Một số tính chất cơ bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị

1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài khóa luận
Trong thế kỷ hai mươi, lý thuyết môđun đã đạt được nhiều thành tựu
rực rỡ. Cấu trúc của nhiều lớp môđun đã được thiết lập và được áp dụng vào
các lĩnh vực khác của toán học hiện đại.
Do nhu cầu phát triển của nội bộ toán học, vào những năm giữa thế kỷ hai
mươi, lý thuyết nửa vành và lý thuyết nửa môđun trên nửa vành ra đời và đã thu
hút nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Dựa trên những thành
tựu đạt được về lý thuyết môđun, nhiều kết quả về môđun đã được chuyển sang
nửa môđun với những sự thay đổi thích hợp và khá tinh tế.
Hiện nay sinh viên chuyên ngành sư phạm toán trường Đại học Hùng
Vương mới chỉ có điều kiện tiếp xúc với lý thuyết môđun, chưa có điều kiện
tiếp xúc với lý thuyết nửa môđun. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về một
số tính chất cơ bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị và
nhằm cung cấp cho các bạn đọc một tài liệu về lý thuyết nửa môđun để các
bạn có thể nghiên cứu sâu hơn, chúng tôi chọn đề tài
“Một số tính chất cơ
bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị” cho khóa luận tốt
nghiệp đại học của mình.
2. Mục tiêu khóa luận
Hệ thống, phân tích, làm rõ và mở rộng một số tính chất cơ bản của nửa
môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống kiến thức về cấu trúc và tính chất đại số của vành, từ đó hệ
thống, nghiên cứu các tính chất đại số của nửa vành.
Hệ thống và chứng minh một số tính chất cơ bản của nửa môđun trên
nửa vành giao hoán có đơn vị.

2

4. Phương pháp nghiên cứu
•
Phương pháp nghiên cứu lý luận: Thu thập, đọc và nghiên cứu tài liệu,
giáo trình, các bài báo khoa học có liên quan đến Lý thuyết nửa môđun
rồi phân hóa, hệ thống hóa các kiến thức.
•
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên tham khảo tài
liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên
cứu.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng: Nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị.
• Phạm vi: Một số tính chất cơ bản của nửa môđun trên nửa vành giao
hoán có đơn vị.
6. Ý nghĩa khoa học
Khóa luận sau khi hoàn thành có thể là tài liệu tham khảo cho nhu cầu
tìm hiểu về lý thuyết nửa vành và nửa môđun.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia
thành các chương:
Chương 1. Các đặc trưng của nửa vành
1.1. Nửa vành
1.2. Nửa vành con
1.3. Iđêan và nửa vành thương
1.4. Đồng cấu nửa vành
Chương 2. Nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị
2.1. Nửa môđun, nửa môđun con và nửa môđun thương
2.2. Tổng và giao của các nửa môđun con
2.3. Đồng cấu nửa môđun
2.4. Nửa môđun giản ước được
3

2.5. Nửa môđun tự do
2.6. Nửa môđun xạ ảnh
2.7. Nửa môđun nội xạ

























4
CHƯƠNG 1.

CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA NỬA VÀNH
1.1. Nửa vành
Định nghĩa 1.1.1.
Ta gọi là nửa vành một tập hợp
R
cùng với hai phép toán hai ngôi trên
R
kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu
+
và
.
và gọi là phép cộng và phép nhân
sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
i)
+
( , )
R
là một vị nhóm giao hoán với phần tử trung hòa 0.
ii)
( ,.)
R
là một nửa nhóm.
iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử tùy ý
∈
, ,
x y z R
ta có:
+ = +
( )
x y z xy xz

,
+ = +
( )
z x y zx zy
.
iv)
= = ∀ ∈
0 0 0
,
x x x R
.
R
là nửa vành giao hoán có đơn vị nếu phép nhân giao hoán và có
phần tử trung lập. Phần tử trung lập đó gọi là phần tử đơn vị của
R
và thường
được kí hiệu là
1
.
Ví dụ 1.1.2.
1) Tập hợp
ℕ
các số tự nhiên cùng với phép cộng và phép nhân thông
thường là một nửa vành giao hoán có đơn vị.
2) Tập hợp các ma trận vuông cấp
n
,
>
1
n

với phần tử là các số tự
nhiên cùng với phép cộng và nhân ma trận là một nửa vành có đơn vị, nửa
vành này không giao hoán.
3) Tập hợp các số tự nhiên là bội của một số tự nhiên
>
1
n
cho trước
là một nửa vành, nửa vành này giao hoán nhưng không có đơn vị.
4) Cho
X
là một vị nhóm giao hoán. Tập hợp các tự đồng cấu đi từ
X

đến
X
là một nửa vành có đơn vị.
5
5) Tích Đề các
×
ℕ ℕ
cùng với hai phép toán xác định bởi:
+ = + +
( , ) ( , ) ( , )
a b c d a c b d
và
+ =
( , ) ( , ) ( , )
a b c d ac bd

là một nửa vành giao hoán có đơn vị.
Định lý 1.1.3.
Cho
R
là nửa vành giao hoán có đơn vị. Với mọi
∈
, , , , :
a b c d e R

i)
+ = + =
0 0
.
a a a

ii)
=
1
.
a a

iii)
(
)
(
)
   
+ + = + +
   
.

ae b c d db a ed cd

Chứng minh.
i), ii) Hiển nhiên.
iii) Ta có:
+ + = + +
= + +
= + +
= + +
[(



) ] ( )
( )
[( ) ]
[ ( ) ].
ae b c d ae b d cd
ae d bd cd
bd ae d cd
db a ed cd
□

Định nghĩa 1.1.4.
Một phần tử
a
của một nửa vành có đơn vị được gọi là có nghịch đảo
cộng nếu tồn tại một phần tử
b
của

R
sao cho
+ =
0
a b
.
Mệnh đề 1.1.5.
Nghịch đảo cộng của một phần tử của nửa vành có đơn vị
R
là duy
nhất.
Chứng minh.
Trong nửa vành có đơn vị
R
, giả sử
b
là một nghịch đảo cộng của
a
.
Nếu tồn tại
'
b
cũng là nghịch đảo cộng của
a
thì ta có:
+ = = +
0
'
a b a b
.

Khi đó
= + = + + = + =
0 0
' ' '
b b b a b b b
.
Vậy nghịch đảo cộng của một phần tử là duy nhất.
□

6
Kí hiệu nghịch đảo cộng của
a
(nếu có) là
−
a
, tập tất cả các phần tử
của
R
có nghịch đảo cộng là
( )
V R
.
Nhận xét 1.1.6.
i)
≠ ∅
( )
V R
vì
∈
0

( )
V R
với
− =
0 0
.
ii)
( )
V R
là một vị nhóm con của vị nhóm cộng
+
( , )
R
.
iii)
R
là một vành khi và chỉ khi
=
( )
V R R
.
iv)
R
không có tổng không khi và chỉ khi
=
{0}
( ) .
V R

Định nghĩa 1.1.7.

Một phần tử
a
của một nửa vành có đơn vị được gọi là giản ước được
nếu
+ = +
a b a c
thì
=
b c
.
Kí hiệu tập tất cả các phần tử giản ước được của
R
là
+
( ).
K R

Nhận xét 1.1.8.
i)
+
∈
0
( ).
K R

ii)
+
≠ ∅
( )
K R

vì
+
⊂
( ) ( )
V R K R
.
iii)
+
( )
K R
là một vị nhóm con của vị nhóm cộng
+
( , )
R
.
Nửa vành có đơn vị
R
được gọi là giản ước được nếu
+
=
( )
K R R
.
Ví dụ 1.1.9.
1) Nửa vành có đơn vị
R
mà không là một vành, là giản ước được. Vì
vậy ta có thể có
+
= =

{0}
( ) ( ) .
R K R V R


2) Nếu
X
là một tập hợp có hơn một phần tử thì nửa vành có đơn vị
∪ ∩
( ( ), , )
sub X
không giản ước được.
Định nghĩa 1.1.10.
Một phần tử
r
của một nửa vành có đơn vị
R
được gọi là khả nghịch
nếu tồn tại một phần tử
'
r
của
R
thỏa mãn
= =
1
' '
rr r r
.
Phần tử

'
r
được gọi là nghịch đảo của
r
trong
R
, kí hiệu:
−
1
r
.
7
Mệnh đề 1.1.11.
Nghịch đảo của một phần tử (nếu có) là duy nhất.
Chứng minh.
Giả sử
'
r
là nghịch đảo của
r
. Nếu
''
r
cũng là nghịch đảo của
r
thì
ta có:
= =
1
' ''

rr rr
. Khi đó:
= = = = =
1 1
' ' '( '') ( ' ) '' '' ''.
r r r rr r r r r r

Vậy nghịch đảo của một phần tử là duy nhất.
□

Nhận xét 1.1.12.
Nếu
r
và
'
r
là khả nghịch trong
R
thì
− −
=
1 1
( )
r r
và
− −
=
1 1
( ')
rr r r

.
Mệnh đề 1.1.13.
Cho nửa vành
≠
{0}
R
. Kí hiệu
( )
U R
là tập tất cả các phần tử khả
nghịch của
R
. Khi đó:
≠ ∅

) ( )
i U R
.
≠

) ( )
ii U R R
.
Chứng minh.
i)
= ⇒ ∈ ⇒ ≠ ∅
1 1 1 1
. ( ) ( ) .
U R U R

ii)
∀ ∈ =
⇒
∉
0 0 0
: ( ).
r R r U R

□

Nhận xét 1.1.14.
( )
U R
là một vị nhóm con của
( ,.)
R
.
Nếu
=
{0}
( ) \
U R R
thì
R
được gọi là một nửa vành chia có đơn vị.
Mệnh đề 1.1.15.
Một nửa vành chia có đơn vị hoặc là có tổng không hoặc là một vành
chia.
Chứng minh.
Giả sử

R
không phải là nửa vành có tổng không. Khi đó tồn tại một
phần tử khác không
a
của
R
có một nghịch đảo cộng là
−
a
.
8
Nếu
≠ ∈
0
c R
thì
− − −
+ − = + − = =
1 1 1
0 0
( ) ( ( ))
c ca a ca a a ca
và vì
vậy
c
cũng có một nghịch đảo cộng. Vậy
+
( , )
R
là một nhóm, nên

R
là một
vành.
□

1.2. Nửa vành con
Định nghĩa 1.2.1.
Giả sử
R
là một nửa vành,
A
là một bộ phận của
R
ổn định đối với
hai phép toán trong
R
, nghĩa là
+ ∈
x y A
và
∈
xy A
với mọi
∈
,
x y A
.
A

là một nửa vành con của

R
nếu
A
cùng với hai phép toán cảm sinh trên
A

là một nửa vành.
Định lý 1.2.2.
Giả sử
A
là một bộ phận khác rỗng của một nửa vành
R
. Các điều
kiện sau đây là tương đương:
i)
A
là một nửa vành con của
R
.
ii) Với mọi
∈
,
x y A
,
+ ∈
x y A
,
∈
xy A
và

=
0 0
a
.
Chứng minh.
⇒
) )
i ii
Vì
A
là một nửa vành con của
R
nên ta có ngay
+ ∈
x y A

và
∈
xy A
. Mặt khác
A
là một nửa vành con nên
+
( , )
A
là một vị nhóm với
phần tử trung hòa
0
, suy ra
=

0 0
a
với mọi
∈
a A
.

⇒
) )
ii i
Các phép toán cảm sinh trên
A
cũng có tính chất kết hợp và
phân phối. Do đó
A
thỏa mãn 4 điều kiện của một nửa vành. Suy ra
A
là
một nửa vành con của
R
.
□

Ví dụ 1.2.3.
1) Bộ phận
{0}
chỉ gồm có phần tử không và bộ phận
R
là hai nửa
vành con của

R
.
2) Bộ phận
m
ℕ
gồm các số tự nhiên là bội của một số tự nhiên
m
cho
trước là một nửa vành con của nửa vành các số tự nhiên
ℕ
.
Định lý 1.2.4.
9
Giao của một họ bất kỳ những nửa vành con của một nửa vành
R
là
một nửa vành con của
R
.
Chứng minh.
Xét một họ bất kỳ
α α
∈
( )
I
A
những nửa vành con của
R
và
A

là giao
của chúng. Ta có
≠ ∅
A
vì phần tử trung lập
0
của
R
thuộc
α
A
với mọi
α
∈
I
, do đó
∈
0
A
.
Với
∈
, ,
x y z A
ta có
α
α
∈ ∀ ∈
, , ,
x y z A I

. Vì các
α
A
là những nửa
vành con của
R
nên:
i)
+ + = + +
( ) ( )
x y z x y z
,
+ =
0
x x
.
ii)
=
( ) ( )
xy z x yz
.
iii)
+ = +
( )
x y z xy xz
,
+ = +
( )
z x y zx zy
.

iv)
= =
0 0 0
x x
.
Suy ra
A
thỏa mãn các điều kiện của một nửa vành con. Vậy
A
là một
nửa vành con.
□

Giả sử
U
là một bộ phận của một nửa vành
R
. Thế thì
U
chứa trong
ít nhất một vành con của
R
, cụ thể
R
. Theo định lý 1.2.4, giao của tất cả các
nửa vành con của
R
chứa
U
là một nửa vành con của

R
chứa
U
, nửa vành
con này được gọi là nửa vành con của
R
sinh ra bởi
U
.
1.3. Iđêan và nửa vành thương
Định nghĩa 1.3.1.
Một iđêan trái (iđêan phải) của một nửa vành
R
là một nửa vành con
I
của
R
thỏa mãn: nếu
∈
a I
và
∈
r R
thì
∈
ra I
(
∈
ar I
).

Một nửa vành con
I
của một nửa vành
R
được gọi là iđêan của
R

nếu và chỉ nếu
I
vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của
R
.
Từ định nghĩa ta có kết quả sau
Định lý 1.3.2.
10
Một bộ phận
I
khác rỗng của một nửa vành là một iđêan của
R
nếu
và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
i)
+ ∈ ∀ ∈

, ,
x y I x y I
.
ii)
∈
xa I

và
∈
ax I
với mọi
∈
a I
và mọi
∈
x X
.
Ví dụ 1.3.3.
1) Bộ phận
{0}
và bộ phận
R
là hai iđêan của nửa vành
R
.
2) Bộ phận
m
ℕ
gồm các số tự nhiên là bội của một số tự nhiên
m
cho
trước là một iđêan của nửa vành các số tự nhiên
ℕ
.
Định nghĩa 1.3.4.
Giả sử
R

là một nửa vành. Một tập hợp con
I
khác rỗng của
R
được
gọi là một iđêan có tính trừ nếu
I
thỏa mãn các điều kiện sau:
i)
I
là một iđêan.
ii) Nếu
∈ + ∈

,
a I a b I
thì
∈
.
b I

Một iđêan
I
của
R
được gọi là thực sự nếu
≠
I R
.
Định lý 1.3.5.

Giao của môt họ bất kỳ những iđêan của một nửa vành
R
là một iđêan
của
R
.
Chứng minh. Tương tự định lý 1.2.4.
Giả sử
U
là một bộ phận của một nửa vành
R
. Thế thì
U
chứa trong
ít nhất một iđêan của
R
, cụ thể
R
. Theo định lý 1.3.5, giao của tất cả các
iđêan của
R
chứa
U
là một iđêan của
R
chứa
U
, iđêan này gọi là iđêan
sinh bởi
U

; nếu
=
1 2
{ }
, , ,
n
U a a a
thì
U
gọi là iđêan sinh bởi các phần tử
1 2
, , ,
n
a a a
. Iđêan sinh bởi một phần tử gọi là iđêan chính.




11
Định lý 1.3.6.
Giả sử
R
là một nửa vành giao hoán có đơn vị và
∈
1 2
, , ,
n
a a a R
.

Bộ phận
I
gồm các phần tử có dạng
+ + +
1 1 2 2

n n
x a x a x a
với
∈
1 2
, , ,
n
x x x X
là iđêan của
R
sinh ra bởi
1 2
, , ,
n
a a a
.
Chứng minh.
Giả sử
= + + +
1 1 2 2

n n
a x a x a x a
,

= + + +
1 1 2 2

n n
b y a y a y a
là hai
phần tử tùy ý thuộc
I
và
x
là một phần tử tùy ý thuộc
X
. Ta có:
+ = + + + + + + +
+ + + + + + +
= + + + + + + ∈
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
= (

( ) ( )
) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
n n n n
n n n n
n n n
a b x a x a x a y a y a y a
x a y a x a y a x a y a
x y a x y a x y a I

= = + + + = + + + ∈
1 1 2 2 1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
xa ax x x a x a x a xx a xx a xx a I

Vậy
I
là một iđêan của
R
.

I
chứa các
i
a
với
=
1
,
i n
vì
= + + + + =
1
0 1 0 1
, , .
i i n
a a a a i n

Do mọi iđêan
I
chứa
1 2
, , ,
n
a a a
thì cũng chứa
1 1 2 2
, , ,
n n
x a x a x a

với
∈
1 2
, , ,
n
x x x X
nên
I
chứa
+ + +
1 1 2 2

n n
x a x a x a
.
Kết luận

I
là giao của tất cả các iđêan chứa
1 2
{ }
, , ,
n
a a a
tức là iđêan
sinh ra bởi
1 2
, , ,
n
a a a
.
□

Từ định nghĩa ta cũng có kết quả sau :
Định lý 1.3.7.
Nếu
R
là một nửa vành có đơn vị và
I
là một iđêan của
R
chứa đơn
vị của
R
thì ta có
=
.

I R

Định nghĩa 1.3.8.
Giả sử
R
là một nửa vành. Một quan hệ tương đương
~
trên
R
được
gọi là quan hệ tương đẳng nếu nó bảo toàn các phép toán trên
R
, tức là:
12

⇒
+ +
~ ~ , ~ , ~ .
x y a x a y ax ay xa ya

Định lý 1.3.9.
Giả sử
R
là một nửa vành. Với mỗi một iđêan
I
bất kì, tồn tại một
quan hệ tương đẳng
~
trên
R

xác định bởi:

⇔ ∃ ∈ + = +

~ , :
x y a b I x a y b

Nếu
I
là một iđêan có tính trừ và
0
là phần tử trung lập của
+
( , )
R
thì
lớp tương đương của
0
bằng
I
.
Chứng minh.
Trước tiên ta chứng minh
~
là một quan hệ tương đương:
•
Tính phản xạ: với mọi
∈ ∈
,
x R a I

:
+ = + ⇒
~ .
x a x a x x

• Tính đối xứng: với mọi
∈ ∈
, , , :
x y R a b I


⇔ + = + ⇔ + = +
⇒
~ ~
x y x a y b y b x a y x

• Tính bắc cầu: với mọi
∈ ∈
, , , , , , :
x y z R a b c d I


⇔ + = +
⇔ + = +
~
~
x y x a y b
y z y c z d

⇒ + + = + + = + +

x a c y b c z b d
với
+ + ∈
,
a c b d I
.
⇒
~
x z
.
Với mỗi
∈
u R
ta có:
•

+ + = + +
u x a u y b
do đó
+ +
~
u x u y
.
•

+ = +
ux ua uy ub
với
∈
,

ua ub I
do đó
~
ux uy
.
Tương tự
~
xu yu
.
Vậy
~
là một quan hệ tương đẳng.
Nếu
0
là phần tử trung lập của
+
( , )
R
thì với mỗi
∈
x R
,
⇔ ∃ ∈ + =
0
~ , : .
x a b I x a b

Nếu
I
là một iđêan có tính trừ thì điều này tương đương

∈
x I
.
Vậy lớp tương đương của
0
bằng
I
.
□

13
Bây giờ ta hãy xem xét một iđêan có tình trừ
I
tùy ý của một nửa
vành đã cho
R
. Vì
I
là một nửa nhóm con của nửa nhóm giao hoán cộng
R
,
nửa nhóm thương
/
R I
là một nửa nhóm giao hoán hoàn toàn xác định với
các phần tử của
/
R I
là các lớp khác nhau
x

của
I
trong
R
.
Ta trang bị cho
/
R I
hai phép toán xác định bởi:

+ = +
=
. .
x y x y
x y xy

Định lý 1.3.10.
Nếu
I
là một iđêan của nửa vành
R
, thì:
i) Lớp
xy
chỉ phụ thuộc vào các lớp
x
và
y
mà không phụ thuộc vào
sự lựa chọn của các phần tử

,
x y
từ các lớp đó.
ii)
/
R I
cùng với hai phép toán trên là một nửa vành gọi là nửa vành
thương của
R
trên I.
Chứng minh.
i) Giả sử
∈
, ', , ' /
x x y y R I
, có
' ~ , ' ~
x x y y
ta đi chứng minh
' ' ~
x y xy
.
Ta có:
⇔ + = + ∈

' ~ ' ; ,
x x x a x b a b I


⇔ + = + ∈

' ~ ' ; ,
y y y c y d c d I

Suy ra
+ + + = + + +
' ' ' '
x y x c ay ac xy xd by bd
.
Do
I
là một iđêan nên từ
∈
, , ,
a b c d I
ta có

∈
' , ', , , ,
x c ay ac xd by bd I
.
Từ đó suy ra
' ' ~
x y xy
.
ii) Hai phép toán xác định trên
/
R I
thỏa mãn 4 tiên đề của định nghĩa
1.1.1. do đó

/
R I
là một nửa vành.
□


14
1.4. Đồng cấu nửa vành
Định nghĩa 1.4.1.
Cho
R
và
S
là các nửa vành có đơn vị. Ánh xạ
→
:
f R S
được gọi
là một đồng cấu nửa vành có đơn vị nếu thỏa mãn:
i)
=
0 0
( ) .
R S
f

ii)
=
1 1
( ) .

R S
f

iii)
+ = +
( ') ( ) ( ')
f r r f r f r
và
=
( ') ( ) ( ')
f rr f r f r
với
∀ ∈
, '
r r R
.
Nếu
=
R S
thì đồng cấu
f
gọi là một tự đồng cấu của
R
.
Một đồng cấu mà là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì tương ứng
được gọi là một đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu.
Ví dụ 1.4.2.
1) Giả sử
A
là nửa vành con của nửa vành

R
. Khi đó đơn ánh chính
tắc:
→
:
f A R
là một đồng cấu nửa vành.


r r
֏

2) Ánh xạ đồng nhất của một nửa vành
R
là một đồng cấu nửa vành.
3) Giả sử
I
là một iđêan của một nửa vành
R
. Ánh xạ:
→
: /
f I R I


+
r r I
֏

là một đồng cấu từ nửa vành

R
đến nửa vành thương
/
R I
.
Đồng cấu này còn là toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc.
Định lý 1.4.3.
Giả sử

, ,
R S T
là những nửa vành,
→
:
f R S
và
→
:
g S T
là
những đồng cấu. Thế thì ánh xạ tích
→
:
gf R T
cũng là một đồng cấu.
Chứng minh.
Ta có:
i)
= = =
0 0 0 0

( ) ( ( )) ( )
R R S T
gf g f g
.
ii)
= = =
1 1 1 1
( ) ( ( )) ( )
R R S T
gf g f g
.
15
iii)
+ = + = +
( ') ( ( ') ( ( ) ( '))
gf r r g f r r g f r f r


+ = +
=
( ( )) ( ( ')) ( ) ( ').
g f r g f r gf r gf r


= = =
( . ') ( ( ). ( ')) ( ( )) ( ( ')) ( ). ( ').
gf r r g f r f r g f r g f r gf r gf r

Vậy
gf

là một đồng cấu.
□

Định lý 1.4.4.
Giả sử
→
:
f R S
là một đồng cấu từ nửa vành
R
đến nửa vành
S
,
A
là một nửa vành con của
R
và
B
là một iđêan của
S
. Khi đó:
i)
( )
f A
là một nửa vành con của
S
.
ii)
−1
( )

f B
là một iđêan của
R
.
Chứng minh.
i) Với mọi
∈
( ), ( ) ( )
f x f y f A
ta có
+ = + ∈
( ) ( ) ( ) ( )
f x f y f x y f A
và
= ∈
( ) ( ) ( ) ( )
f x f y f xy f A
. Do đó
( )
f A
là một nửa vành con của
S
.
ii) Với mọi
− − −
∈
1 1 1
( ), ( ) ( )
f x f y f B
ta có:

− − − −
+ = + ∈
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
f x f y f x y f B
.
Với mọi
− −
∈
1 1
( ) ( )
f x f B
và mọi
∈
r R
ta có:

− − −
= ∈
1 1 1
( ) ( ) ( )
rf x f rx f B
.
Vậy
−1
( )
f B
là một iđêan của
R

.
Hệ quả 1.4.5.
Giả sử
→
:
f R S
là một đồng cấu từ nửa vành
R
đến nửa vành
S
.
Thế thì
Im
f
là một nửa vành con của
S
và
Ker
f
là một iđêan của
R
.
Chứng minh.
•

Im
f
là một nửa vành con của
S
:

Với mọi
∈
( ), ( ) Im
f x f y f
ta có
+ = + ∈
( ) ( ) ( ) Im
f x f y f x y f
và
= ∈
( ) ( ) ( ) Im
f x f y f xy f
. Do đó
Im
f
là một nửa vành con của
S
.

16
•

Ker
f
là một iđêan của
R
:
Với mọi
∈
Ker

,
x y f
ta có
= =
0 0
( ) , ( ) .
f x f y

Suy ra
+ =
0
( ) ( )
f x f y
hay
+ =
0
( )
f x y
. Điều này chứng tỏ
+ ∈
Ker
x y f
.
Với mọi
∈
a R
ta có
= =
0
( ) ( )

af x f ax
suy ra
∈
Ker
ax f
.
Vậy
Ker
f
là một iđêan của
R
.
□

Định lý 1.4.6.
Giả sử
→
:
f R S
là một đồng cấu từ nửa vành
R
đến nửa vành
S
.
Thế thì
f
là một toàn cấu nếu và chỉ nếu
=
Im .
f S

Chứng minh. Dễ dàng suy ra được từ định nghĩa toàn cấu.
Chú ý 1.4.7.
Đối với đồng cấu vành ta có
f
là một đơn ánh nếu và chỉ nếu
=
Ker {0}
f
nhưng với đồng cấu nửa vành, tính chất này không còn đúng.














17
CHƯƠNG 2.
NỬA MÔĐUN TRÊN NỬA VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ
2.1. Nửa môđun, nửa môđun con và nửa môđun thương
2.1.1. Nửa môđun
Định nghĩa 2.1.1.

Cho
R
là một nửa vành có đơn vị và
M
là một vị nhóm giao hoán
với phần tử trung lập
0
M
, cùng với một ánh xạ
µ
× →
:
R M M
tạo nên
một phép toán nhân ngoài được xác định bởi:
µ
=
( , )
rm r m
với mọi
∈ ∈
,
r R m M
. Với phép cộng vốn có trong
M
và phép nhân ngoài đã được
xác định, thì
M
được gọi là một
R

– nửa môđun trái nếu các tiên đề sau
thỏa mãn với
∀ ∈ ∀ ∈

, ' ; , '
r r R m m M
:
i)
+ = +
( ') '
r m m rm rm
.
ii)
+ = +
( ') '
r r m rm r m
.
iii)
=
( ') ( ' )
rr m r r m
.
iv)
=
1
R
m m
.
v)
= =

0 0 0
M M M
r r
.
Chú ý 2.1.2.
Nếu tiên đề iii) được thay bởi
=
( ') '( )
rr m r rm
thì
M
được gọi là
R
– nửa môđun phải. Và ta thấy ngay nếu nửa vành
R
giao hoán thì hai khái
niệm nửa môđun trái và nửa môđun phải là như nhau. Trong toàn bộ phần
sau, ta chỉ xét các lớp nửa môđun trái, và để thuận tiện ta sẽ dùng từ nửa
môđun thay cho nửa môđun trái.
Ví dụ 2.1.3.
1) Cho
=
R
ℕ
là nửa vành các số tự nhiên,
A
là một vị nhóm giao
hoán. Khi đó ánh xạ
ϕ
× →

:
N A A
thỏa mãn 5 tiên đề trên.
( , )
n a na
֏

18
Do đó
A
là một nửa môđun trên
N
.
2) Giả sử nửa vành
R
là một nửa vành giao hoán có đơn vị
≠
1 0
. Khi đó
ánh xạ
ϕ
× →
:
R R R
trong đó
rs
là phép nhân trong
R
thỏa mãn 5

( , )
r s rs
֏

tiên đề trên. Do đó
R
là một nửa môđun trên chính nó.
Định nghĩa 2.1.4.
Nếu
m
là một phần tử của
R
– nửa môđun
M
thì một phần tử
∈
'
m M

thỏa mãn
+ =
0
'
M
m m
là một nghịch đảo cộng của
m
.
Mệnh đề 2.1.5.
Nghịch đảo cộng của

m
(nếu có) là duy nhất và được ký hiệu là
−
m
.
Chứng minh.
Giả sử
'
m
là nghịch đảo cộng của
m
thì ta có
+ =
0
'
M
m m
. Nếu
''
m

cũng là nghịch đảo cộng của
M
thì ta có:
= + = + + = + + = + =
0 0
'' '' '' ( ') ( '' ) ' ' '
M M
m m m m m m m m m m
.

Vậy nghịch đảo cộng của
m
là duy nhất.
□

Ký hiệu tập tất cả các phần tử có nghịch đảo cộng của
M
là:

{
}
= ∈ ∃ ∈ + =
0
( ) ' : '
M
V M m M m M m m
.
Nhận xét 2.1.6.
i) Vì
∈
0
M
M
nên
≠ ∅
( )
V M
.

M

là
R
– môđun nếu
=
( )
V M M
.
ii) Một
R
– nửa môđun
M
được gọi là bất khả đối nếu
{
}
=
0
( )
M
V M
.
2.1.2. Nửa môđun con
Định nghĩa 2.1.7.
Một tập con khác rỗng
N
của một
R
– nửa môđun
M
được gọi là
một

R
– nửa môđun con của
M
, nếu bản thân
N
cùng với hai phép toán
19
trong
M
thu hẹp vào
N
, là một
R
– nửa môđun. Khi
N
là một nửa môđun
con của
M
, thì ta nói rằng
M
là một nửa môđun mở rộng của
N
.
Ví dụ 2.1.8.
1) Mỗi
R
– nửa môđun
M
luôn chứa hai nửa môđun con tầm thường
là môđun con không

{0}
và bản thân
M
.
Để đơn giản ta kí hiệu môđun con không
{0}
là
0
.
2) Cho
R
– nửa môđun
M
và
x
là một phần tử của
M
.
Khi đó tập hợp
= ∈
{ | }
Rx ax a R
là một nửa môđun con của
M
,
gọi là nửa môđun con sinh bởi
x
.
3) Mọi iđêan của một nửa vành
M

giao hoán có đơn vị
≠
1 0
đều là
một nửa môđun con của
M
, khi xem
M
như một nửa môđun trên chính nó.
4) Nếu
A
là một tập con khác rỗng của một
R
– nửa môđun
M
và
nếu
K

∈
iđêan(
R
) thì tập hợp các tổng hữu hạn dạng
+ + ∈
1 1
(
k k i
r m r m r K
và
∈

)
i
m A

là một nửa môđun con của
M
.
Định nghĩa 2.1.9.
Một phần tử
m
của một
R
– nửa môđun
M
là lũy đẳng nếu và chỉ
nếu
+ =
m m m
. Tập hợp tất cả các phần tử lũy đẳng của
M
chứa
0
M
và là
nửa môđun con của
M
, được kí hiệu là
(
)
I M

. Nếu
(
)
=
I M M
thì
M

được gọi là lũy đẳng cộng tính.
Định nghĩa 2.1.10.
Tập con
N
của
R
– nửa môđun
M
là được gọi trừ được nếu
+ ∈
'
m m N
và
∈
m N
kéo theo
∈
'
m N
với mọi
∈
, '

m m M
.

N
được gọi là mạnh nếu
+ ∈
'
m m N
kéo theo
∈
, '
m m N
với mọi
∈
, '
m m M
.
Ví dụ 2.1.11.
20
( )
V M
là một nửa môđun con trừ được của
R
– nửa môđun con tùy ý.
Định lý 2.1.12.
Một tập con
N
của
R
– nửa môđun

M
là một
R
– nửa môđun con
của
M
nếu và chỉ nếu
∈
0
M
M
và
+ ∈
ax by N
với mọi
∈
,
x y N
và
∈
,
a b R
.
Chứng minh.
Điều kiện cần là hiển nhiên. Bây giờ ta đi chứng minh điều kiện đủ. Vì
+ = +
1 1
. .
x y x y
với mọi

∈
,
x y N
nên
N
là một vị nhóm giao hoán có
phần tử trung lập
0
M
. Lại do
= + ∈
0 0
A M
ax ax N
với mọi
∈
x N
và
∈
a R
nên
N
đóng với phép nhân ngoài. Bốn tiên đề của nửa môđun thỏa
mãn cho
N
được thừa kế từ
M
.
Vì thế
N

trở thành một
R
– nửa môđun.
□

Chú ý 2.1.13.
Nếu
N
là một nửa môđun con của
R
– nửa môđun
M
và nếu
∈
m M
thì
= ∈ ∈
{ } { }
: |
N m a R am N
là một iđêan trái của
R
.
Nói chung, nếu
A
là một tập con khác rỗng của
M
thì chúng ta sẽ đặt

(

)
=
:N A
{
}
∩ ∈

( : )
N m m A
.
Để thuận tiện, ta viết
(
)
0
:
A
thay cho
(
)
{0}
:
A
.
Vì giao của một họ tùy ý các iđêan trái là một iđêan trái nên
(
)
:
N A
là
một iđêan trái của

R
.
Mệnh đề 2.1.14.
Nếu
N
và
'
N
là các nửa môđun của một
R
– nửa môđun
M
và nếu

,
A B
là các tập con khác rỗng của
M
thì :
i)
⊆
A B
kéo theo
(
)
(
)
⊆
: :
N B N A

21
ii)
(
)
(
)
(
)
∩ ⊆ ∩
' : : ' :
N N A N A N A

iii)
(
)
(
)
(
)
∩ ⊆ +
: : :
N A N B N A B

Đẳng thức xảy ra nếu
∈ ∩
0
M
A B
.

Chứng minh.
i) Với
⊆
A B
ta có:
= ∩ ∈
∩ ∈ ∈ ∈
{
= {
( : ) ( : ) | }
( | , }
N A N m m A
a R am N m A

= ∩ ∈
∩ ∈ ∈ ∈
∩ ∈ ∈ ∈ ∩ ∈ ∈ ∈
{
= {
= { {
( : ) ( : ) | }
( | , }
( | , } ( | , \ }
N B N m m B
a R am N m B
a R am N m A a R an N n B A
Do đó
(
)
(

)
⊆
: :
N B N A
.
ii) Nếu
∈
r R
thì
(
)
∈ ∩
' :
r N N A
⇔ ∈ ∩ ∀ ∈
'
rm N N m A


⇔ ∈
rm N
và
∈ ∀ ∈
'
rm N m A


(
)
(

)
⇔ ∈ ∩
A
: ' : .
r N A N

iii) Nếu
(
)
(
)
∈ ∩
: :
r N A N B
thì
(
)
+ ∈ ∀ ∈ ∈

' , '
r m m N m A m B

Suy ra
(
)
∈ +
: .
r N A B

Vậy

(
)
(
)
(
)
∩ ⊆ +
: : : .
N A N B N A B

Ngược lại, nếu
∈ ∩
0
M
A B
thì
∪ ⊆ +
A B A B
và vì vậy ta có bao
hàm nghịch đảo.
□
.
Chú ý 2.1.15.
22
Nếu
→
:
f R S
là đồng cấu của các nửa vành và nếu
M

là một
S
– nửa môđun thì nó cũng là một
R
– nửa môđun với phép nhân vô
hướng được xác định bởi
(
)
=
rm f r m
với mọi
∈
r R
và mọi
∈
m M
.
Nói riêng, nếu
M
là một
S
– nửa môđun thì
M
là
R
– nửa môđun
đối với mỗi nửa vành con
R
của
S

.
Ví dụ 2.1.16.
1) Nếu
+
( , )
M
là một vị nhóm lũy đẳng giao hoán thì
M
là một
N
– nửa môđun với phép nhân vô hướng đã được định nghĩa bởi
=
0 0
M
m

với mọi
∈
m M
và
=
im m
với mọi
∈
m M
và mọi
< ∈
0
i N
.

2) Nếu
M
là một
R
– nửa môđun và
A
là một tập hợp khác rỗng thì
A
M
là một
R
– nửa môđun với phép cộng và phép nhân vô hướng được
định nghĩa theo phần tử: nếu
∈
,
A
f g M
và
∈
r R
thì
(
)
(
)
(
)
(
)
+ = +

f g a f a g a
và
(
)
(
)
(
)
 
=
 
rf a r f a
với mọi
∈
a A
. Hơn
nữa,
(
)
= ∈
{
|
A
A
M f M f
có giá hữu hạn} là một nửa môđun con của
A
M
.
3) Nếu

R
là một nửa vành bất khả đối nguyên,
M
là một
R
– môđun
và
∞
là một phần tử không nằm trong
M
thì có thể định nghĩa
R
– nửa
môđun
∞
{ }
M
đối với tập hợp
∪ ∞
{ }
M
mà trên nó các phép toán cộng và
nhân vô hướng từ
M
được mở rộng bằng cách đặt
+ ∞ = ∞ + = ∞
' '
m m

với mọi

∈ ∞
{ }
'
m M
,
∞ = ∞
r
với mọi
≠ ∈
0
r R
và
∞ =
0 0
M
.
4) Giả sử
R
là một nửa vành và giả sử
M
là một
R
– nửa môđun.
Khi đó
= ∈ =
0 0
( , ) { |
M
M r R rm
với mọi

∈
}
m M
là một iđêan của
R
.
Hơn nữa, nếu
I
là một iđêan tùy ý của
R
được chứa trong
0
( , )
M
thì
M
là
R
I
– nửa môđun với phép nhân vô hướng được định nghĩa bởi

=
( )
r
I
m rm
với mọi
∈
r R
và

∈
.
m M

23
2.1.3. Nửa môđun thương
Định nghĩa 2.1.17.
Giả sử
N
là một nửa môđun con của nửa môđun
M
trên nửa vành
R
.
Quan hệ
~
trên
M
xác định bởi
~ '
m m
nếu và chỉ nếu tồn tại
∈
, '
n n N

sao cho
+ = +
' '
m n m n

. Khi đó
~
là một quan hệ tương đẳng trên
M
.
Kí hiệu lớp tương đẳng của
m
là
+
m N
và tập tất cả các lớp tương
đẳng đó là
/
M N
.
/
M N
cùng với phép toán hai ngôi
⊕
xác định bởi:
+ ⊕ + = + +
( ) ( ' ) '
m N m N m m N

trở thành một nửa nhóm cộng giao hoán với phần tử đơn vị
+
0
M
N
.

Bây giờ cho
∈
r R
và giả sử rằng
+ + ∈
, ' /
m N m N M N
sao cho
+ = +
'
m N m N
. Khi đó sẽ tồn tại các phần tử
∈
,
a b N
sao cho
+ = +
'
rm ra rm rb
, nên
~ '
rm rm
, do đó
+ = +
'
rm N rm N
.
Xét quy tắc

× →

: ( / ) /
f R M N M N

cho bởi
+ = +
( , )
f r m N rm N
.
Khi đó
f
là một ánh xạ và nó trở thành một phép nhân ngoài các phần
tử của
R
với các phần tử của
/
M N
.
/
M N
cùng với hai phép toán xác định như trên được gọi là một nửa
môđun thương của
M
trên
N
.
Ví dụ 2.1.18.
Đối với iđêan
m
ℕ
của nửa vành số tự nhiên

ℕ
ta có:
= = = + ∈
{ }
/ :
m
m a a m a
ℕ ℕ ℕ ℕ ℕ

24
là một nửa một nửa môđun thương của nửa môđun
ℕ
theo iđêan
m
ℕ
với
phép cộng và phép nhân cho bởi:
+ = + =

, .
a b a b a b ab
với mọi
∈
,
m
a b
ℕ
.
Định nghĩa 2.1.19.
R – tương đẳng đồng nhất

~
t
là quan hệ xác định bởi
~ '
t
m m
nếu và
chỉ nếu
=
'
m m
.
Quan hệ phổ dụng
~
u
là quan hệ xác định bởi
~ '
u
m m
với mọi
∈
, ' .
m m M

Kí hiệu tất cả các quan hệ
R
– tương đẳng trên
M
bởi
−

( )
R cong M
.
Nếu
≠
{0 }
M
M
và
− =
{ }
( ) ~ , ~
t u
R cong M
thì
M
là
R
– nửa
môđun đơn.
2.2. Tổng và giao của các nửa môđun con
2.2.1. Tổng và giao của các nửa môđun con
Định nghĩa 2.2.1.
Cho
I
là một tập khác rỗng và
α α
∈
{ }
I

N
là một họ tùy ý các nửa
môđun con của một
R
– nửa môđun
M
. Khi đó kí hiệu
α
α
∈
∑
I
N
là tập
gồm tất cả các tổng hữu hạn các phần tử của
α α
∈
I
N
∪
:

α δ γ δ δ γ γ
α
δ γ
∈
= + + ∈ ∈ ∈
∑
{
| , , ; , , }

I
N x x x N x N I

Tập
α
α
∈
∑
I
N
được gọi là tổng của họ
α α
∈
{ }
I
N
các nửa môđun con của
M
.
Định lý 2.2.2.
Giả sử
α α
∈
{ }
I
N
là một họ tùy ý các nửa môđun con của một
R
– nửa
môđun

M
. Khi đó ta có:
i)
α α
∈
I
N
∩
và
α
α
∈
∑
I
N
là các
R
– nửa môđun con của
M
.
25
ii) Nếu họ
α α
∈
{ }
I
N
lồng nhau (tức là với
α β
∈

,
I
bất kỳ thì
α β
⊆
N N
hoặc
β α
⊆
N N
), thì
α α
∈
I
N
∪
cũng là một
R
– nửa môđun con
của
M
.
Chứng minh.
i) Hiển nhiên
α α
∈
∈
0
M I
N

∩
và
α
α
∈
∈
∑
0
M
I
N
.
Bây giờ giả sử
∈
,
a b R
và
α α
∈
∈
,
I
x y N
∩
. Khi đó
α
∈
,
x y N
và

α
N

là một
R
– nửa môđun với mọi
α
∈
I
, nên
α
+ ∈
ax by N
với
α
∀ ∈
I
.
Điều này dẫn đến
α α
∈
+ ∈
I
ax by N
∩
.
Vậy
α α
∈
I

N
∩
là một
R
– nửa môđun con của
M
.
Tiếp tục giả sử
∈
,
a b R
và
α
α
∈
∈
∑
,
I
x y N
. Dễ thấy rằng tồn tại tập
con
J
hữu hạn của
I
để:
α
α
∈
=

∑
J
x x
và
α
α
∈
=
∑
J
y y
với
α α α
∈
,
x y N
với mọi
α
∈
J
.
Vì
α α α α
+ = ∈
ax by z N
với mọi
α
∈
J
, nên ta có:

α α α α α α
α α α α α
∈ ∈ ∈ ∈ ∈
+ = + = + = ∈
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
( )
J J J J J
ax by a x b y ax by z N
.
Do đó
α
α
∈
∑
I
N
là một
R
– nửa môđun con của
M
.
ii) Giả sử
α α
∈
∈
,
I
x y N
∪

và
∈
,
a b R
. Do giả thiết họ
α α
∈
{ }
I
N
lồng
nhau, nên tồn tại
β
∈
I
để
β
+ ∈
ax by N
. Vì vậy
α α
∈
+ ∈
I
ax by N
∪
hay
α α
∈
I

N
∪
là một
R
– nửa môđun con của
M
.
□

2.2.2. Nửa môđun con sinh bởi một tập hợp