Báo cáo tổng hợp kết quả thực hiện đề tài khoa học công nghệ MỐI QUAN HỆ GIỮA TẬP ĐẠI SỐ VÀ IĐÊAN TRONG VÀNH K[X]

UBND T NH PHÚ TH
TRƯ NG Đ I H C HÙNG VƯƠNG

BÁO CÁO T NG H P
K T QU TH C HI N Đ TÀI KHOA H C CÔNG NGH

M I QUAN H GI A T P Đ I S VÀ IĐÊAN
TRONG VÀNH K [ X ]
Ch nhi m đ tài: ThS. Hà Ng c Phú
C ng tác viên: ThS. Nguy n Th Thanh Tâm

Phú Th , 2013


M CL C
M Đ U ...........................................................................................................2
1. Lý do ch n đ tài ...........................................................................................2
2. M c tiêu nghiên c u......................................................................................3
3. Nhi m v nghiên c u ....................................................................................3
4. Đ i tư ng và ph m vi nghiên c u.................................................................3
5. Phương pháp nghiên c u...............................................................................3
6. Ý nghĩa khoa h c và th c ti n c a đ tài ......................................................4
7. B c c c a đ tài............................................................................................4
Chương 1 ...........................................................................................................5
T P Đ I S .....................................................................................................5
1.1. Vành đa th c...............................................................................................5
1.1.1. Vành đa th c m t n ............................................................................5
1.1.2. Vành đa th c nhi u n .........................................................................7
1.2. T p đ i s ...................................................................................................9
1.2.1. Đ nh nghĩa..........................................................................................10
1.2.2. Tính ch t c a t p đ i s .....................................................................11

1.2.3. Tham s hóa các t p đ i s ................................................................12
1.3. Tô pô Zariski, t p b t kh qui ..................................................................13
1.3.1. Tô pô Zariski......................................................................................13
1.3.2. T p b t kh qui...................................................................................15
Chương 2 .........................................................................................................18
IĐÊAN TRONG VÀNH ĐA TH C ..............................................................18
2.1. Đ nh nghĩa và m t s tính ch t.................................................................18
2.2. Iđêan c a t p đi m....................................................................................21
2.3. Iđêan căn và iđêan nguyên t ...................................................................23
2.3.1. Iđêan căn ............................................................................................23
2.3.2. Iđêan nguyên t ..................................................................................25
Chương 3 .........................................................................................................30
M I QUAN H GI A T P Đ I S VÀ IĐÊAN........................................30
3.1. M i quan h gi a các phép tốn t p h p..................................................30
3.2. Tính Noether c a vành đa th c K [ X ] và An ..........................................32
3.2.1. Đ nh lý Hilbert v cơ s .....................................................................32
3.2.2. Tính Noether c a không gian tô pô An .............................................34
3.3. Tương ng gi a t p đ i s và iđêan .........................................................36
3.4. M t s ví d ..............................................................................................39
K T LU N .....................................................................................................42
TÀI LI U THAM KH O...............................................................................43

1


M

Đ U

1. Lý do ch n đ tài

Đ i s giao hoán là chuyên ngành toán h c nghiên c u c u trúc vành
giao hốn v i khn m u là vành đa th c. Hình h c đ i s là chuyên ngành
nghiên c u các hình hình h c có xu t x t h phương trình các đa th c. Vì
v y hai chuyên ngành này có m i liên quan m t thi t.
Hình h c đ i s dùng các công c đ i s đ nghiên c u hình h c thơng
qua dùng h các phương trình đa th c đ mơ t các hình hình h c và quy các
v n đ hình h c v nghiên c u t p nghi m các h phương trình đa th c. T p

đ i s đư c coi là m t t p nghi m c a m t h phương trình đa th c và m i t p
đ i s đ u là t p nghi m c a m t iđêan. Đi u này cho phép thay h phương
trình đa th c b ng iđêan và th c hi n các phép tốn đ i s khi nghiên c u
hình h c c a các t p đ i s .
Bên ngồi tr c quan hình h c và đ i s hình th c có v đ i l p nhau,
nhưng s phát tri n c a hình h c đ i s trong th k 20 đã ch ng minh đi u
ngư c l i: m t ngôn ng đ i s phù h p có th di n đ t tr c quan hình h c
m t cách r t chính xác và đ i s giao hốn tr thành cơng c chính trong hình
h cđ is .
Các k t qu chính v Hình h c đ i s đư c R. Hartshorne trình bày
trong cu n sách Algebra Geometry. Khái ni m cơ b n đư c trình bày trư c
tiên chính là khái ni m t p đ i s (đa t p afin) trong không gian afin K n , v i
K là m t trư ng đóng đ i s . Nó là t p nghi m c a m t h phương trình đa

th c, mà hình nh quen thu c đã đư c gi i thi u trong nhi u tài li u là các đ
th c a các hàm đa th c, hàm n, … Đó cũng chính là khái ni m dùng đ mô
t nhi u đ i tư ng hình h c khác. Các t p đ i s có nhi u tính ch t đa d ng
v i các phép toán v t p h p, làm cho K n thành m t không gian tôpô. Nhưng
khi xét m t t p đ i s V v i tư cách là m t t p nghi m c a h phương trình đa
th c thì rõ ràng là có nhi u h phương trình đa th c xác đ nh t p đ i s này.
T đó d n đ n nghiên c u t p các đa th c nh n V làm t p nghi m, đó chính là
iđêan IV , iđêan xác đ nh t p đ i s V. Và như v y ta có th s d ng các tính

2


ch t c a iđêan đ quay l i nghiên c u các t p đ i s . Tuy nhiên n y sinh v n

đ là t p các đa th c IV có h u h n sinh và có nghi m hay khơng, đi u này
đư c đ m b o khi trư ng K là đóng đ i s . Khi đó m i iđêan đ u có nghi m,
t c đ u xác đ nh m t t p đ i s thì có th thi t l p tương ng 1 – 1 gi a hai
nhóm đ i tư ng này.
Xét m i quan h gi a l p các t p đ i s trong không gian K n v i t p
các iđêan trong vành đa th c K [ x1 , x2 ,..., xn ] s làm sâu s c hơn các tính ch t
c a chúng t đó giúp tăng tính tr c quan cho m t s khái ni m đ i s cũng
như hình h c. T đó có th m r ng xét m t s tính ch t tương t c a các m i
quan h trên trong trư ng h p trư ng K không là đóng đ i s .

2. M c tiêu nghiên c u
- Nghiên c u các tính ch t c a t p đ i s ; các tính ch t c a iđêan.
- Làm rõ m i quan h gi a các t p đ i s và các iđêan.
- T m t s tính ch t c a t p đ i s và các iđêan trong K [ x1 , x2 ,..., xn ] ,
v i K là trư ng đóng đ i s ki m tra s t n t i tính ch t tương t khi K là
trư ng khơng đóng đ i s .

3. Nhi m v nghiên c u
- Nghiên c u t p đ i s và các tính ch t c a t p đ i s .
- Nghiên c u iđêan trong vành đa th c và m t s tính ch t c a chúng.
gi a t p đ i s

- Nghiên c u m i quan h

và iđêan trong

K [ x1 , x2 ,..., xn ] , xét tương t khi trư ng K khơng đóng đ i s .

4. Đ i tư ng và ph m vi nghiên c u
Đ i tư ng nghiên c u bao g m: t p đ i s , iđêan trong vành
K [ x1 , x2 ,..., xn ] , iđêan c a m t t p đi m.

Ph m vi nghiên c u c a đ tài t p trung vào các tính ch t c a các t p

đ i s , c a iđêan xác đ nh t p đ i s .
5. Phương pháp nghiên c u
- T p h p, nghiên c u tài li u, phân tích các tính ch t c a các t p đ i
3


s , các tính ch t c a iđêan xác đ nh t p đ i s

trong vành đa th c

K [ x1 , x2 ,..., xn ] .

- Phân tích, so sánh các tính ch t tương đ ng c a các t p đ i s v i các
iđêan đ làm rõ m i liên h gi a chúng thông qua xem xét các th hi n trong
các phép toán t p h p, trong vi c thi t l p các tương

ng V ֏ IV và

IV ֏ Z ( IV ) . Sau đó xét tính ch t tương t khi K khơng là trư ng đóng

đ is .

6. Ý nghĩa khoa h c và th c ti n c a đ tài
Các k t qu c a đ tài thu đư c giúp làm rõ hơn nh ng tính ch t c a
t p đ i s trong m i liên h v i các iđêan trong vành đa th c K [ x1 , x2 ,..., xn ] ,
giúp gi m tính tr u tư ng c a m t s khái ni m c a đ i s giao hốn và hình
h cđ is .

7. B c c c a đ tài
Báo cáo đ tài g m 3 chương:
Chương 1 c a đ tài trình bày và làm rõ m t s ki n th c v vành đa th c,
v t p đ i s , c u trúc và tính ch t c a t p đ i s trong không gian affin K n .
Chương 2 trình bày m t s ki n th c v iđêan, làm rõ m t s tính ch t
c a iđêan trong vành đa th c, iđêan xác đ nh t p đ i s .
Chương 3 trình bày m i quan h gi a các t p đ i s và t p các iđêan
trong vành đa th c trên trư ng K , đưa ra m t s ví d minh h a cho m i
quan h gi a hai đ i tư ng này.

4


Chương 1
T PĐ IS
Chương này trình bày m t s ki n th c v vành đa th c, t p nghi m
c a m t h đa th c – t p đ i s và tính ch t c a các t p đ i s , bao g m: vành

đa th c m t bi n, nhi u bi n; t p đ i s ; tôpô Zariski.
1.1. Vành đa th c
1.1.1. Vành đa th c m t n
Gi s A là m t vành giao hoán, có đơn v 1. G i P là t p h p các dãy
(a0 , a1 ,..., an ,...) trong đó các ai ∈ A v i m i i ∈ ℕ và b ng 0 t t c tr m t s

h u h n. Như v y P là m t b ph n c a lũy th a Đ các Aℕ .
Ta đ nh nghĩa phép c ng và phép nhân trong P như sau:
(a0 , a1 ,..., an ,...) + (b0 , b1 ,..., bn ,...) = (a0 + b0 , a1 + b1 ,..., an + bn ,...) (1)
(a0 , a1 ,..., an ,...) (b0 , b1 ,..., bn ,...) = (c0 , c1 ,..., cn ,...)

v i ck =

(2)

∑ a b , k = 0,1,2,...
i

j

i + j =k

+ (1) và (2) cho ta hai phép toán c ng và nhân trong P.
+ P là m t vành giao hốn có đơn v
+ Xét dãy x = (0,1,0,...,0.,...) , ta có theo qui t c nhân (2) :
x 2 = (0,0,1,0,...,0.,...)
x 3 = (0,0,0,1,0,...,0.,...)
⋮

x n = (0,0,...,0,1,0,...)
n

Ta quy ư c vi t x 0 = (1,0,...,0.,...)
M t khác, xét ánh x A → P, a ֏ (a,0,...,0,...) , là m t đơn c u vành. Ta đ ng
nh t ph n t a ∈ A v i dãy (a,0,...,0,...) ∈ P . Vì v y A là m t vành con c a
vành P.

5


+ M i ph n t c a vành P là m t dãy (a0 , a1 ,..., an ,...) trong đó các ai ∈ A v i
m i i ∈ ℕ và b ng 0 t t c tr m t s h u h n, cho nên m i ph n t c a P có
d ng (a0 , a1 ,..., an ,0,...) trong đó a0 , a1 ,..., an ∈ A không nh t thi t khác 0.
+ Vi c đ ng nh t a ∈ A v i dãy (a,0,...,0,...) ∈ P và vi c đưa vào dãy x cho
phép ta vi t
(a0 , a1 ,..., an ,0,...) = a0 x 0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n

+

Ngư i

ta

kí

hi u

các

ph n

t

c a

P

vi t

dư i

d ng

a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n b ng f ( x), g ( x),...

Đ nh nghĩa 1.1. Vành P g i là vành đa th c n x l y h t trong A, hay v n
t t vành đa th c c a n x trên A, và kí hi u A[x]. Các ph n t c a vành đó g i
là đa th c c a n x l y h t trong A.
Trong m t đa th c f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n các ai , i = 0,1,..., n
g i là các h t c a đa th c. Các ai xi g i là các h ng t c a đa th c, đ c bi t
a0 x 0 = a0 g i là h ng t t do.

Ví d 1.1. Các vành ℚ[x], ℝ[x], ℂ[x] là các vành đa th c m t n x.
Đ nh lý 1.1. N u A là m t mi n nguyên, f ( x) ≠ 0, g ( x) ≠ 0 c a vành A[x] thì
f ( x).g ( x) ≠ 0 và deg ( f ( x).g ( x)) = deg f ( x) + deg g ( x) .

Ch ng minh
Gi s

f ( x), g ( x) ∈ A[ x] , f ( x) ≠ 0, g ( x) ≠ 0
f ( x) = a0 + a1 x + .......... + am x m , (am ≠ 0)
g ( x) = b0 + b1 x + .......... + bn x n , (bn ≠ 0)

Theo quy t c nhân đa th c ta có
f ( x) g ( x) = a0b0 + ......... + (a0bk + a1bk −1 + ......... + ak b0 ) x k + ..... + ambn x n+ m

Do am và bn khác 0 nên ambn khác 0 (do A là mi n nguyên), do đó
f ( x).g ( x) ≠ 0 và
deg ( f ( x).g ( x)) = m + n = deg f ( x) + deg g ( x)

6


H qu 1.1. N u A là mi n nguyên thì A[x] là mi n nguyên và các ph n t
kh ngh ch c a A[x] là các ph n t kh ngh ch c a A.
Vành đa th c m t n có tính ch t quan tr ng là:

Đ nh lý 1.2. Gi s A là m t trư ng, f ( x) ≠ 0, g ( x) ≠ 0 , th thì bao gi cũng
t n

t i

duy

nh t

hai

đa

th c

q ( x), r ( x) ∈ A[ x]

sao

cho

f ( x) = g ( x)q ( x) + r ( x), trong đó deg r ( x) < deg g ( x) n u r ( x) ≠ 0 .

Vi c tìm đa th c thương q ( x) và dư r ( x) đư c th c hi n b ng thu t
toán sau:

Input: g ( x), f ( x)
Output: q ( x), r ( x)
q ( x) := 0; r ( x) := f ( x);

While r ( x) ≠ 0 and deg g ( x) ≤ deg f ( x) do
q ( x) := q ( x) + in(r ( x)) / in( g ( x))
r ( x) := r ( x) − (in(r ( x)) / in( g ( x))) g ( x) .

Trong đó in( f ( x)) = an x n v i f ( x) = an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 .

Nh n xét 1.1. N u A không là m t trư ng mà A ch là m t vành giao hoán có
đơn v thì ta v n có th th c hi n đư c phép chia đa th c f ( x) cho g ( x) v i
đi u ki n đa th c g ( x) có h t cao nh t b ng đơn v .
1.1.2. Vành đa th c nhi u n
Vành đa th c nhi u n l y h t trong m t vành A có th đ nh nghĩa
b ng quy n p.

Đ nh nghĩa 1.2. Gi s A là m t vành giao hốn, có đơn v .
Khi n = 1, ta đ nh nghĩa vành đa th c A[x1] c a n x1 trên A.

Đ t A1 = A[x1], A1 là vành giao hốn, có đơn v . Vì th l i đ nh nghĩa
đư c vành A2 = A1[x2] c a n x2 trên A1 ta kí hi u A2 = A[x1, x2] và g i là
vành đa th c c a hai n x1, x2 trên A, c ti p t c như v y: A3 = A2[x3],…

Gi s ta đã đ nh nghĩa đư c vành đa th c A[x1,x2, …, xn-1] c a n -1 n
x1, x2, …, xn-1 trên A.
7


Đ t An-1 = A[x1, …, xn-1]. Khi đó An-1 là vành giao hốn, có đơn v .
Do đó ta đ nh nghĩa vành An = An-1[xn] kí hi u là A[x1, x2,…., xn], g i là vành

đa th c c a n n x1, x2,…xn l y h t trên vành A.
Khi vành A là m t trư ng K , vành đa th c n n K [ x1 , x2 ,..., xn ] cịn

đư c kí hi u là K [X ] .
M t ph n t c a An g i là m t đa th c c a n n x1, x2,…xn l y h t
trong vành A, kí hi u là f ( x1 , x2 ,.....xn ) ho c f.
M i ph n t

f ( x1 , x2 ,.....xn ) c a An = A[x1, x2,…, xn] có d ng

α
α
α
α
α
α
α
α
α
f ( x1 , x2 , ...., xn ) = c1 x1 11 x2 12 ....xn 1n + c2 x1 21 x2 22 ...xn 2 n + ..... + cm x1 m1 x2 m 2 .....xn mn

trong đó các ci ∈ A, α i1 , α i 2 ,...,α in ∈ N ,

(α i1 , α i 2 , .....,α in ) ≠ (α j1 , α j 2 ,....,α jn ) : i ≠ j , j = 1, m .
α
Các ci đư c g i là các h t , các ci x1 i1 x αi2 ....x αin , i = 1, m đư c g i là các h ng
2
n

t c a đa th c f ( x1 , x2 ,.....xn ) .
Khái ni m b c c a m t đa th c khác 0 trong vành đa th c nhi u n

đư c xem xét dư i nhi u góc đ .
B c c a đa th c f ( x1 , x2 ,.....xn ) đ i v i n xi là s mũ cao nh t mà xi có

đư c trong các h ng t c a đa th c. Ho c:
B c

c a

h ng

t

α
α
α
ci x1 i1 x2 i 2 ....xn in

là

t ng

các

s

mũ

α i1 + α i 2 + .... + α in c a các n. B c c a đa th c (đ i v i t t c các n) là s l n
nh t trong các b c c a các h ng t c a đa th c đó.
Ngồi ra ta cịn có th dùng các quan h th t khác trong s p x p các
h ng t c a đa th c nhi u bi n.

B đ 1.1. N u A là m t mi n nguyên thì vành đa th c A[x1, x2,…, xn] cũng là
m t mi n nguyên.
Xét f là m t đa th c vi t dư i d ng
α
α
α
α
α
α
α
α
α
f ( x1 , x2 , ...., xn ) = c1 x1 11 x2 12 ....xn 1n + c2 x1 21 x2 22 ...xn 2 n + ... + cm x1 m1 x2 m 2 .....xn mn

v i h t trong m t trư ng K .
ng v i m i đi m a = (a1 , a2 ,..., an ) ∈ K n ta có giá tr
8

α
α
α
α
α
α
α
α
α
f (a ) = c1a1 11 a2 12 ....an 1n + c2 a1 21 a2 22 ...an 2 n + ..... + cm a1 m1 a2 m 2 ....an mn

Có th coi f là hàm s t

K n vào K . Đi m a g i là nghi m c a f n u

f (a ) = 0 , khi đó ta nói f tri t tiêu t i a.

Nh n xét 1.2. N u K là trư ng có vơ h n ph n t thì hai đa th c khác nhau
s cho hai hàm khác nhau. Đ th y đi u này, ta dùng b đ sau.

B đ 1.2. Cho K là trư ng vô h n. N u f (a ) = 0 v i m i a ∈ K n thì f = 0 .
Ch ng minh
N u n = 1 thì ta có k t lu n c a b đ vì m i đa th c m t bi n khác 0
ch có h u h n nghi m.
N u n > 1 , ph n ch ng gi s

f ≠ 0 và gi thi t f ch a bi n xn .

Vi t đa th c f dư i d ng
m

f = f 0 + f1 xn + ... + f m xn v i f 0 , f1 ,..., f m ∈ K [ x1 ,..., xn−1 ] , f m ≠ 0 .

Dùng qui n p, gi thi t t n t i đi m (α1 ,α 2 ,...,α n−1 ) ∈ K n−1 sao cho
f m (α1 ,α 2 ,...,α n−1 ) ≠ 0 .

Khi đó
m
f (α1 ,...,α n−1 , xn ) = f 0 (α1 ,...,α n−1 ) + f1 (α1 ,...,α n−1 ) xn + ... + f m (α1 ,...,α n−1 ) xn là

m t đa th c khác 0 m t bi n xn . Nó ch có h u h n nghi m. Đi u này mâu
thu n v i gi thi t f (a ) = 0 v i m i a ∈ K n .

H qu 1.2. Cho K là trư ng vô h n. N u f , g ∈ K [X] th a mãn đi u ki n
f (a ) = g (a ) v i m i a ∈ K n thì f = g .

N u K là trư ng h u h n thì các tính ch t trên khơng cịn đúng n a.
Ch ng h n: N u K là trư ng h u h n, K = {α1 ,α 2 ,...,α n } thì đa th c
f = ( x − α1 )( x − α 2 )...( x − α n ) là đa th c khác 0 nhưng f l i tri t tiêu trên

toàn b K .

1.2. T p đ i s
Nhi u hình hình h c đư c mơ t b i h phương trình đa th c. Ch ng
h n như trong m t ph ng đư ng th ng đư c mô t
9

b i đa th c


f = ax + by + c , đư ng tròn xác đ nh b i đa th c g = x 2 + y 2 − a 2 , …. Vì th ,

đ nghiên c u hình h c ta thư ng đưa v nghiên c u t p nghi m c a các h
phương trình đa th c.

1.2.1. Đ nh nghĩa
Đ nh nghĩa 1.3. Cho K là m t trư ng. Ta g i không gian Đ các K n là
không gian afine n-chi u trên K ký hi u là Akn ho c An . T p nghi m c a m t
h phương trình đa th c n n v i các h s trong K đư c g i là m t t p đ i s
n
trong AK .

Kí hi u Z( S ) là t p nghi m c a h phương trình đa th c S. Khi
S = { f } ta kí hi u t p nghi m c a S là Z( f ) .

N u deg f = 0 ( f = c là h ng s ) thì Z( f ) = K n khi c = 0 ho c Z( f ) = ∅ khi
c ≠ 0.

N u deg f > 0 , ta g i Z( f ) là siêu m t. Trư ng h p deg f = 1 g i Z( f ) là
siêu ph ng.

Ví d 1.2
- T p ∅ là t p đ i s vì là t p nghi m c a phương trình f = 0 v i m i
f ∈ K, f ≠ 0.

- M i đi m a = (α1 ,α 2 ,...,α n ) là t p đ i s vì là nghi m c a h phương
trình xi − α i = 0, i = 1,..., n .
- Không gian K n là t p đ i s .
- Xét trong vành đa th c K [ x, y ] v i f = x 2 − y thì
Z( f ) = {(α ,α 2 ) | α ∈ K } .

- Trong ℝ 2 , t p đ i s xác đ nh b i đa th c x 2 + y 2 − 1 là đư ng tròn
tâm t i g c t a đ , bán kính b ng 1.
- T p nghi m c a m t h các phương trình tuy n tính

10


a11 x1 + ... + a1n xn = b1
a x + ... + a x = b
 21 1
2n n
2

...
am1 x1 + ... + amn xn = bm


là m t t p đ i s , còn g i là đa t p tuy n tính.

Nh n xét 1.3. Cho S là m t h đa th c trong K [X ] . Kí hi u Z( S ) là t p
nghi m c a S. Ta có
Z (S ) = ∩ Z ( f ) .
f ∈S

T c là: m i t p đ i s khác r ng đ u là giao c a các siêu m t.
Các t p d ng Z( f ) trong K ch có th là t p r ng, t p h u h n hay K .
Xét giao c a các t p này ta th y các t p đ i s trong K ch có th là t p r ng,
t p h u h n hay K .

1.2.2. Tính ch t c a t p đ i s

T đ nh nghĩa 1.3 ta có ngay tính ch t:

Đ nh lý 1.3. Cho S1 và S2 là hai h đa th c trong K [X ] . N u S1 ⊂ S2 thì
Z ( S1 ) ⊃ Z ( S 2 ) .

B đ 1.3. Cho S1 và S2 là hai h đa th c trong K [X ] . Ta có:
Z ( S1 ) ∪ Z ( S 2 ) = Z ( S ) v i S = { fg | f ∈ S1 , g ∈ S 2 } .

Ch ng minh
Do m i nghi m c a S1 , S2 cũng là nghi m c a S nên Z ( S1 ) ∪ Z ( S2 ) ⊂ Z ( S ) .

Đ o l i, gi s a là nghi m c a S.
N u a khơng là nghi m c a S1 thì t n t i đa th c f ∈ S1 sao cho
f (a) ≠ 0 .

V i m i g ∈ S 2 , ta có fg ∈ S . Vì th

f (a ) g (a ) = 0 . Suy ra g (a ) = 0 , t c là

a ∈ Z ( S2 ) .

Đi u này ch ng t Z ( S1 ) ∪ Z ( S 2 ) ⊃ Z ( S ) .
B đ 1.3 cho th y h p c a m t h h u h n các t p đ i s là m t t p

đ is .
11


Ví d 1.3. Ta có Z ( z ) ∪ Z ( x, y ) = Z ( zx, zy ) .
B đ 1.4. Cho {Si }i∈I là m t h các h đa th c trong K [X ] . Ta có

∩ Z (S ) = Z (∪ S )
i

i

i∈I

i∈I

Ch ng minh
Vì a là nghi m c a m i t p Si khi và ch khi a là nghi m c a t p

∪S

i

.

i∈I

T đó suy ra

∩ Z (S ) = Z (∪ S ) .
i

i∈I

i

i∈I

Ký hi u vành đa th c K [Y ] = K [ y1 , y2 ,..., ym ] đ mô t các hàm đa th c
trên K m và vành đa th c K [ X , Y ] = K [ x1 , x2 ,..., xn , y1 , y2 ,..., ym ] đ mô t các
hàm đa th c trên K n+ m .
V n d ng B đ 1.3 ta có k t qu : Giao c a m t h nh ng t p đ i s
ch a t p V cho trư c (h này hi n nhiên khác r ng) cũng là m t t p đ i s .

Đây là t p đ i s nh nh t có tính ch t này, kí hi u V , g i là bao đóng c a V.
N u V là t p đ i s thì V = V .

B đ 1.5. Cho S ⊂ K [X ] và T ⊂ K [Y ] là hai h đa th c. N u coi S ∪ T là
m t h đa th c trong K [ X , Y ] thì Z ( S ) × Z (T ) = Z ( S ∪ T ) .
Ch ng minh.
Do (a, b) ∈ K n × K m là nghi m c a S ∪ T khi và ch khi a là nghi m c a S và
b là nghi m c a T nên ta có ngay đi u ph i ch ng minh.

1.2.3. Tham s hóa các t p đ i s
Ta xét ví d sau:
Trong ℝ 3 xét h các phương trình
x + y + z = 1

x + 2 y − z = 3

T p đ i s xác đ nh b i h trên như ta bi t là m t đư ng th ng và nó có
phương trình tham s là

12

 x = −1 − 3t

 y = 2 + 2t
z = t


V i tham s t ∈ ℝ . Ngư i ta g i bi u di n này là phép tham s hóa c a t p
nghi m ban đ u. Nhi u t p nghi m ta quen thu c (t p nghi m là đư ng th ng,

đư ng trịn, elip, …) đ u có th tham s hóa đư c.
T ng quát ta có:
V i

t p

đ i

s

V = Z ( f1 , f 2 ,..., f s ) ⊂ K n .

Gi

s

có

r1 , r2 ,..., rn ∈ K ( t1 ,..., tm ) , trư ng các phân th c h u t , sao cho các đi m

( x1, x2 ,..., xn ) xác đ nh b

i
 x1 = r1 ( t1 ,..., tm ) ,

 x2 = r2 ( t1 ,..., tm ) ,

...
 x = r ( t ,..., t )
m
 n n 1

thu c V, ta nói r1 , r2 ,..., rn là m t bi u di n tham s hóa h u t c a t p đ i s
V. N u các r1 , r2 ,..., rn là các hàm đa th c thì chúng cịn đư c g i là m t tham
s hóa đa th c c a V.

Ví d 1.4. Đư ng trịn đơn v x 2 + y 2 − 1 = 0 có bi u di n tham s
 1− t2
x = 1 + t2


 y = 2t

1+ t2


V v n đ tham s hóa h u t m t t p đ i s ngư i ta đã ch ra đư c h u h t
các t p đ i s đ u khơng th tham s hóa h u t đư c.

1.3. Tô pô Zariski, t p b t kh qui
1.3.1. Tô pô Zariski

B đ 1.3, 1.4 và đ nh nghĩa 1.3 cho ta k t qu : H p c a hai t p đ i s
là m t t p đ i s , giao c a m t h nh ng t p đ i s là m t t p đ i s , t p r ng
và b n thân không gian An cũng là m t t p đ i s . Các tính ch t này g i ý
13


cho vi c xây d ng m t c u trúc tôpô trên An b ng vi c coi các t p đ i s là
các t p đóng.

Đ nh nghĩa 1.4. Trên An tôpô đư c xác đ nh b i các t p đóng là các t p đ i
s (t p m c a An là ph n bù c a m t t p đ i s ) đư c g i là tôpô Zariski.
Theo đ nh nghĩa thì t p m là ph n bù c a t p đóng. Do m i t p đóng
trong An là giao c a nh ng t p đóng d ng Z( f ) nên m i t p m trong An là
h p c a nh ng t p m d ng D( f ) := k n − Z ( f ) = {a ∈ k n | f (a ) ≠ 0} .
Vì th các t p D ( f ) l p thành m t cơ s cho tôpô Zariski. Các t p D ( f )

đư c g i là các t p m chính c a An .
V i n = 1 , trong không gian afine 1- chi u A1 các t p đ i s ch có th
là A1 , các t p con h u h n c a A1 ho c là t p r ng. Đi u này có th d dàng
suy ra t vi c t p nghi m c a m t đa th c f m t bi n ch có th là A1 (n u f
là đa th c không), m t t p h u h n trong A1 (n u f có b c dương) ho c là t p
r ng (n u f là m t s khác không trong k).
Tơpơ Zariski có đ c tính sau:

B đ 1.6. Giao c a hai t p m không r ng c a An luôn luôn là m t t p m
không r ng.
Ch ng minh.
Ta ch c n ch ng minh D( f ) ∩ D( g ) ≠ ∅ v i m i t p m

D ( f ) và D( g )

khơng r ng.
Ta có D( f ) ∩ D( g ) = K n \ Z ( f ) ∪ Z ( g ) = K n \ Z ( fg ) .
Do D( f ), D ( g ) ≠ ∅ nên Z ( f ), Z ( g ) ≠ K n .
Suy ra f , g ≠ 0 ⇒ fg ≠ 0 nên Z ( fg ) ≠ K n .
Vì v y K n \ Z ( fg ) ≠ ∅ .

Nh n xét 1.4. H p tùy ý các t p đ i s không ph i là m t t p đ i s . Hi u hai
t p đ i s không ph i là m t t p đ i s .

14


1.3.2. T p b t kh qui
Trong hình h c ngư i ta thư ng tìm cách phân tích m t t p đ i s thành
h p các t p đ i s nh hơn đ nghiên c u. N u m t t p đ i s khác r ng
khơng th phân tích thành h p c a hai t p đ i s nh hơn thì ta g i t p đ i s

đó là t p b t kh qui.
Đ nh nghĩa 1.5. Cho V là t p đ i s khác r ng trong An , V đư c g i là t p
b t kh qui n u V khơng phân tích đư c thành h p c a hai t p đ i s nh hơn,
nghĩa là n u V = V 1 ∪ V 2 v i V 1 , V 2 là nh ng t p đ i s

thì suy ra

V 1 = V ho c V 2 = V.
M t t p đ i s b t kh qui còn đư c g i là m t đa t p afine.

Ví d 1.5.
T p ch g m 1 đi m là t p đ i s b t kh qui do nó ch có t p r ng là

t p đ i s nh hơn.
T p đ i s là t p nghi m c a đa th c f = x 2 − y 2 trong ℝ[x, y ] khơng
là t p b t kh qui vì nó có th phân tích Z ( f ) = Z ( f1 ) ∪ Z ( f 2 ) trong đó
f1 = x + y , f 2 = x − y .

An là t p đ i s b t kh qui vì n u An là h p c a hai t p đ i s nh hơn
thì giao c a hai ph n bù này là t p r ng, mâu thu n v i B đ 1.6.
2
T p h p V = {(α ,α 2 ) | α ∈ ℝ} là t p đ i s b t kh qui trong Aℝ .

Nh n xét 1.5. T đ nh nghĩa 1.5 và b đ 1.3 ta rút ra k t qu : Khi K là
trư ng đóng đ i s , m t siêu m t là b t kh qui khi và ch khi nó là t p
nghi m c a m t đa th c b t kh qui.

Đ nh lý 1.4. M i t p đ i s đ u có th phân tích thành h p c a m t s h u
h n các t p đ i s b t kh quy không bao nhau. Các t p b t kh quy trong s
phân tích như v y đư c xác đ nh m t cách duy nh t.
Ch ng minh
G i M là t p h p các t p đ i s trong An khơng th phân tích thành h p
c a m t s h u h n các t p b t kh quy. N u M khác r ng thì M s có m t t p

đ i s nh nh t V (vì An là không gian tôpô Noether).
15


Vì V ∈ M nên V khơng là t p đ i s b t kh qui, vì n u V b t kh quy thì

V = V là m t s phân tích, đi u này là vơ lý.
Như v y ta vi t đư c V = V1 ∪ V2 v i V1 và V2 là nh ng t p đ i s con th t
s c a V. T tính ch t nh nh t c a V ta th y V1 và V2 không thu c M, do đó

V1 và V2 có th phân tích đư c thành h p c a m t s h u h n các t p b t kh
quy. Như v y V cũng là h p c a m t s h u h n các t p b t kh quy.

Đi u này mâu thu n v i gi thi t V n m trong M. V y M ph i r ng. Đi u này
là vô lý.
Suy ra m i t p đ i s đ u có th phân tích thành h p m t s h u h n các t p
b t kh quy.
Gi s

V = V1 ∪ ... ∪ Vr = W1 ∪ ... ∪ Ws
là hai s phân tích m t t p đ i s V thành h p các t p b t kh quy không bao
nhau. V i m i i = 1,..., r ta có

Vi = Vi ∩ (W1 ∪ ... ∪ Ws ) = (Vi ∩ W1 )

... ∪ (Vi ∩ Ws ) .

Do Vi là t p b t kh quy nên ta ph i có Vi = Vi ∩ Wj v i m t ch s j nào đó.
Suy ra Vi ⊆ Wj . Lý lu n tương t ta cũng có Wj ⊆ Vt v i m i ch s t nào đó.
Vì v y Vi = Vt d n đ n Vi = Wj . Đi u này ch ng t m i t p đ i s Vi đ u xu t
hi n trong W1,..., Ws. Tương t , m i t p đ i s Wj cũng xu t hi n trong

V1,...,Vr.
V y hai t p h p {V1 ,...,Vr } và {W1,..., Ws} ph i b ng nhau.
Suy ra đi u ph i ch ng minh.

Ví d

1.6. Cho đa th c f = x 2 − y 2 trong K [x, y ] , ta có phân tích

Z ( f ) = Z ( f1 ) ∪ Z ( f 2 ) trong đó f1 = x + y , f 2 = x − y .

V m t hình h c ta th y l i hình nh quen thu c t p nghi m c a đa th c
f = x 2 − y 2 g m hai đư ng phân giác c a góc ph n tư th nh t và th hai.

Nh n xét 1.6. Đ nh lý trên cho th y tính ch t tương t đã bi t: m i đa th c
đ u có th phân tích đư c thành tích c a các đa th c b t kh quy.

16


Các t p b t kh quy xu t hi n trong s phân tích m t t p đ i s V thành
h p các t p b t kh quy đư c g i là các thành ph n b t kh quy c a V.
M i đa th c b t kh quy ch có m t thành ph n b t kh quy là chính nó.
Có th đ c trưng các thành ph n b t kh quy như sau.

H qu 1.3. Các thành ph n b t kh quy c a m t t p đ i s V chính là các
t p b t kh quy l n nh t trong V.
Ch ng minh.
Gi s V = V1 ∪ ... ∪ Vr là m t s phân tích duy nh t V thành h p c a m t
s h u h n các t p b t kh quy không bao nhau. V i m i t p b t kh quy
không r ng tuỳ ý W trong V ta có

V = V ∪ W = V1 ∪ ... ∪ Vr ∪ W.
Theo tính ch t duy nh t c a s phân tích V thành h p c a m t s h u h n các
t p b t kh quy khơng bao nhau thì W ph i n m trong m t t p Vi nào đó. T

đây ta th y m i t p Vi ph i là m t t p b t kh quy l n nh t trong V.
N u W là m t t p b t kh quy l n nh t trong V thì t đi u ki n W ⊆ Vi ta suy

ra đư c W = Vi. V y {V1,...,Vr} chính là t p các t p đ i s b t kh quy l n nh t
trong V.

17


Chương 2
IĐÊAN TRONG VÀNH ĐA TH C
Chương này t p trung trình bày m t s tính ch t c a iđêan trong vành

đa th c: các phép toán c a các iđêan; iđêan c a m t t p đi m; iđêan căn và
iđêan nguyên t . T cơ s đó rút ra m t s nh n xét làm rõ hơn tính ch t c a
chúng. Các n i dung trình bày trên cơ s tham kh o [2], [3] và [7].

2.1. Đ nh nghĩa và m t s tính ch t
Gi s A là m t vành giao hốn có đơn v .

Đ nh nghĩa 2.1. T p I trong A đư c g i là m t iđêan trong A n u 0 ∈ I và I
th a mãn các đi u ki n:
(i) f + g ∈ I v i m i f , g ∈ I
(ii) hf ∈ I v i m i h ∈ A, f ∈ I .
T p ch g m ph n t 0 là iđêan c a A , g i là iđêan khơng, kí hi u là 0.
Vành A cũng là iđêan c a A. Các iđêan khác c a A g i là các iđêan th c s .
Chú ý r ng 1∈ I ⇔ I = A .

Đ nh nghĩa 2.2. Cho hai iđêan I , J tùy ý trong A. Iđêan sinh b i các ph n t
c a I ∪ J đư c g i là iđêan t ng c a I và J, kí hi u là I + J . Iđêan sinh b i
các tích fg v i f ∈ I và g ∈ J đư c g i là iđêan tích c a I và J, kí hi u là IJ.
T đ nh nghĩa ta th y ngay:
N u iđêan I = ( f1 ,..., f r ) và J = ( g1 ,..., g s ) , thì

(i) I + J = ( f1 ,..., f r , g1 ,..., g s )
Nói riêng I = ( f1 ,..., f r ) = ( f1 ) + ... + ( f r )
(ii) IJ = ( fi g j |1 ≤ i ≤ r ,1 ≤ j ≤ s )

Đ nh lý 2.1. Giao c a m t h nh ng iđêan c a A là m t iđêan c a A.
T đ nh lý 2.1 rút ra ngay đư c k t qu : Giao c a m t h nh ng iđêan
ch a t p U là m t iđêan c a vành A ch a t p U. Đó là iđêan nh nh t có tính
ch t này, g i là iđêan sinh b i U, kí hi u (U ) .
18


Khi t p U là t p đơn t , U = { f } , iđêan sinh b i U g i là iđêan chính
sinh b i f , kí hi u ( f ) và ( f ) = {hf | h ∈ A} .
Khi t p U = { f1 , f 2 ,..., f n } , (U ) = {h1 f1 + h2 f 2 + ... + hn f n | h1 , h2 ,..., hn ∈ A}
là iđêan sinh b i các ph n t

f1 , f 2 ,..., f n .

D th y h p c a m t h nh ng iđêan không là m t iđêan c a A. H p
c a h nh ng iđêan l ng nhau là m t iđêan c a A.

Nh n xét 2.1. V i hai iđêan I , J tùy ý trong A ta có
IJ ⊂ I ∩ J nhưng bao hàm th c ngư c l i không đúng.
I ∩ J = IJ n u có đi u ki n I + J = A .

Ví d 2.1. Trong vành đa th c K [x, y ] , I = ( x, y 2 ) và J = ( y ) là hai iđêan
c a vành này.
Ta có I = ( x, y 2 ) = { xf + y 2 g | f , g ∈ K [x, y ]} và J = ( y ) = { yh | h ∈ K [x, y ]}
I + J = ( x, y ) , IJ = ( xy, y 3 ) , I ∩ J = ( xy, y 2 )

Chú ý: M i iđêan trong vành đa th c K [X ] , v i K là m t trư ng, đ u là h u
h n sinh.
Vi c tính toán giao c a các iđêan trong vành đa th c có th th c hi n d a vào
k t qu sau [7].

B đ 2.1.
(i) N u I là iđêan trong K [X ] sinh b i các đa th c p1 ( x),..., pr ( x) thì
f (t ) I là iđêan trong K [X , t ] sinh b i các đa th c f (t ) p1 ( x),..., f (t ) pr ( x)

(trong trư ng h p này kí hi u pi ( x) cho đa th c c a n n x1 ,..., xn ).
(ii) N u g ( x, t ) ∈ f (t ) I và a ∈ K thì g ( x, a) ∈ I .

Ch ng minh
(i) Nh n xét r ng m i đa th c b t kỳ g ( x, t ) ∈ f (t ) I đ u có th vi t
thành t ng c a các đa th c d ng h( x, t ). f (t ). p ( x) v i h( x, t ) ∈ K [ X , t ], p ∈ I .
Do I là iđêan sinh b i các đa th c p1 ( x),..., pr ( x) nên có

19


r

p ( x) = ∑ qi ( x) pi ( x)
i =1
r

Do v y h( x, t ). f (t ). p ( x) = ∑ h( x, t )qi ( x). f (t ) pi ( x)
i =1

Mà h( x, t ).qi ( x) ∈ K [ X , t ],1 ≤ i ≤ r . Suy ra h( x, t ). f (t ). p ( x) là iđêan trong

K [X , t ] sinh b i các đa th c f (t ) p1 ( x),..., f (t ) pr ( x) .
Vì đa th c g ( x, t ) là t ng c a các đa th c d ng h( x, t ). f (t ). p ( x) v i
h( x, t ) ∈ K [ X , t ], p ∈ I nên g ( x, t ) ∈ ( f (t ) p1 ( x),..., f (t ) pr ( x) ) .

(ii) Kh ng đ nh (ii) là hi n nhiên khi ta thay t b i a ∈ K .
T b đ trên ta có đ nh lý.

Đ nh lý 2.2. Cho hai iđêan I , J tùy ý trong K [X ] . Khi đó
I ∩ J = ( tI + (1 − t ) J ) ∩ K [ X ] .

Ch ng minh
Ta có ngay ( tI + (1 − t ) J ) là iđêan c a K [X , t ] .
Gi s

f ∈I ∩ J . T

f ∈ I ⇒ tf ∈ tI , tương t

(1 − t ) f ∈ (1 − t ) J .

Vi t f = tf + (1 − t ) f ∈ tI + (1 − t ) J . Do đó f ∈ ( tI + (1 − t ) J ) ∩ K [ X ] , t c là
ta có bao hàm th c I ∩ J ⊂ ( tI + (1 − t ) J ) ∩ K [ X ] .
Ngư c l i, gi s

f ∈ ( tI + (1 − t ) J ) ∩ K [ X ] .

Do f ∈ tI + (1 − t ) J nên f ( x) = g ( x, t ) + h( x, t ) v i g ( x, t ) ∈ tI , h( x, t ) ∈ (1 − t ) J .
Cho t = 0 , vì m i ph n t c a tI là b i c a t nên suy ra g ( x,0) = 0 .
Do v y f ( x) = h( x,0) ⇒ f ( x) ∈ J (theo b đ 2.1).

L i xét t = 1 trong quan h

f ( x) = g ( x, t ) + h( x, t ) . Vì m i ph n t

(1 − t ) J đ u là b i c a 1 − t nên ta rút ra h( x,1) = 0 .

Do v y f ( x) = g ( x,1) ⇒ f ( x) ∈ I .
Như v y ta có f ∈ I và f ∈ J , do đó f ∈ I ∩ J .
V y I ∩ J ⊃ ( tI + (1 − t ) J ) ∩ K [ X ] .

20

c a


Tóm l i có I ∩ J = ( tI + (1 − t ) J ) ∩ K [ X ] .
Trong trư ng h p đ c bi t khi các iđêan I , J là các iđêan chính ta có th xác

đ nh giao c a chúng b ng s d ng k t qu sau.
Đ nh lý 2.3.
(i) Giao c a hai iđêan chính I , J trong vành đa th c K [X ] là m t
iđêan chính.
(ii) N u I = ( f ) , J = ( g ) thì I ∩ J = ( h ) trong đó h = LCM ( f , g ) là
b i chung nh nh t c a hai đa th c f và g .

Đ nh lý 2.4. V i m i iđêan I , J , K c a vành A ta có ( I + J ) K = IK + JK .
Như v y t đ nh nghĩa 2.2 ta có 3 phép tốn (c ng, giao, nhân) và
chúng có tính ch t giao hoán, k t h p. Đ nh lý 2.2 cho ta bi t phép nhân phân
ph i đ i v i phép c ng. Gi a phép toán giao và phép c ng ta có lu t modular
I ∩ ( J + K ) = I ∩ J + I ∩ K n u I ⊇ J ho c I ⊇ K .

2.2. Iđêan c a t p đi m
Theo đ nh nghĩa 1.3, t p đ i s là m t t p nghi m c a h phương trình

đa th c. Nhưng như ta th y h đa th c xác đ nh t p đ i s này khơng duy
nh t. Thay vì xem xét m t h xác đ nh nào đó ta quan tâm đ n iđêan sinh b i
các đa th c c a h . T đó có:

Đ nh lý 2.5. Cho V là m t t p đi m tùy ý trong An . Kí hi u
IV = { f ∈ K [X ] | f (a) = 0 ∀a ∈V }

Khi đó IV là m t iđêan c a K [X ] .

Ch ng minh: suy ra ngay t đ nh nghĩa 2.1.
Đ nh lý 2.3 cho ta bi t IV là iđêan l n nh t có t p nghi m ch a V. T
đó ta có đ nh nghĩa.
Đ nh nghĩa 2.3. Cho V là m t t p đi m tùy ý trong An . Iđêan IV đư c g i là
iđêan c a t p đi m V trong K [X ] .
N u V ch bao g m 1 đi m a thì ta dùng kí hi u I a thay cho I{a} .

21


Ví d 2.2.
(i) N u V = ∅ thì I ∅ = K [X ] .
(ii) I a = ( x1 − a1 , x2 − a2 ,..., xn − an ) v i m i đi m a = ( a1 , a2 ,..., an ) ∈ An .
Th t v y, b ng phép bi n đ i to đ y1 = x1 − a1 , y2 = x2 − a2 ,..., yn = xn − an có
th gi thi t a = ( 0,...,0 ) . Ta ph i ch ng minh I a = ( y1 , y2 ,..., yn ) .
Ta có m i đa th c f ∈ K [Y ] đư c vi t dư i d ng
f = h1 y1 + h2 y2 + ... + hn yn + α

v i h1 , h2 ,..., hn ∈ K [Y ] và α ∈ K .
Ta có ngay f (0,0,...,0) = 0 ⇔ α = 0 .
Nghĩa là f = h1 y1 + h2 y2 + ... + hn yn ∈ ( y1 , y2 ,..., yn ) .
V y I a = ( x1 − a1 , x2 − a2 ,..., xn − an ) .
(iii) N u V là m t t p vô h n đi m trên đư ng parabol x 2 − y = 0 thì
IV = ( x 2 − y ) .

Th t v y : ta có ngay ( x 2 − y ) ⊂ IV , ch c n ch ng minh IV ⊂ ( x 2 − y ) .
Xét f ∈ K [x, y ] , xem f như là đa th c bi n y h s trong K [ x] . Dùng phép
chia Euclide ta vi t đư c f = h ( x 2 − y ) + v v i v ∈ K [x] .
Theo gi thi t

{

}

V ⊂ Z ( x 2 − y ) = (α ,α 2 ) | α ∈ K nên n u f ∈ IV thì f (α ,α 2 ) = v(α ) = 0 v i

m i α thu c vào m t t p vô h n trong K .
Suy ra v = 0 và f = h ( x 2 − y ) ∈ ( x 2 − y ) .

B đ 2.2. Gi s

f1 , f 2 ,..., f s ∈ K [ X ] , V = Z ( f1 , f 2 ,..., f s ) . Khi đó

( f1, f 2 ,..., f s ) ⊂ IV .
Bao hàm th c

b

đ

có th

là th c s , ch ng h n :

V = Z ( x 2 , y 2 ) = {( 0,0 )} , ta có IV = ( x, y ) . L i có x ∉ ( x 2 , y 2 ) , do đó bao hàm

22


th c ( x 2 , y 2 ) ⊂ IV là th c s . Có đi u này là do iđêan ( x 2 , y 2 ) không là m t
iđêan căn.

2.3. Iđêan căn và iđêan nguyên t
2.3.1. Iđêan căn
V i m i iđêan I c a vành A ta ký hi u

I ={x ∈ A | ∃ n∈ N sao cho x n∈ I}.

B đ 2.3.

I là iđêan c a vành A và đư c g i là căn c a I.

Ch ng minh.
Cho f , g ∈ I tùy ý. Gi s f r ,g s ∈ I . Khi đó
( f + g)

 r + s  r + s −i i

= ∑
g
f
i =0  i

r +s

r+s

Rõ ràng là r + s − i ≥ r ⇔ i ≤ s . Vì v y f r + s −i g i chia h t cho f r hay g s v i
m i i = 1,…, r + s . T đây suy ra ( f + g ) r + s ∈ I và do đó f + g ∈ I . Ta cũng
có hf ∈ I v i m i h ∈ A vì (hf ) r = h r f r ∈ I . Nh ng đi u này ch ng t

I là iđêan.
T b đ ta có ngay I ⊆ I .

Đ nh nghĩa 2.4. I đư c g i là iđêan căn n u I = I .
T đ nh nghĩa ta ch ng minh đư c các tính ch t sau:
V i I , J là các iđêan c a A thì
(i)

I = I

(ii)

IJ = I ∩ J = I ∩ J

(iii)

I = (1) ⇔ I = (1)

(iv)

I+J =

I+ J .

Ví d 2.3.
(i) N u iđêan I đư c sinh ra b i m t đa th c f, có nghĩa là I = ( f ) , thì
ta có th d dàng xác đ nh căn I.
23


r
f = g1r1 g 22 ...g rrm v i g1 , g 2 ,..., g r là nh ng đa th c b t kh quy.

Gi s

Đ t h = g1 .g 2 ...g r ta có
I=

( f ) = (h) .

Th t v y, do hm ∈ ( f ) v i m đ l n nên h ∈

( f ) , d n đ n (h) ⊆

(f).

r

Đ o l i, n u gm ∈ ( f ) thì gm = pg1r1 g 22 ...g rrm .

Suy ra g ph i chia h t cho g1 , g 2 ,..., g r , có nghĩa là g ∈ ( h ) .
(ii) Căn c a iđêan 0 là t p h p các ph n t lũy linh, t c là các ph n t
f ∈ A có m t lũy th a f r = 0 .

Nh n xét 2.2. Iđêan 0 là iđêan căn khi và ch khi vành A khơng có ph n t lũy
linh. Khi đó ta g i A là vành rút g n. D th y r ng m i mi n nguyên đ u
khơng có ph n t lũy linh và do đó là vành rút g n.

B đ 2.4. IV là iđêan căn.
Ch ng minh.
N u f r ∈ IV thì f r (a ) = 0 v i m i a ∈V . T đây suy ra f (a ) = 0 v i m i

α ∈V và do đó f ∈ IV .
T b đ 2.4 ta rút ra nh n xét:

Nh n xét 2.3
Không ph i iđêan căn nào trong K [X ] cũng là iđêan c a m t t p đ i
s . Đ th y đi u này ta ch c n ch n K [X ] có iđêan I ≠ K [ X ] vơ nghi m.
Khi đó

I cũng ph i vơ nghi m. N u

I = IV là iđêan c a m t t p đ i s V

nào đó thì ta ph i có V = Z ( IV ) = ∅ . T đây suy ra

I = I∅ = K[ X ] , d n đ n

1∈ I là m t mâu thu n v i cách ch n I ≠ K [ X ] .

Ch ng h n m i iđêan căn ch a x12 + 1 trong ℝ[X ] đ u vơ nghi m và
do đó khơng th là iđêan c a b t kì m t t p đ i s nào trong ℝ n .
Như v y, khi K khơng là trư ng đóng đ i s thì m t iđêan trong K [X ] có th
khơng có nghi m t c nó khơng là iđêan c a m t t p đ i s .

24