một số bài toán về hình lập phương ôn thi đại học

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!




•
••
• Hình hộp:
Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
- 6 mặt của hình hộp là các hình bình hành.
- Hai mặt đối diện song song và bằng nhau.
- Bốn đường chéo của hình hộp đồng quy tại trung điểm của mỗi đường.
•
••
• Hình hộp chữ nhật: Có 6 mặt đều là các hình chữ nhật.
•
••
• Hình lập phương: Là hình có 6 mặt đều là các hình vuông (bằng nhau).
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có
; 3; ' 2
AB a BC a AA a
= = =
. Điểm M trên AD
chia đoạn AD theo tỉ số k = –3. Tính thể tích khối chóp
. ' '
M B C C
và khoả
ng cách t
ừ
M

đế
n (AB’C) theo a.
Ví dụ 2:

[ĐVH].
Cho
hì
nh l
ậ
p ph
ươ
ng ABCD.A’B’C’D’ c
ạ
nh a. K là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a DD’. Tính kho
ả
ng cách
gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng CK và A’D theo a.
Ví dụ 1:

[ĐVH].
Cho
hì
nh h
ộ
p ABCD.A’B’C’D’
có đá
y
là hì
nh thoi ABCD
cạ
nh a , góc A b
ằ
ng 60
0
,
và
chân
đườ
ng vuông
gó
c
hạ
t
ừ
B’ xu
ố
ng
đá

y (ABCD)
trù
ng v
ớ
i giao
đ
i
ể
m O
cá
c
đươ
ng
ché
o
củ
a
đá
y. Cho BB’ = a.
Tí
nh th
ể
tích
và
di
ệ
n tích xung quanh
củ
a
hì

nh h
ộ
p
đó
.
Ví dụ 4:

[ĐVH]. (Trích Đề thi ĐH khối B – 2008).
Cho hình h
ộ
p
đứ
ng ABCD.A’B’C’D’ có các c
ạ
nh

0
3
; ' ; 60
2
a
AB AD a AA BAD= = = = . G
ọ
i M và N l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i

ể
m c
ủ
a các c
ạ
nh A’D’ và A’B’. Ch
ứ
ng
minh r
ằ
ng AC’ vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (BDMN). Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp A.BDMN.
I
E
M
N
A'
D'
C'
B'
O

C
A
D
B

H
ướ
ng d
ẫ
n:
V
A.BDMN
=
3
4
V
S.ABD
=
3 1
.
4 3
SA.S
ABD
=
1
4
.a
3
.
2 3

3 3
4 16
a a
=


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:

[ĐVH].
Cho hình h
ộ
p
đứ
ng
ABCD.A'B'C'D'
có
đ
áy
ABCD
là hình vuông. G
ọ
i
O
là tâm c
ủ
a
ABCD
và
'

OA a
=
. Tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i h
ộ
p khi:
a)
c
ạ
nh
đ
áy và c
ạ
nh bên c
ủ
a l
ă
ng tr
ụ
b
ằ
ng nhau.
b)

OA'

h
ợ
p v
ớ
i
đ
áy
ABCD
m
ộ
t góc 60
0
.
c)

A'B
h
ợ
p v
ớ
i (
AA'CC'
) m
ộ
t góc 30
0
.
d)
di
ệ

n tích tam giác
BDA’
b
ằ
ng
2
2
a
.
09. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP, LẬP PHƯƠNG

Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Bài 2: [ĐVH]. Đáy của hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ là hình thoi có đường chéo nhỏ là a và góc nhọn là
60
0
. Diện tích mặt bên của khối hộp là
2
2
a
Tính thể tích khối hộp.
Bài 3: [ĐVH]. (Đề thi Đại học khối D – 2012)
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân,
'
A C a
=
. Tính th
ể
tích

kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n ABB’C’ và kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (BCD’) theo a.
Bài 4*:

[ĐVH].
Cho hình l
ă
ng tr
ụ
tam giác ABC.A’B’C’ có
đ
áy là tam giác
đề
u c
ạ

nh a, hình chi
ế
u vuông góc
c
ủ
a A’ lên (ABC) trùng v
ớ
i tâm O c
ủ
a tam giác ABC. M
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a BC và vuông góc v
ớ
i AA’ c
ắ
t
l
ă
ng tr
ụ
theo thi
ế
t di
ệ

n có di
ệ
n tích là
2
3
8
a
. Tính th
ể
tích kh
ố
i l
ă
ng tr
ụ
.
Bài 5:

[ĐVH]. (Đề thi Đại học khối B – 2007)

Cho l
ă
ng tr
ụ

đứ
ng
1 1 1
.
ABC A B C

có
đ
áy là tam giác vuông
1
, 2
AB AC a AA a
= = =
. G
ọ
i M, N l
ầ
n l
ượ
t là
trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
1 1
,
AA BC
. Ch
ứ
ng minh MN là
đ
o
ạ

n vuông góc chung c
ủ
a
1
AA
và
1
BC
. Tính th
ể
tích kh
ố
i
chóp
1 1
MA BC
.
E
N
M
C
B
A
B
1
C
1
A
1

H
ướ
ng d
ẫ
n:
+) MN // AE mà
1 1
AE AA MN AA
⊥ ⇒ ⊥

Do hai hình ch
ữ
nh
ậ
t:
1 1 1 1
,
AA B B AAC C
b
ằ
ng nhau:
1
MB MC
=
Do
đ
ó
1
MBC
∆

cân t
ạ
i M
1
MN BC
⇒ ⊥
. MN là
đườ
ng vuông góc chung.
+)
1 1 1 1 1 1 1
( ) ( )
AC AA B B AC AMB
⊥ ⇒ ⊥

1 1 1 1 1
. 1 1
1
.
3
M A BC C A M B A M B
V V A C S⇒ = =

Bài 6:

[ĐVH]. (Đề thi Đại học khối B – 2009)

Cho hình l
ă
ng tr

ụ
tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng BB’ và m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC) b
ằ
ng
60
0
; tam giác ABC vuông t
ạ
i C và

0
60
BAC = . Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
đ
i
ể

m B’ lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC) trùng
v
ớ
i tr
ọ
ng tâm c
ủ
a tam giác ABC. Tính th
ể
tích kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n A’ABC theo a.
a
60
0
60
0
A'
C'
B'
C
A

B

Bài 7:

[ĐVH]. (Đề thi Đại học khối D – 2009)

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M
là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
a
2a
3a
H
I
M
C'
B'
A'
B
C
A
K

Hướng dẫn:
2 2 4
'
' ' 3 3 3
IH CI a

IH AA
AA CA
= = ⇒ = = và IH là
đườ
ng cao c
ủ
a t
ứ

di
ệ
n IABC.
1
5, 2 .
3
IABC ABC
AC a BC a V IH S
= = ⇒ = =

+) D
ự
ng IK vuông góc v
ớ
i A’B. Ta có A’K là kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n (IBC).

Bài 8:

[ĐVH]. (Đề thi Đại học khối A – 2008)

Cho l
ă
ng tr
ụ
ABC.A 'B'C' có
độ
dài c
ạ
nh bên b
ằ
ng 2a,
đ
áy ABC là tam giác vuông t
ạ
i A, AB = a, AC =
3
a

và hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
đỉ
nh A' trên m

ặ
t ph
ẳ
ng (ABC) là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a c
ạ
nh BC. Tính theo a th
ể
tích
kh
ố
i chóp A'.ABC và tính cosin c
ủ
a góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AA', B'C'.
a
2a
a 3
I
C'

B'
A'
B
C
A

Bài 9:

[ĐVH].
Cho hình h
ộ
p
đứ
ng ABCD A'B'C'D' có
đ
áy ABCD là hình vuông. G
ọ
i O là tâm c
ủ
a ABCD và
OA' = a. Tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i h
ộ
p khi:
a)

ABCD A'B'C'D' là kh
ố
i l
ậ
p ph
ươ
ng.
b)
OA' h
ợ
p v
ớ
i
đ
áy ABCD m
ộ
t góc 60
0
.
c)
A'B h
ợ
p v
ớ
i (AA'CC') m
ộ
t góc 30
0
.
Đ

/s: a)
3
2 6
9
a
V = ; b)
3
3
4
a
V = ; c)
3
4 3
9
a
V =
Bài 10:

[ĐVH].
Cho h
ộ
p ch
ữ
nh
ậ
t ABCD A'B'C'D' có AA' = a bi
ế
t
đườ
ng chéo A'C h

ợ
p v
ớ
i
đ
áy ABCD m
ộ
t
góc 30
0
và m
ặ
t (A'BC) h
ợ
p v
ớ
i
đ
áy ABCD m
ộ
t góc 60
0
. Tính th
ể
tích h
ộ
p ch
ữ
nh
ậ

t.
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Đ/s:
3
2 2
3
a
V =
Bài 11:

[ĐVH].
Cho hình h
ộ
p
ABCD A'B'C'D'
có
AB
=
a;

AD
=
b
;
AA'
=
c
và


0
30
BAD =
và bi
ế
t c
ạ
nh bên
AA'
h
ợ
p v
ớ
i
đ
áy
ABC
m
ộ
t góc 60
0
. Tính th
ể
tích l
ă
ng tr
ụ
.
Đ
/s:

3
4
abc
V =

Bài 12:

[ĐVH].
Cho hình h
ộ
p
ABCD A'B'C'D'
có 6 m
ặ
t là hình thoi c
ạ
nh
a
, hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
A'
trên
(
ABCD
) n
ằ
m trong hình thoi, các c

ạ
nh xu
ấ
t phát t
ừ

A
c
ủ
a h
ộ
p
đ
ôi m
ộ
t t
ạ
o v
ớ
i nhau m
ộ
t góc 60
o
.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng

H
n
ằ
m trên
đườ
ng chéo
AC
c
ủ
a
ABCD.
b)
Tính di
ệ
n tích các m
ặ
t chéo
ACC'A'
và
BDD'B'.
c)
Tính th
ể
tích c
ủ
a h
ộ
p.
Đ
/s: b)

2 2
' ' ' '
2;
ACC A BDD B
S a S a
= =
c)
3
2
2
a
V =