Đề ôn thi đại học môn Toán Phần 4

Trần Sĩ Tùng
Trang 39
Thuviendientu.org

2008
2S





Đề số 18

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số
23
2
x
y
x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của
(C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho
đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Câu II (2 điểm)
1) Giải phương trình:
22
1 sin sin cos sin 2cos

2 2 4 2
x x x
xx

2) Giải bất phương trình:
2
21
2
1
log (4 4 1) 2 2 ( 2)log
2
x x x x x

Câu III (1 điểm) Tính tích phân:
2
1
ln
3 ln
1 ln
e
x
I x x dx
xx

Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC =
2
a
.
3SA a
,

·
·
0
30SAB SAC

Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c =
3
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
3 3 3
1 1 1
3 3 3
P
a b b c c a
.
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng
1
:2 5 0d x y
.
d
2
: 3x + 6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; –1) sao cho đường
thẳng đó cắt hai đường thẳng d
1
và d

2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của
hai đường thẳng d
1
, d
2
.
2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A( 1; –1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4;
3; 2), D( 4; –1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình:
20x y z
. Gọi A’ là hình
chiếu của A lên mặt phẳng Oxy. Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A , B, C, D. Xác định
toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S).
Câu VIIa (1 điểm) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

2
4y x x
và
2yx
.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình:
22
1
16 9
xy
. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm
của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H).
Ôn thi Đại học

Trần Sĩ Tùng

Trang 40
2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho
: 2 5 0P x y z
và đường thẳng
3
( ): 1 3
2
x
d y z
, điểm A( –2; 3; 4). Gọi là đường thẳng nằm trên (P) đi qua
giao điểm của (d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên điểm M sao cho khoảng
cách AM ngắn nhất.
Câu VIIb (1 điểm): Giải hệ phương trình
3 1 2 3
2
2 2 3.2 (1)
3 1 1 (2)
x y y x

x xy x


Hướng dẫn:
Câu I: 2) Ta có:
2x,
2x
3x2

;xM
0
0
0
0
,
2
0
0
2x
1
)x('y

Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M :
2x
3x2
)xx(
2x
1
y:
0
0
0
2
0

Toạ độ giao điểm A, B của ( ) và hai tiệm cận là:
2;2x2B;
2x
2x2

;2A
0
0
0

Ta có:
0
0
2 2 2
22
AB
M
x
xx
xx
,
M
0
0BA
y
2x
3x2
2
yy
M là trung điểm AB.
Mặt khác I(2; 2) và IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp IAB có diện tích:
S =
2
2 2 2
0

00
2
00
23
1
( 2) 2 ( 2) 2
2 ( 2)
x
IM x x
xx

Dấu “=” xảy ra khi
3x
1x
)2x(
1
)2x(
0
0
2
0
2
0
M(1; 1) và M(3; 3)
Câu II: 1) PT
2
sin sin 1 2sin 2sin 1 0
2 2 2
x x x
x

4
xk
xk
xk

2) BPT
01)x21(logx
2

1
2
x

2
1
x
4
1
hoặc x < 0
Câu III:
2
11
ln
3 ln
1 ln
ee
x
I dx x xdx
xx

=
2(2 2)
3
+
3
21
3
e
=
3
e2225
3

Câu IV: Dùng định lí côsin tính được:
aSB
, SC = a.
Gọi M là trung điểm của SA. Hai tam giác SAB và SAC cân nên MB SA, MC SA.
Suy ra SA (MBC).
Ta có
MBCMBCMBCMBC.AMBC.SABC.S
S.SA
3
1
S.SA
3
1
S.MA
3
1
VVV

Hai tam giác SAB và SAC bằng nhau. Do đó MB = MC MBC cân tại M. Gọi N là
trung điểm của BC MN BC. Tương tự MN SA.

16
a3
2
3a
4
a
aAMBNABAMANMN
2
2
2
2222222
4
3a
MN
.
Do đó:
16
a
2
a
.
4
3a
.3a
6
1

BC.MN
2
1
.SA
3
1
V
3
ABC.S
.
Câu V: Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có

3
3
1 1 1 3 1 1 1 9
( ) 3 9x y z xyz
x y z x y z x y z
xyz
(*)


Trần Sĩ Tùng
Trang 41
Thuviendientu.org
Áp dụng (*) ta có
3 3 3 3 3 3
1 1 1 9
3 3 3 3 3 3
P
a b b c c a a b b c c a

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có :

3
3
3
3 1 1 1
3 1.1 3 2
33
3 1 1 1
3 1.1 3 2
33
3 1 1 1
3 1.1 3 2
33
ab
a b a b
bc
b c b c
ca
c a c a

Suy ra:
3 3 3
1
3 3 3 4 6
3
a b b c c a a b c
13
4. 6 3

34

Do đó
3P
. Dấu = xảy ra
3
1
4
4
3 3 3 1
abc
abc
a b b c c a

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi
1
4
abc
.
Câu VI.a: 1) d
1
VTCP
1
(2; 1)
r
a
; d
2
VTCP
2

(3;6)
r
a

Ta có:
12
. 2.3 1.6 0
ur uur
aa
nên
12
dd
và d
1
cắt d
2
tại một điểm I khác P. Gọi d là đường
thẳng đi qua P( 2; -1) có phương trình:

: ( 2) ( 1) 0 2 0d A x B y Ax By A B

d cắt d
1
, d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh I khi d tạo với d
1
( hoặc d
2
) một góc 45

0

0 2 2
2 2 2 2
3
2
cos45 3 8 3 0
3
2 ( 1)
AB
AB
A AB B
BA
AB

* Nếu A = 3B ta có đường thẳng
:3 5 0d x y

* Nếu B = –3A ta có đường thẳng
: 3 5 0d x y

Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán.
:3 5 0d x y
;
: 3 5 0d x y

2) Dễ thấy A ( 1; –1; 0)
Phương trình mặt cầu ( S):
01225
222

zyxzyx

(S) có tâm
5
;1;1
2
I
, bán kính
29
2
R

+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đường tròn ( C)
+) Phương trình đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với (P).
d:
5 / 2
5 1 1
1 ; ;
3 6 6
1
xt
y t H
zt


75 5 3
36 6
IH
, (C) có bán kính
22

29 75 31 186
4 36 6 6
r R IH

Câu VII.a: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

2
22
22
00
0
| 4 | 2 2
4 2 6 0
6
4 2 2 0
xx
x
x x x x
x x x x x
x
x x x x x

Suy ra:
26
22
02
4 2 4 2S x x x dx x x x dx
=
4 52
16

33

Câu VI.b: 1) (H) có các tiêu điểm
12
5;0 ; 5;0FF
. Hình chữ nhật cơ sở của (H) có một đỉnh
là M( 4; 3),
Ôn thi Đại học

Trần Sĩ Tùng

Trang 42
Giả sử phương trình chính tắc của (E) có dạng:
22
22
1
xy
ab
( với a > b)
(E) cũng có hai tiêu điểm
2 2 2
12
5;0 ; 5;0 5 1F F a b


2 2 2 2
4;3 9 16 2M E a b a b

Từ (1) và (2) ta có hệ:
2 2 2 2

2 2 2 2 2
5 40
9 16 15
a b a
a b a b b
. Vậy (E):
22
1
40 15
xy

2) Chuyển phương trình d về dạng tham số ta được:
23
1
3
xt
yt
zt

Gọi I là giao điểm của (d) và (P)
1;0;4I

* (d) có vectơ chỉ phương là
(2;1;1)
r
a
, mp( P) có vectơ pháp tuyến là
1;2; 1
r
n

, 3;3;3
rr
an
. Gọi
r
u
là vectơ chỉ phương của
1;1;1
r
u


1
:
4
xu
yu
zu
. Vì
1 ; ;4M M u u u
,
1 ; 3;
uuuur
AM u u u

AM ngắn nhất
AM

. 0 1(1 ) 1( 3) 1. 0
uuuur r
AM u u u u


4
3
u
. Vậy
7 4 16
;;
3 3 3
M

Câu VII.b: PT (2)
2
10
1
(3 1) 0
3 1 1
x
x
x x y
x xy x

10
01
3 1 0 1 3
xx
xx

x y y x

* Với x = 0 thay vào (1):
2
2
88
2 2 3.2 8 2 12.2 2 log
11 11
y y y y y
y

* Với
1
13
x
yx
thay y = 1 – 3x vào (1) ta được:
3 1 3 1
2 2 3.2
xx
(3)
Đặt
31
2
x
t
. Vì
1x
nên
1

4
t


x
t loaïi
t t t
t
t
y
2
2
2
1
log (3 8) 1
1
3 8 ( )
(3) 6 6 1 0
3
38
2 log (3 8)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
2
0
8
log
11
x
y

và
2
2
1
log (3 8) 1
3
2 log (3 8)
x
y







Đề số 19

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
32
34y x x
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.


Trần Sĩ Tùng
Trang 43
Thuviendientu.org
2) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m. Tìm m để d cắt (C) tại

3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.
Câu II (2điểm)
1) Giải hệ phương trình:
2
2
1 ( ) 4
( 1)( 2)
x y x y y
x x y y
(x, y
R
)
2) Giải phương trình:
33
sin .sin3 cos cos3 1
8
tan tan
63
x x x x
xx

Câu III (1 điểm) Tính tích phân:
1
2
0
ln( 1)I x x x dx

Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu
vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt
phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích

bằng
2
3
8
a
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 3 2 3 2 3
P
a b b c c a

II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC có đỉnh A(1;2), phương trình đường
trung tuyến BM:
2 1 0xy
và phân giác trong CD:
10xy
. Viết phương trình
đường thẳng BC.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D) có phương trình tham số
2 ; 2 ; 2 2x t y t z t
. Gọi là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song
với (D) và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (D). Viết phương trình của mặt
phẳng chứa và có khoảng cách đến (D) là lớn nhất.
Câu VII.a (1điểm) Tìm hệ số của số hạng chứa x

2
trong khai triển nhị thức Niutơn của
4
1
2
n
x
x
, biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn:

2 3 1
0 1 2
2 2 2 6560
2
2 3 1 1
L
n
n
n n n n
C C C C
nn
(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d
1

: x + y + 5 = 0, d
2
: x
+ 2y – 7= 0 và tam giác ABC có A(2; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d
1
và

điểm C thuộc d
2
. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4;
3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – 3 = 0. Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt
phẳng (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
MA MB MC
.
Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình
2( 1)
1
x y x y
xy
e e x
e x y
(x, y
R
)

Hướng dẫn
Câu I: 2) d có phương trình y = m(x – 3) + 4.
Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của phương trình: