giáo trình luyện thi học sinh giỏi

Giáo trình luyện thi học sinh giỏi
Phần cơ học chất điểm
Mục lục
Chiêu số 1.Đổi hệ quy chiếu
Chiêu số 2. Tiếp đất
Chiêu số 3. Vợt rào
Chiêu số 4. Toán học hoá
Chiêu số 5. Hợp lực trong chuyển động cong
Chiêu số 6. Hệ vật
Chiêu số 7. Vật dời sàn, máng
Chiêu số 8. Phơng trình khối tâm
Chiêu số 9. Phản lực lên vật rắn
Chiêu số 10. Hệ vật
Chiêu số 11. Đứt dây
Chiêu số 12. Lăn không trợt
Chiêu số 13. Công của lực ma sát
Chiêu số 14. Vật rắn
Chiêu số 15. Dây trùng
Chiêu số 16. Đối xứng và vi phân
Chiêu số 17. Nhu hoá cơng đề
Chiêu số 18. Dĩ bất biến ứng vạn biến

1
Chiêu số 16
đối xứng và vi phân
(phân tích tính đối xứng hình học đơn giản hoá phép tính tích phân
trong việc xây dựng và phát 1 số triển vấn đề)
Trong các đề thi học sinh giỏi vật lý phổ thông, các bài toán vật lý có sử dụng tích phân 3 lớp
luôn là nỗi ám ảnh của học sinh và cũng là những trăn trở của không ít giáo viên, bởi vì các
em cha đợc trang bị đầy đủ công cụ toán học cần thiết, trong khi các giáo viên lý không dễ gì
bổ túc toán học kịp thời cho học sinh đợc. Ngợc lại nhu cầu đào sâu kiến thức vật lý lại vô

cùng, các em có thể tiếp thu những kiến thức vợt chơng trình tràn sang cả vật lý đại cơng, do
đó các bài tập cần phải sử dụng công cụ toán học nhiều hơn. Để giải quyết mâu thuẫn này
chúng ta cần đơn giản hoá công cụ toán học. Một trong những giải pháp đó là khai thác triệt
để những phân tích vật lý và tinh tế trong việc vận dụng toán học.
Trớc khi đọc bài viết quý vị nên đọc 3 câu thần chú
Khai thác triệt để bản chất vật lý, đơn giản hoá tối đa công cụ toán học
Rời rạc xích ma, liên tục tích phân
Ngợc thác lên đỉnh, xuôi dòng ra biển lớn
Tác dụng của thần chú tuỳ mọi ngời thẩm ngộ do đó tôi không đa lời bình giải!
1. Kiến thức chung
a. Cơ sở lý thuyết
Các đại lợng vật lý là một véc tơ và B là một vô hớng. A và B là một hàm mà các giá trị vi
phân của chúng là một phổ liên tục. Ta có thể phân tích A, B thành chuỗi dới dạng
= (16.I)
Và B = (16.II)
b. Sử dụng tích mô tả 1 số phơng trình vật lý
Các đại lợng động học
v
2
v
1

= (16.1) x
2
x
1

= (16.2)

2

1
= (16.3)

2


1

= (16.4)
Dạng khác của định luật II Newton
= ). (16.5)
- Nếu khối lợng không đổi thì: v
2
v
1
= (16.6)
Các phơng trình: (16.1;2;5;6) viết cho chuyển động thẳng, các phơng trình (16.3;4) viết cho
chuyển động tròn
Công cơ học
A = (16.7)Từ đó
TRUNG TM HOA T - THY V DUY PHNG 2
- Công suất trung bình: P
tb
= (16.8)
- Thế năng: W
t2
- W
t1
= - (16.9)

Phơng trình khối tâm
- Tổng quát: = (16.11)
- Các toạ độ :
(16.12)

Mô men quán tính
- Tổng quát: : I = (16.13)
- Theo các thành phần: I = I
x
+ I
y
+ I
z
(16.14)
- Định lý stennơ - Huyghen: I
d
= I
C
+ md
2
(16.15)
Các đại lợng không thuộc cơ học cũng có thể dùng tích phân nh
q(i); i(j); E(dE); U(E); U(i); R(l); N(E); B(dB);

(B)

(

) .
2. Xác định toạ độ khối tâm vật rắn

a. Phơng pháp
B1. Chọn cách chia vật rắn thành các vi phân phần nhỏ)
- Đây là bớc cực kỳ quan trọng gần nh quyết định sự thắng bại
của bài toán
- Dựa vào tính đối xứng, biện luận để loại bớt 1 hoặc 2 toạ độ
B2. Lập biểu thức tính vi phân kích thớc từ đó suy ra vi phân
khối lợng
B3. áp dụng phơng trình khối tâm (công thức 16.11; 16.12)
B4. Chuyển các đại lợng về chung ẩn và tính tích phân vừa lập
b. Xác định trọng tâm của vật rắn thuộc 1 số dạng hình học
Bài 1. Một thanh thép (hình 16.10 mảnh đồng chất thiết diện đều đợc uốn thành nửa vòng tròn
bán kính R. Xác định trọng tâm của thanh
Giải mẫu
Trớc khi chia thanh thép thành các vi phân ta thấy rằng. Thanh thép có tính đối xứng theo OY
do đó trọng tâm chắc chắn nằm trên OY nên hoành độ trọng tâm bằng không, ta chỉ phải tính
tung độ
B1. Chia cung tròn thành các vi phân chiều dài, mỗi vi phân có chiều dài dl.Mỗi vi phân này đ-
ợc chắn bởi một góc chắn d.
B2. Chiều dài mỗi vi phân là dl khối lợng mỗi vi phân là
dm =

dl (1)

3
Với là mật độ khối lợng (chú ý: mật độ khối lợng khác khối lợng riêng)
Trong đó = (2)
Thay (2) vào (1) ta có: dm = (3)
B3. Tung độ khối tâm: (4)
đa (3) vào (4) ta có y
G

= (5)
Trong phơng trình (5) có 2 biến: y và l. Trong khi tích phân chỉ có 1 lớp. Do đó phải chuyển về
cùng một biến
B4. (quy l và y về )
Ta có: y = R. sin và dl = Rd

. Đa 2 biến này vào phơng trình (5) ta có:
y
G
=
= (6)
Đến đây công việc của vật lý đã hết, quý vị tính Tích phân (6) theo cách của mình và cho kết
quả y
G
=
Vậy trọng tâm của thanh nằm trên bán kính đi qua
điểm chính giữa thanh cách tâm một khoảng R/
Từ đây ta có thể phát triển thành nhiều bài ứng
dụng bài toán này
Phát triển 1: Tính lực hấp dẫn. Cho một thanh mảnh
đồng chất thiết diện đều có dạng nửa đờng tròn bán
kính R, khối lợng M. Ngời ta đặt ở tâm thanh một
chất điểm có khối lợng m. Tính lực hấp dẫn giữa 2
vật
Phát triển 2: dao động của con lắc vật lý:. Thanh
thép trên đợc uốn nhờ một sợi dây cớc mảnh bằng
cách buộc thật căng 2 đầu. , ở chính giữa dây cớc có
một cái khuyên. Ngời ta cho thanh dao động trong mặt phẳng thẳng đứng, trục quay nằm
ngang, mặt thanh là mặt phẳng thẳng đứng. Tính tần số góc của thanh khi đợc kích thích dao
động nhỏ (Muốn làm bài này ta xem mục 3 để tính mô men quán tính)

Tiếp theo ta nâng cấp bài trên
Bài 2. Thanh thép trên đợc uốn thành một cung tròn có bán kính R góc chắn cung là 2
0
(tất
nhiên nếu cha cho góc chắn 2
0
ta có thể dựa vào chiều dài cung và bán kính để tính : 2
0
= l/R).
Xác định trọng tâm của thanh
Bài này hoàn toàn tơng tự bài trên. Ta cũng dựa vào tính đối xứng của thanh
để xác định hoành độ trọng tâm bằng không
và công thức (6) bây giờ là
TRUNG TM HOA T - THY V DUY PHNG 4
y
G
= (6)
Về mặt toán học chúng ta cũng có thể lấy là góc hợp bởi trục tung với bán kính khảo sát. Khi
đó công thức 6 có thể về công thức hơi gọn hơn.
y
G
=
Việc sử dụng toán học là tuỳ thói quen mỗi ngời.
Ta tiếp tục nâng cấp bài toán 1
Bài 3. Bây giờ ta thay nửa vành tròn bằng bán nguyệt
Giải
Tơng tự các bài trên. trọng tâm nằm trên OY nh hình vẽ
Ta chia bán nguyệt thành các vi phân theo các lát cắt song song với đáy, mỗi vi phân có chiều cao
dy. Với cách chia này mỗi vi phân có khối lợng dm và trọng tâm nằm ngay trên OY
Ta có chiều dài mỗi vi phân bằng 2x. Với x là hoành độ giao điểm của vi phân với đờng tròn giới

hạn bán nguyệt
Để thay đổi không khí bây giờ ta lấy là góc nh hình vẽ
chiều diện tích vi phân là dS = 2x.dy = 2. R.sin

.dy
Mặt khác: y = Rcos

.

dy = - R.sin

d


Thay lên trên ta đợc dS = -2. R
2
.sin
2

.d

khối lợng vi phân: dm = sin
2

.d

Ta có: tung độ trọng tâm là: y
G
=
Thay y = R cos ta có: y

G
= =
Bài 3 đợc phát triển tơng tự bài 1 ( thanh nửa đờng tròn). Ta cho góc chắn là 2

sẽ đợc bài
mới
Nâng cấp bài 3 thành bán cầu.
Làm tơng tự bán nguyệt ta có độ cao của trọng tâm so với đáy là: 3R/8
Bài toán xác định toạ đọ khối tâm bằng phơng pháp đối xứng và vi phân còn
Rất nhiều vấn đề cần khái thác. quý vị tự phát triển theo sở trờng của mình.
Ta tạm kết thúc phần này ở đây. Bây giờ ta chuyển sang một vấn đề hấp dẫn hơn
Trong vấn đề này chúng ta sẽ thấy rõ đợc vai trò của việc hiểu kỹ bản chất vật lý lớn lao đến
cỡ nào
3. tính mô men quán tính của vật
rắn
Bài toán dạng này về cơ bản cũng dùng 4 bớc gần nh
giống hệt bài toán khối tâm, chỉ có điều trong bớc 3
chúng ta dùng công thức 16.13 và có thể dùng đến
(16.14)
Bây giờ ta bắt đầu từ những bài dễ trớc
a. Xuất phát từ vành tròn đơn giản
Bài 4. Chứng minh rằng mô men quán tính của vành
tròn có khối lợng M, bán kính R đối với trục quay trùng với trục của vành (trục vật lý trùng với
trục hình học) là I = MR
2

5
Giải
Tơng tự bài 1
B1. ta chia đờng tròn thành các vi phân chiều dài dl

B2. Khối lợng mỗi vi phân là dm =

.dl = .
B3. áp dụng công thức: I =
Trong công thức này r đúng bằng bán kính vành tròn R nên ta có: I = R
2
. = MR
2
Nh vậy bài toán này thậm chí không cần thiết phải tính dm nh bớc (2). Khi làm bài các em Hs
không cần làm bớc này. Tuy nhiên chúng ta đang nghiên cứu bài toán ở góc độ khác, bớc này có
vai trò nh một nấc thanh trong mạch t duy mà chúng ta sẽ phát triển phía sau
nâng cấp 1
Bài 5. Tính mô men quán tính của trụ rỗng đối với trục hình học
Giải
Khoan hãy chia hình trụ. Ta hãy bình tĩnh phân tích đã
Có một tồn tại khá phổ biến. Khi ta chia vật thành các vi phân thông thờng ta cứ nghĩ vi phân là
những phần vật rất nhỏ (kiểu nh cái bánh mì có thể chia thành vi phân là các hạt bột hay nhỏ
hơn nữa). Điều này thật máy móc, và nếu ta không tinh tế trong vật lý sẽ khiến chúng ta phải
gặp phiền hà với toán học
Quay lại với cái bánh mình. Ta có thể chia bánh mình thành các vi phân dạng lát cắt, mà lát cắt
thì có muôn hình vạn trạng những cách thức cắt chia.
Vậy bài toán trụ rỗng ta sẽ chia thế nào? Để trả lời đợc câu
này ta hãy để ý rằng. nếu cắt hình trụ bằng những lát cắt
vuông góc với trục thì 2 lát cắt rât gần nhau cho ta một vành
tròn. Vậy ta phải nghĩ đến việc kế thừa kết quả từ bài trớc
B1. Chia hình thành các vi phân có dạng vành tròn, mỗi vành
có chiều cao dh
B2. Chú ý rằng mỗi vi phân này chính là một vành tròn có
khối lợng
dm =

. dh =
và mô men quán tính là I = R
2
.dm
B3. Đối với dạng bài có tính kế thờng hình học từ các bài
khác bớc này quan trọng nhất
áp dụng công thức: I =
Nh vậy bài này ta dùng ngay công thức cao nhất của tích phân trong phần có sở lý thuyết
Vậy dI là gì. Chính là mômen quán tính của các vi phân đã chia ở trên. do đó dI = R
2
dm
Nh vậy: I = = M.R
2
Từ đây ta hoàn toàn có thể kết luận đợc:
Hệ quả 1
Một vật rắn đồng chất thiết diện đều, trục quay vuông góc với thiết diện này thì mô men
quán tính không đổi nếu bề dày của vật thay đổi
nâng cấp 2.
Bài 6. Tính mô men quán tính của trụ rỗng đối với trục hình học biết khối lợng trụ là M, bán
kính R
TRUNG TM HOA T - THY V DUY PHNG 6
Hình 16.4
Hớng dẫn
Chia cầu thành các vành tròn, mỗi vành có bán kính r, chiều cao dh
Nâng cấp 3
Bài 7. Tính mô men quán tính của đĩa tròn đồng chất có bán kính R, khối lợng M
Hớng dẫn
Tơng tự bài 6 ta chia đĩa thành các vành tròn, mỗi vành có bán kính r, bề rộng dr
Lặp lại 4 bớc cơ bản ta tính đợc I = 0,5M.R

2
Nâng cấp 3.1 (nâng cấp từ bài 7 - đĩa tròn)
Bài 8. Tính mô men quán tính của trụ đặc đồng chất có khối lợng M, bán kính r
Hớng dẫn
Sử dụng hệ quả 1 ta cũng chứng minh đợc mô men quán tính của trụ đặc bằng mô men quán
tính của đĩa tròn
Bây giờ ta chuyển sang nhóm hình học khác
Nâng cấp 3.2 (nâng cấp từ bài 7- đĩa tròn)
Bài 9. Tính mô men quán tính của cầu đặc đồng chất có bán kính R, khối lợng M đối với trục
cố định đi qua tâm
Hớng dẫn: chia quả cầu thành các đĩa tròn có bán kính r, bề dày dh
b. Đến các hình dạng phức tạp
Bài 10. Viên phân
Tính mô men quán tính của hình viên phân. Biết khối lợng của vật là M,
bán kính trong là R
1
; bán kính ngoài là R
2
. Trục quay cố định là trục
hình học
Bài 11. Cắt gọt quả cầu
Tính mô men quán tính của một quả cầu đặc, rỗng (hai bài) có bán kính
R, khối lợng M khi bị cắt bằng 2 mặt phẳng song song nhau và song
song với một mặt phẳng xích đạo, các mặt phẳng cách xích đạo lần lợt
những khoảng h
1;
h
2
Bài 12. Làm rỗng quả cầu
Tính mô men quán tính của một quả cầu có khối lợng M, biết quả cầu đợc giới hạn bởi 2 mặt

cầu, mặt ngoài có bán kính R
2
; mặt trong có bán kính R
1
. 2 mặt cầu này đồng tâm. Trục quay
cố định là trục hình học
.
Khả năng khai thác của chuyên đề còn rất nhiều, quý vị tự
phát triển theo sở trờng của mình. Bây giờ ta chuyển sang
nhóm hình học khác
c. Đề xuất: Khai thác bài toán thanh mảnh
Bài 13. Tính mô men quán tính của thanh mảnh, đồng
chất thiết diện (nhỏ)đều đối với trục đi qua trung điểm
thanh và vuông góc với thanh.
- Bài này không có gì khó (quý vị tự giải)
- Dùng hệ quả 1 để nâng cấp

7
Hình 16.4
Hinh 16.5
Hình 16.6
Bài 14. Tính mô men quán tính của các hình sau, cho trục quay vuông góc với vật và
đi qua trọng tâm
V.P .
Tác giả
Vũ Duy Phơng
GĐ Công ty TNHH Trung Tâm Hoa Tử - ĐT: 0984 666 104
Đ/C: 08 ngõ 286 Đội Cung P. Tr ờng Thi TP Thanh Hoá
Email:
Facebook: facebook.com/trungtamhoatu ; facebook.com/hoatutiensinh

TRUNG TM HOA T - THY V DUY PHNG 8
Hình 16.7