Mã Hóa Kênh Trong Nguyên Lý Truyền Thông

Mã hóa kênh

Khái niệm cơ bản

Mã khối:

Từ mã: biểu diễn nh một vecto có độ dài cố định n.

Độ dài từ mã: là số ký hiệu có trong từ mã.

Mỗi ký hiệu nhận một giá trị nhị phân 0 hay 1(m =
2) gọi là mã nhị phân.

Khi m >1 thì không còn là mã nhị phân, có thể là mã
tam phân, bát phân, thập phân tuỳ vào mỗi ký hiệu
nhận các giá trị trong hệ đếm nào đó.


Mã khối : Là tập hợp các vecto có độ dài cố
định.

Với mỗi từ mã có độ dài cố định n thì có thể
xác định đ ợc 2
n
từ mã có độ dài n.

Từ 2
n
tổ hợp có thể chọn ra 2
k

từ mã (k < n)
tạo ra bộ mã, trong đó k là các bit thông tin đ ợc
mã hoá.

Khối k bit thông tin đ ợc ánh xạ thành một từ
mã có độ dài n. Tập hợp các từ mã đó gọi là mã
khối (k,n) với tốc độ mã hoá R = k/n


Trọng l ợng của từ mã: số l ợng các ký hiệu khác
0 trong một từ mã (w
r
)

Ví dụ: a = 10010011 có trọng l ợng w
a
= 4.

Một bộ mã với các từ mã có cùng trọng l ợng
gọi là bộ mã có trọng l ợng cố định.

Khoảng cách hamming d
ij
: sự khác nhau của
các ký hiệu t ơng ứng (cùng vị trí) giữa hai từ mã,
với i#j thì
0 < d
ij
< n.

•
Kho¶ng c¸ch hamming cña hai tõ m· u,v b»ng
träng l îng hamming cña tæng u vµ v.
d
(u,v)
= W
(u+v)
vÝ dô: u = 1001011, v = 1110010 cã kho¶ng
c¸ch hamming d
u,v
= 4
Mµ: u+v = 0111001 cã W
(u+v)
= 4


Khoảng cách hamming tối thiểu dmin
Dmin = min {W(c), c = u+v, c#0}= Wmin

Wmin = min{W(X),x thuộc mã tuyến tính,
x#0} là trọng l ợng hamming tối thiểu

Gọi C là từ mã tuyến tính có matran kiểm
tra H. Trọng l ợng hamming tối thiểu của C là
số cột nhỏ nhất của H mà tổng mỗi cột này
bằng 0

ví dụ:

=
1110100
0111010
1101001
H
Từ matran H có 3 cột có tổng bằng 0 nên W
min
= 3


Phép toán cộng:

Tập hợp F là đóng trên tr ờng toán cộng, có nghĩa là
a,b thuộc F thì a +b thuộc F

Có tính kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c)

Tính giao hoán: a + b = b + a

Phần tử không: a + 0 = 0 + a = a.

Phần tử đối: là phần tử thực hiện phép toán sao cho:

a b = a + ( - b) thì - b là đối với b:

Việc mã hoá và giải mã thực hiện các phép toán cộng
và nhân số học trên các từ mã. Với bộ mã nhị phân thì
các phép toán trên bộ mã là phép toán modul 2.


Quy t¾c thùc hiÖn phÐp céng modul:
•
Cho tËp hîp c¸c sè nguyªn: G(m) ={0,1…m-1)
víi phÐp to¸n céng modul ® îc thùc hiÖn nh sau:
Trong ®ã r lµ sè d cña (i + j ) /m, r thuéc G .
PhÐp céng trªn gäi lµ phÐp céng

modul-m.
rji =⊕
•
Víi hai sè nguyªn i,j bÊt kú trong G th× :

VÝ dô: thùc hiÖn phÐp céng modul – 5:
G(5) = {0,1,2,3,4)
B¶ng céng modul-5
0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
⊕

Phép toán nhân:

Trong tập F là đóng trên tr ờng toán nhân: a,b thuộc
F thì a.b thuộc F.

Có tính kết hợp: a(bc) = (ab)c

Tính giao hoán: a.b = b.a

Tính phân phối với phép cộng: (a + b)c = ac + bc.

Phần tử đơn vị: a 1 = 1a =a

Phần tử nghịch đảo: b thuộc F thì b#0 thuộc F, phần
tử nghịch đảo của b là b
-1
và b.b
-1
= 1.


Quy tắc thực hiện phép nhân modul m.

Xác định tập hợp các số nguyên trong tập
G(m) = (1m-1). Trong đó m là một số nguyên
tố.phép nhân modul m đ ợc thực hiện nh sau:

Với i, j bất kì thuộc G thì : i (.) j = r. với r =
(i.j)/m và r phải thuộc G.

•
VÝ dô: thùc hiÖn phÐp nh©n modul-5:
•
X¸c ®Þnh c¸c sè nguyªn trong tËp G(5) = (1,2,3,4}
•
M = 5 lµ mét sè nguyªn tè.
(.) 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1


Tr ờng toán học nhị phân GF(2): là thực hiện phép
toán với hệ nhị phân.

Xét đa thức trên tr ờng nhị phân GF(2) nh sau:
F(x) = f
0
+ f
1
.x

+ f
2
.x
2
+f
n

.x
n

với f
i
= 0 hay 1 (0 i n)
-
Nếu f
n
= 1 thì f(x) có bậc n
-
Nếu f
n
= 0 thì f(x) có bậc nhỏ hơn n.
-
Nếu f(x) = f
0
thì bậc của f(x) là 0.

Vậy đa thức trên GF(2) là đa thức có các hệ số thuộc
GF(2) ví dụ: x
2
+x+1, 1+x
2
, x+x
2
.


PhÐp to¸n céng trªn GF(2):

•
Thùc hiÖn phÐp to¸n céng cña g(x) + f(x) víi:
F(x) = f
0
+ f
1
x+f
2
x
2
…f
n
x
n
vµ g(x) = g
0
+g
1
x+g
2
x
2
…+g
m
x
m
Th×:
f(x) + g(x) = (f
0
+g

0
)+(f
1
+g
1
)x +(f
2
+g
2
)x
2
+…(f
m
+g
m
)x
m
PhÐp céng trªn thùc hiÖn phÐp céng modul 2.
VÝ dô: a(x) = 1 + x + x
3
+x
5
, b(x) = 1+x
2
+x
4
+x
5
+x
7

:
a(x) +b(x) = (1+1) +x+x
2
+x
3
+x
4
+(1+1)x
5
+x
7
= x+x
2
+x
3
+x
4
+x
7

Thùc hiÖn phÐp nh©n víi hai ®a thøc trªn GF(2):
C(x) = f(x).g(x) = c
0
+c
1
x+c
2
x
2
+…+ c

n+m
x
n+m
Víi c
0
= f
0
g
0
, c
1
= f
0
g
1
+f
1
g
0
, c
2
= f
0
g
2
+f
1
g
1
+f

2
g
0
…
C
i
= f
0
g
i
+f
1
g
i-1
+f
2
g
i-2
+…+f
i
g
0
C
n+m
= f
n
g
m
PhÐp céng vµ nh©n c¸c hÖ sè lµ phÐp to¸n modul-2
( )

( ) ( )
xgxfxc
xxxxgxxxxf
.)(
1,1)(
54253
=
+++=+++=
VÝ dô:

Trong ®ã:f
0
= 1, f
1
=1,f
2
= 0,f
3
=1,f
4
=0,f
5
= 1
g
0
= 1, g
1
=0, g
2
=1,g

3
=0,g
4
=1,g
5
=1
( )
42
0514233241505
04132231404
031221303
0211202
01101
000
1
0
1
01.10.01.10.1
11.00.11.1
110
11.1.
xxxc
gfgfgfgfgfgfc
gfgfgfgfgfc
gfgfgfgfc
gfgfgfc
gfgfc
gfc
++=
=+++++=

=++++=
=+++=+++=
=++=++=
=+=+=
===
Trong ®ã:

PhÐp chia hai ®a thøc trªn tr êng GF(2):
vÝ dô: a(x) = x
6
+x
5
+x
4
+x+1, b(x) = x
3
+x+1
A(x) :b(x) = x
3
+x
2
d x
2
+x+1

•
M· tuyÕn tÝnh:m· tuyÕn tÝnh cã ®é dµi n lµ m· víi
c¸c tõ m· cã c¸c ký hiÖu lµ tuyÕn tÝnh.
•
M· tuyÕn tÝnh (k,n) víi tèc ®é m· ho¸ R = k/n, k sè

bit th«ng tin ® a vµo m· ho¸, n ®é dµi cña m· tuyÕn
tÝnh.
•
Ma tr©n sinh vµ ma tr©n kiÓm tra:
XÐt k bit th«ng tin ® a vµo m· ho¸ ký hiÖu lµ :
X
m
= {x
m1
,x
m2
…x
mk
}
®Çu ra bé m· ho¸:
C
m
= {c
m1
,c
m2
…c
mn
}

Quá trình thực hiện của bộ mã hoá nh sau:
c
mj
= x
m1

g
1j
+x
m2
g
2j
++x
mk
g
kj
với j = 1,2n.
g
ịj
nhận các giá trị 0 hay 1. Ph ơng trình C
mj
đ ợc biểu
diễn bởi:
C
m
= X
m
G
G là ma trân sinh của từ mã:

=












=
knkk
n
n
k
ggg
ggg
ggg

g
g
g
G
21
22221
11211
2
1

Vậy từ mã là tổ hợp tuyến tính của các vecto {g
i
} của
G.
C
m
= x
m1
g
1
+x
m2
g
2
+x
mk
g
k
Ma trân sinh G chuyển về dạng hệ thống sau:
[ ]

==



kknkk
kn
kn
K
ppp
ppp
ppp
PIG
21
22221

11211
100
010
001
I
k
là matran đơn vị, P là ma trân [k,(n-k)] dùng để
xác định (n-k) bit kiểm tra parity

Víi matran hÖ thèng t¹o ra m· khèi tuyÕn tÝnh th× k bit
®Çu tiªn lµ c¸c bit th«ng tin, n-k bit cßn l¹i lµ c¸c bit
kiÓm tra.
XÐt vÝ dô:m· (7,4) cã ma tr©n sinh
],[
1101000
0110100
1110010
1010001
PIG =

















=
Mét tõ m· ® îc biÓu diÔn:
C
m
= {x
m1
,x
m2
,x
m3
,x
m4
,c
m5
,c
m6
,c
m7
}
{x
mi
} lµ c¸c bit th«ng tin, {c
mi
}lµ c¸c bit kiÓm tra.

Các bit kiểm tra đ ợc xác định bởi:
Cm5 = xm1+xm2+xm3,
Cm6 = xm2+xm3+xm4
Cm7 = xm1+xm2+xm4

Ma trận kiểm tra H:
- Với mã tuyến tính có ma trân sinh G luôn tồn tại một
ma trận kiểm tra H
n-k,n
Trong đó: P
T
là matran chuyển vị của P và G.H
T
=0
[ ]
kn
T
nkn
IpH

= .
,
- Mỗi từ mã C
m
đều trực giao với mỗi hàng của H nên:
C
m
.H
T
= 0 hay G.H

T
= 0

[ ]












==
1101000
0110100
1110010
1010001
4
PIG
ChoÉm tuyÕn tÝnh (7,4) cã ma tr©n G sau:
Ta cã thÓ thµnh lËp ma trËn kiÓm tra H

sau:
[ ]











==
1001011
0101110
0010111
,
3
IPH
T
Tõ ma trËn H ta cã thÓ thÊy:
X
m1
+x
m2
+x
m3
+c
5
= 0, x
m2
+x
m3
+x

m4
+c
6
= 0
X
m1
+x
m2
+x
m4
+c
7
= 0


Ma trận H dùng để kiểm tra từ mã nhận đ ợc là chẵn
hay lẻ.
- Nếu chẵn thì số bit 1 trong môt từ mã là chẵn
- Nếu lẻ thì số bit 1 trong từ mã là lẻ.
Ma trận H gọi là ma tran kiểm tra chẵn lẻ của mã
(n,k)


Khả năng phát hiện sai và sửa sai của mã khối.

Một mã khối có khoảng cách tối thiểu d
min
có khả
năng phát hiện đ ợc cực đại (d
min

1) lỗi.

Mã khối có khoảng cách tối thiểu d
min
có khả năng
sửa lỗi ngẫu nhiên t = (d
min
- 1)/2 (có thể sủa đ ợc
những từ mã sai có số lỗi ít hơn hay bằng t.


Dãy tiêu chuẩn và giải mã Syndrome.

Giải mã sử dụng ma tran kiểm tra H.
Giả sử C
m
là từ mã truyền đi,Y là từ mã nhân đ ợc
Y = c
m
+e, e là vecto lỗi
- Các syndrome của mẫu lỗi đ ợc xác định bởi:
Y.H
T
= (c
m
+e)H
T
= c
m
H

T
+eH
T
= eH
T


= S

(c
m
trực giao
với mọi hàng của H nên c
m
.H
T
= 0)
S là vecto có (n-k) phần tử.
- Mỗi từ mã có n phần tử nên có thể có 2
n
mẫu lỗi và
chỉ có 2
n-k
syndrom. nên các mẫu lỗi khác nhau có thể
tạo ra cùng syndrome