
t
x
x
x
x
x
t
Giải ra ta được
6 1 2 60
;
27
xx
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
II. Các dạng bài tập
Dạng 1: Biến đổi thông thường (tiếp)
Bài 4: Giải phương trình
2 2 2 2
1. 2 1 2 1 2
55
2. 1 1 1
44
x x x x
x x x x x
3. (ĐHKD – 2005)
2 2 2 1 1 4x x x
Dạng 2: Đặt ẩn phụ
a) Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2 – bậc 3.
Bài 1: Giải phương trình
22
22
22
2
1. 2 13 22
2. 4 2 0
3. 2 3 11 3 4
4. ( 4)( 1) 3 5 2 6
xx
xx
x x x x
x x x x
Bài 2: Giải phương trình
2
22
22
1.1 2 ( 1)(2 )
2. 3 1 ( 3) 1
3. 2 1 2(1 ) 2 1
x x x x
x x x x
x x x x x
.
Bài 3: Giải phương trình
2
1. 12 1 36x x x
2. (ĐHKD – 2006)
2
2 1 3 1 0x x x
Bài 4: Giải phương trình
2
2
1. 2 2 2 4 2 2
2. 3 2 1 4 9 2 3 5 2
x x x x
x x x x x
BÀI 2. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN (PHẦN 2)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 2. Phương trình chứa căn (phần 2) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài
2. Phương trình chứa căn (phần 2), bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
3. (ĐHKB – 2011)
2
3 2 6 2 4 4 10 3x x x x
2
4. 4 1 1 8
5. 3 6 (3 )(6 ) 3
x x x
x x x x
2
22
2
6. 1 1
3
7. 4 2 3 4
x x x x
x x x x
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2
9 2 4 2 2x m x x
Bài 2: Tìm m để phương trình:
23
2 2 1 3 2x mx x x
có hai nghiệm thực phân biệt.
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
22
44
1 2 1 1 2 1x x m x x
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
22
3 2 3 ( 1) 1x x m x x
Bài 5 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
6 2 (4 )(2 2) 4 4 2 2x x x m x x
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 3. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN (PHẦN 3)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 3. Phương trình chứa căn (phần 3) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 3. Phương trình chứa căn (phần 3). Để sử dụng hiệu quả, bạn
cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2
9 2 4 2 2x m x x
Giải:
Điều kiện:
22x
Đặt
2 2 , 2 2 2t x x t
Chú ý:
2 2 , 2 2t x x x
Ta có:
2
1 1 2 2
'
2 2 2 2
24
xx
t
xx
x
' 0 2 2 0t x x x
(0) 2 2; ( 2) 2, (2) 2t t t
min 2; 2 2 2 2 2t Maxt t
22
4 2 4tx
, thay vào phương trình ta có:
2
5 , 2 2 2t mt t
2
5t
m
t
Bài toán trở thành: tìm m để phương trình:
2
5t
m
t
có nghiệm
2 2 2t
Xét hàm
2
5
( ) , 2 2 2
t
f t t
t
Ta có:
2
2
2
5
5
'( ) ; '( ) 0 5 0
5
t
t
f t f t t
t
t
Bảng biến thiên:
t
-
-
5
0 2
5
22
'f
+ 0 - - 0 +
f
9
2
13
2
4
25
BÀI 3. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN (PHẦN 3)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 3. Phương trình chứa căn (phần 3) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 3. Phương trình chứa căn (phần 3). Để sử dụng hiệu quả, bạn
cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Phương trình
2
5t
m
t
có nghiệm
2 2 2t
khi và chỉ khi hai đồ thị
2
5
( ) , 2 2 2
()
t
f t t
t
f t m
cắt nhau.
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm là:
13
2 5 2
4
m
Bài 2: Tìm m để phương trình:
23
2 2 1 3 2x mx x x
có hai nghiệm thực phân biệt.
Giải:
+ Điều kiện bài toán:
3
2 0 0x x x
+ ta có:
23
2 2 1 3 2 (1)x mx x x
23
2 2 1 3 2mx x x x
Nhận thấy
0x
không phải là nghiệm của (1)
11
(1) 2 2 3 2m x x
xx
+ Đặt
11
2 , ì 0 2 2 2x t v x x
xx
(theo bất đẳng thức côsi)
+ Xét
2
2
1 2 1
( ) 2 ó ' 0
x
y f x x c y
xx
1
2
x
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với mỗi
22t
thì có hai nghiệm
0x
.
(1) trở thành
13
2 2 (2)
22
m t t t
* Xét hàm số:
13
()
22
y g t t t
Có
1 3 4 6 6
'0
22
44
t
yt
tt
Vậy với
4
38
2
2
t
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
22
44
1 2 1 1 2 1x x m x x
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
Giải:
Điều kiện:
1x
+ Với
1x
không là nghiệm
+ Với
1x
, phương trình
2
4
44
1 1 1
1 2 2
1 1 1
x x x
m
x x x
Đặt
4
1
;1
1
x
tt
x
Khi đó phương trình
2
2
,1
21
tt
mt
t
Để phương trình đã cho có nghiệm thì 2 đồ thị:
2
2
,1
21
tt
yt
t
ym
phải cắt nhau.
Xét
2
2
,1
21
tt
yt
t
Ta có:
2
2
2 2 2
' 0; 1
(2 1)
tt
yt
t
Bảng biến thiên:
x
1 +
t’
+
t
+
1
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm là m > 1.
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
22
3 2 3 ( 1) 1x x m x x
Giải:
Phương trình
2 2 2
( 1) 2( 1) ( 1) 1x x m x x
2
2
11
2.
1
1
xx
m
x
x
( x = -1 không là nghiệm)
Đặt
2
1
, 1 2
1
x
tt
x
2 2 3
11
'
1 (1 )
' 0 1
xx
tt
xx
tx
2
2
1
lim 1;
1
1
lim 1;
1
x
x
x
x
x
x
nên ta có
12t
Khi đó phương trình
2
, 1 2t m t
t
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -
Do đó để phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình
2
tm
t
có nghiệm
1 2, 0tt
Khi đó 2 đồ thị
2
1 2, 0
yt
tt
t
ym
phải cắt nhau
Xét hàm:
2
, 1 2, 0y t t t
t
Ta có:
2
22
22
' 1 0, 1; 2 , 0
t
y t t
tt
t
-1 0
2
y’
- -
y
-3 +
-
22
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm là:
3 2 2mm
Bài 5 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
6 2 (4 )(2 2) 4 4 2 2x x x m x x
Giải:
Các em làm tương tự bài 1.
Điều kiện:
14x
Đặt
4 2 2x x t
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
