nghiên cứu sự hội tụ của dv - amart

Website: Email : Tel : 0918.775.368
Mục lục
Trang
Lời nói đầu 2
Chơng I::Những kiến thức chuẩn bị: 4
I. Các khái niệm cơ bản 4
II. Một số kết quả: 8
Chơng II: Amart: 11
I. Sự hội tụ của Amart 11
II. Tính ổn định của Amart 15
III. Khai triển Riesz của Amart 18
Chơng III: D
v
Amart: 23
I. Xây dựng không gian D
v
23
II. Sự hội tụ của D
v
- Amart 25
Chơng IV: Amart điều kiện: 44
I. Một số khái niệm và kết quả liên quan 44
II. Các định lý đặc trng cho sự hội tụ hầu chắc chắn 47
Kết luận 63
Tài liệu tham khảo 64
Lời nói đầu
Từ những thập niên đầu của thế kỷ XX, lý thuyết xác suất đã đợc phát triển
mạnh mẽ. Một trong những hớng nghiên cứu mới của nó là lý thuyết các quá
trình ngẫu nhiên. Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên nói chung và lý thuyết
Martingale nói riêng trở thành những bộ phận không thể thiếu đợc của lý thuyết
xác suất. Theo Doob và Never, đó là những công cụ hữu hiệu đợc áp dụng rộng

rãi trong nhiều ngành toán học hiện đại và trong thực tế.
1
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Việc nghiên cứu sự phụ thuộc giữa các đại lợng ngẫu nhiên trong lý thuyết
xác suất đợc thực hiện bằng nhiều phơng pháp khác nhau. Chẳng hạn, trong quá
trình dừng (theo nghĩa rộng) sự phụ thuộc của dãy các đại lợng ngẫu nhiên đợc
nghiên cứu thông qua hàm tơng quan. Đối với quá trình Markov, đặc trng cơ bản
của sự phụ thuộc là hàm xác suất chuyển. Đối với quá trình Martingale, sự phụ
thuộc đợc nghiên cứu dựa trên tính chất của kỳ vọng điều kiện.
Một trong những hớng nghiên cứu cơ bản của lý thuyết Martingale là các
định lý giới hạn của các quá trình ngẫu nhiên.
Trong luận văn này chúng ta nghiên cứu về sự hội tụ và sự khai triển Riesz
của Amart và sự mở rộng trên các lớp tổng quát hơn: D
v
- Amart và Amart điều
kiện:
Luận văn gồm bốn chơng:
Chơng I: Những kiến thức chuẩn bị:
I. Các khái niệm cơ bản
II.Một số kết quả
Chơng II: Amart :
I. Sự hội tụ của Amart
II. Tính ổn định của Amart
III. Khai triển Riesz của Amart
Chơng III: D
v
- Amart:
I. Xây dựng không gian D
v

II.Sự hội tụ của D
v
- Amart
Chơng IV: Amart điều kiện:
I. Một số khái niệm và kết quả liên quan
II.Các định lý đặc trng cho sự hội tụ hầu chắc chắn
Do có những khó khăn nhất định về tài liệu tham khảo và khả năng còn hạn
chế nên không tránh khỏi những sai sót, tác giả mong thầy cô và bạn đọc thông
cảm góp ý thêm.
2
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi nhận đợc sự giúp đỡ tận tình của thầy
Nguyễn Hắc Hải và các thầy trong tổ Toán ứng dụng - Khoa toán tin - Trờng đại
học S phạm Hà Nội để hoàn thành bản luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Hắc Hải và các thầy cô giáo ./.
3
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Chơng I. Những kiến thức chuẩn
bị
I. Các kháI niệm cơ bản
Định nghĩa I.1.1: Phần tử ngẫu nhiên.
Giả sử không gian xác suất (, , P); (E, ) là không gian Mêtric đầy đủ,
khả ly.
Một ánh xạ đo đợc từ E đợc gọi là phần tử ngẫu nhiên, ký
hiệu là X.
Khi đó : X: E sao cho X
-1
(B) , với mọi B .
Khi E = R (E = R
n

) ta có X là biến ngẫu nhiên hay vectơ ngẫu nhiên.
Giả sử {X
n
}
n

N
là dãy các đại lợng ngẫu nhiên tơng thích với họ {
n
},
nghĩa là X
n
đo đợc đối với
n
với mọi n.
Khi đó ta nói rằng: {(X
n
,
n
)}
n

N
tạo thành dãy ngẫu nhiên.

Định nghĩa I.1.2: Thời điểm dừng bị chặn.
ánh xạ : N
() thoả mãn 2 điều kiện:
(i)
P[() < ] = 1

(ii)
[:() = n ] = [=n]
n
đợc gọi là điểm dừng bị chặn.
Trong đó:
n
là họ tăng các - đại số con của .
Ký hiệu: T = tập các thời điểm dừng bị chặn.
Với T, ta xác định: X

: E
X

() = X

(

)
()



= {B : B [=n]
n
} là - đại số trên
4
Website: Email : Tel : 0918.775.368


là - đại số con của

X

là biến ngẫu nhiên X

là

- đo đợc.
Chứng minh:
+ F

là - đại số:
Với mỗi T:

= {B : B [ = n]
n
}
a.
[ = n] = [ = n]
n


(vì là - đại số)
[ = n] =
n


b.
A

A

c
= \A
Xét A
c
[ = n] = (\A) [ = n] = ( [ = n]) \ (A [ = n])
n
A
c


c.
{A
i
}
i

I
mà A
i


, A
i
A
j
= , với mọi i j
[ ]

i
i

i
i
nn === ])[(


n



i
i



Vậy

là - đại số trên .
+ X

là biến ngẫu nhiên:
Với a R
1
, ta phải chứng minh: [ X

< a]
n
.
Ta có: [X

< a] [ = n] = [X

n
< a] [ = n]
n

X
n
là biến ngẫu nhiên [X
n
< a]
n
là thời điểm dừng nên [ = n]
n
[X

< a]
n
X

là biến ngẫu nhiên.
5
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Định nghĩa I.1.3: Dãy dự báo.
Dãy ngẫu nhiên (X
n
,
n
)
n

N

đợc gọi là dãy dự báo nếu với mỗi n N thì các
biến ngẫu nhiên X
n
là
n

-1
- đo đợc, ở đó
0
=
1
.
Định nghĩa I.1.4: Martingale (Sub Martingale).
Dãy ngẫu nhiên (X
n
,
n
)
n

N
gọi là Martingale (Sub Mart) nếu với mọi n 1
các điều kiện sau thoả mãn:
(i) E(|X
n
|) < +
(ii) E(|X
n+1
|
n

) = X
n
(E(X
n+1
/
n
) X
n
) (a.s)
Định nghĩa I.1.5: Khả tích đều.
Dãy ngẫu nhiên (X
n
)
n

N
tơng thích với họ {
n
}
n

N
đợc gọi là khả tích đều
nếu:
{ }
0

>

c

cX
n
dPXSup
n
hay:
[ ]
( )
0.

>
c
cX
n
n
IXSupE
Định nghĩa I.1.6: T - Khả tích đều.
Dãy ngẫu nhiên (X
n
)
n

N
tơng thích với họ {
n
}
n

N
đợc gọi là T - khả tích đều
nếu: {EX

}



T
là khả tích đều.
Nghĩa là: với mọi > 0,


0
sao cho: sup E(|X

|.I
[
|
Xn
|
>

]
) < với mọi >
0
.
Định nghĩa I.1.7: Hội tụ theo xác suất.

XX
P
n

nếu

> 0: lim P[|X
n
-X| ] = 1
n n
Định nghĩa I.1.8: Hội tụ hầu chắc chắn.
6
Website: Email : Tel : 0918.775.368

XX
sa
n

.
nếu P[ : lim X
n
()=X()] = 1
n n
Định nghĩa I.1.9: Hội tụ theo luật.
XX
D
n

nếu P
Xn
P
X
n

Định nghĩa I.1.10: Hội tụ căn bản theo luật.
XX
ED
n

nếu với mọi tập X - liên tục A ta có:
n
P(lim sup [X
n
A]) = P(lim inf [X
n
A]) = P(X A)
n n
(tập A đợc gọi là X - liên tục nếu P[X A] = 0. A là biên của tập A, A )
Mêtric Levy Prokhorop xác định trên tập P
E
gồm tất cả các độ đo xác
suất trên (E, ) nh sau:
L(P
X
, P
Y
) = inf { : P
X
(A) < P
Y
(A

) + ; P
Y

(A) < P
X
(A) + , A }
Trong đó: P
X
là phân phối xác suất của phần tử ngẫu nhiên X
P
X
(B) = P[X B], B
A


= {x E; (x,A) < }
Ngời ta có thể viết: L(X,Y) = L(P
X
, P
Y
)
Định nghĩa I.1.11: Hội tụ ngẫu nhiên theo luật.
XX
D


nếu

> 0,


0
T, T, >

0
: L(X

, X) < (a.s)

Định nghĩa I.1.12: Hội tụ vô hớng.
Dãy
{ }

=
1n
n
X
đợc gọi là hội tụ vô hớng (a.s) đến X nếu mọi toán tử tuyến
tính liên tục f, f E
*
thì : f(X
n
) f(X).
Trong đó : E
*
là không gian Banach đối ngẫu của E.
7
Website: Email : Tel : 0918.775.368
II. Một số kết quả
Bổ đề I.2.1.
Nếu dãy các phần tử ngẫu nhiên {X
n
}
n

N
hội tụ theo xác suất tới phần tử
ngẫu nhiên X thì tồn tại một dãy con (n
k
) sao cho dãy
{ }

=
1k
n
k
X
hội tụ a.s tới X
khi k
Bổ đề I.2.2.
Dãy các phần tử ngẫu nhiên
{ }

=
1n
n
X
hội tụ a.s tới phần tử ngẫu nhiên X nếu
với mọi dãy {
n
} T,
n
(a.s) ta có: {X

n
}

=
1n
hội tụ a.s tới X khi n
Bổ đề I.2.3.
Giả sử {X
n
}
n

N
là một Amart L
1
- bị chặn
Khi đó:
(i)
<


Xsup
(ii)



XX
n
Nn

>

supsup.
(iii)
<

n
Nn
Xsup
(a.s)
Bổ đề I.2.4.
Giả sử {X
n
}

=
1n
là dãy các phần tử ngẫu nhiên, X là phần tử ngẫu nhiên.
Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
(i)

nXX
ED
n

,
(ii)
TXX
D



,
(ii)

nXX
sa
n
,'
.
Trong đó: X là phần tử ngẫu nhiên nào đó, sao cho P
X
= P
X
Bổ đề I.2.5.
8
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Giả sử {X
n
}

=
1n
là dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian
Banach E.

Khi đó:
XXnXX
vohuong
n
sa
n

,
.
(a.s), n
Và tập {X
n
()} là compact tơng đối (a.s)
Bổ đề I.2.6.
Giả sử {X
n
}
n

N
là dãy các phần tử ngẫu nhiên và X là phần tử ngẫu nhiên.
Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
(i)
1]),(sup[lim =<
>

XXP
m
nm
n

(ii) Với mọi dãy (
n
),
n
T,
n
n, n N, ta có:
1]),(sup[ =<XXP
n
n


Bổ đề I.2.7.
Giả sử {X
n
,
n
}
n

N
và {Y
n
,
n
}
n

N
là Amart L

1
- bị chặn.
Khi đó: {X
n
Y
n
,
n
}
n

N
và {X
n
Y
n
,
n
}
n

N
cũng là Amart L
1
- bị chặn.
Chơng II. Amart
Martingale tiệm cận (Amart) đợc mở rộng trực tiếp từ khái niệm martingale:
Dãy ngẫu nhiên {X
n
,

n
}
n

N
gọi là Amart nếu lới (EX

)



T
hội tụ.
I. Sự hội tụ của Amart:
Bổ đề II.1.1.
Giả sử Y là biến ngẫu nhiên


- đo đợc sao cho với mọi : Y() là
điểm dính của dãy {X
n
()}
n

N
.
Khi đó tồn tại dãy thời điểm dừng (
n
)
n

N
,
n
T
N
, với
n+1

n
và
n
n
sao cho:

nYX
sa
n
,
.

9
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Chứng minh:
Lấy n
0
và > 0, tồn tại n n
0
và biến ngẫu nhiên Y sao cho Y là
n

-
đođợc và:
3
1
3
'

>







YYP
Vì Y() là điểm dính của dãy {X
n
()}
n

N
nên:
( ) ( ) ( ) ( )

',
3
2':
3
': nnYXYY
n




và tồn tại n n sao cho
( )
3
21

>
AP
Trong đó:
( ) ( )

=
''',
3
2': nnnYXA
n


Ta xác định thời điểm dừng :
=







3
2
)(')(''':min


YXvannnn
n
nếu A
n nếu A
Do Y là

- đo đợc và

=
(

Nn

n
)
Y là
n
- đo đợc với mọi n N [ = n]
n
, với mọi n N
T
N
( )




=+






>+

>>
33
2
3
'
3
2
' YYYXYX




,YX
P

Theo bổ đề I.2.1. tồn tại dãy (
n
) T
N
sao cho

nYX
sa
n

,
.

bổ đề đợc chứng minh.
Định lý II.1.2.
10
Website: Email : Tel : 0918.775.368
{X
n
,
n
}
n

N
là dãy ngẫu nhiên và
<

n
Nn
XEsup
Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
(i) X
n
hội tụ a.s với n
(ii) (X
n
)
n

N
là Amart.
Chứng minh:
(i) (ii)
Giả sử

nYX
sa
n
,
.
Chọn (
n
)
n

N
là dãy thời điểm dừng bị chặn tăng tới vô hạn khi n
Khi đó:

nYX
sa
n
,
.

và
n
N
XX

n
sup


<
n
XEXE
n
sup

( )
Nn
nn
EXnEXEX



,
là hội tụ
Vì dãy {
n
} chọn bất kỳ (EX

) hội tụ (X
n
)
n

N
là Amart

(ii) (i):
Đặt
n
n
n
n
XXXX inflim,suplim
*
*

==
X
*
và X
*
là điểm dính.
Theo bổ đề II.1.1. tồn tại 2 dãy thời điểm dừng bị chặn {}
n

N
và {
n
}
n

N
sao cho: X

n
X

*
và X

n
X
*
a.s, n
Mặt khác:
n
n
XXXXX
nnnn
sup2
+

Qua giới hạn dới dấu tích phân (vì
<
n
n
XEsup
):
( )
( )
0lim0
*
*
==

nn
XXEXXE

n

(do {X
n
} là Amart)
E (X
*
- X
*
) = 0 X
*
= X
*

(a.s)
Theo bổ đề Fatou:

nXX
sa
n
,
.
Định lí đợc chứng minh.
11
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Định lí II.1.3.
Giả sử {X
n
,
n

}
n

N
là Amart và X
n
là L
1
- bị chặn, khi đó X
n
hội tụ (a.s) khi
n
Chứng minh:
Lấy > 0 và đặt Y
n
= - X
n
, n N.
Theo bổ đề I.2.7 {Y
n
,
n
}
n

N
là Amart bị chặn đều.
Theo định lý II.1.2. Y
n
hội tụ (a.s) khi n

Mặt khác:
{ }






>=

n
n
nn
XXY sup:
Theo bổ đề I.2.3: có thể chọn đủ lớn sao cho:



XXP
n
n
supsup






>

<






>
n
n
Xsup
[ ]

<
nn
YXP
X
n
hội tụ a.s khi n
Định lí đợc chứng minh.
Định lí II.1.4.
Giả sử {X
n
,
n
}
n

N
là T - khả tích đều.

Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
(i) X
n
hội tụ a.s khi n
(ii) {X
n
,
n
}
n

N
là một Amart
Chứng minh:
(i) (ii).
Giả sử

nXX
sa
n
,
.
Chọn (
n
)
n

N
là dãy tăng các thời điểm dừng bị chặn
12

Website: Email : Tel : 0918.775.368

nXX
sa
n
,
.

{ }

=

1n
n
X

là khả tích đều.

nEXEX
sa
n
,
.

Vì
{ }
Nn
n
X

là khả tích đều và chọn (
n
) bất kỳ nên (EX

) hội tụ
{X
n
,
n
}
n

N
là một Amart.
(ii) (i):
Giả sử {X
n
,
n
}
n

N
là một Amart
{ } { }
{ }
n
aXaX
IIXIX

=
>>




{ } { }
aX
n
aX
n
IXEIEX
>>
>
.sup.sup


{X
n
}
n

N
là T khả tích đều. {X
n
}
n

N
là L

1
- bị chặn.
Theo định lý II.1.3.

nXX
sa
n
,
.
Định lí đợc chứng minh.
II. tính ổn định của amart.
Trong phần này vấn đề cơ bản cần phải giải quyết là:
Cho {X
n
,
n
}
n

N
là một Amart và một hàm : R R. Với điều kiện nào của
hàm thì {(X
n
),
n
}
n

N
là một Amart ?

Câu trả lời khẳng định cho những trờng hợp: (x) = |x|, x
+
, x
-
với điều kiện
{X
n
}
n

N
là L
1
- bị chặn đã đợc nêu trong bổ đề sau:
Bổ đề II.2.1.
Giả sử {X
n
}
n

N
là L
1
- bị chặn.
Nếu{X
n
,
n
}
n

N
là một Amart thì {
+
n
X
,
n
}
n

N
, {

n
X
,
n
}
n

N
, {
n
X
,
n
}
n

N
cũng là Amart.
13
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Bây giờ chúng ta nghiên cứu các điều kiện đủ của hàm để kết luận trên vẫn
đúng.
Định lý II.2.2.
Giả sử {X
n
,
n
}
n

N
là một Amart và {X
n
}
n

N
là L
1
- bị chặn.
Hàm : R R sao cho:
(i) liên tục
(ii)
x
x
x

)(
lim


và
x
x
x
)(
lim


tồn tại hữu hạn
Khi đó {(X
n
),
n
}
n

N
là Amart L
1
- bị chặn
Chứng minh:
a. Trớc hết ta giả sử rằng X
n
0, (0) = 0,
x
x

x
)(
lim


= 0.
Giả sử {X
n
,
n
}
n

N
là một Amart và {X
n
}
n

N
là L
1
- bị chặn.
Theo định lý II.1.3.
X
n
hội tụ a.s khi n (X
n
) hội tụ a.s khi n
liên tục

Ta phải chứng minh {(X

)}



T
là khả tích đều.
Thật vậy: từ
x
x
x
)(
lim


= 0


<
x
x)(
với x > M
liên tục bị chặn |(x)|
0
với 0 x M.
{ } { } { }
[ ]
<++>
+=

>>>>














EXXEAEXAXP
IXEIXEIXE
MXAXMXAXAX
sup)(sup )(.
.)(.)(.)(
1
00
,)(,)()(
{ }

EXIXE
AX
A
sup.)(suplim
)(

>

có thể chọn nhỏ tuỳ ý {(X

)}



T
là khả tích đều.
14
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Theo định lý II.1.4 {(X
n
),
n
}
n

N
là Amart.
b. Giả sử rằng X
n

0, (0) = 0,
x
x
x
)(
lim


= 0
Đặt (x) = (x) - (x)
0
)(
lim
=

x
x
x

và (0) = 0.
Theo chứng minh (a) { (X
n
),
n
}
n

N
là Amart.
Do tính chất tuyến tính {(X

n
),
n
}
n

N
là Amart.
c. Bây giờ giả sử rằng chỉ có (0) = 0
Từ {X
n
,
n
}
n

N
là một Amart {
+
n
X
,
n
}
n

N
, {

n

X
,
n
}
n

N
là những Amart
không âm.
Theo chứng minh (b) { (
+
n
X
),
n
}
n

N
, { (

n
X
),
n
}
n

N
là Amart.

{
1
(X
n
),
n
}
n

N
cũng là Amart.
Trong đó:
1
(x) = (-x),

x R
(X
n
) = (
+
n
X
) + (

n
X
) ((0) = 0)
{(X
n
),

n
}
n

N
là Amart.
d.
Cuối cùng nếu (0) 0
Đặt (x) = (x) - (0) (0) = 0
Theo chứng minh (c) { (X
n
),
n
}
n

N
là Amart
{ (X
n
),
n
}
n

N
là Amart
Định lí đợc chứng minh.
Nếu bỏ điều kiện (ii) trong định lý II.2.2 ta có kết quả sau:
Định lý II.2.3

Giả sử {X
n
,
n
}
n

N
là một Amart.
15
Website: Email : Tel : 0918.775.368
: R R là hàm liên tục sao cho
x
x
x
)(
lim


và
x
x
x
)(
lim


không tồn tại hữu
hạn.
Nếu {X

n
}
n

N
là L
1
- bị chặn và {(X

)}



T
là khả tích đều thì {(X
n
),
n
}
n

N
là Amart L
1
- bị chặn.
Chứng minh:
Theo định lý hội tụ của Amart:
X
n
hội tụ a.s khi n

liên tục (X
n
) hội tụ a.s khi n
{(X
n
),
n
}
n

N
là Amart.
Định lí đợc chứng minh.
III. Khai triển Riesz của Amart :
Năm 1953 Doob đã thành công trong việc chứng minh định lý khai triển đối
với Sub Martingale. Từ đó, nhiều nhà toán học đã tìm cách mở rộng định lý đó
theo nhiều hớng khác nhau. Một trong những hớng đó là sự khai triển của Amart.
Bổ đề II.3.1.
Giả sử {X
n
,
n
}
n

N
là một Amart và số > 0.
Khi đó

0
T sao cho: E|X

- E(X

|

)| ,
0

và lới E(X


|

)

T
là hội tụ trong L
1
,

T.
Chứng minh:
+ {X
n
,
n
}
n

N
là một Amart lới E(X

)

T
là hội tụ
Chọn
0
T sao cho
2



EXEX
,
0
,


Với T,
0
và

A

ta xác định thời điểm dừng:
trên A
= trên A

c
16
Website: Email : Tel : 0918.775.368
[
|(EI
A

XEX




]

XX
AA
EIEI)
=
=
).(I).E(I
AA

XIXEXIX
AA
c
++
=
2

EXEX
Chọn A =
{
X

- E
(
X



)
0
}
.

XEX (E



)
[
(

XEEI
A
= X

)
] [
(

XEXEI
c
A
+


)
]


=+
22
E|X

- E(X

|

)| ,
0
.
+ Lới E(X


|

)

T
là hội tụ trong L
1
,

T.
Ta phải chứng minh:
(

XEE


) (

XE



)



Thật vậy:
Với
0
,

E(X


|

) = E(E(X

|

)|

)
E|E(X


|

) - E(X


|

)| = E|E[E(X

- X

|

)|

]|
= E|E[X

- E(X


|

)

]|
E|X

- E(X


|

)|
E(X


|

)

T
là hội tụ trong L
1
,

T.
Định lí đợc chứng minh.
Định lý II.3.2. (định lý khai triển Riesz)
Giả sử {X
n
,
n
}
n

N
là một Amart.
Khi đó X
n
có thể khai triển một cách duy nhất dới dạng: X
n
= Y
n
+ Z
n
.
17
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Trong đó {Y

n
,
n
}
n

N
là martingale.
{Z
n
,
n
}
n

N
là Amart T - khả tích đều.
Hơn nữa:
0
.

sa
n
Z
trong L
1
.
Chứng minh:
+ Với T tuỳ ý, theo bổ đề II.3.1 lới (E(X

|

))

T
là hội tụ trong L
1
tới
Y

.
nghĩa là:

> 0,


0
T sao cho: E|(Y


-E(X

|

))| < ,


0

Cố định T, ta xác định: Y

= E(Y

|

) với T.
Giả sử và >
0

Khi đó: E|Y

- E(Y

|

)| = E|Y

- E(X


|

)+ E(X


|

)- E(Y

|

)|
E|Y

- E(X


|

)|+ E|E(X


-Y

|

)|
+ E|E(X


-Y

)|

|

|
+ E|E(X

|

)-Y

| 2
Y

= E(Y

|

),
{Y
n
,
n
}
n

N
là martingale
Đặt Z
n
= X
n
- Y
n
{Z
n

,
n
}
n

N
là Amart.
+ Z
n
là T -khả tích đều:
Thật vậy với > 0, chon
0
và
0
sao cho bổ đề II.3.1 thoả mãn đối
với (Z

)



T
và (Y

)



T
E|Y

- E(X


|

)|
E(Z


|

) = E((X


- Y

)|

) = E(X


|

) Y


[ ]

ZEIZE
Z

>
.
= E|Z


- E(Z


|

) + E(Z


|

)|
E|Z


- E(Z


|

)| + E|E(X

|

)-Y

|
18
Website: Email : Tel : 0918.775.368
+ = 2 , với


(Z

)



T
là T - khả tích đều
+ Khai triển là duy nhất:
Giả sử:
)2()2()1()1(
nnnnn
ZYZYX
+=+=
Khi đó:
{
)2()1(
nn
YY

,
n
}
n

N
là sub martingale

)2()1(
nn
YYE

là dãy tăng,

n .

0
)2()1()2()1()2()1(
+=

n
nnnnnn
ZEZEZZEYYE

)2()1(
nn
YY
=
a.s ,

n

)2()1(
nn
ZZ
=
a.s ,

n
Định lí đợc chứng minh.
19
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Chơng III: D
v
- amart
I. Xây dựng không gian D
v
:
- Ký hiệu I = tập hợp các hàm v liên tục, đơn điệu giản, xác định trên [0, +)
sao cho:
(i)
0)(lim
=
+


v
;
+=

)(lim
0


v
(ii) Tồn tại [0, 1] sao cho:
+<=
>



Cvv )(/)(sup
0
- Đối với biến ngẫu nhiên X trên không gian xác suất (, , P),
cố định v I ta định nghĩa hàm
v
.
:







>==
>


)(/)(sup),(:inf

0
vXPXJX
def
v
v
Dễ thấy:
00
==
XX
v
a.s trên

vvv
YXYX
++
Định nghĩa III.1.1: Không gian D
v
.
- Biến ngẫu nhiên X thuộc không gian D
v
nếu:
0
)(
)(
lim =
>

v
XP
Hiển nhiên nếu X D
v
thì:
+<
v
X
- Nếu S (,) = Tập hợp các biến ngẫu nhiên bị chặn hầu khắp nơi trên
thì ta sẽ có: S (,) =

Iv
v
D

Ta nhận thấy D
v
là một không gian Metric đầy đủ khả ly và sự hội tụ trong
không gian này mạnh hơn sự hội tụ theo xác suất.
Định nghĩa III.1.2: D
v
- Amart.
20
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Dãy biến ngẫu nhiên (X
n
)
n

N

tơng thích với họ (
n
)
n

N
đợc gọi là D
v
-
Amart nếu với X
n
D
v
, v I, n 1 và với bất kỳ > 0, tồn tại một thời điểm
dừng
0
T sao cho
Với , >
0
, , T ta có:



v
XX
Nhận xét: Amart D
v
- Amart.
Ví dụ: Dãy biến ngẫu nhiên là D
v

- Amart nhng không phải là Amart:
Lấy = [0, 1]
X
2n
= 0
X
2n + 1
= 2n với [0, 2
-n
]
0 với [0, 2
-n
]
P: độ đo Lebegue.
Ta thấy rằng: X
n
0;
1

n
X
,
0lim
=
+
n
n
X
(a.s) trên .
(EX

)



T
không hội tụ {X
n
}
n

N
không phải Amart.
Với bất kỳ hàm v I luôn có:
0
)(
)(
lim
=
>




v
XP
n
{X
n
}

n

N
D
v
, n = 1,
Từ định nghĩa {X
n
}
n

N
suy ra:
)/2(2
1
)/2(
2
)(
).(
sup
0



nnn
n
n
vvv
XP
==

>

>
Chọn hàm v I sao cho:
[ ]
+<


=

1
0
)2(.2
n
nn
v
(3.1)
Điều này đúng với
2
1
)(

=

v
Lấy T

M, K N sao cho M K
Vậy với > 0 cố định thì:
21

Website: Email : Tel : 0918.775.368
[ ]
{ }

=
=
>=
>
K
Mn
nn
IXP
v
XP





.
)(
.
][.
/ v()

[ ]

==

>

K
Mn
nn
K
Mn
n
vv
XP
)/2(.2
1
)(


=
[ ]
1
)
2(.2.
)/2(
)2(
.
)2(.2
1

==


K
Mn
nn

K
Mn
n
n
nn
vC
v
v
v


Giả thiết rằng:
0suplim
>


v
T
X
Khi đó từ định nghĩa
v
.
và từ điều kiện (3.1) ta nhận đợc:
[ ]
[ ]
0)2(.2
)(
0
1

>
<<

=

K
Mn
nn
vC
v
XP





, M +
Điều này không thể xảy ra.
Nh vậy giả thiết là không đúng.
Vậy
0

v
X

, +
(X
n
,
n

)
n

N
là D
v
- Amart với v I thoả mãn điều kiện (3.1).
II. Sự hội tụ của D
v
- Amart.
Định lý III.2.1: (Tính hội tụ làm trội trong D
v
).
Cho {X
n
}
n

N
là dãy biến ngẫu nhiên hội tụ tới X (a.s) trên
và Y D
v
: |X
n
| Y (a.s) trên
Khi đó: X, X
n
D
v
, n 1 và:

0lim
=

v
n
n
XX
Các mệnh đề dới đây chỉ ra tập hội tụ của D
v
- Amart là sự mở rộng thực sự
các kết quả đã có đối với lớp các Martingale.
Để thuận tiện ta đa vào một số ký hiệu sau:
( )

>=

n
n
XPM
1
sup)(
( )

>=

n
Nn
N
XPM
1

max)(
22
Website: Email : Tel : 0918.775.368






>=


n
n
XPA
1
sup)(
(
)

>=

n
Nn
N
XPA
1
max)(
Dễ thấy: M
N

() M()
A
N
() A() khi n
Bổ đề III.2.2.
Giả sử {X
n
}
n

N
là dãy biến ngẫu nhiên tơng thích với họ (
n
)
n

N
sao cho
+<
v
n
N
Xsup
, v I
Khi đó M() C
1
v().
v
n
N

Xsup
(3.2)
C
1
là hằng số dơng không phụ thuộc vào
Chứng minh:
Với > 0 cố định và > 0 tuỳ ý, tồn tại N sao cho: M() M
N
() +
Từ định nghĩa M
N
() trên tồn tại k
0
sao cho:
( )
[ ]



+








>=+>
v

k
v
k
kk
X
X
XPXPM
0
0
00
Từ định nghĩa hàm:
v
.
, ta có:



+









v
k
v

k
X
vXM
0
0
.)(
v I

+








)( )(
1
00
vXCXM
v
k
v
k
Với C(.) là đại lợng có trong định nghĩa hàm số v
C(.) giảm trên [0, +)
Mặt khác:
v
n

n
v
n
XX
1
sup0

<
và
( )
+<

1
1
CXC
v
n
23
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Vì > 0 tuỳ ý nên:
v
k
XvCM
0
sup).(.)(
1


Bổ đề đợc chứng minh.
Bổ đề III.2.3.

Giả sử {X
n
}
n

N
là dãy biến ngẫu nhiên tơng thích với họ (
n
)
n

N
sao cho X
n
D
v
và
+<
v
T
X

sup
, v I
Khi đó A() C
2
v().
v
T
X

sup
(3.3)
C
2
là hằng số dơng không phụ thuộc vào
Chứng minh:
Với > 0,

N>0 sao cho: A() A
N
() + (3.4)
Ta xác định thời điểm dừng:
() = min{n:1 n N: |X
n
()| > }, (sup|X
n
| > )
N (sup|X
n
| > )
Vì
( ){ }
{ }
>=
=

k
n
k

Xn :
1


n
nên T và:
( )
{ }
( )
v
T
v
v
N
XvC
X
vXXPA






sup
2

>
(3.5)
A() C
2
v().


+
v
T
Xsup
Bổ đề đợc chứng minh.
Bổ đề III.2.4:
Nếu {X
n
,
n
}
n

N
là D
v
- Amart, v I, thì
+<
v

T
X

sup
Chứng minh:
24
Website: Email : Tel : 0918.775.368
{X
n
,
n
}
n

N
là D
v
- Amart, v I tồn tại N sao cho với N thì:

1

v
N
v
N
v
XXXX

(3.6)
và

v
Nn
v
N
XX




1
max

1


v
N
v
N
XX

Nh vậy:
1max
1
++=


v
n
Nn

v
NN
v
XXXX


+<
v
T
X

sup
Bổ đề đợc chứng minh.
Nhận xét: Nếu {X
n
,
n
}
n

N
và {Y
n
,
n
}
n

N
là D

v
- Amart
thì {X
n
Y
n
,
n
}
n

N
cũng là D
v
- Amart
Dới đây chúng ta sẽ nghiên cứu và chứng minh một số định lý về sự hội tụ
của D
v
- Amart mà các định lý này đã đợc chứng minh với Amart.
Định lý sau đây tơng đơng với định lý II.1.2 của Amart:
Định lý III.2.5.
Giả sử {X
n
}
n

N
là dãy biến ngẫu nhiên tơng thích với họ (
n
)

n

N
sao cho
vn
n
DX


1
sup
, v I.
Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
(i) (X
n
)
n

N
hội tụ (a.s) trên
(ii) {X
n
,
n
}
n

N
là D
v

- Amart
Chứng minh:
(i) (ii)
Giả sử
YX
sa
n

.
, n trên
Nếu
n
T và
n
thì
YX
sa
n

.

trên
25