skkn ứng dụng của đạo hàm trong bài toán giải bài toán đại số

ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích
Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
1
S GIÁO DC VÀ ÀO TO LÀO CAI
TRNG THPT S 2 TP LÀO CAI











CHUYÊN 
:



NG DNG O HÀM TRONG GII
BÀI TOÁN I S & GII TÍCH






Ngi vit : Phm Hng Lan
T: Toán - Tin

Trng: THPT s 2 TP Lào Cai








Lào Cai, tháng 11 nm 2010
ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích


PHN M U
I. Lí do chn đ tài
-Nh ta đã bit, chuyên đ v bt đng thc, phng trình, bt phng
trình, h phng trình và h bt phng trình chim mt lng khá ln trong
chng trình ph thông ( i s, lng giác, ….). Tuy nhiên trong s các bài
tp đó có mt lng ln bài tp mà ta không th gii đc bng phng
pháp thông thng hoc có th gii đc nhng gp rt nhiu khó khn và
phc tp.
- Ta đã bit gia PT, BPT, HPT, HBPT và hàm s có mi liên quan rt
cht ch. Khi đnh ngha PT, BPT, ta cng da trên khái nim hàm s, nu ta
bit s dng hàm s đ gii các bài tp đó thì bài toán s đn gin hn. Tuy
nhiên không phi bài nào cng có th s dng hàm s đ gii nhng ng
dng đo hàm ca hàm s đ gii là rt ln, chính vì vy tôi chn đ tài sáng
kin kinh nghim là: "S dng phng pháp hàm s trong gii bài toán đi
s ".
II. Mc tiêu đ tài
- Trang b cho hc sinh thêm mt phng pháp hu hiu đ gii các bài

toán: Chng minh bt đng thc, gii phng trình, bt phng trình,
h phng trình, h bt phng trình
- Cung cp thêm phng pháp cho hc sinh và giáo viên trong dy và
hc toán.
III. Gi thuyt khoa hc
Nêu h thng hoá các kin thc liên quan cùng
vi vic đa ra phng pháp cùng ví d minh ha c th thì s giúp hc sinh
có thêm 1 phng pháp hay khi tìm li gii nhng bài toán đi s.
Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
2
ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích
IV. Bin pháp thc hin.
- Nghiên cu các tài liê, các sách tham kho, đ thi đi hc, cao đng,
các đ d b đi hc, đ thi th đi hc ca các trng…
- Gii thiu khong 6 tit cho hc sinh lp 12 và hc sinh ôn thi đi hc
V. Ni dung

I . Kin thc c bn
II. Phng pháp
. hàm s bin lun phng trình, bt phng trình
III. Các bài toán minh ha phng pháp hàm s
IV. Bài tp t luyn
NI DUNG
I. KIN THC C BN

1. y = f (x) đng bin / (a, b) ⇔
(
)
12
,

x
xab∀< ∈
ta có
(
)
(
)
12
f
xfx<
2. y = f (x) nghch bin / (a, b) ⇔
(
)
12
,
x
xab∀< ∈
ta có
(
)
(
)
12
f
xfx>
3. y = f (x) đng bin / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≥ 0 ∀x∈(a, b) đng thi ƒ′(x) = 0 ti
mt s hu hn đim ∈ (a, b).
4. y = f (x) nghch bin / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≤ 0 ∀x∈(a, b) đng thi ƒ′(x) = 0 ti
mt s hu hn đim ∈ (a, b).
5. Cc tr hàm s: Hàm s đt cc tr ti đim

(
)
k
x
xfx
′
=⇔ đi du ti đim


b

jjj
xxx
−
ε+ε
iii
xxx−ε +ε
a
x
k
x

Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
3
ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích

6. Giá tr ln nht và nh nht ca hàm s
• Gi s y = ƒ(x) liên tc trên [a, b] đng thi đt cc tr ti
()
1
, , ,
n
x
xab∈
.
[]
(
)
()
(
)
(
)
(
)
{
}
1
,
Max Max , , , , ;

n
xab
f
xfxfxfaf
∈
=Khi đó: b
[]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
1
,
M in M in , , , ,
n
xab
f
xfxfxfaf
∈
= b
• Nu y = f (x) đng bin / [a, b] thì
[]

(
)
(
)
[]
(
)(
,
,
Min ; Max
xab
xab
)
f
x
f
a
f
x
f
b
∈
∈
==

• Nu y = f (x) nghch bin / [a, b] thì
[]
(
)
(

)
[]
(
)(
,
,
Min ; Max
xab
xab
)
f
x
f
b
f
x
f
a
∈
∈
==

[
]
;ab
• Hàm bc nht
(
)
fx x=α +β
trên đon đt giá tr ln nht, giá tr nh

nht ti các đu mút a; b
Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
4
ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích

II. PHNG PHÁP HÀM S BIN LUN PHNG TRÌNH,
BT PHNG TRÌNH
1. Nghim ca phng trình u(x) = v(x) là hoành đ giao đim ca đ th
(
)
y
ux=
vi đ th .
(
)
y
vx=
2. Nghim ca bt phng trình u(x) ≥ v(x) là
α
β
b
x
a
v(x)
u(x)
phn hoành đ tng ng vi phn
đ th
(
)
y

ux=
nm  phía trên
.
so vi phn đ th
(
)
y
vx=
3. Nghim ca bt phng trình u(x) ≤ v(x) là
phn hoành đ tng ng vi phn đ th
(
)
y
ux=
nm  phía di so vi phn đ th .
(
)
y
vx=
4. Nghim ca phng trình u(x) = m là hoành đ
giao đim ca đng thng y = m vi đ th
(
)
y
ux=
.
5. BPT u(x) ≥ m đúng ∀x∈I ⇔
(
)
I

Min
x
ux m
∈
≥

a
b
x
y
=
6. BPT u(x) ≤ m đúng ∀x∈I ⇔
(
)
I
Max
x
ux m
∈
≤

7. BPT u(x) ≥ m có nghim x∈I ⇔
(
)
I
Max
x
ux m
∈
≥

8. BPT u(x) ≤ m có nghim x∈I ⇔
(
)
I
Min
x
ux m
∈
≤











Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
5
ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích

III. CÁC BÀI TOÁN MINH HA PHNG PHÁP HÀM S

Bài 1. Cho hàm s
()
2
23fx mx mx=+−
a. Tìm m đ phng trình ƒ(x) = 0 có nghim x∈[1; 2]
b. Tìm m đ bt phng trình ƒ(x) ≤ 0 nghim đúng ∀x∈[1; 4]
c. Tìm m đ bt phng trình ƒ(x) ≥ 0 có nghim x∈
[
]
1; 3−

Gii: a. Bin đi phng trình ƒ(x) = 0 ta có:
()
()
()
()
22
22
33
230 23
2
11
f
xmx mx mx x gx m
xx
x
=+−=⇔ +=⇔ = = =

+
+−
.
3
1
8
m
⇔
≤≤
 ƒ(x) = 0 có nghim x∈[1; 2] thì
[]
(
)
[]
(
)
1;2
1;2
Min Max
x
x
g
xm
g
x
∈
∈
≤≤
(
)

2
2mx xb. Ta có ∀x∈[1; 4] thì
(
)
2
23fx mx mx 0
=
+−≤ ⇔ 3
+
≤ ⇔
()
[]
2
3
,1;
4
2
gx m x
xx
=≥∀∈
+
[]

(
)
1;4
Min
x
g
xm

∈
⇔≥
.
()
()
2
3
11
gx
x
=
+−
[]
()
()
1;4
1
Min 4
8
x
g
xg m
∈
=
=≥Do gim trên [1; 4] nên ycbt ⇔
(
)
2
23mx x
+

≥c. Ta có vi x∈
[
thì
]
1; 3−
(
)
2
23f x mx mx 0
=
+−≥ ⇔ .
()
[
2
3
,1;
2
gx x
xx
=∈
+
t
]
3−
. Xét các kh nng sau đây:
+ Nu thì bt phng trình tr thành nên vô nghim.
0x = .0 0 3m
=
≥
+ Nu thì BPT

⇔
(
]
0;3x ∈
(
]
0;3x ∈
(
)
g
xm
≤
có nghim .
(
]
()
0;3x
M
in g x m
∈
⇔
≤
()
()
2
3
11
gx
x
=

+−
(
]
() ()
0;3
1
3
5
x
M
in g x g m
∈
⇔
==≤
Do gim /
(
nên ycbt
]
0;3
+ Nu thì nên BPT
[
)
1; 0x ∈−
2
2xx+<0
(
)
g
xm
⇔

≥
có nghim
[
)
1; 0x ∈−
()
(
)
()
[]
2
2
32 2
0, 1;0
2
x
gx x
xx
−+
′
=≤∀∈
+
[
)
(
)
1;0
M
ax g x m
−

⇔≥. Ta có − .
nghch bin nên ta có Do đó
(
)
g
x
[
)
(
)
(
)
1;0
13
M
ax g x g m
−
=
−=−≥
(
]
)
1
;3 ;
5
m
⎡
⇔
∈−∞− +∞
⎢

⎣
U
Kt lun: ƒ(x) ≥ 0 có nghim x∈
[
]
1; 3−

Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
6
ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích
3
3
1
32xmx
x
−
−+ −<
Bài 2. Tìm m đ bt phng trình: nghim đúng ∀x ≥ 1
()
32
34
112
32,13mx x x m x f x x
x
xx
⇔<−+∀≥⇔<−+= ∀≥
Gii: BPT
,1
.
()

52 5 2 2
42 2
42 4 2
222fx x x
xx x x x
−
⎛⎞
′
=+ − ≥ − = >
⎜⎟
⎝⎠
Ta có
0 suy ra tng.
(
)
f
x
() ()
()
1
2
3, 1 min 1 2 3
3
x
f
xmx fxf m
≥
⇔>∀≥⇔ ==>⇔>
YCBT
m

Bài 3. Tìm m đ bt phng trình
()
2
.4 1 .2 1 0
xx
mm m
+
+
−+−>
đúng x∀∈¡
Gii: t thì đúng
()
2
.4 1 .2 1 0
xx
mm m
+
+− +−>
2
x
t =>
x
∀
∈ ¡
0
()()
(
)
22

. 4 1. 10, 0 4141, 0mt m t m t m t t t t⇔+−+−>∀>⇔ ++>+∀>
()
2
41
,
41
t
0
g
tm
tt
+
⇔= <∀>
++
t
()
()
2
2
2
42
0
41
tt
gt
tt
−−
′
=
<

++
. Ta có nên
(
)
g
t
nghch bin
trên
[
suy ra ycbt ⇔
)
0; +∞
(
)
(
)
0
01
t
M
ax g t g m
≥
=
=≤
(
)
12 5 4
x
xx m x x
+

+= −+ −
Bài 4. Tìm m đ phng trình: có nghim.

()
12
54
xx x
f
xm
xx
++
⇔
==
−+ −
Gii: iu kin . Bin đi PT .
0x≤≤4
Chú ý: Nu tính ri xét du thì thao tác rt phc tp, d nhm ln.
(
)
f
x
′
() ()
3
1
12 0 0
2
212
gx xx x g x x
x

′
=++>⇒ = + >
+
Th thut: t
() ()
11
540
25 24
hx x x h x
xx
−
′
=−+−>⇒ = − <
−−

0

()
1
0
hx
>
và tng; > 0 và gim hay và tng Suy ra:
(
)
0gx>
()
hx
()
(

)
()
g
x
fx
hx
=
tng. Suy ra
(
)
f
xm
=
có nghim
⇒
[]
()
[]
() ()
()
[]
(
)
0;4
0;4
min ; max 0 ; 4 2 15 12 ;12mfxfxff
⎡
⎤
⎡⎤⇔∈ = = −
⎣

⎦
⎣⎦

(
3
32
31 1xx mxx+−≤ −−
)
Bài 5. Tìm m đ bt phng trình: có nghim.

()
3
1xx
Gii: iu kin . Nhân c hai v BPT vi
1
x
≥ 0
+
−>
ta nhn đc
()
()
()
3
32
31 1
f
xx x xx=+− +−≤
bt phng trình
m

.
() ()
()
3
32
31 ; 1gx x x hx x x=+ − = + −
t
() ()
()
2
2
11
360,1; 3 1
221
gx x x x hx x x
xx
⎛⎞
′′
=+>∀≥ = +− + >
⎜⎟
−
⎝⎠
Ta có
0
.
Do và tng ; và tng nên
(
)
0gx>
1

x
∀≥
(
)
0hx>
(
)
(
)
(
)
.
f
x
g
xhx=
tng
1
x
∀≥
Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
7
ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích
Khi đó bt phng trình
()
f
xm
≤
có nghim
(

)
(
)
1
min 1 3
x
f
xf m
≥
⇔
==≤

Bài 6. Tìm m đ
[
]
4, 6x∀∈−
()()
2
46 2
x
xx xm+−≤−+ nghim đúng

Cách 1. BPT
[
]
4, 6x∀∈−
() ( )( )
2
246
f

xx x x x⇔=−+++−≤m đúng
()
()()
()
()()
22
1
22 1 2 0
24 6 4 6
x
1
f
xx x x
xx xx
−+
⎛⎞
′
=− + + = − + = ⇔ =
⎜⎟
+− +−
⎝⎠

Lp bng bin thiên suy ra Max
[]
(
)
(
)
4,6
16

M
ax f x f m
−
=
=≤

()()
(
)
(
)
46
46
2
xx
txx
++−
=+ −≤ =
Cách 2. t 5
4x=− + +
.
Ta có
tx
. Khi đó bt phng trình tr thành
22
22
[]
()
[
]

22
24, 0;5 24 ; 0;5ttm t fttt mt≤− + + ∀ ∈ ⇔ = + − ≤ ∀ ∈ . Ta có:
(
)
[
]
;0;5ft m t
≤
∀∈ ⇔
(
)
210ft t
′
=+>
⇒
()
f
t
tng nên
[]
(
)
(
)
0;5
max 5 6
f
tf m
=
=≤

Bài 7. Tìm m đ
22
36183xx xxmm++ −− + − ≤ −+1
−
đúng
∀∈

[]
3, 6x

Gii:
()
()(
t
36txx=++−>0
)
2
2
36 9236txx x ⇒ x
=
++ − =+ + −
⇒
()() ()()
2
99 23693 618txxxx≤=+ + −≤+++−=
()()
()

22
1
18 3 3 6 9 ; 3;3 2
2
xx x x t t
⎡
⎤
⇒+−=+ −= −∈
⎣
⎦

() () () ()
2
3;3 2
9
1
; 1 0; 3;3 2 max 3 3
22
ft t t f t t t ft f
⎡⎤
⎣⎦
⎡⎤
′
=− + + = − < ∀ ∈ ⇒ = =
⎣⎦
Xét
ycbt
()
22
3;3 2

max 3 1 2 0 1 V m 2ft mm mm m
⎡⎤
⎣⎦
⇔ =≤ − +⇔ − −≥⇔ ≤− ≥


Bài 8. ( TSH khi A, 2007)
Tìm m đ phng trình
4
2
31 12 1xmx x++= −
có nghim thc.
−

Gii: K: , bin đi phng trình
1
x
≥
4
11
32
11
xx
m
xx
−−
⇔− + =
++
.
t 0

13

1
(
)
g
t
′
+ 0 –
(
)
g
t
0
13
– 1
[
)
4
4
1
2
10
11
x
u
xx
−
==−∈
++

t
,1
.
Khi đó
()
2
32
g
ttt=− + =m
Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
8
ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích
()
1
620
3
gt t t
′
=− + = ⇔ =
1
1
3
m
⇔
−< ≤
Ta có . Do đó yêu cu

Bài 9. ( TSH khi B, 2007): Chng minh rng: Vi mi , phng
0m >
trình

()
2
28 2xx mx+−= − luôn có đúng hai nghim phân bit.

x 2
+
∞
(
)
g
x
′
+
(
)
g
x
0

+
∞
Gii: iu kin: .
2x ≥
Bin đi phng trình ta có:
()() ()
26xx mx⇔− += −2
2

()() ()
22

26xx mx⇔− + = −
()
(
)
()
32 32
263202 V gx 632
x
xx m x xx⇔− + −− =⇔= =+ −=m
.
ycbt
(
)
g
xm⇔=
có đúng mt nghim thuc khong . Tht vy ta có:
(
)
2;
+
∞
(
)
(
)
340,gx xx x
′
=+>∀>2
. Do đó đng bin mà liên tc và
(

)
g
x
(
)
g
x
(
)
(
)
20;lim
x
ggx
→+∞
==+∞
nên
(
)
g
xm
=
có đúng mt nghim ∈ .
(
)
2;
+
∞
Vy , phng trình
0m∀>

()
2
28 2xx mx
+
−= − có hai nghim phân bit.





Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
9

Bài 10.
( TSH khi A, 2008)
Tìm
m
đ phng trình sau có đúng hai nghim thc phân
bit:
44
2 2 26 26
x
xxx+ + −+ −=m


Gii:
t
()
[
]

44
2 2 26 26 ; 0;6 fxxxxxx=++−+− ∈

Ta có:
()
() ()
()
33
44
11 1 1 1
,0;
2
26
26
fx x
xx
xx
⎛⎞⎛⎞
′
=− +− ∈
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
−
⎝⎠
6

t
()

()
()
()
()
33
44
11 11
;0
26
26
, xux vx
xx
xx
=− =− ∈
−
−
,6

(
)
(
)
()
() ()
() ()
()
,0,0,2
,6
(
)

220
,0,2
ux vx x
uv
ux vx x
⎧
>∀∈
⎪
⇒==
⎨
⎪
<∀∈
⎩

()
() 0, 0,2
() 0, 2,6
(2) 0
fx x
fx x
f
′
⎧
>∀∈
⎪
′
⇒<∀∈
⎨
⎪
′

=
⎩



x
0 2 6
()
f
x
′

+ 0 –
f(x)

32 6
+

4
12 2 3+
4
26 26+







Nhìn BBT ta có PT có 2 nghim phân bit

⇔
4
26 26 32 6m
+
≤< +


Bài 11. ( TSH khi D, 2007):
Tìm m đ h phng trình có nghim
33
33
11
5
11
15 10
xy
xy
xy m
xy
⎧
+++=
⎪
⎪
⎨
+
++ = −
⎪
⎪
⎩

Gii: t
11
;ux vy
x
y
=+ =+
ta có
(
)
(
)
3
3
3
11 11
33
x
xxxu
xxx
x
u
+
=+ −⋅ + =−

và
11 1 1 1
2. 2 ; 2.ux x x vy y
xx x y y
=+ = + ≥ = = + ≥ =2

Khi đó h tr thành
()
33
5
5
8
31510
uv
uv
uv m
uv uv m
+=
⎧
+=
⎧
⎪
⇔
⎨⎨
=
−
+− += −
⎪
⎩
⎩

⇔
u
là nghim ca phng trình bc hai
,v
()

2
58
f
tt t m
=
−+=
ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích
H có nghim
()
f
tm⇔=
có 2 nghim tha mãn
12
,tt
12
2; 2tt≥≥
.






Lp Bng bin thiên ca hàm s
(
)
f
t
vi
2t ≥

t
−∞
– 2 2 5/2 + ∞
()
f
t
′


–

–
0
+

()
f
t

+
∞

22


2

7/4
+
∞

Nhìn bng bin thiên ta có h có nghim
7
2 m 22
4
m
⇔
≤≤∨ ≥

Bài 12. ( 1I.2 B đ TSH 1987-2001):
Tìm x đ bt phng trình
(
)
2
2sin cos 10xxy y
+
++≥
đúng vi . y∀∈¡

Gii: t
sin cos 2, 2uy y
⎡⎤
=+∈−
⎣⎦
,
BPT
() ( )
()
()
2
2, 2

210,2,2Min
u
gu xu x u gu
⎡⎤
∈−
⎣⎦
⎡⎤
⇔= ++≥∀∈− ⇔ ≥
⎣⎦
0

Do đ th
()
yg
u=
là mt đon thng vi
2, 2u
⎡
⎤
∈−
⎣
⎦
nên
()
2, 2
Min 0
u
gu
⎡⎤
∈−

⎣⎦
≥
(
)
()
2
2
20 2210 2
22 1 0 2 1
20
gxxx
xx x
g
⎧
⎧⎡
−≥ − +≥ ≥+
⎪⎪
⇔⇔ ⇔
⎢
⎨⎨
1
+
+≥ ≤ −
⎢
≥
⎪
⎪
⎩⎣
⎩

Bài 13. Cho Chng minh rng:
abc
,, 0
3
abc
abc
≥
⎧
⎨
++=
⎩
222
4abc
+
++ ≥


Gii: BT ⇔+
() ()()
22
22
243 2a b c bc abc a a a bc 4+ − + ≥⇔+− +− ≥
0
() ( )
2
2265fu a u a a⇔=−+−+≥trong đó
(
)
()
2

2
1
03
24
bc
ubc a
+
≤= ≤ = −
.
Nh th đ th
()
yf
u=
là mt đon thng vi
()
2
1
0; 3
4
ua
⎡
⎤
∈−
⎢
⎥
⎣
⎦
. Ta có
()
(

)
()
(
)
()( )
2
22
2
3
11 1
02 6 52 0; 3 1 2
22 4 4
faa a f a aa=−+=−+≥ − =− +≥0
nên suy ra
()
0;fu≥
()
2
1
0; 3
4
ua
⎡⎤
∀∈ −
⎢⎥
⎣⎦
.
Vy . ng thc xy ra
222
4abcabc+++ ≥ 1abc

⇔
===
.
Bài 14. (IMO 25 – Tip Khc 1984):

Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
2
ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích
Cho . Chng minh rng:
,, 0
1
abc
abc
≥
⎧
⎨
++=
⎩
7
2
27
ab bc ca abc++− ≤
.

Gii:
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
12 1 12 1 12ab c abc a a abc a a au
f
u++−=−+−=−+−=

 th
(
)
(
)
(
)
12 1
yf
uaua==−+−a
vi
(
)
()
2
2
1

0
24
a
bc
ubc
−
+
≤= ≤ =
là mt đon thng
vi 2 giá tr đu mút
() ( )
()
2
1
7
1
01
24
aa
faa
⎡⎤
+−
=−≤ =<
⎢⎥
⎣⎦
27
và
()
(
)

()
(
)
(
)
2
2
32
77
11 111
1212
44 27433
fa aa aa−=−++=− + −≤
27

Do đ th
()
yf
u=
là mt đon thng vi
()
2
1
0; 1
4
ua
⎡
⎤
∈−
⎢

⎥
⎣
⎦
và
()
7
0
27
f <
;
()
(
)
2
7
1
1
42
fa−≤
7
nên
()
7
27
fu≤
. ng thc xy ra
1
3
abc
⇔

===

Bài 15. Chng minh rng:
(
)
(
)
24,abc abbcca+− ++ ≤∀
[
]
,, 0,2abc∈
.
+

Gii: Bin đi bt đng thc v hàm bc nht bin s a, tham s b, c ta có
(
)
(
)
(
)
[
]
2 2 4, , , 0,2f a b c a b c bc abc=−− + +−≤∀ ∈

 th
()
yf
a=
là mt đon thng vi

[
]
0, 2a ∈
nên
() ()
()
{
}
Max 0 ; 2fa f f≤

Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[]
0 4 2 2 4; 2 4 4 4, , , 0, 2f b c f bc f a abc=− − − ≤ =− ≤⇒ ≤∀ ∈

Bài 16. CMR:
(
)
(
)
(

)
(
)
[]
1111 1,,,,0,abcdabcd abcd−−−−++++≥∀ ∈1


Gii: Biu din bt đng thc v hàm bc nht bin s a, tham s b, c, d, ta có:
() ( )( )( )
[
]
()()( )
[
]
11 1 1 1 1 1 1, ,,, 0,1fa b c d a b c d b c d abcd=−−−− +−−−+++≥∀ ∈
 th
(
)
[
,0,yfa a=∀∈
]
1
là mt đon thng nên
[]
(
)()
()
{
}
0,1

Min Min 0 , 1
a
fa f f
∈
=
Ta có
(
)
[
]
111,,,fbcd bcd=+++≥∀ ∈0,1

() ( )( )( ) () ( )( )
[
]
()()
01 1 1 11 1 1 1
f
bcdbcdgb cdb cdc=− − − +++⇔ =−− − +− − ++d
 th
(
)
[
,0,ygb b=∀∈
]
1
là mt đon thng nên
[]
(
)

(
)
()
{
}
0,1
Min 0 , 1
b
gb Ming g
∈
=
Ta có
()
() ( )
(
)
111;011 1gcd g cdcdcd=+ +≥ = − − ++ =+ ≥1
]
0,1

⇒ . Vy
() ()
[
01,fgbb=≥∀∈
(
)
1fa≥
hay ta có (đpcm)

 gii các bài toán dng trên có bài ta gii đc bng nhiu phng pháp

khác nhau , cng có bài ch có th gii đc bng phng pháp s dng tính đn
điu ca hàm s.S dng tính đn điu ca hàm s đ gii toán là mt phng
pháp hay.  s dng phng pháp này,điu ct yu là chúng ta cn xây dng
mt hàm s thích hp ,ri nghiên cu tính đng bin ,nghch bin ca nó trên
đon thích hp.Các hàm s y trong nhiu trng hp có th nhn tra ngay t
đu ,còn trong các trng hp đc bit ta cn khôn khéo đ phát hin ra chúng .
Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
3
ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích








IV. BÀI TP T LUYN:
Bài 1: Gii các phng trình và bt phng trình sau:
a. = x
)3x(log
5
2
+
b. 2log
3
(tgx) = log
2
(sinx)
c.

x
1
2
1
22
22
2
x
x21
x
x1
−=−
−=

d. 2
x
=
2
x
3 + 1
e.
xcos3
2
x
=
Bài 2: Tìm m đ bt phng trình sau có nghim
1m1x1x
2
+≤++−
Bài 3: Tìm m đ phng trình sau có nghim

xsinxcosxsin
222
3.m32 =+
Bài 4: Tìm m đ bt phng trình sau nghim đúng vi mi x
∈
R:
(
01m2.24)1m
xcosxcos
22
>+++−
Bài 5: Cho phng trình:
m
3x
1x
)3x(4)1x)(3x( =
−
+
−++−

a. Gii phng trình vi m = 3
b. Tìm m đ phng trình có nghim
c. Tìm m đ phng trình có nghim x
[
)
∞
+
∈
;4
d. Tìm m đ phng trình có nghim x

[
]
5;4
∈

Bài 6: Cho bt phng trình:
04.m6).1m2(9.m
xx2xx2
2x
2
x22
≥++−
−−
−
Tìm m đ bt phng trình nghim đúng vi mi x tho mãn
2
1
x ≥

Bài 7: Cho phng trình:
3m
)8x4(log
)2x.(2)2x(
2
−=−
−
a. Gii PT khi m = 2
b. Tìm m đ phng trình có 2 nghim tho mãn:
4xx
2

5
21
≤≤≤


Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
4
ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích









KT LUN

Xut phát t mc đích, nhim v ca đ tài, bn đ tài SKKN đã đ cp đn
nhng vn đ chính sau :
- Cung cp các kin thc c bn liên quan đn phng pháp
- a ra các ví d minh ha tng ng
- Bài tp áp dng
Sau khi đc rèn luyn h thng kin thc trên,các em hc sinh đã mnh
dn hn ,linh hot hn trong vic dùng s dng phng pháp hàm s đ gii
toán .Cái hay ca cách gii này là s dng linh hot tính đn điu ca hàm s đ
chng minh bt đng thc ,gii phng trình, gii bt phng trình, gii h
phng trình .
- Tránh đc vic bin lun theo tham s  mt s bài toán ht sc phc tp.

- Tránh phi xét nhiu trng hp  mt s bài toán.
- Tránh vic bình phng hai v d dn đn sai sót ,tha nghim và tránh vic
gii phng trình bc cao.
Trên đây là mt s ng dng mà theo tôi là hay gp trong khi gii phng
trình và bt phng trình. Rt mong các thy cô và các đng chí góp ý đ bài
vit đc hoàn thin hn.


Xác nhn ca nhà trng

Ngi vit

Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
5
ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích





Phm Hng Lan

TÀI LIU THAM KHO

1. Sách giáo khoa gii tích 12 c bn.
2. Sách bài tp gii tích 12 c bn.
3. Sách giáo khoa gii tích 12 nâng cao.
4. Sách bài tp gii tích 12 nâng cao.
5. Báo Toán hc và tui tr
6.  thi i hc t nm 2002-2010

7.  d b i hc t nm 2002-2009
























Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
6