skkn hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai

Trường THPT Lưu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Đường bậc hai tổng quát vẫn còn là xa lạ với học sinh THPT. Vì
vậy các vấn đề liên quan vẫn cịn mới lạ và khó hiểu vơí nhiều học sinh,
Phương trình tiếp tuyến với các đường bậc hai không là ngoại lệ.
Nguyên nhân là do thiết kế chương trình, học sinh học lên lớp 12 mới
được tìm hiểu và tiếp xúc với một số đường bậc hai. Mặt khác khi xây
dựng các đường bậc hai sách giáo khoa giới thiệu các đường bậc hai
không trong một tổng thể, mà chia ra từng loại cụ thể. Nên dẫn đến mỗi
bài tương ứng với mỗi đường ta đều phải xây dựng tồn bộ lý thuyết về
các đường đó và các vấn đề liên quan, việc xuất hiện nhiều khái niệm
mới và nhiều tính chất mới của các đường lại càng làm cho học sinh
thêm bối rối và khó tiếp nhận vấn đề hơn. Ngoài ra mỗi đường bậc hai lại
có những đặc điểm những tính chất khác nhau, nên việc nghiên cứu về
chúng có nhiều điểm khác nhau, phương pháp nghiên cứu và xây dựng
cũng khác lại càng tạo cho các em học sinh khó khăn hơn trong việc phân
định rõ ràng tính chất và bản chất từng loại.
Với mục tiêu khơng để đường bậc hai cịn xa lạ, đặc biệt là vấn đề
tiếp tuyến với các đường bậc hai khơng cịn là khó khăn với các em học
sinh. Bài viết này xin trình bày hai phương pháp xây dựng phương trình
tiếp tuyến với các đường bậc hai tổng quát. Trên cơ sở đó triển khai cho
các đường bậc hai trong chương trình THPT, nhằm rút ngắn khoảng cách
cho các em học sinh với các đường bậc hai và những vấn đề liên quan
đến đường bậc hai.
II. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1.MỤC TIÊU:
Giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quan về các đường bậc hai nói

chung và các đường bậc hai trong chương trình THPT. Rút gần khoảng
cách giữa các em và các đường bậc hai. Đặc biệt là bài tốn về phương
trình tiếp tuyến với các đường bậc hai
Trên cơ sở đó học sinh có thể vận dụng vào nghiên cứu các vấn đề
liên quan đến các đường bậc hai đã triển khai trong chương trình THPT,
một cách tồn diện và có hệ thống
Mở ra cho học sinh cái nhìn mới, cái nhìn tồn diện về đường bậc
hai và những vấn đề liên quan
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của Đường bậc hai
2. NHIỆM VỤ

Nhằm xây dựng vào bức tranh về đường bậc hai trong chương trình
THPT một cách cụ thể và tổng quan hơn
Trên cơ sở của việc xây dựng phương trình tiếp tuyến với các
đường bậc hai ở dạng tổng quát, giúp các em học sinh có thể tự triển khai
cho các đường bậc hai ở bậc THPT đã đề cập có thể bằng việc các em
vận dụng hoặc các em có thể tự xây dựng lại hồn tồn hệ thống lý
thuyết, giúp các em hiểu sâu hơn về bản chất của các đường và những nét
đẹp của đường bậc hai lí thú.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Nhận thức của bản thân về các vấn đề Hình học, Đại số và Giải tích
nói chung và đường bậc hai nói riêng.
Thơng qua đó tìm hiểu việc tiếp nhận và thái độ nhận thức của học
sinh lớp 12 về vấn đề đường bậc hai trong một chỉnh thể hoàn chỉnh hơn
so với các vấn đề về đường bậc hai đã nghiên cứu trong chương trình
THPT.

IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Dựa Trên cơ sở của phương pháp nghiên cứu về các ứng dụng của
Đại số và Giải tích vào Hình học ở bậc THPT
Trên cơ sở của việc tổng hợp những tra cứu, nhận định của bản
thân, những ý kiến đóng góp của đồng nghiệp cho vấn đề phương trình
tiếp tuyến của đường bậc hai. Tác giả đã phân tích vấn đề một cách
nghiêm túc, để tổng hợp lại thành bài viết này.
V. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

Dựa trên cơ sở lí thuyết về ứng dụng của Đại số, Giải tích vào
Hình học sơ cấp nói chung và đường bậc hai nói riêng.
Dựa vào khả năng tìm hiểu, nghiên cứu và sử lý vấn đề của đối
tượng nghiên cứu.
Bài viết được chia làm hai phần:
Phần I: Sử dụng phương pháp Giải tích xây dựng phương trình tiếp
tuyến của đường bậc hai trong trường hợp tổng quát
Phần II: Sử dụng phương pháp Đại số xây dựng phương trình tiếp
tuyến của đường bậc hai trong trường hợp tổng quát
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Trường THPT Lưu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

VI. NỘI DUNG

PHẦN I
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH XÂY DỰNG
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG BẬC HAI

TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT

A. LÝ THUYẾT
MỘT SỐ KHÁI NIỆM
1. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG
- Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) có miền xác định D.
Điểm x0 thuộc D sao cho tại x0 có f’(x0). Khi đó đường cong (C) có
phương trình tiếp tuyến là :

y – y0 = f’(x0)( x- x0 )

(*)

trong đó f’(x0) là hệ số góc của phương trình tiếp tuyến.
Bài tốn viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm M 0
(x0; y0 ) yêu cầu ta đi tìm f’(x0) và áp dụng phương trình (*) cho ta
phương trình tiếp tuyến cần tìm.
2. ĐƯỜNG BẬC HAI TỔNG QUÁT VÀ CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI
TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT
2.1 ĐƯỜNG BẬC HAI TỔNG QUÁT:

Đường bậc hai là một tập hợp (S) gồm tất cả các điểm M(x;y) thảo mãn
phương trình Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0 (S).
(Trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)
2.2 ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT

- Trong chương trình THPT đã đề cập đến các đường bậc hai là Elíp,
Hypebol, Parabol và Đường trịn và đề cập đến chúng đều ở dạng chính
tắc.
- Đường bậc hai (S) là phương trình đường bậc hai tổng quát cho tất cả

các đường bậc hai nói trên. ứng với mỗi giá trị của các số A, B, C, D, E,
F thì S sẽ là các đường Elíp hoặc Hypebol hoặc Parabol hoặc Đường

Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của Đường bậc hai
tròn ở dạng tổng quát hoặc một số đường bậc hai khác trong chương trình
THPT khơng đề cập đến.
2

2

2
2
⇔ A x + D  + C  y + E  = D + E − F
Cụ thể: Ta có (S)




A
C
A
C






B=0

A=C ≠0
- Nếu ta có 
thì (S) là một đường trịn có
 D  2  E  2 F
  +   − > 0
A
 A   A 

phương

trình dạng: Ax2 + Ay2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (C)
B=0


A> 0


- Nếu ta có: 
hoặc
C>0
 D  2  E  2
  +   − F > 0
 A   C 


B=0



A< 0


thì (S) là một

C<0
 D  2  E  2
  +   − F < 0
 A   C 


Elíp (E) có phương trình: Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0


B=0

A.C < 0
- Nếu ta có 
thì (S) là một Hypebol (H) có phương
2
 D   E  2
  +   − F ≠ 0
 A   C 

trình Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0
 A = B = 0

C .D ≠ 0
- Nếu ta có:  C = B = 0 thì (S) là một Parabol có phương trình



  A.E ≠ 0
 Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

2
 Ax + 2Dx + 2Ey + F = 0

(Chúng ta có thể dễ dàng kiểm chứng kết luận trên)
3. KHÁI NIỆM HÀM ẨN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Trường THPT Lưu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

3.1 KHÁI NIỆM HÀM ẨN
Cho

phương trình F(x;y) = 0 (1) . Nếu x thuộc một miền nào đó mà tồn

tại hàm số : y = f (x) duy nhất sao cho F(x. f(x)) = 0 thì hàm y = f (x)
được gọi là hàm ẩn của xác định bởi phương trình (1)
3.2 ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN
- Phương trình F(x;y) = 0 xác định y là hàm ẩn của x ( xem là hàm khả
vi) Lấy đạo hàm hai vế của phương trình F(x;y) = 0 theo x ta được
phươngtrình bậc nhất đối với y’ . Từ phương trình này ta tìm được y’
( tức là đạo hàm của hàm ẩn).
- Chúng ta có thể hiểu vấn đề này một cách đơn giản hơn như sau:
. Từ F(x;y) = 0 ta xem y là một hàm hợp của biến x. Đạo hàm hai vế của

phương trình cho ta phương trình bậc nhất đối với y ’, giải phương trình
bậc nhất tìm ra y’
( Do mục tiêu của ta trong bài toán viết phương trình tiếp tuyến như đã
giới thiệu ban đầu là đi xác định f’ (x0 ), nên yêu cầu ta cần xác định y ‘
= f’ (x ) của đường bậc hai tai điểm M(x0; y0))
. Ta có thể lấy một ví dụ minh hoạ u cầu trên.
VD1: Tìm y ‘ của đường bậc hai có phương trình
F(x;y) = x2 + y2 – 2x - 2y + 3 = 0
Xem y là một hàm hợp của x, đạo hàm hai vế của phương trình theo x ta
được. 2x – 2 + 2y. y ‘ - 2 y ‘ = 0 ⇒ y ‘ = −

2x + 1
;y ≠1
2y − 2

VD2: Tìm y ‘ của đường bậc hai có phương trình

x2 y 2
+
=1
a2 b2

Xem y là một hàm hợp của x, đạo hàm hai vế của phương trình theo x ta
2 x 2 yy ′
2 yy ′
2x
b2 
2x 
+ 2 = 1 ⇒ 2 = 1 − 2 ⇒ y′ =
 1 − 2 ; y ≠ 0

được 2
2y 
a
b
b
a
a 

Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của Đường bậc hai
B .BÀI TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
4. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG BẬC HAI

(Trong trường hợp tổng quát)
Bài toán:

Cho đường bậc hai : F(x;y) = 0 (S) với
F(x;y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx+2Ey + F
(A, B, C không đồng thời bằng 0 )

Điểm M(x0; y0) ∈ (S ) , viết phương trình tiếp tuyến với (S) tại M
Lời giải:
Xem y là một hàm hợp của x, đạo hàm hai vế (1) ta được:
F’(x;y)=0 2 Ax + 2 By + 2 By ′ + 2Cyy ′ + 2 D + 2 Ey ′ = 0
⇔ y′(2 Bx + 2Cy + 2 E ) + 2 Ax + 2 By + 2 D = 0
⇔ y′ = −

2 Ax + 2 By + 2 D

2 Ax0 + 2 By0 + 2 D
⇒ y′( x0 ) = −
2 Bx + 2Cy + 2 E
2 Bx0 + 2Cy0 + 2 E

Phương trình tiếp tuyến của
đường bậc hai (S) là
EMBED Equation.3
y − y 0 = y ′( x0 )( x − x 0 )
⇔ y − y0 = −

2 Ax 0 + 2 By 0 + 2 D
( x − x0 )
2 Bx0 + 2Cy 0 + 2 E

2
2
⇔ 2 Bx 0 y + 2Cy 0 y + 2 Ey − 2 Bx0 y 0 − 2Cy 0 − 2 Ey 0 = 2 Ax 0 − 2 Ax 0 x + 2 Bx0 y 0 − 2 Bxy 0 + 2 Dx 0 − 2 Dx

EMBED Equation.3 ⇔ Ax0 x + B( x0 y + xy 0 ) + Cy 0 y + D( x + x0 ) + E ( y + y 0 ) + F = 0
(*)
Vậy ta được phương trình tiếp tuyến của của đường bậc hai (S) tại
điểm M
⇔ Ax 0 x + B( x 0 y + xy 0 ) + Cy 0 y + D( x + x 0 ) + E ( y + y 0 ) + F = 0

(*)

Phương trình (*) là phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai (S) tại
điểm M(x0; y0) trong trường hợp tổng quát.
Ngày 15 tháng 5 năm 2006

Trường THPT Lưu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

Để cho việc triển khai vào ứng dụng làm các bài tập thuận lợi, rễ học rễ
nhớ. Người ta đặt cho phương trình (*) một cái tên là phương trình tiếp
tuyến của đường bậc hai viết bằng "Công thức phân đôi toạ độ"
Chúng ta sẽ vận dụng kết quả của bài toán tổng quát trên cho các đường
bậc hai trong chương trình THPT. Từ đó tìm ra điều kiện cần và đủ để
một đường thẳng là tiếp tuyến của đường bậc hai tương ứng
5. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI
(Trong chương trình THPT)
5.1 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN
a) Phương trình tiếp tuyến của đường trịn tại điểm M
Cho đường tròn (C)và điểm M(x0; y0) nằm trên (C) vận dụng kết quả của
bài toán tổng quát trên viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M
Xét phương trình đường trịn cho ở hai dạng:
Dạng1: Đường trịn (C) có phương trình
Ax2 + Ay2 + 2Dx +2Ey + F = 0 ĐK: EMBED Equation.3
A≠0

2
2

 D  +  E  − F > 0
 A   C 
   

Phương trình tiếp tuyến của (C) là ( Sử dụng "Công thức phân đôi toạ
độ" )

EMBED Equation.3 Ax0 x + Ay 0 y + D( x + x0 ) + E ( y + y 0 ) + F = 0

Dạng 2: Đường trịn (C) có phương trình (x - a)2+ (y - b)2 = R2
Dùng "Công thức phân đơi toạ độ " cho ta phương trình tiếp tuyến là:
(x0 - a )( x - a ) + (y0 - b )( y - b) = R2
b) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
Đường thẳng (l ) : A1x + B1y + C1 = 0,
Đường trịn (C) có tâm I(a ; b) bán kính R (R > 0)
Ta có:

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là
(x0 - a )( x - a ) + (y0 - b )( y - b) = R2
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của Đường bậc hai
(l ) cũng là tiếp tuyến của (C) tại M khi và chỉ khi hệ số của hai đường
thẳng tỉ lệ với nhau.
Bằng biến đổi đại số cho ta điều kiện là d(I; l) = R ( trong đó d là hàm
khoảng cách). Hoàn toàn đúng với kết quả mà ta đã biết.
5.2 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ELÍP
Trong chương trình phổ thơng sách giáo khoa chỉ mới đề cập đến phương
trình đường Elíp ở dạng chính tắc vì thế các vấn đề nghiên cứu đều thực
hiện trên phương trình chính tắc. Trong bài viét này tơi mở rộng phạm vi
nghiên cứa Elíp ở dạng tổng quát và đầy đủ hơn, tất nhiên chỉ tập trung
cho chủ đề chính của bài dó là phương trình tiếp tuyến với Elíp.
a) Phương trình tiếp tuyến của Elíp tại điểm M

-Xét phương trình Elíp ở hai dạng
Dạng1: Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0
B=0


A> 0


ĐK: EMBED Equation.3 
hoặc
C>0
 D  2  E  2
  +   − F > 0
 A   C 


EMBED Equation.3

B=0


A< 0



C<0
 D  2  E  2
  +   − F < 0
 A   C 


áp dụng Cơng thức phân đơi toạ độ :
Khi đó phương trình tiếp tuyến với Elíp tại điểm M trên Elíp là:
EMBED Equation.3 Ax0 x + Cy 0 y + D( x + x0 ) + E ( y + y 0 ) + F = 0

Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Trường THPT Lưu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

Dạng 2: Phương trình

( x − m) 2 ( y − n) 2
+
= 1 Phương
a2
b2

EMBED Equation.3

trình tiếp tuyến với Elíp tại điểm M thuộc Elíp là (áp Cơng thức phân đơi
tạo độ )
EMBED Equation.3

( x 0 − m)( x − m) ( y 0 − n )( y − n )
+
=1
a2

b2

b) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của Elíp
(Ta chỉ cần xét trong trường hợp E ở dạng chính tắc các trường hợp cịn
lại sử dụng cơng thức đổi trục toạ độ chuyển về dạng chính tắc sẽ đơn
giản hơn nhiều)

Cho Elíp (E) có phương trình: EMBED Equation.3

x2 y2
+
=1
a 2 b2

Đường thẳng (l ) có phương trình A1x + B1y + C1 = 0
áp dụng công thức phân đơi toạ độ cho ta phương trình tiếp tuyến với E
tai điểm M(x0; y0) là EMBED Equation.3

x0 x y 0 y
+ 2 =1
a2
b

Khi đó để (l ) cũng là tiếp tuyến với E tại M(x0; y0) điều kiện cần và đủ là

A a2
x0 = 1

x0
y

1

C1
= 02 =
⇒
EMBED Equation.3
2 thay vào Phương trình
2
C1
A1 a
B1b
 y = B1b
 0
C1


(E) cho ta điều kiện cần và đủ là: EMBED Equation.3 A12 a 2 + B12 b 2 = C12
(Kết quả này đã được trình bày trong sách giáo khoa hình giải tích 12)
- Nhiệm vụ là bây giờ ta sẽ mở rộng cho đường Elíp có phương trình
tổng qt

( x − m) 2 ( y − n) 2
+
=1
EMBED Equation.3
a2
b2
X = x − m
X2 Y2
⇒ (E) : 2 + 2 = 1

a
b
Y = y− n

. Bước 1: Đặt EMBED Equation.3 

Đường thẳng (l) có phương trình A1x + B1y +A1m+ B1n+ C1 = 0
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của Đường bậc hai
(trong hệ toạ độ XIY thì E ở dạng chính tắc , nên ta có quyền áp dụng
điều kiện đã xây dựng ở mục trên )
. Bước 2:áp dụng điều kiện để đường thẳng (l) là tiếp tuyến của (E) là
EMBED Equation.3 A12 a 2 + B12 b 2 = ( A 1m + B1 n + C1 ) 2
Chú ý : Đối với (E) có phương trình dạng
Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
B=0


A> 0


ĐK: EMBED Equation.3 
hoặc EMBED
C>0
 D  2  E  2
  +   − F > 0
 A   C 


B=0


A< 0


Equation.3 
Để tìm điều kiện cần và đủ cho đường
C<0
 D  2  E  2
  +   − F < 0
 A   C 


thẳng A1x + B1y + C1 = 0 là tiếp tuyến ta sẽ chuyển (E) về dạng tổng quát
EMBED Equation.3

( x − m) 2 ( y − n) 2
+
= 1 và vận dụng công thức đã xây
a2
b2

dựng trên
5.2 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA HYPEBOL
a) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M trên (H)
-Xét phương trình Hypebol ở hai dạng
Dạng1: Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0 ĐK: EMBED Equation.3




B=0

A.C < 0

 D  2  E  2
  +   − F ≠ 0
 A   C 

Khi đó phương trình tiếp tuyến với Elíp tại điểm M(x 0; y0) trên Elíp là:
áp dụng " Cơng thức phân đôi toạ độ" ta được
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Trường THPT Lưu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

EMBED Equation.3 Ax0 x + Cy0 y + D( x + x0 ) + E ( y + y0 ) + F = 0
Dạng 2: Phương trình

( x − m) 2 ( y − n) 2
−
=1
EMBED Equation.3
a2
b2

áp công thức phân đôi toạ độ, phương trình tiếp tuyến với Elíp tại điểm
M thuộc Elíp là

EMBED Equation.3

( x 0 − m)( x − m) ( y 0 − n)( y − n )
−
=1
a2
b2

b) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của Hypebol
Tương tự như phần 5.2. Ta chỉ cần xét trong trường hợp (H ) ở dạng
chính tắc các trường hợp cịn lại sử dụng Cơng thức đổi trục toạ độ đưa
Hypebol về dạng chính tắc sẽ đơn giản hơn nhiều
Cho Hypebol (H) có phương trình: EMBED Equation.3

x2 y2
−
=1
a2 b2

Đường thẳng (l ) có phương trình A1x + B1y + C1 = 0
áp dụng "Công thức phân đôi toạ độ" cho ta phương trình tiếp tuyến
với Hypebol tại điểm M(x0; y0) là EMBED Equation.3

x0 x y 0 y
− 2 =1
a2
b

Khi đó để (l ) cũng là tiếp tuyến với (H) tại M(x0; y0) điều kiện cần và đủ

là EMBED Equation.3


A a2
x0 = 1

x0
y
1

C1
= − 02 =
⇒
2 thay vào Phương
2
C1
A1 a
B1b
 y = − B1b
 0
C1


trình (H) cho ta điều kiện cần và đủ là: EMBED Equation.3
A12 a 2 − B12b 2 = C12 ( Kết quả này đã được trình bày trong sách giáo khoa hình

giải tích 12)

Ngày 15 tháng 5 năm 2006

Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của Đường bậc hai
- Ta sẽ mở rộng cho đường Hypebol có phương trình tổng quát
EMBED Equation.3
. Bước 1: Đặt

( x − m) 2 ( y − n) 2
−
=1
a2
b2

X = x − m
X2 Y2
⇒ (E) : 2 − 2 = 1
EMBED Equation.3 
a
b
Y = y− n

Đường thẳng (l) có phương trình A1x + B1y +A1m+ B1n+ C1= 0
(Trong hệ toạ độ XIY thì (H) ở dạng chính tắc, nên ta có quyền áp dụng
điều kiện đã xây dựng ở trên )
. Bước 2: áp dụng điều kiện để đường thẳng (l) là tiếp tuyến của E là
EMBED Equation.3 A12 a 2 − B12 b 2 = ( A 1m + B1n + C1 ) 2
Chú ý : Đối với (H) có phương trình dạng
Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 ĐK: EMBED Equation.3




B=0

A.C < 0

 D  2  E  2
  +   − F ≠ 0
 A   C 

Để tìm điều kiện cần và đủ cho đường thẳng A1x + B1y + C1 = 0 là tiếp
tuyến ta sẽ chuyển (E) về dạng tổng quát EMBED Equation.3
( x − m) 2 ( y − n) 2
−
= 1 EMBED Equation.3
a2
b2

và vận dụng công thức đã xây

dựng trên
5.4 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA PARABOL
a) Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M trên (P)
-Xét phương trình Parabol ở các dạng
Dạng1: Dạng chính tắc

y2 = 2px

( với p > 0)

Ngày 15 tháng 5 năm 2006

(P)


Trường THPT Lưu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

Điểm M(x0 ; y0) trên (P), phương trình tiếp tuyến của (P) tại M là
áp dụng "Công thức phân đôi toạ độ" ta được y 0 y = p (x + x0)
Tương tự cho các dạng cịn lại ta áp dụng Cơng thức phân đôi toạ độ rất
thuận lợi sẽ cho ta các kết quả
VD1: (P) có dạng Cy2 + 2Ey + 2Dx + F = 0 ĐK: CD EMBED
Equation.3 ≠ 0)
M(x0 ; y0) trên (P). Phương trình tiếp tuyến tại M là:
Cy0y + E(y0 + y ) + D(x + x0) + F=0
VD2: (P) có dạng y = ax2 + bx + c (a EMBED Equation.3 ≠ 0) Điểm
M(x0 ; y0) trên (P)
Phương trình tiếp tuyến tại M là: EMBED Equation.3

y + y0
2

= ax0x

b
2

EMBED Equation.3 + ( x0 + x ) + c
b) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của Parabol

Phương pháp xây dựng điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến
của Parabol tương tự như phần xây dựng điều kiện cần và đủ để đường
thẳng là tiếp tuyến của Elíp cho ta các kết quả sau:
Cho đường thẳng (l) có phương trình A 1x + B1y + C1 = 0
Dạng1: (P) có dạng y2 = 2px
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của
Parabol là: 2A' C' = p.B12
Dạng2: (P) có dạng y2 = - 2px

( với p > 0)

Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của
Parabol là: - 2A' C' = p.B12
Dạng3: (P) có dạng x2 = 2py

( với p > 0)

Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của
Parabol là: - 2B' C' = p.A12
Dạng4: (P) có dạng x2 = - 2py

( với p > 0)

Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của Đường bậc hai
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của
Parabol là: - 2B' C' = p.A12
Chú ý: Nếu (P) ở dạng EMBED Equation.3

 Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0;

2
 Ax + 2Dx + 2Ey + F = 0;

C.D ≠ 0
AE ≠ 0

Để tìm điều kiện cần và đủ để đường thẳng (l) là tiếp tuyến của (P)
ta sẽ làm như sau:
Bước1: Chuyển phương trình Parabol về dạng EMBED Equation.3
2

E
E2

C y +  = - 2Dx - F +
;

C
C


2

D
D2

;
 A x +  = - 2Ey - F +

A
A



C.D ≠ 0
AE ≠ 0

Bước2: Dùng công thức đổi trục toạ độ chuyển (P) về 1 trong 4 dạng đã
trình bày ở trên
Chuyển phương trình của đường thẳng (l) sang hệ toạ độ mới
Bước 3: Trong hệ toạ đô mới áp dụng điều kiện cần và đủ cho từng dạng
cụ thể cho ta kết quả.
Như vậy các bạn chú ý cho rằng đối với các đường bậc hai khi xét chúng
ta nên xét chúng ở dạng chính tắc. Cịn những dạng phức tạp khác chúng
ta nên dùng công thức đổi hệ trục toạ độ để chuyển chúng về dạng chính
tắc và vận dụng cơng thức đã xây dựng trong phần đường bậc hai xét ở
dạng chính tắc.
Kết luận 1:
Bằng phương pháp giải tích ta đã xây dựng được phương trình tiếp tuyến
với đường bậc hai nói chung và các đường bậc hai đã nghiên cứu trong
chương trình THPT nói riêng. Trên cơ sở đó đã vận dụng tìm điều kiện
cần và đủ để một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường bậc hai cụ
thể đã xét trong chương trình THPT.
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Trường THPT Lưu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

PHẦN II.
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP
TUYẾN VỚI ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT

MỘT SỐ KHÁI NIỆM
1.ĐƯỜNG BẬC HAI:
F(x; y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0 (S).
2. PHƯƠNG TRèNH TIP TUYN CA NG BC HAI.
Định nghĩa:

ng thng (d) là tiếp tuyến của đường bậc hai (S). Nếu d cát (S) tai hai
điểm trùng nhau hoặc d nằm trọn vện trên đường (S),
(Điểm trùng nhau nói đến trong định nghĩa được gọi là tiếp điểm)
Trên cở sở của định nghĩa trên ta sẽ đi xây dựng phương trình tiếp tuyến
của đường bậc hai (S) tại một điểm nằm trên (S).
3. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾT CỦA ĐƯỜNG BẬC HAI
Cho đường bậc hai (S): F(x; y) =Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey + F =0
Điểm M(x0;yy0) trên (S) và đường thẳng d có phương trình EMBED
 x = x 0 + at

Equation.3  y = y + bt
0

(trong đó a,b không đồng thời bằng 0)
Xác định a,b để đường thẳng d là tiếp tuyến của (S)

Ngày 15 tháng 5 năm 2006

Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của Đường bậc hai
Xét phương trình giao điểm của (S) và d EMBED Equation.3


 x = x0 + at



 y = y 0 + bt
 Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

⇒ A( x 0 + at ) 2 + 2 B( x0 + at )( y 0 + bt ) + C ( y 0 + bt ) 2 + 2 D( x 0 + at ) + 2 E ( y 0 + bt ) + F = 0
⇔ Rt 2 + Qt + P = 0, (1)

Trong đó


P = A.a 2 + 2 Bab + Cb 2

EMBED Equation.3  Q = Aax0 + B( ay 0 + bx0 ) + Cby 0 + Da + Eb
 R = Ax 2 + 2Bx y + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F
0
0 0
0
0
0


Do M EMBED Equation.3 ∈ (S) nên ta có EMBED Equation.3
2

2
Ax 0 + 2Bx 0 y 0 + Cy 0 + 2Dx 0 + 2Ey 0 + F

EMBED Equation.3 ⇒ R = 0

nên ta có (1) trở thành Rt2 + Qt = 0 (2)
Để d là tiếp tuyến của (S) thì phương trình (2) phải có hai nghiệm trùng
nhau. Cần và đủ là Q = 0 EMBED Equation.3 ⇒ EMBED Equation.3
Aax0 + B( ay 0 + bx 0 ) + Cby 0 + Da + Eb EMBED Equation.3 ⇒

(Ax0 + B y0 + D)a + (Bx0 + C y0 + E)b = 0 (3)
Từ (3)
- Nếu

 Ax0 + By 0 + D = 0

EMBED Equation.3  Bx + Cy + E = 0 thì ta chọn a, b tuỳ ý.
0
 0

"Đối với các đường bậc hai trong chương trình THPT thì trường hợp này
khơng xảy ra. vì đây là trường hợp hàm bậc hai suy biến"
- Nếu

 Ax 0 + By 0 + D ≠ 0

EMBED Equation.3  Bx + Cy + E = 0 thì ta chọn
0
 0
 b = Ax0 + By 0 + D

Equation.3  a = −( Bx + Cy + E )
0
0

Khi đó phương trình đường thẳng d có dạng
Ngày 15 tháng 5 năm 2006

EMBED


Trường THPT Lưu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

(Ax0 + By0 + D)(x - x0) + (Bx0 + C y0 + E)(y- y0)= 0

(4)

Đặt Fx(x0; y0) = Ax0 + B y0 + D và Fy(x0; y0) = Bx0 + C y0 + E
(4) trở thành : Fx(x0; y0) (x - x0) + Fy(x0; y0) (y- y0)= 0

(5)

Vậy phương trình (5) là phương trình đường thẳng d cũng là phương
trình tiếp tuyến cuả đường bậc hai (S) tại điểm M
Ta có thể biến đổi (4) về phương trình:
(4) EMBED Equation.3 ⇔ Ax0x+ B(x0 y + y0 x) + Cy0y + D(x0 + x) +
E(y0 + y) + F = 0

(6)
(Công thức phân đơi toạ độ)

"Hồn tồn giống kết quả Phần I xây dựng bằng phương pháp giải tích."
4. VẬN DỤNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI
TRONG CHƯƠNG TRèNH THPT

* Đờng tròn:
Dng: ng trũn (C) cú phng trỡnh
Ax2 + Ay2 + 2Dx +2Ey + F = 0 ĐK: EMBED Equation.3
A≠0

2
2

 D  E
  +   − F > 0 , M(x0; y0) EMBED Equation.3 ∈ (C).
 A   C 


Ta có: Fx(x0; y0) = Ax0 + 0 y0 + D và Fy(x0; y0) = 0x0 + Ay0 + E
áp dụng phương trình (5) cho ta phương trình tiếp tuyến của (C) tai M là:
Fx(x0; y0) (x - x0) + Fy(x0; y0) (y- y0) = 0
EMBED Equation.3 ⇔ (Ax0 + D) (x - x0)+ (Ay0 + E) (y- y0) = 0
EMBED Equation.3 ⇔ Ax0x+ Ay0y + D(x0 + x) + E(y0 + y) + F
=0
Vậy phương trình tiếp tuyến của đường trịn (C) là:
Ax0x+ Ay0y + D(x0 + x) + E(y0 + y) + F = 0
Tương tự cho đường trịn có phương trình
Ngày 15 tháng 5 năm 2006

Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của Đường bậc hai
(C): (x - a)2 + (y - b2 ) = R2 Điểm M(x0; y0) EMBED
Equation.3 ∈ (C)
Phương trinhg tiếp tuyến với (C) tại M là :
(x0 - a)( x - a) + (y0 - b)(y - b) = R2
* Đối với các đường Elíp, Hypebol và Parabol ta để viết phương trình
tiếp tuyến với các đường ta cũng thực hiện hồn tồn tương tự như
phương trình đường trịn. Tức là bằng cách áp dụng phương trình (5)
hoặc phương trình (6) sẽ cho ta kết quả ngắn gọn.
* Giống như Phần I việc xây dựng điều kiện cần và đủ để một đường
thẳng là tiếp tuyến của đường bậc hai. Kết quả cho ta hoàn toàn như kết
quả đã xây dựng trong Phần I.
Kết luận 2: Trên cở sở sử dụng phương pháp đại số ta cũng xây dựng
được phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai tại một điểm nằm trên
nó trong trường hợp tổng quát và thiết lập được điều kiện cần và đủ để
một đường thẳng là tiếp tuyến của đường bậc hai
VII. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:

- Trên cở sở giải tích, đại số ( cổ điển) ta xây đựng được phương trình
tiếp tuyến của một đường bậc hai trong trường hợp tổng quát và tìm được
điều kiện cần và đủ để một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường bậc
hai trong các trường hợp của đường bậc hai đã xét trong chương trình
THPT.
- Kết quả xây dựng được có thể vận dụng trực tiếp vào giải quyết các bài
toán liên quan đến tiếp tuyến của đường bậc hai ở bậc THPT một cách
đơn giản và tất nhiên hiệu quả trông thấy.
- Vấn đề này đã giải quyết được nhiều vướng mắc trong lí luận và nhận
thức về đường bậc hai . Đặc biệt là vấn đề phương trình tiếp tuyến.

- Nghiên cứu trong một tổng thể tương đói hồn chỉnh về một đối tượng
hình học trên cỏ sở của đại số và giải tích sẽ mở ra cho các bạn học sinh
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Trường THPT Lưu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

một tầm nhìn mới khơng chỉ cho việc vận dụng thực hành mà còn cho
nhận thức tổng quan về sự qua lại giữa các đối tượng trong một chỉnh thể
hồn chỉnh đó là khoa học tự nhiên.
- Toán học thật thú vị, càng tìm hiểu ta càng phát hiện ra những điều thật
bí ẩn và hấp dẫn. Đơi khi nó khơng q khó q bí hiểm như lâu nay ta
vẫn nghĩ, cái khó đơi khi lại là cái rất gần ta mà ta chưa khám phá ra.
Mong rằng với lịng nhiệt tình và tình u tốn học, chúng ta sẽ phát hiện
ra nhiều những điều lí thú và hữu dụng về tốn học .
Hoằng Hoá, ngày 15 tháng 5 năm 2006
Người viết:
Giáo viên : Lê Văn Chí

Ngày 15 tháng 5 năm 2006