Tải bản đầy đủ (.doc) (13 trang)

chuyên đề mặt cầu ôn thi đại học

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (160.33 KB, 13 trang )

Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1
mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
Phần 1: Lý thuyết
I. Định nghĩa : Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện (Đ) gọi là mặt cầu
ngoại tiếp hình đa diện (Đ).
Từ định nghĩa suy ra : Tâm mặt cầu là điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình
đa diện.
II. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và hình lăng trụ
1.Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
a.Trục của đờng tròn ( O; R ) : Đờng thẳng d gọi là trục của đờng tròn
(O; R) khi và chỉ khi d qua O và vuông góc với mặt phẳng chứa đờng tròn đó.
b. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp : Hình chóp S.A
1
A
2
A
n
nội tiếp mặt cầu (S)
khi và chỉ khi đáy của nó là một đa giác nội tiếp một đờng tròn.
Chứng minh:
Giả sử hình chóp S.A
1
A
2
A
n
nội tiếp trong mặt cầu (S). Khi đó, các đỉnh A
1
,
A
2


, , A
n
của hình chóp nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp và đồng thời nằm
trên đờng tròn giao tuyến của mặt phẳng đáy và mặt mặt cầu. Do vậy, đa giác
đáy nội tiếp trong đờng tròn đó.
Ngợc lại, S.A
1
A
2
A
n
có đáy

A
1
, A
2
, , A
n
nội tiếp trong đờng tròn (C)
thì ta gọi

là trục của đờng tròn đó và gọi O là giao điểm của

với mặt phẳng
trung trực của một cạnh bên, chẳng hạn SA
1
. Khi đó, OS = OA
1
= OA

2
= =
OA
n
. Vậy hình chóp có hình cầu ngoại tiếp, đó là mặt cầu tâm O, bán kính R.
c. Nhận xét
Phần thứ hai của việc chứng minh bài toán trên cũng chính là một trong những
cách xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp ( trong tr-
ờng hợp ta đã biết hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp ).
Việc xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp sẽ dễ hơn nếu ta biết trục


của đờng tròn ngoại tiếp đa giác đáy đồng phẳng với một cạnh bên bất kỳ. Khi
đó, mặt phẳng trung trực của một cạnh bên sẽ đợc thay thế bằng đờng trung trực
của cạnh bên đồng phẳng với

Ta cũng có thể xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo định nghĩa,
tức là xác định điểm O cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp, thông thờng là
các đỉnh của hình chóp nhìn một đoạn thẳng dới một góc 90
0
, hoặc là phải dựa
vào các yếu tố cân, đều của hình chóp
2. Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ
a. Chứng minh rằng một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là
hình lăng trụ đứng và đáy là một đa giác nội tiếp một đờng tròn.
Chứng minh :
Nếu (H) là một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì các mặt bên là những
hình bình hành có đờng tròn ngoại tiếp nên phải là hình chữ nhật. Vậy (H) phải là
1
Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1

hình lăng trụ đứng. ngoài ra, vì (H) có mặt cầu ngoại tiếp nên mặt đáy phải là
một đa giác có đờng tròn ngoại tiếp.
Ngợc lại, cho (H) là hình lăng trụ đứng có các đờng tròn (C), (C) ngoại tiếp
hai đa giác đáy. Gọi I, I lần lợt là tâm hai đờng tròn đó thì
II là trục của hai đờng tròn. Vì vậy, gọi O là trung điểm của đoạn II, suy ra O
cách đều tất cả các đỉnh của hình lăng trụ đã cho. Vậy hình lăng trụ có mặt cầu
ngoại tiếp.
b. Nhận xét
- Việc chứng minh ý hai của bài toán trên cũng chính là một trong những cách
xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.
- Cũng tơng tự hình chóp ta còn tìm một điểm O cách đều tất cả các đỉnh của
hình lăng trụ.
***********************************
Phần 2: Một số dạng bài tập áp dụng
Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện
Trong dạng bài tập này ta sẽ xét một số bài tập xác định tâm và bán kính của
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều, hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy,
hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy, hình lăng trụ đứng có đáy là các đa
giác dễ xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp nó.
Bài 1: (Hình chóp đều) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) ngoại
tiếp hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là .
Lời giải:
Giả sử S.ABC là hình chóp tam giác
đều cạnh đáy a. Gọi M là trung điểm BC,
G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó,
theo giả thiết của bài toán thì SG chính
là trục của đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC và
SMG
= .

Gọi I là trung điểm SA, kẻ đờng trung
trực của SA cắt SG tại O, ta có :
OS = OA = OB = OC, suy ra O chính là tâm
của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp,
bán kính OS.Ta có AM =
2
2 2 2
3
4 2
a a
AB BM a = =
suy ra
2 3
3 3
a
AG AM= =
;
1 3
2 6
a
GM AG= =
. Trong tam giác vuông SGM
2
O
S
A
B
C
MG
N

I
Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1
ta có :
3
6
GM GM a
cos SG
SG cos cos


= = =
, trong tam giác vuông SGA:
Hai tam giác vuông SGA và SIO đồng dạng nên ta có
SO SI
SA SG
=
, suy ra:
2 2
. (1 4 ) 3 (1 4 )
.
2 12
3 4 3
SA SI SA a cos cos a cos
SO
SG SG cos
a


+ +
= = = =

. Vậy bán kính của mặt cầu (S)

(1 4 )
4 3
a cos
R SO

+
= =
.
Nhận xét:
Trong bài toán xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ta hay phải
giải quyết các bài toán liên quan nh : xác định khoảng cách , xác định góc. Do
vậy, giáo viên cần hớng dẫn học sinh phải xác định một cách chính xác hai bài
toán xác định hình trên. Chẳng hạn, khi ta xác định trục của đờng tròn ngoại tiếp
đa giác đáy của hình chóp hay hình lăng trụ thì ta thờng tìm hai điểm cách đều
các đỉnh của hình chóp và hình lăng trụ, hoặc tìm một điểm cách đều các đỉnh và
vuông góc với mặt phẳng đáy
Cũng với dạng bài toán trên ta có thể đa ra rất nhiều bài toán tơng tự nh sau:
1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp tam giác đều
trong các trờng hợp sau:
a. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b
b. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng
c. Hình chóp có cạnh bên bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng
d. Hình chóp có cạnh bên bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng
e. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, chiều cao h
f. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt bên bằng
g. Hình chóp có tất cả các cạnh bằng a.
2. Hoàn toàn tơng tự ta cũng có các câu hỏi trên khi thay hình chóp tam giác
đều bằng hình chóp tứ giác đều

3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi E, K lần lợt là
trung điểm của các cạnh AD và BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.EBK.
Bài 2: (Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy) Xác định tâm và bán
kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC biết SA vuông góc với đáy, SA =
2a, ABC là tam giác đều cạnh a.
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, d là đờng thẳng qua G và vuông góc với
mặt phẳng (ABC). Khi đó, d chính là trục của đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC . I là trung điểm SA suy ra SA // d. Gọi I là trung điểm SA, kẻ đờng trung
trực của SA qua I cắt d tại O. Khi đó, OS = OA = OB = OC, suy ra
3
Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1
O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC,
bán kính R = OS. Tơng tự bài 1 ta có
3
3
a
AG =
,
2
a
AI OG= =
,
suy ra
2 2
2 2
21
4 3 6
a a a

R OA OG AG= = + = + =
Nhận xét :
- Trong trờng hợp hình chóp có một cạnh
bên vuông góc với đáy thì trục của đờng tròn ngoại
tiếp đa giác đáy và cạnh bên này luôn đồng phẳng.
- Ngoài cách xác định tâm mặt cầu theo cách
hình học cổ điển nh trên, trong những bài toán dạng này ta còn có thể sử dụng
phơng pháp tọa độ để làm.
- Ngoài việc cho một cạnh bên vuông góc với đáy trực tiếp nh trên thì có
những bài toán cạnh bên nh vậy đợc cho là giao tuyến tuyến của hai mặt bên
vuông góc với đáy.
Chẳng hạn, ta xét bài toán sau :
Cho hình chóp S.ABCD. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy. Đáy
ABCD là tứ giác nội tiếp trong đờng tròn tâm O, bán kính R. Xác định tâm và
tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biêt SA = h.
Lời giải bài toán trên hoàn toàn đơn giản, vì trục của đờng tròn ngoại tiếp tứ
giác ABCD là đờng thẳng qua O và song song với SA.
Đáp số :
2
2
4
h
r R= +
Hoàn toàn tơng tự ta cũng có các bài toán sau:
1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD
biết SA vuông góc với đáy, SA = a, ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = 2a.
2. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD
biết SA vuông góc với đáy, SA = a, ABCD là hình vuông cạnh 2a.
3. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD
biết SA vuông góc với đáy, SA = a, ABCD là hình thang cân nội tiếp trong đờng

tròn đờng kính AD = 2a.
4. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết ba
góc đỉnh S bằng 90
0
và SA = a, SB = b, SC = c.
5. Cho tam giác ABC vuông cân cạnh huyền AB = 2a. Trên đờng thẳng d qua A
và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S khác A.
Chứng minh rằng hình chóp SABC chỉ có một cặp cạnh đối diện vuông góc với
nhau.
6. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC. Tính bán kính R khi góc
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30
0
.
4
G
S
A
B
C
M
N
O
I
Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1
Đáp số: a. AC

SB b.
42
6
a

R =
7. Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, xét các hình chóp S.ABCD có SA vuông
góc với đáy ( S, A cố định ), SA = h cho trớc, ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp
trong đờng tròn đã cho mà AC vuông góc với BD.
a. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
b. Tứ giác ABCD là hình gì để thể tích hình chóp S.ABCD lớn nhất ?
Đáp số: a.
2 2
'
4
2
h R
R
+
=
b. ABCD là hình vuông
8. Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn đờng kính AB = 2R, M là một điểm
chuyển động trên đờng tròn , MH vuông góc với AB tại H sao cho AH = x,
0< x < 2R. Dựng đờng thẳng vuông góc với (P) tại M trên đó lấy điểm S sao cho
MS = MH. Xác định tâm và tính bán kính r mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABM.
Tìm x để r lớn nhất.
Đáp số :
2
1
(2 )
4
r R x R x= +
; r lớn nhất khi x = R
Bài 3: ( Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy )
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a; BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC)

vuông góc với nhau, góc

BDC bằng 90
0
.
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD theo a và b.
Lời giải:
Gọi M là trung điểm BC, do hai mặt phẳng
(ABC) và (BCD) vuông góc với nhau nên
AM

(BCD), mặt khác, tam giác BCD
vuông tại D nên M chính là tâm của đờng
tròn ngoại tiếp tam giác BCD, suy ra, AM
là trục của đờng tròn ngoại tiếp tam giác
BCD . Do vậy, tâm và bán kính của mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD cũng chính
là tâm và bán kính của đờng tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.
Tam giác ABC có AB = AC = a, BC = b suy ra
2 2 2
2 2 2
4
4 2
b a b
AM AB BM a

= = =

và S

ABC
=
2 2
1 . 4
.
2 4
b a b
AM BC

=
.Do vậy,
2
2 2
. .
4
4
ABC
a a b a
R
S
a b
= =

Nhận xét:
5
A
B
C
D
M

N
O
Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1
- Với hình chóp có một mặt bên (P) vuông góc với đáy thì trục

của đờng tròn
ngoại tiếp đa giác đáy thờng là đờng thẳng nằm trong mặt phẳng (P) hoặc là một
đờng thẳng song song với một đờng nằm trong (P) và vuông góc với đáy.
Một số bài toán tơng tự :
1. Cho hình chóp SABC có ABC là tam giác cân AB =AC = a, hai mặt phẳng
(SBC) và (ABC) vuông góc với nhau và SA = SB = a. Xác định tâm và bán kính
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết SC = x.
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác
đều, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD). Xác định tâm và tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Đáp số :
21
6
a
R =
3. Cho tứ diện SABC có góc ASB bằng 120
0
, góc BSC bằng 60
0
, góc CSA bằng
90
0
, xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
4. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = AC = BD = a, AD = b, hai mặt phẳng
(ACD) và (BCD) vuông góc với nhau. Xácđịnh tâm và tính bán kính của mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện
Đáp số :
2
2 2
3
a
R
a b
=

Bài 4: ( Chứng minh các điểm cùng thuộc một mặt cầu)
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, AB = c, AC = b, góc

BAC =
. Gọi B
1
, C
1
lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Xác định tâm và
bán kính mặt cầu đi qua năm điểm A, B, C, B
1
, C
1
.

Lời giải :
Gọi AD là đờng kính của
đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Khi đó, vì BD


AB và BD

SA nên
BD

(SAB) suy ra BD

AB
1

AB
1


SB (giả thiết) nên AB
1


(SBD)
suy ra AB
1


DB
1.
Chứng minh tơng
tự ta cũng có AC
1



DC
1
, nh vậy 5
điểm A, B, C, B
1
, C
1
cùng nhìn AD
dới một góc 90
0
hay 5 điểm này nằm
trên mặt cầu đờng kính AD.
Ta có, S
ABC
=
1
sin
2
bc

=
4
abc
R
suy ra
2sin
a
R

=

mà theo định lý côsin ta có
6
S
A
B
C
D
B
1
C
1

Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1
a = b
2
+ c
2
2bc.cos , do vậy
2 2
2 .
2sin
b c bc cos
R


+
=
Nhận xét :
- Đối với bài toán chứng minh các điểm cùng nằm trên một mặt cầu, ta thờng
phải chứng minh chúng cùng nhìn một đoạn thẳng dới một góc 90

0
, hoặc chúng
cùng cách một điểm cố định cho trớc một khoảng không đổi.
Các bài toán tơng tự:
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = b,
đờng cao của hình chóp là SA. Gọi B
1
, C
1
, D
1
lần lợt là hình chiếu vuông góc của
A trên SB, SC, SD.
a. Chứng minh rằng A, B
1
, C
1
, D
1
cùng thuộc một mặt phẳng vuông góc với SC.
b. Xác định tâm và tính diện tích của mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, D, B
1
,
C
1
, D
1
.
Đáp số:
2 2

2 2
, ( )
2
a b
R S a b

+
= = +
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông , SA vuông góc với đáy,
(P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lợt tại M, N, P.
a. Chứng minh rằng BD vuông góc với AN
b. Chứng minh rằng S, A, M, N, P cùng thuộc một mặt cầu
3.Cho tam giác ABC vuông tại C, trên đờng thẳng (d) vuông góc với mặt
phẳng (ABC) tại A lấy điểm S. Gọi AD, AE lần lợt là hai đờng cao của các tam
giác SAB, SAC . Chứng minh rằng A, B, C, D, E cùng nằm trên một mặt cầu.
Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.
4. Trong mặt phẳng (P) cho đờng thẳng d và điểm A không thuộc d , góc

xAy di động quanh A cắt d tại B và C. Trên đờng thẳng qua A và vuông góc với
(P) lấy một điểm S . Gọi H, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC
a. Chứng minh rằng A, B, C, H, K cùng thuộc một mặt cầu
b. Tính bán kính mặt cầu trên khi AB = 2, AC = 3, góc

BAC bằng 60
0
Đáp số:
21
3
R =
5. Trong mặt phẳng (P) cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = DC = DA

= a. Trên nửa đờng thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (P) ta lấy một điểm S di
động . Một mặt phẳng qua A vuông góc với SB cắt SB, SC, SD tại P, Q, R theo
thứ tự đó.
a. Chứng minh rằng 7 điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố
định. Tính diện tích mặt cầu đó.
b. Chứng minh rằng CDQR là một tứ giác nội tiếp và đờng thẳng đi qua QR
luôn đi qua một điểm cố định khi S thay đổi trên Ax.
c. Cho SA =
3a
. Hãy tính diện tích tứ giác APQR.
Bài 5 (Xác định tâm mặt cầu bằng cách tìm điểm cách đều tất cả các đỉnh
của hình đa diện).
7
Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1
1. Tứ diện ABCD có CD = 2a, các cạnh còn lại có độ dài
2a
. Xác định tâm và
tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Lời giải :
Theo giả thiết của bài toán ta có hai tam giác
ACD và BCD lần lợt vuông tại A và B . Gọi O
là trung điểm của CD suy ra, O cách đều tất
cả các đỉnh của hình tứ diện .
Do vậy, O chính là tâm của mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện ABCD và bán kính của mặt cầu là:

2
CD
R a= =
2. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 3;

AC = BD = 5; AD = BC = 6. Xác định tâm
và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Lời giải :
Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AB và CD thì dễ thấy IJ

AB
và IJ

CD, bởi vậy:
Nếu gọi O là trung điểm của IJ thì OA = OB,
OC = OD. Ngoài ra, vì AB = CD = 3 nên
hai tam giác vuông OIB và OIC bằng nhau,
do đó OB = OC. Vậy O cách đều bốn đỉnh
A, B, C, D. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
có tâm O và có bán kính R = OA.
Ta có:
2 2 2
2 2 2
9
4 4 4
IJ AB IJ
OA OI AI
+
= + = + =
.
Vì CI là trung tuyến của tam giác ABC
nên
2 2 2
2
2 2 113

4 4
a b c
CI
+
= =
Suy ra
2
2 2 2
113 113 9
26
4 4 4
c
IJ CI CJ

= = = =
.
Nh vậy :
2 2
26 9 35 35
4 4 2
R OA R
+
= = = =
Bài 6 ( một số bài toán về hình lăng trụ)
1. Cho hình lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1

, đáy ABC là tam giác có góc

BAC
bằng 120
0
, AB = a, AC = 2a, đờng chéo AB
1
của mặt bên ABB
1
A
1
tạo với đáy
một góc 75
0
. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.
Lời giải:
8
A
B
C
D
O
I
J
A
B
C
D
O
A

B
C
A
1
B
1
C
1
M
N
I
O
E
E
1
Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1
Trong tam giác ABC theo định lý
côsin ta có : BC
2
=
AB
2
+ AC
2
2AB.AC.cos120
0
=
a
2
+ 4a

2
+ 2a
2
= 7a
2

7BC a =
mà BC = 2Rsin120
0
nên bán kính r
của đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC bằng :

0
7 21
2sin120 3
3
BC a a
r = = =
.Theo giả thiết
AB
1
tạo với đáy một góc 75
0
nên góc

BAB
1
= 75
0

suy ra, trong
tam giác vuông ABB
1
ta có :

0 0 0
1
.tan 75 .tan(45 30 ) .(2 3)BB AB a a= = + = +
Gọi E, E
1
lần lợt là tâm của các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và
A
1
B
1
C
1
. Khi đó, EE
1
là trục của các đờng tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy, gọi I là
trung điểm BB
1
kẻ đờng trung trực của BB
1
cắt EE
1
tại O suy ra OA = OB = OC =
OA
1
= OB

1
= OC
1
hay O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ bán
kính R = OB.
Ta có OI = EB = r , áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông OIB ta có:
OB
2
= OI
2
+ IB
2
=
2 2 2 2
7 (2 3) ( 49 12 3) 49 12 3
.
3 4 12 12
a a a
R a
+ + +
+ = =
2. [Đại học S phạm Vinh 2000] Cho hình hộp chữ nhật ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
có AB

= p, AD = q, AA
1
= r, 0 < p < q < r. Gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, C
1
D
1
, và M,
N là các điểm thỏa mãn
1
. , . ,0 1AM k AD BN k BB k= =
uuuur uuur uuur uuur
(1)
a. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BDA
1
)
b. Chứng minh rằng với mỗi k thỏa mãn (1) thì I, M, J, N cùng thuộc một mặt
phẳng. Tìm k để MN vuông góc với IJ
c.Tìm tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABDA
1
và tâm
H của đờng tròn là giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (BDA
1
)

Lời giải :
Chọn hệ trục tọa độ nh hình vẽ, với A(0 ; 0 ; 0) , B(0 ; p ; 0) , D(q ; 0 ; 0) ,
C(q ; p ; 0) , A
1
(0 ; 0 ; r) B
1

(0 ; p ; r), C
1
(q ; p ; r), D
1
(q ; 0 ; r).
a. Mặt phẳng (BDA
1
) có phơng trình :
1
x y z
q p r
+ + =
Suy ra khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BDA
1
) là:
9
Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
1 1 1
pqr
h
p q q r r p
q p r
= =
+ +
+ +
b. Theo giả thiết ta có :
(0; ;0); ( ; ; )

2 2
p p
I J q r
; M(kq ; 0 ; 0)
N(0 ; p ; kr) suy ra :
( ; ; 0); (0; ; ); ( ;0; )
2 2
p p
IM kq IN kr IJ q r = = =
uuur uur uur
.
Dễ thấy
k IJ IM IN= +
uur uuur uur
nên bốn điểm
I, M, J, N luôn đồng phẳng.

2 2 2 2
( ; ; ); . ( )MN kq p kr IJ MN kq kr k r q= = + =
uuuur uur uuuur
,
MN vuông góc với IJ khi và chỉ khi

2 2
. 0 ( ) 0 0IJ MN k r q k= = =
uur uuuur
(vì r > q)
Tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABDA
1
cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp

hình hộp, tức là trung điểm của đờng chéo AC
1
,do đó
( ; ; )
2 2 2
q p r
O
và bán kính
2 2 2
2
p q r
R
+ +
=
. Điểm H cần xác định chính là hình chiếu vuông góc của O
xuống mặt phẳng (BDA
1
). Mặt phẳng này có véc tơ pháp tuyến
1 1 1
( ; ; )v
q p r
=
r
cũng
là véctơ chỉ phơng của đờng thẳng OH suy ra đờng thẳng này có phơng trình là:
1
.
2
1
. ,

2
1
.
2
q
x t
q
p
y t t R
p
r
z t
r

= +



= +



= +


thay vào phơng trình của mặt phẳng (BDA
1
), ta đợc :
1 1 1 1 1 1
( . ). ( . ). ( . ). 1

2 2 2
q p r
t t t
q q p p r r
+ + + + + =
suy ra H có tọa độ :
3 2 2 3 2 2 3 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
; ; ;
2( ) 2( ) 2( )
q p r p q r r p q
x y z
p q q r r p p q q r r p p q q r r p
+ + +
= = =
+ + + + + +
Nhận xét : Đối với bài toán xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện bất kỳ thì việc xác định là khó khăn, nhng lại có một đặc điểm thuận
lợi là các tứ diện này thờng nằm trong một hình hộp đặc biệt chẳng hạn nh hình
hộp chữ nhật hay hình lập phơng . Khi đó để giải quyết bài toán ta thờng dùng
phơng pháp tọa độ.
Bài tập tơng tự :
10
A
B
CD
A
1
B

1
C
1
D
1
z
I
J
M
N
x
y
Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1
Cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD cạnh là 1, 2, 3 . Gọi M là điểm trên
đoạn AC sao cho AM = 2MC; N là điểm trên đoạn BA sao cho NA = 2NB.
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AMNA







11
§Æng ViÖt Hïng gi¸o viªn trêng THPT Tiªn Du sè 1


12
§Æng ViÖt Hïng gi¸o viªn trêng THPT Tiªn Du sè 1


13

×