bài tập phương trình mũ ôn thi đại học

Bài tập Chương 2 – Phương trình Mũ – Giải tích 12. GV: NGUYỄN DUY TUẤN
Hä vµ tªn HS: _._._._._._._._._._._._._._._.
Líp : _._._._.
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1 : Dùng phép biến đổi tương đương đưa ptr đã
cho về dạng
( ) ( )f x g x
a a=
(1) với a là một số
dương và khác 1 (ví dụ : a = 2 ; a = 7/2 , ví dụ
phương trình
2 3 2 3 5 5
3 .5 3 .5
x x x x+ +
=
)
Khi đó : (1)
( ) ( )f x g x
a a=

( ) ( )f x g x⇔ =
Dạng 2 : nếu cơ số a = h(x) là một biểu thức có
chứa ẩn số x (ví dụ: ptr
2
2 2 2 3
( 1) ( 1)
x x
x x
+
− = −
) thì :

( ) ( )
1: ( ) 1
( ) ( )
: 0 ( ) 1
2 :
( ) ( )
f x g x
TH h x
h x h x
dk h x
TH
f x g x
=


= <=>
< ≠




=


Dạng 3 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt
( )
, 0
f x
t a t= >

với a và
( )f x
thích hợp để đưa
phương trình biến số x đã cho về phương trình
mới với biến t, giải phương trình này tìm t (nhớ so
điều kiện t > 0) rồi từ đó tìm x.
Ví dụ:
9 4.3 45 0
x x
− − =
đặt ẩn phụ
3 , : 0
x
t dk t= >
Ví dụ:
2 2
5 5 2
4 2 4
x x x x+ − + − +
− = −
(đặt t=
2
5
2
x x+ −
)
BÀI TẬP DẠNG 1
1.
2
8 1 3

2 4
x x x− + −
=
ĐS :
{ }
2; 3− −
2.
2
5 6
5 1
x x
− −
=
3.
2
5 125
x
=
ĐS:
3
2
 
 
 
4.
3 1
4 7 16
0
7 4 49
x x−

   
− =
 ÷  ÷
   
5.
2
5
6
2
2 16 2
x x− −
=
ĐS :
{ }
1;7−
6.
3
(3 2 2) 3 2 2
x
− = +
ĐS :
1
3
 
−
 
 
7.
1 1
5 6.5 3.5 52

x x x+ −
+ − =
ĐS :
{ }
1
8.
2 3 2 3 5 5
3 .5 3 .5
x x x x+ +
=
9.
1
1 1
5 25
x x
x x
+
− −
=

10.
1 2 2 9
3 .2 12
x x x− − −
=
11.
1 2 3 1 2
3 3 3 9.5 5 5
x x x x x x+ + + + +
+ + = + +

ĐS :
{ }
0
12.
1
3 .2 72
x x+
=
ĐS :
{ }
2
13.
1 2
2 .3 .5 12
x x x− −
=
ĐS :
{ }
2
14.
2 5
3 9
x x− −
=
15.
4 4
1
3 81
x
x

−
−
=
ĐS :
1x ≥
16.
1
2 2
2 ( 4 2) 4 4 4 8
x
x x x x+ − − = + − −

1
2
 
 
 
17.
6 4.3 2 4 0
x x x
− − + =
ĐS :
{ }
0;2
BÀI TẬP DẠNG 2
1.
2
2 2 2 3
( 1) ( 1)
x x

x x
+
− = −
ĐS :
{ }
2; 3± −
2.
3
( 1) 1
x
x
−
+ =
ĐS :
{ }
3
3.
1 2 1 2
2 2 2 3 3 3
x x x x x x− − − −
+ + = − +
ĐS : 2
4.
3 1
1 3
( 10 3) ( 10 3)
x x
x x
− +
− +

+ = −
ĐS :
5±
5.
8.3 3.2 24 6
x x x
+ = +
(ĐH QGHN-2000) ĐS:
{ }
1;3
6.
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x+ −
− − + =
(ĐH D-2006) ĐS:
{ }
0;1
BÀI TẬP DẠNG 3
1.
9 4.3 45 0
x x
− − =
ĐS : 2
2.
2
2 2 6 0
x x
+ − =

3.
9 8.3 7 0
x x
− + =
4.
2 2
4 6.2 8 0
x x
− + =
5.
1
8 6.2 2 0
x x−
− + =
ĐS : 0
6.
1 1
5 5 26
x x+ −
+ =
ĐS : 1; -1
7.
1
7 7 6 0
x x−
− + =
ĐS : 1
8.
2 2
sin cos

9 9 10
x x
+ =
ĐS :
2
k
π
9.
2 2
4 16 10.2
x x− −
+ =
ĐS : 3; 11
10.
2 2
5 5 2
4 2 4
x x x x+ − + − +
− = −
(đặt t=
2
5
2
x x+ −
)ĐS : 2
11.
2 3 3
8 2 12 0
x
x x

+
− + =
ĐS : 3;
6
log 8
12.
(7 4 3) (2 3) 2 0
x x
+ + + − =
ĐS : 0
13.
(2 3) (2 3) 14
x x
+ + − =
ĐS : 2
14.
2 2 2
15.25 34.15 15.9 0
x x x
− + =
15.
1 1 1
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + =
ĐS : 1; -1
16.
2 4
3.4 2.3 5.36
x x x

+ =
ĐS : 0; 1/2
17.
3
(3 5) 16.(3 5) 2
x x x+
+ + − =
ĐS :
3 5
( )
2
log 4
+
18.
2 2 2
2 6 9 3 5 2 6 9
3 4.15 3.5
x x x x x x+ − + − + −
+ =
ĐS : 1; -4
Dạng 4 : Phương pháp lôgarit hóa
Bài tập Chương 2 – Phương trình Mũ – Giải tích 12. GV: NGUYỄN DUY TUẤN
Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng
sau :
•
( )
( ) log
f x
a
a b f x b= ⇔ =

•
( ) ( )
( ) ( )log
f x g x
a
a b f x g x b= ⇔ =
•
( ) ( )
. ( ) ( )log log
f x g x
a a
a b c f x g x b c= ⇔ + =
Chú ý : Phương pháp này thường áp dụng cho các
phương trình chứa phép nhân, chia giữa các hàm số
mũ.
VD. Giải các phương trình sau
1.
2
3 .2 1
x x
=
ĐS :
3
0; log 2−
2
4 2
2. 2 3
x x− −
=
ĐS :

3
2;log 2 2−
3.
2
5 6 3
5 2
x x x− + −
=
ĐS :
5
3;2 log 2+
1
4. 3 .4 18
x
x
x
−
=
ĐS :
3
2; log 2−
5.
2
2
8 36.3
x
x
x
−
+

=
ĐS :
3
4; 2 log 2− −
7 5
6. 5 7
x x
=
ĐS :
7 5
5
log (log 7)
7.
5
3 log
5 25
x
x
−
=
ĐS :
5

log 5
4 3
8. .5 5
x
x =
ĐS :
4

1
; 5
5
9.
9
log
2
9.
x
x x=
ĐS : 9
1
10. 5 .8 500
x
x
x
−
=
ĐS :
5
3; log 2−
Dạng 5 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm
số.
Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó
là nghiệm duy nhất)
Đưa phương trình đã cho về dạng
( ) ( )f x g x=
(*)
• Bước 1 : Chỉ ra
0

x
là một nghiệm của phương
trình (*)
• Bước 2 : Chứng minh
( )f x
là hàm đồng biến,
( )g x
là hàm nghịch biến hoặc
( )f x
là hàm đồng biến,
( )g x
là hàm hằng hoặc
( )f x
là hàm nghịch biến,
( )g x
là hàm hằng. Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm
Cách 2 :Đưa phương trình đã cho về dạng
( ) ( )f u f v=
, rồi chứng minh
f
là hàm số luôn đồng
biến (hoặc luôn nghịch biến trên D). Từ đó suy ra
( ) ( )f u f v u v= ⇔ =
.
Ví dụ 1: Giải phương trình
3 4 0
x
x+ − =
Cách 1 :
3 4 0 3 4 (*)

x x
x x+ − = ⇔ + =
• Ta thấy
1x
=
là một nghiệm của phương trình (*)
• Đặt :
( ) 3
( ) 4
x
f x x
g x

= +

=

Ta có :
'( ) 3 .ln3 1 >0 x
x
f x = + ∀
Suy ra
( ) 3
x
f x x= +
là hàm đồng biến trên R.
Mà
( ) 4g x =
là hàm hằng
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là

1x
=
Cách 2 :
3 4 0 3 4 (*)
x x
x x+ − = ⇔ + =
Ta thấy
1x =
là một nghiệm của phương trình (*)
• Nếu
1x >
, ta có
1
3 3 3
1
x
x

> =

>

3 3 1 4
x
x⇒ + > + =
(vô lý)
• Nếu
1x <
, ta có
1

3 3 3
1
x
x

< =

<

3 3 1 4
x
x⇒ + < + =
(vô lý).
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là
1x
=
.
Ví dụ 2: Giải phương trình
2
2 3 1
x
x
= +
Ta có :
2
2 3 1
x
x
= +
2 ( 3) 1

x x
⇔ = +

3 1
1 ( ) ( )
2 2
x x
⇔ = +
(*)
• Ta thấy
2x =
là một nghiệm của phương trình (*)
• Đặt :
3 1
( )
2 2
( ) 1
x
x
f x
g x

 
 

= +
 ÷
 ÷
 ÷


 
 

=

. Ta có
3 3 1 1
'( ) .ln ln 0 x
2 2 2 2
x
x
f x R
   
   
= + < ∀ ∈
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   

Suyra
3 1
( ) ( ) ( )
2 2
x x
f x = +
là hàm nghịch biến trên R
Mà
( ) 1g x =

là hàm hằng
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là
2x =
Giải các phương trình sau:
1.
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
ĐS : 1
2.
2 2
2
2 2 3
x x x x− + −
− =
ĐS : -1; 2
3.
( 2 1) ( 2 1) 2 2 0
x x
− + + − =
ĐS : 1; -1
4.
2
4.3 9.2 5.6
x
x x
− =
ĐS : 4
5.
2 2

2 1 2 2
2 9.2 2 0
x x x x+ + +
− + =
ĐS : -1; 2
6.
25 15 2.9
x x x
+ =
ĐS : 0
7.
3 1
125 50 2
x x x+
+ =
ĐS : 0
8.
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
ĐS :
1;2; 5± −
9.
cos cos
( 7 4 3) ( 7 4 3) 4
x x
+ + − =
ĐS :

k
π
10.
3
3( 1)
1 12
2 6.2 1
2 2
x x
x x−
− − + =
ĐS : 1