một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất cho lớp 10, 11

Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức là
một trong những bài toán khó. Trong những năm gần đây tần suất xuất hiện
trong các đề thi là khá cao. Nhiều bài trong số đó quả thực là khó, cách giải
không thực sự tự nhiên, mang nhiều yếu tố cá nhân (người ra đề nắm được
cách giải). Tuy nhiên bên cạnh đó vẫn có nhiều dạng, loại mà ta có thể khái
quát thành cách giải đặc trưng. Với mong muốn góp phần nâng cao chất
lượng dạy và học bộ môn Toán học nói riêng và chất lượng giáo dục nói
chung; chúng tôi tiến hành nghiên cứu tìm hiểu về “Một số phương pháp
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh lớp 10, 11”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn các phương pháp tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề xuất một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
Khách thể: Công tác dạy học bộ môn Toán ở trường phổ thông
Đối tượng: Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
5. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất được
giảng dạy tại trường THPT Văn Giang trong 02 năm học 2011-2012; 2012-
2013.
6. Giả thuyết khoa học
Hiện nay việc tiếp cận các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất còn một số hạn chế (tài liệu tham khảo, giảng dạy). Nếu áp dụng SKKN
của tác giả một cách linh hoạt, phù hợp thì hiệu quả giải các bài toán tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sẽ cao hơn.

1
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
7. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận
Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Phương pháp thống kê Toán học
8. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm
Mở đầu
Nội dung chính
Kết luận
Tài liệu tham khảo.
NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
Trong quá trình xử lý các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ta
cần sử dụng một số kiến thức: định lý về dấu tam thức bậc hai, các tính chất
của bất đẳng thức, các bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân,
các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, đường tròn, elip; đường thẳng;
khoảng cách….
1. Định lý thuận về dấu tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai
( ) ( )
2
ax ; 0f x bx c a= + + ≠
. Có
2
4b ac∆ = −
.
Nếu

0
∆ <
thì
( )
. 0a f x x R> ∀ ∈
Nếu
0∆ =
thì
( )
. 0
2
b
a f x x
a
> ∀ ≠ −
Nếu
0
∆ >
thì
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
. 0 ; ;
. 0 ;
a f x x x x
a f x x x x
> ∀ ∈ −∞ ∪ +∞



< ∀ ∈


(
1 2
x x<
là hai nghiệm của
tam thức bậc hai).
2. Các tính chất của Bất đẳng thức.
Điều kiện Nội dung
a b a c b c
< ⇔ + < +
0c
>
a b ac bc
< ⇔ <
0c
<
a b ac bc
< ⇔ >
2
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
a b
a c b d
c d
<

⇒ + < +


<

0
0
a b
ac bd
c d
< <

⇒ <

< <

2 1 2 1 *
2 2 *
;
0 ;
n n
n n
a b a b n N
a b a b n N
+ +
< ⇔ < ∈
< < ⇒ < ∈
3 3
0 a b a b
a b a b
< < ⇔ <
< ⇔ <

3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM)

; , 0.
2
a b
ab a b
+
≥ ∀ ≥
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b
=
.
4. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Cho hàm số
( )
f x
xác định trên tập D.
Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
( )
f x
trên D nếu
( )
(
)
( )
;
ax f x
:
0 0

f x M x D
M
M
D
x D f x M





≤ ∀ ∈
=
∃ ∈ =
Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
f x
trên D nếu
( )
(
)
( )
;
min f x
:
0 0
f x m x D
m
D
x D f x m






≥ ∀ ∈
=
∃ ∈ =
Đối với hàm hai biến, ba biến…ta cũng có định nghĩa tương tự.
II. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
1. Phương pháp phương trình bậc hai.
Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
( )
A f x=
; trên
tập D.
Lời giải
3
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Gọi
0
A
là một giá trị của biểu thức. Chứng tỏ phải tồn tại
0
x D∈
sao cho
( )
0 0
f x A=

; điều đó chứng tỏ phương trình
( )
0
0f x A− =
có nghiệm trên D. Ta
đi tìm điều kiện để phương trình
( )
0
0f x A− =
có nghiệm trên D; từ đó tìm
được giá trị lớn nhất; nhỏ nhất. Trong nhiều bài toán phương trình
( )
0
0f x A− =

có dạng là phương trình bậc 2. Ở phương pháp này ta cũng phải hạn chế đó là
phương trình
( )
0
0f x A− =
có dạng phương trình bậc 2. Ta xét một số ví dụ
sau:
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất; nhỏ nhất của biểu thức
2
1
x
y
x
=
+

Lời giải
Tập xác định
D R
=
Gọi
0
y
là một giá trị của biểu thức
Chứng tỏ phương trình
( )
2
0 0
0, 1y x x y− + =
có nghiệm.
Nhận xét: Đối với phương trình
2
ax 0bx c+ + =
có điều kiện
2 2
0a b+ ≠
thì
phương trình sẽ có nghiệm khi và chỉ khi
2
4 0b ac− ≥
Phương trình
( )
1
có nghiệm
2
0 0

1 1
1 4 0
2 2
y y⇔ − ≥ ⇔ − ≤ ≤
Nhận thấy khi
1 1
1 ; 1
2 2
x y x y= ⇒ = = − ⇒ = −
Vậy
1 1
min ; axy
2 2
y M= − =
Với cách làm tương tự ta có thể vận dụng vào một số bài sau; học sinh có
thể tự ra đề cho chính mình và các bạn trong lớp.
Bài 2. Tìm min; max
( )
2
2
2 2
min 3 2 2; axy 3 2 2
2 2
x x
y y m
x x
− +
= = − = +
+ +
Bài 3. Tìm min; max

( )
2
2
8 7
min 1; axy 9
1
x x
y y m
x
− +
= = − =
+
4
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
2. Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai.
Trong báo Toán học và tuổi trẻ số 347 (tháng 5 – 2006) có đề toán:
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =
2 2
x y x y xy+ − − −
.
Lời giải 1
Giả sử m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
2 2
x y x y xy m⇒ + − − − ≥

( ; )x y R R∀ ∈ ×
2 2
( 1) 0x y x y y m⇒ − + + − − ≥

( ; )x y R R∀ ∈ ×
Nhìn vế trái là một tam thức bậc hai với ẩn là x thì:
2 2
( 1) 0x y x y y m− + + − − ≥

x R
∀ ∈
Suy ra:
2
3 6 1 4 0
x
y y m∆ = − + + + ≤
với
y R∀ ∈
Suy ra:
'
12 12 0
y
m∆ = + ≤
1m⇔ ≤ −
Nếu m < -1 thì:
'
0
y
∆ <

Do đó
0
x

∆ <
Suy ra A > m. Vậy không có giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
Nếu m = -1 thì A
1≥ −
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1.
Kết luận: minA = -1 khi x = y = 1.
Nhận xét : Từ kết quả tìm được theo lời giải trên ta có thể đặt ra câu hỏi: Liệu có
thể phân tích biểu thức A = B + (-1)? Trong đó B
0≥
và B = 0 khi x = y = 1
Với suy nghĩ vậy ta có phương pháp thứ 3 như sau:
3. Phân tích thành tổng các bình phương cộng hoặc trừ một hằng số.
Lời giải 2
A =
2 2
2 1 2 1 1 1x x y y x y xy− + + − + + + − − −
.
A = (x-1)
2
+ (y-1)
2
+(x-1) –y(x-1) -1
A = (x-1)
2
+ (y-1)
2
– (x-1)(y-1) – 1
A =
2
2

1 3( 1)
1 1 1
2 4
y y
x
− −
 
− − + − ≥ −
 ÷
 
5
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Đẳng thức xảy ra
1x y⇔ = =
Kết luận: minA = -1 khi x = y = 1.
Với cách làm tương tự như trên ta có thể xử lý thêm bài tập sau
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B =
2 2
x y xy x y+ + − −
Hướng dẫn:
Cách 1: Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai.
Cách 2: Xét biểu thức
( )
2
3 1 3
2
9 3 1 3 1 3 3
2 4

y
B x y
−
 
= − + + − − ≥ −
 
 
Khi đó:
min
1
3
B = −
khi
1
3
x y= =
Bình luận : Bất đẳng thức
2
0a a R≥ ∀ ∈
được vận dụng khá nhiều trong các
bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bài 6. Tìm max
( )
2 2
2 5 4 2 ; axP 3P x y xy x m= − − − + =
Bài 7. Tìm min
2 2
9
2 6 12 45; min
5

P x xy y x P
 
= − + − + =
 ÷
 
4. Sử dụng tính tương giao giữa đường thẳng và đường tròn ; hình tròn để
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dạng :
ax + by;f
=

trong đó
;x y
thoả mãn điều kiện cho trước
;a b
là các hằng số.
Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2F x y= −
với điều kiện
2 2
5x y+ =
.
Lời giải
Nhận xét: Điều kiện bài cho là một đường tròn có tâm trùng gốc toạ độ,
bán kính là
5
. Ký hiệu hình tròn là
( )
C
Biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có dạng phương trình
đường thẳng.

Gọi
0
F
là một giá trị của biểu thức với
;x y
thoả mãn:
2 2
5x y+ =
6
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Khi đó giữa đường thẳng
∆
có phương trình
0
2 0x y F− − =
và đường
tròn
( )
C
phải có điểm chung.
Điều kiện đó tương đương với:
( )
; 5d O ∆ ≤
0
0
0
5
5

5
5 5
F
F
F
−
⇔ ≤
⇔ ≤
⇔ − ≤ ≤
Nhận thấy khi
0 0
5; 5F F= − =
ứng với hai tiếp tuyến của đường tròn lần
lượt tại các tiếp điểm
( ) ( )
2;1 ; 2; 1− −
.
Vậy
min 5; axF = 5F M= −
.
Bình luận: Như vậy với biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
dạng
F=a.x+b.y
và điều kiện là
2 2 2
x y R+ =
; ta có thể khái quát cách giải.
Điều kiện của bài toán có thể điều chỉnh là:
2 2 2
x y R+ ≤

khi đó cách giải
vẫn tương tự.
Bài 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 4F x y= +
với điều
kiện
( )
2
2
2
2 25
3
x y
 
− + − ≤
 ÷
 
.
Lời giải
Gọi
0
F
là một giá trị của biểu thức với
;x y
thoả mãn
( )
2
2
2
2 25

3
x y
 
− + − ≤
 ÷
 
Khi đó giữa đường thẳng có phương trình
0
3 4 0x y F+ − =
và hình tròn
( )
2
2
2
2 25
3
x y
 
− + − ≤
 ÷
 
phải có điểm chung.
Điều đó tương đương với:
0
10
5
5
F−
≤
7

Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
0
0
0
0
10 25
25 10 25
35 15
15 35
F
F
F
F
⇔ − ≤
⇔ − ≤ − ≤
⇔ − ≤ − ≤
⇔ − ≤ ≤
Vậy
min 15; axF=35F M= −
Với tư duy tương tự học sinh cũng có thể tự nghĩ ra các đề toán để luyện
tập; tập dượt khả năng sáng tạo ở một khía cạnh nào đó. Khi đó bản thân giáo
viên và học sinh sẽ có những niềm vui nho nhỏ! Các em cũng thấy được cần phải
học Cách thay vì học Cái và tạo được phương pháp tự học cho các em.
Trong các Bài 8 ; Bài 9 khi điều kiện đã cho của đầu bài có sự thay đổi;
chẳng hạn điều kiện của biến thoả mãn phương trình của một Elip. Như vậy ta
lại có một loạt bài toán tương tự.
Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 3F x y= +

trong đó
;x y
thoả mãn:
2 2
4 9 1x y+ =
.
Lời giải
Nhận xét: Điều kiện của bài toán thoả mãn phương trình của một Elip. Tuy
nhiên trong trường hợp này và các trường hợp điều kiện tương tự thì ta có thể
đưa điều kiện đó về điều kiện của biến thoả mãn một phương trình đường tròn
bằng các phép đổi biến.
Ta có phương trình của Elip :
2 2
1
1 1
4 9
x y
+ =
Đặt
9 3
.
4 2
x z z= =
. Khi đó Elip biến thành đường tròn có phương trình:
2 2
1
9
z y+ =
và
3 3F z y= +

.
Gọi Gọi
0
F
là một giá trị của biểu thức với
;z y
thoả mãn:
2 2
1
9
z y+ =
8
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Chứng tỏ đường thẳng có phương trình
0
3 3 0z y F+ − =
và đường tròn có
phương trình
2 2
1
9
z y+ =
phải có điểm chung.
Điều đó tương đương :
0
1
3
18

F−
≤
0
0
2
2 2
F
F
⇔ − ≤
⇔ − ≤ ≤
Vậy
min 2; axF= 2F M= −

Trong trường hợp tổng quát điều kiện đầu bài cho là :
( )
2 2
; , , 0mx ny r m n r+ = >
thì ta có cách đổi biến :
n
x z
m
=
và khi đó sẽ biến
Elip về đường tròn có phương trình
2 2
;
r n
y z F a z by
n m
+ = = +

Với tư duy tương tự ta có thể có rất nhiều bài toán với những số liệu khác nhau.
Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
F x y= −
biết rằng
2 2
1
4 9
x y
+ =
.
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
2
F x y= +
biết
rằng
2 2
3 2 1x y+ =
.
Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
F x y= +
biết rằng
( ) ( )
2 2
2 8 3 8x y− + + =
.
Bài 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hệ
2 2
3 4
9

x y m
x y
+ =


+ =

có nghiệm?
9
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Khi biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có dạng
2 2
F x y= +
và điều kiện
;x y
thoả mãn:
( ) ( )
2 2
2
x a y b R− + − =
. Khi đó cần sử
dụng mệnh đề sau: Cho đường tròn
( ; )O R
và điểm P không trùng với tâm của
đường tròn đó. Đường thẳng OP cắt đường tròn tại hai điểm A; B. Với mọi điểm
M trên đường tròn ta có:
( ) ( )
min ; max ;PA PB PM PA PB≤ ≤

Chứng minh :
Giả sử P nằm trên bán kính OA, ta có :
PM OM OP OA OP PA
PM OM OP OB OP PB
≥ − = − =
≤ + = + =
Vì
( ) ( )
min ; ; max ;PA PB PA PB PA PB≤ ≤
Vậy
( ) ( )
min ; max ;PA PB PM PA PB≤ ≤
.
Các trường hợp còn lại được chứng minh tương tự.
Bài 15. Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
F x y= +
biết
;x y

thoả mãn
( ) ( )
2 2
2 1 4x y− + − =
.
Lời giải
Đặt
( )
C
là đường tròn có tâm

( )
2;1 ; 2I R =
.
Đường thẳng OI có phương trình là:
2 0x y− =
Gọi
;A B
là giao điểm của đường tròn
( )
C
với đường thẳng OI
( ) ( )
10 4 5;5 2 5 ; 10 4 5;5 2 5A B⇒ − − + +
Xét
( ) ( )
;M x y C∈
khi đó
2 2 2
F x y OM= + =
. Sử dụng mệnh đề đã chứng
minh ta có
( ) ( )
2 2 2 2
min ; max ;OA OB F OA OB
≤ ≤
2
2
225 100 5
225 100 5
OA

OB
= −
= +
Vậy
10
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-

( )
( )
min 225 100 5; 10 4 5; 5 2 5
max 225 100 5; 10 4 5; 5 2 5
F x y
F x y
= − = − = −
= + = + = +
Tới đây ta chỉ việc thay điều kiện là một đường tròn khác thì sẽ có những
bài toán khác nhau. Việc giải các bài toán đó là tương tự.
5. Sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-
GM).
Trong chương trình phổ thông học sinh chỉ được giới thiệu bất đẳng thức
giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM). Do đó trong phương pháp
này tôi xin được giới thiệu việc áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân vào tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất.
Kỹ thuật 1 Thêm, bớt, tách.
Trong quá trình sử dụng bất đẳng thức AM-GM việc sử dụng các kỹ thuật
thêm, bớt, tách cần hết sức linh hoạt, thể hiện được sự vận dụng khéo léo của
người làm toán.
Ta có một số biến đổi của kỹ thuật này như sau:

1
.
r r
a m n m
a a t t b a a a a
b n n
−
−
= + − = = + = =
Bài 16. Cho
0; 0x y> >
và
1x y+ ≤
.
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
1 1
4P xy
x y xy
= + +
+
Lời giải
Ta viết lại biểu thức
11
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-

( )

( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 2
2 2 2
1 1 1 1
4
2 4 4
1 1 1
2 2 4 ;
4
2
4 1 5
2 2 2 5 7
P xy
x y xy xy xy
xy AM GM
xy
x y
x y xy
x y x y x y
   
= + + + +
 ÷  ÷
+
   
≥ + + −
+

+
≥ + + = + ≥ + =
+ + +
Ví dụ với
1
2
x y= =
thì
7P =
Vậy
min 7P =
Bài 17. Cho
0x >
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
3
3 16x
A
x
+
=
Lời giải
Ta có
3
16
3A x
x
= +
4
3 3

16 16
4 . . . 8A x x x x x x
x x
⇔ = + + + ≥ =
Dấu bằng xảy ra
2x⇔ =
Vậy
min 8A =
Bài 18. Cho
3
; ; 0;
2
x y z x y z> + + ≤
. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
1 1 1
P x y z
x y z
= + + + + +
Lời giải
Ta viết lại biểu thức:
( )
1 1 1
4 4 4 3P x y z x y z
x y z
 
   
= + + + + + − + +
 ÷  ÷
 ÷
   

 
12
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
1 1 1 3 9 15
2 4 2 4 2 4 3. 4 4 4
2 2 2
x y z
x y z
≥ + + − = + + − =
Ví dụ với
1 15
;
2 2
x y z P= = = =
. Vậy
15
min
2
P =
Bình luận: Tại sao ta không sử dụng luôn việc ghép cặp:
1 1 1
6P x y z
x y z
 
   
= + + + + + ≥
 ÷  ÷
 ÷

   
 
?
Khi đó dấu bằng xảy ra
1x y z⇔ = = =
không thỏa mãn điều kiện của đầu bài !
Do vậy phép biến đổi như vậy không thoả mãn yêu cầu ! Khi làm toán cực trị
cần hết sức chú ý trường hợp dấu bằng xảy ra.
Bài 19. Cho
; ; 0; 2.a b c a b c> + + =
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
a b c
P
b c c a a b
= + +
+ + +
Lời giải
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có các đánh giá sau:
2
2
2
4
4
4
a b c
a
b c
b c a
b

c a
c a b
c
a b
+
+ ≥
+
+
+ ≥
+
+
+ ≥
+
Cộng vế với vế ta được:
1 2
1
P a b c
P
+ ≥ + + =
⇒ ≥

Giả sử với
2
1
3
a b c P= = = ⇒ =
Vậy
min 1P
=
Bài 20. Cho

, , 0; 1x y z x y z> + + ≥
. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
13
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
5 5 5
4 4 4
x y z
P
y z x
= + +
Lời giải.
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có các đánh giá sau:
5
5
5
4
5
5
5
4
5
5
5
4
5 5
5 5
5 5
x

y y y y x x
y
y
z z z z y y
z
z
x x x x z z
x
+ + + + ≥ =
+ + + + ≥ =
+ + + + ≥ =
Cộng vế với vế ta được:
1P x y z≥ + + ≥
Ví dụ khi
1
1
3
x y z P= = = ⇒ =
. Vậy
min 1P =
Một số bài tập vận dụng:
Bài 21. Cho
, 0; 1x y x y> + ≤
. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
1 1
P
x y xy
= +
+

Bài 22. Cho
, 0; 1x y x y> + =
. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
3 2
4P xy
x y xy
= + +
+
Bài 23. Cho
2 2 2
, , 0; 1a b c a b c> + + =
. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
a b c
P
b c c a a b
= + +
+ + +
Bài 24. Cho tam giác ABC nhọn. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1
osA osB osC
P
c c c
= + +
Kỹ thuật 2. Sử dụng nguyên lý cực hạn (làm trội)
14
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-

Nhận xét: Trong một tập hữu hạn số luôn tồn tại số lớn nhất và số nhỏ nhất.
Bài 25. Cho
[ ]
, , 0;1a b c∈
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 1
a b c
P a b c
b c c a a b
= + + + − − −
+ + + + + +
Lời giải.
Giả sử
{ }
ax a;b;ca m=
. Khi đó ta có các đánh giá sau:
( ) ( )
b
; 1 ; 2
a+c+1 1 1 1
b c c
b c a b b c
≤ ≤
+ + + + + +
Lại có theo bất đẳng thức AM-GM thì:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )

3
1 1 1
1 1 1 1
3
1
1 1
1
1 0
1
1 1 1 ; 3
1
b c b c
b c b c
b c
b c
Do a
a
a b c
b c
− + − + + +
 
− − + + ≤ =
 ÷
 
⇒ − − ≤
+ +
− ≥
−
⇒ − − − ≤
+ +

Từ (1); (2) và (3) ta có:
1
1
1
a b c a
P
b c
+ + + −
≤ =
+ +
Dấu bằng xảy ra ví dụ với
1a b c= = =
Một số bài tập vận dụng:
Bài 26. Cho
[ ]
; ; 0;2 ; 3.a b c a b c∈ + + =
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2
3 3 3
P a b c
Q a b c
= + +
= + +
Bài 27. Cho
[ ]
; ; 1;3 ; 6.a b c a b c∈ + + =
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2

P a b c= + +
6. Phương pháp hình học, vector, toạ độ.
Trong quá trình sử dụng phương pháp hình học, vector, toạ độ cần chú ý sử
dụng các đánh giá sau:
15
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
;u v u v+ ≤ +
r r r r
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vector cùng hướng.
. .u v u v≤
r r r r
; Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vector cùng phương.
2
0u ≥
r
; Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0u =
r r
Ba điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có:
AB BC AC+ ≥
. Dấu bằng xảy ra khi
và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C.
Ba điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có
AB AC BC− ≤
. Dấu bằng xảy ra khi
và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C hoặc C nằm giữa A và B.
Bài 28. Tìm giá trị lớn nhất của
( )

2 2
4 5 10 50f x x x x x= − + − − +
Lời giải.
Tập xác định
D R
=
Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2
2 1 5 25f x x x= − + − − +
Đặt
( ) ( ) ( )
;0 ; 2;1 ; 5;5M x A B
Suy ra
( )
5f x MA MB AB= − ≤ =
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
4
5
x =
.
Vậy
( )
ax f x 5M =
.
Bài 29. Cho
2 2
, , 0: 4x y z x xz z> + + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của
( )

2 2 2 2
; min 2P x xy y y yz z P= − + + − + =

Bài 30. Cho
2 2 2 2
, , , 0: 5a b c d a b c d> + = + =
Tìm giá trị lớn nhất của
5 2 5 2 5P a b c d ac bd= − − + − − + − −
7. Kết quả vận dụng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất.
16
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất đã được tác giả sử
dụng trong giảng dạy chuyên đề “Cực trị” cho học sinh các lớp 10A, 11M
trường THPT Văn Giang năm học 2012-2013.
Kết quả thu được thông qua kết quả đánh giá bài kiểm tra các em, qua
phỏng vấn. Đa số các em được hỏi đều có được sự tự tin, có hệ thống phương
pháp giải toán cực trị.
Điểm
Lớp
4 5 6 7 8 9 10 Tổng số bài
10A 6 6 5 10 12 5 0 44
11M 8 5 5 9 10 0 0 37
17
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
III. KẾT LUẬN

Với những kết quả thu được thì nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài đã được
hoàn thành.
Tuy nhiên bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vẫn luôn là bài toán
gây những khó khăn nhất định cho thầy và trò trong quá trình giảng dạy và
học tập bộ môn Toán học. Việc tìm hiểu các phương pháp giải toán cực trị
đòi hỏi chúng ta luôn luôn cập nhật và đổi mới. Những tìm hiểu của cá nhân
tôi có lẽ không phủ hết được các dạng loại (ví như sử dụng tính tương giao ta
có thể mở rộng cho không gian để xét tính tương giao giữa mặt phẳng và mặt
cầu trong bài toán cực trị) do đó rất cần sự đóng góp của các đồng chí trong
Tổ Toán – Tin để báo cáo được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Người thực hiện
ĐÀO QUANG BÌNH

IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Báo Toán học và tuổi trẻ.
2. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn: Đại số 10
3. Nguyễn Văn Mậu: Phương pháp giải phương trình và bất phương trình
4. Đỗ Thanh Sơn: Một số chuyên đề Hình học phẳng
18
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
19