Bài toán điều khiển của hệ thời gian tuyến tính rời rạc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ HẰNG

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CỦA HỆ
THỜI GIAN TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
TS. HÀ BÌNH MINH

HÀ NỘI - 2013


Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Hà Bình Minh, người
đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho em những kiến thức nền
tảng để em hoàn thành bài khóa luận này. Thầy cũng là người đã giúp
em ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian
được làm việc cùng Thầy. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh
Phạm Văn Duẩn, người đã rất nhiệt tình giúp đỡ, chỉ bảo và hướng dẫn
em trong quá trình gõ Tex và hoàn thành khóa luận. Anh cũng là người
cung cấp thêm tư liệu, kiến thức giúp em giải đáp được những điều chưa
hiểu và băn khoăn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công
tác tại Khoa Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy, cô
khác đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý báu
về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời
gian qua. Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người

thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều
kiện cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, Tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Hằng


Lời cam đoan
Tên em là: Nguyễn Thị Hằng, sinh viên đại học khóa 2009 – 2013 lớp
K35CN Toán, Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Em xin
cam đoan đề tài: “Bài toán điều khiển của hệ thời gian tuyến tính rời
rạc”, là kết quả nghiên cứu và thu thập của riêng em. Các luận cứ, kết
quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả
khác. Nếu có gì không trung thực trong luận văn em xin hoàn toàn chịu
trách nhiệm trước hội đồng khoa học.
Hà Nội, Tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Hằng


Mục lục
Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc
1.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa hệ động lực tuyến tính rời rạc.
1.1.2 Nghiệm của hệ động lực tuyến tính rời rạc
1.2 Khái niệm về hàm truyền . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Phép biến đổi z . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Xây dựng công thức hàm truyền . . . . .
1.3 Một số phép toán về hàm truyền rời rạc . . . . .

1
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

1
1
2
3
3
5
6

Chương 2: Tính điều khiển được, quan sát được và biểu
diễn tối thiểu của hệ động lực tuyến tính rời rạc

9

2.1 Tính điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Tiêu chuẩn điều khiển được của hệ động lực tuyến
tính rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Tính quan sát được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Định lý các điều kiện tương đương . . . . . . . .
2.2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Biểu diễn tối thiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Định lý Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.

9
9

.
.
.
.
.
.
.
.
.

10
15
17
17
17
18

20
20
23


2.3.3

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Chương 3: Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc 27
3.1
3.2
3.3
3.4
Tài

Định nghĩa tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Điều kiện để hệ động lực tuyến tính rời rạc ổn định . .
Ví dụ minh họa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mối liên hệ giữa tính ổn định và phương trình lyapunov
liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

27
28

29
29
36


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Điều khiển là bài toán có ý nghĩa ứng dụng quan trọng trong đời
sống, đặc biệt là trong lĩnh vực điện tử, viễn thông và xử lý tín hiệu
nói riêng. Các vấn đề trong các lĩnh vực này thường được mô hình
hóa bởi một mô hình toán học. Có rất nhiều vấn đề cơ bản cần
nghiên cứu trong lĩnh vực điều khiển. Một trong số những vấn đề
có tính chất kinh điển là bài toán điều khiển. Nó có ứng dụng rộng
rãi trong ngành toán ứng dụng, nên từ trước đến nay, nó vẫn luôn
là đề tài mà các nhà khoa học rất quan tâm và nghiên cứu. Để có
thể hiểu rõ hơn về bài toán này em đã chọn đề tài “Bài toán điều
khiển của hệ thời gian tuyến tính rời rạc” để làm đề tài nghiên cứu
cho khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu
Bài toán điều khiển tuyến tính là phần nền tảng cơ bản và quan
trọng của lý thuyết điều khiển nói chung: các phát triển mới về khái
niệm điều khiển nâng cao đều có sự gợi ý về tư tưởng từ lý thuyết
điều khiển tuyến tính.
Khóa luận này em trình bày về bài toán điều khiển của hệ thời gian
tuyến tính rời rạc.
Nội dung bao gồm phần sau:

• Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc.
Chương này trình bày khái niệm về hệ động lực tuyến tính rời
rạc, xây dựng ma trận hàm truyền và các phép toán đối với ma

trận hàm truyền.

• Chương 2: Tính điều khiển được, quan sát được và biểu diễn tối
thiểu của hệ động lực tuyến tính rời rạc.
Chương này nêu khái niệm tính điều khiểm được, tính quam sát
được của một hệ động lực tuyến tính rời rạc, phát biểu và chứng
minh định lý về các tiêu chuẩn tương đương với các tính chất
này. Từ đó, đưa ra khái niệm biểu diễn tối thiểu của một hệ
động lực tuyến tính rời rạc và nêu phương pháp đưa một biểu
diễn bất kỳ về biểu diễn tối thiểu (Định lý Kalman) và định lý
về điều kiện cần và đủ để một biểu diễn là biểu diễn tối thiểu.
• Chương 3: Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc.
Đưa ra khái niệm ổn định của một hệ động lực tuyến tính rời rạc,
các tính chất của phương trình Lyapunov rời rạc, từ đó chứng
minh định lý về sự liên hệ giữa hai khái niệm này.
3. Mục đích- Yêu cầu

• Đây là một dịp để có thể tập dượt nghiên cứu (với sự định hướng
của giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học.
• Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết (Các khái
niệm, các tính chất, các bài toán đã được đặt ra, một số ứng
dụng, ...).
• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình.
4. Đối tượng nghiên cứu
Bài toán điều khiển của hệ động lực tuyến tính rời rạc và các kiến
thức liên quan.
5. Phạm vi

• Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu thập thêm.
• Thời gian thực hiện khóa luận.
• Nơi nghiên cứu (những khó khăn và thuận lợi tại nơi nghiên cứu).


Nội dung chính
1. Tên đề tài
Bài toán điều khiển của hệ thời gian tuyến tính rời rạc.
2. Kết cấu của nội dung
Gồm 3 chương:

• Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc.
- Hệ động lực tuyến tính rời rạc.
- Khái niệm hàm truyền.
- Một số phép toán về hàm truyền.

• Chương 2: Tính điều khiển được và quan sát được và biểu diễn
tối thiểu của hệ động lực tuyến tính rời rạc.
- Tính điều khiển được.
- Tính quan sát được.
- Biểu diễn tối thiểu.

• Chương 3: Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc.
- Định nghĩa tính ổn định.
- Điều kiện hệ ổn định.
3. Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu.
• Sử dụng phương pháp nghiên cứu của lý thuyết điều khiển.
• Phương pháp quan sát, đọc sách.

Chương 1

Hệ động lực tuyến tính rời rạc
1.1
1.1.1

Hệ động lực tuyến tính rời rạc
Định nghĩa hệ động lực tuyến tính rời rạc.

Định nghĩa 1.1.1. Một hệ động lực tuyến tính, rời rạc, bất biến được
xác định bởi phương trình trạng thái sau:

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), x(0) = x0
y(k) = Cx(k) + Du(k)

(1.1)
(1.2)

Trong đó:
x(k) là vectơ thực n chiều được gọi là vectơ trạng thái của hệ. Với k ∈ N.
u(k) là vectơ thực m chiều được gọi là vectơ đầu vào.
y(k) là vectơ thực r chiều được gọi là vectơ đầu ra.
x(0) là trạng thái ban đầu của hệ, các thành phần của x(t) là các tham
biến điều khiển.
Các ma trận A, B, C, D là ma trận thực có kích thước tương ứng là:
n × n, n × m, r × n, r × m.

1

Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

1.1.2

Nghiệm của hệ động lực tuyến tính rời rạc

Định lý 1.1.2. Nghiệm của hệ động lực (1.1), (1.2) xác định như sau:
k−1
k

Ak−1−iBu(k), x(0) = x0,

x(k) = A x0 +

(1.3)

i=0
k−1
k

CAk−i−1Bu(i)

y(k) = CA x0 +

+ Du(k).

(1.4)

i=0

Chứng minh. Từ:

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)

(1.5)

ta có

x(k) = A[Ax(k − 2) + Bu(k − 2)] + Bu(k − 1)
= A2x(k − 2) + ABu(k − 2) + Bu(k − 1)
= A2[Ax(k − 3) + Bu(k − 3)] + ABu(k − 2) + Bu(k − 1)
..
.
k−1

Ak−1−iBu(i)

k

= A x0 +
i=0

Thay
k−1
k

Ak−1−iBu(i)

x(k) = A x0 +
i=0

vào (1.2) ta có (1.4).
Ví dụ 1.1.3. Cho hệ động lực tuyến tính rời rạc:

x(k + 1) = 5x(k) + 2u(k),
y(k) = x(k) + 3u(k)
Tính x(3), y(3).
2
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN

x(0) = 1

(1.6)
(1.7)


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Ta có:

x(3) = 5[5x(1) + 2u(1)] + 2u(2)
= 52x(1) + 5.2u(1) + 2u(2)
= 52[5x0 + 2u(0)] + 5.2u(0) + 2u(2)
2
3

52−iu(i)

= 5 x0 +
i=0

Thế x(3) ta được:
2
3

52−iu(i) + 3u(3).

y(3) = 5 x0 + 2
i=0

1.2
1.2.1

Khái niệm về hàm truyền
Phép biến đổi z

Định nghĩa 1.2.1. Biến đổi z hai phía của một dãy x(n) được định
nghĩa như sau:
∞

x(n)z −n

X(z) =
n=−∞

Chú ý 1.2.2. Ta sẽ có biến đổi z một phía nếu thay đổi cận n chạy từ 0
đến ∞ :

∞

x(n)z −n

X(z) =
n=0

Vùng hội tụ của biến đổi z là tập hợp những giá trị của z làm cho
X(z) có giá trị hữu hạn. Ký hiệu bởi toán tử:
ZT [x(n)] = X(z)
x(n) −→ X(z)
3
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Vùng hội tụ của biến đổi z kí hiệu là (ROC)

ROC = {z ∈ C|X(z) = ∞}
Tính chất 1.2.3. Một số tính chất cơ bản của phép biến đổi z
(1) Tuyến tính:

x1n ↔ X1 (z)
x2n ↔ X2 (z)
⇒ a1 x1(n) + a2 x2(n) ↔ a1 X1 (z) + a2 X2(z), ∀a1 , a2
(2) Dịch chuyển trong miền thời gian rời rạc:
x(n) ↔ X(n) ⇒

x(n − n0) ↔ z −n0 X1 (z)

x(n + n0) ↔ z n0 X2(z)
(3) Vi phân trong miền Z:
x(n) ↔ X(z) ⇒ nx(n) ↔

−zdX(z)
dz

Ví dụ 1.2.4. Xác định biến đổi z của các tín hiệu sau
a. x(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}
b. x(n) = an u(n)
Lời giải:
a. Từ định nghĩa:
X(z) = z 2 + 2z + 5 + 7z −1 + z −3 ;

ROC : z = 0; z = ∞

b. Ta có:
+∞

+∞

x(n)z
n=−∞

−n

+∞
n

=

a u(n)z
n=−∞

+∞
n −n

=

a z
n=0

4
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN

−n

(az −1 )n

=
n=0


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Nếu az −1 < 1 → |z| > |a| thì:

X(z) =
1.2.2

1
1 − az −1

ROC : |z| > |a|

Xây dựng công thức hàm truyền

Ta xây dựng hàm truyền cho hệ rời rạc. Gọi X(k), Y (k), U (k) lần lượt
là biến đổi z của x(k), y(k), u(k).
Áp dụng các tính chất của biến đổi z vào x(k+1) = Ax(k)+Bu(k) ta có:

Z(x(k + 1)) = Z(Ax(k) + Bu(k))
= AZ(x(k)) + Bz(u(k))
= AX(k) + BU (k)

(1.8)
(1.9)
(1.10)

Mặt khác

Z(x(k + 1)) = Z(x(k))z
= X(k)z

(1.11)
(1.12)

→ X(k)z = AX(k) + BU (k)
⇔ (zI − A)X(k) = BU (k)
⇔ X(k) = (zI − A)−1BU (k)

Tượng tự ta áp dụng tính chất của biến đổi z vào
y(k) = Cx(k) + Du(k) ta có:

Y (k) = CX(k) + DU (k)

5
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN

(1.13)


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Thay X(k) = (zI − A)−1 BU (k) vào (1.13) ta có:

Y (k) = C(zI − A)−1BU (k) + DU (k)

(1.14)

= (C(zI − A)−1B + D)U (k)

(1.15)

= G(z)U (k)

(1.16)

Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.2.5. Ma trận G(z) = C(zI − A)−1B + D được gọi là
hàm truyền của hệ động lực (1.1), (1.2).

Định nghĩa 1.2.6. Các điểm p mà tại đó G(p) = ∞ được gọi là các
cực của hệ động lực.
Để thuận tiện cho tính toán, ma trận hàm truyền G(z) sẽ được viết là:

G(z) =

A B
C D

Trong đó (A, B, C, D) gọi là biểu diễn không gian trạng thái của hàm
truyền G(z) và đây không phải là biểu diễn duy nhất.
Ví dụ 1.2.7. Cho hệ rời rạc

x(k + 1) = 3x(k) + 2u(k),

x(0) = 1

y(k) = x(k) + 3u(k)

(1.17)
(1.18)

Khi đó hàm truyền G(z) của hệ (1.17), (1.18) được xác định bởi công
thức: G(z) = 2(z − 3)−1 + 3.

1.3

Một số phép toán về hàm truyền rời rạc

Gọi G1 (z) và G2 (z) là hàm truyền của 2 hệ động lực S1 và S2 . Khi đó

ta có:
6
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

(1) Tổng của 2 hàm truyền G1 (z) + G2 (z) biểu diễn hàm truyền của các
kết nối song song S1 và S2 .


A1 0
B1
A 1 B1
A 2 B2


G1 (z)+G2 (z) =
+
=  0 A2
B2

C1 D1
C2 D2
C1 C2 D1 + D2

(2) Tích của 2 hàm truyền là hàm truyền khi tác động nối tiếp vào S1
và S2 ( tức là, một hệ thống với đầu ra của hệ thống thứ 2 như là
đầu vào của hệ động lực).

G1 (z)G2 (z) =

A 1 B1
C1 D1

A 2 B2
C2 D2


A2
0
B1


=  B1C2 A1 B1 D2 
D1C2 C1 D1 D2


(3) Ma Trận hàm truyền G(z) có chuyển vị như sau:
GT (z) = B T (zI − AT )−1C T + DT ,
Tương đương:
AT B T
T
G (z) =
C T DT
(4) Liên hợp của G(z)
G(z) ≡ GT (−z) = B T (−zI − AT )−1C T + DT ,
Tương đương:
−AT −C T
G(z) =

−B T −DT

(5) Nghịch đảo của ma trận hàm truyền G(z) kí hiệu là G(z).
Ta có G(z)G(z) = G(z)G(z) = I nếu G(z) là ma trận vuông và D
là khả nghịch khi đó:

7
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

−1

G(z) ≡ G (z) =

A − BD−1 C −BD−1
D−1 C
D−1

8
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN

.


Chương 2

Tính điều khiển được, quan sát
được và biểu diễn tối thiểu của hệ

động lực tuyến tính rời rạc
Trong chương này ta tìm hiểu về tính điều khiển được và quan sát
được. Đây là hai tính chất rất quan trọng khi đánh giá một hệ động lực
nói chung và hệ động lực rời rạc nói riêng. Phần cuối chương, ta tìm hiểu
về biểu diễn tối thiểu của một hệ động lực rời rạc.

2.1
2.1.1

Tính điều khiển được
Định nghĩa

Định nghĩa 2.1.1. Hệ động lực tuyến tính rời rạc cho bởi:

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), x(0) = x0
y(k) = Cx(k) + Du(k)

(2.1)
(2.2)

được gọi là điều khiển được hoặc (A, B) gọi là điều khiển được nếu cho
bất kỳ hai trạng thái x0 , x1 luôn tồn tại một chuỗi hữu hạn của đầu vào
{u0, u1, ..., uN −1} chuyển từ x0 tới x1, sao cho xN = x1 .
9
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 2. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA
HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Để tránh bất kỳ sự nhầm lẫn, không mất tính tổng quát ta giả sử
rằng x0 = 0.

2.1.2

Tiêu chuẩn điều khiển được của hệ động lực tuyến tính rời rạc

Định lý 2.1.2. Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc (2.1) và (2.2), khi đó
các mệnh đề sau đây là tương đương:
(i) Hệ (2.1) và (2.2) là điều khiển được.
(ii) (Tiêu chuẩn Kalman)
Ma trận điều kiển n × nm : CM = (B, AB, A2B, ..., An−1B) có hạng
bằng n.
(iii) Ma trận
N

Ak BB T (AT )k

WC =
k=1

không suy biến với mọi N > 1.
(iv) Nếu (λ, x) là một cặp trị riêng, véc tơ riêng của AT , tức xT A = λxT ,
thì xT B = 0.
(v) (Tiêu chuẩn Hautus)
rank(A − λI, B) = n với mọi giá trị riêng λ của A.
Chứng minh.
(i) → (ii).
Chứng minh bằng phản chứng, giả sử rằng rank (CM ) = n. Ta có:
k−1

k

Ak−1−iBu(i)

x(k) = A x0 +
i=0

10
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN

(2.3)


CHƯƠNG 2. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA
HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

⇒

k−1
k

Ak−1−iBu(i)

x(k) − A x0 =
i=0

⇒ x(k) = (Ak−1Bu(0) + Ak−2Bu(2) + ... + A0 Bu(k − 1)) (2.4)
⇒ x(k) = Bu(k − 1) + ABu(k − 2) + ... + Ak−1Bu(0)

(2.5)

Như vậy,
véc tơ x(k) là một tổ hợp tuyến tính của các cột B, AB, ..., An−1B .
Khi rank (CM ) = n các véc tơ cột không thể tạo thành một cơ sở của
không gian trạng thái và chọn x(k) = x1 bất kỳ thuộc không gian trạng
thái thì không tồn tại (2.5). Vậy điều giả sử là sai ta có điều phải chứng
minh.
(ii) → (iii). Giả sử rank (CM ) = n, nhưng ma trận
N

Ak BB T (AT )k

WC =
k=1

là suy biến với mọi N > 1.
Khi đó tồn tại v là một véc tơ khác 0 sao cho

11
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN

(2.6)


CHƯƠNG 2. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA
HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

WC v = 0
⇒ v T WC v = 0
N

⇒v

T

Ak BB T (AT )k v = 0
k=1

N

vAk BB T (AT )k v T = 0

⇒
k=1
N

v(AT )k B T BAk v T = 0

⇒
k=1

N

cT (t)c(t) = 0

⇔
k=1

Với c(t) = BAk v . Ta thấy cT (t)c(t) > 0, ∀t nên để
N

cT (t)c(t) = 0
k=1

thì c(t) = 0 tức

BAk v T = 0, k = 1, 2, ..., n − 1
Khi đó v trực giao với tất cả các cột của ma trận CM . Mà ta giả sử
rank (CM ) = n nên v = 0. Điều này là vô lý nên điều giả sử là sai.
(iii) → (i).
Do B, AB, ..., An−1B sinh ra Rn nên với mọi x0 , x1 cho trước, luôn tồn
tại dãy {u0 , u1 , ..., un} sao cho:

x1 − Anx0 = Bun−1 + ABun−2 + ... + Ak−1Bu0
x1 = Anx0 + Bun−1 + ABun−2 + ... + Ak−1Bu0
= xn
12
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 2. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA
HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Vậy hệ (2.1), (2.2) là điều khiển được.
(ii) → (iv).
Cho x = 0 là một véc tơ riêng của AT tương ứng với giá trị riêng λ. Khi
đó
xT A = λxT
Giả sử rằng xT B = 0. Ta có

xT CM = (xT B, λxT B, λ2 xT B, ..., λn−1xT B) = 0.
Do rank(CM ) = n, nên x = 0.
(iv) ⇒ (ii).
Giả sử không có véc tơ riêng nào của AT trực giao với các cột của ma
trận B , nhưng rank (CM ) = k < n. Trong trường hợp này tồn tại một
ma trận không suy biến T như sau:

A¯ = T AT −1 =

A¯11
0

A¯12
¯ = TB =
,B
¯
A22

¯1
B
0

trong đó A¯22 có kích thước n − k và k = rank (CM ).
¯ T tương ứng với một giá trị riêng của
Lấy v2 là giá trị vec tơ của (A)
λ. Khi đó:

¯T
(A)

0
v2

=

A¯T11 0
A¯T12 A¯T22

0
v2

Hơn nữa

¯ = (0, v2)T
(0, v2T )B

=

¯1
B
0

0
A¯T22v2

=λ

0
v2

=0

0
¯ T trực giao với các véc tơ cột của
của (A)
v2
¯ . Điều này có nghĩa là cặp (A,
¯ B)
¯ không là điều khiển được. Do đó
B
Như vậy véc tơ riêng

13
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 2. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA
HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

¯ B)
¯ .
điều giả sử là sai vì (A, B) điều khiển được nên (A,
(ii) ⇒ (v).
rank(λI − A, B) < n khi và chỉ khi tồn tại một véc tơ v = 0 nghĩa là
v T (λI − A, B) = 0. Phương trình tương đương:
AT v = λv
và

vT B = 0
tức là v là một véc tơ riêng của AT tương ứng với giá trị riêng λ và nó

vuông góc với véc tơ cột B . Theo (iv) hệ (A, B) không là điều khiển
được. Vậy ta có điều phải chứng minh.
(v) ⇒ (ii).
Nếu (v) sai thì từ (iv) ta đã có:

xT (A, AB, ..., An−1B) = 0
Tức là rank (CM ) < n. Điều này chứng tỏ (ii) sai. Vậy (v) đúng thì
(ii) cũng đúng. Ta có điều phải chứng minh.
(vi) ⇒ (i).
Giả sử đã có (vi) nhưng không có (i). Khi đó hệ có thể được phân
tích thành:

A = T AT −1 =

A11 A12
,B = TB =
0 A22

B1
0

Đó là một hệ tương đương với A22 là không điều khiển được. Do đó
những giá trị riêng của nó không thể tùy chọn thông qua sự điều khiển.
Điều này mâu thuẫn với điều giả sử. Như vậy từ (vi) có thể suy ra (i).

14
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 2. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA

HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

2.1.3

Ví dụ

Ví dụ 2.1.3. Xét hệ với một đầu vào mô tả bởi:


1
3

x(k + 1) = 
2
1

• Hệ này

 có:
1 2 0 1
3 0 −1 2


A=
;
2 5 3 1
1 2 1 3


 

1
2 0 1



0 −1 2
2
 x(k) +   u(k).
3
5 3 1
4
2 1 3
 
1
2 
 
B= 
3 
4

• Dùng Matlab để tính toán:
A=
1 2
3 0
2 5
1 2

0 1
-1 2
3 1

1 3

B=[1 2 3 4]’
%Tính A*B
A*B=
9
8
25
20
15
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 2. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA
HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

%Gán A*B=C. Tính A*C
A*C=
45
42
153
110
%Gán D=A*C. Tính A*D
A*D=
239
202
869
612
%Gán E=A*D
%Tính rank(B,C,D, E)

rank(B,C,D,E)=
4
Sử dụng kết quả tính toán của Matlab ở trên để kiểm tra tính điều
khiển được của hệ, nghĩa là cần kiểm tra rank B, AB, A2B, A3 B =
4 hay không.
   

9
1
1 2 0 1
3 0 −1 2 2  8 
   

• Tính AB = 
  =  
2 5 3 1 3 25
20
4
1 2 1 3

  

45
1
8 4 −1 8
 3 5 −1 8  2  42 

  

2

• Tính A B = 

  = 
24 21 5 18 3 153
110
4
12 13 4 15

16
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN


CHƯƠNG 2. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA
HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC


  
239
1
26 27 1 39
 24 17 0 36  2 202

  

3
• Tính A B = 
.
  = 
115 109 12 125 3 869
612

4
74 74 14 87




1 9 45 239
B
2 8 42 202
 AB 




• Tính rank(CM ) =  2  = rank 
 = 4.
3 25 153 869
A B 
4 20 110 612
A3 B
Vậy hệ đã cho là hệ điều khiển được.


2.2
2.2.1

Tính quan sát được
Định nghĩa

Định nghĩa 2.2.1. Hệ động lực tuyến tính rời rạc (2.1) và (2.2) được

gọi là quan sát được hoặc (A, C) gọi là quan sát được nếu có tồn tại một
chỉ số N sao cho trạng thái ban đầu x0 có thể được xác định hoàn toàn
từ chuỗi đầu vào u0 , u1 , ..., uN −1 và chuỗi đầu ra y0 , y1 , ..., yN .
Chứng minh tương tự hệ điều khiển được, ta có các định lý tương
đương của hệ quan sát được như sau:
2.2.2

Định lý các điều kiện tương đương

Định lý 2.2.2. Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc (2.1), (2.2), khi đó
các điều kiện sau là tương đương:
(i) Hệ (2.1) và (2.2) là quan sát được.


C


 CA 


2 
CA
(ii) Ma trận quan sát OM = 
 có rank (OM ) = n.

 .. 
 . 

CAn−1
17

Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN