tài liệu ôn thi toán - tích phân loại hai trong hệ toạ độ vuông góc

Bài tập Giải tích 3 – Bộ môn Toán Lý – Khoa Vật Lý – ðHSP TpHCM

TÍCH PHÂN BỘI HAI TRONG HỆ TỌA ðỘ VUÔNG GÓC.

1. Viết cận lấy tích phân theo hai thứ tự khác nhau tương ứng với miền D cho trước:
a. D là tam giác OAB với: O(0, 0); A(0, 1); B(1, 1)
b. D là tam giác OAB với: O(0, 0); A(0, 1); B(1, -1)
c. D là hình tròn x
2
+ y
2
≤ 2x
2. ðổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau:
a.
2
2
3
1
0
2
( , )
y
y
I dy f x y dx
−
=
∫ ∫
d.
2
2

1
0
2
( , )
y
y y
I dy f x y dx
−
=
∫ ∫

b.
2
1
1
0
1
( , )
y
y
I dy f x y dx
−
− −
=
∫ ∫
e.
2
2 2
1 2
( , )

x x
x
I dx f x y dy
−
−
=
∫ ∫

c.

2
2
0
6
1
4
( , )
y
y
I dy f x y dx
−
−
−
=
∫ ∫
f.
sin
0 0
( , )
x

I dx f x y dy
π
=
∫ ∫

3.

Tính các tích phân sau:
a.

ln
D
x ydxdy
∫∫
, D là mi
ề
n gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i: xy = 1, x =
y
, x = 2
ð
/S:
5 1
(ln 2 )
4 2

−

b.
(3 )
D
x y dxdy
+
∫∫
, D giới hạn bởi x
2
+ y
2
≤ 4, y ≥
2
2
x
− +

c.
2
( )
D
x xy dxdy
+
∫∫
, D giới hạn bởi các ñường y = x, y = 2x, x = 2, ð/S: 10
d.
2 3
( )
D

x y x dxdy
−
∫∫
, D giới hạn bởi các ñường: x = y
2
, y = x
2
ð/S: -1/504
e.
D
xydxdy
∫∫
, D giới hạn bởi các ñường x – y + 4 = 0, x
2
= 2y, ð/S: 90
f. ( )
D
x y dxdy
+
∫∫
, D giới hạn bởi x+4 = y, y = 0, y =(x-2)
2
ð/S: 28/5
g.
2 2
D
xy
dxdy
x y+
∫∫

, D tam giác có các ñ3nh O(0, 0); A(3,3), B(3, 0) ð/S:
9
ln2
4

h.
2
D
y dxdy
∫∫
, D giới hạn bởi y
2
= 2x

và y
2
= 2(4-x)

ð/s:
128
15


Bài tập Giải tích 3 – Bộ môn Toán Lý – Khoa Vật Lý – ðHSP TpHCM

i.
ðổi thứ tự lấy tích phân:
2
2
2 16

0
8
( , )
x
x x
I dx f x y dy
−
−
=
∫ ∫
và tính tích phân trên với f(x, y) =
3(x + y) ð/s: 88+24
3
-32
π


j.
2
( )
D
x y dxdy
+
∫∫
, D giới hạn bởi y = x
2
và x = y
2
ð/s:
33

140

k. (2 )
D
x y dxdy
−
∫∫
, trong ñó D là nửa trên hình tròn tâm (1,0), bán kính 1.
4. Tính các tích phân sau:
a.
1 1
2
1 1
sin
y
e y xydydx
− −
∫ ∫
b.
2
1 1
0
x
y
e dxdy
∫∫

c.
3 3
2

0
12
y
x dxdy
+
∫∫
d.
1 1
4
2 2
0 y
x
dxdy
x y+
∫∫

e.
cos( )
D
x y dxdy
+
∫∫
, D :
{
}
0 ;0
x y x
π π
≤ ≤ ≤ ≤ −
ð/S:

π

f.

(
)
2
1
D
y x dxdy
− +
∫∫
, D :
{
}
1 1;0 2
x y
− ≤ ≤ ≤ ≤
ð/s:
12
5

g.

2
D
y x dxdy
−
∫∫
, D :

{
}
1 1;0 2
x y
− ≤ ≤ ≤ ≤
ð/s:
5
2 3
π
+

h.
(
)
D
x y x y dxdy
+ + −
∫∫
, D: |
x
| + |
y
| ≤ 1, ð/s: 4/3