HƯỚNG DẪN HỌC – NGHIÊN CỨU MÔN ĐẠI SỐ SƠ CẤP

HƯỚNG DẪN HỌC – NGHIÊN CỨU MÔN ĐẠI SỐ SƠ CẤP
Môn Đại số Sơ cấp Nghiên cứu dựa trên Tài liệu chính là: THỰC HÀNH GIẢI TOÁN SƠ CẤP Tập I – Sách
Đại học Sư phạm của các tác giả E.E.Veresova – N.S.Denisova – T.N.Poliakova (tài liệu dịch từ nguyên bản tiếng
Nga). Ngoài tài liệu chính nêu trên sinh viên (SV) cần tham khảo thêm các tài liệu khác liên quan đến các chủ đề
kiến thức sau:
• Biến đổi đồng nhất các biểu thức trên một tập.
• Phương trình và hệ phương trình (Đại số và Siêu việt)
• Bất đẳng thức và bất phương trình.
Các yêu cầu cụ thể đối với từng chủ đề kiến thức
1. Biến đổi đồng nhất các biểu thức trên một tập
- Phép biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỷ nguyên, hữu tỷ phân.
- Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức vô tỉ
- Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức mũ và lôgarit
- Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức lượng giác.
2. Phương trình và hệ phương trình
- Phương trình bậc ba và phương trình bậc bốn trên C.
- Các dạng phương trình thường gặp trên R: Phương trình chứa dấu giá trị tuyết đối – Phương trình chứa
căn thức – Phương trình mũ và lôgarit – Phương trình lượng giác.
- Hệ phương trình trên R và trên C.
3. Bất đẳng thức và bất phương trình
- Các bất phương trình thường gặp. Chú ý rằng Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai không có trong chương
trình phổ thông hiện nay.
- Chứng minh bất đẳng thức Côsi – Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi.
- Ứng dụng Bất đẳng thức Côsi để tìm GTLN – GTNN của một biểu thức.
Ngoài bài tập trong Tài liệu chính SV phải Sưu tầm và giải các bài toán liên quan đến từng chủ đề kiến thức.
Chẳng hạn với nội dung: Phương trình lượng giác SV cần Sưu tầm và giải tất cả các phương trình lượng giác
trong các đề thi Đại học từ năm 2002 đến 2009. Mỗi năm có ba đề (Khối A – B – D). Như vậy SV cần quan sát kỹ
24 Phương trình lượng giác. Từ đó nhìn ra được những yêu cầu về kỹ năng và kiến thức cho chủ đề này. Đối với
các chủ đề kiến thức khác SV cần phải tìm hiểu một cách tương tự.
Tài liệu chính đã được chuyển thành file Word nhưng còn nhiều lỗi chính tả. SV sử dụng file này để chỉnh sữa
thành tài liệu học tập cho riêng mình.

Mỗi nội dung trong từng chủ đề kiến thức là một Đề tài Tiểu luận Tốt nghiệp
……………………………………………………………………
MỞ ĐẦU
I. HÀM TRÊN MỘT TẬP BIỂU THỨC VỚI CÁC BIẾN TRÊN MỘT TẬP
Giả sử f là một quan hệ hai ngôi được xác định trên các tập A, B, nghĩa là f⊂A×B. Quan hệ hai ngôi f được gọi
là một hàm ( là một ánh xạ từ tập A vào tập B), nếu trong f không có những cặp các phần tử thứ nhất giống nhau
và phần tử thứ hai khác nhau và được kí hiệu là f:A→B.
Tập A được gọi là tập nguồn, tập B được gọi là tập đích của hàm f.
Tập {a∈A|(∃b∈B), (a,b)∈f} được gọi là miền xác định của hàm f và kí hiệu là D( f ).
Ta có D(f)={a∈A|(∃b∈B), (a,b)∈f}
Tập {b∈B|(∃a∈A), (a,b)∈f} được gọi là miền giá trị của hàm f và kí hiệu là E( f ).
Ta có: E(f)= {b∈B|(∃a∈A), (a,b)∈f}
Nếu (a,b)∈f, thì b được gọi là ảnh của phần tử a ( giá trị của hàm f tại điểm a ) và kí hiệu f(a); a được gọi là tạo
ảnh của phần tử b.
a

b ⇔ (a,b)∈f.
Nếu (a’,b’)∉f ∈A×B thì ta nói rằng f không xác định tại điểm a’ (f không có nghĩa tại a’)
Quan hệ hai ngôi f⊂A×B gọi là ánh xạ từ tập A vào tập B, nếu mỗi phần tử của A chỉ có một ảnh trong B, kí
hiệu f:A → B.
Giả sử A là một tập. Ánh xạ f từ A
n
vào A ( f: A
n
→A ) được gọi là hàm trên tập A với n biến hay gọi tắt là hàm
trên A.
Ví dụ. f: R
2
→R,
( )

yx
1
yx,
−

f là hàm trên R với hai biến ( hàm 2 biến trên R),
D(f)={(x,y))∈R
2
|x≠y} , E(f)=R\{0}
Giả sử trên A cho các hàm n biến : f
1
, f
2
, …, f
s
và g là một hàm s biến. Hàm n biến h trên A được gọi là hàm hợp
trên A của f
1
, f
2
, …, f
s
và g, nếu h(x
1
,x
2
,…,x
n
)=g(f
1

(x
1
,x
2
,…,x
n
),…,f
s
(x
1
,x
2
,…,x
n
)). Ta có: D(h)={(x
1
,x
2
,…,x
n
) |
f
1
(x
1
,x
2
,…,x
n
) ,…,f

s
(x
1
,x
2
,…,x
n
) ∈D(g) }
Giả sử A là một tập số, x
1
, x
2
, … , x
n
là các biến số, f là một hàm trên A có miền xác định D(f) và miền giá trị
E(f).
f: A
n
→ A
(x
1
, x
2
, … , x
n
)

f((x
1
, x

2
, … , x
n
)
Khi đó kí hiệu f(x
1
, x
2
, … , x
n
) được gọi là biểu thức với các biến x
1
, x
2
, … , x
n
của hàm f.
Có thể có nhiều biểu thức khác nhau của cùng một hàm trên A. Chẳng hạn:
1) f: R→ R và g: R→ R
x

lgx
2
, x

2lg|x|
2) f: R→ R và g: R→ R
x

cos

2
x , x

1-sin
2
x
Ngươc lại, cùng một biểu thức với các biến có thể xác định nhiều hàm khác nhau trên A. Chẳng hạn:
f: R→ R và






2
π
,
2
π
:g
x

sinx , x

sinx

Hàm n biến trên A được xác định nếu được chỉ ra:
1) Miền xác định của nó ⊂A
n

2) Biểu thức của nó với các biến.
Vì những mối quan hệ trên đôi khi người ta đồng nhẩt hàm trên A và biểu thức với các biến, khi đã chỉ ra các
miền xác định của hàm ấy. Bởi vậy, đôi khị miền xác định và miền giá trị của một hàm trên A cũng gọi là miền
xác định và miền giá trị của biểu thức với các biến số của nó.
Giả sử A là tập số, f
1
, f
2
, … , f
s
là những hàm trên A với n biến, g là hàm trên A với s biến . Giả sử f
1
(x
1
,x
2
,…,x
n
),
…, f
s
(x
1
,x
2
,…,x
n
) , g(y
1
,y

2
,…,y
s
) (1) tương ứng là biểu thức với các biến của các hàm f
1
, f
2
, … , f
s
g. Khi đó kí
hiệu g(f
1
(x
1
,x
2
,…,x
n
), …, f
s
(x
1
,x
2
,…,x
n
)) được gọi là hợp thành của các biểu thức với các biến (1).
Lớp các hàm xét trên A. ứng với các biểu thức với các biến được giới hạn bởi những qui ước sau:
Dưới đây: A là C, R, hoặc Q trong (0) – (7); A=R trong (8) – (21). Những biểu thức sau đây gọi là những biểu
thức sơ cấp trên A.

(0) Hằng số (a,b,c,…,3,
1
2
,…∈A)
(1) Biến (x,y,x
1
,x
2
, …) (1) (D(1) = A)
(2) x+y (D(2)=A
2
);
(3) x-y (D(3)= A
2
)
(4) xy (D(4)=A
2
)
(5) x
m
ở đây m∈N (D(5)=A)
(6)
{ }
{ }
( (6) ( , ) | , \ 0 );
x
D x y x A y A
y
= ∈ ∈
(7)

m
x
ở đây
{ }
, 0 (7) \ 0 )m Z m D A∈ ≤ =
(8)
m
x
hoặc
1
m
x
ở đây
, 1,m N m∈ >
(D(8)=
[
)
0,∞
;
(9)
[
)
(9) , (9) 0, )x D R E= = ∞
,
(10)
x
α
ở đây
[
)

\ ( (10) 0,R Q d
α
∈ = ∞
(11)
a
α
ở đây
a>0,a 1(D(11)=R);≠
(12)
log x
a
ở đây
[
)
a>0,a 1( (12) 0,D≠ = ∞
(13)
{ }
( (13) ( , ) | , , 0 );
y
x D x y x y R x= ∈ >
(14) sinx (D(14)=R);
(15) cosx (D(15)=R);
(16) tgx (D(16)=
\ \ );
2
R k k Z
π
π
 
+ ∈

 
 
(17) ctgx (D(17)=
{ }
\ \ );R k k Z
π
∈
(18) arcsinx (D(18)=
[ ]
1,1 , (18) , );
2 2
E
π π
 
− = −
 
 
(19) arccosx (D(19)=
[ ] [ ]
1,1 , (19) 0, );E
π
− =
(20) arctgx (D(20)=
, (20) , );
2 2
E
π π
 
= −
 

 
(21) arcctgx (D(21) =R,E(21)=
[ ]
0,
π
);
Giả sử M là tập hợp những biểu thức sơ cấp nào đó trên A,
1
M M=
và giả sử với mỗi số tự nhiên n>1,
n
M
là
kí hiệu của tập hợp tất cả các hợp thành của những biểu thức tuỳ ý với các biến trong hợp
1 2 1

n
M M M
−
∪ ∪ ∪

của các tập
1 2 1
, .
n
M M M
−
Chúng ta nói rằng biểu thức với các biến
Ω
được biểu thị dưới dạng hữu hạn những

biểu thức sơ cấp của M nếu
n
MΩ∈
với số tự nhiên n nào đó.
Đặc biệt, nếu M là tập hợp tất cả các biểu thức trên A, thì một biểu thức bất kì với các biến biểu thị dưới dạng
hữu hạn các biểu thức sơ cấp của M, chúng ta sẽ gọi là biểu thức các biến trên A hoặc gọi tắt là biểu thức trên A.
Nói cách khác, một biểu thức với các biến trên A hoặc là biến sơ cấp trên A hoặc là một biểu thức thu được nhờ
phép hợp thành một số hữu hạn biểu thức sơ cấp trên A.
Sự phân lớp các biểu thức với các biến trên một tập
Biểu thức với các biến trên R(C,Q), được gọi là biểu thức hữu tỉ nguyên (đa thức) trên R( C,Q), nếu nó được biểu
thị dưới dạng hữu hạn các biểu thức sơ cấp từ ( 0) đến (5) trên R (C,Q).
Biểu thức với các biến trên R(C,Q), được gọi là biểu thức hữu tỉ phân trên R( C,Q), nếu nó được lập nên bởi một
số hữu hạn các biểu thức sơ cấp từ ( 0) đến (7) trên R (C,Q), hơn nữa trong chúng có ít nhất một trong (6), (7).
Biểu thức hữu tỉ nguyên và hữu tỉ phân trên R(C,Q) được gọi là biểu thức hữu tỉ trên R(C,Q).
Biểu thức với các biến trên R được gọi là vô tỉ ( trên R) nếu nó được lập nên bởi một số hữu hạn từ ( 0) đến (9)
trên R (C,Q), hơn nữa trong chúng có ít nhất một trong (8), (9).
Biểu thức hữu tỉ trên R ( C,Q) và biểu thức vô tỉ trên R được gọi là biểu thức đại số.
Biểu thức với các biến trên R không là đại số được gọi là biểu thức siêu việt ( trên R), nghĩa là biểu thức với các
biến trên R được gọi là siêu việt, nếu nó được lập nên bởi một số hữu hạn các biểu thức sơ cấp từ (0) đến (21),
hơn nữa trong chúng có ít nhẩt một trong (10) –(21).
Từ định nghĩa nêu ra ở trên ta suy ra rằng sự phân lớp các biểu thức trên A dựa vào dạng bên ngoài của biểu thức
với các biến, (điều này trong thực tế rất tiện lợi, bởi vì nó khộng đòi hỏi một sự nghiên cứu bổ sung nào khác).
II. MỆNH ĐỀ VỚI CÁC BIẾN TRÊN MỘT TẬP
Giả sử
1 2
A , , ,
n
A A
là các tập đã cho,
1 2

, , ,
n
x x x
là các biến.
Chúng ta hiểu một mệnh đề với các biến
1 2
, , ,
n
x x x
trên tập
1 2

n
A XA X XA
là một biểu thức (một dãy những dấu
và những kí hiệu) có tính chất: nếu cho các biến
1 2
, , ,
n
x x x
những giá trị tương ứng (
1 1 2 2
, ,
n n
x A x A x A∈ ∈ ∈
)
thì ta được một mệnh đề . Tập hợp gồm và chỉ gồm các phần tử (điểm) (
1 2
, , ,
n

a a a
) của
1 2

n
A XA X XA
mà đối
với chúng, mệnh đề V(
1 2
, , ,
n
a a a
) là đúng, được gọi là miền đúng của mệnh đề V(
1 2
, , ,
n
x x x
) với các biến
1 2
, , ,
n
x x x
trên tập
1 2

n
A XA X XA
và được kí hiệu là MĐv.
Giả sử V và W là hai mệnh đề với các biến
1 2 n

x ,x , ,x
trên
1 2

n
A A A× × ×
. Khi đó theo định nghĩa ta có:
1).
V¬
là phủ định của V, tức là một mệnh đề với các biến sao cho:
MĐ
V¬
=
1 2
( )
n
A A A× × ×
\MĐ
V
.
2)
WV ∧
là hội của V và V, nghĩa là với một mệnh đề với các biến, sao cho: MĐ
W=V
∧
MĐ
V
∩
MĐw .
3) 2)

WV
∨
là tuyển của V và V, nghĩa là với một mệnh đề với các biến, sao cho: MĐ
W=V ∨
MĐ
V
∪
MĐw
4)
V W
⇒
(W là hệ quả của V) khi đó MĐ
V
⊂
MĐw
5)
V W⇔
(
V
~ W) ( V tương đương với W) khi đó MĐ
V
=MĐw
Nếu
1 2
( , , , )
n
f x x x
và
1 2
( , , , )

n
g x x x
là hai biểu thức với các biến
1 2
, , ,
n
x x x
trên A thì:
a)
1 2 1 2
( , , , ) ( , , , )
n n
f x x x g x x x=
trên A
n
.
b)
1 2 1 2
( , , , ) ( , , , )
n n
f x x x g x x x<
trên A
n
.
c)
1 2 1 2
( , , , ) ( , , , )
n n
f x x x g x x x>
trên A

n
.
được gọi là những mệnh đề cơ bản (MĐCB) với các biến
1 2
, , ,
n
x x x
trên A.
Biểu thức
1 2
( , , , )
n
f x x x
và
1 2
( , , , )
n
g x x x
theo thứ tự là vế trái và vế phải của MĐCB trên A.
Trong các MĐCB trên A thì a) được gọi là đẳng thức, còn b), c) là các bất đẳng thức với các biến
1 2
, , ,
n
x x x
trên
A.
Giả sử
1 2
( , , , )
n

f x x x
và
1 2
( , , , )
n
g x x x
là hai biểu thức với các biến trên A. khi đó theo định nghĩa:
~ ,
~ ,
( ) ~ ,
( ) ~ ,
( ) ~ ,
( ) ~ ,
( ) ~
f g f g f g
f g f g f g
f g f g
f g f g
f g f g
f g f g
f g f g f g
≤ < ∨ =
≥ > ∨ =
¬ < ≥
¬ > ≤
¬ ≤ >
¬ ≥ <
¬ = < ∨ >

Một mệnh đề với các biến trên A(*) được xác định bởi:

1. mỗi mệnh đề cơ bản với các biến x
1,
x
2
,… x
n
trên A là một mệnh đề với biến x
1,
x
2
,… x
n
trên A.
2. Nếu V(x
1,
x
2
,… x
n
) và W(x
1,
x
2
,… x
n
) là hai mệnh đề với các biến trên A thì V(x
1,
x
2
,

… x
n
)^W(x
1,
x
2
,… x
n
); V(x
1,
x
2
,… x
n
)vW(x
1,
x
2
,… x
n
) cũng là những mệnh đề với biến x
1,
x
2
,… x
n
trên
A.
Bởi vậy, mỗi mệnh đề với biến thu được nhờ phép hội và phép tuyển những mệnh đề với các biến x
1,

x
2
,… x
n
trên A lại là một mệnh đề với các biến x
1,
x
2
,… x
n
trên A.
Người ta gọi phép hội những mệnh đề với các biến trên A là một hệ các mệnh đề với các biến trên A.
Người ta còn viết phép hội (hệ) V^W theo cách khác:
; ;
W W W
V V V
   
   
   
, và phép tuyển VvW còn được
viết như sau:
; ;
W W W
V V V
   
   
   
1. Giả sử là một trong các ký hiệu =,<;>. Ta gọi là miền xác định của các mệnh đề với các
biến x
1,

x
2
,… x
n
(*) f(x
1,
x
2
,… x
n
) ∆ g(x
1,
x
2
,… x
n
) trên A giao của các miền xác định của các biểu thức
f(x
1,
x
2
,… x
n
) và g(x
1,
x
2
,… x
n
) trên A và ký hiệu là D

(*)
:
(*) ( ) ( )
D
f g
df
D D= ∩
2. Giả sử (1) và (2) là 2 mẹnh đề với các biến x
1,
x
2
,… x
n
trên A.
Ta gọi là miền xác định của hội các mệnh đề với biến (1) và (2) giao của các miền xác định của chúng.
(*) Từ “với biến x
1,
x
2
,… x
n
” sẽ được bỏ đi nếu đã rõ rang là mệnh đề với những biến nào đó, từ “trên
A” cũng thỉnh thoảng bỏ đi nếu biết trước tập hớp A đã đượ chỉ rõ.
((1) (2)) (1) (2)
D
df
D D
∧
= ∩
Ta gọi là miến xác định của tuyển các mệnh đề với biến (1) và (2) hợp của các miền xác định của chúng.

((1) (2)) (1) (2)
D
df
D D
∨
= ∪
Giả sử (1) là mệnh đề với các biến x
1,
x
2
,… x
n
trên tập A. Đối với mệnh đề với biến (1) có thể thiết lập hai
bài toán cơ bản sau:
I. Chứng minh rằng, tập T đã cho là tập con của miền đúng của mệnh đề (1) trên A, nghĩa là
chứng minh rằng T
⊂
MĐ
(1)
. nói cách khác là chứng minh rằng mệnh đề với biến (1) trên A là hằng
đúng trên tập T.
II. Tìm miền đúng của mệnh đề với biến đã cho (1) trên A, nghĩa là tìm MĐ
(1)
. Thông thường
ta biểu thị và viết điều đó là: hãy giải mệnh đề với biến (1) trên A.
Thay cho “giải đẳng thức” người ta nói “giải phương trình”.
Mỗi phần tử (mỗi điểm) của miền đúng được gọi là lời giải của mệnh đề với miền (1). Nếu n=1, thì
lời giải cảu phương trình cũng gọi là nghiệm của phương rrình
Đôi khi ta còn có bài toán: Tìm giao của miền đúng của mệnh đề với biến (1) trên A với tập B
n

⊂
A
n
đã
cho. Điều đó được diễn tả bởi: Giải mệnh đề với biến (1) với điều kiện x
1,
x
2
,… x
n

∈
B.
Trong trường hợp khi mà B là N, (Z, Q, R, C) thì ta nói tìm những số tự nhiên, (nguyên, hữu tỉ, thực,
phức) là nghiệm của mệnh đề với biến (1).
Phân loại các mệnh đề với các biến trên một tập.
Giả sử (1) là mệnh đề voái cá biến x
1,
x
2
,… x
n
trên tập A.
Mệnh đề với biến (1) trên A được gọi là hữu tỉ nguyên nếu cả hai vế trái và phải đều là những biểu
thưc hữu tỉ nguyên trên A. Mệnh đề với biến (1) trên A gọi là hữu tỉ phân nếu cả hai vế đều là những biểu
thức hữu tỉ và có ít nhất một trong hai vế là hữu tỉ phân.
Các mệnh đề với biến hữu tỉ nguyên và phân gọi chung là mệnh đề hữu tỉ. Mệnh đề với biến (1) trên
A=R được gọi là vô tỉ, nếu cả hai vế phải và trái đều là những biểu thức đại số trên R và có ít nhất một trong
hai vế là biểu thức vô tỉ. Mệnh đề với biến (1) trên A=R được gọi là siêu việt nếu ít nhất một trong hai vế là
biểu thưc siêu việt.

III. ĐÒNG NHẤT THỨC TRÊN MỘT TẬP, PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU
THỨC VỚI CÁC BIẾN TRÊN MỘT TẬP.
Từ “với các biến” (để ngắn gọn) ta bỏ đi. Biểu thức f(x
1,
x
2
,… x
n
) và g(x
1,
x
2
,… x
n
) trên A được gọi là
đồng nhất bằng nhau trên tập T, nếu tại mỗi điểm của tập T giá trị của chúng bằng nhau.
Nếu các biểu thức f(x
1,
x
2
,… x
n
) và g(x
1,
x
2
,… x
n
) đồng nhất bằng nhau trên tập T thì ta viết:
f(x

1,
x
2
,… x
n
)
≡
g(x
1,
x
2
,… x
n
) trên T.
Đẳng thức (1) f(x
1,
x
2
,… x
n
)=g(x
1,
x
2
,… x
n
) trên A được gọi là một đồng nhất thức trên T nếu biểu
thức f(x
1,
x

2
,… x
n
) và g(x
1,
x
2
,… x
n
) là đồng nhất bằng nhau trên T.
Phép trế biểu thức f(x
1,
x
2
,… x
n
) trên A bởi biểu thức khác đồng nhất với nó trên T được gọi là phép
biến đổi đồng nhất biểu thức f(x
1,
x
2
,… x
n
) trên T.
Từ “trên tập A” sẽ được bỏ đi và không cần chỉ dẫn trong trường hợpT=A, nghĩa là:
1. Các biểu thức f(x
1,
x
2
,… x

n
) và g(x
1,
x
2
,… x
n
) trên A được gọi là đồng nhất bằng nhau, nếu
tại mỗi điềm của A giá trị các biểu thức này bằng nhau.
2. Đẳng thức (1) f(x
1,
x
2
,… x
n
)=g(x
1,
x
2
,… x
n
) trên A được gọi là đồng nhất thức nếu các biểu
thức f(x
1,
x
2
,… x
n
) và g(x
1,

x
2
,… x
n
) là dồng nhất bằng nhau.
3. Phép thế biểu thức f(x
1,
x
2
,… x
n
) trên A bởi một biểu thức đồng nhất với nó được gọi là
phép biế đổi đồng nhất biểu thức f(x
1,
x
2
,… x
n
).
Nếu biểu thức f(x
1,
x
2
,… x
n
) đồng nhất bằng g(x
1,
x
2
,… x

n
) trên tập T
1
và biểu thức g(x
1,
x
2
,… x
n
)

đồng
nhất bằng h(x
1,
x
2
,… x
n
) trên tập T
2
, thì biểu thức f(x
1,
x
2
,… x
n
) đồng nhất với h(x
1,
x
2

,… x
n
) trên tập T=T1
∩
T2, nghĩa là: nếu f(x
1,
x
2
,… x
n
)
≡
g(x
1,
x
2
,… x
n
) trên T
1
và g(x
1,
x
2
,… x
n
)
≡
h(x
1,

x
2
,… x
n
) trên T
2
thì f(x
1,
x
2
,
… x
n
)
≡
h(x
1,
x
2
,… x
n
) trên T=T
1
∩
T2.
Đặt biệt khi T=T
1
=T
2
ta có: nếu f(x

1,
x
2
,… x
n
)
≡
g(x
1,
x
2
,… x
n
) trên T và g(x
1,
x
2
,… x
n
)
≡
h(x
1,
x
2
,
… x
n
) trên T thì f(x
1,

x
2
,… x
n
)
≡
h(x
1,
x
2
,… x
n
) trên T.
Các ví dụ về đồng nhất thức trên một tập hợp
1. x
2
- 1= x + 1 trên C là đồng nhất thức trên tập {-1;2}
2. (x + y)
3
= x
3
+ y
3
+3xy(x + y) trên C là đồng nhất thức
3.
3
2
( 1)
( 1)
1

x
x
x
−
= −
−
trên Q là đồng nhất thức trên Q\{1}.
4.
2
x x=
trên R là đồng nhất thức trên tập [0,
∞
]
5.
2
x x=
trên R là đồng nhất thức
6. lgx
2
=2lgx trên R là đồng nhất thức trên [0,∞ ]
7. lgx
2
=2lg|x| trên R là đồng nhất thức trên R\{0}
8. tgx.ctgx trên R là đồng nhất thức trên tập
{x R\x k , }
2
k
Π
∈ ≠ ∈Ζ
IV. MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI CÁC BIẾN TRÊN MỘT TẬP

Giả sử (1) và (2 là các mệnh đề tương đương với các biến x
1,
x
2
,… x
n
trên tập A. Giả sử D(1) là miền xác
định, MĐ
(1)
là miền đúng của mệnh đề với biến (1). Giả sử D(2) là miền xác định, MĐ
(2)
là miền đúng của mệnh
đề với biến (2).
Mệnh đề (2) được gọi là hệ quả của mệnh đề (1) nếu MĐ
(1)

⊂
MĐ
(2)
và được ký hiệu là (1) |=(2).
(1) |=(2)
df
⇔
MĐ
(1)

⊂
MĐ
(2)
Hai mệnh đề (1) và (2) trên A được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một miền đúng, nghĩa là MĐ

(1)
=MĐ
(2)
và ký hiệu (1)
:
(2).
(1)
:
(2)
df
⇔
MĐ
(1)
=MĐ
(2)
Hai mệnh đề (1) và (2) được gọi là tương đương trên tập L nếu L
I
MĐ
(1)
=L
I
MĐ
(2)
và ký hiệu
(1) (2)
L
:
.
Quan hệ tương đương có những tính chất sau:
1). Phản xạ: (1)

:
(1)
2). Đối xứng: (1)
:
(2) thì (2)
:
(1)
3). Bắt cầu: Nếu (1)
:
(2) và (2)
:
(3) thì (1)
:
(3)
Ví dụ 1: (1) x – 1 = 0 trên R; (2) (x – 1)
2
= 0 trên R; (1)
:
(2) vì MĐ
(1)
=MĐ
(2)
={1}
Ví dụ 2: (1) x
2
+ 1=0 trên R; (2) 3x - 2 = 3x trên R; (1)
:
(2) vì MĐ
(1)
=MĐ

(2)
=
φ
Ví dụ 3: (1) x = 2 trên R; (2) x
2
= 4 trên R; (1) |= (2) vì
MĐ
(1)
= {2}
⊂
{-2,2}= MĐ
(2)
Ví dụ 4: (1)
1
2
x y
x y
− =


+ =

trên C; (2)
2 3
2 1
x
y
=



=

trên C; (1)
:
(2) vì MĐ
(1)
=MĐ
(2)
=
3 1
,
2 2
 
 
 
 ÷
 
 
V. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
Ta nhớ rằng A ký hiệu cho C, R hoặc Q.
Giả sử (1) f(x
1,
x
2
,… x
n
)=g(x
1,
x
2

,… x
n
) trên A là phương trình với miền xác định D(1) và miền đúng (tập
nghiệm) MĐ
(1)
; Giả sử (2) f
2
(x
1,
x
2
,… x
n
)=g
2
(x
1,
x
2
,… x
n
) trên A là phương trình với miền xác định D(2) và miền
đúng MĐ
(2)
.
Giả sử
ψ
(x
1,
x

2
,… x
n
) là biểu thức trên A với miền xác định D
(
ψ
)

Chú ý: Để cho ngắn gọn từ đây về sau ta không viết các biến x
1,
x
2
,… x
n
Định lí 1: Phương trình (1) f=g và (2) f
2
=g
2
, ở đây f
≡
f
2
trên D(f)
I
D(f
2
), g
≡
g
2

trên D(g)
I
D(g
2
) là
phương trình tương đương khi và chỉ khi:
1) Nếu a
∈
D(1)\D(2) thì a
∉
MĐ
(1)
.
2) Nếu b
∈
D(2)\D(1) thì b
∉
MĐ
(2)
.
Hệ quả 1
1
: Nếu D(1) =D(2) thì các phương trinh (1) và (2) tương đương.
Hệ quả 2
1
: Nếu D(2)
⊃
D(2) thì MĐ
(1)
=MĐ

(2)
MĐ’, ở đây MĐ’={a | a
∈
D(1)\D(2), a
∈
MĐ
(1)
}.
Hệ quả 3
1
: Nếu D(1)
⊂
D(2) thì MĐ
(1)
=MĐ
(2)
\MĐ”, ở đây MĐ”= { b | b
∈
D(2)\D(1), b
∈
MĐ
(2)
}
Định lý 2:Nếu
( ) (1)D D
ψ
⊃
thì phương trình (1) f=g và (3) f +
ψ
=g +

ψ
là tương đương.
Nếu
( ) (1)D D
ψ
⊃
thì f = g
:
f +
ψ
= g +
ψ
Hệ quả 1
2
: Nếu trong phương trình ta chuyển một hạng tử từ vế này sang vế khác với dấu ngược lại thì
được một phương trình mới tương đương phương trình đã cho.
Hệ quả 2
2
: Phương trinh (1) f = g tương đương với f – g = 0.
Định lí 3: Nếu và với mọi , thì phương trình (1) f = g và f. = g. là tương đương.
Nếu
( ) (1)D D
ψ
⊃
và
0
ψ
≠
trên D(1) thì
. .f g f g

ψ ψ
= =
:
Hệ quả 1
3
: Nhân cả hai vế phương trình với số α (α thuộc A) khác không thì được phương trình mới tương
đương phương trình đã cho.
Định lí 4:
(*)
0
0 ( ) (A)
0
f
f
A
g
g
=

=

≠

:
Định lí 5:
2 1 2 1
( ) ( ), k
k k
f g R f g R
+ +

= = ∈Ν:
Định lí 6:
2 2
. 0
( ) ( ),
k k
f g
f g R R k
f g
>

= ∈Ν

=

:
Định lí 7:
2
2
0
( ) ( ),
k
k
g
f g R R k
f g
≥

= ∈Ν


=

:
Định lí 8:
( ) ( ), 0, 1
f g
a a R f g R a a= = > ≠:
Định lí 9:
0 0
log log ( ) ( ) ( ), 0, 1
a a
f g
f g R R R a a
f g f g
 > >

= > ≠
 
= =


: :
Định lí 10:
( ) | sinf=sin g (R)f g R
= =
Định lí 11:
f=g(R) |= cosf=cosg(R)
Các định lí 1, 2, 3 và những hhệ quả của chúng được ứng dụng để giải các phương trinh khác nhau. Định
lí 4 để giải phương trình hữu tỉ phân, định lí 5, 6 và 7 để giải phương trình vô tỉ, đình lí 8 và 9 để giải phương
trình mũ và logarit. Định lí 10 và 11 để giải các phương trình có chứa biểu thức lượng giác ngược.

VI. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
Giả sử (1) f(x
1,
x
2
,… x
n
) < g(x
1,
x
2
,… x
n
) (R) là một bất phương trình với miền xác định D(1) và miền
đúng ( miền nghiệm) MĐ
(1)
; f(x
1,
x
2
,… x
n
) < g(x
1,
x
2
,… x
n
) (R) là một bất phương trình với D(2) và MĐ
(2).

Giả sử Φ(x
1,
x
2
,… x
n
) là biểu thức trên R với miền xác định D(Φ).
Các định lí 1,2 và các hệ quả của chúng vẫn còn hiệu lực đối với các phương trình trên R ( chỉ việc thay
dấu bằng trong các định lí 1, 2 bằng dấu <, >, ≤, ≥).
Định lí 3
1
: Nếu biểu thức nhận giá trị dương tại mỗi điểm trong miền xác định của bất phương trình (1)
f<g thì bất phương trình f.
ψ
< g.
ψ
là tương đương.
Nếu
ψ
>0 trên D(1) thì f<g
:
f.
ψ
< g.
ψ
Định lí 3
2
: nếu biểu thức nhận giá trị âm tại mỗi điểm trong miền xác định của bất phương trình (1) f<g
thì bất phương trình f<g và f.
ψ

> g.
ψ
là tương đương.
Nếu
ψ
<0 trên D(1) thì f<g
:
f.
ψ
> g.
ψ
Định lí 4
1
:
0 . 0
f
f g
g
< <:
Định lí 4
2
:
. 0
0
0
f g
f
g
g
≤


≤

≠

:
Định lí 5:
2 1 2 1
,
k k
f g f g k
+ +
< = ∈ Ν:
Định lí 6:
2 2 2 2
0 0
0
0 0
0
k k k k
f f
f
f g g g
g
f g f g
 ≥ <

<

 

< > ∨ ∨ <
  
≥

 
< >


:
Định lí 7
1
:
2
2
0
0
k
k
f
f g g
f g
≥


< >


<

:

Định lí 7
2
:
2
2
0 0
0
k
k
g g
f g
f g f
 ≥ <

> ∨
 
> ≥


:
Định lí 8
1
: Nếu a> 1 thì
f g
a a f g< <:
Định lí 8
2
:Nếu 0 < a < 1 thì
f g
a a f g< >:

Định lí 9
1
: Nếu a> 1 thì
0
log log
a a
f
f g
f g
>

<

<

:
Định lí 9
2
: Nếu 0 < a < 1 thì
0
log log
a a
g
f g
f g
>

<

>


:
Các định lí 1, 2, 3
1
, 3
2
và các hệ quả của chúng được ứng dụng để giải các bất phương trình khác nhau.
Định lí 4
1
, 4
2
dùng để giải các bất phương trình phân thức, các định lí 5, 6, 7
1
, 7
2
để giải bất phương trình vô tỉ,
các định lí 8
1
, 8
2
, 9
1
, 9
2
dùng để giải các bất phương trình mũ và lôgarit.
VII. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HỆ PHJƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
Định lí 1: (phương pháp thế) Nếo phương trình f
1
(x
1,

x
2
,… x
n
) = g
1
(x
1,
x
2
,… x
n
) trên A tương đương với
phương trình x
1
=
ϕ
( x
1,
x
2
,… x
n
) trên A thì hệ phương trình:
1 1 2 n 1 1 2 n
2 1 2 n 2 1 2 n
1 2 n n 1 2 n
( x , x , x )=g ( x , x , x )
( x , x , x )=g ( x , x , x )

( x , x , x )=g ( x , x , x )
n
f
f
f







trên A
Tương đương với hệ phương trình:
1 1 2 n
1 2 n 2 n 1 2 n 2 n
2 n 2 n k 2 n 2 n
( x , x , x )
( (x , x ), x , x )=g ( (x , x ), x , x )

( (x , x ), x , x )=g ( (x , x ), x , x )
k
x
f
f
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
=








trên A
Định lí 2: (Phương pháp cộng)
Nế h là biểu thức với các biến x
1,
x
2
,… x
n
trên A với miền xác đinh D(h) và D(h) D(1) thì hệ phương trình
với các biến x
1,
x
2
,… x
n
1 1
2 2
(1)

k k
f g
f g
f g
=



=




=

trên A
Tương đương với hệ:

1 2 1 2
2 2

k k
f hf g hg
f g
f g
+ = +


=




=

trên A

VIII. MỆNH ĐỀ VỚI CÁC BIẾN VÀ THAM SỐ
Giả sử V (
1 2 1 2
, , , , , , , )
n k
x x x a a a
trên A là một mệnh đề với các biến x
1
, x
2
, …, x
n
và các tham số a
1
,
a
2
, …, ak (a
1
, a
2
, …, a
k
xem như dã biết)
Với những cách chọn các giá trị thích hợp các giá trị
1
, ,
k
a a
của các tham số a

1
, a
2
, …, a
n
, V(x
1
, …,
x
n
; a
1
, …, a
k
) trở thành mệnh đề. V (x
1
,…, x
n
;
1
, ,
k
a a
) với các biến số trên A không chứa tham số. Mệnh đề
nhận được có một miền đúng xác định hoàn toàn nào đó (tập nghiệm)
Giải mệnh đề với các tham số và tham số có nghĩa là với mỗi giá trị đã chọn của các tham số xác định
miền đúng (tập nghiệm) của mệnh đề thu được với các biến (không có tham số).
Hai mệnh đề với các biền x1, ….,xn, và các tham số a1, a2,…, ak được gọi là tương ứng nếu:
1) Đối với cả hai mệnh đề, tập hợp các cách chọn thích hợp các giá trị của các tham số là như
nhau.

2) Với mỗi cách chọn thích hợp các giá trị của tham số, mệnh đề thu được với các biến x
1
, x
2
,
…, x
n
(không có tham số) là tương đương, nghĩa là có cùng một miền đúng (tập nghiệm).
CHƯƠNG I. PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT TRÊN MỘT TẬP, PHÉP CHỨNG MINH CÁC ĐỒNG
NHẤT THỨC VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN MỘT TẬP.
Bài 1: PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT BIỂU THỨC HỮU TỈ NGUYÊN, HŨU TỈ PHÂN TRÊN MỘT
TẬP.
Nếu không có chú giải ta sẽ coi biểu thức hũu tỉ được xét trên tập C các số phức.
Ta nhắc lại một vài định lý và định nghĩa.
Giả sử P là một trường số (nghĩa là một trường con của hàm số phức).
Định lí (Bơzu). Giả sử f(x) là một đa thức một ẩn. bậc n
≥
1 trên trường P. Khi đó f(x) có trong P không
quá n nghiệm và a là nghiệm của đa thức f(x) trong P khi và chỉ khi f(x) chia hết cho x – a.
Định lí Bơzu mở rộng Giả sử f(x, y, …, z) là đa thức của k – 1 ẩn (k>1) ẩn bậc n
≥
1 trên trường P, g(y,
…, z) là đa thức của k – 1 ẩn trên P. Nếu f( g(y,…, z), y,…,z) là đa thức không thì f (x, y, …, z) chia hết cho x-
g(y, …, z).
Giả sử f(x, y, …, z) là đa thức trên trường P. Mọi đa thức khác không của trường P cũng như mọi đa thức
khác với đa thức đã cho bởi một thừa số trong P\
{ }
0
đều là ước của đa thức đã cho và gọi là ước tầm thường của
đa thức đó trên trường P. Tất cả các ước còn lại của đa thức đã cho trên P gọi là ước không tầm thường của nó

trên trường P.
Đa thức f(x, y, …,z) bậc dương trên trường P được gọi là bất khả quy trên P, nếu nó không có ước không
tầm thường trên trường đã cho.
Đa thức f(x,y,z) bậc dương trên trường P được gọi là khả quy trên P nếu nó có ước không tầm thường trên P.
Đa thức f(x,y,z) và g(x,y,z) trên P được gọi là nguyên tố cùng nhau, nếu các ước chung của chúng trên P chỉ
là các số khác không trong P (nghĩa là chỉ các đa thức bậc không trên P).
Định lí. Nếu đa thức f(x,y,z) trên P chia hết cho mỗi đa thức ϕ(x,y,z) và ψ(x,y,z) trên P và các đa thức ϕ, ψ
nguyên tố cùng nhau thì đa thức f chia hết cho tích ϕ(x,y,z).ψ(x,y,z).
Định lí. Đa thức f(x) trên trường số phức C là bất khả quy trên C khi và chỉ khi bậc của nó bằng đơn vị.
Định lí. Đa thức f(x) trên trường số thực R là bất khả quy trên R khi và chỉ khi nó là đa thức bậc nhất hoặc đa
thức bậc hai với nghiệm ảo.
Định lí. Nếu phân số tối giảm
( , )
p
p q
q
∈Z
là nghiệm của đa thức
1
1 0

n
n
a x a x a+ + +
với các hệ số nguyên
( )n N∈
thì
0
p a
(p chia hết

0
a
) và
n
q a
.
Ví dụ 1. Khai triển đa thức

5 4 3 2
( ) 2 3 6 8 3f x x x x x= − + − +
thành các nhân tử bất khả quy a) trên C; b) trên R.
Giải. Đầu tiên ta phải xem đa thức đã cho có nghiệm hữu tỉ hay không bằng cách sử dụng 1) định lí về
nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên và 2) lược đồ Hoocne (Horner).
1) Các ước của số hạng tự do
0
3a =
là số
1, 3± ±
. Các ước dương của hệ số cao nhất
5
2a =
là 1, 2. Bởi vậy
nghiệm hữu tỉ của đa thức f(x) nằm trong các số:

1 3
1, 3, ,
2 2
± ± ± ±
2)
2 -3 6 -8 0 3

1
1
-1/2
2
2
2
-1
1
0
5
6
6
-3
3
-3
0
0
2 2
2
1
( ) ( 1) ( )(2 6)
2
( 1) (2 1)( 3)( 3)
f x x x x
x x x i x i
= − + +
= − + + −
Trả lời:
a)
2

( ) ( 1) (2 1)( 3)( 3)f x x x x i x i= − + + −
trên C.
b)
2 2
( ) ( 1) (2 1)( 3)f x x x x= − + +
trên R.
Ví dụ 2. Phân tích đa thức
4 3 2
2 2x x x x− − + −
thành các nhân tử bậc nhất.
Giải:
Phương pháp thứ nhất.
4 3 2
2 2x x x x− − + −
4 3 2 2
2 2 2x x x x x= − − + + −

4 2 3 2
2 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2)
( 2)( 1)
1 3 1 3
( 2)( 2)( )( )
2 2
x x x x x
x x x
i i
x x x x
= − − − + −
= − − +

− +
= + − − −
Phương pháp thứ hai. (Phương pháp hệ số bất định).
( )
4 3 2 2 2
2 2 ( ax+b)x x x x x x cx d− − + − = + + +
so sánh các hệ số của các luỹ thừa tương ứng của x ta có hệ
1
1
2
2
a c
b ac d
ad bc
bd
+ = −


+ + = −


+ =


= −

, ta tìm được a= - 1,b=1,c=0,d= - 2 (hoặc a=0,b=-2,c=-1,d=1).
Ví dụ 3. Phân tích đa thức
( , , ) ( ) ( ) ( )f x y z yz y z zx z x xy x y= − + − + −
thành các nhân tử bậc nhất.

Giải. Phương pháp thứ nhất.
Vì y – z = - (z – x) – (x – y) nên f(x,y,z)= yz( - (z – x) – (x – y))+zx(z – x)+xy(x – y)
= - yz(z – x ) – yz(x – y)+zx(z – x)+xy(x – y)
= (z – x)(x – y)z+(x – y)(x – z)y
= (x – y)(z – x)(z – y).
trả lời
( , , ) ( )( )( )f x y z x y z x z y= − − −
.
Phương pháp thứ hai. (sử dụng định lí Bơzu mở rộng).
Nếu x=y thì
f(x,y,z) 0≡
suy ra f(x,y,z) chia hết cho x – y. Tương tự ta có f(x,y,z) chia hết cho y – z và cho z –
x.
Vì x – y, y – z, z – x, là nguyên tố cùng nhau từng cặp, nên đa thức đã cho chia hết cho tích của chúng (x – y)
(y – z)(z – x).
Vì đa thức đã cho và đa thức
( )( )( )x y y z z x− − −
đều là đa thức bậc 3 nên:
(1)
( ) ( ) ( ) ( )( )( )yz y z zx z x xy x y k x y y z z x− + − + − = − − −
ở đây
k
∈
C
Việc còn lại là xác định k. Điều đó có thể làm bằng một trong hai cách sau: 1) sử dụng định nghĩa hai đa thức
bằng nhau, ví dụ
2 2
y z ky z= −
, nghĩa là, k= - 1; 2) đặt trong (1), chẳng hạn, x=0,y=1,z= -1, ta được k= - 1.
trả lời:

( , , ) ( )( )( )f x y z x y y z z x= − − − −
Ví dụ 4. Đơn giản biểu thức và tìm miền xác định của nó.
3 3 3
( ) ( ) ( )
( , , )
( ) ( ) ( )
x y z y z x z x y
x y z
yz y z zx z x xy x y
ϕ
− + − + −
=
− + − + −
trên R
Giải. Sử dụng ví dụ 3, ta có:
( ) ( ) ( ) ( )( )( )yz y z zx z x xy x y x y y z z x− + − + − = − − − −
Vì rằng:
( )( )( ) 0 ~ 0 0 0 ~x y y z z x x y y z z x x y z x− − − ≠ − ≠ Λ − ≠ Λ − ≠ ≠ ≠ ≠
Nên
{ }
3
( ) ( , , )D x y z R x y z x
ϕ
= ∈ ≠ ≠ ≠
.
sử dụng một trong các phương pháp giải ở ví dụ 3 ta có:
3 3 3
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )x y z y z x z x y x y y z z x x y z− + − + − = − − − − + +
Khi đó
( , , )x y z x y z

ϕ
= + +
trả lời:
( , , )x y z x y z
ϕ
= + +
Ví dụ 5. Đơn giản biểu thức và tìm D(
ϕ
), nếu
3 3 3
2 2 2
3
( , , )
( ) ( ) ( )
x y z xyz
x y z
x y y z z x
ϕ
+ − +
=
− + + + +
trên R.
Giải. vì
2 2 2
( ) ( ) ( ) 0x y y z z x− + + + + ≠

~ ( ) 0 ( ) 0 0
~ ( ) ( ) ( )
x y y z z x
x y y z z x

− ≠ ∨ + ≠ ∨ + ≠
≠ ∨ ≠ − ∨ ≠ −
Nên D(
ϕ
)
{ }
3
( , , ) ( ) ( ) ( )x y z R x y y z z x= ∈ ≠ ∨ ≠ − ∨ ≠ −

3 3 3 3 3 2 2
3 ( ) 3 3 3x y z xyz x y z xyz x y xy+ − + = + − + − −

3 3
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
(( ) ) 3 ( )
( )(( ) ( ) ) 3 ( )
( )( ) )
1
( )(2 2 2 2 2 2
2
1
( )(( ) ( ) ( ) ).
2
x y z xy x y z
x y z x y x y z z xy x y z
x y z x y z xy yz zx
x y z x y z xy yz zx

x y z x y y z z x
= + − − + −
= + − + + + + − + −
= + − + + − + +
= + − + + − + +
= + − − + + + +
trả lời: D(
ϕ
)=
1
( )
2
x y z+ −

phân tích thành nhân tử bậc nhất các đa thức sau (các bài 1-22).
1)
3 2
9 15 32 12x x x− − −
2)
2
4 4x i−
3)
2
x ( 1 3 ) 2 2i x i+ − + − −
4) (x
2
+x+1)(x
2
+x+2) - 12
5)

2 2 2 2
( 4 8) 3 ( 4 8) 2x x x x x x+ + + + + +

6)
( 1)( 3)( 5)( 7) 15x x x x+ + + + +
7)
3 3
(4 1) (2 3) 6(3 2)(4 1)(2 3)x x x x x− + − + − − −
8)
3 3 2
2 3x y xy− −
9)
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )x y z y z x z x y− + − + −
10)
( ) ( ) ( )xz x z yz y z xy x y+ − + + −
11)
2 2 2
( ) ( ) ( ) 4x y z y x z z x y xyz+ + + + + −
12)
2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )y z y z z x z x x y x y− + + − + + − +
13)
2 2 2
( ) ( ) ( )x y z y z x z x y− + − + −
14)
2 2 2 2 2 2
2x y y z z x xy yz zx xyz+ + + + + +
15)(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz
16)

3 3 3 3
( )x y z x y z+ + − − −
17)
3 3 3 3
( ) ( ) ( ) ( )x y z x y z y z x z x y+ + − + − − + − − + −
18)
3 3 3 3
8( ) ( ) ( ) ( )x y z x y y z x z+ + − + − + − +
19)
2 2 2 2 3 3
( )( ) ( )( ) ( )( )x y z y z y x z z x z x y x y+ − + + − + + −
20)
3 3 3
( ) ( ) ( )x y z y z x z x y− + − + −
21)
3 3 3
( )( ) ( )( ) ( )( )x y x y y z y z z x z x− + + − + + − +
22)
3 3 3
( ) ( ) ( )x y z y x z z x y+ − + − −
chứng minh đồng nhất thức (từ bài 23 – 30)
23)
2 2 2 2 2 2
( )( ) ( ) ( )x y u v xu yv yu xv+ + = + + −
24)
3 3 3 2 2 2
1
3 ( )(( ) ( ) ( ) )
2
x y z xyz x y z x y y z z x+ + − = + + − + − + −

25)
3 3 3
3x y z xyz+ + =
nếu x+y+z=0
26)
3 3 3
( ) ( ) ( ) 3( )( )( )x y y z z x x y y z z x− + − + − = − − −
27)
( )
2
2 2 2 4 4 4
2( )x y z x y z+ + = + +
nếu x+y+z=0
28)
2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2 ( )( )( )( )x y y z z x x y z x y z x y z y z x z x y+ + − − − = + + + − + − + −
29)
3 3 3 3 3 3
( ) ( ) ( ) 3( )( )( ) 2( 3 )x y y z z x x y y z z x x y z xyz+ + + + + − + + + = + + −
30)
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 4( )x y z x y z y z x z x y x y z+ + + + − + + − + + − = + +
Phân tích đa thức thành nhân tử bậc hai và bậc nhất ( từ bài 31- 36)
31)
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )x y x y y z y z z x z x− + − + −
32)
5 5 5
( )x y x y+ − −
33)

5 5 5 5
( )x y z x y z+ + − − −
34)
3 2 2 3
x x z xyz y z y+ − + +
35)
3 3 3 3
( ) 2( ) 6x y z x y z xyz+ + + + + −
36)
3 3
3 1x xy y+ + −
Phân tích đa thức thành các nhân tử bất khả quy trên R (các bài 37-40)
37) x
6
+27
38) x
4
+3x
2
+4
39) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24
40) 27x
3
– 27x
2
+18x – 4

Phân tích đa thức thành các nhân tử bất khả quy 1) trên Q, 2) trên R, 3) trên C (các bài 41, 42)
41) x
4

+y
4
42) x
4
+4y
4
43) Phân tích thành các nhân tử bậc hai:

3 2 2 2 2
( ) ( ) ( )xy yz zx x y z x y z+ + + + + + +
44) Phân tích thành các nhân tử bậc nhất và bậc hai:
2 2 2 3 3 2 2 2 2
( ) 2( ) 3( )( )x y z xy yz zx x y z xy yz zx+ + + + + − + + + +

45) Phân tích thành nhân tử bậc nhất
2 2 2
3 ( ) (3 2 ) 2( )x y z y z x z x y+ + + + + +
Sử dụng phương pháp hệ số bất định tìm các giá trị a,b để ta có đồng nhất thức trên C (các bài 46, 47,48)
46)
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 3 1
( ) ( )
n n n n n
x x x a x x x b x x x x x x x x x x
−
+ + + = + + + + + + + + + +
47)
2 2 2 2 2 2
+yz +zx +zy =a(x+y+z)(xy+yz+zx)+bxyzxy xz x y+ +
48)

3 2
( 4)( 5)( 3) ax +bx-60x x x x+ + − = +
49) Dùng phương pháp hệ số bất định chứng minh đồng nhất thức :

2 3 3 3 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 3( yx ) 6x y z x y z xy xz yz zx zy xyz+ + = + + + + + + + + +
50) Dùng phương pháp hệ số bất định tìm giá trị a và b sao cho đa thức x
3
+5x
2
-8x+a chia hết cho đa thức
x
2
+x+b.
Phân tích thành nhân tử bậc nhất (các bài 51,52,53)
51)
4 3 2
2 2x x x x+ − − −
52)
4 3 2
2 6 3 1x x x+ + −
53)
4 3 2
3 4 6x x x x− + + −
54) Đẳng thức
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )x y z u x z y u x u x y z u+ − + + + − + = − + + +
có đúng với mọi x,y,z, u
∈
R hay

không?
55) Chứng minh rằng, đẳng thức
4 4 4 2 2 2
( ) 2( 3 )x y x y x xy y+ + + = + +
trên R không là đồng nhất thức.
56) Dựng đồ thị của hàm số f trên R cho bởi :
2 2
2 2
1 1
1 1
( )
1 1
1 1
x x
x x x x
f x
x x
x x x x
+ −
−
+ + − +
=
+ −
+
+ + − +
trên R
57) Tính f(
2
19
−

),f(
2
),f(
π
−
) nếu
1
1
1 3
1
1
1 3.
1 3
( )
1
1
1 3
1 3.
1
1 3.
1 3
x
x
x
x
f x
x
x
x
x

−
+
+
+
−
−
+
=
−
+
+
−
−
−
+
trên R
Đơn giản và tìm miền xác định của nó (các bài tập 58-64)
58)
2 2
2 2
2 3
2 5 3
x xy y
x xy y
− −
− +
trên R
59)
2 2 2
2 2 2

2 2 2
2
x y z xy yz zx
x y z yz
+ + + + +
− − −
trên R
60)
3
3
3 5 2
6
9 6 3 3
7 4
( 1 ).
3 3
6 24 2
.
6 9 3 6
x
x
x x x
x x
x x x x
−
− −
+ +
−
+ + +
trên R

61)
3 3 3
2 2 2
3
( ) ) ( )
x y z xyz
x y y z z x
+ + −
− + − + −
trên R
62)
3 4 4 4 3 3 5 2 2
1 1 1 2 1 1 2 1 1
.( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )x y x y x y x y x y x y
− + − + −
+ + +
trên C
63)
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
x y y z z x x y y z z x
y x z y x z y x z y x z
+ + + + + − + + +
trên C
64)
3 2 2 3 2 2 3 2 2
3 3 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

x y z y z x z x y
x y z y z x z x y
− + − + −
− + − + −
trên C
chứng minh các đồng nhất thức trên miền xác định của nó (các bài 65-70) (* chứng minh đồng nhất trên tập T
có nghĩa là chứng minh đẳng thức đã cho là đồng nhất trên T)
65)
7 7 7
2 2
5 5 5
( ) 7
( )
( ) 5
x y x y
x xy y
x y x y
− − +
= − +
− − +
trên R
66)
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x z y y x z z y x
yz zx xy
x y z
x z y y x z z y x
yz zx xy

− − −
+ +
= + +
− − −
+ +
trên Q
67)
( )( )( )
0
( )( )( )
x y y z z x x y y z z x
x y y z z x x y y z z x
− − − − − −
+ + + =
+ + + + + +
trên C
68)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
( )( ) ( )( ) ( )( )
x a x b x b x c x a x c
c a c b a b a c b a b c
+ + + + + +
+ + =
− − − − − −
trên R
69)
2 2 2
2
( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )
a x b x c b x c x a c x a x b
x
a b a c b c b a c a c b
− − − − − −
+ + =
− − − − − −
trên R
70)
( )( ) ( )( ) ( )( )
a x b x c x x
a a b a c b b c b a c c a c b abc
+ + +
+ + =
− − − − − −
trên R
Bài 2. PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC
VÔ TỈ TRÊN MỘT TẬP
Ta nhớ rằng (xem phần mở đầu I,(8)) biểu thức (1)
m
x
hoặc
1
( , 1)
m
x m N m∈ >
trên R(**) có D(1)=
[ ]
0,+∞
và

E(1)=
[ ]
0,+∞
, nghĩa là ta chỉ xét căn số học (***)
( )
0, 0,( )
m
m m
x x x x≥ ≥ =
.
Định lí.
[ ]
0,x∀ ∈ +∞
và
[ ]
! 0,m N y∀ ∈ ∃ ∈ +∞
sao cho
m
y x=
Những tính chất của căn số học.
1. Nếu
, 0,a b ≥
thì
.
m m m
ab a b=
2. Nếu
0, 0a b≥ >
thì
m

m
m
a a
b
b
=
3. Nếu
0a ≥
thì
( )
m k
m
a a k=
4. Nếu
, 0,a b ≥
thì
m m
m
a b a b=
5. Nếu
0a ≥
thì
m
k mk
a a=
6. Nếu
0a ≥
thì
mk k
m

a a=
7.
2 2
, 0
, 0
k k
a a
a a
a a
∀ ≥

= =

− ∀ <

Ví dụ. Đơn giản biểu thức và tìm miền xác định của nó:

1 1
( )
2 1 2 1
f x
x x x x
= −
+ − − −
Giải: Vì
2 2
1 0
1
1 1 1
2 1 0

4( 1) ( 2) 0 2
2 1
2 1 0
x
x
x x x
x x
x x x x
x x
x x
− ≥

≥


≥ ≥ ≥

 

+ − > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
> − − > ≠≠
> −

 



− − >


1 2 2x x
⇔ ≤ < ∨ >
nên D(f)=
[
)
1,2 (2, )∪ +∞
1 1
( )
( 1) 2 1 1 ( 1) 2 1 1
f x
x x x x
= −
− + − + − − − +

2 2
1 1 1 1
1 1
1 1
( 1 1) ( 1 1)
x
x
x x
= − = −
− +
− −
− + − −
1) nếu
1 1 0x − − >
nghĩa là x>2 thì
1 1 2 2

( )
2 2
1 1 1 1
f x
x x
x x
−
= − = =
− −
− + − −
2) nếu
1 1 0x − − <
nghĩa là
1 2x
≤ <
thì
1 1 2 1
( )
2
1 1 1 1
x
f x
x
x x
−
= − =
−
− + − −
trả lời
2

, 2
2
( )
2 1
, 1 2
2
x
x
f x
x
x
x

∀ >

−

=

−

∀ ≤ <

−

Ví dụ 7. Đơn giản biểu thức:
1
3 3
2
3 3

1 1
( 2)
1 1
x x
x x
−
+ −
+ −
− +
ở đây
3 3
3 3
, 0
a b
x ab
a b
+
= >
−
Giải:
3
3
3
3 3
2
1
a
x
a b
+ =

−
và
3
3
3
3 3
2
1
b
x
a b
− =
−
3 3 3
3 3 3
0 0
1 0
( ) 0
1 0
( ) 0
0 0
a a
x
a a b
a b a b
x
b a b
b b
> <
 


+ >

− >
  
⇒ ⇔ > ∨ <
   
− >
− >


 

> <
 
1 1
2
3 3 3 3
2 2
3 3 3 3
1 1 ( 1 1)
( 2) ( )
1 1 1. 1
x x x x
x x x x
− −
+ − + − −
+ − =
− + − +

3 3
3 3
3 3
3 3 3 3
3 3
3 3
3 3
3 3 3 3
2 2
.
1. 1
1 1
2 2
a b
x x
a b a b
A
x x
a b
a b a b
+ −
− −
= = =
+ − −
−
− −
Trường hợp 1. a>0,b>0,a>b
3
3
2

2( )
ab ab
A
a b
a b
= =
−
−
Trường hợp 2. a<0,a<b,b<0
3 3
3 3
3
3 3 3 3
3
3 3
3 3
3 3 3 3
2 2
.
2 ( )( )
2( )
2 2
a b
a b
ab
b a b a
A
b a
a b
a b

b a b a
− −
− −
− −
= = =
−
− +
− −
−
− −
Trả lời.
ba
ab
−
với a > 0 , b > 0, a > b,
ab
ab
−
với a < 0 , b < 0 , a < b .
Ví dụ 3. Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức:
239
1
M
33
++
=
.
GIẢI
Phương pháp thứ nhất. Dùng đồng nhất thức
x

3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz = ( x + y + z )( x
2
+ y
2
+ z
2
– xy – yz – zx ), ( xem bài tập 24).
Ta có:
3xyzzyx
zxyzxyzyx
zyx
1
333
222
−++
−−−++
=
++
Đặt
3
9x =
,
3
3y =
và z=2.

Khi đó:
.2393839
9232274981
zyx
1
M
33
3
2
333
−++
−−−++
=
++
=
=
2
931
33
−+
Phương pháp thứ hai. Nhân với biểu thức liên hợp
Ta có:
239
1
M
33
++
=
=
(

)
( )
131)133(
13
33
3
2
3
−+++
−
=
( )
( )
1313
13
3
3
−+−
−
=
3
3
31
13
+
−
=
( )
(
)

(
)
( )
13133
13313
33
3
2
3
3 2
3
++−
+−−
=
2
931
33
−+
Phương pháp thứ ba. (Dùng thuật toán Ơclit )
0)3(,0)3(,3)(,2)(
33
32
=≠−=++=
pgxxpxxxg
dfdf
,p(x) là bất khả quy trên Q.
2
2
2
2

1
2
2
1
2
23
3
2
)(
1
2
)(1
2
32
)(1
2
2
3
r
xqx
x
xx
xx
xrx
xx
xx
xqx
xx
xxx
x

=
=−
−−
+
−
++
=−−
−−−
−
−−−
=−
++
++
−+





+=
+=
221
11
)()()(
)()()()(
rxqxrxg
xrxqxgxp

⇒




−=
−=
)()()(
)()()()(
212
11
xqxrxgr
xqxgxpxr

).())()(1()())((
2122
xgxqxqxpxqr
++−=
Đặt
3
3
=
x
(
3
3
là nghiệm của p(x) ), khi đó :

)3())3()3(1(
33
2
3
12

gqqr
+=
.
Từ đó :

))3()3(1(
1
)3(
1
3
2
3
1
2
3
qq
r
g
+×=

)139(
2
1
239
1
33
33
++−=
++