Phân dạng và phương pháp giải bài tập hình học 10

LuyÊN THI BIÊN HOÀ
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP
HÌNH HỌC 10
Họ và tên:………………………….
Lí THUYT V BI TP TON 10 LUYN THI BIấN HO - 0935991949
1. Cỏc nh ngha
Vect l mt on thng cú hng. Kớ hiu vect cú im u A, im cui B l
AB
uuur
.
Giỏ ca vect l ng thng cha vect ú.
di ca vect l khong cỏch gia im u v im cui ca vect, kớ hiu
AB
uuur
.
Vect khụng l vect cú im u v im cui trựng nhau, kớ hiu
0
r
.
Hai vect gl cựng phng nu giỏ ca chỳng song song hoc trựng nhau.
Hai vect cựng phng cú th cựng hng hoc ngc hng.
Hai vect gl bng nhau nu chỳng cựng hng v cú cựng di.
Chỳ ý: + Ta cũn s dng kớ hiu
a b, ,
r
r
biu din vect.
+ Qui c: Vect
0
r
cựng phng, cựng hng vi mi vect.

Mi vect
0
r
u bng nhau.
2. Cỏc phộp toỏn trờn vect
a) Tng ca hai vect
Qui tc ba im: Vi ba im A, B, C tu ý, ta cú:
AB BC AC+ =
uuur uuur uuur
.
Qui tc hỡnh bỡnh hnh: Vi ABCD l hỡnh bỡnh hnh, ta cú:
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
.
Tớnh cht:
a b b a+ = +
r r
r r
;
( ) ( )
a b c a b c+ + = + +
r r
r r r r
;
a a0+ =
r
r r
b) Hiu ca hai vect
Vect i ca
a

r
l vect
b
r
sao cho
a b 0+ =
r r
r
. Kớ hiu vect i ca
a
r
l
a
r
.
Vect i ca
0
r
l
0
r
.

( )
a b a b = +
r r
r r
.
Qui tc ba im: Vi ba im O, A, B tu ý, ta cú:
OB OA AB =

uuur uuur uuur
.
c) Tớch ca mt vect vi mt s
Cho vect
a
r
v s k

R.
ka
r
l mt vect c xỏc nh nh sau:
+
ka
r
cựng hng vi
a
r
nu k

0,
ka
r
ngc hng vi
a
r
nu k < 0.
+
ka k a.=
r r

.
Tớnh cht:
( )
k a b ka kb+ = +
r r
r r
;
k l a ka la( )+ = +
r r r
;
( )
k la kl a( )=
r r
ka 0=
r
r
k = 0 hoc
a 0=
r
r
.
iu kin hai vect cựng phng:
( )
a vaứ b a cuứng phửụng k R b ka0 : =
r r r
r r r
iu kin ba im thng hng: A, B, C thng hng k

0:
AB kAC=

uuur uuur
.
Biu th mt vect theo hai vect khụng cựng phng: Cho hai vect khụng cựng phng
a b,
r
r
v
x
r
tu ý. Khi ú ! m, n

R:
x ma nb= +
r
r r
.
Chỳ ý:
H thc trung im on thng:
M l trung im ca on thng AB
MA MB 0+ =
uuur uuur
r

OA OB OM2+ =
uuur uuur uuur
(O tu ý).
H thc trng tõm tam giỏc:
G l trng tõm ABC
GA GB GC 0+ + =
uuur uuur uuur

r

OA OB OC OG3+ + =
uuur uuur uuur uuur
(O tu ý).
Trang 2
I. VECT
I. VECT
CHNG I
VECT
CHNG I
VECT
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ – www.luyenthibienhoa.com
VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ
Baøi 1. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác
0
r
) có điểm đầu và điểm cuối là các
điểm A, B, C, D ?
Baøi 2. Cho ∆ABC có A′, B′, C′ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
a) Chứng minh:
BC C A A B
′ ′ ′ ′
= =
uuuur uuur uuuur
.
b) Tìm các vectơ bằng
B C C A,
′ ′ ′ ′
uuuur uuuur

.
Baøi 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC. Chứng minh:
MP QN MQ PN;= =
uuur uuur uuur uuur
.
Baøi 4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh:
a)
AC BA AD AB AD AC;− = + =
uuur uur uuur uuur uuur
.
b) Nếu
AB AD CB CD+ = −
uuur uuur uuur uuur
thì ABCD là hình chữ nhật.
Baøi 5. Cho hai véc tơ
a b,
r
r
. Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng:
a b a b+ = −
r r
r r
.
Baøi 6. Cho ∆ABC đều cạnh a. Tính
AB AC AB AC;+ −
uuur uuur uuur uuur
.
Baøi 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính
AB AC AD+ +
uuur uuur uuur

.
Baøi 8. Cho ∆ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ
HA HB HC, ,
uuur uuur uuur
.
Baøi 9. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ
AB AD+
uuur uuur
,
AB AC+
uuur uuur
,
AB AD−
uuur uuur
.
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ
Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, ta
thường sử dụng:
– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.
– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.
– Tính chất của các hình.
Baøi 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:
a)
AB DC AC DB+ = +
uuur uuur uuur uuur
b)
AD BE CF AE BF CD+ + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
Baøi 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh:

a) Nếu
AB CD=
uuur uuur
thì
AC BD=
uuur uuur
b)
AC BD AD BC IJ2+ = + =
uuur uuur uuur uuur uur
.
c) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh:
GA GB GC GD 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur
r
.
d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Chứng minh
các đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm.
Baøi 3. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh:
AB AI JA DA DB2( ) 3+ + + =
uuur uur uur uuur uuur
.
Baøi 4. Cho ∆ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh:
RJ IQ PS 0+ + =
uur uur uur
r
.
Baøi 5. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.
a) Chứng minh:
IA IB IC2 0+ + =
uur uur uur r

.
b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh:
OA OB OC OI2 4+ + =
uuur uuur uuur uur
.
Baøi 6. Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Chứng minh:
a)
AH OM2=
uuur uuur
b)
HA HB HC HO2+ + =
uuur uuur uuur uuur
c)
OA OB OC OH+ + =
uuur uuur uuur uuur
.
Baøi 7. Cho hai tam giác ABC và A′B′C′ lần lượt có các trọng tâm là G và G′.
a) Chứng minh
AA BB CC GG3
′ ′ ′ ′
+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
.
Trang3
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ - 0935991949
b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.
Baøi 8. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh:
AM AB AC
1 2

3 3
= +
uuur uuur uuur
.
Baøi 9. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho
CN NA2=
uuur uuur
. K là trung điểm của MN. Chứng minh:
a)
AK AB AC
1 1
4 6
= +
uuur uuur uuur
b)
KD AB AC
1 1
4 3
= +
uuur uuur uuur
.
Baøi 10. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:
a)
AM OB OA
1
2
= −
uuur uuur uuur
b)
BN OC OB

1
2
= −
uuur uuur uuur
c)
( )
MN OC OB
1
2
= −
uuuur uuur uuur
.
Baøi 11. Cho ∆ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:
a)
AB CM BN
2 4
3 3
= − −
uuur uuur uuur
c)
AC CM BN
4 2
3 3
= − −
uuur uuur uuur
c)
MN BN CM
1 1
3 3
= −

uuuur uuur uuur
.
Baøi 12. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.
a) Chứng minh:
AH AC AB
2 1
3 3
= −
uuur uuur uuur
và
( )
CH AB AC
1
3
= − +
uuur uuur uuur
.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh:
MH AC AB
1 5
6 6
= −
uuuur uuur uuur
.
Baøi 13. Cho hình bình hành ABCD, đặt
AB a AD b,= =
uuur uuur
r
r
. Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam

giác BCI. Phân tích các vectơ
BI AG,
uur uuur
theo
a b,
r
r
.
Baøi 14. Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ
BC vaø BD
uuur uuur
theo các vectơ
AB vaø AF
uuur uuur
.
Baøi 15. Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ
AM
uuur
theo các vectơ
OA OB OC, ,
uuur uuur uuur
.
Baøi 16. Cho ∆ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
MB MC NA CN PA PB3 , 3 , 0= = + =
uuur uuur uuur uuur uur uuur
r
.
a) Tính
PM PN,
uuur uuur

theo
AB AC,
uuur uuur
b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng.
Baøi 17. Cho ∆ABC. Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
a) Chứng minh:
AA BB CC
1 1 1
0+ + =
uuur uuur uuuur
r
b) Đặt
BB u CC v
1 1
,= =
uuur uuuur
r r
. Tính
BC CA AB, ,
uuur uur uuur
theo
u vaø v
r r
.

Baøi 18. Cho ∆ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho
5FB = 2FC.
a) Tính
AI AF theo AB vaø AC,
uur uuur uuur uuur
.
b) Gọi G là trọng tâm ∆ABC. Tính
AG theo AI vaø AF
uuur uur uuur
.
Baøi 19. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B.
a) Chứng minh:
HA HB HC5 0− + =
uuur uuur uuur
r
.
b) Đặt
AG a AH b,= =
uuur uuur
r
r
. Tính
AB AC,
uuur uuur
theo
a vaø b
r
r
.
VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ

Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đó đối với hình vẽ. Thông thường ta biến đổi
đẳng thức vectơ đã cho về dạng
OM a=
uuur
r
, trong đó O và
a
r
đã được xác định. Ta thường sử dụng các tính
chất về:
– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k.
– Hình bình hành.
– Trung điểm của đoạn thẳng.
– Trọng tâm tam giác, …
Trang 4
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ – www.luyenthibienhoa.com
Baøi 1. Cho ∆ABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện:
MA MB MC 0− + =
uuur uuur uuur r
.
Baøi 2. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I . M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường thẳng AB . Trên MI kéo
dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI.
a) Chứng minh:
BN BA MB− =
uuur uur uuur
.
b) Tìm các điểm D, C sao cho:
NA NI ND NM BN NC;+ = − =
uuur uur uuur uuur uuur uuur
.

Baøi 3. Cho hình bình hành ABCD.
a) Chứng minh rằng:
AB AC AD AC2+ + =
uuur uuur uuur uuur
.
b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện:
AM AB AC AD3 = + +
uuur uuur uuur uuur
.
Baøi 4. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Chứng minh:
MN AB DC
1
( )
2
= +
uuuur uuur uuur
.
b) Xác định điểm O sao cho:
OA OB OC OD 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
.
Baøi 5. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung điểm của MN.
Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta có:
SA SB SC SD SO4+ + + =
uur uur uur uuur uuur
.
Baøi 6. Cho ∆ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
a)
IB IC2 3 0+ =

uur uur r
b)
JA JC JB CA2 + − =
uur uur uur uur
c)
KA KB KC BC2+ + =
uuur uuur uuur uuur
d)
LA LB LC3 2 0− + =
uur uur uuur r
.
Baøi 7. Cho ∆ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
a)
IA IB BC2 3 3− =
uur uur uuur
b)
JA JB JC2 0+ + =
uur uur uur r
c)
KA KB KC BC+ − =
uuur uuur uuur uuur
d)
LA LC AB AC2 2− = −
uur uuur uuur uuur
.
Baøi 8. Cho ∆ABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:
a)
IA IB IC BC+ − =
uur uur uuur
b)

FA FB FC AB AC+ + = +
uur uuur uuur uuur uuur
c)
KA KB KC3 0+ + =
uuur uuur uuur
r
d)
LA LB LC3 2 0− + =
uuuur uur uuur
r
.
Baøi 9. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng thức sau:
a)
IA IB IC ID4+ + =
uur uur uur uur
b)
FA FB FC FD2 2 3+ = −
uur uuur uuur uuur
c)
KA KB KC KD4 3 2 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur
r
.
Baøi 10. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý.
a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho
MD MC AB= +
uuuur uuur uuur
,
ME MA BC= +
uuur uuur uuur

,
MF MB CA= +
uuur uuur uur
. Chứng minh
D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
b) So sánh 2 véc tơ
MA MB MC vaø MD ME MF+ + + +
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
.
Baøi 11. Cho tứ giác ABCD.
a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho:
GA GB GC GD 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur
r
(G đgl trọng tâm của tứ giác ABCD).
b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có:
( )
OG OA OB OC OD
1
4
= + + +
uuur uuur uuur uuur uuur
.
Baøi 12. Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD. A′, B′, C′, D′ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD,
ABD, ABC. Chứng minh:
a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA′, BB′, CC′, DD′.
b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác A′B′C′D′.
Baøi 13. Cho tứ giác ABCD. Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao cho các vectơ
v
r

đều bằng
k MI.
uuur
với mọi điểm M:
a)
v MA MB MC2= + +
uuur uuur uuur
r
b)
v MA MB MC2= − −
uuur uuur uuur
r
c)
v MA MB MC MD= + + +
uuur uuur uuur uuuur
r
d)
v MA MB MC MD2 2 3= + + +
uuur uuur uuur uuuur
r
.
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau
Trang5
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ - 0935991949
•
Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng thức
AB k AC=
uuur uuur
,
với k

≠
0.
•
Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức
OM ON=
uuur uuur
, với O là
một điểm nào đó hoặc
MN 0=
uuuur
r
.
Baøi 1. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho :
OA OB OC2 3 0+ − =
uuur uuur uuur r
. Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng.
Baøi 2. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:
BH BC BK BD
1 1
,
5 6
= =
uuur uuur uuur uuur
. Chứng minh: A, K, H thẳng hàng.
HD:
BH AH AB BK AK AB;= − = −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
Baøi 3. Cho ∆ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi:
IB IC2=

uur uur
,
JC JA
1
2
= −
uur uur
,
KA KB= −
uuur uuur
.
a) Tính
IJ IK theo AB vaø AC,
uur uur uuur uuur
. (HD:
IJ AB AC
4
3
= −
uur uuur uuur
)
b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm ∆AIB).
Baøi 4. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
MB MC3=
uuur uuur
,
NA CN3=
uuur uuur
,
PA PB 0+ =

uur uuur
r
.
a) Tính
PM PN,
uuur uuur
theo
AB AC,
uuur uuur
.
b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Baøi 5. Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho AD =
1
2
AF, AB =
1
2
AE. Chứng minh:
a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng.
b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành.
Baøi 6. Cho ∆ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi:
IA IC3 0+ =
uur uur
r
,
JA JB JC2 3 0+ + =
uur uur uur
r
. Chứng minh 3 điểm I,
J, B thẳng hàng.

Baøi 7. Cho ∆ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi:
MA MB3 4 0+ =
uuur uuur
r
,
NB NC3 0− =
uuur uuur
r
. Chứng minh 3 điểm
M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của ∆ABC.
Baøi 8. Cho ∆ABC. Lấy các điểm M N, P:
MB MC NA NC PA PB2 2 0− = + = + =
uuur uuur uuur uuur uur uuur
r
a) Tính
PM PN theo AB vaø AC,
uuur uuur uuur uuur
. b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
Baøi 9. Cho ∆ABC. Về phía ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh các tam
giác RIP và JQS có cùng trọng tâm.
Baøi 10. Cho tam giác ABC, A′ là điểm đối xứng của A qua B, B′ là điểm đối xứng của B qua C, C′ là điểm đối
xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ có chung trọng tâm.
Baøi 11. Cho ∆ABC. Gọi A′, B′, C′ là các điểm định bởi:
A B A C2 3 0
′ ′
+ =
uuur uuur
r
,
B C B A2 3 0

′ ′
+ =
uuur uuur
r
,
C A C B2 3 0
′ ′
+ =
uuur uuur
r
.
Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ có cùng trọng tâm.
Baøi 12. Trên các cạnh AB, BC, CA của ∆ABC lấy các điểm A′, B′, C′ sao cho:
AA BB CC
AB BC AC
′ ′ ′
= =
Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ có chung trọng tâm.
Baøi 13. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý. Gọi A′, B′, C′ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung
điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB.
a) Chứng minh ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ đồng qui tại một điểm N.
b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của ∆ABC.
Trang 6
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ – www.luyenthibienhoa.com
Baøi 14. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M, N thoả mãn:
MA MB3 4 0+ =
uuur uuur
r
,
CN BC

1
2
=
uuur uuur
. Chứng
minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của ∆ABC.
Baøi 15. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho
BD DE EC= =
uuur uuur uuur
.
a) Chứng minh
AB AC AD AE+ = +
uuur uuur uuur uuur
.
b) Tính
AS AB AD AC AE theo AI= + + +
uur uuur uuur uuur uuur uur
. Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.
Baøi 16. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức
BM BC AB2= −
uuur uuur uuur
,
CN xAC BC= −
uuur uuur uuur
.
a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng.
b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC. Tính
IM
IN
.

Baøi 17. Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho
a b c 0
+ + ≠
.
a) Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm G thoả mãn
aGA bGB cGC 0+ + =
uuur uuur uuur
r
.
b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho
MP aMA bMB cMC= + +
uuur uuur uuur uuur
. Chứng minh ba điểm G, M, P thẳng
hàng.
Baøi 18. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn
MN MA MB MC2 3= + −
uuuur uuur uuur uuur
.
a) Tìm điểm I thoả mãn
IA IB IC2 3 0+ − =
uur uur uur
r
.
b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Baøi 19. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn
MN MA MB MC2= − +
uuuur uuur uuur uuur
.
a) Tìm điểm I sao cho
IA IB IC2 0− + =

uur uur uur
r
.
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
c) Gọi P là trung điểm của BN. Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định.
VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để đưa về các tập
hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn:
– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi đường tròn có tâm là điểm cố định và
bán kính là khoảng không đổi.
Baøi 1. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a)
MA MB MA MB+ = −
uuur uuur uuur uuur
b)
MA MB MA MB2 2+ = +
uuur uuur uuur uuur
.
HD: a) Đường tròn đường kính AB b) Trung trực của AB.
Baøi 2. Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a)
MA MB MC MB MC
3
2
+ + = +
uuur uuur uuur uuur uuur
b)
MA BC MA MB+ = −
uuur uuur uuur uuur

c)
MA MB MB MC2 4+ = −
uuur uuur uuur uuur
d)
MA MB MC MA MB MC4 2+ + = − −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
HD: a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm
∆
ABC).
b) Dựng hình bình hành ABCD. Tập hợp là đường tròn tâm D, bán kính BA.
Baøi 3. Cho ∆ABC.
a) Xác định điểm I sao cho:
IA IB IC3 2 0− + =
uur uur uur
r
.
b) Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức:
MN MA MB MC2 2= − +
uuuur uuur uuur uuur
luôn đi qua một điểm cố định.
c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho:
HA HB HC HA HB3 2− + = −
uuur uuur uuur uuur uuur
.
d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho:
KA KB KC KB KC2 3+ + = +
uuur uuur uuur uuur uuur
Baøi 4. Cho ∆ABC.
Trang7

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỐN 10 LUYỆN THI BIÊN HỒ - 0935991949
a) Xác định điểm I sao cho:
IA IB IC3 2 0+ − =
uur uur uur
r
.
b) Xác định điểm D sao cho:
DB DC3 2 0− =
uuur uuur
r
.
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
MA MB MC MA MB MC3 2 2+ − = − −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
1. Trục toạ độ
• Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị
e
r
. Kí
hiệu
( )
O e;
r
.
• Toạ độ của vectơ trên trục:
u a u a e( ) .= ⇔ =
r r r
.

• Toạ độ của điểm trên trục:
M k OM k e( ) .⇔ =
uuur
r
.
• Độ dài đại số của vectơ trên trục:
AB a AB a e.= ⇔ =
uuur
r
.
Chú ý: + Nếu
AB cùng hướng với e
uuur
r
thì
AB AB=
.
Nếu
AB ngược hướng với e
uuur
r
thì
AB AB= −
.
+ Nếu A(a), B(b) thì
AB b a= −
.
+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có:
AB BC AC+ =
.

2. Hệ trục toạ độ
• Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vng góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là
i j,
r r
. O là gốc
toạ độ, Ox là trục hồnh, Oy là trục tung.
• Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ:
u x y u x i y j( ; ) . .= ⇔ = +
r r
r r
.
• Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ:
M x y OM x i y j( ; ) . .⇔ = +
uuur
r r
.
• Tính chất: Cho
a x y b x y k R( ; ), ( ; ),
′ ′
= = ∈
r
r
,
A A B B C C
A x y B x y C x y( ; ), ( ; ), ( ; )
:
+
x x
a b
y y


′

=
= ⇔

′
=


r
r
+
a b x x y y( ; )
′ ′
± = ± ±
r
r
+
ka kx ky( ; )=
r
+
b
r
cùng phương với
a 0≠
r
r
⇔ ∃k
∈

R:
x kx và y ky
′ ′
= =
.
⇔
x y
x y
′ ′
=
(nếu x
≠
0, y
≠
0).
+
B A B A
AB x x y y( ; )= − −
uuur
.
+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:
A B A B
I I
x x y y
x y;
2 2
+ +
= =
.
+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

A B C A B C
G G
x x x y y y
x y;
3 3
+ + + +
= =
.
+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k
≠
1:
A B A B
M M
x kx y ky
x y
k k
;
1 1
− −
= =
− −
.
( M chia đoạn AB theo tỉ số k ⇔
MA kMB=
uuur uuur
).
Trang 8
II. TOẠ ĐỘ
II. TOẠ ĐỘ
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ – www.luyenthibienhoa.com

VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên trục
Baøi 1. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −2 và 5.
a) Tìm tọa độ của
AB
uuur
.
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho
MA MB2 5 0+ =
uuur uuur
r
.
d) Tìm tọa độ điểm N sao cho
NA NB2 3 1+ = −
.
Baøi 2. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −3 và 1.
a) Tìm tọa độ điểm M sao cho
MA MB3 2 1− =
.
b) Tìm tọa độ điểm N sao cho
NA NB AB3+ =
.
Baøi 3. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(−2), B(4), C(1), D(6).
a) Chứng minh rằng:
AC AD AB
1 1 2
+ =
.
b) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh:
IC ID IA

2
. =
.
c) Gọi J là trung điểm của CD. Chứng minh:
AC AD AB AJ. .=
.
Baøi 4. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.
a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB.
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho
MA MB MC 0+ − =
uuur uuur uuur
r
.
c) Tìm tọa độ điểm N sao cho
NA NB NC2 3− =
uuur uuur uuur
.
Baøi 5. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D tuỳ ý.
a) Chứng minh:
AB CD AC DB DA BC. . . 0+ + =
.
b) Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AB, CD. Chứng minh rằng các đoạn IJ và KL
có chung trung điểm.
VẤN ĐỀ 2: Toạ độ trên hệ trục
Baøi 1. Viết tọa độ của các vectơ sau:
a)
a i j b i j c i d j
1
2 3 ; 5 ; 3 ; 2
3

= + = − = = −
r r
r r r r r r
r r
.
b)
a i j b i j c i j d j e i
1 3
3 ; ; ; 4 ; 3
2 2
= − = + = − + = − =
r r
r r r r r r r r
r r r
.
Baøi 2. Viết dưới dạng
u xi yj= +
r r
r
khi biết toạ độ của vectơ
u
r
là:
a)
u u u u(2; 3); ( 1;4); (2;0); (0; 1)= − = − = = −
r r r r
.
b)
u u u u(1;3); (4; 1); (1;0); (0;0)= = − = =
r r r r

.
Baøi 3. Cho
a b(1; 2), (0;3)= − =
r
r
. Tìm toạ độ của các vectơ sau:
a)
x a b y a b z a b; ; 2 3= + = − = −
r r r
r r r r r r
. b)
u a b v b w a b
1
3 2 ; 2 ; 4
2
= − = + = −
r r r
r r r r r
.
Baøi 4. Cho
a b c
1
(2;0), 1; , (4; 6)
2
 
= = − = −
 ÷
 
r
r r

.
a) Tìm toạ độ của vectơ
d a b c2 3 5= − +
r r
r r
.
b) Tìm 2 số m, n sao cho:
ma b nc 0+ − =
r r
r r
.
c) Biểu diễn vectơ
c a btheo ,
r
r r
.
Baøi 5. Cho hai điểm
A B(3; 5), (1;0)−
.
a) Tìm toạ độ điểm C sao cho:
OC AB3= −
uuur uuur
.
b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.
Trang9
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ - 0935991949
c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.
Baøi 6. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB.

Baøi 7. Cho ba điểm A(1; −2), B(0; 4), C(3; 2).
a) Tìm toạ độ các vectơ
AB AC BC, ,
uuur uuur uuur
.
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
c) Tìm tọa độ điểm M sao cho:
CM AB AC2 3= −
uuur uuur uuur
.
d) Tìm tọa độ điểm N sao cho:
AN BN CN2 4 0+ − =
uuur uuur uuur
r
.
Baøi 8. Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2).
a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C.
b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C.
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
Baøi 1. Cho tam giác ABC với trực tâm H, B′ là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam
giác. Hãy xét quan hệ giữa các vectơ
AH vaø B C AB vaø HC;
′ ′
uuur uuur
uuur uuur
.
Baøi 2. Cho bốn điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh:
AC BD AD BC IJ2+ = + =

uuur uuur uuur uuur uur
.
b) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh:
GA GB GC GD 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur
r
.
c) Gọi P, Q là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD; M, N là trung điểm của các đoạn thẳng AD và
BC. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng IJ, PQ và MN có chung trung điểm.
Baøi 3. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý.
a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho
MD MC AB= +
uuuur uuur uuur
,
ME MA BC= +
uuur uuur uuur
,
MF MB CA= +
uuur uuur uur
. Chứng minh
các điểm D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
b) So sánh hai tổng vectơ:
MA MB MC+ +
uuur uuur uuur
và
MD ME MF+ +
uuuur uuur uuur
.
Baøi 4. Cho ∆ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.
a) Chứng minh:

IA IB IC2 0+ + =
uur uur uur
r
.
b) Với điểm O bất kì, chứng minh:
OA OB OC OI2 4+ + =
uuur uuur uuur uur
.
Baøi 5. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ∆ABC. Chứng minh:
a)
AI AO AB2 2= +
uur uuur uuur
. b)
DG DA DB DC3 = + +
uuur uuur uuur uuur
.
Baøi 6. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.
a) Chứng minh:
( )
AI A AB
1
D 2
2
= +
uur uuur uuur
b) Chứng minh:
OA OI OJ 0+ + =
uuur uur uur
r
.

c) Tìm điểm M thoả mãn:
MA MB MC 0− + =
uuur uuur uuur
r
.
Baøi 7. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi
AD AB2=
uuur uuur
,
AE AC
2
5
=
uuur uuur
.
a) Tính
AG DE DG theo AB vaø AC, ,
uuur uuur uuur uuur uuur
.
b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng.
Baøi 8. Cho ∆ABC. Gọi D là điểm xác định bởi
AD AC
2
5
=
uuur uuur
và M là trung điểm đoạn BD.
a) Tính
AM
uuur

theo
AB vaø AC
uuur uuur
.
b) AM cắt BC tại I. Tính
IC
IB
và
AI
AM
.
Baøi 9. Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện:
Trang 10
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ – www.luyenthibienhoa.com
a)
MA MB=
uuur uuur
b)
MA MB MC 0+ + =
uuur uuur uuur
r
c)
MA MB MA MB+ = −
uuur uuur uuur uuur
d)
MA MB MA MB+ = +
uuur uuur uuur uuur
e)
MA MB MA MC+ = +
uuur uuur uuur uuur

Baøi 10. Cho ∆ABC có A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Baøi 11. Cho A(2; 3), B(−1; −1), C(6; 0).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Baøi 12. Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1). Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho:
a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh.
b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh.
Trang11
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỐN 10 LUYỆN THI BIÊN HỒ - 0935991949
O x
y
M
x
y
 
1
-1
1. Định nghĩa
Lấy M trên nửa đường tròn đơn vò tâm O. Xét góc nhọn α =
·
xOM
. Giả sử M(x; y).
sin
α
= y (tung độ)
cos
α

= x (hoành độ)
tan
α
=
y tung độ
x hoành độ
 
 ÷
 
(x
≠
0)
cot
α
=
x hoành độ
y tung độ
 
 ÷
 
(y
≠
0)
Chú ý: – Nếu
α
tù thì cos
α
< 0, tan
α
< 0, cot

α
< 0.
– tan
α
chỉ xác định khi
α

≠
90
0
, cot
α
chỉ xác định khi
α

≠
0
0
và
α

≠
180
0
.
2. Tính chất
• Góc phụ nhau • Góc bù nhau
0
0
0

0
sin(90 ) cos
cos(90 ) sin
tan(90 ) cot
cot(90 ) tan
α α
α α
α α
α α
− =
− =
− =
− =
0
0
0
0
sin(180 ) sin
cos(180 ) cos
tan(180 ) tan
cot(180 ) cot
α α
α α
α α
α α
− =
− = −
− = −
− = −
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
180
0
sin
α
0
1
2
2
2
3
2
1 0
cos
α
1
3
2
2
2
1

2
0 –1
tan
α
0
3
3
1
3
||
0
cot
α
||
3
1
3
3
0
||
4. Các hệ thức cơ bản
sin
tan (cos 0)
cos
cos
cot (sin 0)
sin
tan .cot 1 (sin .cos 0)
α
α α

α
α
α α
α
α α α α
= ≠
= ≠
= ≠
2 2
2
2
2
2
sin cos 1
1
1 tan (cos 0)
cos
1
1 cot (sin 0)
sin
α α
α α
α
α α
α
+ =
+ = ≠
+ = ≠
Chú ý:
0 sin 1; 1 cos 1

α α
≤ ≤ − ≤ ≤
.
Bài 10. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
a b c
0 0 0
sin0 cos0 sin90+ +
b)
a b c
0 0 0
cos90 sin90 sin180+ +
Trang 12
CHƯƠNG II
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
VÀ ỨNG DỤNG
CHƯƠNG II
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
VÀ ỨNG DỤNG
I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ
TỪ ĐẾN
I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ
TỪ ĐẾN
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ – www.luyenthibienhoa.com
O
A
B
a
r
b

r
a
r
b
r
c)
a b c
2 0 2 0 2 0
sin90 cos90 cos180+ +
d)
2 0 2 0 2 0
3 sin 90 2cos 60 3tan 45− + −
e)
a a a
2 2 0 0 2 0 2
4 sin 45 3( tan45 ) (2 cos45 )− +
Baøi 11. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
x xsin cos
+
khi x bằng 0
0
; 45
0
; 60
0
. b)
x x2sin cos2
+
khi x bằng 45

0
; 30
0
.
Baøi 12. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:
a)
1
sin
4
β
=
, β nhọn. b)
1
cos
3
α
= −
c)
xtan 2 2=
Baøi 13. Biết
0
6 2
sin15
4
−
=
. Tinh
0 0 0
cos15 , tan15 , cot15
.

Baøi 14. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức:
a)
x x
0 0
1
sin , 90 180
3
= < <
. Tính
x x
A
x x
tan 3cot 1
tan cot
+ +
=
+
.
b)
tan 2
α
=
. Tính
B
3 3
sin cos
sin 3cos 2sin
α α
α α α
−

=
+ +
Baøi 15. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x x x
2
(sin cos ) 1 2sin .cos+ = +
b)
x x x x
4 4 2 2
sin cos 1 2sin .cos+ = −
c)
x x x x
2 2 2 2
tan sin tan .sin− =
d)
x x x x
6 6 2 2
sin cos 1 3sin .cos+ = −
e)
x x x x x xsin .cos (1 tan )(1 cot ) 1 2sin .cos+ + = +
Baøi 16. Đơn giản các biểu thức sau:
a)
y y ycos sin .tan+
b)
b b1 cos . 1 cos+ −
c)
a a
2
sin 1 tan+

d)
x
x x
x
2
2
1 cos
tan .cot
1 sin
−
+
−
e)
x x
x x
2 2
2
1 4sin .cos
(sin cos )
−
+
f)
x x x x x
0 0 2 2 2
sin(90 ) cos(180 ) sin (1 tan ) tan− + − + + −
Baøi 17. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
2 0 2 0 2 0 2 0
cos 12 cos 78 cos 1 cos 89+ + +
b)

2 0 2 0 2 0 2 0
sin 3 sin 15 sin 75 sin 87+ + +
1. Góc giữa hai vectơ
Cho
a b, 0≠
r r
r
. Từ một điểm O bất kì vẽ
OA a OB b,= =
uuur uuur
r
r
.
Khi đó
( )
·
a b AOB,
=
r
r
với 0
0
≤
·
AOB
≤ 180
0
.
Chú ý:
+

( )
a b,
r
r
= 90
0

⇔

a b⊥
r
r
+
( )
a b,
r
r
= 0
0

⇔

a b,
r
r
cùng hướng
+
( )
a b,
r

r
= 180
0

⇔

a b,
r
r
ngược hướng
+
( ) ( )
a b b a, ,=
r r
r r
2. Tích vô hướng của hai vectơ
• Định nghĩa:
( )
a b a b a b. . .cos ,
=
r r r
r r r
.
Đặc biệt:
a a a a
2
2
. = =
r r r r
.

Trang13
II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỐN 10 LUYỆN THI BIÊN HỒ - 0935991949
• Tính chất: Với
a b c, ,
r
r r
bất kì và ∀k
∈
R, ta có:
+
. .a b b a=
r r
r r
;
( )
. .a b c a b a c+ = +
r r
r r r r r
;

( )
( ) ( )
. . .ka b k a b a kb= =
r r r
r r r
;
2 2
0; 0 0a a a≥ = ⇔ =

r
r r r
.
+
( )
2
2 2
2 .a b a a b b+ = + +
r r r
r r r
;
( )
2
2 2
2 .a b a a b b− = − +
r r r
r r r
;
( ) ( )
2 2
a b a b a b− = − +
r r r
r r r
.
+
.a b
r
r
> 0
⇔

( )
,a b
r
r
nhọn +
.a b
r
r
< 0
⇔

( )
,a b
r
r
tù

.a b
r
r
= 0
⇔

( )
,a b
r
r
vuông.
3. Biểu thức toạ độ của tích vơ hướng

• Cho
a
r
= (a
1
, a
2
),
b
r
= (b
1
, b
2
). Khi đó:
a b a b a b
1 1 2 2
.
= +
r
r
.
•
a a a
2 2
1 2
= +
r
;
a b a b

a b
a a b b
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
cos( , )
.
+
=
+ +
r
r
;
a b a b a b
1 1 2 2
0⊥ ⇔ + =
r
r
• Cho
A A B B
A x y B x y( ; ), ( ; )
. Khi đó:
B A B A
AB x x y y
2 2
( ) ( )= − + −
.
Bài 1. Cho tam giác ABC vng tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vơ hướng:
a)
AB AC.

uuur uuur
b)
AC CB.
uuur uuur
c)
AB BC.
uuur uuur
Bài 2. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vơ hướng:
a)
AB AC.
uuur uuur
b)
AC CB.
uuur uuur
c)
AB BC.
uuur uuur
Bài 3. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.
a) Chứng minh:
DA BC DB CA DC AB. . . 0+ + =
uuur uuur uuur uur uuur uuur
.
b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".
Bài 4. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:
BC AD CA BE AB CF. . . 0+ + =
uuur uuur uur uuur uuur uuur
.
Bài 5. Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng
AM và BN.
a) Chứng minh:

AM AI AB AI BN BI BA BI. . , . .= =
uuur uur uuur uur uuur uur uur uur
.
b) Tính
AM AI BN BI. .+
uuur uur uuur uur
theo R.
Bài 6. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.
a) Tính
AB AC.
uuur uuur
, rồi suy ra giá trị của góc A.
b) Tính
CA CB.
uur uuur
.
c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính
CD CB.
uuur uuur
.
Bài 7. Cho hình vng ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
AB AC.
uuur uuur
b)
AB AD BD BC( )( )+ +
uuur uuur uuur uuur
c)
AC AB AD AB( )(2 )− −
uuur uuur uuur uuur

d)
AB BD.
uuur uuur
e)
AB AC AD DA DB DC( )( )+ + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
HD: a)
a
2
b)
a
2
c)
a
2
2
d)
a
2
−
e) 0
Bài 8. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
a) Tính
AB AC.
uuur uuur
, rồi suy ra cosA.
b) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC. Tính
AG BC.
uuur uuur
.

c) Tính giá trị biểu thức S =
GA GB GB GC GC GA. . .+ +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
d) Gọi AD là phân giác trong của góc
·
BAC
(D ∈ BC). Tính
AD
uuur
theo
AB AC,
uuur uuur
, suy ra AD.
Trang 14
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ – www.luyenthibienhoa.com
HD: a)
AB AC
3
.
2
= −
uuur uuur
,
A
1
cos
4
= −
b)

AG BC
5
.
3
=
uuur uuur
c)
S
29
6
= −
d) Sử dụng tính chất đường phân giác
AB
DB DC
AC
.=
uuur uuur

⇒

AD AB AC
3 2
5 5
= +
uuur uuur uuur
,
AD
54
5
=

Baøi 9. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 60
0
. M là trung điểm của BC.
a) Tính BC, AM.
b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi:
IA IB JB JC2 0, 2+ = =
uur uur uur uur
r
.
HD: a) BC =
19
, AM =
7
2
b) IJ =
2
133
3
Baøi 10. Cho tứ giác ABCD.
a) Chứng minh
AB BC CD DA AC DB
2 2 2 2
2 .− + − =
uuur uuur
.
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:
AB CD BC DA
2 2 2 2
+ = +
.

Baøi 11. Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh:
MH MA BC
2
1
.
4
=
uuuur uuur
.
Baøi 12. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:
a)
MA MC MB MD
2 2 2 2
+ = +
b)
MA MC MB MD. .=
uuur uuur uuur uuuur
c)
MA MB MD MA MO
2
. 2 .+ =
uuur uuuur uuur uuur
(O là tâm của hình chữ nhật).
Baøi 13. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).
a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ điểm M biết
CM AB AC2 3= −
uuur uuur uuur
.
c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Baøi 14. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
a) Tính
AB AC.
uuur uuur
. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.
i) Tìm toạ độ điểm T thoả
TA TB TC2 3 0+ − =
uur uur uuur
r
k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.
l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ∆ABC.
Baøi 15. Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a)
MA MA MB
2
2 .=
uuur uuur
b)
MA MB MB MC( )(2 ) 0− − =
uuur uuur uuur uuur
c)
MA MB MB MC( )( ) 0+ + =
uuur uuur uuur uuur

d)
MA MA MB MA MC
2
2 . .+ =
uuur uuur uuur uuur
Baøi 16. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a)
MA MC MB MD a
2
. .+ =
uuur uuur uuur uuuur
b)
MA MB MC MD a
2
. . 5+ =
uuur uuur uuur uuuur
c)
MA MB MC MD
2 2 2 2
3+ + =
d)
MA MB MC MC MB a
2
( )( ) 3+ + − =
uuur uuur uuur uuur uuur
Baøi 17. Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M sao cho:
MA MB MC MD IJ
2
1
. .

2
+ =
uuur uuur uuur uuuur
.
Baøi 18.
a)
Trang15
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ - 0935991949
A
B CH
O
M
A
B
C
D
T
R
Cho ∆ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: m
a
, m
b
, m
c

– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: h
a
, h
b

, h
c

– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
– nửa chu vi tam giác: p
– diện tích tam giác: S
1. Định lí côsin
a b c bc A
2 2 2
2 .cos= + −
;
b c a ca B
2 2 2
2 .cos= + −
;
c a b ab C
2 2 2
2 .cos= + −
2. Định lí sin
a b c
R
A B C
2
sin sin sin
= = =
3. Độ dài trung tuyến
a
b c a
m
2 2 2

2
2( )
4
+ −
=
;
b
a c b
m
2 2 2
2
2( )
4
+ −
=
;
c
a b c
m
2 2 2
2
2( )
4
+ −
=
4. Diện tích tam giác
S =
a b c
ah bh ch
1 1 1

2 2 2
= =

=
bc A ca B ab C
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
= =
=
abc
R4
=
pr
=
p p a p b p c( )( )( )− − −
(công thức Hê–rông)
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.
5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)
Cho ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao.
•
BC AB AC
2 2 2
= +
(định lí Pi–ta–go)
•
AB BC BH
2
.=
,

AC BC CH
2
.=
•
AH BH CH
2
.=
,
AH AB AC
2 2 2
1 1 1
= +
•
AH BC AB AC. .=
•
b a B a C c B c C.sin .cos tan cot= = = =
;
c a C a B b C b C.sin .cos tan cot= = = =
6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.
• Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.
P
M/(O)
=
MA MB MC MD MO R
2 2
. .= = −
uuur uuur uuur uuuur
• Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT.
Trang 16

III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Lí THUYT V BI TP TON 10 LUYN THI BIấN HO www.luyenthibienhoa.com
P
M/(O)
=
MT MO R
2 2 2
=
Baứi 1. Chng minh rng trong mi tam giỏc ABC ta cú;
a)
a b C c B.cos .cos
= +
b)
A B C C Bsin sin cos sin cos
= +
c)
a
h R B C2 sin sin=
d)
a b c
m m m a b c
2 2 2 2 2 2
3
( )
4
+ + = + +
e)
( )
ABC

S AB AC AB AC
2
2 2
1
. .
2

=
uuur uuur
Baứi 2. Cho tam giỏc ABC. Chng minh rng:
a) Nu b + c = 2a thỡ
a b c
h h h
2 1 1
= +
b) Nu bc = a
2
thỡ
b c a
B C A h h h
2 2
sin sin sin ,= =
c) A vuụng
b c a
m m m
2 2 2
5+ =
Baứi 3. Cho t giỏc li ABCD, gi l gúc hp bi hai ng chộp AC v BD.
a) Chng minh din tớch S ca t giỏc cho bi cụng thc:
S AC BD

1
. .sin
2

=
.
b) Nờu kt qu trong trng hp t giỏc cú hai ng chộo vuụng gúc.
Baứi 4. Cho ABC vuụng A, BC = a, ng cao AH.
a) Chng minh
AH a B B BH a B CH a B
2 2
.sin .cos , .cos , .sin= = =
.
b) T ú suy ra
AB BC BH AH BH HC
2 2
. , .= =
.
Baứi 5. Cho AOB cõn nh O, OH v OK l cỏc ng cao. t OA = a,
ã
AOH

=
.
a) Tớnh cỏc cnh ca OAK theo a v .
b) Tớnh cỏc cnh ca cỏc tam giỏc OHA v AKB theo a v .
c) T ú tớnh
sin2 , cos2 , tan2

theo

sin , cos , tan

.
Baứi 6. Gii tam giỏc ABC, bit:
a)
à
à
c A B
0 0
14; 60 ; 40= = =
b)
à
à
b A C
0 0
4,5; 30 ; 75= = =
c)
à
à
c A C
0 0
35; 40 ; 120= = =
d)
à
à
a B C
0 0
137,5; 83 ; 57= = =

Baứi 7. Gii tam giỏc ABC, bit:

a)
à
a b C
0
6,3; 6,3; 54= = =
b)
à
b c A
0
32; 45; 87= = =
c)
à
a b C
0
7; 23; 130= = =
d)
à
b c A
0
14; 10; 145= = =

Baứi 8. Gii tam giỏc ABC, bit:
a)
a b c14; 18; 20= = =
b)
a b c6; 7,3; 4,8= = =
c)
a b c4; 5; 7= = =
d)
a b c2 3; 2 2; 6 2= = =

BI TP ễN CHNG II
Baứi 1. Chng minh cỏc ng thc sau:
a)
x x
x x x
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
+
+ =
+
b)
x x
x x
x x
3 3
sin cos
1 sin .cos
sin cos
+
=
+
c)
x
x
x x
2
2
2 2
tan 1 1
1

2tan
4sin .cos


=
ữ

d)
x x
x
x x x
2 2
2
4 4 2
cos sin
1 tan
sin cos sin

= +
+
e)
x x
x x
x x x x
2 2
sin cos
sin cos
cos (1 tan ) sin (1 cot )
=
+ +

Trang17
Lí THUYT V BI TP TON 10 LUYN THI BIấN HO - 0935991949
f)
x x
x x
x x x x
cos sin 1
tan . cot
1 sin 1 cos sin .cos

+ + =
ữ ữ
+ +

g)
x x x x x
2 2 2 2 2
cos (cos 2sin sin tan ) 1+ + =
Baứi 2. Bit
0
5 1
sin18
4

=
. Tớnh cos18
0
, sin72
0
, sin162

0
, cos162
0
, sin108
0
, cos108
0
, tan72
0
.
Baứi 3. Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc:
a) A =
x x x
4 2 2
cos cos sin +
b) B =
x x x
4 2 2
sin sin cos +
Baứi 4. Cho cỏc vect
a b,
r
r
.
a) Tớnh gúc
( )
a b,
r
r
, bit

a b, 0
r r
r
v hai vect
u a b v a b2 , 5 4= + =
r r
r r r r
vuụng gúc.
b) Tớnh
a b+
r
r
, bit
a b a b11, 23, 30= = =
r r
r r
.
c) Tớnh gúc
( )
a b,
r
r
, bit
a b a b a b a b( 3 ) (7 5 ), ( 4 ) (7 2 )+
r r r r
r r r r
.
d) Tớnh
a b a b, 2 3 +
r r

r r
, bit
a b a b
0
3, 2, ( , ) 120= = =
r r
r r
.
e) Tớnh
a b,
r
r
, bit
a b a b a b a b2, 4, (2 ) ( 3 )+ = = + +
r r r r
r r r r
.
Baứi 5. Cho tam giỏc ABC cú AB = 3, AC = 4, BC = 6.
a) Tớnh
AB AC.
uuur uuur
v cosA.
b) M, N l hai im c xỏc nh bi
AM AB AN AC
2 3
,
3 4
= =
uuur uuur uuur uuur
. Tớnh MN.

Baứi 6. Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú AB =
3
, AD = 1,
ã
BAD
0
60=
.
a) Tớnh
AB AD BA BC. , .
uuur uuur uur uuur
.
b) Tớnh di hai ng chộo AC v BD. Tớnh
( )
AC BDcos ,
uuur uuur
.
Baứi 7. Cho tam giỏc ABC cú gúc A nhn. V phớa ngoi tam giỏc v cỏc tam giỏc vuụng cõn nh A l ABD v
ACE. Gi I l trung im ca BC. Chng minh AI DE.
Baứi 8. Cho t giỏc ABCD cú hai ng chộo ct nhau ti O. Gi H, K ln lt l trc tõm ca cỏc tam giỏc
ABO v CDO. Gi I, J ln lt l trung im ca AD v BC. Chng minh HK IJ.
Baứi 9. Cho hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng 1, M l trung im cnh AB. Trờn ng chộo AC ly im N sao
cho
AN AC
3
4
=
uuur uuur
.
a) Chng minh DN vuụng gúc vi MN.

b) Tớnh tng
DN NC MN CB. .+
uuur uuur uuuur uuur
.
Baứi 10. Cho tam giỏc ABC. Tỡm tp hp cỏc im M sao cho:
a)
AB AM AC AM. . 0 =
uuur uuur uuur uuur
b)
AB AM AC AM. . 0+ =
uuur uuur uuur uuur
c)
MA MB MA MC( )( ) 0+ + =
uuur uuur uuur uuur
d)
MA MB MC MA MB MC( 2 )( 2 ) 0+ + + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Baứi 11. Chng minh rng trong mi tam giỏc ABC ta cú:
a)
b c a b C c B
2 2
( .cos .cos ) =
b)
b c A a c C b B
2 2
( )cos ( .cos .cos ) =
b)
A B C C B B Csin sin .cos sin .cos sin( )= + = +
Baứi 12. Cho ABC. Chng minh rng:
a) Nu

a b c b c a bc( )( ) 3+ + + =
thỡ
à
A
0
60=
.
b) Nu
b c a
a
b c a
3 3 3
2
+
=
+
thỡ
à
A
0
60=
.
c) Nu
A C Bcos( ) 3cos 1+ + =
thỡ
à
B
0
60=
.

d) Nu
b b a c a c
2 2 2 2
( ) ( ) =
thỡ
à
A
0
60=
.
Baứi 13. Cho ABC. Chng minh rng:
Trang 18
Lí THUYT V BI TP TON 10 LUYN THI BIấN HO www.luyenthibienhoa.com
a) Nu
b a
b A a B
c
2 2
cos cos
2

=
thỡ ABC cõn nh C.
b) Nu
B
A
C
sin
2cos
sin

=
thỡ ABC cõn nh B.
c) Nu
a b C2 .cos
=
thỡ ABC cõn nh A.
d) Nu
b c a
B C B Ccos cos sin .sin
+ =
thỡ ABC vuụng ti A.
e) Nu
S R B C
2
2 sin .sin=
thỡ ABC vuụng ti A.
Baứi 14. Cho ABC. Chng minh iu kin cn v hai trung tuyn BM v CN vuụng gúc vi nhau l:
b c a
2 2 2
5+ =
.
Baứi 15. Cho ABC.
a) Cú a = 5, b = 6, c = 3. Trờn cỏc on AB, BC ln lt ly cỏc im M, K sao cho BM = 2, BK = 2. Tớnh
MK.
b) Cú
A
5
cos
9
=

, im D thuc cnh BC sao cho
ã
ã
ABC DAC=
, DA = 6,
BD
16
3
=
. Tớnh chu vi tam giỏc
ABC.
HD: a) MK =
8 30
15
b) AC = 5, BC =
25
3
, AB = 10
Baứi 16. Cho mt tam giỏc cú di cỏc cnh l:
x x x x
2 2
1; 2 1; 1+ + +
.
a) Tỡm x tn ti mt tam giỏc nh trờn.
b) Khi ú chng minh tam giỏc y cú mt gúc bng
0
120
.
Baứi 17. Cho ABC cú
à

B
0
90<
, AQ v CP l cỏc ng cao,
ABC BPQ
S S9

=
.
a) Tớnh cosB.
b) Cho PQ =
2 2
. Tớnh bỏn kớnh R ca ng trũn ngoi tip ABC.
HD: a)
B
1
cos
3
=
b)
R
9
2
=
Baứi 18. Cho ABC.
a) Cú
à
B
0
60=

, R = 2, I l tõm ng trũn ni tip. Tớnh bỏn kớnh ca ng trũn ngoi tip ACI.
b) Cú
à
A
0
90=
, AB = 3, AC = 4, M l trung im ca AC. Tớnh bỏn kớnh ng trũn ngoi tip BCM.
c) Cú a = 4, b = 3, c = 2, M l trung im ca AB. Tớnh bỏn kớnh ca ng trũn ngoi tip BCM.
HD: a) R = 2 b)
R
5 13
6
=
c)
R
8 23
3 30
=
Baứi 19. Cho hai ng trũn (O
1
, R) v (O
2
, r) ct nhau ti hai im A v B. Mt ng thng tip xỳc vi hai
ng trũn ti C v D. Gi N l giao im ca AB v CD (B nm gia A v N). t
ã
ã
AO C AO D
1 2
,

= =
.
a) Tớnh AC theo R v ; AD theo r v .
b) Tớnh bỏn kớnh ca ng trũn ngoi tip ACD.
HD: a) AC =
R2 sin
2

, AD =
r2 sin
2

b)
Rr
.
Baứi 20. Cho t giỏc ABCD ni tip trong ng trũn ng kớnh AC, BD = a,
ã
CAB

=
,
ã
CAD

=
.
a) Tớnh AC. b) Tớnh din tớch t giỏc ABCD theo a, , .
HD: a) AC =
a
sin( )

+
b)
a
S
2
cos( )
2sin( )



=
+
.
Baứi 21. Cho ABC cõn nh A,
à
A

=
, AB = m, D l mt im trờn cnh BC sao cho BC = 3BD.
Trang19
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ - 0935991949
a) Tính BC, AD.
b) Chứng tỏ rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD là bằng nhau. Tính cosα để bán kính của
chúng bằng
1
2
bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
HD: a) BC =
m2 sin

2
α
, AD =
m
5 4cos
3
α
+
b)
11
cos
16
α
= −
.
Trang 20
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ – www.luyenthibienhoa.com
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ
u 0≠
r
r
đgl vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆.
Nhận xét:– Nếu
u
r
là một VTCP của
∆
thì
ku

r
(k
≠
0) cũng là một VTCP của
∆
.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.
2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ
n 0≠
r
r
đgl vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆.
Nhận xét: – Nếu
n
r
là một VTPT của
∆
thì
kn
r
(k
≠
0) cũng là một VTPT của
∆
.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.
– Nếu
u
r

là một VTCP và
n
r
là một VTPT của
∆
thì
u n
⊥
r r
.
3. Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTCP
u u u
1 2
( ; )=
r
.
Phương trình tham số của ∆:
x x tu
y y tu
0 1
0 2

= +

= +


(1) ( t là tham số).
Nhận xét: – M(x; y)
∈

∆

⇔

∃
t
∈
R:
x x tu
y y tu
0 1
0 2

= +

= +

.
– Gọi k là hệ số góc của
∆
thì:
+ k = tan
α
, với
α

=
·
xAv
,
α

≠

0
90
.
+ k =
u
u
2
1
, với
u
1
0≠
.
4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTCP
u u u
1 2
( ; )=

r
.
Phương trình chính tắc của ∆:
x x y y
u u
0 0
1 2
− −
=
(2) (u
1

≠
0, u
2

≠
0).
Chú ý: Trong trường hợp u
1
= 0 hoặc u
2
= 0 thì đường thẳng không có phương trình chính
tắc.
5. Phương trình tham số của đường thẳng
PT
ax by c 0+ + =
với
a b
2 2

0+ ≠
đgl phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét: – Nếu
∆
có phương trình
ax by c 0+ + =
thì
∆
có:
VTPT là
n a b( ; )=
r
và VTCP
u b a( ; )= −
r
hoặc
u b a( ; )= −
r
.
– Nếu
∆
đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTPT
n a b( ; )=
r
thì phương trình của
∆

là:
a x x b y y
0 0
( ) ( ) 0
− + − =
Các trường hợp đặc biệt:
Trang21
CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ - 0935991949
Các hệ số
Phương trình đường thẳng ∆ Tính chất đường thẳng ∆
c = 0
0ax by+ =
∆
đi qua gốc toạ độ O
a = 0
0by c+ =
∆
// Ox hoặc
∆

≡
Ox
b = 0
0ax c

+ =
∆
// Oy hoặc
∆

≡
Oy
•

∆
đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b
≠
0): Phương trình của
∆
:
x y
a b
1+ =
.
(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) .
•

∆
đi qua điểm
M x y
0 0 0
( ; )
và có hệ số góc k: Phương trình của
∆
:

y y k x x
0 0
( )− = −
(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)
6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆
1
:
a x b y c
1 1 1
0+ + =
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0+ + =
.
Toạ độ giao điểm của ∆
1
và ∆
2
là nghiệm của hệ phương trình:
a x b y c
a x b y c
1 1 1
2 2 2
0
0


+ + =

+ + =

(1)
• ∆
1
cắt ∆
2
⇔ hệ (1) có một nghiệm ⇔
a b
a b
1 1
2 2
≠
(nếu
a b c
2 2 2
, , 0≠
)
• ∆
1
// ∆
2
⇔ hệ (1) vô nghiệm ⇔
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
= ≠

(nếu
a b c
2 2 2
, , 0≠
) • ∆
1
≡ ∆
2

⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
= =
(nếu
a b c
2 2 2
, , 0≠
)
7. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆
1
:
a x b y c
1 1 1
0+ + =
(có VTPT
n a b
1 1 1

( ; )=
r
)
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0+ + =
(có VTPT
n a b
2 2 2
( ; )=
r
).
·
n n khi n n
n n khi n n
0
1 2 1 2
1 2
0 0
1 2 1 2
( , ) ( , ) 90
( , )
180 ( , ) ( , ) 90
∆ ∆

≤


=

− >


r r r r
r r r r
·
·
n n a b a b
n n
n n
a b a b
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
.
cos( , ) cos( , )
.
.
∆ ∆
+
= = =
+ +
r r
r r
r r
Chú ý:

•

∆
1

⊥

∆
2

⇔

a a b b
1 2 1 2
0+ =
.
•
Cho
∆
1
:
y k x m
1 1
= +
,
∆
2
:
y k x m
2 2

= +
thì:
+
∆
1
//
∆
2

⇔
k
1
= k
2
+
∆
1
⊥

∆
2

⇔
k
1
. k
2
= –1.
8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
•

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆:
ax by c 0+ + =
và điểm
M x y
0 0 0
( ; )
.
ax by c
d M
a b
0 0
0
2 2
( , )
∆
+ +
=
+
•
Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆:
ax by c 0+ + =
và hai điểm
M M N N
M x y N x y( ; ), ( ; )
∉ ∆.
– M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔
M M N N
ax by c ax by c( )( ) 0+ + + + >

.
– M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔
M M N N
ax by c ax by c( )( ) 0+ + + + <
.
•
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Trang 22
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ – www.luyenthibienhoa.com
Cho hai đường thẳng ∆
1
:
a x b y c
1 1 1
0+ + =
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0+ + =
cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆
1
và ∆
2
là:
a x b y c a x b y c
a b a b
1 1 1 2 2 2

2 2 2 2
1 1 2 2
+ + + +
= ±
+ +
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng
• Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
∆
ta cần xác định một điểm
M x y
0 0 0
( ; )
∈

∆
và một VTCP
u u u
1 2
( ; )=
r
của
∆
.
PTTS của
∆
:
x x tu
y y tu
0 1
0 2


= +

= +

; PTCT của
∆
:
x x y y
u u
0 0
1 2
− −
=
(u
1

≠
0, u
2

≠
0).
• Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng
∆
ta cần xác định một điểm
M x y
0 0 0
( ; )
∈

∆
và một
VTPT
n a b( ; )=
r
của
∆
.
PTTQ của
∆
:
a x x b y y
0 0
( ) ( ) 0− + − =
• Một số bài toán thường gặp:
+
∆
đi qua hai điểm
A A B B
A x y B x y( ; ) , ( ; )
(với
A B A B
x x y y,≠ ≠
):
PT của
∆
:
A A
B A B A

x x y y
x x y y
− −
=
− −
+
∆
đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b
≠
0): PT của
∆
:
x y
a b
1+ =
.
+
∆
đi qua điểm
M x y
0 0 0
( ; )
và có hệ số góc k: PT của
∆
:
y y k x x
0 0
( )− = −
Chú ý: Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của một đường thẳng.
•

Để tìm điểm M
′
đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như sau:
Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng
∆
qua M và vuông góc với d.
– Xác định I = d
∩

∆
(I là hình chiếu của M trên d).
– Xác định M
′
sao cho I là trung điểm của MM
′
.
Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM
′
. Khi đó:
M
′
đối xứng của M qua d
⇔

d
MM u
I d


′

⊥

∈


uuuuur
r
(sử dụng toạ độ)
•
Để viết phương trình đường thẳng d
′
đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng
∆
, ta có thể thực hiện
như sau:
– Nếu d //
∆
:
+ Lấy A
∈
d. Xác định A
′
đối xứng với A qua
∆
.
+ Viết phương trình đường thẳng d
′
qua A
′
và song song với d.

– Nếu d
∩

∆
= I:
+ Lấy A
∈
d (A
≠
I). Xác định A
′
đối xứng với A qua
∆
.
+ Viết phương trình đường thẳng d
′
qua A
′
và I.
•
Để viết phương trình đường thẳng d
′
đối xứng với đường thẳng d qua điểm I,
∆
, ta có thể thực hiện như
sau:
– Lấy A
∈
d. Xác định A
′

đối xứng với A qua I.
– Viết phương trình đường thẳng d
′
qua A
′
và song song với d.
Baøi 18. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP
u
r
:
a) M(–2; 3) ,
u (5; 1)= −
r
b) M(–1; 2),
u ( 2;3)= −
r
c) M(3; –1),
u ( 2; 5)= − −
r
d) M(1; 2),
u (5;0)=
r
e) M(7; –3),
u (0;3)=
r
f) M ≡ O(0; 0),
u (2;5)=
r
Trang23
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ - 0935991949

Baøi 19. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTPT
n
r
:
a) M(–2; 3) ,
n (5; 1)= −
r
b) M(–1; 2),
n ( 2;3)= −
r
c) M(3; –1),
n ( 2; 5)= − −
r
d) M(1; 2),
n (5;0)=
r
e) M(7; –3),
n (0;3)=
r
f) M ≡ O(0; 0),
n (2;5)=
r
Baøi 20. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc k:
a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = 3 c) M(5; 2), k = 1
d) M(–3; –5), k = –1 e) M(2; –4), k = 0 f) M ≡ O(0; 0), k = 4
Baøi 21. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B:
a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8)
d) A(–2; 3), B(1; 3) e) A(4; 0), B(3; 0) f) A(0; 3), B(0; –2)
g) A(3; 0), B(0; 5) h) A(0; 4), B(–3; 0) i) A(–2; 0), B(0; –6)
Baøi 22. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d:

a) M(2; 3), d:
x y4 10 1 0− + =
b) M(–1; 2), d ≡ Ox c) M(4; 3), d
≡
Oy
d) M(2; –3), d:
x t
y t
1 2
3 4

= −

= +

e) M(0; 3), d:
x y1 4
3 2
− +
=
−
Baøi 23. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng
d:
a) M(2; 3), d:
x y4 10 1 0− + =
b) M(–1; 2), d ≡ Ox c) M(4; 3), d
≡
Oy
d) M(2; –3), d:
x t

y t
1 2
3 4

= −

= +

e) M(0; 3), d:
x y1 4
3 2
− +
=
−
Baøi 24. Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao của tam giác
với:
a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2)
c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6)
Baøi 25. Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các đường cao của tam
giác, với:
a)
AB x y BC x y CA x y:2 3 1 0, : 3 7 0, : 5 2 1 0− − = + + = − + =
b)
AB x y BC x y CA x y:2 2 0, :4 5 8 0, : 4 8 0+ + = + − = − − =
Baøi 26. Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh BC, CA,
AB lần lượt là các điểm M, N, P, với:
a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b)
M N P
3 5 5 7
; , ; , (2; 4)

2 2 2 2
   
− − −
 ÷  ÷
   
c)
M N P
3 1
2; , 1; , (1; 2)
2 2
   
− − −
 ÷  ÷
   
d)
M N P
3 7
;2 , ;3 , (1;4)
2 2
   
 ÷  ÷
   
Baøi 27. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục toạ độ 2 đoạn bằng nhau, với:
a) M(–4; 10) b) M(2; 1) c) M(–3; –2) d) M(2; –1)
Baøi 28. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục toạ độ tạo thành một tam giác có
diện tích S, với:
a) M(–4; 10), S = 2 b) M(2; 1), S = 4 c) M(–3; –2), S = 3 d) M(2; –1), S = 4
Baøi 29. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M′ đối xứng với M qua đường thẳng d với:
a) M(2; 1),
d x y:2 3 0+ − =

b) M(3; – 1),
d x y: 2 5 30 0+ − =
c) M(4; 1),
d x y: 2 4 0− + =
d) M(– 5; 13),
d x y:2 3 3 0− − =
Baøi 30. Lập phương trình đường thẳng d
′
đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, với:
a)
d x y x y:2 1 0, : 3 4 2 0
∆
− + = − + =
b)
d x y x y: 2 4 0, :2 2 0
∆
− + = + − =
c)
d x y x y: 1 0, : 3 3 0
∆
+ − = − + =
d)
d x y x y:2 3 1 0, :2 3 1 0
∆
− + = − − =
Baøi 31. Lập phương trình đường thẳng d
′
đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với:
a)
d x y I: 2 1 0, (2;1)− + =

b)
d x y I: 2 4 0, ( 3;0)− + = −
c)
d x y I: 1 0, (0;3)+ − =
d)
d x y I O:2 3 1 0, (0;0)− + = ≡
Trang 24
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ – www.luyenthibienhoa.com
VẤN ĐỀ 2: Các bài toán dựng tam giác
Đó là các bài toán xác định toạ độ các đỉnh hoặc phương trình các cạnh của một tam giác khi biết một số
yếu tố của tam giác đó.
Để giải loại bài toán này ta thường sử dụng đến các cách dựng tam giác.
Sau đây là một số dạng:
Dạng 1: Dựng tam giác ABC, khi biết các đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường cao BB
′
, CC
′
.
Cách dựng: – Xác định B = BC
∩
BB
′
, C = BC
∩
CC
′
.
– Dựng AB qua B và vuông góc với CC
′
.

– Dựng AC qua C và vuông góc với BB
′
.
– Xác định A = AB
∩
AC.
Dạng 2: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường cao BB
′
, CC
′
.
Cách dựng: – Dựng AB qua A và vuông góc với CC
′
.
– Dựng AC qua A và vuông góc với BB
′
.
– Xác định B = AB
∩
BB
′
, C = AC
∩
CC
′
.
Dạng 3: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường trung tuyến BM,
CN.
Cách dựng: – Xác định trọng tâm G = BM
∩

CN.
– Xác định A
′
đối xứng với A qua G (suy ra BA
′
// CN, CA
′
// BM).
– Dựng d
B
qua A
′
và song song với CN.
– Dựng d
C
qua A
′
và song song với BM.
– Xác định B = BM
∩
d
B
, C = CN
∩
d
C
.
Dạng 4: Dựng tam giác ABC, khi biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC và trung điểm M của
cạnh BC.
Cách dựng: – Xác định A = AB

∩
AC.
– Dựng d
1
qua M và song song với AB.
– Dựng d
2
qua M và song song với AC.
– Xác định trung điểm I của AC: I = AC
∩
d
1
.
– Xác định trung điểm J của AB: J = AB
∩
d
2
.
– Xác định B, C sao cho
JB AJ IC AI,= =
uur uur uur uur
.
Cách khác: Trên AB lấy điểm B, trên AC lấy điểm C sao cho
MB MC= −
uuur uuur
.
Baøi 1. Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường cao. Viết phương trình hai cạnh và đường
cao còn lại, với: (dạng 1)
a)
AB x y BB x y CC x y: 4 12 0, :5 4 15 0, : 2 2 9 0

′ ′
+ − = − − = + − =
b)
BC x y BB x y CC x y:5 3 2 0, : 4 3 1 0, : 7 2 22 0
′ ′
− + = − + = + − =
c)
BC x y BB x y CC x y: 2 0, :2 7 6 0, :7 2 1 0
′ ′
− + = − − = − − =
d)
BC x y BB x y CC x y:5 3 2 0, : 2 1 0, : 3 1 0
′ ′
− + = − − = + − =
Baøi 2. Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường cao. Viết phương trình các cạnh của
tam giác đó, với: (dạng 2)
a)
A BB x y CC x y(3;0), : 2 2 9 0, :3 12 1 0
′ ′
+ − = − − =
b)
A BB x y CC x y(1;0), : 2 1 0, :3 1 0
′ ′
− + = + − =
Baøi 3. Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường trung tuyến. Viết phương trình các
cạnh của tam giác đó, với: (dạng 3)
a)
A BM x y CN y(1;3), : 2 1 0, : 1 0− + = − =
b)
A BM x y CN y(3;9), :3 4 9 0, : 6 0− + = − =

Baøi 4. Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường trung tuyến. Viết phương trình các cạnh
Trang25