skkn giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ

A. Đặt vấn đề.
Nhờ có sự quan tâm của Đảng và Nhà nớc về công tác giáo dục -
đào tạo (GD-ĐT), cùng với sự nỗ lực của học sinh, thời gian qua chúng
ta đã đạt đợc một số thành tích đáng kể trong ngành GD-ĐT. Tuy nhiên
nếu đánh giá một cách thổng thể, khách quan, thì hiện nay chất lợng,
hiệu quả GD-ĐT còn thấp, cha đáp ứng đợc yêu cầu ngày càng cao của
xã hội. Nhìn chug trình độ kiến thức của học sinh, khả năng t duy khoa
học, khả năng thực hành còn yếu kém, cha thích ứng đợc với thực
tiễn xã hội, khả năng vận dụng kiến thức vào sản xuất, đời sống còn
hạn chế.
Đặc biệt trong chơng trình Toán ở các bậc học, các cấp học ở
phổ thông cơ sở, phổ thông Trung học (PTTH), kể cả ngay ở trong các
trờng chuyên nghiệp thơng gặp nhiều bài toán về phơng trình và bất ph-
ơng trình vô tỷ. Nh vậy vấn đề cần đặt ra là làm thế nào để có thể giải
đợc loại toán này? Để trả lời vấn đề này bản thân học sinh cần có kiến
thức và nắm vững kỹ năng giải toán.
Song hiểu theo cách nói là một lẽ, nhng để giải quyết tốt loại
toán này lại là vấn đề khó khăn. Do đó khai gặp loại toán này đa số học
sinh còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thờng thiếu chặt chẽ dẫn đến
không có kết quả (điểm), hoặc nếu có kết quả thì kết quả đạt đợc cũng
không cao ( không có điểm tối đa).
Vậy vấn đề đặt ra là để học sinh có đợc những kiến thức và kỹ
năng giải đợc thành thạo loại toán này, đáp ứng đợc mục tiêu t duy
tìm hiểu tốt nhất của học sinh đề tài này sẽ cung cấp cho các bạn đọc
đặc biệt là các bạn học sinh một cách nhìn bao quát về dạng toán
này, cung cấp cho các em bạn một số phơng pháp giải cơ bản về loại
toán này.
Tôi mong rằng qua đề tài này đã góp phần làm tăng thêm khả
năng t duy khoa học, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán về phơng
trình và bất phơng trình vô tỷ.
B. Tên đề tài nghiên cứu:

Gii thiu mt s phng phỏp gii toỏn phng trỡnh v
bt phng trỡnh vụ t.
C. Mục đích nghiên cứu.
- Tìm hiểu trên cơ sở lý luận về việc chuẩn bị lựa chọn phơng
pháp giải phơng trình và bất phơng trình vô tỷ.
- Trên cơ sở tìm hiểu lý luận nhằm giới thiệu khái quát một số
phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình.
- Phát huy tính tích cực chủ động tìm tòi, áp dụng vào thực tế
của từng bài toán.
- Giải quyết triệt để những yếu kém mà học sinh thờng mắc phải
khi gặp các loại toán giải phơng trình và bất phơng trình vô tỉ.
D. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Tìm hiểu về phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình vô
tỷ.
- Dự kiến đợc những khó khăn của học sinh khi giải các loại toán
về phơng trình và bất phơng trình vô tỷ.
E. Phơng pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về khả năng t duy, khả năng thực
hành, kỹ năng giải toán phơng trình và bất phơng trình vô tỷ.
- Tổng kết vận dụng cơ sở lý luận để đa ra đợc một số phơng
pháp giải phù hợp đạt hiệu quả vào giải phơng trình và bất phơng trình
vô tỷ.
Ch

ơng I:

Một số định lý về phơng trình
và bất phơng trình vô tỷ.
1. Định lý 1:
Phơng trình

)(xf
= g (x) tơng đơng với hệ
g (x) >

0
f (x) >

g
2
(x)
2. Định lý 2:
Bất phơng trình
)(xf
>


)(xg
tơng đơng với hệ
g (x) >

0
f (x) >

g
2
(x)
Ch

ơng II:

Một số sai lầm mà học sinh thờng gặp
khi giải phơng trình và tỉ.
Ta gọi phơng trình vô tỉ là những phơng trình tính chứa ẩn trong
dấu căn cần tách các sai lầm sau:
Ví dụ

: Giải phơng trình.
23151 = xxx
(1)
1. Lời giải chuyển vế:
23151 += xxx
(2)
Bình phơng hai vế:
x - 1 = 5x - 1 + 3x - 2 + 2
21315
2
+xx
(3)
Rút gọn: 2-7x = 2
21315
2
+ xx
(4)
Bình phơng hai vế.
4 - 28x + 49x
2
= 4(15x
2
- 13x + 2) (5)
Rút gọn: (11x-2) (x-2) = 0

x
1
=
11
2
; x
2
= 2
II. Phân tích sai lầm.
a. Sai lầm thứ nhất: là không chú ý đến điều kiện có nghĩa của
căn thức. Thật vậy ở căn thức
1x
, phải có x >

1, do đó giá trị x =
11
2

không phải là nghiệm của (1). Để khắc phục sai lầm này cần tập xác
định của nghiệm phơng trình (1) hoặc thử lại các giá trị tìm đợc của x
vào phơng trình ban đâu.f
b. Sai lầm thứ hai. Là không đặt điều kiện để biến đổi triết học t-
ơng đơng (4), (5) không tơng đơng, phơng trình (4) tơng đơng với hệ.
2 - 7x >

0
(2 - 7x)
2
= 4 ( 15x
2

- 13x + 2)
Do vậy phơng trình (50 là phơng trình hệ quả của phơng trình (4)
nó chỉ tơng đơng với 94) với điều kiện 2-7x >

0. Do đó x = 2 cũng
không là nghiệm của (1).
III. Cách giải đúng.
Đặt điều kiện tồn tại của (1) là x >

1. Do đó x < 5x suy ra x - 1 <
5x - 1. Nh vậy vế trái của (10 là số âm, còn vế phải không âm. Vậy ph-
ơng trình (1) vô nghiệm.
3. Định lý 3:
Bất phơng trình
)(xf
>

g(x) tơng đơng với 2 hệ:
f(x) >

0
g(x) < 0
g(x) >

0
f(x) >

g
2
(x)

4. Định lý 4:
Bất phơng trình:
)(xf
< g(x) tơng đơng với hệ
f(x) >

0
g(x) >

0
f(x) < 0
Chơng III: Giới thiệu một số phơng pháp giải phơng trình và bất
phơng trình vô tỉ.
I. Phơng án 1: Nâng lên luỹ thừa để phá dấu căn.
Một trong các nguyên tắc để giải phơng trình hoặc bất phơng
trình chứa căn thức là chúng ta phải làm mất dấu căn, thông thờng
chúng ta sử dụng một trong các định lý trên để dấu căn của phơng trình
hoặc bất phơng trình, thờng chỉ nên áp dụng một hoặc hai lần và khi đó
sẽ đa phơng trình hoặc bất phơng trình vô tỷ về dạng mà ta có thể giải
dễ dàng hơn.
Ví dụ 1: Giải bất phơng trình.
12315 = xxx
Giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là.
5x - 1 >

0
3x - 2 >

0 hay là x >

1 (*)
x - 1 >

0
Với điều kiện (*) phơng trình cho tơng đơng với phơng trình.
23115 += xxx
Cả hai vế của phơng trình đều không âm, nâng lên luỹ thừa hai
của cả hai vế ta đợc phơng trình tơng đơng.
5x - 1 = 4x - 3 + 2
)23)(1( xx
Hay là x + 2 = 2
)23)(1( xx
Với x >

1 thì cả hai vế của phơng trình trên đều không âm, bình
phơng 2 vế ta đợc phơng trình tơng đơng:
(x+2)
2
= 4 (x-1) (3x-2)
Hay là: 11x
2
- 24x + 4 = 0
Phơng trình này có 2 nghiệm: x
1
= 2 và x
2
=
11
2
Ta thấy chỉ có x = 2 thoả mãn điều kiện (*).

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 2
Ví dụ 2:

Giải bất phơng trình.
xxx <+ 11
(1)
Giải: Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là:
1 + x >

0
<=> - 1 <

x <

1
1 - x >

0
Ta xét các khả năng có thể sảy ra sau đây:
1. Nếu - 1 <

x <

0: Khi đó (1)
<=> - x <


xx + 11
(2)
Do - 1 <

1 - x + 1 + x* - 2
2
1 x
<=> 2 - x
2
>

2
2
1 x
<=> 4 - 4x
2
= x
4
>

4 - 4x
2

<=> x
4
>

0 luôn đúng
Với mọi x thoả mãn - 1 <

x <

0.

Vậy - 1 <

x <

0 là nghiệm của bất phơng trình đã cho.
2. Nếu 0 < 1 x <

: Khi đó 1 + x >

1 - x =>
xx + 11
<

0
(1) <=> 1 + x + 1 - x - 2
2
1 x
<

x
2
<=> 2 - x
2
<

2
2
1 x
<=> 4 - 4x
2

+ x
4
- 4x
2
<=> x
4
<

0 => x = 0
Nghiệm này bị loại:
Vậy nghiệm của bất phơng trình là: -1 <

x <

0
II. Phơng pháp 2: Phơng pháp khoảng.
Nội dung của pháp pháp này là đa các bất chơng trình căn thức
về bất phơng trình tách, tìm nghiệm các thừa số rồi xét dấu để tìm
nghiệm.
Ví dụ 1:

Giải bất phơng trình:
(x-3)
4
2
x
<

x
2

- 9 (1)
Giải: Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là x
2
- 4 > 0 => |x| > 2
Hay là: x <

- 2 hoặc x >

2
Khi đó ta có: (1) <=> (x-3) (
34
2
xx
) <

0 (2)
Xét phơng trình:
34
2
xx
= 0, khio đó ta có:
34
2
xx
= 0 <=>
4
2
x
= x +3
x + 3 >

0
<=>
x
2
- 4 = x
2
+ 6x + 9
x >

- 3
<=> => x =
6
13
x =
6
13
Xét dấu của vế trái của (20 ta có:
6
13

-
-2
2
+
3
-
Vậy nghiệm của bất phơng trình là: x <

6
13
và x >

3.
Ví dụ 2:

Giải bất phơng trình:
x
2
10 x
<

x
2
- 6 (1)
Giải:
Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là: 10 - x
2
>

0 => x
2
< 10
=> |x| =
10
Với điều kiện đó ta có: (1) <=> x
2
10 x
- x

2
+ 6 <

(2)
Xét phơng trình:
x
2
10 x
- - x
2
+ 6 = 0 < => x
2
10 x
= x
2
- 6
x (x
2
- 6) >

0
<=>
x
2
(10 - x
2
) = x
4
- 12 x
2

+ 36
-
6
<

x <

0, x >


6
<=>
x
4
= 11x
2
+ 18 = 0
-
6
<

x <

0, x >


6
<=>
x
2

= -
2
-
6
<

x <

0, x >


6
<=>
x = +

3; x = +


2
x = 3
<=>
x = -
2
Xét dấu vế trái của (2) ta có:
-
3
+
-
Vậy nghiệm của bất phơng trình là:
10

<

x <

-
2
, 3 <

x <


10
III. Phơng pháp 3: Phơng pháp đặt ẩn phụ.
Một số bài toán về giải phơng trình và bất phơng trình có chứa
căn thức có thể giải đợc nhờ việc đa thêm vào các ẩn phụ để phá căn
thức hoặc có thể đa về các phơng trình hoặc bất phơng trình đại số.
Thông thờngcó thể đặt ẩn mới bằng một căn thức (hoặc tổng hay hiệu
hai căn thức) nào đó. Chúng ta thờng gặp 3 dạng ẩn phụ sau:
Dạng 1: Đặt ẩn phụ để đa về một phơng trình hay bất phơng trình
với một ẩn mới.
Dạng 2: Đặt ẩn phụ để đa về một hệ hai phơng trình hai ẩn mới.
Dạng 3: Đặt ẩn phụ để đa về một phơng trình với hai ẩn (phơng
pháp sử dụng phơng trình bậc hai).
Ví dụ 5:

Giải phơng trình:
x =
x
+
xxx +

2
1
= 2 (1)
Giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:
x >

0
<=> x >

1
x - 1 >


Đặt triết học = x +
1x
do x >

1 nên t >

1
Khi đó ta có: t
2
= x = x - 1 + 2
)1( xx
=> x =
2
1
2
2

=
t
xx
Phơng trình (1) trở thành: t +
2
1
2
+t
= 2 => t
2
+ 2t - 3 = 0
=> t = 1, t = -3 (loại)
Vậy ta có: t = 1 =>
x
+
1x
= 1 => x + x - 1 + 2
1
2
= xx
=>
1
2
= xx
- x
1 - x >

0
<=>

x
2
- x = 1 - 2x + x
2
x <

1
<=> <=. x = 1 Vậy ta có x = 1
x = 1
Ví dụ 6: Giải phơng trình:
431532373
2222
+=+ xxxxxxx
(1)
Giải:

Điều kiện phơng trình có nghĩa là:
3x
2
- 7x + 3 >

0
x
2
- 2 >

0 (*)
3x
2
- 5x - 1 >

0
x
2
- 3x = 4 >

0
Đặt
373
2
+ xx
= b
2
2
x
= b
1753
2
x
= c
43
2
+ xx
= d
Điều kiện a, b, c, không âm, d dơng. Khi đó ta có:
3x
2
- 7x + 3 = a
2
x

2
- 2 = b
2
=> 3 (a
2
- c
2
) = 2 (d
2
- b
2
)
3x
2
- 5x - 1 = c
2
x
2
- 3x = 4 = d
2
Khi đó với điều kiện (*) ta có: (1) <=>
a - b = c - d a - b = c - d
3 (a
2
- c
2
) = 2 ( d
2
- b
2

) <=> (b - d) (3a+3c+2b+2d) = 0
a,b,c >

0; d > 0 a, b, c >

0; d > 0
<=> b = d > 0 <=> x
2
= 2 = x
2
- 3x + 4
<=> x = 2 thoả mãn điều kiện (*)
Vậy x = 2 là nghiệm của phơng trình (1).
Ví dụ 7:

Giải phơng trình: 7x
2
+ 7x =
28
94 +x
(1)
Giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: 4x + 9 >

0
=> x >


4
9
Đặt:

28
94 +x
= t +
2
1
(t >


2
1
) =>
28
94 +x
= t
2
+ t +
4
1
=> 7t
2
= 7t = x +
2
1
khi đó.
7t
2
= 7t = t +
2
1
(2)

(1) <=> Lấy (2) trừ đi (3) ta có
7t
2
= 7t = t +
2
1
(3 )
7(x2 - t2) + 7(x - t) = t -x => (x - t) (7x + 7t + 8) = 0
=>



=++
=
0877
0
tx
tx
xét hai khả năng xảy ra
a. Nếu x - t = 0 => t= x. Thay vào (2) ta có: 7x2 + 7x = x +
2
1
=> 14x2 + 12x - 1 = 0
=> x =
14
256
Do điều kiện x = t
2
1
nên x =

14
256 +
là ghiệm.
b. Nếu 7x + 7t + 8 = 0 => t =
7
87 x
thay vào (2) ta có:
7x2 + 7x =
14
87 x
+
2
1
=> x =
7
2
23
4
Kết hợp với điều kiện t
2
1
ta có: x =
7
2
23
4
Vậy nghiệm của phơng trình là: x =
7
2
23

4
, x=
14
256 +
* Nhận xét: Muốn sử dụng phơng pháp hệ phơng trình ta thờng đa
về hệ phơng trình đối xứng hoặc quy về phơng trình tích. Khi đặt ẩn phụ
ta phải chú ý kiểm tra điều kiện của các ẩn mới và ẩn cũ.
Ví dụ 8: Giải phơng trình: 2 (1 - x)
12
2
+ xx
= x2 - 2x - 1 (1)
Giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: x2 + 2x - 1 0 (2)
Đặt t =
12
2
+ xx
=> t2 = x2 + 2x - 1.
Thay vào phơng trình (1) ta có:
2(1-x)t = t2 - 2x + 1 - 2x - 1 hay t2 - 2(1-x)t - 4x = 0
Ta coi đây là một phơng trình bậc hai đối với ẩn t. Khi đó ta có.
t'

= (1-x)
2
+ 4x = (1+x)
2
=> t
1
= 1 - x + 1 + x = 2

t
2
= 1 - x -1 -x = -2x
Xét hai trờng hợp:
a. Với t = 2, từ đó suy ra x
2
+ 2x - 1 = 4 =>x
2
+ 2x - 5 = 0
=> x = -1
6
Thoả mãn điều kiện bài toán
b. Với t =-2x,
12
2
+ xx
= - 2x <=>



=+

22
412
02
xxx
x
<=>

=

0123
0
2
xx
x
Phơng trình này vô nghiệm
Vậy phơng trình đã cho (1) có nghiệm x = -1
6
Ví dụ 9: Giải phơng trình: 5
1+x
. = 2(x
2
+ 2) (1)
Giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: x
3
+ 1

0 => x

-1
Khi đó (1) <=> 5
1+x
.
1
2
+ xx
= 2(x

2
+ 2)
Đặt U =
1+x
(với điều kiện U

0; V

0)
V =
1
2
+ xx
Khi đó ta có: U
2
= x + 1 => U
2
+ V
2
= x
2
+ 2.
V
2
= x
2
- x + 1 Thay vào phơng trình trên
Ta có: 5UV = 2(U
2
+V

2
) => 2U
2
- 5UV + 2V
2
= 0
=> U
1
= 2V, U
2
=
2
1
V (Xét đó là phơng trình bậc hai ẩn U)
Xét hai trờng hợp:
a. Với U = 2V từ đó suy ra
1+x
= 2
1
2
+ xx

<=> x + 1 = 4(x
2
- x +1)
<=> 4x
2
- 5x + 3 = 0 =>

= 5

2
- 4.4.3 <0 phơng trình này vô nghiệm
b. Với U =
2
1
V =>
1+x
=
2
1
1
2
+ xx
<=> 4(x + 1) = (x
2
- x +1)
<=> x
2
- 5x - 3 = 0 => x =
2
375
IV. Phơng pháp 4: Nhân với biểu thức liên hợp để quy về phơng trình
hoặc bất phơng trình tích.
Mục tiêu của phơng pháp này là nhân với biểu thức liên hợp của căn
thức nào đó để xuất hiện thừa số chung ở hai vế (nếu là bất phơng trình thì
có thể bằng phơng pháp khoảng)
Ví dụ 10: Giải bất phơng trình: 2
1x
-
2+x

> x - 2 (1)
Giải: Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là:



+

02
01
x
x
=>





2
1
x
x
=> x > 1 (2)
Nhân hai vế của bất phơng trình (1) với 2
1x
+
2+x
> 0 ta có:
4( x - 10 - (x + 2) > (x - 2) (2
1x
+

2+x
)
<=> 3(x-2)(2
1x
+
2+x
- 3) <0 (3)
Xét phơng trình:
2
1x
+
2+x
= 0 <=> 2
1x
+
2+x
= 3
<=> 4( x - 1) + x + 2 + 4
)2)(1( + xx
= 9
<=> 4
2
2
+ xx
= 11 - 5x
<=>

=+

01714
5
11
2
xx
x
<=>





=

247
5
11
x
x
=> x = 7 - 4
2
Xét dấu vế trái của (3) ta có:
+
+
-
7-4
1 2

Vậy nghiệm của hệ bất phơng trình là: 7 - 4
2
<x<2
Ví dụ 11: Giải phơng trình
12
2
x
+
23
2
xx
=
322
2
++ xx
+
2
2
+ xx
(1)
Giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:







+
++

02
0322
023
012
2
2
2
2
xx
xx
xx
x
=>







023
12
2
2
xx
x
(8)
Khi đó: (1) <=>

322
2
++ xx
-
12
2
x
=
23
2
xx
-
2
2
+ xx
<=>
12322
42
22
++
+
xxx
x
=
225
42
22
++

xxxx

x
<=> 2(x+2)








++
+
+++ 223
1
12322
1
2222
xxxxxxx
=0
<=> x + 2 => x = -2 Thoả mãn điều kiện (*)
Vậy phơng trình có nghiệm là: x = -2
V. Phơng pháp 5: Phơng pháp hàm số.
Để sử dụng các tính chất của hàm số để giải phơng trình là một
dạng toán khá quen thuộc. Ta có ba hớng áp dụng sau:
Hớng 1: Chuyển phơng trình về dạng:
f(x) =k
B

ớc

2: Xét hàm số y = f(x)
Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (giả sử là hàm số đồng biến).
B

ớc 3

: Nhận xét
- Với x = x
o
=> f(x) = f(x) = k, do đó x = x
o
là nghiệm.
- Với x > x
o
=> f(x) > f(x) = k, do đó phơng trình vô nghiệm.
- Với x < x
o
=> f(x) < f(x) = k, do đó phơng trình vô nghiệm.
Vậy x = x
o
là nghiệm duy nhất của phơng trình.
Hớng dẫn: Thực hiệnh theo các bớc.
B

ớc 1

: Chuyển phơng trình về dạng: f(x) = g(x)
B

ớc 2

: Xét hàm số; y = f(x) và y = g(x)
Dùng lập luận khẳng định hàm số y = f(x) là đồng biến càn hàm
số y = g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến.
Xác định x
o
sao cho f(x
o
) = g(x
o
)
B

ớc 3

: Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = x
o
.
Hớng 3: Thực hiện theo các bớc.
B

ớc 1:

Chuyển phơng trình về dạng
f(x) = f(x)
B

ớc 2:

Xét hàm số y = f(x)

Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (giả sử đồng biến)
B

ớc 3:

Khi đó
f(u) = f(
V
) <=> U = V U, V D
f
Ví dụ 12:

Giải phơng trình:
1414
2
=+ xx
Giải:

Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:
4x - 1 >

0
4x2 - 1 >

0
Nhận xét rằng: Số nghiệm của phơng trình (1) là số giao điểm
của đồ thị của hàm số y =
1414
2
+ xx

và đờng thẳng y = 1
Xét hàm số: y =
1414
2
+ xx
Miền xác định: D = [
];
2
1
+
Đạo hàm:
y =
2
1
14
4
14
2
2
>

+

x
x
x
x
<=> hàm số luôn đồng biến
Do đó phơng trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Thấy x =

2
1
Ví dụ 13:



Giải phơng trình:
123
22
=++ xxxx
(1)
Giải:

Đặt t = x
2
- x
<=> x >
2
1
Viết lại phơng trình dới dạng:
tt +=+ 213
'
(2)
Điều kiện: - 3x <

t <

2
Xét hàm số: f =
t+3

Miền xác định: D = [-3; 2]
Đạo hàm: f =
<=>>
+
Dx
t
0
32
1
hàm số tăng tiến D
Xét hàm số g = 1 +
t2
Miền xác định D = [-3;2]
Đạo hàm:
g =
<=>>

Dx
t
0
22
1
hàm số giảm trên D
Do đó phơng trình (2) f(x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó
phải là nghiệm duy nhất.
Thấy t = 1 thoả mãn phơng trình
Khi đó: x
2
- x = 1 <=> x =
2

51+
Vậy phơng trình có nghiệm x =
2
51+
VI. Phơng pháp 6: Phơng pháp đánh giá
Nhiều bài toán bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên các tính chất
của bất đẳng thức, ta có thể nhanh chóng chỉ ra đợc nghiệm của nó.
Ví dụ 14:

Giải phơng trình:
2152
2
=+++ xxx
Giải:

Điều kiện để phơng trình có nghĩa
x
2
+ 2x + 5 >

0
x - 1 > 0
Nhận xét rằng:
Ch

ơng IV

: Một số bài tập đề nghị tự làm
1. Giải các phơng trình
Bài 1:

x
2
- 4x = 8
1x
<=> x > 1 (*)
Bình phơng 2 vế đa về: (x
2
+ 8)(x
2
- 8x + 8) = 0
Đáp: x = 4 + 2
2
Bài 2:


11212123492
22
+=++ xxxx
HD: Đặt 2x
2
- 9 x + 4 = a >

0, 2x + 1 = b >

0
đa về
baaa 153 +=+
Rút gọn => b = 0 hoặc b = a
Đáp:

5;
2
1
Bài 3:


52101 +++=+++ xxxx
HD: Điều kiện x >

1
Bình phơng hai vế xuất hiện điều kiện x <

- 1 nghiệm x = -1.
Bài 4:

5
)2(21
23
+=+ xx
HD: Đặt
01 >=+ ax
01
2
=+ bxx
Đa về dạng: 5ab = 2(a
2
+ b
2
)
Đáp số:

2
375
Bài 5:


1267242 =+++ xxxx
Tìm đợc 2 <

y <

3
Đáp: 6 <

x <

11
Bài 6:


126
22
=+ xxx
HD: Ta thấy vế trái lớn hơn x, vế phải không lớn hơn x suy ra phơng
trình vô nghiệm
VT=
1252
2
++ xx
=
14)1(

2
++ xx
2
Vậy phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi VT= 2 <=> x - 1 = 0 <=>
x = 1
* Chú ý: Việc sử dụng các tính chất trị tuyệt đối để giải phơng
trình, bất phơng trình cũng là một hớng trong phơng pháp đánh giá
Ví dụ 15: Giải phơng trình
114312 =++ xxxx
(1)
Giải:
Ta có: (1) <=>
2
)11( x
+
1)21(
2
=x
<=>
11 x
+
21 x
=1
<=>
11 x
+
21 x
=
1211 + xx
<=>

( )
11 x
( )
12 x
> 0
<=> 1<
21 x
<=> 1 x - 1 4 => 2 x 5
Vậy nghiệm của phơng trình là 2 x 5
* Chú ý: - Rất nhiều học sinh giải bài toán này chỉ thu đợc nghiệm
là x = 2 và x = 5
- Bài toán trên có thể giải nh sau:
1211 + xx
=
( ) ( )
1211 + xx







012
011
x
x
<=>
52
21

11
=>







x
x
x
Ch ơng V :
Công việc chuẩn
1. Chuẩn bị của giáo viên
Để có đợc những phơng pháp giải toán giải phơng trình và bất ph-
ơng trình vô tỉ thì công việc chuẩn bị của giáo viên là hết sức quan trọng.
* Việc thứ nhất:
Nghiên cứu trớc những tài liệu tham khảo nhằm nắm chắc nội dung
mục đích yêu cầu của từng dạng toán để xác định rõ việc lựa chọn phơng
pháp giải thích hợp nhất.
* Việc thứ hai:
Giáo viên phải sắp xếp những phơng pháp đã đợc chuẩn bị bằng
những kiến thức cơ bản nh: Định nghĩa, định lý, tính chất
Nhằm lựa chọn những phơng pháp giải thích hợp khai thác triệt để
nội dung của từng dạng toán.
II. Công việc chuẩn bị của học sinh.
Để học sinh có những kỹ năng thực hành giải phơng trình và bất ph-
ơng trình vô tỉ thành thạo. Không lệ thuộc bị động học sinh cần phải có sự
chuẩn bị kỹ về kiến thức cơ bản về mở đầu từ số vô tỉ căn bậc hai và các

loại phơng trình vô tỉ đơn giản nhằm thấy rõ đợc mục đích của việc lựa
chọn và sử dụng phơng pháp giải toán phù hợp
III. Hớng dẫn học sinh vận dụng phơng pháp.
Nh những điều ta đã nói và đợc biết ai cũng có thể khẳng định bộ
môn toán có nhiệm vụ hàng đầu là hình thức kỹ năng và phát triển t duy
thế nhng để cho học sinh có đợc những kỹ năng giải loại toán phơng trình
và bất phơng trình vô tỉ thì là vấn đề khó ngoài ra cần phát triển đợc khả
năng phát triển t duy khoa học. Do đó việc lựa chọn và sử dụng phơng
pháp giải hợp lý là một việc rất cần thiết. Muốn có đợc điều này thì trớc
hết học sinh cần phải nắm và hiểu sâu sắc nội dung và mục tiêu của từng
dạng toán mới có đợc sự lựa chọn phơng pháp giải tốt nhất đạt kết quả cao
nhất.
Nh vậy để có đợc sự lựa chọn phù hợp phơng pháp giải cũng nh rèn
luyện đợc kỹ năng giải toán của học sinh trớc hết mỗi giáo viên phải hớng
dẫn cho học sinh thấy và biết phân nhóm đợc các loại toán phù hợp với
từng phơng pháp giải. Từ đó, việc thực hiện quá trình giải đơn giản đi rất
nhiều không còn hiện tợng lúng túng tìm cách giải.
IV. Kết luận
Trên đây tôi đã giới thiệu một vài phơng pháp giải toán phơng trình
và bất phơng trình vô tỉ trong chơng trình toán THCS - THPT đây không
chỉ là vũ trang ban đầu về kiến thức và kỹ năng thực hành của học sinh
mà còn hành trang cho các em trong những chơng trình toán cao hơn đây
là một cơ sở để kích thích các em tăng tính ham mê, thích học.
Nh vậy việc lựa chọn các phơng pháp giải toán nh đã giới thiệu trên
đây bản thân đã nhận thấy đợc các em đã vận dụng tơng đối hiệu quả, dễ
dàng tìm cách giải và đạt hiệu quả cao trong quá trình giảng dạy bản thân
đã từng bớc đa các phơng pháp này vào vận dụng giải toán và đã đợc kết
quả tơng đối tốt. Ngay từ lúc này việc giải loại toán phơng trình và bất ph-
ơng trình vô tỉ đối với các em học sinh không còn là một loại toán khó
khăn nh trớc nữa. Tuy nhiên để đạt đợc kết quả nh mong muốn thì ngay

cả giáo viên và học sinh cần phải nỗ lực hơn nữa, cần phải có sự phân tích
từng loại toán một cách chính xác. Tôi tin rằng trong một thời gian không
lâu các phơng pháp giải này sẽ trở thành một món ăn tinh thần cho những
bạn học sinh.
Qua đề tài này tôi rất mong đợc các bạn độc giả tham gia đóng góp
ý kiến đề xuất để bài viết sau của tôi sẽ hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!