khảo sát dao động điều hòa bằng lý thuyết cơ lượng tử tiểu luận

Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 1
LỜI MỞ ĐẦU

Cơhọclượngtửlàmộtmônhọcrađờimuộnnhưngnólạicónhữngđónggóplớn
chongànhVậtlínóiriêngcũngnhưnềnkhoahọc–kĩthuậtnóichung.Đâylàmônhọc
làmcầunóichothếgiớivimôvàthếgiớivĩmô.Nóđãgiúpchúngtagiảithíchđược
nhiềuvấnđềmàtrướcđâycơhọccổđiểnchưagiảiquyếtđược.Cơhọclượngtửlàmôn
lýthuyếtcơhọc,nghiêncứusựchuyểndộngcácđạilượngVậtlíliênquanđếncác
chuyểnđộngnhưnănglượngvàxunglượng,cácvậtthểnhỏbé,ởđólưỡngtínhsóng
hạtđượcthểhiệnrõ.Lưỡngtínhsónghạtđượcgiảđịnhlàtínhchấtcơbảncủavậtchất,
đóchínhlàđiểmvượttrộicủacơhọclượngtửsovớicơhọccổđiển.
Dao động điều hòa là một dạng chuyển động rất quan trọng trong vật lý nói
chungvàvậtlýchấtrắnnóiriêng.Đólàdaođộngcủacácionhoặcnguyêntửquanhvị
trícânbằngtrongmạngtinhthể,daođộngcủacácnguyêntửtrongphântử, Bàitoán
daođộngđiềuhòalượngtửđượcứngdụngnhiềutrongvậtlýlíthuyếtnhưlíthuyết
bứcxạcânbằng,líthuyếtphổ,lýthuyếtnhiệtdungcủavậtrắn, 
Xuấtpháttừnhậnthứcvàsuynghĩđó,vàmongmuốngópphầnlàmphongphú
hơnnữacáctàiliệumôncơhọclượngtửđểcácbạnsinhviênchuyênnghànhVậtlý
vàmọingườiquantâmxemđâynhưmộttàiliệuthamkhảođólàlídođểemchọnđề
tài“DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA”.
Dotrìnhđộvàthờigianhạnchế,đềtàichắcchắncócácsaisót.Vìvậy,emrất
mongđượcsựgópýcủacácthầycô,cácbạnsinhviênđểsửachữa,bổsung,hoàn
chỉnhđềtài.










Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 2
ANỘIDUNG
PHẦN1CƠSỞLÍTHUYẾT
1.1 Giớithiệu
Trongđềtàinày,chúngtasẽnghiêncứuvềchuyểnđộngcủahạtdướithếnăngdao
độngđiềuhòa:

 
1
2
2
V x kx

(k=hằngsố)(5.1)
Phươngtrìnhviphântổngquátchothếnăngdaođộngđiềuhòacóthểđượcgiải
bằngcáchdùngmộtphươngphápthườngxuyênđượcsửdụngđểgiảicácbàitoán
trongcơhọclượngtử.Nhiềuvấnđềtrongvậtlícóthểcoilàmộtgiaođộngtửđiềuhòa
vớimộtsốđiềukiệnthíchhợp.Vídụtrongcơhọccổđiểnviệcmởrộngthếnăng
quanhmộtđiểmcânbằng,chúngtacóthếnăngđiềuhòa:
2
2
kx
.
DạngHamiltonianchodaođộngtửđiềuhòa1chiềulà:


2 2
2 2
p kx
H
m
  (5.2)
Với
2
k m


,cácbiếnmvà

tươngứngvớikhốilượngvàtầnsốgóccủadao
độngtử.
Tacó:
1
2
E n
n

 
 
 
 

(5.3)
VìvậyphươngtrìnhSchrodingerlà:

 

   
2
2 2
2
2
2 2
d x
m
x x E x
m
dx


 
  

(5.4)
NghiệmcủaphươngtrìnhSchrodingerlà:

 
1
4
2 2
1 1
/2
. . .
2
2 . !
x
x

x Hn e
n
n
n




 
 
 
 
 
 


(5.5)
Với
m




và
 
H
n

làđathứcHermite.
Trịriêngcủadaođộngtửđólàcácnănglượngriêng.


 
 
2 2 0
2
d H
n
nH
n
d

 

  
 n=0,1,2,3,  (5.6)
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 3
1.2Đathứchermite
ĐathứcHermite
 
H
n

làmộtđathứcbậcnmàđốixứngkhinchẵnvàkhông
đốixứngkhinlẽ.ĐathứcHermitelànghiệmcủaphươngtrìnhviphân:

   
 
 

2
2
2 1 0
2
d H dH
E
n n
n
H
n
d
d
 
 
 

 
   
 
 

(5.7)
Phươngtrìnhnàycóthểđơngiảnthành:

   
 
 
2
2 2 0
2

d H dH
n n
nH
n
d
d
 
 


  
(5.8)
ĐathứcHermitethỏamãnhệthức:

 
 
 
1
2
n
dH
n
nH
d





(5.9)

và
   
2 2
1 1
H H nH
n
n n
  
 
 
(5.10)
HàmtổngquátcủađathứcHermitelà:

 
2
2
,
!
0
H
t t
n
n
S t e t
n
n





 
 


(5.11)
và
   
,
0
n
d
H S t
n
t
dt
 
 

 

(5.12)
1.3Daođộngtửhaichiềuvàbachiều
Tươngtựnhưtrườnghợpmộtchiều,dạngHamiltoniantrongtrườnghợp2chiềulà:

2 2 2 2
2
2
2 2 2
P P m y
m

x y y
x
H
m



  
(5.13)
TrongtrườnghợpnàyHamiltoniancóthểđượctáchthànhxvày,dovậyvấnđềđược
đưavề2daođộngtửmộtchiều,mộtvàoxvàmộtvàoy.Hàmriêngtrongtrườnghợp
nàylà:

   
x y
n n n n
x y x y
  

(5.14)
Với
 
i
x
n
x

làhàmriêngcủadaođộngtửmộtchiều.Trịriêngtươngứngvới
 
,x y

n n
x y

là:
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 4

1 1
2 2
E n n
n n x y y
x y
 
   
   
   
   
 
(5.15)
1.4Phươngpháptoántửchomộtdaođộngtửđiềuhòa
Hàmriêngcóthểđượccoinhưlàmộtcơsởtrựcgiaocủacácvectơtrạngtháitrong
mộtkhônggiannchiều.ĐiềunàycóđượcbằngviệcgiảiphươngtrìnhSchrogdinger.
Ởđâytasẽđimộtbướcxahơn,tasẽtìmphổtrịriêngvàcáchàmriêngmàchỉdùng
toántửđơnlẽ,cáctoántửnângvàtoántửhạ,avà
†
a
đượcđịnhnghĩa:

ˆ ˆ

†
ˆ ˆ
,
2 2
m ip m ip
a x a x
m m
 
 
   
   
   
   
 
(5.16)
Nhữngtoántửnàylàcôngcụrấthữuíchchoviệcbiểudiễnhàmriêngcủadaođộng
tửđiềuhòa.ChúýrằngtoántửHamiltoniancủadaođộngđiềuhòađượcviếtlà:

1
†
.
2
1
. †
2
H a a
H a a


 

 
 
 
 
 
 
 


(5.17)
Điềunàycóthểchứngminhrằngquanhệgiaohoánchonhữngtoántửnàylà:

†
, 1
a a
 

 
 
,
 
† †
, , ,
H q a H a a
 
 
  
 
 
  (5.18)

Takíhiệutrạngtháithứncủadaođộngtửđiềuhòa
 
x
n

là
n
,thì
avà
†
a
thỏamãn:

1
†
1 1
a n n n
a n n n

 


  


(5.19)
Bâygiờchúngtacóthểminhgiảichotoántửnângtoántửhạchoavà
†
a
.Vìvậyta

cóthểxâydựngtrạngthái
n
nhưsau:

 
1
†
0
n
n a
n

.(5.20)
với
0
làtrạngtháichânkhông(n=0).

PHẦN2:CÁCBÀITẬPVÀLỜIGIẢI
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 5
Bài1.Mộtdaođộngtửđiềuhòađượcđặctrưngbởithếnăng:

 
1
2
2
V x kx

(5.1.1)

Trongđóklàhằngsốthựcdương.Cóthểchỉrarằngtầnsốgóclà
k
m


,với
mlàkhốilượngcủadaođộngtử.
a)GiảiphươngtrìnhSchrogdingerdừngchohàmthếnăngnàyvàtìmcáctrạng
tháidừngriêngcủahệ?
b)Từcâua)tìmcácgiátrịnănglượngriêngcủadaođộngtử.Tìmgiátrịnăng
lượngthấpnhất?Giảithích?
Bàigiải:
a)Hamintoncủahệnàylà:

2 2
2 2
p kx
H
m
  (5.1.2)
hay
2 2 2
2
2
2 2
d m
H x
m
dx


  

(5.1.3)
Phươngtrìnhtrịriênglà:

 
   
2
2 2
2
2
2 2
d x
m
x x E x
m
dx


 
  

(5.1.4)
Tađặt
2E




,vàđổibiếnthành

m
x





Dođó,tacó:

2
2 2 2
2 2 2
d d d d d d m d
dx d dx dx
dx d d
      

 
 
 
  
   
 
 

(5.1.5)
Dovậy:
 
 
2

2
0
2
2 2
d
E
d
 
 
   

  
 
(5.1.6)
Hoặc
 
2
2
2
0
d
d

  

  
 (5.1.7)
Đốivới

lớn(


 
)phầnchínhcủaphươngtrìnhviphân(5.1.7)trởthành:
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang
6

2
2
0
2
d
d

 

 
(5.1.8)
Nghiệmcủaphươngtrìnhnàyhướngvềđườngtiệmcậncủahàmsóngđốivới

lớn:

 
2
2
e

 



(5.1.9)
Dovậytacóthểgiảsử:
   
2
2
H e

  


(5.1.10)
Thayvàophươngtrình(5.1.8):

   
2 2
2
2 2
.
2
d d
H e H e
d
d
 

  


 

 
 

 
 
 
 


=
       
2 2 2
2
2 2 2 2
2H e H e H e H e
   
     

  
 
  
(5.1.11)
Hay
 
 
2
2
2
2
2

2 1
d
H H H e
d


 


 
   
(5.1.12)
 
Dovậy,tacó:

   
2
2 2
2 2
2 1 0
H H H e He
 
   
 
 
 
     
 
(5.1.13)
TanhậnđượcphươngtrìnhviphânchođathứcHermite:


   
   
2
2 1 0
2
d H dH
H
d
d
 
  


   
(5.1.14)
Tínhchấtcủahàmsóngquanh

=0(x=0)đượcgiảithíchchobởinhữngđathứcnày.
Đểgiảiphươngtrìnhnàytađặt:

 
0
n
n
n
H a
 





,dovậy:

2
2
2
0
( 1)
n
n
n
d H
a n n
d





 

=
2
0
( 2)( 1)
n
n
n
a n n





 

(5.1.15)
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang
7
và
0
2 2
n
n
n
dH
na
d
 



  

(5.1.16)
Dođó:
 
2

0
( 2)( 1) 2 1 0
n
n n n
n
a n n na a
 



 
     
 

(5.1.17)
Chonêntấtcảhệsốcủachuỗinàyphảibằng0.

2
( 2)( 1) ( 2 1) 0
n n
a n n n a


     
(5.1.18)
hay
2
2 1
( 2)( 1)
n n

n
a a
n n


 

 
(5.1.19)
Tađặt
0
0
a

và
1
0
a

đểđượcnhữnggiátrịcủa
2 4 2
, , ,
m
a a a
(mnguyêndương)và
tươngtự
1
0
a


và
0
0
a

đểcóđượccácgiátrịcủa
3 4 5
, ,a a a
,
2 1
m
a

(mnguyên
dương).Cácgiátrị
0
a
,
1
a
đượctínhbằngcáchchuẩnhóahàmsóng.
b)Nhưphầna)tamuốnhàmsóngtiếnđếntiệmcận
2
e


đốivới

lớn.Đểbắtđầu,ta
đặtgiátrịcủahệsốH(


)đến0vớimộtvàigiátrịn.Đốivớinbấtkỳtacó:

2 1 0
n

  
2 1
n

  
hay
1
2
n
E n

 
 
 
 

(5.1.20)
Vìvậy,tanhậnđượcđiềukiệnlượngtửhóachocácgiátrịnănglượngriêng.Nếu
khôngcómộtnguồnnănglượng,hệđạttrịriêngnănglượngcựctiểu
0
2
E




tại
nhiệtđộT=0.Gíatrịnàyđượcxácnhậnnhờhệthứcbấtđịnh:

.
2
x
x p
  

(5.1.21)
Đâylàtrịriêngcủanănglượngcựctiểu.
Bài2.Mộthạtcónănglượng
2
E



chuyểnđộngđộngdướitrườngthếcủadaođộng
tửđiềuhòa.Tínhxácsuấttìmhạttrongmiềncấmcổđiển?Sosánhkếtquảvớixác
suấttìmhạtởbậccónănglượngcaohơn?
Bàigiải:
Đốivớidaođộngtửđiềuhòacổđiển:
cos ,
n
x A t

 
sin
n

p mA t
 
  (5.2.1)
Dovậynănglượnglà:
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 8

2 2
2
1
2 2
2 2 2
m A
p
n
E m x
n
m


  
,(5.2.2)
trongđó
2
2
E
n
A
n

m


.Miềncấmcổđiểnlà
x A
n

hay
2
2
n
E
x
m


.Dovậyxácsuất
tìmhạtởmiềncấmcổđiểnlà:

   
( ). ( ).
n
A
P x x dx x x dx
n n n n n
A
n
   



   
 




 
2 ( ).
x x dx
n n
A
n
 

 

 
1 2 ( ).
n
A
x x dx
n n
 

  


(5.2.3)
Xéttrạngtháicơbảntacó:



 
0 0
0 0
2
1
2
2 ( ). 2
0
2
x
P x x dx e dx
A A
n

 


 
  
 
(5.2.4)
Đổibiếntíchphân
x



,tacóđược: 

0

0
2 2
2 2
1
0
A
P e d e d
o
A

 
 
 


 
  
 
(5.2.5)
Tacó
0
1
A


.Dovậy:
1
2
2
1

0
P e d
o




 

(5.2.6)
Giảiratacó
0
0,1578
P  
Đốivớicáctrạngtháikíchthíchxácsuấttrongmiềncấmcổđiểnlà:
2
1
2
2
1 2
2
0
2 !
x
A
n
x
P H e dx
n n
n





 
 

 
 
=
1
0
2
1
2
2
1
2 !
n
A
n
x
x x
H e d
n
n

 




   

   
   

(5.2.7)
Đặt
x
n

 

 
2
2
1
1
0
2 !
A
n
P H e d
n n
n
n



 



 


(5.2.8)

Sửdụngđathứchermiteđãbiết:
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 9
 
2
( ) 1, ( ) 2 , 4 2
0 1 2
H H H
    
   
và
1
3
A

 Tacó
1
0,1116
P  .Dođótìm
được:



5
2
1
4 2
1 16 16 4
2
4
0
P e d

  


   

(5.2.9)

2
5
4 2
0
1
1 (4 4 1) 0,0951
e d

  


    



Tacó
0
0,1578
P  ,
1
0,1116
P  ,
2
0,0951
P  
Tachúýrằnggiátrịcủa
n
P
nhỏhơncácmứcnănglượngcaohơn.Điềunàyđượcgiải
thíchlàdohạtnănglượngcaolà“cổđiển”hơnhạtởnănglượngthấp.Dovậyxác
suấttìmhạtởnănglượngcaotrongmiềncấmcổđiểnsẽthấphơn.
Câu3.Sửdụnghệthứcbấtđịnh
.
2
x
x p
  

.Tínhnănglượngcơbảncủadaođộngtử
điềuhòa?
Lờigiải:
ToántửHalmintoncủagiaođộngtử:
2
2

2
2 2
p m
H x
m

  (5.3.1)
Trịtrungbìnhcủanănglượng:
2
2
2
2 2
p m
H E x
m

   (5.3.2)
Tacóthểviết:
2
2 2
p p p
  


2
2 2
x x x
  
(5.3.3)
Đốivớidaođộngtửđiềuhòa

0
p x
 
.Tacóthểchứngminhnhưsau:

   
2
( )
x x x x dx x x dx
n n n
  
 
 
  
 
(5.3.4)
Tíchphâncủahàmkhôngđốixứngtrongkhoảngđốixứngbằng0,dovậy
0
x

.Tươngtự:
( )
( )
n
n
x
p i x dx
x







 



(5.3.5)
Đổibiếnthành
x



và
m




tacó:
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 10

( )
( )
n
n
p i d

 
  





 



(5.3.6)
Mà
 
2
2
( )
. ( )
2 !
H
e
n
n
n
n
n n


 
 

 




 
 
(5.3.7)
Vậytacó:
2
2
( ) ( ) ( )
2 !
n
n
n
H
i
p e d i d
n

        


 

 
 



 

 


(5.3.8)
Chúý
 
( ) 0
x d
     
 


(5.3.9)
VìđathứcHermitehoặcđốixứnghoặckhôngđốixứngnêntích
 
 
n
n
H
H





là
luônkhôngđốixứngvànhưvậy
,x p

triệttiêu.
Vậy
2 2
2
2 2
p m
E x
m


  
(5.3.10)
Theohệthứcbấtđịnh,giátrịcủa
2
p
x
 


nên:
2 2
2
2
8 2
m
E x
m x

  



(5.3.11)
CuốicùngnănglượngcựctiểucủaElà:

 
 
2
2
3
0
4
dE
m x
d x
m x


   



(5.3.12)
Vàgiảiratacó:
0
2
x
m

 


.Mặtkháctacũngcó:
   
0
2 2
2
2 4
3
0
4
x x
d E
m
d x m x

 
  
 

(5.3.13)
nêngiátrịcựctiểulà
 
 
2 2
2
min 0
2
0
2 4 4 2
4
m

E x
m x
   
     

   
(5.3.14)
Kếtquảnàyđượcchấpnhận.
Bài4.Tìmhàmriêngcủadaođộngtửđẳnghướng2chiều?Tìmsựsuybiếncủacác
mứcnănglượng?
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 11
ToántửHamiltoncủahệnàylà:

2 2
2 2 2 2
2 2 2
P P
m y m y
x y
H
m
 

   (5.4.1)
Chiatoántửralàm2phần
x y
H H H
 

với
2
2
2 2 2 2
,
2 2 2 2
y
x
x y
P
P
m x m y
H H
m m
 
   
(5.4.2)
Dovậy,hàmsóngcóthểđượcviếtdướidạngtíchcủa2hàm
 
x
x

(hàmriêngcủa
x
H
)và
( )
y
y


(hàmriêngcủa
y
H
)vàtrịriêng
1
2
x x
E n

 
 
 
 

và
1
2
y y
E n

 
 
 
 

tươngứng.
Dovậytacó
H E
 


với
   
, ( )
x y
x y x y
  

.Nêntacó:
 
 
 
, ( )
H x y H H x y
x y x y
  
  
     
( )
x x y y y
H x y x H y
x
   
 
x x y y x y
E E
   
 
 
x y x y
E E

 
 
(5.4.3)
Bởivậy
 
 
1 1
x y x y
E E E n n n
 
      
 
(5.4.4)
Sựsuybiếncủamỗitrạngthái
,
( )
x y
E n n
đượctínhnhưsau:
(n+1)làmộtsốnguyên,chorằngtấtcảcácgiátrịchạytừ
0
 
.Chúngtanhìnthấy
ởhình5.1rằng(n+1)=hằngsốxácđịnhmộtđườngtrongkhônggian
,
x y
n n
.Chúngta
nhìnthấysựsuybiếncủatrạngtháinlàn+1.






Hình5.1
Bài5.Xétmộthạtcókhốilượngmchuyểnđộngtrườngthếđiềuhòamộtchiều.Tại
t=0,hàmchuẩnhóalà:
 
2 2
1/4
/2
2
1
x
x e




 

 
 
(5.1.1)
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 12
Trongđó,
2
h

m



làhằngsố.
Tìmxácsuấtmàxunglượngcủahạttạit>0làdương.
Giải:
Takíhiệu
 
,p t


làhàmsóngcủahạttrongkhônggianxunglượngtạithờiđiểmt.
XácsuấtPchoxunglượngdươnglà:

 
2
0
,
P p t dp





(5.5.2)
Tacóthểviết
 
,p t



nhưlàmộttổhợptuyếntínhcủahàmriêngtrongkhônggian
xunglượng:

 
( 1/2)
, ( )
0
i n t
p t C p e
n n
n

 

 





(5.5.3)
Trongđó
 
p
n


lànhữnghàmriêngởtrạngtháidừngtrongkhônggianxunglượngvà
hệsố

 
( ) /
C x x
n n
 


Chúýrằng
( )x
n

làhàmriêngtrongkhônggiantọađộ.
 
,x t

cũngcóthểtách
thành:

 
( 1/2)
, ( )
i n t
x t C x e
n n
n

 
 



(5.5.4)
Hàm
( )x
n

hoặclàđốixứnghoặclàphảnđốixứngnhưlà
 
p
n


(dướidạngFourier
củachúng).Thuộctínhnàythìbảotoànvớimọit,dođó,
( ,0)p


thìđốixứng,
( ,0) ( ,0)p p
 
 
 
,vànhưvậy
( , ) ( , )p t p t
 
 
 
.
Vậy
 
2

0
,
p t dp




=
 
2
0
,
p t dp





   
2 2
0
0
, ,
p t dp p t dp
 


  
 
 

(5.5.5)
Sửdụnggiảthuyết
 
,p t


đãchuẩnhóa,đólà:

 
2
,
p t dp






 
2
0
,
p t dp




+
 
2

0
, 1p t dp





(5.5.6)
Tađượcxácsuấtmàxunglượngcủahạttạit>0làdươnglà:
P=
 
2
0
,
p t dp




=
 
2
0
1
,
2
p t dp






(5.5.7)
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 13
Bài6.
a)Liênquanđếnđiềukiệnbanđầuởbài5,tính
 
,x t

?
b)Chorằngtạit=0hạtởtrạngtháidừng
     
0 1
1
2
x x x
  
 
 
 
trongđó
 
x
n

là
hàmsốriêngcủadaođộngtửđiềuhòa1chiều.Tínhtrịtrungbìnhcủaxtạit>0?
Bàilàm:

Đầutiên,chúýrằng
 
x

khôngphảilà
 
0
x

(hàmriêng)vì
2
h
m



,vìvậyđể
tìm
 
,x t

taphảiviết
 
x

dướidạngmộttổhợptuyếntínhcủahàmriêng
( )x
n

:


   
0
n n
n
x C x
 




(5.6.1)
và
   
 
1/2
,
i n t
x t C x e
n n
n

 
 


(5.6.2)
trongđó
       
C x x x x dx

n n
   


 


(5.6.3)
Bâygiờviết
2
m




,tacó

 
2
1 1
exp
1 2
2
2 . !
x x
x H
n n
n
n


 
 
 
   
 
 
   
 
   
 
(5.6.4)
Vìvậy:

   
1 1 1 1 1
2
exp
2 2
1/2 1/2
2
2 !
x
C H x dx
n n
n
n

 
  


 
 
 
  

 
 
 

 
 
 

(5.6.5)

Nhớlạirằng
x
H
n

 
 
 
hoặclàđốixứngvớinchẵnhoặclàkhôngđốixứngvớinlẽ.
Dođó,
x
H
n

 

 
 
làkhôngđốixứng
1 1 1
2
exp
2
2
x


 
 
 
 
 
 
 
,
C
n
triệttiêuvớinlẽ.Vậy
tachỉcầntính:
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 14
 
2 2
2
2 2

1
2 2
2
1 1
exp
2
4 2 !
m m
m
x
C H x dx
m
 
  
 


 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


(5.6.6)

Thếcácbiếnsố
2 2
2 2
2
 

 

 và
2 2
2 2
2
x
 

 


tađược:
 
2 2 2
2
1 2 2
2 2
2 2 2 2
4 2 !
C H e d

m m
m
m
  

 
 
   
 


 


 

 
 
(5.6.7)


2 2
2
2
2 2
2
2 2
4 (2 )!( )
m
H e d

m
m
 

 
  
 
 


 


 



 


Sửdụngđồngnhấtthức:
 
 


2 !
2
2
1
2

!
m
m
x
H ax e dx a
m
m



 


,(5.6.8)
tađược:
 
 


2 2
2 2 !
2
2 2 2
2 2
4 !
m
m
C
n
m

m

 
 
 
 

 

 


 
(5.6.9)
Hay

   
(2 1/2)
.
2 2
0
n t
x t x e
n n
n

  

 




(5.6.10)
b)Biếtrằngtạit=0tacó:

     
1
,0
0 1
2
x x x
  
 
 
 
(5.6.11)
Dođóvớit>0:

     
1
/2 3 /2
,
0 1
2
i t i t
x t x e x e
 
  
 
 

 
 
 
(5.6.12)
Theođịnhnghĩatrịtrungbìnhcủaxlà
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 15
   
, ,x x t x x t
 

(5.6.13)
               
1
1
0
0 0 1 1 0 1
2
i t i t
x x x x x x e x x x e x x x
 
       

 
   
 

Chúngtahãytínhtíchphânmộtcáchriêngbiệt:


         
2
0 0 0 0
x x x x x dx x dx
    
 

 
 
 
 (5.6.14)
Vì
 
2
0
x

làđốixứngvàxlàhàmkhôngđốixứng,tíchphânbịtriệttiêutrênmột
khoảngđốixứng
   
0 0
0
x x x
 

,
   
0
n n
x x x

 

.(5.6.15)
Bâygiờchúngtachuyểnsangtính
     
2 2
/
0 1 0 1 0 1
1 1 2
2
1 1
( )
2
x
x x
x x x x x dx H H xe dx

   
 
 
 
 
 
 
   
 
   
   
 


(5.6.16)
Tacó
0
x
H

 
 
 
=1và
1
2x x
H
 
 

 
 
(traởbảngphụlụctoán).Vìvậy,tacó:
 
2 2
2 /
0 1
2 2
2 1 1
( )
2
x
x x x x e dx


 
  



 

(5.6.17)
hay

 
0 1
( )
2
x x x
m
 



và
   
1 0 0 1
( ) ( )
2
x x x x x x
m
   



 

(5.6.18)
Vậycuốicùngtađược:
 
cos
2
x t
m




(5.6.19)
Bài7.
Xétdaođộngđiềuhòa1chiềuvớiHamiltonian:

2
2 2
1
2 2
p
H m x
m

  (5.7.1)
Tađịnhnghĩatoántửmới
p
P
m




và
m
Q x



(5.7.2)
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang
16
Vậy
 
2 2
2
H Q P

 

.(5.7.3)
a)tínhhệthứcgiaohoán
 
,P Q
?
b)chotoántửavà
†
a

đượcđịnhnghĩalà:
 
1
2
2
m i
a Q iP x p
m


   

(5.7.4)
 
†
1
2
2
m i
a Q iP x p
m


   

(5.7.5)
Tính
a n
và
†

1
2
H a a

 
 
 
 

đượcđịnhnghĩa,trongđó
n
làhàm
riêngcủadaođộngứngvớitrạngtháinănglượngthứn?
Bàilàm
a)Tasửdụnghệthứcgiaohoánđãbiết
 
,x p
=i

,Vậy:

   
1
, , ,
P m
P Q x p x i
m


 

   
 
 
 

(5.7.6)

b)Dùngkếtquảthuđượcởphầna)tacóthểviết

† 2 2
1 1
( )( ) ( )
2 2
a a Q iP Q iP Q P i PQ QP
 
      
 
(5.7.7)
Vậythếvàocôngthức(5.7.1)tacó:

†
1
2
H a a

 
 
 
 


(5.7.8)
Bâygiờtachuyểnsangtínhhệthứcgiaohoáncủaavà
†
a
vớiH

 
† †
, , ,
a H a a a a a a a
  
   
  
   
  
(5.7.9)
Dođó,
† †
1
a a aa
  
.Vìvậy,tađược:
†
1
2
H aa

 
 
 

 

(5.7.10)
Tacũngcầntínhhệthứcgiaohoáncủaavà
†
a
vớiH:

 
† †
, , ,
a H a a a a a a a
  
   
  
   
  
(5.7.11)
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang
17
Tươngtự,
 
1/ 2
H n n n

 
(5.7.12)
Dođósửdụngphươngtrìnhtrịriêngcủanănglượng


 
1/ 2
H n n n

 
(5.7.13)
Tacóthểviết
†
1
2
H n a a n

 
 
 
 

(5.7.14)
Vìvậy,
†
a a n n n

.Tươngtự,
†
1
2
H n aa n

 

 
 
 

.Vậy
 
†
1
aa n n n
 

(5.7.15)
Taápdụng,
† †
1
,a a H

 
 
 

ởtrạngthái
n
.Vậy:

† † †
† †
1
2
a H Ha Ha

a n n n n a n n
  
 
      
 
 
  
(5.7.16)
Hay
1
†
1 1
a n n n
a n n n

 


  


(5.7.17)
Từđótakếtluậnrằng
†
a n
là1trạngtháimàtỉlệ
1
n

 


†
1
a n a n

 
  
(5.7.18)
Trongđó
a

làhằngsốđượcchobởi
2 †
a n aa n
 
  
 

Tathấyrằng
 
†
1
aa n n n
 
nên
 
2
1
a n


 
chọn
1a n

 

,cuốicùngtađược
†
1 1
a n n n
  
(5.7.19)
Tươngtự,taápdụng
 
1
,a a H



ởtrạngthái
n
vàtìm
   
1
2
aH Ha H
a n n n n a n a n
  
 
    

 
 
  
(5.7.20)
Hay
   
1
2
H a n n a n

 
 
 
 

(5.7.21)
Vậytakếtluậnrằnga
n
làmộttrạngtháilàmộttrạngtháimàtỉlệvớithuậnvới
1
n


1
a n n
 
 
  
(5.7.22)
Trongđó



cũnglàmộthằngsố
2 †
n a a n
  
  
 
(5.7.23)
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 18
Tathấyrằng
†
a a n n n

,dođó
2
n



chọn


=
n
tađược
1
a n n n

 

Chúýrằngnếutaápdụngaởtrạngtháicơbản
o
tađược:
0
a o


Vậytađưaracáctoántửhạvànângavà
†
a
đượcđịnhnghĩaởtrênsaochothỏamãn
1
†
1 1
a n n n
a n n n

 


  


(5.7.24)
Bài8.Tínhnhữngphầntửmatrậncủanhữngtoántửxvàpchodaođộngtửđiều
hòamộtchiều:

 

( )
nk n k
x n x k x x x dx
 



 

(5.8.1)

   
nk n k
p n p k x p x dx
 



 

(5.8.2)
Trongđó
( )
n
x

lànhữnghàmriêngcủagiaođộngtửđiềuhòa.
Bàilàm
Taviếtxvàpdùngnhữngtoántửhạvànângavà
†

a
(xemởbài7).
   
† †
1 2
2 2
x a a a a
m m
 
   
 
tươngtự
   
† †
2
2 2
m m
p a a i a a
i m
 

   
 
(5.8.3)
Từđótacóthểtính
 
 
† †
2 2
n x k n a a k n a k n a k

m m
 
   
 

(5.8.4)
Tathấyrằng
1
†
1 1
a k k k
a k k k

 


  


(5.8.5)
Vìvậytacó
 


1 1 1 1
, 1 , 1
2 2
n x k k n k k n k k k
n k n k
m m

 
 
       
 
 

(5.8.6)
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 19
Trongđó,
 

1
0( # )
n m
nm
n m


 Vậy
 
 
 
1
1
2
1
2
0

n
k n
m
n x k
n
k n
m






 



 






(5.8.7)
Vớicùngcáchnàytacóthểtính:

   
† †
2 2

m m
n p k i n a a k i n a k n a k
 
   
 
(5.8.8)
Bâygiờtasửdụng(5.8.5)tacó
 
 
, 1 , 1
1 1 1 1
2 2
n k n k
m m
n p k i k n k k n k i k k
 
 
 
       
 

(5.8.9)
Vậytađược:
 
2
1
2
m n
i
m n

i














 
 
1
1
k n
k n
 
 
(5.8.10)
Tacóthểbiểudiễn
n x k
và
n p k
trongmộtdạngmatrậnnhưlà:
 


 
và


Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 20

nhưdựđoánxvàpđượcbiểudiễnbởimatrậnHermite.
Bài9.Khảosát1hạtcóđiêntích+echuyểnđộngtrongmộttrườngthếgiaođộng
điềuhòađẳnghướng3chiều:
 
2 2
1
2
V r m r


(5.9.1)
TrongđiệntrườngE=
2
0
E x
.Tìmcáctrạngtháiriêngvànănglượngriêngcủahạt?
Bàilàm
ToántửHamiltoncủahệlà:
2 2
2
0

2 2
p m
H r eE x
m

   (5.9.2)
TachiatoántửHalmintonthành3phần:
x y z
H H H H
  
,với:
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
x
x
y
y
z
z

P
m
H x eE x
m
P
m
H y
m
P m
H z
m




  



 



 


(5.9.3)
Chúýrằng
x
H

và
y
H
làgiốngnhauđốivớitoántửHamiltoncủadaođộngtửđiềuhoà
mộtchiềunhưvậytacóthểviếthàmsónglà:
       
1 2 3
, ,
x y z x y z
   

(5.9.4)
Với
 
2
y

và
 
3
z

làhàmsóngcủadaođộngtửđiềuhòamộtchiều.
   
   
2 2
/2
1
2
2

2
2 !
2
2 2
1
/2
3
3
3
2
3!
y
y H y e
n
n
n
z
z H z e
n
n
n


















(5.9.5)

Với
m




.Phươngtrìnhcủa
 
1
x

là:

 
22 2
2
1
1 1 0 1 1 1
2
2 2

x
m
H x x eE x E
m x
 
   

    


(5.9.6)

Đổibiếnthành
0
eE
x
m






,tacó:
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 21
 

 

2
2
0
2
1 1
1 1
2
3
2
0
eE
d E
d
m

  
 

 
 
   
 
 


(5.9.7)
 
Tacóđượcphươngtrìnhkhácchogiaođộngtửđiềuhòa1chiềuvới
0
n

:
   
2
1
/2
1
1
1
2 !
1
H e
n
n
n

  



(5.9.8)
 
Hoặc
   
2
1
0
2
2
1
e

1
1
1
2 !
1
eE
x
m
x H x
n
n
n




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 


(5.9.9)
Điềukiệnlượngtửhóatrongtrườnghợpnàylà:

 
2
2
0
1
2 1
1
3
eE
E
n
m


  


(5.9.10)
Vậygiátrịnănglượngriênglà:

 
 
1
2

0
1 1
2
1
2 2
n
eE
E n
m


 
  
 
 

(5.9.11)
Kếtluận,hàmsónglà:
       
1 2 3
, ,
x y z x y z
   

(5.9.12)
Vàgiátrịnănglượngriênglà:

 
2
3

0
1 2 3
2
2
1 2 3 1 2 3
2
eE
E E E E n n n
n n n n n n
m


 
       
 
 
 (5.9.13)

Bài10.Xétmộtdaođộngđiềuhòamộtchiềuởmứcnănglượngthứn.Tínhcáctrị
trungbình
2 2
, , ,x x p p
.Bạncóthểnóigìvềhệthứcbấtđịnh
x p 
?
Bàilàm
Dùngnhữngtoántửavà
†
a
,cóthểtìmrarằng:

 

 
2
2 1
2
x n
m

 

(5.10.1)
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 22

 
2
2 1
2
m
p n

 

(5.10.2)
Và
0
p


,
0
x

.Vìvậy:

 
2
2 1
2
m
p p p n

    

(5.10.3)

 
2
2 1
2
x x x n
m

    

(5.10.4)
Vìthế,ởtrạngtháicơbảnthỏamãncựctiểucủahệthứcbấtđịnh

2

x p
  

.(5.10.5)
Bài11.Nhữngtinhthểphântửđơngiảnnhấtđượcđịnhdạngtừnhữngkhíhiếmnhư
làneon,argon,kryptonvàxenon.Tươngtácgiữanhữngionnhưlàmộttinhthểphântử
đượcướctínhbởithếLennard-Jones

 
12 6
4
0
V r V
r r
 
 
   
 
 
   
 
   
 
(5.11.1)
Gíatrịcủa
0
V
và

chonhữngkhíhiếmđượcsắpxếpởbảng5.11.1

 




Tìmnănglượnggầnđúngtạitrạngtháicơbảncủaionđơnnhưlàmộttinhthể.
Bàigiải:
TacóthểxemiongầncựctiểucủaV(r)cóthểxemnhưmộtdaođộngđiềuhòa
TaướctínhthếnănggầnđúngV(r)gầnnhữngcựctiểucủa1đathứcdạng:

     
2 3
0
2
m m m
k
V r V r r r r
 
    
 
(5.11.2)
TrongđóV(r)làgiátrịcủa
( )
m
V r
và
m
r
lànhữngcựctiểu.Vậy:


 
12 6
1
6
0
13 7
4 12 6 0 2
m
r r m
m m
dV r
V r
dr r r
 


 
     
 
 
(5.11.3)
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 23
Dođó,
( )
m
V r
=
0

V
.Tươngtự:

 
2
12 6
2/3
0
0
2 14 8 2
4 156 42 36.2
m
r r
d V r
V
k V
dr r r
 


 
   
 
 
(5.11.4)
Bâygiờtacóthểướctínhtínhchấtcủamộtiontrongtinhthểdựavàotínhchấtcủa
daođộngđiềuhòa.Trạngtháicơbảncủadaođộngđiềuhòavớithếnăngdướiđây
   
2
0 0

2
k
V r U r r
 
  
 
 
là:

0 0 0
2 2
k
E U U
m

   
 
(5.11.5)
Trongđómlàkhốilượngcủacácion.Vìvậy,

1/3
0
0 0
3 .2
2
m
V
k
E V V
m m


   
 
(5.11.6)

Bài12.Tìmnhữngnănglượngriêngvàhàmsốriêngcủamọthạtchuyểnđộngdưới
thếnăng
 
2
2
2
m
x
V x








 
 
0
0
x
x



(*)

Bàigiải 
PhươngtrìnhSchrodingerkhôngphụthuộcthờigiancódạng:

 
 
2
2 2
2
0.
2
2
d x
mE m x
E x
dx



  
 
 
 
 

(12.1.1)
Đểgiảiphươngtrìnhnàytadùngphươngphápđổibiếnsố:

1/2

. ,
m
x



 
 
 


2
.
E





Lúcđóphươngtrình(12.1.1)trởthành:

 
 
 
2
2
0.
2
d
d

 
   

  
(12.1.2)
Đểtìmnghiệmcủa(12.1.2)trướchếttaphảixétcácnghiệmtiệmcận:
Khi

 

thì(12.1.2)trởthành:

 
 
2
2
0.
2
d
d
 
  

 
(12.1.3)
Nghiệmcủaphươngtrìnhnàylà:

 
2 2
/2 /2

.
e e
 
 

 


Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 24
Dođiềukiệngiớinộicủahàmsóngnêntachỉchọnsốhạng
2
/2
.e



Khi

cógiátrịbấtkìnghiệmcủa(12.1.2)códạng:

   
2
/2
,
Ae f

  



trong đó
 
f

 là hàm cần tìm. Lấy đạo hàm bậc hai của

 theo

 rồi thay vào
(12.1.2)tathuđượcphươngtrình:

       
2 1 0.
f f f
    
 
   
(12.1.4)
Tatìmnghiệmcủa(12.1.4)dướidạngchuỗi:

 
.
0
k
f a
k
k
 





(12.1.5)
Lấyđạohàmbậcnhấtrồibậchaicủa
 
f

,tađược:

 
   
1
0
2
0
,
1 .
k
k
k
k
k
k
f ka
f k k a
 
 










 



Thay
 
f

,
 
f


,
 
f


 vào (12.1.4) và đưa các số hạng về cùng tổng
0




,tađược:

    
2
0
2 1 2 1 0.
k k k
k
k k a ka a




     
 
 


Từđó,tasuyracôngthứctruytoándùngđểxácđịnhcáchệsố
k
a
:

  
2 1
.
2
2 1
k
a a

k k
k k

 


 
(12.1.6)
Theohệthức(12.1.6),nếutabiết
k
a
thìtasẽtìmđược
2k
a

,rồi
4k
a

…
Vídụ:

  
5 1
1 5
, ,
2 4 2
2 12 24
a a a a a
o o

 
 
 
 
  

Nếubắtđầutừ
1
a
tasẽtìmđượccáchệsốvớiklẻ:

  
7 3
3 7
, ,
5
3 1 3 1
2 20 120
a a a a a
 
 
 
 
  

Nhưvậy,tathuđượcbiểuthứccủanănglượng:
Đề tài: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GVHD: PGS.TS. LÊ ĐÌNH
SVTH: Nguyễn Văn Duy.Lớp Lí 3B
Trang 25


1
,
2
E n
n

 
 
 
 

với
0n 
,1,2…
Theođề,xétmọthạtchuyểnđộngdướithếnăng:
 
2
2
2
m
x
V x









 
 
0
0
x
x


(*)
 
Cóthểthấyđâylàbàitoándaođộngtửđiềuhòakhôngđốixứngtrongđóhạtchỉ
chuyểnđộngtrongmiềnx>0.Nhưvậynghiệmcủaphươngtrìnhschrogdingerchobài
toánlànhữngnghiệmtriệttiêuởx=0.Theođồthịahình5.12,thìcáchàmsóngcónlẽ
mớithỏamãnđiềukiệnnày.Nhưvậybàitoándaođộngtửđiềuhòakhôngđốixứng
chocácnghiệmcódạng
 
2 1n
x


.
Vìvậy,nănglượngcủabàitoánkhôngđốixứngchocácgiátrịnănglượnglẻ,nghĩa
là:
1 1 3
'
2 1 2
2 2 2
E n n n
n
  

      
     
     
     
  
 trongđón=1,2,3,4,  




Hình5.12



