tích phân ôn thi đại học môn toán 2015

GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
1
Chủ đề 1 : NGUYÊN HÀM ( TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH )
1) Định nghĩa : F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a; b)
⇔
……………….
2) Họ nguyên hàm :
f(x).dx F(x) C
=
+
∫
, với C là hằng số
3) Bảng nguyên hàm :
Hàm cơ bản : Hàm chứa (ax + b)
dx x C=+
∫



α 1
α
x
x.dx C
α 1
+
=+
+
∫

()

α 1
α
1(ax b)
ax b dx C
a α 1
+
+
+
=+
+
∫

dx
ln x C
x
=+
∫

dx 1
ln ax b C
ax b a
=
++
+
∫

2
dx 1
xx
C=− +

∫

2
dx 1 1
.C
(ax b) a ax b
=
−+
++
∫

dx
2x C
x
=+
∫

dx 2
ax b C
a
ax b
=
++
+
∫

x
x
a
adx C

lna
=+
∫

ax b
ax b
1a
adx C
alna
+
+
=
+
∫

xx
edx e C=+
∫

ax b ax b
1
edx e C
a
++
=
+
∫

sinx.dx cosx C=− +
∫

1
sin(ax b).dx cos(ax b) C
a
+
=− + +
∫

cosx.dx sinx C=+
∫

1
cos(ax b).dx sin(ax b) C
a
+
=++
∫

2
dx
tanx C
cos x
=+
∫

2
dx 1
tan(ax b) C
cos (ax b) a
=

++
+
∫

2
dx
cotx C
sin x
=− +
∫

2
dx 1
cot(ax b) C
sin (ax b) a
=
−++
+
∫

22
dx 1 x a
ln C
xa 2axa
−
=+
−+
∫

nn1
dx 1
C
x(n1)x
−
−
=+
−
∫

nn1
dx 1 1
C
(ax b) a (n 1)(ax b)
−
=
−+
+−+
∫
GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
2
4) Cách tìmnguyên hàm : Biến đổi tích hoặc thương, tổng, bạ bậc, khai triển lũy
thừy, chia đa thức
…

Căn thức thành lũy thừa :
m
m
n

mnmn
n
nn
1x
xx; x; x
xx
−
−
===

5) Công thức thường dùng :

2
2
1 cos2u
cos u
2
1cos2u
sin u
2
+
=
−
=

2
2
2
2
1

1tanu
cos u
1
1cotu
sin u
=+
=+

3
3
3cosu cos3u
cos u
4
3sinu sin3u
sin u
4
+
=
−
=








22
2

2
sin2u 2sinu.cosu
cos2u cos u sin u
cos2u 2cos u 1
cos2u 1 2sin u
=
=−
=−
=−
VD1 : TÌM HỌ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SAU:
a/
23
f(x) (2x 1)=+
; b/
2
f(x) (tan x cot x)=+

c/
3
2
2x 5x 2
f(x)
x
−+
=
; d/
2x x
x
e3e2
f(x)

e1
−
+
=
−

GIẢI
a/
642
f(x) 8x 12x 6x 1=+ ++
, suy ra:
642
f(x) 8xdx 12xdx 6xdx 1dx=+ ++
∫
∫∫∫

753
812
xx2xxC
75
=+ +++

b/
22
22
11
f(x) tan x cot x 2 1 1 2
cos x sin x
⎛⎞⎛⎞
= + += −+ −+

⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

22
11
cos x sin x
=+

Suy ra:
22
11
f(x)dx dx dx tan x cot x C
cos x sin x
=+=−+
∫∫ ∫

c/
2
52
f(x) 2x .
xx
=−+
suy ra:
GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
3

22
12
f(x)dx 2 xdx 5 dx 2 x dx x 5ln x C

xx
−
=− + =−−+
∫∫∫∫

d/
2x x x x x x
xx
e e 2(e 1) e (e 1) 2(e 1)
f(x)
e1 e1
−− − −− −
==
−−
xx
x
x
(e 1)(e 2)
e2
e1
−−
=
=−
−

Suy ra:
xx
f(x)dx e dx 2dx e 2x C=−=−+
∫∫∫

BT1 : tìm họ nguyên hàm các hàm số sau
1/
52
1
f(x) x 3x 5
x
=+ −−
2/
5432
37920
f(x)
xxxx
=+−+

3/
57 9
2
x4x2x87x
f(x)
x
+−+−
=
4/
3
4
f(x) x x 4 x=++

5/
f(x) ( x 1)(x x 1)=+−+
6/

x
xx
2
e
f(x) e (7 3e )
cos x
−
−
=−+

7/ (soạn)
x
x
2
e
f(x) e 2
sin x
−
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
8/
(
)
xx2x1
f(x) 2 3 .2
−
=+

9/
7
f(x) 2sinx 3cosx
x
=−+
10/
22
f(x) tan x 3cot x=−

11/
2
f(x) (2tanx cotx)=+
12/
22
1
f(x)
sin x.cos x
=

Bài soạn : tìm họ nguyên hàm các hàm số sau
1/
()
()
2
5
f(x) x 3x x 1=− −
2/
f(x) 3sinx 7cosx
=
−

3/
15 4 6
3
3x 7x 2x 8 10x
f(x)
x
+−+−
=
4/
x3
f(x) 2 x 3e 4sin x 8 / x=−+ −

5/
22
6
f(x)
sin x.cos x
=
6/
xx
f(x) e (5 3e )
−
=+

7/
32
f(x) x 3x 4x 3=− ++
; 8/
22

f(x) 2x(x 3x)=+
; 9/
xx
f(x) 4sin cos
22
=

GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
4
10/
x
f(x) 2sin x 3cos x 5e=++
; 11/
2
f(x) tan x 3
=
−
12/
2
1
f(x) (2 )
x
=−

13/
3
(x 2)
f(x)
x

−
=
; 14/
2x 1 3x 2
f(x) 2 .3
+
+
=
15/
x2
f(x) (3 2)=−

VD2 : TÌM HỌ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SAU:
a/
3
f(x) (2x 1)=+
; b/
(
)
f(x) cos 3x 2
=
−

c/
2
f(x)
7x 1
=
+
; d/

x
f(x) e
−
=
e/
10
f(x) (7 3x)=−

Giải : a/ sử dụng công thức
()
α 1
α
1(ax b)
ax b dx C
a α 1
+
+
+
=+
+
∫


4
3
1(2x 1)
f(x)dx (2x 1) dx . C
24
+
=+= +

∫∫

b/ sử dụng công thức
1
cos(ax b).dx sin(ax b) C
a
+
=++
∫


() ()
1
f(x)dx cos 3x 2 dx .sin 3x 2 C
3
=−= −+
∫∫

c/ sử dụng công thức
dx 1
ln ax b C
ax b a
=++
+
∫


2dx2
f(x)dx dx 2 .ln 3x 2 C
7x 1 7x 1 7

===−+
++
∫∫ ∫

d/ sử dụng công thức
ax b ax b
1
edx e C
a
++
=
+
∫

xxx
1
f(x)dx e dx e C e C
1
−−−
==+=−+
−
∫∫
( chú ý hệ số a trong bài này là -1 )
e/ giống bài a/
11
10
1(73x)
f(x)dx (7 3x) dx . C
311
−

=− = +
−
∫∫

GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
5
BT2 : Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau ( sử dụng ……………… )
1/
2
f(x) sin x=
; 2 /
2
f(x) sin 7x=
; 3/
2
f(x) cos 4 x=
; 4/
4
f(x) cos x=

5/
4
f(x) sin 2x=
; 6/
22
f(x) 7sin x.cos x=
; 7 /
f(x) sin 2x.cos x=

8/
f(x) sin 4x.sin 6x=
; 9 /
f(x) cos 6x.cos 2 x
=
; 10 /
(
)
f(x) cosx. 3 cosx=+

11 /
(
)
f(x) cosx. sin 3x sinx=+
; 12 /
32
x3x6x5
f(x)
x1
+
−+
=
+
;
13/
1
f(x)
x9 x
=
+−

; 14/
2
3x 6x 5
f(x)
2x 1
−
+
=
+

14/
2
3
f(x)
π
cos 2x
4
=
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
; 15 /
6x 5
f(x)
2x 5
−
+
=
−

16/
(HV Quan Hệ Quốc Tế - 1997)
(
)
(
)
44 66
f(x) sin x cos x . sin x cos x=+ +

17/
(ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối A)
42
2
xx1
f(x)
xx1
+
+
=
+
+

18/
(ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối D)
42
2
x2x2x
f(x)
xx1

+
++
=
++

19/
(ĐH Ngoại Thương – 2000 - Khối D)
cos2x
f(x)
sinx cosx
=
+

20/
44
f(x) cos x sin x=−
; 21/
2
x1
f(x)
x2
−
⎛⎞
=
⎜⎟
+
⎝⎠

22/
f(x) cos5x.cos 2x.sinx=

VD3 : a/ Tìm A, B sao cho
2
3x 7 A B
x 4x3 x1x3
+
=+
++ + +
(
x1;3≠−
)
b/ Tính
2
3x 7
Idx
x4x3
+
=
++
∫

GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
6
Giải :a/
()()
2
3x 7 A B
3x 7 A x 3 B x 1
x4x3x1x3

+
=+⇔+=+++
++ + +

()
AB3 A2
3x 7 A B .x 3A B
3A B 7 B 1
+
==
⎧⎧
⇔+=+ ++⇔ ⇔
⎨⎨
+
==
⎩⎩

b/
2
3x 7 2 1
I dx dx 2ln x 1 ln x 3 C
x 4x3 x1x3
+
⎛⎞
==+=++++
⎜⎟
++ + +
⎝⎠
∫∫

BT4 : Tính các nguyên hàm sau ( sử dụng pp ……………… )
2
3x 4
Adx
x4x5
+
=
+−
∫
;
2
x7
Bdx
x8x9
+
=
+−
∫
;
2
1
Cdx
xx2
=
−−
∫

()
dx
D

xx 1
=
+
∫
;
()()()
2
x1
Edx
x2x2x3
−
=
+−−
∫
;
2
x
Fdx
xx6
−
=
+−
∫
;
2
3
Gdx
x7x12
=
++

∫
;
2
8
Fdx
x10x9
−
=
++
∫

VD4 : Tính các nguyên hàm sau ( sử dụng pp đổi biến số )
a/
sinx
Ae.cosxdx=
∫
; b/
2
2x 4
Bdx
x4x5
+
=
+−
∫

c/
5
ln x
Cdx

x
=
∫
; d/
x
x
e
Ddx
e1
=
+
∫

Giải : a/
sinx
Ae.cosxdx=
∫
; đặt
t sinx dt cosxdx
=
⇒=

Vậy
tt sinx
Ae.dteCe C==+=+
∫

b/
2
2x 4

Bdx
x4x5
+
=
+−
∫
Đặt
(
)
2
tx 4x5 dt 2x4dx=+−⇒= +

Vậy
2
dt
B lnt C lnx 4x 5 C
t
==+= +−+
∫

c/
5
ln x
Cdx
x
=
∫
; đặt
dx
tlnx dt

x
=⇒=

GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
7
Vậy
66
5
tlnx
Ct.dt C C
66
==+=+
∫

d/
x
x
e
Ddx
e1
=
+
∫
; đặt
xx
te 1 dtedx=+⇒=

Vậy :
x

dt
DlntClne1C
t
==+= ++
∫

CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ CẦN NHỚ
Dạng Tích Phân Cách Giải
f(x)
.d x
g
(x)
∫

+ Nếu bậc tử
≥
bậc mẫu ta chia đa thức

+ Nếu bậc tử
<
bậc mẫu ta xem tử có phải là đạo hàm
của mẫu hay ko ? nếu có đặt t = mẫu số

+ Nếu ko có 2 trường hợp này ta sẽ làm theo dạng
khác sẽ trình bày ở phần khác
n
dx
∫

Đặt

n
t
n
t =⇒=
sau đó lấy đạo hàm 2 vế
dx
f(lnx).
x
∫

Đặt
dx
tlnxC dt
x
=+⇒=

f(cosx).sinxdx
∫

f(sinx).cosxdx
∫

2
dx
f(tanx)
cos x
∫

2
dx

f(cotx)
sin x
∫

Đặt
cos sintxCdt xdx=+⇒=−

Đặt
sin costxCdt xdx=+⇒=

Đặt
2
tan
cos
dx
txCdt
x
=+⇒=

Đặt
2
cot
sin
dx
txCdt
x
=+⇒=−

xx
f(e ).e dx

∫
Đặt
xx
te C dtedx=+⇒=

nn
dx dx
,
sin x cos x
∫∫

với n chẵn
Đưa về
242 2 4 2
11 1 1 1 1
. , .
sin sin sin cos cos cos
nn n n
dx dx
x
xxxx
−− − −
∫∫

Và Đặt
2
tan
cos
dx
txCdt

x
=+⇒=

GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
8
n
sin xdx
∫
hay
n
cos xdx
∫

với n
chẵn
Dùng công thức hạ bậc
22
1 cos2u 1 cos2u
cos u ; sin u
22
+
−
==

n
sin xdx
∫
hay
n

cos xdx
∫

với n
lẽ
Tách
nn1
sin xdx sin x.sinxdx
−
=
∫∫
, đặt t = cosx

nn1
cos xdx cos x.cosxdx
−
=
∫∫
, đặt t = sinx
2
Ax B
dx
ax bx c
+
++
∫


+ Nếu mẫu có 2 nghiệm
12

x, x
, ta đưa về
12
Ax B
dx
a(x x )(x x )
+
−−
∫

Sau đó dùng pp hệ số bất định
+ Nếu mẫu có nghiệm kép
0
x
,
ta đưa về
2
0
Ax B
dx
a(x x )
+
−
∫


+ Nếu mẫu vô nghiệm ,đưa về

22
Ax B

dx
XD
+
+
∫
và đặt X = D.tant
t;
22
π
π
⎛⎞
∈−
⎜⎟
⎝⎠


1/
2
R(x, x )a −
thì đặt x = sint
2/
2
R(x, x )a +
thì đặt x = atant
BT5: Tính các nguyên hàm sau ( sử dụng pp ………………… )

212
Ax(2x)dx=−
∫

2
xdx
B
x1
=
+
∫


C14sinx.cosx.dx=+
∫

2
Dx.x1.dx=+
∫


3
4
Ex.1x.dx=−
∫

dx
F
2x. 2 ln x
=
+
∫

GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN

Đt : 0914.449.230 Email :
9
x
x
e.dx
G
1e
=
+
∫

2
11x
Hln.dx
1x 1x
+
⎛⎞
=
⎜⎟
−−
⎝⎠
∫

x1
Idx
3x 1
+
=
+
∫

2
3
xdx
J
2x e
=
+
∫

53
Kx2x.dx=−
∫

23lnx
Ldx
x
+
=
∫

2
cos x
Pdx
sin x
=
∫

cot x
2

e
Q.dx
sin x
=
∫

74 5
R2x.(x1).dx=−
∫

xdx
O
2x 1
=
+
∫

3
xdx
M
(2x 1)
=
+
∫

5
N
cos xdx=
∫

tanx
2
e
Wdx
cos x
=
∫

()
1
Sdx
x. 4lnx 7
=
+
∫

3
Tsinxdx=
∫

3
dx
V
x5
=
−
∫

BT6: Tính các nguyên hàm sau :
A cot x.dx=

∫

B tanx.dx=
∫

()
2
2
C 2 sin x .sin2x.dx=−
∫

()
4
2
sin2x
D.dx
3cosx
=
+
∫
;
sinx cosx
E.dx
sinx cosx
−
=
+
∫

(

)
44
F cos x sin x .cos 2x.dx=+
∫

()
66
G 4 cos x sin x .cos 2x.dx=+
∫

5
1
H.dx
tan x
=
∫

x
1
K.dx
e1
=
+
∫

5
7
sin x
L.dx
cos x

=
∫

GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
10
3
2
sin x
M.dx
cos x
=
∫

22
4
3sin2
N
.d x
cos x 5sin x
x
=
+
∫

BT7: Tính các nguyên hàm sau :
10
x
A.dx
x1

=
+
∫
(HV CNBCVT – 1999)
xx
dx
B
e4e
−
=
−
∫
(ĐHQG Hà Nội – 1999)
4
C 6sin 2x.cos xdx=
∫
(ĐH Thủy Lợi– 2001)
VD5 : a/ Tìm một nguyên hàm của hàm số
2
f(x) tan x=
, biết
π
F( ) 0
4
=

b/ Cho hàm số
f
xx x() sin cos2=+
. Tìm nguyên hàm

Fx()
của hàm
số
fx()
biết
F
22
π
π
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠

Giải : a/
2
2
1
f(x)dx tan xdx 1 dx tan x x C F(x)
cos x
⎛⎞
==−=−+=
⎜⎟
⎝⎠
∫∫ ∫


πππ π π
F( ) tan C 1 C 0 C 1
444 4 4

=−+=−+=⇔=−

Vậy
π
F(x) tan x x 1
4
=
−+ −

b/
()
1
sin cos2 sin 2 cos
2
x
xdx x x C+=−+
∫


()
22 2
FC
π
ππ
=⇔=
. Vậy
()
1
sin 2 cos
22

Fx x x
π
=
−+

BT8: Tìm một nguyên hàm của các hàm số sau
a/
32
2
x3x3x1
f(x)
x2x1
++−
=
++
biết
F(1) 1/ 3
=
(TN THPT – 2003)
b/
f(x) x sin x=+
biết
π 22
F( )
43
=

GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
11

c/
2x 1
f(x) e cos 2x 3
−
=+ +
biết
3
F(0)
e
=

d/
2
12x
f(x)
x
+
=
biết
F( 1) 3−=

e/
()
f(x) cos x. 2 3tan x=−
biết
F(π)1
=

Chủ đề 2 : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1) Định nghĩa :

b
b
a
a
f(x)dx F(x) F(b) F(a)==−
∫

với
∫
là dấu tích phân ; a là ………… ; b là ……………
VD :
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

2) Tính chất của tích phân :

a
a
ab
ba
1) f(x)dx 0
2) f(x).dx f(x).dx
=
=−
∫
∫∫

[]

bbb
aaa
bb
aa
3) f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx
4) k.f(x)dx k f(x)dx
±= ±
=
∫∫∫
∫∫
5) nếu
c[a; b]∈
thì
bcb
aac
f(x)dx f(x)dx f(x)dx=+
∫∫∫
( công thức Sac-Lơ)
6) nếu
f(x)
liên tục trên đọan
[a; b]
và
f(x) 0≥
thì
b
a
f(x)dx 0≥
∫

7) nếu
A f(x) B≤≤
thì
bb b
aa a
A.dx f(x).dx B.dx≤≤
∫∫ ∫
( A, B là h
ằ
ng s
ố
)
BT9: Tính các tích phân sau đây :
GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
12
()
1
2
0
Ax.2x1dx=−
∫

()
ln 2
xx
0
Be.3e5dx
−
=−

∫

()
x
2
x
1
1x.e x
Cdx
x.e
+−
=
∫

π
4
π
6
D cos4x.cos3x.dx=
∫

π
6
π
4
E sin3x.sinx.dx
−
=
∫

π
4
2
0
Fsinxdx=
∫

()
π
4
2
0
G4tanx3cosxdx=−
∫

2
2
0
3x x 1
Hdx
x1
−−
=
+
∫

1
4
2
2

0
x
Kdx
x1
=
−
∫
(ĐHQG – 97)
1
2
0
4x 11
Ldx
x5x6
+
=
++
∫

1
3
2
0
x
Mdx
x2x1
=
++
∫

π
2
π
4
O cos 2x.sin 3x.dx=
∫

π
3
2
0
2
N
(2sin x 3cos x )dx
cos x
=+−
∫

π
2
2
0
π
Psinx(2x )dx
4
=−
∫

π
4

4
0
Q cos 2x.dx=
∫

2
3
2
0
x3x2
R.dx
x3x2
++
=
++
∫

3
2
3
2
x23
I.dx
xx
x++
=
−
∫

1

2
0
3x 2
J.dx
x5x6
+
=
−−
∫

4
1
2
3
dx
I
x3x2
=
−
+
∫

1
3
2
2
2
0
x1
I.dx

x1
−
=
−
∫

1
3
2
0
2xdx
I
x4
=
−
∫

2
4
0
Isin x.dx
4
π
π
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
∫

π
2
3
5
2
π
4
3cotx
I.dx
cos x
−
=
∫

1
6
2
0
x(x 1)
I.dx
x4
−
=
−
∫
(Dự Bị D – 2007)
π
2
7
0

Isin2xcosx.dx=
∫

π
3
2
8
0
4sin x
I.dx2
1cosx
==
+
∫
(ĐH Đà Nẵng – 1998)
(Soạn)
3
42
9
2
1
x2x6 3813
I.dxln
x4 325
−−
==+
−
∫

(Soạn)

π
2
2
10
0
π
I cos x.dx
4
==
∫
(ĐH Bách Khoa – 1994)
GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
13
(Soạn)
π
2
4
11
0
3π
I sin x.dx
16
==
∫
(ĐH Hùng Vương – 1997)
(Soạn)

π
3

12
0
3
Isin5x.cosxdx
16
==
∫
và
π
3
13
π
6
3
I sin 5x.cos3xdx
16
==
∫

BT10: Tính các tích phân sau đây :
1
32
1
2
Ixx2xdx
−
=+−
∫

2

2
2
0
Ixxdx=−
∫
(D – 2003)
()
2
2
3
0
I3x5x1xdx=++−
∫

3
2
4
4
71
Ix4dx
3
−
=−=
∫

2
2
5
2
56

Ix4x3dx
3
−
=−+=
∫
(HVCN BCVT – 1998)
4
2
6
1
5
I x 6x 9.dx
2
=−+=
∫

()
2
7
2
I 2 x .dx 12
−
=
+=
∫

2
32
8
1

37
I2xx2.dx
12
x
−
=−−+ =
∫
(ĐH SP Tp.HCM – 1999)
π
9
0
I1cos2x.dx22=+ =
∫
(ĐH KTCN – 1999)
3) Phương pháp đổi biến số cơ bản cần nhớ :


β
α
I f(u(x)).u'(x)dx=
∫
ta đặt
tu(x) dtu'(x).dx=⇒=


Sau đó đổi cận
Suy ra
u(β)
u(α)
I f(t).dt=

∫
sau đó giải bình thường bằng công thức tích phân cơ bản

x
α

β

t
u
(
α
)

u
(
β)
GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
14
VD6 : Tính các tích phân :
1
536
0
Ix(1x)dx=−
∫

3
2
0

4x
Jdx
x1
=
+
∫

π
4
2
0
tanxdx
K
cos x
=
∫

π
2
0
cosx.dx
L
1sinx
=
+
∫

Giải : ☺ a/ Viết lại I dưới dạng:
1
3362

0
Ix(1x)xdx=−
∫

Đặt t =
3
1x−
suy ra
2
dt 3x dx=−

Đổi cận: + x = 0 thì t = 1 + x = 1 thì t = 0
Khi đó:
1
011
666778
100
0
111 1111
I(1t)tdt(1t)tdt(tt)dttt
3 3 3 3 7 8 168
⎛⎞
=−−=−= −= − =
⎜⎟
⎝⎠
∫∫∫


☺ b/
3

2
0
4x
Jdx
x1
=
+
∫
Đặt u =
2
x1
+

suy ra:
22
u x 1 2udu 2xdx udu xdx=+⇒ = ⇔ =

Đổi cận: + Với x = 0 thì u = 1 + Với
x3=
thì u = 2
Từ đó:
2
322
2
011
1
4x udu
J dx4 4du4u 4
u
x1

=====
+
∫∫∫


☺ c/
π
4
2
0
tanxdx
K
cos x
=
∫
Đặt u = tanx suy ra
2
dx
du
cos x
=

Đổi cận: + x = 0 thì u = 0 + x =
4
π
thì u = 1
Từ đó:
π
1
1

4
2
2
0
00
tanxdx 1 1
K udu u
cos x 2 2
====
∫∫
☺d/
π
2
0
cosx.dx
L
1sinx
=
+
∫
Đặt u = sinx, suy ra du = cosx.dx
Đổi cận: + Với x = 0 thì u = 0 + Với
x
2
π
=
thì u = 1
GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
15

Từ đó:
π
1
2
1
0
00
cosx.dx du
Lln1uln2ln1ln2
1sinx 1u
===+=−=
++
∫∫

BT11: Tính các tích phân sau đây :
1
210
1
0
I (1 3x)(1 2x 3x ) dx=+ ++
∫

1
32
2
0
2
Ix.1xdx
15
=−=

∫
(ĐH Ngoại Thương – 96)

π
2
3
0
cos x
Idx
1sinx
=
+
∫
(CĐ Marketing – 97)
1
19
4
0
Ix(1x)dx=−
∫


1
5
5
2
0
x
Idx
x1

=
+
∫

23
6
2
5
dx 1 5
Iln
43
xx 4
==
+
∫ (A – 2003)
7
3
7
3
2
0
xdx 141
I
20
1x
==
+
∫

1

8
0
Ix1xdx=−
∫

4
3
2
9
3
2
x4
Idx
x
−
=
∫

2
3
10
2
1
dx
I
xx 1
=
−
∫

3
11
3
1
2
x12
Idx
5
2x 2
−
==
+
∫
( Dự Bị A – 2008)
π
3
12
2
π
6
cosxdx
I
sin x 5sin x 6
=
−
+
∫

π
3

3
13
0
sin xdx 5 6
Iln
cos x 2 8 5
==−
+
∫

π
2
14
2
0
cosx 1 8
Idxln
11 7sin x cos x 3 5
==
−−
∫

ln 2
15
x
0
dx
I
e1
=

+
∫

ln 2
2x x
17
2x x
0
e3e 27
Idxln
e3e2 16
+
==
++
∫

1
18
42
0
xdx
I
x4x3
=
++
∫

1
2
19

0
x1 23
Idx
30
x1
−
=
=−
+
∫

7
3
20
3
2
0
x
Idx
1x
=
+
∫

3
53
21
2
0
x2x

Idx
x1
+
=
+
∫

GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
16
1
22
0
x1
Idx
3
2x 1
==
+
∫
(ĐHQG – 1998) 
2π
3
23
π
2
dx
I
sinx
=

∫

π
2
23
24
0
15
Isin2x(1sinx)dx
4
=+ =
∫

π
2
44
25
0
I cos2x(cos x sin x)dx=+
∫

π
2
3
26
0
2
I cos xdx
3
==

∫
(ĐH KTCN – 99)
π
2
23
27
0
2
Isinx.cosxdx
15
==
∫
(ĐHQG – 98)
π
2
5
28
0
8
Isinxdx
15
==
∫

BT12: Tính các tích phân sau đây :
ln5
xx
ln3
dx
A

e2e 3
−
=
+−
∫
(B – 2006)
1
x
x
0
e
Bdx
1e
−
−
=
+
∫
(ĐHQG – 1996)
ln8
x2x
ln3
1076
Ce1.e.dx
15
=+ =
∫
(Dự Bị D – 2004)
3
2

x
1
dx
Dln(1)2
e1
ee==++−
−
∫
(D – 2009)
1
2x 2x
x
0
xe2x.e 1112e
Edx.ln
12e 3 2 3
++ +
==+
+
∫
(A – 2010)
π
2
32
0
8 π
F(cos 1)cos.dx
15 4
xx=− =−
∫

(A – 2009)
π
2
0
sin2x sin x 34
G.dx
27
13cosx
+
==
+
∫
(A – 2005)
GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
17
π
2
0
sin2x.cosx
Hdx2ln21
1cosx
==−
+
∫
(B – 2005)
e
1
1 3ln x.ln x 116
Kdx

x 135
+
==
∫
(B – 2004)
e
1
32lnx 10211
Ldx
3
x 1 2lnx
−−
==
++
∫
(Dự Bị B – 2006)
π
2
0
sin2xdx 1
Hln2
34sinxcos2x 2
==−
+−
∫
(Dự Bị A – 2008)
()
1
3
42

0
x1
K dx 2ln3 3ln 2
x3x2 2
==−
++
∫
(D – 2012)
Soạn :
()
2
1
x
1
dx
Ilne1
1e
−
==+
−
∫
;
1
2
x
0
dx 1 5e
Iln
4e 4 e4
==

+
+
∫


2
2x
2
3
x2
0
edx 2
Ilne1
e1 e1
== +−
++
∫
(ĐH Văn Lang – 1996)
BT13:
Tính các tích phân sau đây :
1/
π
2
22
0
sin2x 2
Idx
3
cos x 4sin x
==

+
∫ (A – 2006)
2/
π
4
0
xsinx (x 1)cosx 2 2
Idxln()
xsinx cosx 4 8 2
ππ
++
==++
+
∫ (A – 2011)
3/
4
0
4x 1 34 3
Idx10ln
35
2x 1 2
−
==+
++
∫
(D – 2011)
4/
3
0
x8

Idx
3
x1
==
+
∫
(CĐ – 2011)
GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
18
5/
()
32
e
1
x1lnx2x1
e2
Idxln
2xlnx 2
+++
+
==
+
∫
(Thi Thử A,A1 – 2012)
6/
()
1
42 2
2

1
3
6x 3
I ln 3x x 2lnx dx ln 2
3x 1 2
⎡⎤
=+−=
⎣⎦
+
∫
(Thi Thử D – 2012)
7/
e
2
1
lnx 3 1
Idxln
x(2 lnx) 2 3
⎛⎞
==−
⎜⎟
+
⎝⎠
∫
(B – 2010)
8/
1
0
2x 1
Idx23ln2

x1
−
==−
+
∫
(CĐ – 2010) ; 9*/
e
3
2
3
2
1
log x 4
Idx
27ln 2
x. 1 3ln x
==
+
∫

10/
3
1
x3
Idx6ln38
3x 1 x 3
−
−
==−
++ +

∫
(CĐ Xây Dựng – 2005)
11/
1
2
0
22 1
Ix2xdx
3
−
=−=
∫
(B – 2013)
12/
1
2
2
0
(x 1)
Idx1ln2
x1
+
==+
+
∫
(D – 2013)
13/
2
2
2

1
x1 5ln23
Ilnx.dx
x2
−−
==
∫
(A – 2013)
Bài Tập Làm Thêm
1/
7/3
3
0
x1 46
Idx
15
3x 1
+
==
+
∫

2/
7
3
0
x 2 141
Idx
10
x1

+
==
+
∫

3/
()
1
3
0
x.dx 1
I
8
x1
==
+
∫

4/

=−
++ +
∫
6
2
dx 3 1
I=ln
212
2x 1 4x 1

GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
19
Chủ đề 3 : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Bài toán đưa ra : tính
bb
aa
I f(x)dx u.dv==
∫∫

ta đặt
u du =⇒=
( lấy vi phân )

dv v =⇒=
( lấy nguyên hàm )
Sau đó suy ra :
[]
.
bb
b
a
aa
udv uv vdu=−
∫∫

Phương pháp :
Ta đặt u = đa thức ( P(x) ) ,lnx, sinx, cosx… ( những hàm dễ lấy đạo hàm)

dv =
x
e
,sinx, cosx……. nguyên hàm
Dạng
().
b
x
a
Px edx
∫

().sin
b
a
P
xxdx
∫

().cos
b
a
Px xdx
∫
().ln
b
a
Px xdx
∫

.cos
b
x
a
exdx
∫

u P(x) P(x) P(x) lnx Cosx
dv
x
edx

sin xdx

cos xdx

()Pxdx

x
edx

VD7 : Tính các tích phân sau :
π/2
0
A x.sinx.dx=
∫
;
1
x
0

Bxe.dx=
∫
;
π/2
0
Cxcosx.dx=
∫

e
1
D x.lnx.dx=
∫
;
π/2
2
0
E x sinxdx=
∫
;
e
1
F lnxdx=
∫

Giải : ☺
π/2
0
Ax.sinx.dx=
∫
Đặt:

ux dudx
dv sin xdx v cos x
==
⎧⎧
⇒
⎨⎨
==−
⎩⎩
Vậy:

π/2 π/2 π/2
π/2 π/2
00
00 0
A udv uv vdu x cos x cos xdx==−=− +
∫∫ ∫


π/2
0
cos x 0.cos0 sin x 0 0 sin sin 0 1
22 2
π
ππ
=− + + = + + − =

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
20

☺
1
x
0
Bxe.dx=
∫
Đặt:
xx
ux dudx
dv e dx v e
==
⎧⎧
⇒
⎨⎨
==
⎩⎩

11 1
1x1xx1
00 0
00 0
B udv u.v v.du xe e dx e 0 e e e 1 1==− =− =−−=−+=
∫∫ ∫

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
☺
π/2
0
Cxcosx.dx=
∫

Đặt:
ux dudx
dv cos xdx v sin x
==
⎧⎧
⇒
⎨⎨
==
⎩⎩

π/2
πππ
222
000
0
C xsin x sin xdx cos x 0.cos0 sin x 1
22
ππ
=− =+++=−
∫

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
☺
e
1
D x.lnx.dx=
∫
Đặt:
2
1

du dx
ulnx
x
dv xdx
x
v
2
⎧
=
⎪
=
⎧
⎪
⇒
⎨⎨
=
⎩
⎪
=
⎪
⎩


e
222
e
11
1
xe1x
Dln dxlnln1

22224
e
x
xe=−=−−
∫


22 2 2
e e 1e 1e1
0
244444
+
=−−+=+=

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
☺
π/2
2
0
E x sinxdx=
∫
; Đặt:
2
du 2xdx
ux
vcosx
dv sinxdx
=
⎧
=

⎧
⇒
⎨⎨
=−
=
⎩
⎩

Nên
π/2 π/2
2 π/2
0
00
E x cos x 2xcosxdx 2x.cosxdx=− + =
∫∫

Tính
π/2
0
2xcosxdx
∫
Đặt:
u2x du2dx
dv cosxdx v sin x
==
⎧⎧
⇒
⎨⎨
==
⎩⎩

GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
21
⇒
π/2
0
2xcosxdx
∫
=
π/2
π/2 π/2
00
0
2xsin x 2 sin xdx 2cosx 2
ππ
−
=+ =−
∫

Vậy:
π
2
2
0
x sinxdx π 2
=
−
∫

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
☺
e
1
F lnxdx=
∫
Đặt:
1
u ln xdx
du dx
x
dv dx
vx
⎧
=
=
⎧
⎪
⇒
⎨⎨
=
⎩
⎪
=
⎩

Vậy:
ee
ee
11

11
1
F x.lnx x dx elne 1ln1 dx e x e (e 1) 1
x
=− =−−=−=−−=
∫∫

BT14: Tính các tích phân sau đây :
1/
1
2x
0
Ix.edx=
∫ ; 2/
()
π/2
0
π
Ix1.cosxdx 2
2
=
−=−
∫
3/
π/2
0
π
I x.sin2x dx
4
==

∫ ; 4/
e
1
Ix.lnx.dx=
∫

5 /
e
23
1
21
I x .lnx.dx e
99
==+
∫
(Dự Bị Khối B – 2005)
6/
()
3
2
2
Ilnxxdx3ln32=−=−
∫
(D – 2004)
7/
π/2
2
2
0
π

Ix.cosxdx 2
4
==−
∫ (Dự Bị Khối D – 2007)
8/
()
1
2
2x
0
53e
Ix2.edx
4
−
=− =
∫
(D – 2006)
9/
()
2
1
5
I x 2 lnxdx ln 4
4
=− =−
∫
( Dự Bị D – 2006)
10/
e
4

32
1
51
Ixlnxdx
32
e −
==
∫
(D – 2007)
GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
22
11/
1
2x
0
5
Ixedx2
e
−
==−
∫

12/
2
3
1
lnx 3 2 ln 2
I.dx
x16

−
==
∫
(D – 2008)
13/
1
2
2x
2
0
xe437
Ix.e .dx
4
4x
⎛⎞
+
−
=− =
⎜⎟
−
⎝⎠
∫
(Dự Bị Khối D – 2008)
14/
/4
2
0
1
Ix(1sin2x)dx
32 4

π
π
=+ =+
∫
(D – 2012)
15/
3
2
1
1ln(x1) 2 2
Idxln2ln3
x33
++
==−+
∫
(D – 2012)
16*/
π/2
π/2
x
0
1e
Ie.sinxdx
2
+
==
∫

17/
()

cos x
0
1
Ie xsinxdxe
e
π
=+ =−+π
∫

18/
2
2
4
2
0
1
Icosxdx
82
π
π
==−
∫

19/
2
xlnx2
2
1
1
Ie edxeln2

x
⎛⎞
=+ =+
⎜⎟
⎝⎠
∫

20/
()
2
67
5
1
5e 1 e 1
Ixlnxxdx
36 7
+
−
=+=+
∫

21/
()
1
x
0
Ie2x1dxe1=+=+
∫
(Tốt nghiệp THPT – 2006)
22/

()
π/2
2
0
Ixsinxcosxdx=+
∫
(Tốt nghiệp THPT – 2006)
23/
()
π/2
0
Ix1sin2xdx 1
4
π
=+ =+
∫
(Dự Bị Khối D – 2006)
GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
23
BT15: Tính các tích phân sau đây ( ………………………… ):
Phương pháp :
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
1/
1
2
0

dx π
I
1x 4
==
+
∫ 2/
23
2
0
dx π
I
4x 6
=
=
+
∫
3/
16
2
1
dx 6
I π
x2x7 4
+
==
−+
∫

4/
0

2
1
dx π
I
x2x24
−
==
++
∫

5/
1
2
0
dx π 3
I
xx1 9
==
++
∫
6/
1
3
8
0
xdx π
I
x116
==
+

∫
7/ (soạn)
1
2
0
dx π 3
I
xx1 6
==
−+
∫
8/ (soạn)
2
2
0
dx π
I
x2x22
==
−+
∫
9*/
1
42
0
dx 1 ππ
I3
x4x324 6
⎛⎞
==−

⎜⎟
++
⎝⎠
∫
10*/
()
3
2
0
2x 3 dx
π
I23
x3 4
+
==+
+
∫
11*/
()
1
2
0
4x 3 dx
π
I2ln2
x2 x2 4
−
==−+
−+
∫

12**/
()
3
2
32
0
2x 8x 10 3 5π
Idx5ln13ln2
x x 3x3 2
43
−+
==+−−
+++
∫
GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
24
14/ (soạn)
3
2
0
dx π 3
I
x3 4
==
+
∫
BT16: Tính các tích phân sau đây ( ………………………… ):
Phương pháp :
………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
1/
1
2
0
π
I1xdx
4
=− =
∫ 2/
1
2
0
π 3
I4xdx
32
=− =+
∫
CÁC BÀI TẬP THAM KHẢO
Tính tích phân
2x
1
x
0
(x x)e
Idx
xe

−
+
=
+
∫
.
☺Ta có
2
1
0
()
I
x
x
xxe
dx
xe
−
+
=
+
∫
=
1
0
.( 1)
1
xx
x
xe x e

dx
xe
+
+
∫

Đặt
1. +=
x
ext
dxexdt
x
)1( +=⇒

Đổi cận :
01;1 1
x
tx te=⇒= =⇒=+

Suy ra

1
0
.( 1)
I
1
xx
x
xe x e
dx

xe
+
=
+
∫
1
1
(1)
e
t
dt
t
+
−
=
∫
1
1
1
1
e
dt
t
+
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
∫
.

Vậy I
()
1
1
ln ln( 1)
e
tt ee
+
=− =− +
.
Tính tích phân :
π
2
0
sin sin 2
I
cos 1
xx
dx
x
−
=
+
∫

☺
()
ππ
22
00

sin 1 2cos
sin sin 2
I
cos1 cos1
x
x
xx
dx dx
xx
−
−
==
++
∫∫

Đặt
2
cos1 cos12 sin sin 2txtxtdtxdxxdxtdt=+⇔=+⇒=−⇔ =−

Và
2
1costx−=
;
02; 1
2
xtx t
π
=⇒= = ⇒=

GV : Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
25
()
()
()
2
2
12
23
1
21
32
410
I2646
33
t
tdt t dt t t
t
−
=−=−=−=−
∫∫

Tính tích phân (CĐ – 2013)
5
1
I
121
dx
x

=
+
−
∫


☺Đặt t =
21x −
⇒ t
2
= 2x – 1 ⇒ tdt = dx
t(1) = 1; t(5) = 3
⇒ I =
3
1
1
tdt
t
+
∫
=
[
]
3
1
ln(1 ) 2 ln 2tt−+=−

Tính các tích phân sau:
a)
7

3
2
0
I1xxdx=+
∫
; b)
π
4
0
I(32)cos2
x
xdx=−
∫

a/☺ Đặt :
3
23 2 2 2
3
1132
2
txtxtdtxdxxdxtdt=+⇒=+⇒ = ⇔ =

Đổi cận:
01;7 2xtx t=⇒= = ⇒=

2
2
34
1
1

333 45
(16 1)
288 8
Itdtt⇒= = = −=
∫

b/
☺Đặt:
32 2
sin 2
cos 2
2
u x du dx
x
dv x v
=− ⇒ =−
⎧
⎪
⎨
=⇒=
⎪
⎩


4
44
00
0
sin 2 6 cos 2
(3 2 ) sin 2 ( )

242
61 8
()(01) 2
42 4 4
xx
Ix xdx
π
π
π
π
πππ
−
⇒= − + = −
−−
=−−==−
∫

Tính các tích phân sau:
0
4
.cos2Jx xdx
π
=
∫

☺Đặt
cos 2
ux
dv xdx
=

⎧
⎨
=
⎩
1
sin 2
2
du x
vx
=
⎧
⎪
⇒
⎨
=
⎪
⎩
4
0
1
cos 2
84
x
π
π
=+
1
84
π
=−