Bài toán đ iều khiển cho hệ thời gian tuyến tính rời rạc (theory of fractional caculus and applications ) (to differential fractional equations)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI
BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHO HỆ THỜI GIAN
TUYẾN TÍNH RỜI RẠC
(THEORY OF FRACTIONAL CACULUS AND APPLICATIONS )
(TO DIFFERENTIAL FRACTIONAL EQUATIONS)
Họ tên sinh viên thực hiện : NGUYỄN THỊ HẰNG
Lớp : CN Toán-K35
Giảng viên hướng dẫn : TS. HÀ BÌNH MINH
HÀ NỘI - 2013
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Chương 1: Nghiên cứu cấu trúc nghiệm và hàm truyền
của hệ thời gian tuy rời rạc 1
1.1 nghiệm của hệ thời gian tuyến tính rời rạc . . . . . . . . 1
1.1.1 Định nghĩa: hệ rời rạc có dạng . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Hàm E
t
(u, a), C
t
(u, a), S
t
(u, a) . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Chương 2: Lý thuyết về giải tích phân thứ
(Theory of fractional caculus) 16
2.1 Tích phân Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.4 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Đạo hàm Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.4 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Chương 3: Phương trình vi phân phân thứ
(Fractional differential equations) 30
3.1 Phương trình vi phân thuần nhất . . . . . . . . . . . . 30
3.1.1 Phương trình P (D
ν
)y(t) = 0 . . . . . . . . . . . 30
3.1.2 Phương trình P (D)y(t) = 0 . . . . . . . . . . . . 34
i
3.1.3 Hệ phương trình D
ν
Y (t) = AY ( t) . . . . . . . . 36
3.2 Phương trình vi phân không thuần nhất . . . . . . . . 43
3.2.1 Hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 Phương trình P (D
ν
)y(t) = x(t) . . . . . . . . . 45
3.2.3 Hệ phương trình D
ν

Y (t) = AY ( t) + X(t) . . . . 47
3.2.4 So sánh phương trình vi phân phân thứ với
phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . 52
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Nguyễn Thị Hằng k3 5 CN Toán
ii
Lời nói đầu
Lý thuyết điều khiển được phát triển từ khoảng 150 năm trước
đây khi sự thực hiện điều khiển cơ học bắt đầu cần được mô tả và
phân tí ch một cách chính xác qua mô hình toán học. Hiện nay lý
thuyết điề u khiển tiếp tục được phát triển mạnh mẽ và được xem là
một lĩnh vực có nhiều ứng dụng trong thực tiễn.
Lý thuyết điều khiển tuyến tính là phần nền tảng cơ bản và quan
trọng của lý thuyết điều khiển nói chung: các phát triển mới về khái
niệm điều khiển nâng cao đều có sự gợi ý về tư tưởng từ lý thuyết
điều khiển tuyến tính.
Trong đồ án này em trình bày về bài toán điều khiể n của hệ thời
gian tuyến tính rời rạc.
Nội dung đồ án bao gồm các phần sau:
1. Chương 1:
Sau một số bước biến đổi ta được
T (h) =

h
0
f(y)
√
h − y
dy, (1)

trong đó, f(y) =
1
√
2g

1 + ψ

(y). Phương trình (1) được viết thành
Nguyễn Thị Hằng k3 5 CN Toán
iii
Lời nói đầu Lời nói đầu
T =
√
π
0
D
−1/2
h
f,
được gọi là phương trình Abel.
Đồ án này giớ i thiệu về tích phân và vi phân phân thứ theo nghĩa
do Riemann-Liouvil le đề ra và ứng dụng để giải các phương trình vi
phân phân thứ autonomous. Đồ án này gồm có ba phần
1. Một số hàm đặc biệt
2. Lý thuyết về giải tích phân số (Theory of frac tio nal caculus)
3. Phương trình vi phân phân thứ
(Fractional differential equations)
Báo cáo này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS.
HÀ BÌNH MINH. Em xin chân thành c á m ơn thầy.
Hà Nội, Ngày 5 tháng 3 năm 2013

Sinh viên
NGUYỄN THỊ HẰNG
Nguyễn Thị Hằng k3 5 CN Toán
iv
Chương 1
Nghiên cứu cấu trúc nghiệm và
hàm truyền của hệ thời gian tuy
rời rạc
1.1 nghiệm của h ệ thời gian tuyến tính rời r ạc
1.1.1 Định nghĩa: hệ rời rạc có dạng
Định nghĩa 1.1.1.
x(k) = Ax(k) + Bu(k), x(0) = x
0
(1.1)
y( k) = Cx(k) + Du(k) (1.2)
cấu trúc nghiệm:
x(k) = A
k
x
0
+ Bu(k), x(0 ) = x
0
(1.3)
x(k) = A
k
x
0
+ Bu(k), x(0) = x
0
Chú ý 1.1.2. Nếu x > 0 ta có thể biểu diễn hàm Gamma dưới dạng

tích phân sau đây
Γ(x) =

∞
0
t
x−1
e
−t
dt.
Ví dụ 1.1.3. Tính Γ(1).
Γ(1) =

∞
0
e
−t
dt = 1.
Vậy Γ(1) = 1.
Ví dụ 1.1.4. Tính Γ(5).
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
1
1.1 nghiệm của hệ thời gian tuyến tính rời rạc
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
Hình 1.1: Đồ thị hàm số Gamma
Γ(5) =

∞
0

t
4
e
−t
dt
= 4.

∞
0
t
3
e
−t
dt
= 4.3.

∞
0
t
2
e
−t
dt
= 4.3.2

∞
0
te
−t
dt

= 4.3.2.1

∞
0
e
−t
dt
= 4! = 24.
Vậy Γ(5) = 5!.
Định nghĩa 1.1.5. Hàm Bêta đối với biến x > 0, y > 0, ký hiệu là
B( x, y), là tích phân sau đây
B( x, y) : =

1
0
t
x−1
(1 − t)
y−1
dt.
Ví dụ 1.1.6. Tính B(1, 1).
B( 1, 1) =

1
0
dt
= 1.
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
2
1.1 nghiệm của hệ thời gian tuyến tính rời rạc

CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
Hình 1.2: Đồ thị hàm số Bêta
Vậy B( 1, 1) = 1.
Ví dụ 1.1.7. Tính B(2, 2).
B( 2, 2) =

1
0
t(1 − t)dt
=

t
2
2
−
t
3
3






1
0
=
1
6

.
Vậy B( 1, 1) =
1
6
.
Ví dụ 1.1.8. Tính B(3, 2).
B( 3, 2) =

1
0
t
2
(1 − t)dt
=

t
3
3
−
t
4
4






1
0

=
1
12
.
Vậy B( 3, 2) =
1
12
.
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
3
1.1 nghiệm của hệ thời gian tuyến tính rời rạc
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
1.1.2 Tính chất
Trong mục này, ta sẽ giới thiệu một số tính chất thường được dùng
của hàm Gamma và hàm Bêta.
(1) Γ(x + 1) = xΓ(x), x > 0.
(2) Hàm Gamma có thể coi là mở rộng của hàm giai thừa vì với
n ∈ N
∗
, Γ(n) = (n −1)!.
(3) Phần bù của hàm Gamma.
Nếu 0 < x < 1 thì
Γ(x)Γ( 1 − x) =
π
sin(πx)
.
(4) Tính giao hoán
B( x, y) = B(y, x).
(5) B(x, y) =

Γ(x)Γ( y)
Γ(x + y)
, x, y > 0.
(6) B(x, y) = 2

π/2
0
(sin θ)
2x−1
(cos θ)
2y−1
dθ, x, y > 0.
(7) B(x, y) =

∞
0
t
x−1
(1 + t)
x+y
dt, x, y > 0.
(8) B(x, y).B(x + y, 1 − y) =
π
x sin(πy)
, 0 < y < 1, x > 0.
Chứng minh. Ta chứng minh các tính chất ở trên.
• Tính chất (1)
: Hàm Gamma Γ(x) =

∞

0
t
x−1
e
−t
dt. Sử dụng
phương pháp tích phân từng phần ta được
Γ(x + 1) =

∞
0
t
x
e
−t
dt
= −e
−t
t
x
+

∞
0
xt
x−1
e
−t
dt
= x


∞
0
t
x−1
e
−t
dt
= xΓ(x).
Vậy Γ(x + 1) = xΓ(x).
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
4
1.1 nghiệm của hệ thời gian tuyến tính rời rạc
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
• Tính chất (2): Ta có
Γ(n) = (n − 1 )Γ(n − 1)
= (n − 1)(n − 2)Γ(n − 2)
··· ···
= (n − 1)(n − 2) ···2.1Γ(1)
= (n − 1)(n − 2) ···2.1

∞
0
e
−t
dt
= (n − 1)(n − 2) ···2.1
= (n − 1)!.
Vậy với n ∈ N

∗
thì Γ(n) = (n − 1)!.
• Tính chất (3)
:
• Tính chất (4): Từ định nghĩa của hàm Bêta có thể dễ dàng suy
ra tính chất này.
• Tính chất (5)
: Với Γ(x) =

∞
0
t
x−1
e
−t
dt thì
Γ(x)Γ( y) =

∞
0
u
x−1
e
−u
du

∞
0
v
y−1

e
−v
dv
=

∞
0

∞
0
e
−u−v
u
x−1
v
y−1
dudv.
Đổi biến bằng cách đặt u = zt, v = z( 1 − t) ta s ẽ được
Γ(x)Γ( y) =

∞
z=0

1
t=0
e
−z
(zt)
x−1
(z(1 − t))

y−1
zdzdt
=

∞
z=0
e
−z
z
x+y−1
dz

1
t=0
t
x−1
(1 − t)
y−1
dt
= Γ(x + y)B( x, y).
Vậy
B( x, y) =
Γ(x)Γ( y)
Γ(x + y)
.
• Tính chất (6)
: Đặt t = sin
2
θ. Khi đó, dt = 2 sin θ cos θdθ và
B( x, y) =


π
2
0
sin
2(x−1)
θ cos
2(y−1)
θ ·2 sin θ cos θdθ
= 2

π
2
0
sin
2x−1
θ cos
2y−1
θ dθ.
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
5
1.1 nghiệm của hệ thời gian tuyến tính rời rạc
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
Vậy B(x, y) = 2

π
2
0
sin

2x−1
θ cos
2y−1
θ dθ.
• Tính chất (7)
: Đặt t =
ξ
1 + ξ
. Khi đó, dt =
1
(1 + ξ)
2
dξ và
B( x, y) =

∞
0

ξ
1 + ξ

x−1

1
1 + ξ

y−1
l
1
(1 + ξ)

2
dξ
=

∞
0
ξ
x−1
(1 + ξ)
x+y
dξ.
Vậy B(x, y) =

∞
0
ξ
x−1
(1 + ξ)
x+y
dξ.
• Tính chất (8)
: Theo như tính chất (4) ở trên,
B( x, y) =
Γ(x)Γ( y)
Γ(x + y)
và B(x + y, 1 − y) =
Γ(x + y)Γ(1 − y)
Γ(x + 1)
.
Do vậy,

B( x, y).B(x + y, 1 − y) =
Γ(x)Γ( y)
Γ(x + y)
.
Γ(x + y)Γ(1 − y)
Γ(x + 1)
=
Γ(x)
Γ(x + 1)
. (Γ(y).Γ(1 − y))
=
1
x
.
π
sin(πy)
(Sử dụng tính chất (1), (3) ở trên).
Vậy B(x, y).B(x + y, 1 − y) =
π
x sin(πy)
, 0 < y < 1, x > 0.
Ví dụ 1.1.9. Tính Γ(
1
2
).
Theo tính chất (3) ở trên ta có
Γ

1
2


· Γ

1
2

=
π
sin(
π
2
)
.
Do vậy,
Γ

1
2

=

π
sin(
π
2
)
=
√
π.
Vậy Γ(

1
2
) =
√
π.
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
6
1.2 Hàm E
t
(u, a), C
t
(u, a), S
t
(u, a)
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
Chú ý 1.1.10. Vì hàm Gamma có thể được coi là hàm mở rộng của
hàm gi ai thừa nên ta có thể mở rộng định nghĩa tổ hợp đại số như
sau

−x
ξ

=
Γ(1 − x)
Γ(ξ + 1)Γ(1 − x − ξ)
,
trong đó, x ∈ R\Z
+
và ξ ∈ R sao cho Γ(ξ + 1) và Γ(1 − x − ξ) tồn

tại.
1.2 Hàm E
t
(u, a), C
t
(u, a), S
t
(u, a)
Có thể coi đây là ba hàm số mở rộng tương ứng của các hàm
e
at
, cos(at) và sin(at) trong giải tích phân thứ.
1.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1. Hàm E
t
(u, a) với u, a ∈ C được định nghĩa như
sau
E
t
(u, a) := t
u
∞

k=0
(at)
k
Γ(u + k + 1)
.
Ví dụ 1.2.2. Với u = 0 thì
E

t
(0, a) = t
0
∞

k=0
(at)
k
Γ(k + 1)
=
∞

k=0
(at)
k
k!
= 1 +
at
1
+
(at)
2
2!
+ ···
= e
at
.
Vậy E
t
(0, a) = e

at
.
Chú ý 1.2.3. Nếu u > 0 thì ta có thể biểu diễn hàm E
t
(u, a) dưới
dạng tích phân sau
E
t
(u, a) =
1
Γ(u)

t
0
ξ
u−1
e
a(t−ξ)
dξ.
Ví dụ 1.2.4. Nếu a = 0, u > 0 thì
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
7
1.2 Hàm E
t
(u, a), C
t
(u, a), S
t
(u, a)
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN

TUY RỜI RẠC
E
t
(u, 0) =
1
Γ(u)

t
0
ξ
u−1
e
0(t−ξ)
dξ
=
1
Γ(u)

t
0
ξ
u−1
dξ.
=
1
Γ(u)

1
u
t

u

=
t
u
Γ(u + 1)
.
Vậy E
t
(u, 0) =
t
u
Γ(u + 1)
, với u > 0.
Chú ý 1.2.5. Trong giải tích phân thứ ta còn hay sử dụng hàm Mittag-
Leffler sau
e(t) :=
q−1

k=0
a
q−k−1
E
t
(−kν, a
q
),
trong đó, a, ν ∈ R và q ∈ N.
Giả sử a nằm trên trục ảo, tức là a = iα. Khi đó,
E

t
(u, iα) = t
u


∞

k chẵn
(−1)
k/2
(αt)
k
Γ(u + k + 1)
+ i
∞

k lẻ
(−1)
(k−1)/2
(αt)
k
Γ(u + k + 1)


.
Ta ký hiệu phần thực và phần ảo của E
t
(u, iα) tương ứng là C
t
(u, α)

và S
t
(u, α). Ta có định nghĩa sau
Định nghĩa 1.2.6. Hàm C
t
(u, a) với u, a ∈ R được định nghĩa như
sau
C
t
(u, a) :=
∞

k chẵn
(−1)
k/2
(at)
k
Γ(u + k + 1)
=
∞

k=0
(−1)
k
(at)
2k
Γ(u + 2 k + 1)
.
Ví dụ 1.2.7. Với u = 0 thì
C

t
(0, a) = t
0
∞

k=0
(−1)
k
(at)
2k
Γ(2k + 1)
=
∞

k=0
(−1)
k
(at)
2k
(2k)!
= 1 −
(at)
2
2!
+
(at)
4
4!
+ ···
= cos(at).

Vậy C
t
(0, a) = co s(at).
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
8
1.2 Hàm E
t
(u, a), C
t
(u, a), S
t
(u, a)
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
Chú ý 1.2.8. Nếu u > 0 thì ta có thể biểu diễn hàm C
t
(u, a) dưới
dạng tích phân sau
C
t
(u, a) :=
1
Γ(u)

t
0
ξ
u−1
cos a(t − ξ)dξ.
Định nghĩa 1.2.9. Hàm S

t
(u, a) với u, a ∈ R được định nghĩa như
sau
S
t
(u, a) :=
∞

k lẻ
(−1)
(k−1)/2
(at)
k
Γ(u + k + 1)
=
∞

k=0
(−1)
k
(at)
2k+1
Γ(u + 2k + 2)
.
Ví dụ 1.2.10. Với u = 0 thì
S
t
(0, a) = t
0
∞


k=0
(−1)
k
(at)
2k+1
Γ(2k + 2)
=
∞

k=0
(−1)
k
(at)
2k+1
(2k + 1)!
= (at) −
(at)
3
3!
+
(at)
5
5!
+ ···
= sin(at).
Vậy S
t
(0, a) = sin (at).
Chú ý 1.2.11. Nếu u > 0 thì ta có thể biểu diễn hàm S

t
(u, a) dưới
dạng tích phân sau
S
t
(u, a) :=
1
Γ(u)

t
0
ξ
u−1
sin a(t − ξ)dξ.
1.2.2 Tính chất
Định lý 1.2.12. Một số tính chất của hàm E
t
(u, a)
(1) E
t
(0, a) = e
at
.
(2) E
t
(−p, a) = a
p
e
at
, với p = 0, 1, 2, . . . .

(3) D
p
E
t
(u, a) = E
t
(u − p, a), p = 0, 1, 2, . .
(4) E
t
(u, a) = aE
t
(u + 1, a) +
t
u
Γ(u + 1 )
.
(5) E
t
(u, a) = a
p
E
t
(u +p, a)+
p−1

k=0
a
k
t
u+k

Γ(u + k + 1)
, p = 0, 1, 2, . .
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
9
1.2 Hàm E
t
(u, a), C
t
(u, a), S
t
(u, a)
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
Chứng minh. (1) Tính chất này đã được chứng minh ở ví dụ trên.
(2) Ta có
E
t
(−p, a) = t
−p
∞

k=0
(at)
k
Γ(−p + k + 1)
= t
−p
∞

k=p+1

(at)
k
(k −p)!
= a
p
∞

k=p
(at)
k−p
(k − p)!
= a
p
e
at
.
Vậy
E
t
(−p, a) = a
p
e
at
, p = 0, 1, 2, . . .
(3) Ta có
E
t
(u, a) =
∞


k=0
(at)
k
Γ(u + k + 1)
=
∞

k=0
a
k
Γ(u + k + 1)
t
u+k
.
Do vậy,
D
p
E
t
(u, a) = (u + k)(u + k − 1) ···(u + k − p + 1)
∞

k=0
a
k
Γ(u + k + 1)
t
u+k−p
=
∞


k=0
a
k
Γ(u + k − p + 1)
t
u+k−p
= t
u−p
∞

k=0
(at)
k
Γ(u + k − p + 1)
= E
t
(u − p, a).
Vậy
D
p
E
t
(u, a) = E
t
(u − p, a), p = 0, 1, 2, . . .
(4) Ta có
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
10
1.2 Hàm E

t
(u, a), C
t
(u, a), S
t
(u, a)
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
E
t
(u, a) − aE
t
(u + 1, a) = t
u
∞

k=0
(at)
k
Γ(u + k + 1)
− at
u+1
∞

k=0
(at)
k
Γ(u + k + 2)
= t
u

∞

k=0
(at)
k
Γ(u + k + 1)
− t
u
∞

k=1
(at)
k
Γ(u + k + 1)
=
t
u
Γ(u + 1)
.
Vậy
E
t
(u, a) = aE
t
(u + 1, a) +
t
u
Γ(u + 1)
.
(5) Chứng mi nh tương tự như tính chất (4). Ta có

E
t
(u, a) − a
p
E
t
(u + p, a)
= t
u
∞

k=0
(at)
k
Γ(u + k + 1)
− a
p
t
u+p
∞

k=0
(at)
k
Γ(u + k + p + 1)
= t
u
∞

k=0

(at)
k
Γ(u + k + 1)
− t
u
∞

k=p
(at)
k
Γ(u + k + 1)
=
p−1

k=0
a
k
t
u+k
Γ(u + k + 1)
.
Vậy
E
t
(u, a) = a
p
E
t
(u + p, a) +
p−1


k=0
a
k
t
u+k
Γ(u + k + 1)
, p = 0, 1, 2, . . .
Định lý 1.2.13. Một số tính chất của hàm C
t
(u, a)
(1) C
t
(0, a) = co s(at);
(2) C
t
(−p, a) = (− 1)
p/2
a
p
cos(at), với p = 0 , 2, 4, . . .,
C
t
(−p, a) = (− 1)
(p+1)/2
a
p
sin(at), với p = 1, 3, 5, . . .
(3) D
p

C
t
(u, a) = C
t
(u − p, a) p = 0, 1, 2, . .
(4) C
t
(u − 1, a) = −aS
t
(u, a) +
t
u−1
Γ(u)
.
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
11
1.3 Biến đổi Laplace
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
(5) C
t
(u − 1, a) + a
2
C
t
(u + 1, a) =
t
u−1
Γ(u)
.

Chứng minh. Chứng minh tương tự như đối với hàm E
t
(u, a).
Định lý 1.2.14. Một số tính chất của hàm S
t
(u, a)
(1) S
t
(0, a) = sin (at);
(2) S
t
(−p, a) = (− 1)
p/2
a
p
sin(at), với p = 0, 2, 4, . . . ,
S
t
(−p, a) = (− 1)
(p−1)/2
a
p
sin(at), với p = 1, 3, 5, . . .
(3) D
p
S
t
(ν, a) = S
t
(ν − p, a), p = 0, 1, 2, . . . .

(4) S
t
(u − 1, a) = aC
t
(u, a).
(5) S
t
(u − 1, a) + a
2
S
t
(u + 1, a) =
at
u
Γ(u + 1 )
.
(6) E
t
(u, ia) = C
t
(u, a) + iS
t
(u, a).
Chứng minh. Chứng minh tương tự như đối với hàm E
t
(u, a).
1.3 Biến đổi Laplace
1.3.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.3.1. Biến đổi Laplace của hàm f ký hiệu l à F = L{f},
là tích phân

L{f}(s) :=

∞
0
f(t)e
−st
dt, s ∈ R,
với điều kiện tích phân ở vế phải tồn tại.
1.3.2 Tính chất
Một số tính chất của biến đổi Laplace.
Mệnh đề 1.3.2. Giả sử F, G là các biến đổi Laplace tương ứng của
hai hàm f, g. Khi đó,
1. Tính tuyến tính của biến đổi Laplace
L{af + bg}(s) = aF (s) + bG(s), s ∈ R.
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
12
1.3 Biến đổi Laplace
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
2. Biến đổi Laplace của đ ạo hàm
Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp n, ký hiệu là f
(n)
(t). Khi
đó,
L{f
(n)
}(s) = s
n
F (s) −
n−1


k=0
f
(n−k−1)
(0), s ∈ R.
3. Đạo hàm của biến đổi Laplace
L{t
n
f(t)} = (−1)
n
F
(n)
(s), s ∈ R.
4. Biến đổi Laplace của tích chập
Tích chập của hai hàm f, g, ký hiệu là f ∗ g, là tích phân
(f ∗g)(t) :=

t
0
f(t − ξ)g(ξ) dξ, t ∈ R.
Khi đó, biến đổi Laplace của tích chập f ∗ g là
L{f ∗g}(s) = F (s) · G(s), s ∈ R.
Ví dụ 1.3.3. Biến đổi Laplace của hàm E
t
(u, a), u > 0. Ta thấy
E
t
(u, a) =
1
Γ(u)


t
0
ξ
u−1
e
a(t−ξ)
dξ
=

1
Γ(u)
t
u−1

∗ e
at
,
chính là một tích chập hai hàm
1
Γ(u)
t
u−1
và hàm e
at
. Do đó, biến đổi
Laplace của hàm E
t
(u, a), u > 0 sẽ là
L{E

t
(u, a), u > 0} = L

1
Γ(u)
t
u−1

∗ e
at

= L

1
Γ(u)
t
u−1

· L{e
at
}
=
1
s
u
·
1
s − a
=
1

s
u
(s − a)
.
Vậy biến đổi Laplace của hàm E
t
(u, a), u > 0 là
L{E
t
(u, a), u > 0} =
1
s
u
(s − a)
.
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
13
1.3 Biến đổi Laplace
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
Ví dụ 1.3.4. Tương tự như hàm E
t
(u, a), u > 0 thì các hàm
C
t
(u, a), u > 0 và S
t
(u, a), u > 0 chính là tích chập của hàm
1
Γ(u)

t
u−1
với các hàm tương ứng là cos(at) và sin(at). Do vậy, biến đổi Laplace
của các hàm C
t
(u, a), u > 0 và S
t
(u, a), u > 0 là
L{C
t
(u, a), u > 0} = L

1
Γ(u)
t
u−1

· L{cos(at)}
=
1
s
u
·
s
s
2
+ a
2
=
s

s
u
(s
2
+ a
2
)
,
và
L{S
t
(u, a), u > 0} = L

1
Γ(u)
t
u−1

· L{si n(at)}
=
1
s
u
·
a
s
2
+ a
2
=

a
s
u
(s
2
+ a
2
)
.
Vậy biến đổi Laplace của hàm C
t
(u, a), u > 0 là
L{C
t
(u, a), u > 0} =
s
s
u
(s
2
+ a
2
)
và biến đổi Laplace của hàm S
t
(u, a), u > 0 là
L{S
t
(u, a), u > 0} =
a

s
u
(s
2
+ a
2
)
.
Sau đây là biến đổi Laplace của một số hàm số cơ bản
Định lý 1.3.5. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản.
1. L{t
µ
} =
Γ(µ + 1)
s
µ+1
, µ > −1.
2. L{e
at
} =
1
s − a
.
3. L{t
µ−1
e
at
} =
Γ(µ)
(s − a)

µ
, µ > 0.
4. L{cos at} =
s
s
2
+ a
2
.
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
14
1.3 Biến đổi Laplace
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN
TUY RỜI RẠC
5. L{sin at} =
a
s
2
+ a
2
.
Chú ý 1.3.6. Biến đổi Laplac e c ủa hàm số e(t) là
L{e(t)} =
1
s
ν
− a
L{e(t)
n∗
} =

1
(s
ν
− a)
n
trong đó, e(t)
n∗
= e(t) ∗ e ∗ ···∗ e(t)

 
n lần e(t)
và
e(t) =
q−1

k=0
α
q−k−1
E
t
(−kν, α
q
), q =
1
ν
.
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
15
Chương 2
Lý thuyết về giải tích phân thứ

(Theory of fractional caculus)
2.1 Tích phân Riemann-Liouville
2.1.1 Định nghĩa
Trước khi định nghĩa tích phân Riemann-Liouville ta gọi C là
lớp các hàm f(t) trơn từng khúc t rên (0, ∞) và khả t í ch trên đoạn
J = [0, ∞).
Định nghĩa 2.1.1. Cho hàm số f ∈ C. Khi đó, ta định nghĩa tích
phân Riemann-Liouville phân thứ c ấp ν của hàm f là tích phân sau
đây
D
−ν
t
f(t) :=
1
Γ(ν)

t
0
(t − ξ)
ν−1
f(ξ)dξ, t > 0, (2.1)
trong đó ν > 0.
Chú ý 2.1.2. Trường hợp ν = n là số nguyên dương thì tích phân
Riemann-Liouville phân thứ cấp n chính là tích phân bội n của hàm
f theo nghĩa thông thường. Thật vậy,
D
−n
t
f(t) =
1

Γ(n)

t
0
(t − ξ)
n−1
f(ξ)dξ
=
1
(n − 1)!

t
0
(t − ξ)
n−1
f(ξ)dξ
=

t
0
dx
1

x
1
0
dx
2
···


x
n−2
0
dx
n−1

x
n−1
0

 
n dấu tích phân
f(ξ)dξ,
đây chính là tích phân bội n của hàm f.
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
16
2.1 Tích phân Riemann-Lio uv ille
CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT VỀ GIẢI TÍCH PHÂN THỨ
(THEORY OF FRACTIONAL CACULUS)
2.1.2 Ví dụ
Ví dụ 2.1.3. Cho hàm f(t) = K, K là một hằng số. Khi đó,
D
−ν
f(t) = D
−ν
K
=
1
Γ(ν)


t
0
(t − ξ)
ν−1
Kdξ
=
K
Γ(ν)

t
0
(t − ξ)
ν−1
dξ
=
K
Γ(ν)

1
ν
t
ν

=
K
Γ(ν + 1)
t
ν
.
Vậy D

−ν
K =
K
Γ(ν + 1)
t
ν
. Nếu ν = 1/2 thì D
−1/2
K =
K
Γ(3/2 )
t
1/2
.
Ví dụ 2.1.4. Cho hàm f(t) = t
µ
với µ > −1. Khi đó,
D
−ν
f(t) = D
−ν
t
µ
=
1
Γ(ν)

t
0
(t − ξ)

ν−1
ξ
µ
dξ.
Đặt x =
ξ
t
. Khi đó, ξ = tx và dξ = tdx. Do đó,
D
−ν
t
µ
=
1
Γ(ν)

1
0
(t − tx)
ν−1
(tx)
µ
tdx
= t
ν+µ
1
Γ(ν)

1
0

(1 − x)
ν−1
x
µ
dx
= t
ν+µ
1
Γ(ν)
B( ν, µ + 1)
= t
ν+µ
1
Γ(ν)
Γ(ν)Γ(µ + 1)
Γ(ν + µ + 1)
(Theo tính chất về liên hệ giữa hàm Gamma và hàm Bêta).
= t
ν+µ
Γ(µ + 1)
Γ(ν + µ + 1)
.
Vậy D
−ν
t
µ
=
Γ(µ + 1)
Γ(ν + µ + 1)
t

ν+µ
.
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
17
2.1 Tích phân Riemann-Lio uv ille
CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT VỀ GIẢI TÍCH PHÂN THỨ
(THEORY OF FRACTIONAL CACULUS)
Ví dụ 2.1.5. Cho hàm f(t) = e
at
. Khi đó,
D
−ν
f(t) = D
−ν
e
at
=
1
Γ(ν)

t
0
(t − ξ)
ν−1
e
aξ
dξ
= E
t
(ν, a).

Vậy D
−ν
e
at
= E
t
(ν, a).
Tương tự, ta có D
−ν
cos(at) = C
t
(ν, a) và D
−ν
sin(at) = S
t
(ν, a).
Ví dụ 2.1.6. Cho hàm f(t) = te
at
. Khi đó,
D
−ν
f(t) = D
−ν
[te
at
]
= tD
−ν
e
at

− νD
−ν−1
e
at
= tE
t
(ν, a) − νE
t
(ν + 1, a).
Vậy D
−ν
[te
at
] = tE
t
(ν, a) − νE
t
(ν + 1, a).
Tương tự, ta có D
−ν
[t cos(at)] = tC
t
(ν, a) − νC
t
(ν + 1, a) và
D
−ν
[t sin(at)] = tS
t
(ν, a) − νS

t
(ν + 1, a).
Để đơn giản ta ký hiệu D
−ν
:= D
−ν
t
.
2.1.3 Tính chất
1. Đổi thứ tự trong tích phân phân thứ
Định lý 2.1.7 (Công thức Dirichlet). Cho F là hàm số liên
tục đều trong không gian Euclid và cho λ, ν, µ > 0. Khi đó

t
a
(t − x)
ν−1
dx

x
a
(y − a)
λ−1
(x − y)
µ−1
F (x, y)dy
=

t
a

(y − a)
λ−1
dy

t
y
(t − x)
ν−1
(x − y)
µ−1
F (x, y)dx.
Chứng minh. Chúng ta đã biết, nế u G(x, y) là hàm s ố liên tục
đều trên [a, b] × [a, b] thì

b
a
dx

x
a
G(x, y)dy =

b
a
dy

b
y
G(x, y)dx.
Áp dụng với G(x, y) = (t − x)

ν−1
(y −a)
λ−1
(x − y)
µ−1
F (x, y) ta
được công thức Dirichlet.
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
18
2.1 Tích phân Riemann-Lio uv ille
CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT VỀ GIẢI TÍCH PHÂN THỨ
(THEORY OF FRACTIONAL CACULUS)
2. Tính giao hoán trong tích phân phân thứ
Ta sử dụng Công thức Dirichlet để chứng minh định lý sau của
tích phân phân thứ
Định lý 2.1.8. Cho f(t) là hàm số liên tục trên J, µ, ν > 0. Khi
đó với mọi t,
D
−ν

D
−µ
f(t)

= D
−(ν+µ)
f(t) = D
−µ

D

−ν
f(t)

.
Chứng minh. Theo định nghĩa về tích phân phân thứ
D
−µ
f(t) =
1
Γ(µ)

t
0
(t − ξ)
µ−1
f(ξ)dξ.
Do vậy
D
−ν

D
−µ
f(t)

= D
−ν

1
Γ(µ)


t
0
(t − ξ)
µ−1
f(ξ)dξ

=
1
Γ(ν)
1
Γ(µ)

t
0
(t − x)
ν−1


x
0
(x − ξ)
µ−1
f(ξ)dξ

dx. (∗)
Áp dụng công thức Dirichlet

t
0
(t − x)

ν−1


x
0
(x − ξ)
µ−1
f(ξ)dξ

dx
=

t
0
f(ξ)dξ

t
ξ
(t − x)
ν−1
(x − ξ)
µ−1
dx.
Đặt
x − ξ
t − ξ
= y. Khi đó, dx = (t −ξ)dy và t −x = (t −ξ)(1 −y) .
Thay vào công thức trên ta được

t

0
f(ξ)dξ

t
ξ
(t − x)
ν−1
(x − ξ)
µ−1
dx
=

t
0
f(ξ)dξ

1
0
[(t − ξ)(1 − y)]
ν−1
[(t − ξ)y]
µ−1
(t − ξ)dy
=

t
0
(t − ξ)
ν+µ−1
f(ξ)dξ


1
0
(1 − y)
ν−1
y
µ−1
dy
= B(ν, µ)

t
0
(t − ξ)
ν+µ−1
f(ξ)dξ
= B(ν, µ)Γ(ν + µ)D
−(ν+µ)
f(t)
= Γ(ν)Γ(µ)D
−(ν+µ)
f(t).
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
19
2.1 Tích phân Riemann-Lio uv ille
CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT VỀ GIẢI TÍCH PHÂN THỨ
(THEORY OF FRACTIONAL CACULUS)
Thay vào công thức (∗) ta được
D
−ν


D
−µ
f(t)

= D
−(ν+µ)
f(t).
Tương tự, ta cũng có
D
−µ

D
−ν
f(t)

= D
−(ν+µ)
f(t).
Vậy
D
−ν

D
−µ
f(t)

= D
−µ

D

−ν
f(t)

= D
−(ν+µ)
f(t).
Ví dụ 2.1.9. Tính tích phân D
−ν
E
t
(u, a), u > 0.
Theo định nghĩa ở phần trên
E
t
(u, a) =
1
Γ(u)

t
0
ξ
u−1
e
a(t−ξ)
dξ, u > 0
=
1
Γ(u)

t

0
(t − ξ)
u−1
e
aξ
dξ, u > 0
= D
−u
e
at
.
Do vậy,
D
−ν
E
t
(u, a) = D
−ν
[D
−u
e
at
]
= D
−(u+ν)
e
at
= E
t
(u + ν, a).

(Vì hàm e
at
liên tục trên J).
Vậy
D
−ν
E
t
(u, a) = E
t
(u + ν, a), u > 0.
Ví dụ 2.1.10. Tính tích phân D
−
1
2
[D
−2
]t
2
.
Ta có
D
−2
t
2
=
Γ(3)
Γ(5)
t
4

=
1
12
t
4
.
Do vậy,
Nguyễn Thị Hằng k35 CN Toán
20